Исследование математических моделей и методов для расчета и анализа установившихся режимов электроэнергетической системы Монголии – часть 3

Энергетика      Постоянная ссылка | Все категории

Сходимость методов при решении уравнений установившегося режима ЭЭС Монголии

Метод

Сходимость (число итераций N) при решении уравнений установившихся режимов в форме

баланса мощностей в узлах ЭЭС в

баланса токов в узлах ЭЭС в

полярной системе координат

прямоугольной системе координат

полярной системе координат

прямоугольной системе координат

с исходных приближений

Uн

Uср. н

Uб

Uхх

Uн

Uср. н

Uб

Uхх

Uн

Uср. н

Uб

Uхх

Uн

Uср. н

Uб

Uхх

Метод Ньютона

расх.

расх.

расх.

расх.

расх.

5

4

расх.

расх.

расх.

расх.

расх.

расх.

5

4

расх.

3

3

3

3

3

3

3

3

2

2

2

2

2

3

2

2

Метод минимизации ньютоновского типа

*

*

*

*

*

4

3

7

*

17

*

23

*

4

3

9

3

3

3

3

3

3

3

3

2

2

2

2

2

3

2

2

Метод квадратичного спуска

*

*

*

*

*

3

3

5

*

7

*

6

*

3

2

5

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

1

2

2

2

2

Двухпараметрический метод минимизации

*

*

*

*

4

3

2

5

*

*

*

*

*

3

2

*

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

1

2

2

2

2

Регуляризованный метод Ньютона – диагональной релаксации

2

3

2

3

2

3

3

4

2

2

2

2

2

2

3

2

2

2

2

2

2

3

3

3

2

2

1

2

2

2

2

2

Регуляризованный метод минимизации ньютоновского типа – диагональной релаксации

2

3

2

3

2

3

2

4

2

1

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

3

2

3

2

1

1

1

2

2

2

2

Регуляризованный метод квадратичного спуска – диагональной релаксации

1

2

1

2

2

2

2

2

1

1

1

1

1

1

2

2

1

2

1

2

1

2

2

3

1

1

1

1

1

1

2

2

Регуляризованный двухпараметрический метод минимизации – диагональной релаксации

1

2

1

2

2

2

2

2

1

1

1

1

1

1

1

2

1

2

1

2

1

2

2

2

1

1

1

1

1

1

2

2

IS регуляризованный метод минимизации ньютоновского типа

1

2

1

1

2

1

2

2

1

2

1

1

1

2

2

2

1

2

1

1

2

2

2

2

1

2

1

1

1

2

2

1

IS регуляризованный метод квадратичного спуска

1

1

1

1

1

1

2

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

2

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

IS регуляризованный двухпараметрический метод минимизации

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

2

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

- указано: в числителе – число итераций при задании в генераторных узлах P и Q; в знаменателе – число итераций при задании в генераторных узлах P и U;

* – итерационный процесс сходится к поверхности вырождения матрицы Якоби;

Uн – исходное приближение, соответствующее номинальным значениям напряжений узлов и нулевым значениям их аргументов;

Uср. н – исходное приближение, соответствующее средним номинальным значениям напряжений узлов и нулевым значениям их аргументов;

Uб – исходное приближение, характеризуемое напряжениями узлов, равными напряжению базисного узла, и их нулевыми аргументами;

Uхх - исходное приближение, соответствующее напряжениям в узлах и их аргументам в режиме холостого хода.


Глава III. Исследование существования, неоднозначности и сходимости различных решений уравнений установившихся режимов ЭЭС Монголии.

При расчетах установившихся режимов ЭЭС Монголии и задании в гене­рирующих узлах активных и реактивных мощностей генераторов:

– среди решений возможно существование по крайней мере двух, отвечающих режимам с допустимыми уровнями напряжений в узлах ЭЭС; существование таких решений возможно только при рассмотрении сильно нагруженных режимов, близких к предельным по “расчетной” устойчивости;

– возможно существование по крайней мере двух решений, соответствующих статически апериодически устойчивым режимам.

