Асимптотическая эквивалентность нелинейных разностно-динамических систем

Образование и науки | Эта статья также находится в списках: , , , , , , , , , , , , , , , , , , , | Постоянная ссылка

УДК 517.9

СЛАМЖАНОВА САЯ СЛАМЖАНКЫЗЫ

Асимптотическая эквивалентность

нелинейных разностно-динамических систем

01.01.02 – дифференциальные уравнения и математическая физика

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени

кандидата физико-математических наук

Республика Казахстан

Алматы, 2010

Работа выполнена в Жетысуском государственном университете имени И. Жансугурова

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

профессор Бопаев К. Б.

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор Тлеубергенов М. И.

кандидат физико-математических наук,

доцент Алдибеков Т. М.

Ведущая организация: Актюбинский государственный

университет им. К. Жубанова

Защита состоится «26» ноября 2010 г. в 15.00 час. на заседания диссертационного совета Д53.04.01 при Институте математики МОН РК по адресу: 050010, г. Алматы, ул. Пушкина, 125, к. 306, конференц-зал.

С диссертацией можно ознакомиться в Центральной научной библиотеке Министерства образования и науки Республики Казахстан

Автореферат разослан «­­__» октября 2010 г.

Ученый секретарь

диссертационного совета,

доктор физико-математических наук Асанова А. Т.

ВВЕДЕНИЕ

Общая характеристика работы. Диссертационная работа посвящена одному из основных направлений качественной теории разностно-динамических систем – теории асимптотического решения РДС, в которой исследуется задача асимптотической эквивалентности решений РДС. В работе получены общие признаки асимптотической эквивалентности разностно-динамических систем по Левинсону и Брауэру, согласно которым первая система характеризуется постоянными коэффициентами, а вторая – нелинейного вида. В работе изложены необходимые и достаточные условия асимптотической эквивалентности линейных и нелинейных РДС. Кроме того, определены достаточные условия существования гомеоморфизма начальных условий РДС линейных и нелинейных РДС, решена задача существования асимптотического равновесия (аналог задачи Чезари) для РДС, а также доказаны теоремы существования асимптотического равновесия для нелинейных РДС.

Актуальность темы. Основы качественной теории РДС были заложены в начале XX века немецким математиком Та Ли и французским математиком Ж. Адамаром. Основная проблема, которую изучал Та Ли, связана с устойчивым решением, представляющим равновесие на множестве натуральных чисел при малых изменениях начальных условий, определяющих данное решение. Теорией устойчивости занимались такие математики, как Н. В.Бромберг, Я. З.Цыпкин, Ю. А.Митропольский, В. И.Арнольд, Д. И.Мартынюк, К. Г.Валеев, А. Н.Шарковский, И. В.Гайшун, В. Б.Демидович, Ж. Пошпетта, и др.

Первый результат по теории устойчивости по первому приближению для РДС установил Н. В.Бромберг, выделивший класс РДС. По его определению, если в первом приближении РДС все ее характеристические числа по модулю меньше единицы, то этого достаточно для сохранения асимптотической устойчивости. Необходимо заметить, что Н. В.Бромберг установил это в классе возмущений, являющихся голоморфными функциями, разложения которых начинаются с членов не ниже второго порядка (это фактический асимптотическая эквивалентность РДС со своим первым приближением).

В связи с развитием электронной техники, начиная с 60-го года прошлого века, в Японии РДС занимались такие математики, как Танака, Харриз и Такаяма, которые разрабатывали аналитические теории РДС, позже этими вопросами занимались так же в Европе и в СССР.

До настоящего времени в РДС почти полностью решена линейная задача с постоянными коэффициентами. При этом в их изучениях применялся аналог методов исследования соответствующих систем дифференциальных уравнений. А задачи, связанные с изучением линейных систем с переменными коэффициентами и нелинейные, находятся в начальной стадии исследования, так как второй метод Ляпунова к исследованию задач устойчивости решения РДС введена в начале 50-х годов прошлого века. Между тем нелинейные задачи начали исследоваться с 70-х годов ХХ века, с чем было связано и появление хаотической динамики, которая привела исследователей в синергетику. В конце 60-х годов прошлого века при исследовании задач устойчивости РДС в критическом случае появился метод нормализации РДС, то есть приведение нелинейных РДС к линейным с помощью нелинейных преобразований, сохраняющих понятие устойчивости. Именно тогда было замечено, что преобразование разбивает РДС на классы так, что РДС, принадлежащие одному классу имеют одинаковые качественные свойства, то есть они по этим качественным свойствам находятся в отношении эквивалентности. Понятия в отношении, в которых РДС выступают как эквивалентные, могут быть равновесия, владения периодическими решениями, устойчивость, управляемость, наблюдаемость, и т. д.

