Математическая игра «Домино»

 просмотров

Математическая игра «Домино». 8-9 класс. Решения. Январь 2013 года

0–0. Хромой король может ходить на любую соседнюю по стороне или углу клетку доски, кроме верхней и нижней (т. е. не более 6 возможных ходов с каждой клетки). Какое наибольшее количество ходов может сделать хромой король на доске 9×9, не повторяя клеток? (Начальное положение короля – произвольная клетка.) (72 хода. Раскрасим вертикали в шахматном порядке. Тогда хромой король будет своими ходами чередовать цвета клеток. Но чёрных клеток всего 36, поэтому хромой король сделает не более 36 ходов на чёрные клетки, а, значит, и не более 36 ходов на белые клетки. Пример на 72 хода строится естественным образом, начиная, например, с угловой белой клетки.)

0–1. Какое число нужно вычесть из числителя дроби и прибавить к знаменателю, чтобы после сокращения получить ? (443. Сумма числителя и знаменателя не изменится, если из одного из них вычесть, а ко второму прибавить одно и то же число. Поскольку эта сумма равна 1000, то дробь перед сокращением должна быть равна , а чтобы её получить, надо отнять и, соответственно, прибавить число 543–100=443.)

0–2. Решите числовой ребус: . (Одинаковыми буквами обозначены одинаковые цифры, разными буквами – разные цифры.) (2222-999+11-0=1234. Единственность этого решения несложно доказать перебором.)

0–3. Какое наибольшее число полосок 1×5 можно вырезать по линиям сетки из клетчатого квадрата 8×8? Приведите ответ и пример. (Из оценки на площадь [64:5]=12 следует, что всего не более 12 полосок, которые можно поставить методом «пропеллера».)

0–4. Найдите наименьшее четырёхзначное натуральное число из различных цифр, делящееся на любую свою цифру. (1236, первые три цифры получаем очевидным образом, как наименьшие (0 использовать нельзя), последняя цифра получается в силу делимости на 2 и 3)

0–5. Отметьте 16 клеток шахматной доски так, чтобы не нашлось ни одного остроугольного треугольника с вершинами в центрах отмеченных клеток. (Можно взять любые два соседних ряда доски – см. рис.)

0–6. При каком наименьшем n среди вершин правильного n-угольника найдутся вершины, образующие правильные трёх-, четырёх, пяти - и шестиугольник? (60=НОК(3, 4, 5, 6))

1–1. Найдите все четырёхзначные натуральные числа, кратные 5, которые при делении на 11 дают двузначное нечётное число. (1045. Частное должно оказаться нечётным числом, кратным 5, значит, оно заканчивается на 5. Если оно не превосходит 85, то делимое не больше, чем 85×11 = 935, а оно должно быть четырёхзначным. Значит, подходит только 1045:11=95.)

1–2. Когда Гулливер попал в Лилипутию, он обнаружил, что там все вещи ровно в 12 раз короче, чем на его родине. Сколько лилипутских спичечных коробков поместится в спичечный коробок Гулливера? (В гулливерском спичечном коробке должно помещаться 12 лилипутских коробков в ширину, 12 – в длину и 12 – в высоту, т. е. всего 12∙12∙12=1728 коробков.)

1–3. Сколькими способами можно поставить в соседние клетки шахматной доски одного чернопольного слона и одного белопольного слона? (112 способов. Эти 2 разнопольных слона образуют доминошку, а каждая доминошка определяется перегородкой между этими клетками. Всего на доске 2×8×7=112 перегородок.)

1–4. При каком наименьшем N среди любых N натуральных чисел всегда найдутся два, разность которых делится на 5? (6. Разобьём множество натуральных чисел на 5 классов: к первому классу отнесём все числа, которые при делении на 5 дают остаток 0, ко второму классу – остаток 1, к третьему классу - остаток 2, к четвертому классу – остаток 3, к пятому – остаток 4. Тогда разность двух чисел, принадлежащих разным классам, на 5 не делится. Если же взять шесть чисел, то среди них обязательно найдутся два числа, имеющие равный остаток, и разность этих чисел делится на 5.)

