Разработка и исследование методов статистического регулирования технологических процессов на основе оптимальных статистических последовательных критериев

Образование и науки | Эта статья также находится в списках: , , , , , , , , , , , , , , , , , , | Постоянная ссылка

ГРОДЗЕНСКИЙ ЯКОВ СЕРГЕЕВИЧ

Разработка и исследование методов статистического регулирования технологических процессов на основе оптимальных статистических последовательных критериев.

Специальность 05.02.23 – “Стандартизация и управление качеством продукции”

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени

кандидата технических наук

Москва – 2010

Работа выполнена на кафедре «Технологические основы радиоэлектроники» Государственного образовательного учреждения высшего профессионального образования Московского государственного института радиотехники, электроники и автоматики (технического университета).

Научный руководитель доктор технических наук, профессор

Марин Владимир Петрович

Официальные оппоненты: доктор технических наук, профессор

Грозовский Геннадий Ильич

доктор технических наук

Савченко Владимир Петрович

Ведущая организация ФГУП «Спецмагнит»

Защита состоится 25 ноября 2010 г. в 14 часов на заседании диссертационного Совета Д 212.131.04 при Московском государственном институте радиотехники, электроники и автоматики (техническом университете) по адресу: Россия, г. Москва, проспект Вернадского, 78.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Московского государственного института радиотехники, электроники и автоматики (технического университета).

Автореферат разослан « 19 » октября 2010 г.

Ученый секретарь

диссертационного Совета Д 212.131.04,

кандидат технических наук, доцент Замуруев С. Н.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы

Одно из требований к системам качества по моделям стандартов ИСО серии 9000 – это обеспечение стабильности технологических процессов, а один из основополагающих принципов концепции TQM (всеобщего управления на основе качества) – принятие решений, основанных на фактах, связан с использованием статистических методов при производстве.

Актуальность темы настоящего исследования определяется необходимостью улучшения характеристик систем первичной обработки информации о ходе производства, что связано с совершенствованием известных и разработкой новых алгоритмов обнаружения неуправляемости технологического процесса, которую в специальной литературе принято называть «разладкой». В последнее время проблема экономии ресурсов в радиоэлектронике приобрела остроту, поэтому становится актуальной разработка процедур, позволяющих с минимальными затратами и эффективно проводить обработку данных о параметрах технологических процессов.

Основополагающие работы в области статистического регулирования технологических процессов сделали W. Shewhart, E. Page, N. Johnson, M. A. Girshick, H. Rubin, H. Hotelling, А. М. Бендерский, И. В. Никифоров, В. Н. Клячкин и др. Разработка технологических основ радиоэлектроники в области мощных и сверхмощных СВЧ ЭВП связана с именами А. П. Реутова, В. П. Марина, М. М. Федорова, А. П. Коржавого, Н. П. Есаулова и др.

Математическими аспектами проблемы занимались многие исследователи, среди которых A. Wald, J. Wolfowitz, L. Weiss, A. Dvoretsky, J. Kiefer, J. Bussgang, T. Anderson, G. Lorden, А. Н. Колмогоров, Б. В. Гнеденко, Ю. К. Беляев, А. Н. Ширяев, С. А. Айвазян, И. В. Павлов, Б. С. Дарховский, Б. Е. Бродский, В. П. Драгалин, А. А. Новиков, А. Г. Тартаковский, А. А. Боровков.

При статистических экспериментах, основанных на классической процедуре Неймана – Пирсона, число этапов, определяющих общую длительность наблюдений, назначается заранее. Эффективным методом уменьшения числа наблюдений и связанных с этим затрат материальных и временных ресурсов могут служить последовательные процедуры, в которых объем выборки заранее не фиксируется, а определяется ходом реализации наблюдаемого случайного процесса.

Особый интерес к последовательным методам принятия решений проявился, когда был найден эффективный алгоритм проверки двух простых гипотез по результатам однородных независимых наблюдений – последовательный критерий отношения вероятностей, известный как критерий Вальда. Он возник в годы Второй мировой войны в связи с поисками более эффективных, чем классические, методов статистического приемочного контроля массовой промышленной продукции.

В настоящее время последовательный анализ находит все более широкое применение в различных прикладных областях, в частности при контроле качества продукции и материалов, испытании приборов и систем на надежность, поиске неисправностей в сложных системах, обнаружении сигнала на фоне шума. В то же время этот метод не является завершенной статистической теорией. К нерешенным вопросам прикладной статистики, в частности, относятся:

- влияние отклонений от традиционных предпосылок (вероятностно-статистических моделей) на свойства статистических процедур;

- оправданность использования асимптотических теоретических результатов прикладной математической статистики при реальных исходных данных (предельно допустимой продолжительности процедуры статистического регулирования технологических процессов, различных значений отношений параметров, соответствующих гипотезам об отсутствии и наличии разладки, а также допустимых значений рисков излишней настройки и незамеченной разладки);

- формулировки и обоснования правил выбора одного из нескольких критериев для проверки конкретной гипотезы.

Кроме того, опыт применения метода последовательных испытаний показывает, что часто возникает необходимость прекращать их на некотором шаге, несмотря на то, что принять корректное с математической точки зрения решение еще нельзя. Поэтому актуальной является работа по исследованию оптимальных методов усечения последовательной процедуры статистического регулирования технологических процессов.