Если отношения эквивалентности связаны с асимптотическими свойствами решения, то их связь называют асимптотической эквивалентностью.

Задача асимптотической эквивалентности РДС в общем виде до сих пор не была предметом специального изучения. Эта задача исследуется впервые в данной работе. Это делает тему диссертационной работы актуальной.

Цель диссертационной исследования заключается в определении достаточных условий для асимптотической эквивалентности линейных и нелинейных разностно-динамических систем и ее применения в задачах качественного исследования решения РДС.

Научная новизна исследования. В работе впервые получены коэффициентные критерии для решения заданной РДС и на возмущение ее коэффициентов, определяющих асимптотическую эквивалентность данной и возмущенной РДС. Такие же критерии получены в тех случаях, когда одно из РДС – нелинейные. Кроме того, получено достаточное количество критериев асимптотической эквивалентности РДС в зависимости от структуры правых частей. Получены условия устойчивости решения РДС при постоянно действующих возмущениях с помощью критериев асимптотической эквивалентности, указывая класс РДС асимптотически эквивалентных на всем пространстве с РДС , которые обладают асимптотическим равновесием для разностно-динамических систем решена задача, аналогичная задаче Чезари, для систем дифференциальных уравнений.

Научные положения, выносимые на защиту:

- вводится в РДС понятие асимптотической эквивалентности, используя методы исследования линейных и нелинейных РДС, получены достаточные условия асимптотической эквивалентности линейных РДС, определены коэффициентные критерии данных и ее возмущенные РДС, определяющие их асимптотическую эквивалентность. Аналогичные критерии, дополненные условиями на нелинейное возмущение, установлены для асимптотической эквивалентности линейной и нелинейной РДС.

- получены общие признаки асимптотической эквивалентности разностно-динамических систем по Левинсону и Брауэру, когда первая система характеризуется с постоянными коэффициентами, а вторая – нелинейного вида.

- получены необходимые и достаточные условия асимптотической эквивалентности линейных и нелинейных РДС.

- получены достаточные условия существования гомеоморфизма начальных условий для линейных и нелинейных РДС.

- получены условия устойчивости решения РДС при постоянно действующих возмущениях с помощью критериев асимптотической эквивалентности.

- установлены достаточные условия существования асимптотического равновесия (аналог задачи Чезари) для линейных и нелинейных РДС.

Апробация работы. Основные результаты диссертационной работы докладывались и обсуждались на: международной научной конференции студентов, аспирантов и молодых ученых «Ломоносов -2006» (Астана, 2006г); международной научно-практической конференции, посвященной 75-летию академика У. А.Джолдасбекова (Талдыкорган, 2006г); международной научно-практической конференции «Современные проблемы математики, механики и информационных технологий» (Талдыкорган, 2007г); 12-ой межвузовской конференции по математике, механике и информатике (Алматы, 2008г); республиканской научно-практической конференции «Проблемы непрерывного образования: школа, колледж, университет» (Талдыкорган, 2009г.); международной научно-практической конференции «Современные достижения в науке и образовании: математика и информатика», (Архангельск, 2010г.); международной научной конференции студентов, магистрантов и молодых ученых «Ломоносов -2010» (Астана, 2010г); XI международной конференции «Устойчивость и колебания нелинейных систем управления» (Москва, 2010г), на научном семинаре «Качественная теория динамических систем» в Жетысуского государственного университета им. И. Жансугурова (рук. – д. ф.-м. н., проф. Бопаев К. Б.), лаборатории динамических систем ИМ МОН РК (рук. – д. ф.-м. н., проф. Тлеубергенов М. И.), лаборатории дифференциальных уравнений ИМ МОН РК (рук. – д. ф.-м. н., проф. Джумабаев Д. С.).

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в 13 работах. В совместных публикациях с научным руководителем К. Б.Бопаевым. Соавтору принадлежит постановка задачи и обсуждение полученных результатов.

