Связь между математикой и музыкой, между Пифагором и Бахом.
Благодарная память единомышленников сохранила для человечества имя Пифагора – выдающегося математика, творца акустики, основоположника теории музыки, человека высокой нравственности, личности богатой, загадочной. Слова мелодия, ритм родились в Элладе, название слова «гамма» происходит от греческой буквы (гамма). Пифагорический музыкальный старт, определивший на столетия судьбу европейской музыки – это математика. Создание логарифмически равномерной 12-тонной музыкальной школы – итог современной деятельности музыкантов и математиков. В XVIII в. создается музыкальная акустика. После создания точной математической теории струны, поняв, что любой музыкальный инструмент – всего-навсего «физико-акустический прибор», музыку уже не отделить от математики. Математическому анализу подлежат и звук, и тембр, и лад, и гармония. Пифагор создал математическую теорию музыки, слушая, как звучат медные чаши. Каждое настоящее искусство имеет свою теорию, которую можно выразить в терминах математики. Математики, начиная с Пифагора, постоянно проявляют интерес к музыке. Математическая теория музыки явилась вообще первой теорией музыки у греков. первым продемонстрировал достоинства темперированного строя. Бах сочинил 48 прелюдий и фуг во всех возможных тональностях, помещенных в два сборника, которые называются «Хорошо темперированный клавир». (Клавир – старинное название клавесина).
Целые дни юный Пифагор проводил у ног старца Гермодаманта, слушая мелодии кифары, песни Гомера. Страсть к музыке и поэзии великого Гомера Пифагор сохранил на всю жизнь. И, будучи великим мудрецом, окруженным толпой учеников, Пифагор начинал день с пения песен Гомера. Одним из четырех предметов в школе Пифагора была музыка, и Пифагора по праву считают творцом акустики и основоположником теории музыки. Арифметика – учение о количестве, выражаемое числом; музыка – учение, которое рассматривает числа по отношению в звуке; благодаря счастливому союзу, музыка получила прочный математический фундамент гамм и универсальный язык нот. Согласно преданию, сам Пифагор обнаружил, что приятные слуху созвучия – консонансы, т. е. созвучия, получаются лишь в том случае, когда длины струн относятся как целые числа первой четверки, т. е. как 1:2, 2: 3, 3:4. Именно это открытие впервые указывало на существование числовых закономерностей в природе.
Закон целочисленных отношений в консонансах был открыт Пифагором. Два закона легли в основу пифагорейской теории музыки:
З а к о н 1. Две звучащие струны дают консонанс лишь тогда, когда их длины относятся как целые числа, составляющие треугольное число.
10 = 1 + 2 + 3 + 4, т. е. как 1:2, 2:3, 3:4.
З а к о н 2. Четверка чисел 1, 2, 3, 4 – тетраэдр – лежит в основе построения различных музыкальных ладов. Лады состоят из основных ступеней. В основу гаммы пифагорейцы положили интервал октава – восемь. Далее октаву разделили на благозвучные части, и Пифагор обнаружил приятные слуху созвучия: квинта – пятая ступень, кварта – четвертая, октава – восьмая. Основа всей музыки – тетрахора.
По преданию, в античном мире четыре струны настраивались по тетраэдру. Музыкальная гамма до сих пор применяется при настройке музыкальных инструментов. Пифагорейцы не только нашли строгие математические построения музыкальных ладов, но заложили основу учения о каждом ладе. Пифагорейцев интересовал музыкальный строй. И они блестяще справились с задачей построения музыкальных ладов.
До – соль – ре – ля – ми – си – фа – полученные звуки собирались в октаву.
Чтобы научить правильному восприятию, чтобы выработать привычку к соразмерности, Пифагор сделал музыку основой восприятия. Читал из Гомера, перебирал струны, и с помощью музыки сдерживал и исцелял болезни, обращал и приводил душевные страсти в спокойное состояние. Судя по описаниям, это была особая музыка, она не соответствовала привычным представлениям о мелодии. Она строилась на гармоничном сочетании тонов, которые не связывались в определенную тему, но только создавали чистый звуковой фон, способствующий сосредоточению и уверенному течению мысли. Подобную музыку сейчас обозначают термином
new age – нью эйдж. И соединяет она шум моря, голоса птиц, звучание старинных и просто странных инструментов.
