Дифференцированный подход к обучению геометрии учащихся основной школы

Прочие материалы детской тематики      Постоянная ссылка | Все категории

ГОУ ВПО «МОРДОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ имени М. Е.ЕВСЕВЬЕВА»

На правах рукописи

Кильдяева Лариса Геннадьевна

ДИФФЕРЕНЦИРОВАННЫЙ ПОДХОД К ОБУЧЕНИЮ ГЕОМЕТРИИ УЧАЩИХСЯ ОСНОВНОЙ ШКОЛЫ

13.00.02 – Теория и методика обучения и воспитания

(математика)

ДИССЕРТАЦИЯ

на соискание ученой степени

кандидата педагогических наук

Научный руководитель:

член-корреспондент РАО, доктор педагогических наук, профессор Г. И.Саранцев

Саранск – 2006

СОДЕРЖАНИЕ

ВВЕДЕНИЕ………………………………………………………………………3

ГЛАВА I. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ДИФФЕРЕНЦИРОВАННОГО ПОДХОДА К ОБУЧЕНИЮ ГЕОМЕТРИИ УЧАЩИХСЯ ОСНОВНОЙ ШКОЛЫ………………………………………………..11

§1. Понятие дифференциации обучения……………………………..11

§2. Анализ литературы по проблеме дифференцированного подхода к обучению школьников геометрии …………………………………25

§3. Структурные компоненты личности школьника и пути их

формирования…………………………………………………………44

3.1.Мотивационно-потребностная сфера и её формирование…44

3.2. Содержательно-операционный компонент школьника

и его формирование………………………………………………50

3.3. Эмоционально-волевая сфера и её формирование…………53

ВЫВОДЫ ПО ГЛАВЕ I ………………………………………………………59

ГЛАВА II. МЕТОДИЧЕСКИЕ АСПЕКТЫ ДИФФЕРЕНЦИРОВАННОГО ПОДХОДА К ОБУЧЕНИЮ ГЕОМЕТРИИ УЧАЩИХСЯ ОСНОВНОЙ ШКОЛЫ………………………………………………………………………….61

§1. Дифференцированный подход к обучению школьников геометрии в условиях обязательных результатов…………………..64

§2. Дифференцированный подход к обучению школьников геометрии в условиях продвинутых результатов……………………95

§ 3. Организация и результаты экспериментальной работы………121

ВЫВОДЫ ПО ГЛАВЕ I I ……………………………………………………143

ЗАКЛЮЧЕНИЕ……………………………………………………………….145

ЛИТЕРАТУРА ………………………………………………………………..148

ПРИЛОЖЕНИЯ……………………………………………………………….162

ВВЕДЕНИЕ

Основной вектор перестройки современной общеобразовательной школы в соответствии с объективными требованиями общества и логикой эволюции школы как социального института связан с ориентацией на развитие индивидуальных психологических ресурсов ученика. Школа сегодняшнего дня делает попытку повернуться к личности ребенка, к его индивидуальности, создать наилучшие условия для развития и максимальной реализации его склонностей и способностей в настоящем и будущем. Каждый ребенок должен иметь гарантии того, что он займет достойное, с точки зрения своих личностных прав, место в процессе школьного образования.

Личность характеризуется присущими ей индивидуальными особенностями характера, интеллекта, темперамента, способностей, совокупностью преобладающих чувств и мотивов деятельности, а также особенностями протекания психических процессов. У каждого человека это неповторимое в своей индивидуальности сочетание свойств образует устойчивое единство и вместе с тем сохраняет известную динамичность, изменчивость, являющуюся следствием перемен, происходящих в условиях существования личности, в частности, для школьников это образовательный процесс. В учебном процессе индивидуальные различия школьников проявляются в результатах овладения знаниями. Поэтому для повышения качества общего образования в Концепции модернизации российского образования на период до 2010 года ставится задача обеспечить дифференциацию и индивидуализацию образования при обеспечении государственных образовательных стандартов.

Проблема дифференциации обучения принадлежит к числу традиционных для отечественной школы. Ее общедидактические аспекты отражены в работах Ю. К. Бабанского, А. А. Бударного, Б. П. Есипова, А. А. Кирсанова, И. Я. Лернера, Е. С. Рабунского, И. Э. Унт, Н. М. Шахмаева и др. Изучению индивидуальных психологических особенностей обучаемых уделено большое внимание в трудах психологов Л. С. Выготского, И. В. Дубровиной, З. И. Калмыковой, В. А. Крутецкого, А. Н. Леонтьева, Н А. Менчинской, Н. Ф. Талызиной, Б. М. Теплова и др. Различные аспекты дифференцированного обучения математике исследованы в работах С. В. Алексеева, Р. Р.Бикмурзиной, В. А. Гусева, И. В.Дробышевой, М. И. Зайкина, Ю. М. Колягина, Г. И. Саранцева, И. М. Смирновой, А. А. Столяра, Н. А. Терешина, Р. А. Утеевой, В. В. Фирсова и др. Они внесли значительный вклад в развитие теории и практики дифференцированного обучения математике.