Структура и объем. Диссертационная работа состоит из введения, двух разделов, заключения и списка использованных источников. Список использованных источников включает 80 наименований.

Теоретическая и практическая значимость исследования. Полученные в работе результаты имеют как теоретическое, так и практическое значение, могут найти применение в теории устойчивости, теории синергетики, теории управления и их приложениях.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обосновывается актуальность темы диссертационной работы, указывается цель, новизна, дается краткий обзор содержания диссертации.

Обозначим совокупность разностно-динамических систем через .

Пусть РДС из множества имеют вид:

где

Определение 1. Допустим, что РДС (1) и (2) гомеоморфны, если существуют преобразования

(3)

переводящие решения , в решения , и, наоборот, решения , в решения . Кроме того, при каждом осуществляются гомеоморфные отображения пространства на себя.

Этим определением на множестве вводится отношение эквивалентности, предположении что все решения РДС из множества определены для .

Определение 2. Будем говорить, что РДС (1) и (2) асимптотически эквивалентны, если между их решениями и можно установить однозначное соответствие такое, что

Определение 3. РДС (1) и (2) называются асимптотически эквивалентными по Левинсону, если при для существует биекция такая, что

(4)

(5)

при и любых .

Определение 4. РДС (1) и (2) называются асимптотически эквивалентными по Брауэру, если при существуют два отображения , таких, что

(6)

(7)

при для любых решений и , РДС (1) и (2) соответственно.

Первой раздел диссертации состоит из 5 подразделов.

В подразделе 1.1 получены асимптотические формулы, которые связывают решения РДС (1) и (2).

Рассмотрим РДС (1) и (2).

Устанавливается признак асимптотической эквивалентности линейных РДС.

Теорема 1. Пусть решения РДС

(8)

(где А-постоянная - матрица) ограничены на множество N- (натуральных чисел).

Тогда РДС

, (9)

где и ,

асимптотически эквивалентна (8).

Рассматриваются следующие линейные РДС:

, (10)

которая может быть рассмотрена как возмущенная РДС

, (11)

и .

Пусть является фундаментальной матрицей решений РДС (11). Используя замену переменных , получим из (10) РДС следующего вида

, (12)

где .

Построим последовательность матриц определенных на следующим образом: для

Фиксируем . В силу существует момент такой, что , для .

Следовательно, . Тогда ряд сходится для . Обозначив его сумму через , получим

, (13)

. (14)

Теорема 2. Если выполняются условия (13) и (14), тогда РДС (10) и РДС (11) асимптотически эквивалентны.

В первом подразделе также получены асимптотические формулы, которые связывают решения линейной и нелинейной РДС. Здесь отношение эквивалентности не задается, но полученные формулы можно применять, заменяя решения нелинейной РДС решениями линейной РДС, при выполнении асимптотического соотношения

при , (15)

где

. (16)

В подразделе 1.2 получены общие признаки асимптотической эквивалентности систем по Левинсону и Брауэру, когда первая система с постоянными коэффициентами, а вторая – нелинейного вида

, (17)

, (18)

где .

Теорема 3. РДС (17) и (18) асимптотически эквивалентны по Брауэру, если

1) – матрица; ;

2) все решения РДС (17) ограничены;

3) при и ;

4) , ;

5) функция имеет неотрицательную разность .

Следующее утверждение устанавливает асимптотическую эквивалентность по Левинсону РДС (17) и (18).

Теорема 4. РДС (17) и (18) асимптотический эквивалентны по Левинсону, если:

1) ;

2) все решения РДС (17) ограничены;

3) при ;

4) функция имеет неотрицательную разность ;

5) где ,

при и .

В качестве примера приведена теорема об устойчивости при постоянно действующих возмущениях для нелинейных РДС.

В подразделе 1.3 получены необходимые и достаточные условия асимптотической эквивалентности РДС.

Рассмотрим РДС при более общих условиях. Пусть

, (19)

, (20)

где – непрерывное отображение; Показано, что не всякий класс эквивалентности содержит линейные РДС.

Допустим, что решения РДС (20) существуют при . Пусть , , .

Теорема 5. Для существования множества такого, чтобы на и РДС (19) и (20) были бы асимптотически эквивалентными по Брауэру, необходимо и достаточно выполнения равенства

,

которое справедливо при любом и некотором и наоборот, при любом и некотором это равенство справедливо.