Это определяет актуальность следую­щих основных задач:

- рационализация процедуры статистического регулирования технологических процессов на основе оптималь­ного обобщенного последовательного критерия и двойного последовательного критерия отношения вероятностей;

- разработка математического аппарата для методик рационального обнаружения разладки для наиболее часто встречающих на практике законов распределения контролируемого параметра;

- создание соответствую­щих прикладных программ.

Решение указанных задач даст возможность существенно сократить длительность статистического анализа, что позволит уменьшить энергетические и иные затраты на проведение испытаний, и более оперативно получать информацию, необходимую для управления технологическими процессами. Это позволит по имеющимся данным принимать обоснованные решения, что, в конечном счете, способствует повышению качества продукции.

Цель работы

Целью работы является разработка методов повышения эффективности процедур статистического регулирования технологических процессов в системах, основанных на накоплении информации о состоянии процесса с использованием оптимальных статистических последовательных критериев.

Задачи исследования

Поставленная цель предполагает следующие задачи:

1. Сравнительный анализ эффективности применения известных оптимальных статистических процедур для статистического регулирования технологических процессов.

2. Синтез наиболее экономичной последовательной процедуры статистического регулирования технологических процессов.

3. Статистическое моделирование процедур регулирования технологических процессов, основанных на оптимальных статистических критериях.

4. Разработка контрольных карт для различных видов распределений контролируемого параметра и анализ возможностей их применения; оценка эффективности предлагаемых методов.

5. Применение полученных результатов в теории и практике статистического регулирования технологических процессов, создание соответствующего программного обеспечения, предназначенного для практического использования.

Методы исследования

Для решения поставленных задач использовались методы теории вероятностей, математической статистики, вычислительной математики, статистического моделирования и методы оптимизации.

Научная новизна основных результатов работы определяется следующим:

-  разработан метод рационализации статистического регулирования технологического процесса, позволяющий минимизировать среднюю продолжительность последовательной процедуры,

-  предложен способ усечения процедуры последовательного анализа, основанный на применении границ зон принятия гипотез параболического вида, позволяющий сократить необходимый объем испытаний при гарантии, что величины фактических вероятностей излишней настройки и незамеченной разладки не превысят допустимого значения,

-  разработано программное обеспечение, позволяющее применять полученные результаты на практике,

-  показана эффективность предложенных математических моделей и методов контроля в различных условиях.

На защиту выносятся следующие научные результаты.

1. Показана эффективность применения математического аппарата оптимальных последовательных статистических критериев для статистического регулирования технологических процессов.

2. Установлено путем моделирования, что при проверке двух простых гипотез с близкими значениями параметров, отвечающих гипотезам об отсутствии и наличии разладки, наиболее эффективен приближенный вариант оптимального обобщенного последовательного критерия (критерий Айвазяна).

3. Установлено путем моделирования, что при малых ошибках первого и второго родов наиболее эффективен двойной последовательный критерий отношения вероятностей (критерий Лордена).

4. Установлено путем моделирования, что в случае, когда одна из ошибок значительно больше другой наиболее эффективен модифицированный двойной последовательный критерий (критерий Павлова).

5. Показано, что путем усечения классической процедуры последовательного критерия (критерий Вальда) за счет использования границы зон принятия гипотез в виде парабол с коэффициентами, подбираемыми методом математического моделирования, средний объем испытаний можно уменьшить на 30-40% при обеспечении заданной достоверности процедуры.

Достоверность проведенных исследований и полученных результатов обеспечивается математической строгостью утверждений, данными статистических испытаний на ЭВМ (по составленным автором программам).

Практическая значимость работы состоит в том, что предложенные методы доведены до уровня, обеспечивающего возможность их практического применения. Основные результаты реализованы в программах, которые позволяют при определенных законах распределения контролируемого параметра, заданных ошибках первого и второго рода, отношении значений параметров, соответствующих проверяемым гипотезам, уменьшить среднее число необходимых для принятия решения наблюдений или среднюю продолжительность процедуры проверки. При этом повышается точность контроля, соответственно уменьшается доля бракованной продукции, снижается риск необоснованных регулировок технологического процесса.

Реализация и внедрение результатов работы

Разработанные в диссертации методы используются при регулировании технологических процессов в ФГУП «Спецмагнит». Результаты работы внедрены в учебный процесс МИРЭА – включены в план лекций по курсу «Статистические методы контроля и управления качеством», используются студентами специальностей 200503 «Стандартизация и сертификация (по отраслям)» и 200501 «Управление качеством» в ходе курсового и дипломного проектирования.

Апробация работы. Результаты работы докладывались на научно-технических семинарах и конференциях: 58-й Научно-технической конференции МИРЭА (Москва, 2009), Шестой научно-практической конференции «Инновации в условиях развития информационно-коммуникационных технологий – ИНФО-2009» (Сочи, 2009), Международной научно-технической конференции «Фундаментальные проблемы

радиоэлектронного приборостроения» – INTERMATIC – 2009 (Москва, 2009), 59-й Научно-технической конференции МИРЭА (Москва, 2010), Седьмой научно-практической конференции «Инновации в условиях развития информационно-коммуникационных технологий – ИНФО-2010» (Сочи, 2010).