Что мы знаем о Греции VI в. до н. э? Какие музыкальные инструменты были у древних греков?
Мудрецы являлись властителями душ в конце VII – начале VI вв. до н. э., именно вера в могущество человеческого разума и одновременно восхищение им определяли духовный климат этой эпохи, которую стали называть «временем семи мудрецов». Называют их родину, имя, изречения: «Мера важнее всего», - говорил Клебул Линдский; «Познай самого себя», - проповедовал в Спарте Хилон; сдерживать гнев увещал Периандр, уроженец Коринфа»; «Лишку ни в чем!», - была поговорка милетинца Питтака; «Кто хочет править спокойно, пусть охраняет себя не копьями, а всеобщей любовью», - говорил Периандр. Соломон Адгинский: «Наслаждение бренно – честь бессмертна», «О мертвых хорошее или ничего».
Музыкальными инструментами древних греков были: флейта, труба, авлос (духовые), лира, кифара (струнные).
Пифагор делил струну на три, четыре, пять равных частей. При этом он получал разные по высоте звуки. Эти звуки он расположил по высоте. А расстояние между нижним и верхним назвали октава, т. е. восемь. Внутри октавы выстроились по порядку 8 звуков – ступенек. Этот ряд звуков – звукоряд – получил название Пифагоров звукоряд. Шло время и в системе Пифагора обнаружили неожиданные изъяны. И музыкант-ученый Веркхмейстер решил немного подправить звукоряд. Чуть повысил одни звуки, понизил другие, получив тем самым темперированный строй. Величайший немецкий композитор сочинил величественный цикл прелюдий и фуг (48). С тех пор, как в музыке начали применять инструменты с закрепленной (струной) высотой каждого звука, т. е. клавишные инструменты (орган, клавесин, клавикорд), где каждой клавише соответствует звук раз навсегда установленной постоянной высоты, встал вопрос о способе настройки этих инструментов.
Еще древнегреческие ученые опытным путем установили, что 2/3 натянутой на монохорде струны, приведенной в колебание, дают звук на чистую квинту выше основного тона, возникающего при колебании всей струны. Квинта – это расстояние между пятью звуками. Именно по чистым квинтам было принято настраивать органы и клавесины. Однако получалось, что, начиная с «до», каждая 12-я квинта не совпадала по звучанию с первоначальным звуком, а была выше (ход по квинтам: до – соль – ре – ля – ми – си – фа – до – соль – ре – ля – ми – си – до и си – это одна и та же клавиша, но в пифагорейском строе она издавала разный звук. Отдельные квинты звучали фальшиво. Их называли «волчьи квинты». Позже, в конце XVII в. – начале XVIII в., была изобретена равномерная темперация. (Темперация означает «приводить в порядок».)
Сущность ее в следующем: установленную разницу в звучании, т. е. 1/9 тона, разделили между 12-ю квинтами, и каждую уменьшили на эту часть тона. Этой разницы ( 1/108 тона) человеческий слух не улавливает. Теперь стало возможным применять при игре на инструментах любые интервальные сочетания, любые тональности.
Как назывался первый музыкальный инструмент Пифагора.
Первым музыкальным инструментом Пифагора был монохорд. Инструмент под названием монохорд в переводе означает «однострун».
Монохорд – один из первых шагов на пути к рождению фортепиано. Ему было суждено сыграть в истории музыки огромную роль. Именно он является предком нынешнего фортепиано.
Как в дальнейшем изменялся монохорд.
Сначала к его единственной струне добавили еще одну, а затем стали натягивать все большее число струн. Позднее играли на нескольких струнах. Появился инструмент цилибалы, на Руси – гусли. В средние века (XIV в.) знали и пользовались органом. Вот и пришла к кому-то в голову замечательная мысль: приспособить клавиатуру к многострунному монохорду. Так появились клавикорд, клавесин, а затем фортепиано.
Что означает буква «и» в имени Пифагора.