Подраздел 1.4 посвящен проблеме асимптотической эквивалентности и вопро­су существования гомеоморфизма начальных условий РДС (19) и (20).

Рассматриваются РДС (19) и (20), где - банахова алгебра эндоморфизмов; .

Пусть – фундаментальная матрица РДС (18), норми­рованная в точке , , единичная матрица и для мат­рицы Kоши справедливо неравенство

, (21)

где - неубывающая функция. Пусть

, (22)

где - такая же функция. Тогда справедлива следующая

Теорема 6. Пусть ,

при и α1<α2. Тогда, если:

1) выполняются условия (21), (22) и

при существует;

2);

3) при всех является неубывающей функцией по переменной , тo для решений РДС (20) справедливо неравенство

. (23)

Теорема 7. Пусть выполняются условия теоремы 6 и соотношения

1)

при равномерно относительно

2)  при ; (24)

3)

при равномерно относительно .

Тогда РДС (19) и (20) асимптотически эквивалентны по Брауэру относительно функции . Кpоме тогo, существyeт такое отображение , что при равномерно относительно

Теорема 8. Пусть выполняются все условия теоремы 7 и существует функция такая, что:

1)  (25)

при ;

2)  при , если ;

3)  существует такое , что

, при всех . Тогда РДС (19) и (20) асимптотически эквивалентны по Левинсону относительно функции , т. е. отображение P устанавливает взаимно однозначное соответствие между точками .

Теорема 9. Если выполняются условия теорема 8 решения РДС (19) равномерно ограничены на любом множестве , то

(26) является гомеоморфизмом, отображающим пространство на себя так, что через соответствующие точки в начальный момент проходят решения и РДС (19) и (20), удовлетворяющие условиям

при .

В подразделе 1.5 рассматривается покомнонентная асимптотическая эквивалентность РДС на многообразиях.

Определение 5. Будем говорить, что РДС (1) и (2) покомпонентно асимптотически эквивалентны (слабо асимптотически эквивалентны) относительно , при на многообразии , если при для каждого решения существует решение такое, что

(27)

при , и наоборот, для каждого решения существует решение такое, что справедливо равенство (27).

Теорема 10. Если существует отображение такое, что для любых

при ,, или

при ,,

то РДС (1) и (2) покомпонентно асимптотически эквивалентно (слабо асимптотически эквивалентны) относительно функции , при на многообразии .

Пусть выполняются условия теоремы 10, тогда будем говорить, что РДС (1) и (2) покомпонентно асимптотически эквивалентны (слабо асимптотически эквивалентны) относительно функций , при на многообразии по: 1.Ляпунову, если – линейное отображение;

2.Немыцкому, если – гомеоморфизм; 3.Левинсону, если – биекция.

Рассмотрим РДС (19) и (20)

где – непрерывные отображения, .

,

здесь – компоненты вектора , . – евклидова норма.

Основные условия. Все решения РДС (5) существуют при любом и . Для любой точки и любого положительного , рассмотрим множество . Тогда, если , то при достаточно большом выполняются неравенства

, (28)

, (29)

, (30)

.

На определим оператор следующим образом:

(31)

, (32)

т. е., если то определяется по формуле (32).

Теорема 11. Пусть соответствие, установленное формулой (32), отображает гладкое многообразие на , тогда РДС (19) и (20) покомпонентно слабо асимптотически эквивалентны по: а) Ляпунову, если – линейное отображение; б) Немыцкому, если – гомеоморфизм; в) Левинсону, если – биекция; г) Брауеру, если – сюръекция.

Предположим, что и выполняется дополнительное условие

, где . (33)

Теорема 12. Пусть выполняются основные условия и условие (33), тогда РДС (19) и (20) покомпонентно слабо асимптотически эквивалентны по Брауэру относительно функций при на .

Теорема 13. Пусть выполняются основные условия и условие (33), тогда для того, чтобы РДС (19) и (20) были покомпонентно асимптотически эквивалентны (слабо асимптотически эквивалентны) по Ляпунову относительно функции , , при на многообразии , необходимо и достаточно, чтобы

. (34)

Теорема 14. Пусть выполняются основные условия и условие (33), тогда, если оператор (31) на шаре имеет единственную неподвижную точку, то РДС (19) и (20) покомпонентно асимптотически эквивалентны (слабо асимптотически эквивалентны) по Левинсону относительно функции , , при на многообразии .

