Контент-платформа Pandia.ru:     2 872 000 материалов , 128 197 пользователей.     Регистрация


Визуализация распределений собственных значений и собственных форм колебаний термовязкоупругих тел

 просмотров


ВИЗУАЛИЗАЦИЯ РАСПРЕДЕЛЕНИЙ

СОБСТВЕННЫХ ЗНАЧЕНИЙ И СОБСТВЕННЫХ

ФОРМ КОЛЕБАНИЙ ТЕРМОВЯЗКОУПРУГИХ ТЕЛ

Ковалев В. А., Лычев С. А.

Московский городской университет управления Правительства Москвы, г. Москва

e-mail: *****@***ru, *****@***ru

При моделировании пространственного деформирования термовязкоупругих систем эффективно используются методы спектральных разложений, которые при численной реализации требуют решения ряда специальных проблем, в частности определения спектра и его кратности, а также вычисления соответствующих собственных функций. Визуализация этих компонентов позволяет обнаружить оригинальные методы вычислений и получить общую картину как математической структуры порождаемых задачей операторов, так и механического поведения исследуемых систем. В настоящей работе рассмотрены некоторые частные задачи и соответствующие визуализации.

Подпись: Рис. 1. Спектральные траектории для трехслойной сферической оболочки.ShellSpectralTraectory1.png"При исследовании распределений частот собственных колебаний трехслойной упругой сферической оболочки были обнаружены кратные собственные значения, то есть такие, которым соответствовали две или более собственных форм. Кратные точки спектра появлялись при частных соотношениях физико-геометрических параметров, в связи с чем был поставлен вопрос о том, является ли подобная ситуация “исключительным частным случаем” или она типична для тел с усложненной кинематикой движения. Для исследования этого вопроса была произведена серия вычислений собственных значений в зависимости от отношения толщины оболочки к радиусу кривизны нейтральной поверхности, причем шаг приращения безразмерного параметра был выбран достаточно малым. Результаты, так называемые спектральные траектории, представлены в графической форме на рис. 1. Здесь на горизонтальной оси указаны значения параметра - относительной толщины, а пересечения спектральных кривых с прямой, параллельной вертикальной оси, определяют собственные значения для соответствующего значения параметра. Важно отметить, что спектральные кривые пересекаются, причем в области средних и высоких частот подобные пересечения весьма часты. Это указывает на то, что при исследовании динамической реакции трехслойных оболочек при импульсных и высокочастотных воздействиях необходимо учитывать возможность появления кратных собственных значений и реализовывать соответствующие вычислительные алгоритмы.

Дальнейшие исследования кратных собственных значений показали, что при изменении условий закрепления, а именно при переходе от идеальных закреплений к упругим, пересечения спектральных траекторий распадаются на “ступеньки” (рис 2.), а спектральные траектории сближаются без пересечений.

Подобные сближения были названы квазикратными собственными значениями и потребовали разработки специальных алгоритмов для их анализа.

ShellSpectralTraectory2.png"Подпись: Рис. 2. Квазикратные собственные значения.Вязкоупругие среды предполагают диссипацию механической энергии. Соответствующие дифференциальные операторы оказываются несамосопряженными, а их собственные значения комплексными. Одна из модельных задач такого типа – задача об изгибе вращающегося вязкоупругого стержня. Распределение собственных значений соответствующего дифференциального оператора может быть изображено на комплексной плоскости (рис 3.) Отметим, что имеются три точки сгущения собственных значений, а именно бесконечно удаленная точка и две точки, расположенные симметрично относительно действительной оси. Это хорошо видно на рис. 3.

Подпись: Рис. 3. Квазикратные собственные значения.H:\experement\BeamEigenValuesDistribution.pngЕсли непрерывно изменять некоторый параметр рассматриваемой задачи, например, модуль вязкости материала стержня, то собственные значения будут перемещаться на комплексной плоскости, прочерчивая спектральные траектории (рис. 4). Отметим, что при нулевом значении параметра собственные значения становятся чисто мнимыми (упругая задача), а при некоторых значениях действительная часть оказывается положительной. Последнее соответствует хорошо известному свойству неустойчивости линейно вязких систем при особых соотношениях вязкоупругих характеристик.

Подпись: Рис. 4. Спектральные траектории вращающегося вязкоупругого стержня.EigenValuesDistribution.png"BeamEigenValueTraectory.png"Связанные термоупругие среды представляют еще один класс диссипативных систем, порождающих несамосопряженные операторы. Собственные значения этих операторов могут быть разделены на три класса. Первому классу принадлежат собственные значения, расположенные на отрицательной части действительной оси. Их условно можно назвать “тепловыми” (по аналогии с несвязанной задачей теплопроводности). Второму классу принадлежат собственные значения, расположенные на мнимой оси. Они соответствуют чисто механическим собственным колебаниям без изменения объема (сдвигам). Третий класс содержит собственные значения, мнимые и действительные части которых отличны от нуля. Этим собственным значениям соответствуют связанные термоупругие собственные формы. В силу малых значений параметров связанности действительные части собственных значений существенно меньше. Все это иллюстрируется пространственным графиком левой части спектрального уравнения, представленного в линиях уровня на рис.5. Области сгущения изолиний соответствуют собственным значениям.

