Исследование математических моделей и методов для расчета и анализа установившихся режимов электроэнергетической системы Монголии – часть 2

Энергетика      Постоянная ссылка | Все категории

где

; ; (16)

, ; (17)

функции и определяются выражениями (9) и (11) соответственно.

В главе показано, что матрицы Якоби уравнений установившихся режимов ЭЭС Монголии, записанных в форме баланса мощностей в узлах в полярной и прямоугольной системах координат переменных, являются плохо обусловленными. Плохая обусловленность матриц Якоби этих уравнений связана как с особенностью структуры электрической сети ЭЭС Монголии – слабозамкнутостью, радиальностью и протяженностью, так и неоднородностью параметров схемы замещения, вызванной наличием в электрической сети большого числа разнотипных трансформаторов и автотрансформаторов, большого числа как длинных, так и коротких воздушных линий разных уровней напряжения, значительного количества воздушных линий, активные составляющие сопротивлений которых близки, и даже равны по величине реактивным составляющим сопротивлений. Кроме того, режимы ЭЭС Монголии характеризуются и высокой степенью неоднородности в значениях нагрузок узлов, что еще больше ухудшает обусловленность матриц Якоби их уравнений. Поэтому метод Ньютона, реализующий итерационный процесс

, (18)

где ∆Xн(р) на каждом шаге (18) определяется решением системы линейных уравнений

, (19)

матрица Якоби уравнений (4) в точке X(р), является неэффективным как при решении уравнений (5), так и уравнений (8) установившихся режимов ЭЭС Монголии.

Эффективно задача расчета установившихся режимов ЭЭС Монголии может быть решена только итерационными методами, обладающими высокой действенностью. К таким методам относятся линейные и нелинейные методы минимизации.

Линейные методы минимизации ньютоновского типа. При использовании методов минимизации ньютоновского типа задача решения уравнений установившихся режимов (4) сводится к определению нулевого минимума функции

(20)

в соответствии с вычислительной схемой

, (21)

где , – значения переменных соответственно на и шагах итерационного процесса (21); – направление минимизации функции (20), определяемое на каждом шаге (21) решением системы линейных уравнений (19), параметр, определяющий длину шага вдоль направления .

Сходимость и скорость сходимости итерационного процесса (21) при решении задачи (4) в значительной степени определяются величиной и способом выбора параметра в (21).

Наиболее высокой действенностью и низкой временной сложностью из методов ньютоновского типа обладает метод, в котором величина параметра определяется из условия достижения на каждом шаге (21) точного минимума функции (20).

Действенность методов ньютоновского типа зависит от того, насколько не выпукла минимизируемая функция в заданной исходным приближением области . В случаях выпуклости или слабой невыпуклости функции (20) в области эти методы демонстрируют высокую действенность при решении задачи (4).

В случаях значительной невыпуклости функции (20) однопараметрические методы ньютоновского типа (21) часто являются неэффективными. Реализую линейную схему минимизации, эти методы не всегда в таких случаях могут с необходимой точностью отследить изменение рельефа минимизируемой функции. Неточность прогноза поведения функции (20) по линейной траектории спуска нередко приводит к сходимости этих методов не к нулевому минимуму функции (20), а к точкам на поверхности вырождения матрицы Якоби.

В главе показано, что квадратичная функция невязок уравнений установившихся режимов ЭЭС Монголии в форме баланса мощностей в узлах в полярной и прямоугольной системах координат переменных имеет очень сложный рельеф в заданных исходными приближениями , областях . При этом функция на периферийных участках указанных областей сильно невыпукла. Невыпуклость функции сопровождается прохождением поверхности вырождения якобиана уравнений баланса мощностей в непосредственной близости от точек «нулевых» исходных приближений как при задании в генераторных узлах активных и реактивных мощностей генераторов, так и при задании в них активных мощностей и модулей напряжений. Поверхность вырождения якобиана уравнений баланса мощностей имеет сложную конфигурацию не только в окрестности нулевых исходных приближений, но и окрестности решений уравнений установившихся режимов, отвечающих реальным режимам ЭЭС. Невыпуклость квадратичной функции невязок уравнений установившихся режимов ЭЭС Монголии в форме баланса мощностей в узлах и сложный вид этой невыпуклости часто приводит к сходимости линейных методов минимизации ньютоновского типа при расчете установившихся режимов ЭЭС Монголии к точкам на поверхности вырождения матрицы Якоби, которые не всегда являются «стационарными».