Во втором разделе на основе результатов первого раздела решена задача существования асимптотического равновесия (аналог задачи Чезари) для РДС и доказаны достаточные условия существования асимптотического равновесия для нелинейных РДС.

В подразделе 2.1 устанавливается связь между задачей Чезари

и асимптотической эквивалентностью РДС (1)-(2).

Определение 6. Будем говорить, что РДС (1), где , , имеет асимптотическое равновесие, если каждое его решение имеет предел при и для любого заданного существует решение , которое при имеет своим пределом вектор с.

Существование асимптотического равновесия у РДС (1) равносильно его асимптотической эквивалентности по Брауэру относительно постоянной функции при РДС . Поэтому все полученные в первом разделе теоремы можно применять для решения задачи Чезари. Кроме того, на основании различных понятий асимптотической эквивалентности, можно рассматривать разные виды асимптотического равновесия.

Определение 7. Допустим, что РДС (1) на многообразии имеет асимптотическое равновесие по компонентам , если каждое его решение обладает свойством

(35)

и наоборот, для любых чисел существует решение РДС (1) такое, что справедливо равенство (35).

Теорема 15. РДС (1) имеет асимптотическое равновесие по компонентам на многообразии тогда и только тогда, когда оно покомпонентно асимптотически эквивалентно по Брауэру на этом многообразии относительно функции , где РДС вида

.

Теорема 16. Пусть РДС (19) и (20) покомпонентно асимптотически эквивалентны по Брауэру на многообразии относительно функций , и на этом многообразии РДС (19) имеет асимптотическое равновесие по компонентам тогда, если то РДС (20) также имеет асимптотическое равновесие по этим компонентам на этом же многообразии.

В подразделе 2.2 доказаны теоремы существования асимптотического равновесия для РДС (1), которые расширяют извест­ные классы РДС для вышеуказанных видов понятия асимптотического равновесия. Здесь появилась необходимость выделения новых классов РДС, имеющих в некоторых множествах равномерно ограниченные решения. Оказалось, что известные критерии не всегда приме­нимы для исследования поведения решений, начинающихся на множестве .

В этом подразделе, используя схему решения задачи Чезари, рассмотрим РДС вида (19) и (20). Следующее утверждение устанавливает асимптотическое равновесие между линейной и нелинейной РДС.

Теорема 17. Пусть выполняется следующие условия:

1) ;

2) при любом ;

3) при и любом ;

4) - неубывающая функция по переменной ;

5) РДС (19) имеет асимптотическое равновесие. Тогда РДС (20) имеет асимптотическое равновесие.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Диссертационная работа посвящена исследованию качественных свойств решений РДС, основу которого составляет метод асимптотической эквивалентности решения РДС. В работе получены следующие новые результаты:

- получены общие признаки асимптотической эквивалентности разностно-динамических систем по Левинсону и Брауэру, когда первая система с постоянными коэффициентами, а вторая – нелинейного вида;

- выявлены необходимые и достаточные условия асимптотической эквивалентности линейных и нелинейных РДС;

- определены достаточные условия существования гомеоморфизма начальных условий для линейных и нелинейных РДС;

- доказаны достаточные условия существования асимптотического равновесия (аналог задачи Чезари) для РДС;

- доказаны достаточные условия существования асимптотического равновесия для нелинейных РДС;

Оценка полноты решений поставленных задач: поставленные задачи полностью решены, а содержание работы опубликованы в 13 работах.

Разработка рекомендаций и исходных данных по конкретному использованию результатов: Полученные в работе результаты могут быть использованы в качественной теории дифференциальных уравнений, теории устойчивости, теории управления динамических систем и других областях науки, а также внедрены в учебный процесс вуза.

Оценка научного направления выполненной работы в сравнении с лучшими достижениями в данной области: введение понятия в теорию РДС асимптотической эквивалентности решений РДС разбивают РДС по классам так, что в каждом классе находятся взаимно обусловленные асимптотические эквивалентные разностно-динамические системы, т. е. решение разностно-динамических систем одного класса имеют одинаковые асимптотические свойства. Такие разбиения по классом способствуют качественному исследованию разностно-динамических систем.