При задании в генераторных узлах активных мощностей и модулей напряжений генерато­ров:

– только одно из решений отвечает допустимым по напряже­нию режимам;

– только одно из решений соответствует статически устойчивым режимам;

– допустимые по значению напряжений решения являются “бόльшими” решениями. Об­ласть существования “бόльшего” решения уравнений установившихся режимов совпадает с областью статической устойчивости режимов ЭЭС Монголии.

Таким образом, практически важным свойством уравнений установившихся режимов ЭЭС Монголии при существующей конфигурации электрической сети, структуре, размещению и мощности генерирующих источников является то, что независимо от расчетных условий реальному режиму ЭЭС соответствует «бόльшее» решение. Остальные решения уравнений установившихся режимов соответствуют в большинстве случаев режимам с недопустимо низкими величинами напряжений в узлах и, следовательно, являются неприемлемыми в практике эксплуатации.

Сходимость методов минимизации к тому или иному решению уравнений установившихся режимов ЭЭС (4) зависят от формы записи уравнений установившихся режимов, способов задания и исходных данных для генераторных узлов (узлы PQ или PU), заданного исходного приближения, способов задания нагрузки (постоянной величиной мощности или статической характеристикой по напряжению). Показано, что при расчетах установившихся режимов ЭЭС Монголии с обычно принимаемых исходных приближений возможно проявление неоднозначности решения уравнений исследуемых установившихся режимов. При этом и один тот же метод с одного и того же исходного приближения, но при разных формах записи уравнений установившегося режима может сойтись к разным решениям. Неоднозначность решения уравнений установившихся режимов проявляется только при расчетах нагруженных режимов, близких к предельным по существованию решения при заданных расчетных условиях и при задании в генераторных узлах активных и реактивных мощностей генераторов. При этом решения отличаются один от другого незначительно. Такие расчетные случаи достаточно редки. В подавляющем же числе расчетных случаев рассмотренные в работе методы сходятся к «бόльшим» решениям, соответствующим реальным режимам ЭЭС. В главе показано, что все обычно задаваемые исходные приближения принадлежат области сходимости «бόльшего» решения уравнений установившихся режимов.

В главе показана применимость двух численных критериев оценки осуществимости установившихся режимов при анализе ремонтных, возможных аварийных и послеаварийных режимов ЭЭС Монголии. Рассмотренные критерии целиком базируются на математическом и программном аппарате рассмотренных в работе регуляризованных методов минимизации и диагональной релаксации и позволяют быстро и эффективно оценить осуществимость исследуемых установившихся режимов при заданных расчетных условиях.

Задача решения уравнений (8) при их несовместности сводится к определению минимума функционала (20). В точке минимума функционала (20)

(31)

где градиент функции (20) в точке ; матрица, транспонированная к матрице Якоби уравнений (8). Поскольку в случае несовместности уравнений (8) , то в решении уравнений (31) выполняется равенство . Таким образом, точка минимума функционала при несовместности уравнений (8) лежит на поверхности вырождения матрицы Якоби уравнений (8). При приближении итерационных процессов (22), (23) к поверхности вырождения матрицы Якоби неограниченно возрастает величина коэффициента β, вычисляемого на каждом шаге итерационных процессов (22) и (23) и равного

(32)

Поэтому критерием несовместности уравнений исследуемых установившихся режимов ЭЭС может быть принято условие резкого возрастания величины коэффициента β в ходе итерационных процессов (22) и (23) до значений, значительно превышающих единицу, т. е. условие

(33)

при задании исходным приближением параметров исходного нормального режима. В случаях, если расчет выполняется с точки нулевого исходного приближения, критерием несовместности уравнений установившихся режимов может быть принято условие резкого возрастания величины коэффициента в ходе итерационных процессов регуляризованных на основе метода диагональной релаксации методов (22) и (23). В качестве численной величины критерия достаточно принять значение

Условия применения критерия (33) для оценки неосуществимости установившихся режимов ЭЭС Монголии формулируются следующим образом:

Если величина коэффициента (32) на шаге р итерационного процесса регуляризованного метода квадратичного спуска – диагональной релаксации или регуляризованного двухпараметрического метода минимизации – диагональной релаксации возросла до заданной пороговой величины (например ), то исследуемый установившийся режим неосуществим при заданных расчетных условиях.