1–5. Дан параллелограмм ABCD. В треугольнике АВС отметили точку М пересечения медиан. Найдите отношение ВМ:МD. (1:2, т. к. М делит отрезок ВО в отношении 2:1, а ВО=ОD, где О – точка пересечения диагоналей параллелограмма)

1–6. В автобусе ехало меньше 100 человек, причём число сидящих пассажиров было вдвое больше числа стоящих. На остановке 4% пассажиров вышли. Сколько пассажиров осталось в автобусе? (72 пассажира. Т. к. число сидящих пассажиров было вдвое больше числа стоящих, то общее количество пассажиров кратно 3. На остановке 4% пассажиров вышли, значит, количество вышедших составляет одну двадцать пятую от общего количества пассажиров, а общее количество пассажиров кратно 25. Чисел, меньших 100 и кратных 25, всего три: 25, 50 и 75. Среди них только 75 делится на 3. Поэтому было 75 пассажиров, трое вышли, а осталось 72.)

2–2. Найдите наименьшее чётное натуральное число из 10 различных цифр. ()

2–3. Окружность, касающаяся гипотенузы прямоугольного треугольника и продолжений его катетов, имеет радиус R. Чему может быть равен периметр треугольника? (2R. Рассмотрим прямоугольный треугольник АВС, в котором угол С – прямой, и окружность, указанную в условии (её называют вневписанной). Соединим О – центр окружности с точками K и N её касания с прямыми АС и ВС соответственно; M – точка касания окружности с гипотенузой АВ. Т. к. ÐC=90°, (OK)^(AC), (ON)^(BC) и OK = ON = R, то CKON – квадрат со стороной R. Используя свойство касательных, проведённых к окружности из одной точки, получим, что AK=AM и BN=BM. Тогда, PDABC=AC+BC+AB=AC+AM+BC+BM=(AC+AK)+(BC+BN)=CK+CN=2R.)

2–4. Какие значения может принимать периметр десятиклеточного многоугольника на клетчатой плоскости (сторона клеток равна 1)? (14, 16, 18, 20 и 22)

2–5. В книгах новгородских писцов XV в. упоминаются такие меры жидкостей: бочка, насадка и ведро. Из этих же книг стало известно, что одна бочка и 20 вёдер кваса уравниваются с тремя бочками кваса, а 19 бочек, одна насадка и 15,5 ведра уравниваются с 20 бочками и 8 вёдрами. Определите на основании этих данных, сколько насадок содержится в бочке. (В одной бочке содержится 4 насадки. Пусть ёмкости бочки, насадки и ведра равны соответственно x, y, z. Тогда Из этой системы находим, что x=4y.)

2–6. В прямоугольном зале в 10 рядах по 10 кресел в каждом сидят 100 чиновников, получающих разные зарплаты. Чиновник считает себя высокооплачиваемым, если, опросив всех соседей (справа, слева, спереди, сзади и по диагоналям), он убеждается, что зарплату больше его получает не более чем один из соседей. Какое наибольшее число чиновников могут считать себя высокооплачиваемыми? (50, в качестве примера подойдёт таблица 10´10 с числами от 1 до 100, когда чередуются столбцы с маленькими (от 1 до 50) и столбцы с большими числами (от 51 до 100), при этом в каждом столбце числа идут в возрастающем порядке. Тогда высокооплачиваемыми будут считать себя чиновники с зарплатами от 51 до 100. Разобьём квадрат 10´10 на 25 квадратиков 2´2. Ни в одном из них не может быть более двух высокооплачиваемых чиновников, т. к. третий по величине зарплат в каждой такой четвёрке уже не сможет считать себя высокооплачиваемым.)

3–3. Разрежьте квадрат на шесть тупоугольных треугольников.

3–4. Сколько решений имеет ребус: Ц > Ы > П > Л > Ё > Н > О > К? (Разные буквы обозначают разные цифры.) (45 решений. Если бы ребус состоял из 10 букв, он имел бы единственное решение. Чтобы получить решение ребуса, надо убрать два числа из цепочки цифр от 9 до 0 по убыванию. Это можно сделать способами.)

3–5. Какое наибольшее количество различных простых чисел можно выписать в ряд так, чтобы сумма любых четырёх подряд идущих чисел также оказалась простым числом? Приведите ответ и пример. (7 чисел. Сумма четырёх простых чисел будет не меньше 8, значит, чтобы оказаться простой, она обязана быть нечётной, т. е. не может состоять только из четырёх нечётных простых чисел, тогда она содержит 2. Но двойка может быть только одна, следовательно, в ряду не более 7 чисел, при этом двойка должна стоять на четвёртом месте. В качестве примера подойдёт последовательность 7, 5, 3, 2, 13, 11, 17, где соответствующие суммы по 4 подряд идущих числа равны 17, 23, 29, 43.)