В заключение автор выражает искреннюю благодарность своему научному руководителю доктору физико-математических наук, профессору К. Б.Бопаеву за постановку задачи, ценные советы при обсуждении научных результатов.

Список опубликованных работ по теме диссертации

1  Слямжанова С. С. Асимптотическая эквивалентность РДС // Тезисы международной научной конференции студентов, аспирантов и молодых ученых «Ломоносов -2006», г. Астана, – С. 23-24

2  Слямжанова С. С. Асимптотическая эквивалентность РДС (дополнение) //Материалы международной научно-практической конференции, посвященной 75-летию академика У. А.Джолдасбекова, г. Талдыкорган, 2006. – С. 348-349.

3  Слямжанова С. С. Об одной теореме аналитической сопряженности // Материалы международной научно-практической конференции «Современные проблемы математики, механики и информационных технологий», г. Талдыкорган, 2007. – С. 153-155.

4  Слямжанова С. С. Покомпонентная асимптотическая эквивалентность // Материалы международной научно-практической конференции «Современные проблемы математики, механики и информационных технологий», г. Талдыкорган, 2007. – С. 155-156.

5  Сламжанова С. С. Асимптотическая эквивалентность РДС в асимптотической равновесий // Тезисы докладов 12-ой межвузовской конференции по математике, механике и информатике, г. Алматы, 2008. – С. 137.

6  Слямжанова С. С. Покомпонентная асимптотическая эквивалентность РДС // Вестник Жетысуского государственного университета им. И. Жансугурова, г. Талдыкорган, 2008. №3-4 июль-декабрь, – С. 27-33.

7  Сламжанова С. С. Асимптотическая эквивалентность РДС в асимптотической равновесии //Вестник КазНУ, серия математика, механика, информатика, спец. выпуск, г. Алматы, 2008. №3, – С. 227-229.

8  Сламжанова С. С. Покомпонентная асимптотическая эквивалентность разностно-динамических систем РДС // Математический журнал. 2009 том 9 №3(33), – С. 83-93.

9  Бопаев К. Б., Сламжанова С. С. Об устойчивости решения РДС при постоянно действующих возмущениях // Материалы республиканской научно-практической конференции «Проблемы непрерывного образования: школа, колледж, университет», г. Талдыкорган, 2009. – С. 156-159.

10  Бопаев К. Б., Сламжанова С. С. Покомпонентная асимптотическая эквивалентность разностно-динамических систем (РДС) по Немыцкому //Материалы международной научно-практической конференции «Современные достижения в науке и образовании: математика и информатика», г. Архангельск, 2010. – С. 122-127.

11  Сламжанова С. С. Асимптотическое равновесие и асимптотическая эквивалентность разностно-динамических систем (РДС) // Тезисы докладов международной научной конференции студентов, магистрантов и молодых ученых «Ломоносов -2010», I часть, г. Астана, 2010. – С. 62-63.

12  Сламжанова С. С. Покомпонентная асимптотика и гомеоморфизм разностно-динамических систем на многообразиях // Тезисы докладов XI международной конференции «Устойчивость и колебания нелинейных систем управления», г. Москва, 2010. – С. 361-362

13  Сламжанова С. С. Общие методы покомпонентной асимптотической эквивалентности разностно-динамических систем (РДС) //Вестник КазНУ, серия математика, механика, информатика, 2010, №2 (65), – С. 52-58.

Сләмжанова Сая Сләмжанқызы

Сызықтық емес айырымдық динамикалық жүйелердің асимптотикалық эквиваленттілігі

01.01.02 – дифференциалдық теңдеулер және математикалық физика мамандығы бойынша физика-математика ғылымдарының кандидаты дәрежесін алу үшін ұсынылған диссертациясына

Түйін

Диссертациялық жұмыста ең алғаш рет айырымдық динамикалық жүйелердің шешулерін сапалы зерттеуге асимптотикалық эквиваленттілік ұғымы енгізілген. Айырымдық динамикалық жүйелердің асимптотикалық эквиваленттілігінің Левинсон және Брауэр бойынша жалпы белгілері айқындалған. Бұндағы бірінші жүйе тұрақты коэффициентті, ал екіншісі сызықтық емес түрде сипатталады. Сызықтық және сызықтық емес айырымдық динамикалық жүйелердің асимптотикалық эквиваленттілігінің қажетті және жеткілікті белгілері дәлелденеді. Сызықтық және сызықтық емес айырымдық динамикалық жүйелердің бастапқы мәндерінің гомеоморфизмінің жеткілікті шарттары алынды. Айырымдық динамикалық жүйелердің асимптотикалық эквиваленттілігінің салдары ретінде АДЖ үшін асимптотикалық тепе-теңдігі алынды (Чезари есебі). Сызықтық емес айырымдық динамикалық жүйелер үшін асимптотикалық тепе-теңдіктің жеткілікті шарттары дәлелденді.