Второй критерий основан на применении следствия известной теоремы Гуревича-Слободского-Тарасова, гласящего: «Уравнения исследуемого установившегося режима ЭЭС (8) не имеют решения в области , являющейся связной компонентной множества при заданном векторе независимых переменных , если хотя бы в одной точке и соответствующей ей точке, знаки якобианов исследуемых уравнений (8) противоположны; – вектор, определяемый из решения системы уравнений (19)». На основании свойств решений уравнений установившихся режимов ЭЭС Монголии второй критерий неосуществимости режимов в работе сформулирован следующим образом:

Если хотя бы в одной точке итерационной последовательности регуляризованного метода квадратичного спуска – диагональной релаксации или регуляризованного двухпараметрического метода минимизации – диагональной релаксации при решении квадратичных уравнений исследуемого установившегося режима и в соответствующей ей точке , где вектор определяется на каждом шаге регуляризованного метода из решения системы уравнений (19), знаки якобианов различны, тогда исследуемый установившийся режим неосуществим при заданных расчетных условиях.

Многочисленные расчеты показали, что во всех случаях неосуществимости рассмотренных аварийных и послеаварийных режимов первый критерий «срабатывал» уже на 1-2 шагах итерационных процессов регуляризованных на основе метода диагональной релаксации методов (22) и (23).

При осуществимости исследуемых установившихся режимов методы сходились за 1-2 шага.

При применении второго критерия неосуществимость исследуемых режимов выявлялась в 74% случаев уже на первом шаге регуляризованных методов (22), (23) и в 20% – на втором.

Все результаты расчетов были непротиворечивы, т. е. не было зафиксировано ни одного случая, когда оценки неосуществимости исследуемых режимов по двум критериям расходились. При этом не было ни одного случая «ложной» работы ни первого, ни второго критерия, т. е. случая, когда либо первый, либо второй критерий указывал бы на неосуществимость режима, а решение уравнений исследуемого режима существовало.

Результаты проведенных исследований показали, в частности, что уравнения послеаварийных режимов при одних и тех же расчетных возмущениях в одних и тех же исходных нормальных режимах могут быть совместными в одном базисе расчета, и несовместными – в другом. Так, большинство расчетных возмущений приводили к несовместности уравнений послеаварийных режимов в базисе расчета, когда генераторы учитывались значениями и , в то время как в базисе расчета при задании генераторов значениями и , отвечающих тому же исходному нормальному режиму, эти же возмущения не приводили к несовместности уравнений послеаварийных режимов.

Расчеты показали необходимость задания генераторов при расчете послеаварийных режимов значениями активных мощностей и модулей напряжения на их шинах, учитывающем при решении задачи расчета установившихся режимов в ее классической постановке действие автоматического регулирования возбуждения генераторов.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ РАБОТЫ

Основная направленность диссертационного исследования связана с эффективным решением задачи расчета установившихся режимов ЭЭС Монголии, имеющей важное самостоятельное значение и являющейся составной частью большинства задач анализа режимов при управлении развитием и функционированием ЭЭС всех территориальных и временных уровнях иерархии управления.

Достижение главной цели потребовало решения ряда вопросов существования, неоднозначности и сходимости различных решений уравнений установившихся режимов ЭЭС Монголии. Основные результаты работы состоят в следующем.

1. Задача расчета установившихся режимов ЭЭС Монголии решением нелинейных уравнений баланса мощностей в узлах численными методами, основанными на вычислении первых производных уравнений (матрицы Якоби), является плохо обусловленной. Поэтому метод Ньютона, нашедший широкое применение при решении многих задач анализа режимов ЭЭС, модифицированный метод Ньютона и его известные модификации являются неэффективными при расчетах установившихся режимов ЭЭС Монголии.