Публикация результатов работы. Результаты исследований по теме диссертации изложены в 12 опубликованных работах, из них в семи – без соавторов, в том числе, в пяти статьях в журналах по списку ВАК: «Измерительная техника», «Метрология», «Наукоемкие технологии».

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, четырех глав и заключения, изложенных на 126 страницах текста и иллюстрированных 10 рисунками и 14 таблицами, списка литературы, включающего 148 наименований, и двух приложений. Общий объем работы 153 страницы.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обоснована актуальность темы диссертационной работы, излагаются цель и основные задачи исследования, формулируются научная новизна, практическая ценность полученных результатов, основные научные результаты, которые выносятся на защиту. Проводится краткий анализ истории вопросов, подлежащих исследованию.

В первой главе дан обзор различных способов статистического регулирования технологических процессов с использованием методов математической статистики.

Изменение характеристик качества изделия в процессе изготовления обусловлено причинами двух типов: неустранимыми, случайными причинами (например, колебания температуры окружающей среды) и причинами, связанными с особенностями данного процесса (износом инструмента, ослаблением креплений, изменением температуры охлаждающей жидкости и т. п.). Эти неслучайные причины вариаций могут быть устранены при настройке процесса.

Инструментом, позволяющим следить за состоянием процесса во времени (осуществлять мониторинг) и при необходимости воздействовать на него, служит контрольная карта. Э. Деминг в своем труде «Выход из кризиса» отмечал, что качество должно быть встроено в производство, а не обеспечено контролем и «что действительно нужно менеджменту, так это контрольные карты». А другому творцу японского экономического чуда К. Исикаве принадлежат слова: «контроль качества начинается с контрольной карты и завершается ею».

Первая контрольная карта была предложена В. Шухартом в 1925 г. Использование контрольных карт Шухарта остается актуальным и ныне, однако, предоставляя информацию о текущем состоянии процесса, они не показывают тенденций его изменения. Это объясняется тем, что статистики, отражающие состояние процесса, рассматриваются независимо друг от друга, т. е. каждый последующий результат контроля не учитывает предыдущую информацию.

Высказанные замечания привели к появлению методов, в которых решение принимается не только по текущему значению, но в зависимости от всей «истории». Так появились контрольные карты кумулятивных сумм, связанные с задачей проверки статистических гипотез. В такой постановке задача статистического регулирования технологических процессов выдвигается две простые гипотезы: основная (Н0 – процесс находится в статистически управляемом состоянии, чему соответствует значение контролируемого параметра q = q0) и альтернативная (Н1 – произошла разладка контролируемый параметр принял значение q = q1).

Если в результате испытаний установлено, что имеет место гипотеза Н0, то делается вывод о том, что процесс находится в статистически управляемом состоянии. В противном случае необходимо вмешательство в процесс. При различении двух простых гипотез возможны ошибки двух родов: a – ошибка первого рода – вероятность принятия гипотезы Н1, когда на самом деле имеет место гипотеза Н0; b – ошибка второго рода – вероятность принятия гипотезы H0, когда на самом деле имеет место гипотеза Н1. В задаче статистического регулирования технологических процессов ошибка первого рода – риск излишней настройки, а второго рода – риск незамеченной разладки.

Применение кумулятивных контрольных карт основано на идее последовательных испытаний. Если разность между гипотетическими значениями параметра, соответствующими конкурирующим гипотезам, мала, то для того, чтобы истинные ошибки первого и второго рода не превышали заданных значений, необходим большой объем наблюдений. С. А.Айвазян провел сравнительный анализ асимптотических свойств тестов Вальда и Неймана – Пирсона и получил соотношения, показывающие, что практически коэффициент выгоды в числе наблюдений в критерии Вальда по сравнению с критерием Неймана-Пирсона зависит только от заданных ошибок первого и второго рода, и обычно колеб­лется между двумя и тремя, хотя в некоторых случаях может быть сущест­венно больше.

Вместе с тем теоретические исследования и многолетняя практика исполь­зования критерия Вальда позволили выявить его основной недостаток: если контролируемый параметр, характеризующий факти­ческое качество продукции, принимает промежуточное значение (ле­жит в диапазоне между Н0 и Н1), то последовательный критерий отношения вероятностей теряет свои оптимальные свойства – становится невыгодным.

Поэтому при проведении испытаний по методу Вальда часто возникает необходимость прекращать их на некотором шаге, несмотря на то, что значения рисков излишней настройки и незамеченной разладки при этом несколько возрастают. В общем случае усечение процедуры, проводимой по методу Вальда, является попыткой согласовать их достоинства по мере их накопления с преимуществом классической процедуры, гарантирующей принятие решения при определенном числе имеющихся данных.

Предпринимались попытки применить последовательный критерий отношения вероятностей к различным задачам проверки сложных гипотез. Наиболее известная постановка предложена Кифером и Вейссом: проверить сложную гипотезу H0: q < q0 против альтернативы H1: q > q1, где q – параметр плотности распределения. Была поставлена проблема: найти последовательный критерий, который минимизирует средний объем выборки для любой заданной параметрической точки плотности распределения при ограничениях на вероятности ошибок первого и второго рода для фиксированных точек. Поставленная цель получила название задачи Кифера – Вейсса, привлекшей внимание большого числа математиков.