Зерттеу нысаны – асимптотикалық эквиваленттілік және оның айырымдық динамикалық жүйелерді сапалы зерттеу есептеріне қолдануы. Асимптотикалық тепе-теңдік және АДЖ үшін оларды Чезари есебінің аналогы ретінде шешу.

Диссертациялық жұмыстың мақсаты – Сызықтық және сызықтық емес айырымдық динамикалық жүйелердің асимптотикалық эквиваленттілігінің жеткілікті шарттарын анықтау және оларды айырымдық динамикалық жүйелердің шешулерін сапалы зерттеуге қолдану.

Зерттеу әдістері: айырымдық динамикалық жүйелердің сапалы теориясы, жәй дифференциалдық теңдеулер, орнықтылық теориясы, сызықтық алгебра және талдау теориясы.

Жұмыс кіріспеден, екі бөлімнен, қорытындыдан және қолданылған әдебиеттер тізімінен тұрады.

Кіріспеде диссертация тақырыбының өзектілігі, жұмыстың мақсаты мен жаңалығы және қысқаша мазмұны келтірілген. Бірінші бөлімде айырымдық динамикалық жүйелердің асимптотикалық эквиваленттілігінің Левинсон және Брауэр бойынша жалпы белгілері қарастырылып, сызықтық және сызықтық емес айырымдық динамикалық жүйелердің бастапқы мәндерінің гомеоморфизмінің жеткілікті шарттары анықталған. Жұмыстың екінші бөлімінде айырымдық динамикалық жүйелер үшін асимптотикалық тепе-теңдік (Чезари есебі) алынды. Сызықтық емес АДЖ үшін асимптотикалық тепе-теңдіктің жеткілікті шарттары дәлелденген.

Жұмыстың нәтижелері:

- айырымдық динамикалық жүйелердің асимптотикалық эквиваленттілігінің Левинсон және Брауэр бойынша жалпы белгілері алынды. Бұндағы бірінші жүйе тұрақты коэффициентті, ал екіншісі сызықтық емес түрде сипатталады;

- сызықтық және сызықтық емес айырымдық динамикалық жүйелердің асимптотикалық эквиваленттілігінің қажетті және жеткілікті шарттары айқындалды;

- сызықтық және сызықтық емес айырымдық динамикалық жүйелердің бастапқы мәндерінің гомеоморфизімінің жеткілікті шарттары анықталды;

- айырымдық динамикалық жүйелер үшін асимптотикалық тепе-теңдік жеткілікті шарттары (Чезари есебі) дәлелденді;

- сызықтық емес АДЖ үшін асимптотикалық тепе-теңдіктің жеткілікті шарттары дәлелденген.

Зерттеу жұмысын енгізу бойынша ұсыныс. Жұмыста алынған нәтижелер дифференциалдық теңдеулердің сапалы теориясында, орнықтыл теориясында, динамикалық жүйелерді басқару теориясында және ғылымның басқа да салаларында қолдануға ұсынылады. Сол сияқты жоғары оқу орындарында оқу үдерісіне енгізуге ұсынылады.

Зерттеу жұмысының теориялық және практикалық маңызы. Зерттеу барысында алынған нәтижелер теориялық және практикалық маңызы бар. Орнықтылық теориясында, синергетика теориясында, басқару теориясы және оның қосымшаларында қолданыс таба алады.

