БизнесНаукаПромышленностьДомЗдоровьеПланетаРоссияОбществоДокументыБлогиTOP 100ГидФотоПомощьРассылкаРекламаКарта сайтаПраваКонтакты


Определение случайного процесса. Реализация, сечение случайного процесса

 просмотров

1 Определение случайного процесса.

Реализация, сечение случайного процесса

На практике встречаются такие случайные величины, которые в процессе одного опыта непрерывно изменяются в зависимости от времени или каких-нибудь других аргументов. Например, ошибка сопровождения самолёта радиолокатором не остаётся постоянной, а непрерывно изменяется со временем. В каждый момент она случайна, но её значение в разные моменты времени при сопровождении одного самолёта различны. Другими примерами являются: угол упреждения при непрерывном прицеливании по движущейся цели; ошибка радиодальномера при непрерывном измерении меняющейся дальности; отклонение траектории управляемого снаряда от теоретической в процессе управления или самонаведения; флюктуационные (дробовые и тепловые) шумы в радиотехнических устройствах и так далее. Такие случайные величины называются случайными функциями. Характерной особенностью таких функций является то, что вид их до проведения опыта в точности указать не возможно. Случайная функция и случайная величина относятся друг к другу так же, как функция и постоянная величина, рассматриваемые в математическом анализе.

Определение 1. Случайная функция – это функция, которая каждому исходу опыта ставит в соответствие некоторую числовую функцию, то есть отображение пространства Ω в некоторое множество функций (рисунок 1).

Определение 2. Случайной функцией называется функция, которая в результате опыта может принять тот или иной конкретный вид, неизвестно заранее – какой именно.

Конкретный вид, принимаемый случайной функцией в результате опыта, называется реализацией случайной функции.

В силу непредсказуемости поведения изобразить случайную функцию в общем виде на графике не представляется возможным. Можно лишь записать её конкретный вид – то есть её реализацию, полученную в результате проведения опыта. Случайные функции, как и случайные величины, принято обозначать большими буквами латинского алфавита X(t), Y(t), Z(t), а их возможные реализации – соответственно x(t), y(t), z(t). Аргумент случайной функции t в общем случае может быть произвольной (не случайной) независимой переменной или совокупностью независимых переменных.

Случайную функцию называют случайным процессом, если аргументом случайной функции является время. Если же аргумент случайной функции является дискретным, то её называют случайной последовательностью. Например, последовательность случайных величин есть случайная функция от целочисленного аргумента. На рисунке 2 в качестве примера приведены реализации случайной функции X(t): x1(t), x2(t), … , xn(t), которые являются непрерывными функциями времени. Такие функции применяются, например, для макроскопического описания флюктуационных шумов.

Случайные функции встречаются в любом случае, когда имеем дело с непрерывно работающей системой (системой измерения, управления, наведения, регулирования), при анализе точности работы системы приходится учитывать наличие случайных воздействий (полей); температура воздуха в различных слоях атмосферы рассматривается как случайная функция высоты H; положение центра масс ракеты (его вертикальная координата z в плоскости стрельбы) является случайной функцией от его горизонтальной координаты x. Это положение в каждом опыте (пуске) при одних и тех же данных наводки всегда несколько иное и отличается от теоретически рассчитанного.

Рассмотрим некоторую случайную функцию X(t). Предположим, что над ней произведено n независимых опытов, в результате которых получено n реализаций (рисунок 3) x1(t), x2(t), … , xn(t). Каждая реализация, очевидно, есть обычная (неслучайная) функция. Таким образом, в результате каждого опыта случайная функция X(t) превращается в обычную, неслучайную функцию.

Зафиксируем некоторое значение аргумента t. Проведём на расстоянии

t = t0 прямую, параллельную оси ординат (рисунок 3). Эта прямая пересечёт реализации в каких-то точках.

Определение. Множество точек пересечения реализаций случайной функции с прямой t = t0 называется сечением случайной функции.

Очевидно, сечение представляет собой некоторую случайную величину, возможные значения которой представляют собой ординаты точек пересечения прямой t = t0 с реализациями xi(t) ( i= ).

Таким образом, случайная функция совмещает в себе черты случайной величины и функции. Если зафиксировать значение аргумента, она превращается в обычную случайную величину; в результате каждого опыта она превращается в обычную (неслучайную) функцию.

Например, если провести два сечения t = t1 и t = t2, то получается две случайные величины X(t1) и X(t2), которые в совокупности образуют систему двух случайных величин.

2 Законы распределения

Случайная функция непрерывно изменяющегося аргумента на любом сколь угодно малом интервале его изменения равноценна бесконечному, несчётному множеству случайных величин, которые даже невозможно перенумеровать. Поэтому для случайной функции невозможно обычным путём определить закон распределения, как для обычных случайных величин и случайных векторов. Для изучения случайных функций применяют подход, основанный на фиксации одного или нескольких значений аргумента t и изучении получающихся при этом случайных величин, то есть случайные функции изучаются в отдельных сечениях, соответствующих различным значениям аргумента t.