2. Более эффективны при расчете установившихся режимов ЭЭС Монголии методы, основанные на идее минимизации квадратичной функции невязок уравнений установившихся режимов в направлении вектора, определяемого решением линеаризованной системы исходных уравнений – ньютоновского направления минимизации. Однако, сходимость таких методов существенно зависит от вида функции невязок в области заданных исходных приближений.

В работе показано, что квадратичная функция невязок уравнений установившихся режимов ЭЭС Монголии в форме баланса мощностей в узлах в полярной и прямо­угольной системах координат переменных имеет очень сложный рельеф, что часто приводит к сходимости методов минимизации ньютоновского типа при расчете установившихся режимов ЭЭС Монголии к точкам на поверхности вырождения матрицы Якоби, кото­рые не всегда являются «стационарными»

3. Исследована сходимость метода квадратичного спуска и двухпараметрического метода минимизации при решении уравнений установившихся режимов ЭЭС Монголии. Показано, что близость точек «нулевых» исходных приближений к поверхности вырождения матрицы Якоби уравнений баланса мощностей в узлах может приводить к сходимости метода квадратичного спуска и двухпараметрического метода минимизации к локальным минимумам, лежащим на этой поверхности.

4. Эффективность решения задачи расчета установившихся режимов ЭЭС Монголии рассмотренными в работе методами значительно повышается при использовании в качестве уравнений установившихся режимов уравнений баланса токов в узлах.

Применение токовой формы записи уравнений узловых напряжений позволяет исключить негативное влияние неоднородности параметров элек­трической сети на обусловленность матриц Якоби, улучшить «геометриче­ские» свойства квадратичного функционала невязок уравнений; «отодви­нуть» поверхности вырождения матрицы Якоби от «нулевых» исходных приближений и траекторий итерационных процессов линейных и нелиней­ных методов минимизации.

Сходимость рассмотренных в работе методов минимизации ньютоновского типа, квадратичного и двухпараметрического метода минимизации при решении уравнений баланса токов в узлах более высокая в прямоугольной системе координат переменных.

5. Рассмотрено применение регуляризованных методов Ньютона – диагональной релаксации, минимизации ньютоновского типа – диагональной ре­лаксации, квадратичного спуска – диагональной релаксации, двухпараметри-ческого метода минимизации – диагональной релаксации, в которых роль стартового метода играет метод диагональной релаксации.

Показано, что регуляризованные методы обла­дают более надежной и быстрой сходимостью, чем «классические» методы при расчете установившихся режимов ЭЭС Монголии независимо от формы записи уравнений и вида переменных этих уравнений. Регуляризованный метод квадратичного спуска – диагональной релакса­ции и регуляризованный двухпараметрический метод минимизации – диаго­нальной релаксации обеспечивают сходимость расчета за один-два шага с обычно задавае­мых нулевых исходных приближений при расчете любых режимов ЭЭС Монголии.

6. Рассмотрены регуляризованные методы минимизации ньютоновского типа, квадратичного спуска и двухпараметрического метода мини­мизации, основанные на последовательном решении в начале уравнений ба­ланса токов в узлах, а затем – уравнений баланса мощностей (IS регуляризация).

Показано, что IS регуляризованные методы квадратичного спуска и двухпараметрический метод минимизации обеспечивают сходимость практически за один шаг с обычно задаваемых нулевых исходных приближений при расчете любых режимов ЭЭС Монголии.

7. Регуляризованные на основе метода диагональной релаксации и IS регуляризации метод квадратичного спуска и двухпараметрический метод минимизации практически решают проблему гарантированного получения решения уравнений любых установив­шихся режимов ЭЭС Монголии.