36. На шахматной доске расставлены n фишек так, что в любом квадрате 3´3 находятся ровно 3 фишки. При каком наименьшем n это возможно? Приведите ответ и пример. (16 – см. пример, 16 чёрных клеток – это 16 фишек. Предположим, что фишек не более 15. Выделим на доске 4 угловых квадрата 3´3 (в каждом из них по 3 фишки) и 4 прямоугольника 2´3 между этими квадратами (в них в сумме 3 фишки). Тогда по принципу Дирихле один из этих прямоугольников окажется пустым (с точностью до симметрии пусть это будет средний верхний прямоугольник 2´3). Вместе с тремя клетками соседних квадратов он будет образовывать свои квадраты 3´3, значит, обе эти тройки заполнены фишками так, как показано на рисунке. Тогда в примыкающих к верхним угловым квадратам 3´3 средние боковые прямоугольники 2´3 должны содержать ровно по 2 фишки. Всего фишек уже не менее 4×3+2×2=16 – противоречие. Значит, фишек на доске не меньше 16.)

4–4. Три брата вернулись с рыбалки. Мама спросила у каждого, сколько они вместе поймали рыб. Вася сказал: “Больше десяти”, Петя: “Больше восемнадцати”, Коля: “Больше пятнадцати”. Сколько могло быть поймано рыб, если известно, что два брата сказали правду, а один – неправду? (16, 17 или 18. Если братья поймали больше 18 рыб, то все они сказали правду. Если братья поймали не больше 15 рыб, то Петя и Коля соврали. В обоих случаях получаем противоречие с условием задачи. Если же братья поймали больше 15, но не больше 18 рыб, Вася и Коля сказали правду, а Петя – неправду, что соответствует условию задачи.)

4–5. В треугольнике АВС: ÐA=15°, ÐB=30°. Через точку С проведён перпендикуляр к АС, который пересекает сторону АВ в точке М. Найдите ВС, если АМ=5. (2,5. Проведём СK – медиану прямоугольного треугольника САМ (см. рис.). Так как ÐСKВ – внешний для равнобедренного треугольника АСK, то ÐСKВ=30°=ÐСВK. То есть СВ=СK=0,5AM=2,5.)

4–6. Какое наименьшее количество факториалов можно вычеркнуть из произведения 1!·2!·3!·...·2011!·2012! так, чтобы оставшееся произведение было точным квадратом? Приведите ответ и пример. (напоминаем, что n!= 1·2·3·. . .·n) (1 факториал – 1006!. Поскольку (2k−1)!·(2k)!=((2k−1)!)2·2k для любого натурального k, то наше произведение равно (1!·3!·5!·...·2009!·2011!×2503)2·1006!, при этом число 1006! не является точным квадратом, т. к. в его разложении на простые множители простое число 997 встретится только 1 раз.)

5–5. При каком наибольшем n на шахматной доске можно расставить несколько ферзей так, чтобы каждый бил не менее n других? Приведите ответ и пример. (n=4. См. рис. Рассмотрим самую верхнюю строку, на которой стоят ферзи, и выберем на ней самого правого ферзя. Он не может бить никого по четырём из восьми возможных направлений (вверх, вправо, вправо-вверх, влево-вверх). Значит, n≤4.)

5–6. 15 волейбольных команд разыграли турнир в один круг, причём каждая команда одержала ровно 7 побед. Сколько в этом турнире таких троек команд, которые во встречах между собой имеют по одной победе? (140 троек команд. Рассмотрим любую команду А, остальные команды делятся на 2 группы - 7, проигравших ей, и 7, выигравших у неё. Соответственно в 7×6/2=21 матчах между проигравшими А учтена 21 из 7×7=49 побед этих команд. Значит, 49-21=28 матчей они выиграли у команд из второй группы. Значит, команда А входит в 28 нужных нам троек. Тогда всего 15×28/3=140 троек, т. к. каждая тройка подсчитана 3 раза.)

6–6. Найдите сумму цифр, числа равного сумме . (7380. , значит, нужная нам сумма цифр равна 11×669+7+2+7+3+2=7380)



Мы в соцсетях:


Подпишитесь на рассылку:


Вычисление
это получение из входных данных нового знания

Домино

Проекты по теме:

Основные порталы, построенные редакторами

Домашний очаг

ДомДачаСадоводствоДетиАктивность ребенкаИгрыКрасотаЖенщины(Беременность)СемьяХобби
Здоровье: • АнатомияБолезниВредные привычкиДиагностикаНародная медицинаПервая помощьПитаниеФармацевтика
История: СССРИстория РоссииРоссийская Империя
Окружающий мир: Животный мирДомашние животныеНасекомыеРастенияПриродаКатаклизмыКосмосКлиматСтихийные бедствия