Пифагор – это не имя, а прозвище, данное ему за то, что он высказывал истину так же постоянно, как дельфийский оракул. Пифагор значит «убеждающий речью». Этимология связывает наречение с культом Аполлона Пифийского. Вторая буква в имени Пифагора («и» греческое) являет собой графическое изображение выбора двух дорог: пути добродетели и пути порока. Вплоть до средних веков было распространено выражение: «По пифагоровой букве выбирать дорогу», т. е. выбирать достойный путь на пересечении жизненных стезей. Пифагорова буква «и» (греческая) есть в гербе города Саратова.
Какие слова Пифагора нам известны? Какие математические открытия сделал Пифагор?
«Любым способом следует избегать и отсекать огнем, железом, любыми средствами от тела - болезнь, от души – невежество, от желудка – излишество, от города – смуту, от дома – разногласие, от всего в целом – неумеренность», - говорил Пифагор.
С именем Пифагора многое в математике связано, в первую очередь теорема, носящая его имя. Пифагор обосновал многие свойства геометрических фигур. Он и его последователи заложили основы систематических доказательств в геометрии. Они ввели в научный оборот такие понятия, как точка, не имеющая длины и ширины; линия, которая имеет только длину, и фигуры, составленные из таких линий. Громадная заслуга древних греков в развитии науки состоит в том, что они находили причины и выводили из них соответствующие следствия. Каждое утверждение доказывалось посредством логических рассуждений. Доказав какое-либо положение, математик применял его при доказательстве следующего положения или утверждения, а затем переходил к доказательству нового. В Древней Греции сложились основы науки геометрии, в которой каждое утверждение обосновывалось строгим доказательством. Лишь основные понятия – аксиомы были приняты как истины, не требующие доказательств. Такой строго обоснованной науки до этого не было ни у одного народа.
Какая музыка звучала в школе Пифагора? Кто первым употребил слово «космос»?
В результате первой же прочитанной лекции Пифагор приобрел 2000 учеников, которые не вернулись домой, а вместе со своими женами и детьми образовали огромную школу и создали государство, названное «Великая Греция», в основу которого были положены законы и правила Пифагора, почитаемые как божественные заповеди.
Любимое детище великого эллинского мудреца – пифагорейский союз. Это был союз истины, добра и красоты. Обучение в школе Пифагора было двухступенчатым. Одни ученики назывались математиками, т. е. познавателями, а другие – акусматиками, т. е. слушателями. Пифагорейская система знаний состояла из четырех разделов:
1. Арифметика (учение о числах).
2. Геометрия (учение о фигурах и их измерениях).
3. Музыка (учение о гармонии и теории музыки).
4. Астрономия (учение о строении Вселенной).
«Скажи мне, знаменитый Пифагор, сколько учеников посещают твою школу и слушают твои беседы?»
«Вот сколько, - ответил философ. – Половина изучает математику, четверть – музыку, седьмая часть пребывает в молчании и, кроме того, есть еще три женщины».
В школе Пифагора получила свое первоначальное оформление математическая теория музыки.
Не музыкантов готовила школа Пифагора, она готовила людей, которые искали гармонию мира, живущего в тени звезд. Искали в себе человека, искали музыку небесных сфер. Дни и ночи в школе великого грека связывались точными аккордами. «Две есть поры, самые важные для мышления: когда идешь ко сну и когда встаешь ото сна». Утром сонное оцепенение снималось напевами – минутным сочетанием лиры и голоса. Потом ученики совершали прогулки в местах тихих и безлюдных, там, где отбрасывают тени храмы, священные рощи, где пламенное море, шум крыльев, оливковые деревья, тат, где нет ни одной скользящей тени, кроме твоей, потому что не следует встречаться с кем-либо, пока не приведешь в порядок собственную душу и не настроишь разум на соразмерный лад.
После измеренной шагами тишины – занятия.
Гимнастика, бег, борьба.
Изучение разных законодательств, чужеземных и необычных.
Опять прогулка, во время которой новички – с первого по пятый класс, видимо, плелись молча, пиная камешки, а остальные, по совету учителя, беседовали друг с другом, обсуждая только что услышанное. Потом математика, изучение путей звезд и познание летучих секретов души. А вечером огромная школа внимала торжественным песнопениям, примирявшим с мыслью о мироздании.
