Необыкновенная арифметика – Часть 1

Математика | Эта статья также находится в списках: | Постоянная ссылка

Арифметика остатков Какой счетный механизм умеет считать только до 1000? Наш домашний электросчетчик. Израсходованную электрическую энергию он считает в киловатт-часах (кВт-ч). Например, счетчик показывает число 905,73. Это значит, что начиная с того момента, когда счетчик показывал число 0, израсходовано – 905,73 кВт-ч электроэнергии. Пройдет еще некоторое время, и счетчик покажет 999,99 кВт-ч. А 1000 кВт-ч наш домашний электросчетчик показать не может; вместо 1000 он снова покажет 0 — такова его конструкция. Допустим, что сейчас в окошечках счетчика появилось число 016,09, а месяц назад на этом счетчике было число 880,12. Отбросим десятые и сотые в каждом числе и поставим вопрос: сколько электроэнергии израсходовано за месяц? Зная особенность конструкции электросчетчика, мы, конечно, считаем так: 1016—880= = 136 (кВт-ч). Но сам счетчик не умеет считать дальше тысячи; если бы и мы не умели, то у нас получилась бы несколько необычная арифметика: 016—880= 136,или 880+136=16. Можно сказать и так: в действительности счетчик производит сложение (например, к 880 прибавляет 136), но показывает нам в своих окошечках лишь последние три цифры суммы (десятые и сотые мы в расчет не принимаем), даже если сумма больше тысячи.

Это означает, что, прибавляя к числу, показанному счетчиком в прошлом месяце, число, выражающее расход электроэнергии за последний месяц, счетчик показывает не самую сумму, а остаток от деления этой суммы на 1000. Зная, что несколько лет назад, в момент установки счетчика, на нем было показание 000, а сейчас он показывает 016, вы не сможете установить, сколько электроэнергии было израсходовано за все это время. Вы только сможете сказать, что было израсходовано 16 кВт-ч и еще какое-то целое число тысяч киловатт-часов, но сколько именно тысяч — неизвестно. Счетчик может и умножать.

Вообразим, что некто зажигает свет и гасит его ежедневно в одни и те же часы, так что каждый месяц расходуется одно и то же количество электроэнергии, например 136 кВт-ч. Каков будет расход электроэнергии за год? Очевидно, что ответ будет таков: 136 кВт-ч * 12=1632 кВт-ч. Но счетчик ответит нам на этот вопрос по-другому. Если например, в начале года показание счетчика было 016, то в конце года, после израсходования еще 1632 кВт-ч электроэнергии, показание счетчика будет не 1648, а 648, так что показание счетчика увеличилось лишь на 632. С «точки зрения» счетчика умножение выполняется так: 136*12=632. И здесь счетчик дает нам не само произведение (т. е. 1632), а лишь остаток от деления его на 1000, т. е. число 632. Итак, арифметика счетчика — это арифметика остатков от деления на 1000. В этой арифметике только 999 целых чисел и нуль; сумма и произведение здесь никогда не превышают 999, а при вычитании никогда не будет отрицательных чисел.

Удобнее познакомиться с такой арифметикой, беря остаток от деления на меньшее число, чем 1000. Пусть, например, некоторый механизм считает так: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 и далее опять 0 (вместо числа 7), 1 (вместо числа 8), 2 (вместо числа 9), и т. д., т. е. вместо каждого числа механизм показывает остаток от деления этого числа на 7. Тогда при сложении чисел 6 и 5 получится не 11, а 4. Так и запишем: 6+5 = 4. Аналогично: 4+3=0. Далее, 5-6=2, так как 2 это и есть остаток от деления числа 30 на 7. Наконец, умея складывать и умножать, мы можем попытаться выполнять и обратные действия — вычитание и деление. Например, 1—5=3 (так как 3+5=1); 5:3=4 (так как 3-4=5). В такой арифметике, которую можно назвать «арифметикой остатков от деления на 7», имеется конечное множество чисел – всего 7. Эти семь чисел (т. е. остатки от деления на 7, над которыми действия выполняются так, как это было объяснено выше) называются вычетами по модулю 7. Показания счетчика (если отбросить в них десятые и сотые доли) также являются вычетами (т. е. остатками), но уже по модулю 1000. Конечно, можно рассматривать вычеты и по другим модулям; например, показания минутной стрелки часов являются вычетами по модулю 60 (ведь через каждые 60 минут минутная стрелка начинает отсчитывать минуты заново: одна, две,…). Чтобы не смешивать обычное равенство чисел с равенством остатков от деления двух чисел на какое-либо число, последнее, как правило, записывают так: а = b (mod m) (читают: а сравнимо с b по модулю m, т. е. а и b при делении на m дают одни и те же остатки). В наших примерах следовало бы записать так: 6+5 = 4 (mod 7) или 5*6=2 (mod 7). В настоящей статье мы этого правила придерживаться не будем. Вернемся снова к вычетам по модулю 7. Как мы видели, сложение и умножение вычетов производится очень легко: надо их сложить или перемножить, как обычные числа, после чего взять не сам полученный результат, а его остаток от деления на 7. Подсчитывая всевозможные суммы и произведения вычетов, можно составить «таблицу сложения» и «таблицу умножения».

Математика | Эта статья также находится в списках: | Постоянная ссылка
Мы в соцсетях:




Архивы pandia.ru
Алфавит: АБВГДЕЗИКЛМНОПРСТУФЦЧШЭ Я

Новости и разделы


Авто
История · Термины
Бытовая техника
Климатическая · Кухонная
Бизнес и финансы
Инвестиции · Недвижимость
Все для дома и дачи
Дача, сад, огород · Интерьер · Кулинария
Дети
Беременность · Прочие материалы
Животные и растения
Компьютеры
Интернет · IP-телефония · Webmasters
Красота и здоровье
Народные рецепты
Новости и события
Общество · Политика · Финансы
Образование и науки
Право · Математика · Экономика
Техника и технологии
Авиация · Военное дело · Металлургия
Производство и промышленность
Cвязь · Машиностроение · Транспорт
Страны мира
Азия · Америка · Африка · Европа
Религия и духовные практики
Секты · Сонники
Словари и справочники
Бизнес · БСЕ · Этимологические · Языковые
Строительство и ремонт
Материалы · Ремонт · Сантехника