С. А.Айвазян предложил приближенный вариант оптимального обобщенного последовательного критерия, учитывающий «расстояние между гипотезами», и обеспечивающий эффективность не ниже 96% оптимального критерия. В критерии Айвазяна границы зон принятия альтернативных гипотез представляют собой пересекающиеся прямые (в критерии Вальда – они параллельны).

Другой подход к решению проблемы минимизации среднего времени наблюдений в случае, когда истинное значение неизвестного параметра принимает промежуточное относительно Н0 и Н1 значение, предложил Г. Лорден. Рассматривая задачу различения двух простых гипотез Н0: q = q0 и H1: q = q1, он ввел вспомогательный параметр q¢, определяемый из условия: r(q¢;q0) = r(q¢;q1), где r(q1;q2) – стандартная мера “расстояния” Кульбака–Лейблера от q1 до q2. Метод получил название двойного последовательного критерия отношения вероятностей. Критерий Лордена, область продолжения наблюдений для которого имеет форму треугольника, дает асимптотическое решение задачи Кифера-Вейсса для случая малых вероятностей ошибочных решений и экспоненциального семейства распределений.

И. В. Павловым предложен приближенный последовательный критерий для проверки сложных гипотез. В частном случае различения двух простых гипотез критерий Павлова может рассматриваться как модифицированный двойной последовательный критерий отношения вероятностей. Проверка сложных гипотез последовательным методом несомненно представляет интерес и, вероятно, в будущем найдет применение в практике испытаний. Но полученные до настоящего времени результаты связаны с громоздкими процедурами, которые реализовать в условиях производства не представляется возможным.

Специфика применения теории последовательного анализа для статистического регулирования технологических процессов требует развития следующих направлений:

обнаружение незначительной разладки (математически это соответствует различению близких гипотез);

существенная неравноценность допустимых вероятностей риска излишней настройки и риска незамеченной разладки (математически это соответствует значительно отличающимися значениями ошибок первого и второго рода);

ситуации, когда истинное значение исследуемого параметра лежит в диапазоне между значениями, соответствующими выдвинутым простым гипотезам.

Вторая глава посвящена разработке математического аппарата для процедуры статистического регулирования технологических процессов, в случае, когда распределение контролируемого параметра неизвестно.

Разрабатываемые в данной работе методы пригодны для различных видов карт по качественным (альтернативным) признакам (карты «с», «u», «p» и «рп» – типов). Показано, что использование биномиального распределения наиболее предпочтительно при статистическом регулировании технологических процессов, когда имеют место качественные данные. При этом данные для планирования испытаний задают в виде двух уровней q, соответствующих альтернативным гипотезам.

При планировании контрольных испытаний последователь­ным методом устанавливают два контрольных норматива: один – максимальное число дефектных единиц в выборке или предельное значение контролируемого параметра, при котором принимается решение об управляемости процесса, второй – минимальное число дефект­ных единиц в вы­борке или предельное значение контролируемого параметра, при ко­тором принимается решение о необходимости вмешательства в процесс. Формула для расстояния между двумя гипотезами H0: q = q0, и H1: q = q1, которое необходимо для применения критерия Айвазяна.

Уравнения границ зон принятия гипотез на основании критерия Айвазяна имеет вид:

,

где i = 1 и знак «+» соответствуют линии принятии гипотезы H1 о необходимости наладки; i = 0 и знак «–» соответствуют линии принятии гипотезы H0 о статистической управляемости процесса; C0, C1 – критические константы, определяемые ошибками первого и второго рода (метод их нахождения, а также значения для наиболее часто встречающихся на практике a и b приведены в диссертации); Dконстанта, зависящая от расстояния между гипотезами и характеризующая максимальное число дефектных единиц, которое может наблюдаться в ходе процедуры регулирования.

Отношение минимальных объемов выборок в схемах оптимальных последовательных процедур определяется заданными ошибками первого и второго рода. В одной ситуации лучшими свойствами обладает классическая последовательная процедура Вальда, а в другой – приближенный вариант оптимального обобщенного последовательного критерия. Для применения критерия Лордена получена формула для расчета промежуточного параметра q¢ в случае биномиального распределения

.

Момент прекращения испытаний при обнаружении разладки в соответствии с критерием Лордена

или ,

где A и B – константы, определяемые заданными a и b.

Если в последнем выражении не выполняется первое неравенство, то принимают гипотезу Н0, если не выполняется второе – Н1.

Получены расчетные формулы для применения критерия Павлова в случае биномиального распределения. Наблюдения продолжаются до момента исключения гипотезы, признаваемой неверной. Решающее правило задается парой (N, d), N – момент остановки наблюдений; d – принимает значение 0, если справедлива гипотеза H0 или 1, если верна гипотеза H1.

Непараметрический подход грубее параметрического, основанного на конкретном законе распределения, так как в этом случае теряется часть информации и как следствие возникает необходимость в большем объеме данных или большей продолжительности процедуры регулирования. В ситуации, когда исследователь имеет практически неограниченное число данных, имеет смысл пользоваться методами непараметрической статистики. Напротив, при обработке данных о производственном процессе изделий электронной техники, выпускаемых малыми партиями, целесообразно применять параметрические методы.

