Факторный анализ

Большая Советская Энциклопедия      Постоянная ссылка | Все категории

Факторный анализ, раздел статистического анализа многомерного,. объединяющий методы оценки размерности множества наблюдаемых переменных посредством исследования структуры ковариационных или корреляционных матриц. Основное предположение Ф. а. заключается в том, что корреляционные связи между большим числом наблюдаемых переменных определяются существованием меньшего числа гипотетических ненаблюдаемых переменных или факторов. В терминах случайных величин – результатов наблюдений X1,…, Xn общей моделью Ф. а. служит следующая линейная модель:

(*),

,

где случайные величины fj суть общие факторы, случайные величины Ui суть факторы, специфические для величин Xi и не коррелированные с fj, а ei; суть случайные ошибки. Предполагается, что k < n задано, случайные величины ei независимы между собой и с величинами fj и Ui и имеют Еei = 0, Dei = s2i. Постоянные коэффициенты aij называются факторными нагрузками (нагрузка i-й переменной на jфактор). Значения aij, bi, и s2i считаются неизвестными параметрами, подлежащими оценке. В указанной форме модель Ф. а. отличается некоторой неопределённостью, т. к. n переменных выражаются здесь через n + k других переменных. Однако уравнения (*) заключают в себе гипотезу о ковариационной матрице, которую можно проверить. Например, если факторы fj некоррелированы и cij – элементы матрицы ковариаций между величинами Xi, то из уравнений (*) следует выражение для cij через факторные нагрузки и дисперсии ошибок:

, .

Т. о., общая модель Ф. а. равносильна гипотезе о ковариационной матрице, а именно о том, что ковариационная матрица представляется в виде суммы матрицы А = {aij} и диагональной матрицы L с 2 элементами s2i.

Процедура оценивания в Ф. а. состоит из двух этапов: оценки факторной структуры – числа факторов, необходимого для объяснения корреляционной связи между величинами Xi, и факторной нагрузки, а затем оценки самих факторов по результатам наблюдения. Принципиальные трудности при интерпретации набора факторов состоят в том, что при k > 1 ни факторные нагрузки, ни сами факторы не определяются однозначно, т. к. в уравнении (*) факторы fj могут быть заменены любым ортогональным преобразованием. Это свойство модели используется в целях преобразования (вращения) факторов, которое выбирается так, чтобы наблюдаемые величины имели бы максимально возможные нагрузки на один фактор и минимальные нагрузки на остальные факторы. Существуют различные практические способы оценки факторных нагрузок, имеющие смысл в предположении, что Xi,…, Xn подчиняются многомерному нормальному распределению с ковариационной матрицей С = {сij}. Выделяется максимального правдоподобия метод, который приводит к единственным оценкам для cij, но для оценок aij даёт уравнения, которым удовлетворяет бесчисленное множество решений, одинаково хороших по статистическим свойствам.

Ф. а. возник и первоначально разрабатывался в задачах психологии (1904). Область его приложения значительно шире – Ф. а. находит применение при решении различных практических задач в медицине, экономике, химии и т. д. Однако многие результаты и методы Ф. а. пока ещё не обоснованы, хотя практики ими широко пользуются. Математическое строгое описание современного Ф. а. – задача весьма трудная и до сих пор в полной мере не решенная.

Лит.: Лоул и Д., Максвелл А., Факторный анализ как статистический метод, пер. с англ., М., 1967; Харман Г., Современный факторный анализ, пер. с англ., М., 1972.

А. В. Прохоров.


Большая Советская Энциклопедия      Постоянная ссылка | Все категории
Мы в соцсетях:




Архивы pandia.ru
Алфавит: АБВГДЕЗИКЛМНОПРСТУФЦЧШЭ Я

Новости и разделы


Авто
История · Термины
Бытовая техника
Климатическая · Кухонная
Бизнес и финансы
Инвестиции · Недвижимость
Все для дома и дачи
Дача, сад, огород · Интерьер · Кулинария
Дети
Беременность · Прочие материалы
Животные и растения
Компьютеры
Интернет · IP-телефония · Webmasters
Красота и здоровье
Народные рецепты
Новости и события
Общество · Политика · Финансы
Образование и науки
Право · Математика · Экономика
Техника и технологии
Авиация · Военное дело · Металлургия
Производство и промышленность
Cвязь · Машиностроение · Транспорт
Страны мира
Азия · Америка · Африка · Европа
Религия и духовные практики
Секты · Сонники
Словари и справочники
Бизнес · БСЕ · Этимологические · Языковые
Строительство и ремонт
Материалы · Ремонт · Сантехника