Справочная информация

ДокументыЗаконыИзвещенияУтверждения документовДоговораЗапросы предложенийТехнические заданияПланы развитияДокументоведениеАналитикаМероприятияКонкурсыИтогиАдминистрации городовПриказыКонтрактыВыполнение работПротоколы рассмотрения заявокАукционыПроектыПротоколыБюджетные организации
МуниципалитетыРайоныОбразованияПрограммы
Отчеты: • по упоминаниямДокументная базаЦенные бумаги
Положения: • Финансовые документы
Постановления: • Рубрикатор по темамФинансыгорода Российской Федерациирегионыпо точным датам
Регламенты
Термины: • Научная терминологияФинансоваяЭкономическая
Время: • Даты2015 год2016 год
Документы в финансовой сферев инвестиционнойФинансовые документы - программы

Техника

АвиацияАвтоВычислительная техникаОборудование(Электрооборудование)РадиоТехнологии(Аудио-видео)(Компьютеры)

Общество

БезопасностьГражданские права и свободыИскусство(Музыка)Культура(Этика)Мировые именаПолитика(Геополитика)(Идеологические конфликты)ВластьЗаговоры и переворотыГражданская позицияМиграцияРелигии и верования(Конфессии)ХристианствоМифологияРазвлеченияМасс МедиаСпорт (Боевые искусства)ТранспортТуризм
Войны и конфликты: АрмияВоенная техникаЗвания и награды

Образование и наука

Наука: Контрольные работыНаучно-технический прогрессПедагогикаРабочие программыФакультетыМетодические рекомендацииШколаПрофессиональное образованиеМотивация учащихся
Предметы: БиологияГеографияГеологияИсторияЛитератураЛитературные жанрыЛитературные героиМатематикаМедицинаМузыкаПравоЖилищное правоЗемельное правоУголовное правоКодексыПсихология (Логика) • Русский языкСоциологияФизикаФилологияФилософияХимияЮриспруденция

Мир

Регионы: АзияАмерикаАфрикаЕвропаПрибалтикаЕвропейская политикаОкеанияГорода мира
Россия: • МоскваКавказ
Регионы РоссииПрограммы регионовЭкономика

Бизнес и финансы

Бизнес: • БанкиБогатство и благосостояниеКоррупция(Преступность)МаркетингМенеджментИнвестицииЦенные бумаги: • УправлениеОткрытые акционерные обществаПроектыДокументыЦенные бумаги - контрольЦенные бумаги - оценкиОблигацииДолгиВалютаНедвижимость(Аренда)ПрофессииРаботаТорговляУслугиФинансыСтрахованиеБюджетФинансовые услугиКредитыКомпанииГосударственные предприятияЭкономикаМакроэкономикаМикроэкономикаНалогиАудит
Промышленность: • МеталлургияНефтьСельское хозяйствоЭнергетика
СтроительствоАрхитектураИнтерьерПолы и перекрытияПроцесс строительстваСтроительные материалыТеплоизоляцияЭкстерьерОрганизация и управление производством

Каталог авторов (частные аккаунты)

Авто

АвтосервисАвтозапчастиТовары для автоАвтотехцентрыАвтоаксессуарыавтозапчасти для иномарокКузовной ремонтАвторемонт и техобслуживаниеРемонт ходовой части автомобиляАвтохимиямаслатехцентрыРемонт бензиновых двигателейремонт автоэлектрикиремонт АКППШиномонтаж

Бизнес

Автоматизация бизнес-процессовИнтернет-магазиныСтроительствоТелефонная связьОптовые компании

Досуг

ДосугРазвлеченияТворчествоОбщественное питаниеРестораныБарыКафеКофейниНочные клубыЛитература

Технологии

Автоматизация производственных процессовИнтернетИнтернет-провайдерыСвязьИнформационные технологииIT-компанииWEB-студииПродвижение web-сайтовПродажа программного обеспеченияКоммутационное оборудованиеIP-телефония

Инфраструктура

ГородВластьАдминистрации районовСудыКоммунальные услугиПодростковые клубыОбщественные организацииГородские информационные сайты

Наука

ПедагогикаОбразованиеШколыОбучениеУчителя

Товары

Торговые компанииТоргово-сервисные компанииМобильные телефоныАксессуары к мобильным телефонамНавигационное оборудование

Услуги

Бытовые услугиТелекоммуникационные компанииДоставка готовых блюдОрганизация и проведение праздниковРемонт мобильных устройствАтелье швейныеХимчистки одеждыСервисные центрыФотоуслугиПраздничные агентства