Третья глава посвящена разработке математического аппарата для применения оптимальных последовательных критериев в параметрических случаях. Вид распределения контролируемого показателя иногда можно обосновать, исходя из физических соображений. Рекомендуется прежде, чем выбрать тип карты сначала надо построить гисто­грамму по имеющимся данным и проанализировать ее форму. В работе в качестве F(t,q) рассматривались экспоненциальное, рэлеевское, вейбулловское и нормальное распределения.

Для каждого из них проведены вычисления расстояний между гипотезами, получены выражения для промежуточных параметров, логарифмов отношения правдоподобия, границ зон принятия нулевой гипотезы (процесс находится в управляемом состоянии) и альтернативной (произошла разладка).

Формулы для расстояния между гипотезами r(H0, H1) сведены в табл.1, в которой значения параметров с индексом “0″ соответствуют гипотезе H0, а с индексом “1″ – гипотезе H1.

В выражении для расстояния между гипотезами для распределения Вейбулла с неизвестным параметром формы G – знак гамма-функции, С – постоянная Эйлера.

В случае распределения Вейбулла наименьшее tmin, при котором принимается гипотеза Н0, определяется точкой пересечения соответствующей границы с осью абсцисс.

Таблица 1

Тип распределения

Расстояние между гипотезами

Экспоненциальное

r(l0/l1) = (l0/l1) + (l1/l0) – 2.

Рэлея

r(s0/s1) = (s0/s1)2 + (s1/s0)2 – 2.

Вейбулла с неизвестным масштабным параметром

r(T0,T1) = (T0/T1)s + (T1/T0)s – 2

Вейбулла с неизвестным параметром формы

r(s0/s1)= (s0/s1 + s1/s0 – 2)C + G(s0/s1 + 1) + G(s1/s0 + 1) – 2

Нормальное c неизвестным математическим ожиданием

r(m0,m1) = (m0 – m1)2/s2

Нормальное с неизвестной дисперсией

r(s0,s1) = (s12 – s02)2/2s02s12

.

Исследуя последнюю формулу на экстремум, находим, что функция tmin = f(s) имеет минимум в точке s0.

.

С другой стороны, наименьшее число несоответствий k, при котором возможно решение о справедливости альтернативной гипотезы, определяется по формуле

Можно заключить, что с увеличением параметра формы распределения Вейбулла условия принятия гипотезы H0 о том, что процесс находится в управляемом состоянии ужесточаются. Поскольку вейбулловское распределение представляет собой гибкую статистическую модель, случай контроля параметра формы может трактоваться как изменение вида закона распределения при разладке.

Формулы для промежуточного параметра, необходимого для применения критерия Лордена, сведены в табл. 2.

Таблица 2

Тип распределения

Промежуточный параметр

Биномиальное

q‘= ln[(1-q0)/(1-q1)]/{ln(q1/q0) + ln[(1-q0)/(1-q1)]}

Вейбулла

T‘s = T0s ln(T0/T1)/[(T0/T1)s – 1]

Нормальное c неизвестным математическим ожиданием

m’ = (m0 + m1)/2

Нормальное с неизвестной дисперсией

s’2=2s02s12/[(s12 - s02)ln(s1/s0)]

Получены расчетные соотношения для использования модифицированного двойного последовательного критерия отношения вероятностей (критерия Павлова).

Четвертая глава посвящена экспериментальному исследованию эффективности оптимальных последовательных критериев. Была составлена программа, позволяющая моделировать планы испытаний, основанные на критериях Вальда, Айвазяна, Лордена и Павлова.

Исходными данными для работы модели являются: вид распределения, число реализаций (под реализацией понимается процесс проведения испытаний одной выборки до принятия решения), значения исследуемого параметра, соответствующие альтернативным гипотезам (q0 и q1), фактическое значение контролируемого параметра (q), значения известных априори параметров для двух параметрических моделей, ошибки первого и второго рода (a, b).

В результате расчета для каждого критерия при фиксированных исходных данных определялись: число случаев принятия основной и альтернативных гипотез, фактические риски a* (при q = q0) и b* (при q = q1), средние объемы выборки (или продолжительности испытаний) в случае того или другого окончательного решения.

Программа позволяет моделировать различные процедуры статистического регулирования технологических процессов для любых значений параметров. При этом не использует специальных функций, кроме датчика случайных чисел xi с равномерным на интервале (0,1) распределе­нием. В процессе моделирования и расчета оперативных характеристик методом моделирования возникают ошибки, вызываемые ограниченностью числа реализаций. В настоящей работе принято точность и достоверность моделирования характеризовать предельно допустимым значением доверительного интервала. При решении всех задач нами принималось N = 10000.

Результаты моделирования позволили провести сравнительный анализ эффективности исследуемых критериев. Выводы делаются на основании сравнения средней продолжительности испытаний до принятия решения, рассчитанной по всем контролируемым процессам (как в случае принятия основной гипотезы, так и альтернативной), при отношении , а также в случае, когда истинное значение параметра принимает промежуточное значение .

