Умеете ли вы размышлять?

Математика      Постоянная ссылка | Все категории

Привычка к размышлению приносит богатые плоды: она развивает ту особую математическую смекалку, которая может выручить в самых различных случаях. Иногда даже может случиться, что она окажет неожиданную услугу, позволив уверенно восстановить частично забытую формулу. Вот несколько примеров. Потребовалась формула для площади треугольника, но память «подвела»: вы забыли, какая тригонометрическая функция является здесь множителем — sin С или cos С.

 

 

И вот вы рассуждаете так: эта формула общая, она годна для вычисления площади всякого треугольника, в том числе и прямоугольного с катетами а и b; но тогда С=90°, a cos 90°=0. Поэтому если допустить, что сомнительный множитель в формуле площади cos С, то площадь треугольника окажется равной нулю. Явная нелепость! С другой стороны, sin C=sin90c=l, и мы получаем , т. е. известную формулу для площади прямоугольного треугольника. Теперь сомнений нет: тригонометрический множитель в формуле —sin С. Другой пример.

Вы колеблетесь, забыв, какой вид имеет формула Герона для площади треугольника: или . И здесь также простое соображение поможет вам. Вы будете рассуждать так: левая и правая части формулы должны быть одного и того же измерения: площадь выражается в квадратных единицах; р, р—а, р—b, p—с — линейные величины; произведения (р—а)(р—b)(р—с) и р(р—а)(р—Ь)(р—с) соответственно 3-го и 4-го измерения; квадратные корни из этих произведений будут иметь измерения и 2. Сомнения отпали: верна формула. Трудно перечислить все случаи, когда умение наблюдать и умение считать позволяют «на ходу» легко обнаружить то, что, казалось бы, обязательно требует письменного расчета. Вот, например, в магазине покупают 7,5 м сатина ценой по 13 грн. 20 коп. за метр. Продавец выписывает чек; на нем указано 99 грн. 60 коп. Покупатель, не отходя от прилавка, буквально в течение нескольких секунд уверенно устанавливает, что сумма, указанная в чеке, неверна. Попробуем проследить за ходом мысли нашего наблюдательного покупателя. Стоимость всей покупки, выраженная в копейках, есть произведение 1320×7,5. Произведение не изменится, если один из сомножителей разделить на 10, а другой умножить на 10. Значит, стоимость покупки 132×75 (копеек).

Каждый из сомножителей — число, кратное 3. Значит, произведение должно быть кратно 9. Но в чеке написано 99 грн. 60 коп.= =9960 коп.— число, сумма цифр которого (24) не делится на 9. Это противоречие и указывает, что чек выписан неправильно. Попробуем теперь устно подсчитать, сколько же стоит сатин. В условии задачи как будто нет того числового своеобразия, которое позволяет применить изобретательный устный счет. На самом же деле зоркий глаз обнаружит и здесь возможность не только устно сосчитать стоимость покупки, но даже сделать это двумя различными способами.

Первый способ. Произведение 13,2 грн на 7,5 равно произведению 6,6 грн. на 15 (мы разделили здесь первый сомножитель на 2, а второй умножили на 2). Применяя теперь известный способ умножения чисел на 15, будем иметь: грн.

 

Сколько стоит 7,5 м? Второй способ. Заметив, что 7,5 составляет от 10, можем стоимость покупки в гривнах выразить так:

 

 .

 

Может возникнуть мысль, что в рассмотренных нами до сих пор примерах удобные приемы устного решения удалось использовать только потому, что числовые данные или форма математического выражения были специально подобраны. Такая мысль была бы ошибочной. Верно лишь то, что те разнообразные приемы устных вычислений, которыми мы пользовались, можно применить далеко не во всех случаях. Так, например, если в рассмотренных рапсе двух примерах на решение квадратного уравнения удалось, минуя формулу корней, обойтись без записей, то это отнюдь не означает, что почти всегда при решении квадратных уравнений можно обойтись без этой формулы и связанных с ней письменных вычислений. Но, с другой стороны, неверно было бы считать, что различные способы легких и быстрых устных вычислений и преобразований, которые были здесь показаны, применимы лишь в исключительных, «избранных» случаях.

Гораздо чаще, чем это кажется, внимательный и зоркий глаз сумеет подметить и остроумно использовать числовую «индивидуальность» вычисляемого выражения или своеобразие его формы. Чтобы научиться «видеть» и научиться находчиво считать, нужны прежде всего опыт, привычка к размышлению и сообразительность. Для арифметических расчетов «в уме» большую помощь окажет, кроме того, знание общих принципов и специальных приемов, применяемых при устном счете. Укажем некоторые наиболее важные и наиболее интересные из таких приемов устного счета. В обычном, «бытовом» счете (в магазине, дома, в трамвае) и в счете на производстве, когда рабочий или инженер должен сделать несложный предварительный расчет, большей частью приходится иметь дело с двузначными и реже с трехзначными числами. При этом считать чаще всего приходится «на ходу» и достаточно быстро. Поэтому особенно важно научиться производить «в уме» действия над двузначными и отчасти трехзначными числами. В тех же случаях, когда производятся вычисления со сравнительно большими числами, то надежнее, да в конечном счете и легче, сделать такие расчеты письменно или, если есть возможность, на счетных приборах. Некоторые простейшие приемы устного счета рассматриваются в школе. В частности, учащимся обычно предлагают устные упражнения, показывающие, как упрощаются вычисления при умелом использовании законов арифметических действий. Указываются также некоторые простейшие специальные приемы устного счета (умножение на 5, 15, 25, 50, отдельные приемы процентных вычислений и т. д.). На них здесь мы останавливаться не будем и ограничимся следующими указаниями.

 

Математика      Постоянная ссылка | Все категории
Мы в соцсетях:




Архивы pandia.ru
Алфавит: АБВГДЕЗИКЛМНОПРСТУФЦЧШЭ Я

Новости и разделы


Авто
История · Термины
Бытовая техника
Климатическая · Кухонная
Бизнес и финансы
Инвестиции · Недвижимость
Все для дома и дачи
Дача, сад, огород · Интерьер · Кулинария
Дети
Беременность · Прочие материалы
Животные и растения
Компьютеры
Интернет · IP-телефония · Webmasters
Красота и здоровье
Народные рецепты
Новости и события
Общество · Политика · Финансы
Образование и науки
Право · Математика · Экономика
Техника и технологии
Авиация · Военное дело · Металлургия
Производство и промышленность
Cвязь · Машиностроение · Транспорт
Страны мира
Азия · Америка · Африка · Европа
Религия и духовные практики
Секты · Сонники
Словари и справочники
Бизнес · БСЕ · Этимологические · Языковые
Строительство и ремонт
Материалы · Ремонт · Сантехника