8. Показано, что при расчетах установившихся режимов ЭЭС Монголии и задании в генераторных узлах активных и реактивных мощностей генераторов: среди решений возможно существование по крайней мере двух, отвечающих режимам с допустимыми уровнями напряжений в узлах ЭЭС; существование таких решений возможно только при рассмотрении сильно нагру­женных режимов, близких к предельным по “расчетной” устойчивости; возможно существование по крайней мере двух решений, соответствующих статически апериодически устойчивым режимам.

При задании в генератор­ных узлах активных мощностей и модулей напряжений генераторов: только одно из решений отвечает допустимым по напряжению режи­мам; только одно из решений соответствует статически устойчивым режи­мам; допустимые по значению напряжений решения являются “бóльшими” решениями. Область существования “бóльшего” решения уравнений установившихся режимов ЭЭС совпадает с областью статической устойчивости ре­жимов.

Важным практическим свойством уравнений установившихся режи­мов ЭЭС Монголии при существующей конфигурации электрической сети, структуре, размещении и мощности генерирующих источников является со­ответствие реальных режимов «бóльшим» решениям их уравнений.

9. Математическая модель установившихся режимов, в которой все генераторы вводятся в расчет значениями Р и U, является более физичной и поэтому более предпочтительной перед моделью, учитывающей генераторы значениями их Р и Q.

10. Показана применимость двух численных критериев оценки осуществимости установившихся режимов при анализе ремонтных, возможных ава­рийных и послеаварийных режимов ЭЭС Монголии. Рассмотренные крите­рии целиком базируются на математическом и программном аппарате рас­смотренных в работе регуляризованных методов и позволяют быстро и эффективно оценить осуществимость исследуемых установившихся режимов при заданных расчетных условиях.

Список цитированной литературы

1. Тарасов В. И. Методы минимизации ньютоновского типа для расчета установившихся режимов ЭЭС. –Новосибирск.: Наука, 2001. –168 с.

2. Тарасов В. И. Нелинейные методы минимизации для расчета установившихся режимов ЭЭС. –Новосибирск. : Наука, 2001. –214 с.

3. Тарасов В. И. Теоретические основы анализа установившихся режимов ЭЭС. –Новосибирск: Наука, 2002. –344 с.

Основные публикации по теме диссертации

Научные статьи, опубликованные по списку ВАК

1. Тарасов В. И. Экспресс-оценка неосуществимости послеаварийных режимов сложных электроэнергетических систем / В. И. Тарасов, Онормаа Цэвэгжав // Вестник ИрГТУ. –Иркутск: ГОУ ВПО ИрГТУ, 2006. –№4 (28). – с. 50–55.

2. Тарасов В. И. О сходимости методов минимизации при решении уравнений установившихся режимов электроэнергетических систем в токовой форме / В. И. Тарасов, Онормаа Цэвэгжав // Вестник ИрГТУ. –Иркутск: ГОУ ВПО ИрГТУ, 2007. –№1 (29). – с. 48.

Энергетика      Постоянная ссылка | Все категории
Мы в соцсетях:




Архивы pandia.ru
Алфавит: АБВГДЕЗИКЛМНОПРСТУФЦЧШЭ Я

Новости и разделы


Авто
История · Термины
Бытовая техника
Климатическая · Кухонная
Бизнес и финансы
Инвестиции · Недвижимость
Все для дома и дачи
Дача, сад, огород · Интерьер · Кулинария
Дети
Беременность · Прочие материалы
Животные и растения
Компьютеры
Интернет · IP-телефония · Webmasters
Красота и здоровье
Народные рецепты
Новости и события
Общество · Политика · Финансы
Образование и науки
Право · Математика · Экономика
Техника и технологии
Авиация · Военное дело · Металлургия
Производство и промышленность
Cвязь · Машиностроение · Транспорт
Страны мира
Азия · Америка · Африка · Европа
Религия и духовные практики
Секты · Сонники
Словари и справочники
Бизнес · БСЕ · Этимологические · Языковые
Строительство и ремонт
Материалы · Ремонт · Сантехника