Фиксируя одно значение t1 аргумента t, рассмотрим случайную величину X1=X(t1). Для этой случайной величины можно определить обычным путём закон распределения, например, функцию распределения F1(x1, t1), плотность вероятности f1(x1,t1). Эти законы называются одномерными законами распределения случайной функции X(t). Особенностью их является то, что они зависят не только от возможного значения x1 случайной функции X(t) при t = t1, но и от того, как выбрано значение t1 аргумента t, то есть законы распределения случайной величины X1=X(t1) зависят от аргумента t1 как от параметра.

Определение. Функция F1(x1, t1) = Р(X(t1)<x1) называется одномерной функцией распределения вероятностей случайной функции, или

F1(x, t) = Р(X(t)<x). (1)

Определение. Если функция распределения F1(x1, t1) = Р(X(t1)<x1) дифференцируема по x1 то эта производная называется одномерной плотностью распределения вероятности (рисунок 4), или

. (2)

Одномерная плотность распределения случайной функции обладает теми же свойствами, что и плотность распределения случайной величины. В частности: 1) f1(x, t) 0;

2) - условие нормировки.

Одномерные законы распределения не описывают полностью случайную функцию, так как они не учитывают зависимости между значениями случайной функции в разные моменты времени.

Так как при фиксированном значении аргумента t случайная функция превращается в обычную случайную величину, то при фиксировании n значений аргумента получим совокупность n случайных величин X(t1), X(t2), …, X(tn), то есть систему случайных величин. Поэтому задание одномерной плотности распределения f1(x,t) случайной функции X(t) при произвольном значении аргумента t аналогично заданию плотностей отдельных величин входящих в систему. Полным описанием системы случайных величин является совместный закон их распределения. Поэтому более полной характеристикой случайной функции X(t) является n-мерная плотность распределения системы, то есть функция fn(x1, x2, … , xn, t1, t2, … , tn).

На практике нахождение n-мерного закона распределения случайной функции вызывает, как правило, большие затруднения, потому обычно ограничиваются двумерным законом распределения, который характеризует вероятностную связь между парами значений X(t1) и X(t2).

Определение. Двумерной плотностью распределения случайной функции X(t) называется совместная плотность распределения её значений X(t1) и X(t2) при двух произвольно взятых значениях t1 и t2 аргумента t.

f2(x1, x2, t1, t2 )= (3)

. (4)

По известной двумерной плотности распределения можно найти одномерную плотность распределения вероятности

. (5)

Условие нормировки для двумерной плотности распределения имеет вид

. (6)

3 Характеристики случайного процесса:

математическое ожидание и дисперсия

При решении практических задач в большинстве случаев получение и использование многомерных плотностей для описания случайной функции сопряжено с громоздкими математическими преобразованиями. В связи с этим при исследовании случайной функции чаще всего пользуются простейшими вероятностными характеристиками, аналогичными числовым характеристикам случайных величин (математическое ожидание, дисперсия) и устанавливаются правила действия с этими характеристиками.

В отличие от числовых характеристик случайных величин, которые являются постоянными числами, характеристики случайной функции являются неслучайными функциями его аргументов.

Рассмотрим случайную функцию X(t) при фиксированном t. В сечении имеем обычную случайную величину. Очевидно, в общем случае математическое ожидание зависит от t, то есть представляет собой некоторую функцию t:

. (7)

Определение. Математическим ожиданием случайной функции X(t) называется неслучайная функция , которая при каждом значении аргумента t равна математическому ожиданию соответствующего сечения случайной функции.

По смыслу математическое ожидание случайной функции есть некоторая средняя функция, около которой различным образом группируются и относительно которой колеблются все возможные реализации рассматриваемой случайной функции (рисунок 5)

Для вычисления математического ожидания случайной функции достаточно знать её одномерную плотность распределения

=. (8)

Математическое ожидание называют также неслучайной составляющей случайной функции X(t), в то время как разность

(9)

называют флюктуационной частью случайной функции или центрированной случайной функцией.

Определение. Дисперсией случайной функции X(t) называется неслучайная функция , значение которой для каждого t равно дисперсии соответствующего сечения случайной функции.

Из определения следует, что

=. (10)

Дисперсия случайной функции при каждом характеризует разброс возможных реализаций случайной функции относительно среднего, иными словами, «степень случайности» случайной функции (рисунок 6).

Дисперсия случайной функции может быть определена через её одномерную плотность распределения

, (11)

или

. (12)

Очевидно, есть неотрицательная функция. По аналогии со случайными величинами для случайной функции вводится понятие среднего квадратического отклонения

(13)

которое является неслучайной функцией.

Пример 1. Двумерная плотность вероятности случайной функции X(t) имеет вид .

Найти , , .

