Характеристика (в математике)

Большая Советская Энциклопедия      Постоянная ссылка | Все категории

Характеристика в математике, 1) целая часть десятичного логарифма.

2) Понятие теории дифференциальных уравнений с частными производными.

Х. дифференциального уравнения 1-го порядка

, (1)

где Р = P (x, y, z), Q = Q (x, y, z), R = R (x, y, z) заданные функции, называются кривые, определяемые системой обыкновенных дифференциальных уравнений

. (2)

Интегрируя систему (2), получают семейство характеристик j(x, y, z) = C1, y(x, y, z) = C2 (C1, C2 — произвольные постоянные) как совокупность кривых, касающихся в каждой своей точке вектора {P, Q, R}. Всякая интегральная поверхность уравнения (1) представляет собой геометрическое место Х., пересекающих некоторую кривую; уравнение такой поверхности может быть записано в виде F[j(x, y, z), y(x, y, z)] = 0, где F — некоторая функция двух переменных. Обратно, чтобы найти интегральную поверхность, проходящую через заданную кривую (см. Коши задача), достаточно построить геометрическое место Х., пересекающих эту кривую. Задача Коши имеет одно и только одно решение, если заданная кривая не является Х. Понятие Х. обобщается на случай дифференциального уравнения 1-го порядка с числом независимых переменных, большим двух.

Х. дифференциального уравнения 2-го порядка

(3)

были введены Г. Монжем (1784, 1795) как линии, вдоль которых удовлетворяется обыкновенное дифференциальное уравнение

. (4)

Если уравнение (3) принадлежит к гиперболическому типу, то получаются два семейства Х. с уравнениями x(x, y) = C1 и h(х, у) = C2 (C1, C2 — произвольные постоянные); взяв x и h за новые аргументы, можно привести уравнение (3) к виду

.

Для уравнения (3) параболического типа эти семейства совпадают; если выбрать аргумент h произвольно, то уравнение (3) приведется к виду

.

Уравнение (3) эллиптического типа не имеет вещественных Х.; если записать решение уравнения (4) в виде x ± ih = C, то уравнение (3) преобразуется к виду

.

Значения решения и вдоль Х. и значения и в какой-либо её точке полностью определяют значения этих производных вдоль всей линии [на этом основан т. н. метод Х. решения краевых задач для уравнения (3)]; для других линий такой связи нет. С другой стороны, значения u, и , заданные на линии, не являющейся Х., определяют значения решения вблизи этой линии; для Х. же это не так. Если два решения уравнения (3) совпадают по одну сторону от некоторой линии и различны по другую, то эта линия непременно является Х.

Если коэффициенты уравнения (3) зависят от u, и (квазилинейный случай), то Х., определяемые из уравнения (4), будут разные для разных решений. Имеются определения Х. и для уравнений и систем уравнений с частными производными любого порядка.

Лит. см. при ст. Уравнения математической физики.


Большая Советская Энциклопедия      Постоянная ссылка | Все категории
Мы в соцсетях:




Архивы pandia.ru
Алфавит: АБВГДЕЗИКЛМНОПРСТУФЦЧШЭ Я

Новости и разделы


Авто
История · Термины
Бытовая техника
Климатическая · Кухонная
Бизнес и финансы
Инвестиции · Недвижимость
Все для дома и дачи
Дача, сад, огород · Интерьер · Кулинария
Дети
Беременность · Прочие материалы
Животные и растения
Компьютеры
Интернет · IP-телефония · Webmasters
Красота и здоровье
Народные рецепты
Новости и события
Общество · Политика · Финансы
Образование и науки
Право · Математика · Экономика
Техника и технологии
Авиация · Военное дело · Металлургия
Производство и промышленность
Cвязь · Машиностроение · Транспорт
Страны мира
Азия · Америка · Африка · Европа
Религия и духовные практики
Секты · Сонники
Словари и справочники
Бизнес · БСЕ · Этимологические · Языковые
Строительство и ремонт
Материалы · Ремонт · Сантехника