Случайные величины ni, распределенные по биномиальному закону, находятся по формуле , где q – вероятность появления несоответствия. В случае биномиального распределения при больших значениях рисков излишней настройки и незамеченной разладки наиболее экономичен критерий Лордена. Последовательный критерий Вальда требует в среднем на 15,2% больше наблюдений, критерий Айвазяна на 59,2%, критерий Павлова – на 109%.

Когда q = q0 = q1 наименьшее число наблюдений требуется в классическом критерии Вальда, а при q0 < q < q1 наиболее эффективен критерий Айвазяна. В случае несимметричных рисков (допустимый риск излишней настройки намного ниже вероятности незамеченной разладки и наоборот) предпочтительнее использовать критерий Лордена. При уменьшении рисков эффективность критериев Павлова и Айвазяна увеличивается, однако, критерии Лордена и Вальда требуют в сред­нем меньше наблюдений.

При a = b = 0,01 критерий Вальда требует в среднем на 3,1% больше испытаний, чем критерий Лордена, критерий Айвазяна – на 40,5%, критерий Павлова – на 11,6%. Однако, при малых значениях a или b и при различении близких гипотез фактическая ошибка первого рода для критериев Вальда и Лордена может оказаться больше заданной.

Формула для случайных чисел, имеющих вейбулловское распределение с параметрами T и s, имеет вид . При экспоненциальном распределении (частный случай распределения Вейбулла при параметре формы равном единице) наиболее эффективным при различении простых гипотез относительно параметра распределения является критерий Лордена. При больших рисках a и b продолжительность испытаний по критерию Вальда в среднем на 15,4% больше, по критерию Айвазяна – на 74,8%, по критерию Павлова – на 75%. При уменьшении рисков поставщика и потребителя эффективность критерия Вальда резко снижается (особенно для “промежуточных” значений контролируемого параметра), а критериев Павлова и Айвазяна – повышается. При a = b = 0,01 оптимальным становится критерий Павлова. Продолжительность испытаний по критерию Вальда больше на 28,4%, по критерию Айвазяна – на 17,6% , по критерию Лордена – на 14,4%.

При распределении Рэлея наиболее эффективными при различении простых гипотез относительно параметра распределения являются критерии Лордена и Айвазяна. Первый оказывается наилучшим при уменьшении допустимых ошибок первого и второго рода, а второй – по мере сближения проверяемых гипотез. Соотношения продолжительности испытания для распределения Вейбулла близки с результатами моделирования экспоненциального и рэлеевских законов.

При моделировании нормального распределения с неизвестным математическим ожиданием оказалось, что при больших рисках наиболее эффективным является критерий Айвазяна. Его использование также предпочтительнее при различении близких гипотез. При уменьшении ошибок первого и второго рода наиболее эффективным становится критерий Лордена.

При больших значениях наименьшая продолжительность испытаний достигается при использовании критерия Лордена, а с уменьшением рисков оптимальным становится критерий Павлова. При моделировании нормального распределения с неизвестной дисперсией наиболее экономичным по продолжительности испытаний до принятия решения оказался критерий Айвазяна. С уменьшением рисков наименьшая средняя продолжительность испытаний достигается при использовании критерия Лордена.

Специфика некоторых приложений последовательного анализа требует учета ситуаций, возникающих в случае неравноценности последствий, возникающих из-за ошибок первого и второго родов. Так, в задаче статистического регулирования технологических процессов часто имеет место существенная разница в величине риска излишней настройки и риска незамеченной разладки. В такой ситуации часто самым выгодным оказывается критерия Павлова.

Результаты статистического моделирования по всему пространству параметров показали, что истинные риски a* и b* в большинстве случаев оказываются меньше заданных. В связи с этим предложено заменить прямолинейные границы критерия Вальда – криволинейными. Это дает возможность увеличить риски a* и b* до заданных значений и сократить средний объем испытаний. Установлена нелинейная зависимость фактических ошибок первого и второго рода от момента усечения последовательной процедуры по методу Вальда. Это позволяет для любого конкретного случая находить момент оптимального усечения процедуры.

Была поставлена задачаразработать критерий, позволяющий подбирать границы зон принятия альтернативных гипотез таким образом, чтобы относительное отклонение фактических значений рисков излишней настройки и незамеченной разладки от заданных не превосходило определенной, наперед заданной величины.

Условия, которым должен удовлетворять наиболее рациональный усеченный последовательный критерий:

-  последовательный критерий Вальда должен являться частным случаем предлагаемого критерия;

-  аналитические выражения для границ зон принятия решения о справедливости гипотез быть по-возможности простыми;

граница зоны принятия основной гипотезы должна быть выпуклой книзу, а зоны принятия альтернативной гипотезы – кверху.

Этим требованиям удовлетворяет последовательный критерий с границами зон в виде парабол. Введем новые уравнения границ принятия конкурирующих гипотез k’0 и k’1 по формулам:

где – b, c – поправочные коэффициенты, значения которых находятся методом Монте-Карло из условия равенства фактических рисков заданным; t – продолжительность испытаний; tmin0 – минимальное время, за которое может быть принято решение о справедливости основной гипотезы по критерию Вальда. Оно находится из условия k0 = 0.

В биномиальном случае уравнения границ зон принятия альтернативных гипотез записываются аналогично:

,

,

где k0 и k1 – определяются по формулам для последовательного критерия Вальда; n – число проверенных изделий; минимальный объем выборки в случае принятия основной гипотезы, находится из условия k0 = 0 в уравнении границы зоны принятия основной гипотезы:

.