Нелинейные методы минимизации. Наиболее эффективными для решения задачи (4) из методов этого класса являются метод квадратичного спуска и метод минимизации по плоскости, реализующие итерационные процессы

, (22)

и , (23)

где вектор в (22), как и вектор в (21), определяется из решения системы уравнений (19), вектор – по выражению ,

а вектор – из решения системы уравнений

, (24)

где – величины шагов по принятым направлениям спуска; – матрица вторых частных производных уравнений (4) в точке ; – скалярное произведение векторов; – параметр, определяемый из условия минимального отклонения квадратичной аппроксимации от специальным образом заданной кривой спуска в плоскости векторов и .

Выбор направления минимизации функции (20) в методе (23) определяется из условия достижения ее глобального минимума на плоскости (, )

. (25)

а в методе (22) – условием достижения минимума функции (20) на кривой, принадлежащей этой плоскости:

(26)

Методы (22) и (23) обладают значительно более высокой действенностью при решении задачи (4), чем линейные методы минимизации ньютоновского типа (21). Однако, близость точек «нулевых» исходных приближений к поверхности вырождения матрицы Якоби уравнений баланса мощностей в узлах может приводить к сходимости метода квадратичного спуска и двухпараметрического метода минимизации при расчете установившихся режимов ЭЭС Монголии не к решению уравнений (5), (8), а к локальным минимумам, лежащим на этой поверхности.

Эффективность решения задачи расчета установившихся режимов ЭЭС Монголии рассмотренными в работе методами минимизации значительно повышается при использовании в качестве уравнений установившихся режимов уравнений баланса токов в узлах.

Сходимость методов минимизации ньютоновского типа, квадратичного спуска и двухпараметрического метода минимизации определяется не только видом переменных, свойствами функции (20), но и конфигурацией поверхности, определяемой уравнением вырождения матрицы Якоби .

Поверхности, определяемые уравнением , для уравнений баланса мощностей и баланса токов в полярной и прямоугольной системах координат переменных различны. Поэтому и области сходимости решения уравнений установившихся режимов в форме баланса мощностей и форме баланса токов методами, сходимость которых определяется свойствами матрицы Якоби, в общем случае, также различны. Особенностью систем уравнений баланса токов является их линейность при заданных нулевых значениях мощностей генераторов и нагрузки в узлах. Число таких узлов, а следовательно и число линейных уравнений, может быть достаточно велико. В расчетной схеме замещения ЭЭС Монголии число таких узлов превышает 50%. Поэтому более 50% уравнений баланса токов, описывающих установившиеся режимы ЭЭС Монголии, являются линейными. Естественно, что такое число линейных уравнений уменьшает общую нелинейность задачи расчета установившихся режимов ЭЭС Монголии (4), улучшает геометрические свойства функционала (20), значительно влияющие на сходимость методов минимизации и улучшает такие вычислительные характеристики, как надежность и скорость сходимости их итерационных процессов.

В главе показано, что функция (20) уравнений баланса токов в узлах выпукла в заданных исходными приближениями областях . Поэтому методы Ньютона и минимизации ньютоновского типа обеспечивают при решении уравнений установившихся режимов ЭЭС Монголии в форме баланса токов, в отличие от уравнений баланса мощностей, не только надежную, но и быструю сходимость.

Обусловленность матрицы Якоби уравнений установившихся режимов ЭЭС Монголии в форме баланса токов лучше, чем обусловленность матрицы Якоби уравнений баланса мощностей. Неоднородность параметров сети и ее конфигурация проявляется значительно слабее в ухудшении обусловленности матрицы Якоби уравнений баланса токов, чем матрицы Якоби уравнений баланса мощностей. В значительной мере это обуславливается тем, что диагональные элементы матрицы Якоби уравнений баланса токов зависят не только от параметров сетевых элементов, но и от активных и реактивных мощностей генераторов и нагрузки в узлах, что и определяет их доминирование в строке, повышающее обусловленность матрицы Якоби.

В силу незначительного числа генераторных узлов в расчетной схеме ЭЭС Монголии задание в них постоянными модулей напряжений не приводит к ухудшению обусловленности матрицы Якоби уравнений баланса токов. Напротив, задание постоянными напряжений в генераторных узлах ЭЭС Монголии улучшает обусловленность матрицы Якоби уравнений баланса токов в узлах.

Выпуклость функции (20) уравнений баланса токов в узлах в области заданных исходных приближений и решений уравнений (12), (15) подтверждается и характером сходимости метода квадратичного спуска и двухпараметрического метода минимизации. Сходимость методов обеспечивается в подавляющим большинстве случаев за 2 шага с очень высокой точностью решения. Итерационные процессы метода квадратичного спуска и двухпараметрического метода минимизации практически совпадают, т. е. глобальные минимумы функции (20) в плоскостях векторов практически «лежат» на кривых квадратичной аппроксимации в этих плоскостях. Примеры сходимости рассмотренных в работе методов приведены в таблице.