Подпись:Визуализация собственных форм позволяет получить геометрическую интерпретацию собственных подпространств, соответствующих кратным собственным значениям. На рис 6 показаны две собственные формы осесимметричных колебаний трехслойной сферической оболочки, соответствующие квазикратным и двукратному собственным значениям. В кратном случае собственное подпространство двумерно и его базисные функции иллюстрируются двумя кривыми в фазовом пространстве (рис. 6).

Подпись: Рис. 6. Кратные собственные формы колебаний трехслойной сферической оболочки.Подпись:ВнутренниеВизуализация собственных форм позволяет осуществить их классификацию по характеру деформирования. На рис. 7 показаны действительные части собственных форм колебаний термоупругого цилиндра, принадлежащие следующим классам: пропорциональному (a), дилатационному (b), крутильному (c) и изгибному (d).

Мы в соцсетях:


Подпишитесь на рассылку:
Посмотрите по Вашей теме:

Проекты по теме:

Основные порталы, построенные редакторами

Бизнес и финансы

Бизнес: • БанкиБогатство и благосостояниеКоррупция(Преступность)МаркетингМенеджментИнвестицииЦенные бумагиНедвижимость(Аренда)ПрофессииРаботаТорговляУслугиФинансыБюджетФинансовые услугиКредитыКомпанииЭкономикаМакроэкономикаМикроэкономикаНалоги
Промышленность: • МеталлургияНефтьСельское хозяйствоЭнергетика
СтроительствоАрхитектураИнтерьерПолы и перекрытияПроцесс строительстваСтроительные материалыТеплоизоляцияЭкстерьер

Домашний очаг

ДомДачаСадоводствоДетиАктивность ребенкаИгрыКрасотаЖенщины(Беременность)СемьяХобби
Здоровье: АнатомияБолезниВредные привычкиДиагностикаНародная медицинаПервая помощьПитаниеФармацевтика

Мир

Регионы: АзияАмерикаАфрикаЕвропаПрибалтикаЕвропейская политикаОкеанияГорода мира
Россия: • МоскваКавказЭкономикаРегионы РоссииПрограммы регионов
История: СССРИстория РоссииРоссийская ИмперияВремя2016 год
Окружающий мир: Животные • (Домашние животные) • НасекомыеРастенияПриродаКатаклизмыКосмосКлиматСтихийные бедствия

Образование и наука

Наука: Контрольные работыНаучно-технический прогрессПедагогикаРабочие программыФакультетыМетодические рекомендацииШкола
Предметы: БиологияГеографияГеологияИсторияЛитератураЛитературные жанрыЛитературные героиМатематикаМедицинаМузыкаПравоЖилищное правоЗемельное правоУголовное правоКодексыПсихология (Логика) • Русский языкСоциологияФизикаФилологияФилософияХимияЮриспруденция

Общество

БезопасностьГражданские права и свободыИскусство(Музыка)Культура(Этика)Мировые именаПолитика(Геополитика)(Идеологические конфликты)ВластьЗаговоры и переворотыГражданская позицияМиграцияРелигии и верования(Конфессии)ХристианствоМифологияРазвлеченияМасс МедиаСпорт (Боевые искусства)ТранспортТуризм
Войны и конфликты: АрмияВоенная техникаЗвания и награды

Справочная информация

ДокументыЗаконыИзвещенияУтверждения документовДоговораЗапросы предложенийТехнические заданияПланы развитияДокументоведениеАналитикаМероприятияКонкурсыИтогиАдминистрации городовМуниципалитетыМуниципальные районыМуниципальные образованияМуниципальные программыБюджетные организацииОтчетыПоложенияПостановленияРегламентыТермины(Научная терминология)

Техника

АвиацияАвтоВычислительная техникаОборудование(Электрооборудование)РадиоТехнологии(Аудио-видео)(Компьютеры)

Каталог авторов (частные аккаунты)

Авто

АвтосервисАвтозапчастиТовары для автоАвтотехцентрыАвтоаксессуарыавтозапчасти для иномарокКузовной ремонтАвторемонт и техобслуживаниеРемонт ходовой части автомобиляАвтохимиямаслатехцентрыРемонт бензиновых двигателейремонт автоэлектрикиремонт АКППШиномонтаж

Бизнес

Автоматизация бизнес-процессовИнтернет-магазиныСтроительствоТелефонная связьОптовые компании

Досуг

ДосугРазвлеченияТворчествоОбщественное питаниеРестораныБарыКафеКофейниНочные клубыЛитература

Технологии

Автоматизация производственных процессовИнтернетИнтернет-провайдерыСвязьИнформационные технологииIT-компанииWEB-студииПродвижение web-сайтовПродажа программного обеспеченияКоммутационное оборудованиеIP-телефония

Инфраструктура

ГородВластьАдминистрации районовСудыКоммунальные услугиПодростковые клубыОбщественные организацииГородские информационные сайты

Наука

ПедагогикаОбразованиеШколыОбучениеУчителя

Товары

Торговые компанииТоргово-сервисные компанииМобильные телефоныАксессуары к мобильным телефонамНавигационное оборудование

Услуги

Бытовые услугиТелекоммуникационные компанииДоставка готовых блюдОрганизация и проведение праздниковРемонт мобильных устройствАтелье швейныеХимчистки одеждыСервисные центрыФотоуслугиПраздничные агентства