Умножение двух двузначных чисел, близких к 100

Математика      Постоянная ссылка | Все категории

Умножение двух двузначных чисел, близких к 100 Всякое двузначное число можно представить в виде 100—а. Будем называть а недостатком данного числа до 100. Если данные числа близки к 100, то недостатки их — сравнительно небольшие числа, удобные для устных вычислений. Рассмотрим такое умножение в общем виде: (100 – а) (100 – b) = 100×100 – 100а – 100b +аb=(100 –а – b)100+аb. Это выражение показывает: чтобы получить число сотен искомого произведения, достаточно из одного сомножителя (например, 100—а) вычесть недостаток другого сомножителя (т. е. b) и к полученной разности приписать произведение недостатков аb, если аb — число двузначное. Если аb — однозначное число, например 8, то приписывается 08.

 

Пример. Умножить 87 на 94. Первый недостаток 13, второй 6. Из 87 вычитаем 6 (или из 94 вычитаем 13), получаем 81. К 81 приписываем 13-6 = 78. Произведение 8178. Идею этого интересного способа легко распространить и на умножение двух трехзначных чисел, близких к 1000. Умножим, например, 985 на 992. Первый недостаток 15, второй 8. Вычитая 8 из 985 (или 15 из 992), получим 977 — число тысяч искомого произведения. Приписав к 977 произведение недостатков 15-8 = 120, получим произведение 977 120,

 

Процентные вычисления Простейшие приемы процентных вычислений, рассматриваемые в школе, нетрудно использовать и в некоторых более сложных случаях процентных вычислений. Как легче произвести действия с процентами? Прежде всего обратим внимание на то, что p % от числа а составляет и а % от числа p составляет ; но . Поэтому если это удобно, мы всегда можем заменить вычисление p % от а вычислением а % от р. Пусть надо найти 72 % от 85. Легче найти 85% от 72. Но 85% от 72 составляют 72 без 15% от 72, а 15% от 72 есть сумма 7,2+3,6 = 10,8. Искомое число найдено: 72—10,8=61,2. Другой пример: найти 72,8% от 37. И здесь будем искать 37% от 72,8. «Ключ» к устному решению заключается в известном факте: 12% от числа — все равно, что часть этого числа.

А так как 37% = 12% × 3, то весь расчетный процесс сведется к нахождению от 72,8. Деля 72,8 на 8, получим 9,1, а искомое число 9,1-3=27,3. Особые случаи возведения чисел в квадрат Полезно обратить внимание на два случая возведения чисел в квадрат: целых чисел, оканчивающихся цифрой 5, и смешанных чисел, дробная часть которых равна . В каждом из этих случаев сначала сформулируем общее правило и докажем справедливость его. Правило 1. Чтобы возвести в квадрат целое число, оканчивающееся цифрой 5, достаточно число десятков этого числа умножить на следующее натуральное число и к произведению приписать 25. Доказательство. Всякое число, оканчивающееся цифрой 5, можно представить ; в виде 10а+5, где а — число десятков этого числа. Тогда (10а+5)2 = 100а2 + 100а+25 = 100а(а + 1)+25 = а(а + 1)×100+25. Последнее выражение полностью соответствует тексту правила. Как быстро возвести в квадрат такое число? Пример. Возвести в квадрат 145. Умножаем число десятков 14 на 15, получаем 210 и приписываем 25, 1452=21025. Правило 2. Чтобы возвести в квадрат смешанное число, дробная часть которого равна , достаточно целую часть смешанного числа умножить на следующее натуральное число и к произведению приписать . Доказывается оно так же, как и правило 1. Пример. Возвести в квадрат 19.Умножаем 19 на 20, получаем 380 и к 380 приписываем ; Заключение Мы рассмотрели здесь лишь отдельные, наиболее важные приемы устного счета. Вряд ли имеет смысл пытаться запомнить большое число специальных правил, так как без частого применения они неизбежно будут забываться. Да и как ни полезны такие правила, все же для овладения устным счетом гораздо важнее развить в себе пытливость и ту смекалку, без которых не обойтись, когда никакие выученные правила не помогают. Известен, например, такой случай: ученикам V класса средней школы было предложено умножить «в уме» 84 на 84. Один мальчик почти сразу дал ответ: 7056. На вопрос, как он считал, мальчик ответил: «Да я просто отнял 144 от 7200». Если мы теперь проследим ход устных вычислений мальчика, то увидим, что он считал так: 84 × 84=(12 × 7) × (12 × 7) = (12 × 12) × (7 × 7) = 144 × (50 – 1) = 144 – 144 = 7200—144. Иногда самая загадочная задача, решению которой не помогут никакие правила, легко решается простым «соображением». Например, требуется расшифровать числовой ребус: где а и с — цифры. Из данного равенства вытекает: Но при любом однозначном с частное , т. е. . Но 111, как произведение однозначного множителя на двузначный, может быть представлено единственным образом: 3×37. Ребус расшифрован: а = 3, с=7 и 3×7×37=777. В заключение заметим, что смекалка, которую часто называют «математической смекалкой»,— не только основа успешного устного счета. Она может принести человеку неоценимую услугу в любой области его деятельности. По материалам книги “Детская энциклопедия”

Математика      Постоянная ссылка | Все категории
Мы в соцсетях:




Архивы pandia.ru
Алфавит: АБВГДЕЗИКЛМНОПРСТУФЦЧШЭ Я

Новости и разделы


Авто
История · Термины
Бытовая техника
Климатическая · Кухонная
Бизнес и финансы
Инвестиции · Недвижимость
Все для дома и дачи
Дача, сад, огород · Интерьер · Кулинария
Дети
Беременность · Прочие материалы
Животные и растения
Компьютеры
Интернет · IP-телефония · Webmasters
Красота и здоровье
Народные рецепты
Новости и события
Общество · Политика · Финансы
Образование и науки
Право · Математика · Экономика
Техника и технологии
Авиация · Военное дело · Металлургия
Производство и промышленность
Cвязь · Машиностроение · Транспорт
Страны мира
Азия · Америка · Африка · Европа
Религия и духовные практики
Секты · Сонники
Словари и справочники
Бизнес · БСЕ · Этимологические · Языковые
Строительство и ремонт
Материалы · Ремонт · Сантехника