Глава II. Применение регуляризованных методов минимизации для расчета установившихся режимов ЭЭС Монголии.

Регуляризованные методы минимизации на основе метода диагональной релаксации. Для применения метода диагональной релаксации система уравнений (15)-(17) записывается в следующем виде

, (27)

где ; - активная и реактивная составляющие собственной проводимости узла i; - соответственно активная и реактивная составляющие проводимости ветви между узлами i и j; – активная и реактивная проводимости шунтов узла i; - емкостная проводимость ветви i – j на землю; напряжение базисного узла; , – активная и реактивная составляющая проводимости ветви между узлом i и базисным узлом; n – число узлов схемы замещения ЭЭС без учета базисного.

В матричном виде системы уравнений (27) записывается

, (28)

где ,

где – соответственно симметрические матрицы собственных и взаимных реактивных и активных проводимостей узлов порядка ; – трехдиагональная симметрическая матрица, диагональные элементы которой равны

; ; ;

; ; ; .

Метод диагональной релаксации реализует следующий итерационный процесс решения системы уравнений (28):

. (29)


Замечательной особенностью метода (29) является то, что определенная уже на первом шаге его итерационной последовательности (29) точка Х(1) попадает в область ; , в которой выполняется условие:

(30)

где - градиент функции (20).

Выполнение условия (30) достаточно для сходимости методов (21), (22) и (23) в области к решению уравнений установившихся режимов (4).

В работе исследована сходимость регуляризованных методов Ньютона – диагональной релаксации, минимизации ньютоновского типа – диагональной релаксации, квадратичного спуска – диагональной релаксации, двухпараметрического метода минимизации – диагональной релаксации при решении уравнений (5), (8), (12) и (15), в которых роль стартового выполняет метод диагональной релаксации. При этом методом диагональной релаксации выполняется только один шаг. Показано, что указанные регуляризованные методы обеспечивают при расчетах любых режимов ЭЭС Монголии более надежную и быструю сходимость, чем «классические». Некоторые примеры сравнения сходимости регуляризованных и «классических» методов приведены в таблице.

IS регуляризованные методы минимизации. Реализуют вычислительную схему, основанную на последовательном решении сначала уравнений баланса токов в узлах, а затем – баланса мощностей. Применение такой вычислительной схемы с одной стороны максимально учитывает все вычислительные преимущества токовой формы записи уравнений установившихся режимов ЭЭС Монголии, с другой – позволяет максимально использовать преимущества уравнений баланса мощностей при решении задач ввода режима в допустимую область, оптимизации режима, оценки существования решения и др.

В главе обоснована реализация IS регуляризации, в которой уравнения баланса токов в узлах решаются в прямоугольной системе координат только на первом шаге регуляризованной процедуры.

Показано, что IS регуляризованные метод квадратичного спуска и двухпараметрический метод минимизации обеспечивают сходимость практически за один шаг с обычно задаваемых нулевых исходных приближений при расчете любых режимов ЭЭС Монголии (таблица). Регуляризованные на основе метода диагональной релаксации и IS регуляризации метод квадратичного спуска и двухпараметрический метод минимизации практически решает проблему гарантированного решения уравнений установившихся режимов ЭЭС Монголии независимо от формы записи этих уравнений и вида переменных при любых заданных расчетных условиях.


Таблица

Энергетика      Постоянная ссылка | Все категории
Мы в соцсетях:




Архивы pandia.ru
Алфавит: АБВГДЕЗИКЛМНОПРСТУФЦЧШЭ Я

Новости и разделы


Авто
История · Термины
Бытовая техника
Климатическая · Кухонная
Бизнес и финансы
Инвестиции · Недвижимость
Все для дома и дачи
Дача, сад, огород · Интерьер · Кулинария
Дети
Беременность · Прочие материалы
Животные и растения
Компьютеры
Интернет · IP-телефония · Webmasters
Красота и здоровье
Народные рецепты
Новости и события
Общество · Политика · Финансы
Образование и науки
Право · Математика · Экономика
Техника и технологии
Авиация · Военное дело · Металлургия
Производство и промышленность
Cвязь · Машиностроение · Транспорт
Страны мира
Азия · Америка · Африка · Европа
Религия и духовные практики
Секты · Сонники
Словари и справочники
Бизнес · БСЕ · Этимологические · Языковые
Строительство и ремонт
Материалы · Ремонт · Сантехника