Решение. 1. По формуле найдем :

= = = = =

= , так как - интеграл Пуассона.

2. По формуле = найдём :

= = = =

= = 0.

3. По формуле найдём :

* = = =

= = = =

== ,

так как

, а - интеграл Пуассона.

4. По формуле найдём : = .

Прокомментируйте:

Чтобы комментировать: Войти | Регистрация
Мы в соцсетях:


Подпишитесь на рассылку:
Посмотрите по Вашей теме:

Сечение

Проекты по теме:

Основные порталы, построенные редакторами

Бизнес и финансы

Бизнес: • БанкиБогатство и благосостояниеКоррупция(Преступность)МаркетингМенеджментИнвестицииЦенные бумагиНедвижимость(Аренда)ПрофессииРаботаТорговляУслугиФинансыБюджетФинансовые услугиКредитыКомпанииЭкономикаМакроэкономикаМикроэкономикаНалоги
Промышленность: • МеталлургияНефтьСельское хозяйствоЭнергетика
СтроительствоАрхитектураИнтерьерПолы и перекрытияПроцесс строительстваСтроительные материалыТеплоизоляцияЭкстерьер

Домашний очаг

ДомДачаСадоводствоДетиАктивность ребенкаИгрыКрасотаЖенщины(Беременность)СемьяХобби
Здоровье: АнатомияБолезниВредные привычкиДиагностикаНародная медицинаПервая помощьПитаниеФармацевтика

Мир

Регионы: АзияАмерикаАфрикаЕвропаПрибалтикаЕвропейская политикаОкеанияГорода мира
Россия: • МоскваКавказЭкономикаРегионы РоссииПрограммы регионов
История: СССРИстория РоссииРоссийская ИмперияВремя2016 год
Окружающий мир: Животные • (Домашние животные) • НасекомыеРастенияПриродаКатаклизмыКосмосКлиматСтихийные бедствия

Образование и наука

Наука: Контрольные работыНаучно-технический прогрессПедагогикаРабочие программыФакультетыМетодические рекомендацииШкола
Предметы: БиологияГеографияГеологияИсторияЛитератураЛитературные жанрыЛитературные героиМатематикаМедицинаМузыкаПравоЖилищное правоЗемельное правоУголовное правоКодексыПсихология (Логика) • Русский языкСоциологияФизикаФилологияФилософияХимияЮриспруденция

Общество

БезопасностьГражданские права и свободыИскусство(Музыка)Культура(Этика)Мировые именаПолитика(Геополитика)(Идеологические конфликты)ВластьЗаговоры и переворотыГражданская позицияМиграцияРелигии и верования(Конфессии)ХристианствоМифологияРазвлеченияМасс МедиаСпорт (Боевые искусства)ТранспортТуризм
Войны и конфликты: АрмияВоенная техникаЗвания и награды

Справочная информация

ДокументыЗаконыИзвещенияУтверждения документовДоговораЗапросы предложенийТехнические заданияПланы развитияДокументоведениеАналитикаМероприятияКонкурсыИтогиАдминистрации городовМуниципалитетыМуниципальные районыМуниципальные образованияМуниципальные программыБюджетные организацииОтчетыПоложенияПостановленияРегламентыТермины(Научная терминология)

Техника

АвиацияАвтоВычислительная техникаОборудование(Электрооборудование)РадиоТехнологии(Аудио-видео)(Компьютеры)

Каталог авторов (частные аккаунты)

Авто

АвтосервисАвтозапчастиТовары для автоАвтотехцентрыАвтоаксессуарыавтозапчасти для иномарокКузовной ремонтАвторемонт и техобслуживаниеРемонт ходовой части автомобиляАвтохимиямаслатехцентрыРемонт бензиновых двигателейремонт автоэлектрикиремонт АКППШиномонтаж

Бизнес

Автоматизация бизнес-процессовИнтернет-магазиныСтроительствоТелефонная связьОптовые компании

Досуг

ДосугРазвлеченияТворчествоОбщественное питаниеРестораныБарыКафеКофейниНочные клубыЛитература

Технологии

Автоматизация производственных процессовИнтернетИнтернет-провайдерыСвязьИнформационные технологииIT-компанииWEB-студииПродвижение web-сайтовПродажа программного обеспеченияКоммутационное оборудованиеIP-телефония

Инфраструктура

ГородВластьАдминистрации районовСудыКоммунальные услугиПодростковые клубыОбщественные организацииГородские информационные сайты

Наука

ПедагогикаОбразованиеШколыОбучениеУчителя

Товары

Торговые компанииТоргово-сервисные компанииМобильные телефоныАксессуары к мобильным телефонамНавигационное оборудование

Услуги

Бытовые услугиТелекоммуникационные компанииДоставка готовых блюдОрганизация и проведение праздниковРемонт мобильных устройствАтелье швейныеХимчистки одеждыСервисные центрыФотоуслугиПраздничные агентства