В свою школу Пифагор принимал тех, кто очистил душу музыкой и тайной гармонией чисел. С Пифагора в математике стал господствовать греческий стиль мышления – это явилось главной причиной ее сегодняшнего расцвета. В важнейшем философском вопросе о природе первоначал Пифагор избрал путь, который из античности вел прямо в современность.
Пифагор назвал звездный мир словом «космос», что на языке его далекой родины означало: порядок, совершенство, прекрасная обустроенность. У пифагорейцев было понятие о числе человека, лошади, собаки. Подобными значками человек стал заниматься недавно – с открытием информатики.
Когда и где родился Пифагор? Кто были его родители?
В VI веке до нашей эры средоточием греческой науки и искусства стала Иония – группа островов Эгейского моря, расположенных у берегов Малой Азии. Там в семье золотых дел мастера, резчика печатей и гравера Мнесарха родился сын. По преданию, однажды Мнесарх со своей женой Парфенисой приплыл в неурожайный год на остров Самос в 576 г. до н. э. по своим торговым делам. Там на острове и родился его сын Пифагор, которого отец часто брал с собой в деловые поездки. Благодаря им у мальчика развились любознательность и желание познать новое. Мнесарх дал сыну хорошее воспитание и образование. Как всякий отец, он мечтал, что сын будет продолжать его дело – ремесло золотых дел мастера. Жизнь рассудила иначе. Будущий великий математик и философ уже в детстве обнаружил большие способности к наукам. У своего первого учителя Гермодамаса Пифагор получает знания основ музыки и живописи. Для упражнения памяти Гермодамас заставлял его учить песни из «Одиссеи» и «Илиады». Первый учитель прививал юному Пифагору любовь к природе и ее тайнам.
Прожил Пифагор 80 лет. Умер в 496 г. до н. э.
Пифагор – философ.
Пифагор был первым, кто назвал свои рассуждения о смысле жизни философией (любомудрием). Пифагор был «выдающимся философом», т. е. учителем мудрости. «Ум сам по себе все видит и все слышит, прочее же слепо и глухо!». Не перечислить всего, чему учили в школе Пифагора, а учили там хорошо. Правители и народы доверяли свои государства ее выпускникам. Человечество на протяжении своей истории вновь открывает те идеи, которые пифагорейцы обсуждали еще два с половиной тысячелетия назад. Сам Пифагор не был особенно озабочен тем, как прославить и увековечить свое учение. Он создавал не только учение, но и творил образ жизни, при котором оно могло быть правильно воспринято.
Как понимать слова «Все есть число»?
Пифагор создал самую яркую и самую современную «религию»: воспитал в человечестве веру в могущество разума, уверенность в том, что ключом к тайнам мировоззрения является математика. Музыка для Пифагора стала даже не средством вдохновения, а предметом научных изысканий, и именно в музыке Пифагор нашел прямое доказательство своему знаменитому тезису: «Все есть число». 2500 лет назад Пифагор направил людей по пути торжества Разума.
Весь мир, утверждал Пифагор, есть распределенная по числам гармония. А числа эти образуют соотношения, что и интервалы между различными ступенями гаммы. Названиями интервалов в музыке служат латинские числительные, которые указывают порядковый номер ступени: октава – 8 , квинта – 5, кварта – 4 и т. д.
Издавна числа казались людям чем-то таинственным. Любой предмет можно было увидеть и потрогать. Число потрогать нельзя и, вместе с тем, числа реально существуют, поскольку все предметы можно посчитать... Эта странность заставила людей приписывать числам сверхъестественные свойства. Основателем мистического учения о числах стал знаменитый древнегреческий философ VI в. до н. э. Пифагор. Он и его последователи считали, что все в природе измеряется, все подчиняется числу, и познать мир – это значит познать управляющие им числа. Пифагорейцы разбили числа на четные и нечетные. Четные числа считались мужскими, нечетные – женскими. Одни числа считались счастливыми, несущими добро и радость, другие – несчастливыми, несущими зло и горе. От Пифагора и его последователей и пошли всякие суеверия, связанные с числами.