Slyamzhanova Saya Slyamzhankyzy

Asymptotic equivalence of nonlinear difference-dynamical systems

the dissertation is presented on competition of a candidate of physical and mathematical sciences on a speciality 01.01.02 – differential equations and mathematical physics

Summary

The dissertation work first introduced the concept of asymptotic equivalence in a qualitative study of solutions of differential-dynamical systems. The general features of the asymptotic equivalence of differential-dynamical systems by Levinson and Brouwer had been set, according to which the first system is characterized by constant coefficients, and the second by non-linear form. Necessary and sufficient conditions for asymptotic equivalence of linear and nonlinear difference-dynamical systems are proved. Sufficient conditions for existence of the homeomorphism of the initial conditions for linear and nonlinear difference-dynamical systems are received. As a consequence of the asymptotic equivalence of the difference-dynamical systems the asymptotic equilibrium (Cesari’s problem) for difference-dynamical systems is obtained. Sufficient conditions of asymptotic equilibrium for non-linear difference-dynamical systems are proved.

Object of the research – the asymptotic equivalence and its application to problems of a qualitative study of difference-dynamical systems, which have asymptotic equilibrium, and their solution as analogues of Cesari for difference-dynamical systems.

На латинице

Словарь – Открыть словарную статью

1.существительное

1.problem

2.task

3.objective

4.goal

5.aim

6.mission

7.exercise

8.proposition

9.why

The aim of the thesis is to determine sufficient conditions for asymptotic equivalence of linear and nonlinear difference-dynamical systems and their application to problems of a qualitative study of solution of difference-dynamical systems.

Methods of the research. The methods of qualitative theory of difference-dynamical systems, ordinary differential equations, stability theory, linear algebra and theory analysis.

In the introduction the relevance of thesis topic is justified, research purpose and objectives are explained, scientific novelty and practical value of the work are given, overview of the literature and the content of the work are given.

The thesis consists of introduction, two section, conclusion and list of used literature. In the first section are considered general criteria for asymptotic equivalence of difference-dynamical systems on Levinson and Brouwer, identified sufficient conditions for the existence of a homeomorphism of the initial conditions for linear and nonlinear difference-dynamical systems. In the second section the asymptotic equilibrium (problem Cesari) for difference-dynamical systems had been received. Sufficient conditions of asymptotic equilibrium for non-linear difference-dynamical systems are proved. In the conclusion the main results of the thesis are offered.

The following results had been taken during the work:

1.  general criteria for asymptotic equivalence of differentce-dynamical systems Levinson and Brouwer is obtained, when the first system with constant coefficients, and the second nonlinear form;

2.  necessary and sufficient conditions for asymptotic equivalence of linear and nonlinear difference-dynamical systems are identified;

3.  identified sufficient conditions for the existence of a homeomorphism of the initial conditions for linear and nonlinear difference-dynamical systems are defined;

4.  sufficient conditions of asymptotic equilibrium (Cesari’s problem) for difference-dynamical systems are proved;

5.  sufficient conditions of asymptotic equilibrium for non-difference-dynamical systems are proved.

Recommendations for implementation. The results can be used in stability theory, control theory, dynamical systems, and other fields of science, as well as implemented to the learning process of the university.

Theoretical and practical significance of the research work. Results have the significance in theory and in practice also. Could find implementation in stability theory, control theory and its applications and in the theory of synergetics.

Прослушать

На латинице

Словарь – Открыть словарную статью

Подписано в печать 26.10.2010 г.

Формат 60х84 1/16. Бумага офсет №1. Печать RISO

Усл. п.л. 1 Тираж 100 экз. Заказ № 759

Отпечатано в компании «CopyLand»

г. Алматы, пр. Сейфулина, 541

тел.: 261-16-12, 261-48-44

E-mail: print@ copyland. kz



Архивы pandia.ru
Алфавит: АБВГДЕЗИКЛМНОПРСТУФЦЧШЭ Я

Новости и разделы


Авто
История · Термины
Бытовая техника
Климатическая · Кухонная
Бизнес и финансы
Инвестиции · Недвижимость
Все для дома и дачи
Дача, сад, огород · Интерьер · Кулинария
Дети
Беременность · Прочие материалы
Животные и растения
Компьютеры
Интернет · IP-телефония · Webmasters
Красота и здоровье
Народные рецепты
Новости и события
Общество · Политика · Финансы
Образование и науки
Право · Математика · Экономика
Техника и технологии
Авиация · Военное дело · Металлургия
Производство и промышленность
Cвязь · Машиностроение · Транспорт
Страны мира
Азия · Америка · Африка · Европа
Религия и духовные практики
Секты · Сонники
Словари и справочники
Бизнес · БСЕ · Этимологические · Языковые
Строительство и ремонт
Материалы · Ремонт · Сантехника