– минимальный объем выборки в случае принятия альтернативной гипотезы, находится из условия k1 = n

.

В приведенных формулах k – число проверенных изделий (в биномиальном случае – число несоответствий). Критерий с параболическими границами определяется так: при k £ k’0 принимается Н0, а при k ³ k’1 – Н1. Поправочные коэффициенты подбираются с помощью специальной программы моделирования таким образом, чтобы выполнялись неравенства:

и в случае, если a* < a или b* < b, где (a*, b*) – фактические риски поставщика и потребителя соответственно.

Соотношение средней продолжительности испытаний при разных соотношениях q0 и q1 приведено в табл. 3, в которой за 100% принимается продолжительность испытаний по параболическому критерию. Приводятся данные по средней продолжительности испытаний при заданных a = b = 0,3, рассчитанной по всем контролируемым партиям (как в случае принятия основной гипотезы, так и альтернативной), когда истинное значение контролируемого параметра .

Таблица 3

Значения

параметров, отвечающие

гипотеза

H0 и H1

Относительная продолжительность испытаний, %

Критерий

Вальда

Критерий

Айвазяна

Критерий

Павлова

Критерий

Лордена

Экспоненциальное распределение

Т0=1000

Т1 = 200

163,5

203,5

219,8

151,1

Т0=1000

Т1 = 500

139,9

211,9

212,2

121,2

Распределение Вейбулла (s=2)

Т0=1000

Т1 = 200

142,1

121,1

171,3

130,5

Т0=1000

Т1 = 500

181,2

203,9

258,8

137,2

Распределение Вейбулла (s=0,5)

Т0=1000

Т1 = 200

162,5

184,9

190,7

138,1

Т0=1000

Т1 = 500

132,9

239,9

167,1

114,7

Нормальное распределение (s=200)

m0=1000

m 1 = 200

119,9

100,5

107,5

117,7

m 0=1000

m 1 = 500

127,0

116,7

169,8

130,3

В результате моделирования установлено, что если заданные риски не очень малы (a, b ³ 0,05), практически во всех случаях, для любых значений неизвестных параметров, критерий с параболическими границами требует в среднем меньше наблюдений, чем любой другой из рассматриваемых.

Выигрыш наиболее существенен при высоких значениях рисков, а также в случаях, когда значение неизвестного параметра не находится в промежутке Н0 ¸ Н1. Необходимо отметить, что замена прямолинейных границ зон принятия альтернативных гипотез в критериях Вальда осуществляется лишь в случаях, когда a* < a или b* < b, где a* и b* – фактические риски излишней настройки и незамеченной разладки.

На рис. 1 показаны схемы последовательного критерия Вальда, критерия Айвазяна и предлагаемого критерия с параболическими границами.

Рис. 1. Схема последовательных критериев

Разработанные в диссертации методы были использованы в ФГУП «Спецмагнит» для статистического регулирования технологических процессов при производстве четырех видов магнитов на основе сплавов типов ЮНДКТ. Технологией производства предусмотрен промежуточный контроль параметров, который проводится после термомагнитной обработки магнитов (изотермической магнитной обработки) и перед их окончательной механической обработкой. В случае разладки технологического процесса среднее значение контролируемого параметра имеет тенденцию к уменьшению относительно номинального значения, а стандартное отклонение, напротив, возрастает.

Величины номинального значения параметра и допустимого разброса принимаются в качестве параметров нормального распределения, соответствующие основной гипотезе (m0 и s0). Значение m1 принимается равным 0,5m0, а значение s1 выбираем равным 2s0. Если выход процесса из управляемого состояния характеризуется изменением обоих параметров, то переходим к непараметрическому способу. В последнем случае q0 принимается равным 0,1, а q1 – 0,2. Риски излишней настройки и незамеченной разладки принимаются равными 0,3. Результаты моделирования описанных планов контроля приведены в табл. 4

Таблица 4

Отношение значений контролируемых

параметров

Критерий Вальда

Критерий Айвазяна

Критерий Лордена

Критерий Павлова

Предлагаемый критерий

m0/m1 = 2,0

127

117

150

130

100

s0/s1 = 0,5

135

126

144

135

100

q0/q1 = 0,5

140

155

119

185

100

Результаты статистического эксперимента показывают, что предлагаемый в диссертации критерий с параболическими границами позволяет в среднем существенно сократить необходимый объем выборки. При этом риски незамеченной разладки и излишней настройки не превышают допустимых значений.

В приложении 1 в форме таблиц представлены результаты математического моделирования оптимальных последовательных процедур обнаружения.

В приложении 2 приводится акт внедрения основных результатов диссертационной работы.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ ДИССЕРТАЦИИ

1. Исследована сравнительная эффективность различных способов уменьшения продолжительности и объема последовательной процедуры статистического регулирования технологических процессов. Установлено, что наилучшие результаты получаются при использовании параболической зависимости максимального числа несоответствий, при котором принимается решение об отсутствии разладки, от общего числа проверенных образцов или продолжительности процедуры регулирования.