Пифагор: Легенда или быль?
Пифагору повезло больше, чем другим ученым древности. О нем сохранились десятки легенд и мифов, правдивых и выдуманных, реальных и вымышленных. Пифагор не только самый популярный ученый за всю историю человечества, но и самая загадочная личность, человек – символ и человек – фантом, философ и пророк. Основоположник дедуктивного научного знания – математики и родоначальник многих мистических знаний, учредитель религиозно-эпического братства и создатель научно-философской школы, ставшей воистину союзом Истины, Добра и Красоты. Пифагор – Учитель, повел за собой других, провозгласил учения, которые просуществовали тысячелетия и во многом определили будущую историю цивилизации. Математика Пифагора – неизвестная нам наука. Современная математика заняла бы в ней не больше одного раздела. Пифагор превратил математику в дедуктивную науку: ввел доказательство. Практическая геометрия, опиравшаяся ранее только на наблюдения и опыт, трудами древних греков получила строгие научные обоснования – доказательство каждого высказанного положения. Сами греки связывали рождение геометрии как науки с деятельностью Пифагора.
Особенно много суеверий связано с числом 3. Те, кто считает его счастливым, говорят: «Бог любит троицу». Другие, напротив, считают его несчастливым. Отсюда и ругательное слово «треклятый». Число 3 играло важную роль в магических обрядах. В сказках судьба испытывает героя трижды. В русских сказках у царя обычно три сына, есть и немецкая сказка «Три брата», японская – «Три сокровища» и другие.
Число 9 – утроенный вариант тройки. Во многих преданиях говорится о девяти музах. У многих народов 9 – символ опасности, отсюда идет выражение «девятый вал». Многие сказки начинаются со слов «за тридевять земель»? Утроенная девятка сулила большие приключения...
Другое «волшебное» число – 7: семь чудес света; семь дней недели; семь цветов радуги. Герои сказок надевают семимильные сапоги и сражаются с драконами о семи головах. Число 7 чаще других встречается в поговорках и пословицах: «Семь раз отмерь, один раз отрежь»; «Семеро одного не ждут»; Семь бед – один ответ»; «Семь пятниц на неделе»...
О «чертовой дюжине» слышали все. Это число 13. Его считают несчастливым. Все, кроме итальянцев. У них это число счастливое.
Есть еще одно очень «несчастливое» число – 41. Считается, что это число несет смерть. Зато число 40 – счастливое. По поверьям, убить паука – значит избавиться от 40 грехов. Число 40 играло большую роль в русской метрологии. Пуд содержал 40 фунтов, бочка – сорок ведер.
Особенно зловещим считали число 666. В Библии его называют «числом зверя». Под ним якобы скрывается освободившийся из заключения дракон.
С числами было связано много предсказаний. У древних евреев была даже наука – кабалистика. С помощью числовых гаданий они пытались узнать грядущую судьбу.
Пресс-конференция «ПИФАГОР И МУЗЫКА».
Цели: формирование познавательного интереса учащихся как определяющий
фактор в самореализации учащихся;
воспитание любви и уважения к своей национальной, современной
периодической литературе.
Технология: коммуникативных отношений (диалога).
Ход конференции.
Оформление: портрет Пифагора, портрет Баха, плакат «Музыкальные интервалы», герб города Саратова, фото ракеты «Вояджер», теорема Пифагора, рисунок треугольного числа, модели объемных геометрических тел.
Эпиграф: «О, сколько нам открытий чудных
Готовит просвещенья дух?
И опыт – сын ошибок трудных,
И гений – парадоксов друг»?
1. (Звучат фуги Баха). Вступительное слово учителя:
Сейчас вы слышали музыку, которую написал немецкий композитор , живший в 18 веке. Именно он развил основу музыкальной грамоты Пифагора – великого математика-философа, жившего в VI веке до н. э.
Пифагор создал математическую теорию музыки, слушая, как звучат медные чаши. Каждое настоящее искусство имеет свою теорию, которую можно выразить в терминах математики. Математическая теория музыки явилась вообще первой теорией музыки у греков. А первым продемонстрировал достоинства темперированного строя.