2. Предложены алгоритмы статистического регулирования технологических процессов на основе оптимальных последовательных процедур: приближенного варианта оптимального обобщенного последовательного критерия (критерий Айвазяна), двойного последовательного критерия отношения вероятностей (критерий Лордена), модифицированного двойного последовательного критерия отношения вероятностей (критерий Павлова).

3. Предложен алгоритм синтеза последовательной процедуры регулирования, основанный на усечении классической последовательной процедуры Вальда за счет использования границ зон принятия альтернативных гипотез о наличии или отсутствии разладки в виде парабол с коэффициентами, определяемыми методом математического моделирования.

4. Методом статистического моделирования установлено, что предложенный метод дает выигрыш в уменьшении объема выборки по сравнению с применявшимися ранее и использующими различные способы усечения последовательного критерия (до 40% по сравнению с классической процедурой Вальда).

5. Полученные результаты позволяют при допустимых рисках излишней настройки и незамеченной разладки выбрать наиболее экономичный критерий. Это тем более важно, что прежде сравнение эффективности этих критериев не проводилось, а полученные ранее асимптотические формулы представляют лишь теоретический интерес.

Результаты работы могут использоваться в других областях применения статистического последовательного анализа.

ОСНОВНЫЕ ПУБЛИКАЦИИ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1. Гродзенский Я. С. Применение оптимальных статистических последовательных критериев для контроля технологических процессов // Метрология, 2009, № 5, с. 3-9.

2. Гродзенский Я. С. Измерение показателей качества путем рационализации процедуры статистического регулирования технологических процессов // Измерительная техника, 2009, № 7, с. 15-16. Grodzenskii Ya. S. Quality parameter measurement by rationalizing process statistical regulation //Measurement Techniques. 2009. V. 52. N 7. P. 706.

3. Гродзенский Я. С. Применение подхода Кифера-Вейсса для контроля технологических процессов // Метрология, 2009, № 12, с. 3-6.

4. Гродзенский Я. С. Рационализация процедуры статистического регулирования технологических процессов, когда контролируемый параметр распределен по закону Рэлея // Метрология, 2010, № 6, с. 18-22.

5. Марин В. П., Гродзенский Я. С., Садковская Н. Е. Рационализация процедуры статистического регулирования технологических процессов, когда значение контролируемого параметра имеет экспоненциальное распределение // Наукоемкие технологии, 2010, т. 11, № 7, с. 73-76.

6. Гродзенский Я. С. Новые возможности статистического регулирования технологических процессов // Методы менеджмента качества, 2009, № 9, с. 40-42.

7. Гродзенский Я. С. Эффективность последовательных критериев при контроле параметра, имеющего биномиальное распределение // Сб. Инновации в условиях развития информационно-коммуникационных технологий / Материалы научно-практической конференции. – М.: МИЭМ, 2009, с.101-102.

8. Гродзенский Я. С., Марин В. П., Садковская Н. Е. Совершенствование процедуры статистического регулирования технологических процессов // Сб. Инновации в условиях развития информационно-коммуникационных технологий / Материалы научно-практической конференции. – М.: МИЭМ, 2009, с.103-104.

9. Марин В. П., Гродзенский Я. С. Совершенствование процедуры статистического регулирования технологических процессов при дискретном распределении параметра // Сб. Фундаментальные проблемы радиоэлектронного приборостроения / Материалы Международной научно-технической конференции INTERMATIC-2009. – М.: МИРЭА, 2009, ч. 3, с. 273-275.

10. Марин В. П., Березин В. М., Гродзенский Я. С. О применении карт кумулятивных сумм при контроле средних значений и размахов // Сб. Фундаментальные проблемы радиоэлектронного приборостроения / Материалы Международной научно-технической конференции INTERMATIC-2009. – М.: МИРЭА, 2009, ч. 3, с. 276-279.

11. Гродзенский Я. С. Высокие статистические технологии при регулировании технологических процессов // Научный вестник МИРЭА, 2010, № 1(8), с. 20-26.

12. Гродзенский Я. С., Марин В. П., Аристов А. И. Рационализация процедуры статистического регулирования технологических процессов, когда контролируемый параметр распределен по закону Рэлея // Сб. Инновации в условиях развития информационно-коммуникационных технологий / Материалы научно-практической конференции. – М.: МИЭМ, 2010, с. 362-364.



Архивы pandia.ru
Алфавит: АБВГДЕЗИКЛМНОПРСТУФЦЧШЭ Я

Новости и разделы


Авто
История · Термины
Бытовая техника
Климатическая · Кухонная
Бизнес и финансы
Инвестиции · Недвижимость
Все для дома и дачи
Дача, сад, огород · Интерьер · Кулинария
Дети
Беременность · Прочие материалы
Животные и растения
Компьютеры
Интернет · IP-телефония · Webmasters
Красота и здоровье
Народные рецепты
Новости и события
Общество · Политика · Финансы
Образование и науки
Право · Математика · Экономика
Техника и технологии
Авиация · Военное дело · Металлургия
Производство и промышленность
Cвязь · Машиностроение · Транспорт
Страны мира
Азия · Америка · Африка · Европа
Религия и духовные практики
Секты · Сонники
Словари и справочники
Бизнес · БСЕ · Этимологические · Языковые
Строительство и ремонт
Материалы · Ремонт · Сантехника