Особый вклад в признание величия Баха находится в космосе, в тысячах миль от Земли. В 1977 г. (30 лет назад) был запущен космический корабль Вояджер, на борту которого находится золотой диск с музыкой Баха, готовый зазвучать, если этот корабль встретит жизнь на других планетах. И первыми звуками, представляющими наше человечество другим внеземным цивилизациям, будет «Бранденбургский концерт №2».
А 4 октября отмечалось 50 – летие запуска первого космического корабля (1957 г.), первого искусственного спутника Земли.
Ребята, сегодня мы с вами проводим пресс-конференцию, которая называется «Пифагор и музыка», в ходе которой вы познакомитесь с величайшим ученым – математиком, философом, творцом акустики, основоположником теории музыки, человеком высокой нравственности, личности интересной и загадочной. Я говорю о Пифагоре.
Прежде, чем начать нашу конференцию, я хотела бы сказать о том, что ранее у нас проходил конкурс на изготовление моделей многогранников, и лучшие работы вы сейчас можете видеть на выставке.
Среди представленных тел найдите тетраэдр.
В нашей конференции принимают участие – герои нашей программы – команда знатоков – учащиеся 9 «А» класса (перечислить их имена, они сидят за столами лицом к залу, в мантиях и шляпах мудрецов) и корреспонденты различных широко известных в области математики, информатики и физики газет и журналов, - учащиеся 6 «Б» класса (перечислить их имена).
Итак, начнем.
2. Пресс-конференция.
1) Корреспондент журнала «Математика в школе», Новикова Маргарита, ученица 6»Б» класса. Вопрос:
«Какая связь между математикой и музыкой? Между Пифагором и Бахом?»
Ответ: Чеснакова Екатерина и Енина Ракель.
2) Корреспондент газеты «Первое сентября», Лукашенко Наталья, ученица 6 «Б» класса. Вопрос:
«Когда и где родился Пифагор? Кто были его родители?»
Ответ: Данишина Мария.
3) Журнал «Знание – сила», собственный корреспондент Короваев Александр, ученик 6 «Б» класса. Вопрос:
«Что мы знаем о Греции VI в. до н. э.? Какие музыкальные инструменты были у древних греков?»
Ответ: Суровцева Марина.
4) Корреспондент журнала «Образование», Овсянникова Анастасия, ученица 6 «Б» класса. Вопрос:
«Что означает вторая буква «и» в имени Пифагор?»
Ответ: Борисова Наталья (показывает герб Саратова).
5) Газета «Учитель», собственный корреспондент Трушин Артем, ученик 6 «Б» класса. Вопрос: «Как назывался первый музыкальный инструмент Пифагора?»
Ответ: Борисова Наталья.
6) Корреспондент журнала «Техника молодежи» Баринова Мария, ученица 9 «А» класса. Вопрос:
«Как в дальнейшем изменялся монохорд?»
Ответ: Борисова Наталья.
7) Корреспондент журнала «Квант», Ткаченко Александр, ученик 9 «А» класса. Вопрос:
«Какие слова Пифагора нам известны? Какие математические открытия сделал Пифагор?»
Ответ: Сальхина Наталья.
8) «Соросовский образовательный журнал», корреспондент Максимова Дарья, ученица 9 «А» класса. Вопрос:
«Расскажите о Пифагоре – философе».
Ответ: Сальхина Наталья.
9) Корреспондент журнала «Наука и жизнь», Аникин Алексей, ученик 9 «А» класса. Вопрос:
«Как понимать слова «Все есть число»?»
Ответ: Бурмистров Григорий.
10) Корреспондент журнала «Открытый урок», Кондратьева Яна, ученица 9 «А» класса. Вопрос:
«Какая музыка звучала в школе Пифагора? Кто первым употребил слово «космос»?»
Ответ: Антонов Дмитрий.
11) Собственный корреспондент журнала «Древо познания», Бородин Сергей, ученик 9 «А» класса. Вопрос:
«Пифагор: легенда или быль?»
Ответ: Данишина Мария.