Однако, материал, посвящённый дифференцированному подходу к обучению школьников носит разрозненный, несистематизированный, порой противоречащий друг другу характер. Предлагаемые различными авторами критерии деления школьников на группы либо представляют собой дифференциацию учебного материала, либо содержат отдельные аспекты развития личности, выявление которых представляет трудную педагогическую задачу. Критерии объединения школьников в типологические группы на основе целостной структуры личности были предложены Г. И.Саранцевым. Основаниями образования групп при таком подходе к дифференциации являются уровни сформированности мотивационно-потребностного, содержательно-операционного и эмоционально-волевого компонентов личности. В психологии и дидактике уровни сформированности каждого из указанных трёх компонентов выявлены.

Так как источником развития личности являются многообразные личные потребности человека, то и дифференциация обучения не мыслима без внут­реннего мотивированного отношения учащихся к занятиям, когда привлекательными оказываются не только достигаемые в ней резуль­таты, но и сам процесс деятельности. Проблемы мотивации обучения отражены в работах С. Н. Дорофеева, И. В. Егорченко, М. И. Зайкина, Т. А. Ивановой, П. С. Коркиной, А. К. Марковой, Н. И. Мешкова, М. А. Родионова, Г. И. Саранцева, Г. И. Щукиной и др.

Движущей силой развития личности являются внутренние противоречия между растущими потребностями ребёнка и реальными возможностями их удовлетворения в учебной деятельности. Поэтому немало работ учёных посвящено формированию содержательно-операционного компонента личности школьника. Разработаны концепции задач в обучении математике; методика формирования действий, адекватных этапам решения задач; методики формирования понятий и изучения теорем (Е. С. Канин, Ю. М. Колягин, Г. И. Саранцев и др.), В. И.Крупич, О. Б.Епишева рассматривают вопросы формирования общих и специальных приёмов учебной деятельности учащихся. Учёные В. А.Гусев, А. А.Столяр пишут о необходимости создания для школьников ситуаций самостоятельного открытия и усвоения способов деятельности.

Процесс развития личности вступает в решающую фазу в подростковом и раннем юношеском возрастах. В этом возрасте школьников интересуют вопросы самовоспитания, особенно формирования у себя волевых качеств. Изучению эмоционально-волевого компонента личности посвящены труды Е. П. Ильина, В. К. Калина, А. Ц. Пуни, А. А. Реана, С. Л. Рубинштейна, В. И. Селиванова, и др.

Но, несмотря на имеющиеся исследования в области формирования мотивации, волевых качеств и учебно-познавательных действий в реальном учебно-воспитательном процессе учителями широко используется дифференциация учебного материала и редко учитываются индивидуальные особенности школьников. Объясняется это отсутствием в теории и методике обучения школьников дифференциации учебных заданий, исходящей из структурных компонентов личности школьника.

Таким образом, имеется противоречие между необходимостью осуществления дифференцированного подхода к обучению школьников, исходящего из структуры личности и неразработанностью теории и методики его использования в учебном процессе. Необходимость разрешения этого противоречия определяет актуальность проблемы нашего исследования.

Цель исследования состоит в разработке теории и методики дифференцированного подхода к обучению школьников геометрии, обусловленному структурой личности.

Объектом исследования является обучение школьников геометрии, а его предметом – обучение школьников геометрии в условиях дифференцированного подхода, обусловленного структурой личности.

В основу исследования положена гипотеза: дифференцированный подход к обучению геометрии учащихся основной школы, использование системы задач, ориентированной на обучение учащихся различных типологических групп и разработанной в соответствии со структурными компонентами личности школьника, способствуют повышению уровня развития школьника и его умения решать геометрические задачи.

Для достижения поставленной цели и проверки сформулированной гипотезы потребовалось решить следующие задачи:

1. Проанализировать состояние проблемы использования дифференци-рованного подхода к обучению геометрии учащихся основной школы в психолого-педагогической и научно-методической литературе, в практике работы учителей средней школы.

2. Установить соответствие между типологическими группами, орга-низованными исходя из уровней мотивационного, содержательного и волевого компонентов личности и уровнем учебных достижений школьников.

3. Выявить и исследовать возможности задач разного уровня сложности для повышения уровней мотивационно-потребностного, содержательно-операционного и эмоционально-волевого компонентов личности школьника.

4. Разработать систему задач для учащихся каждой типологической группы, соответствующую уровню их развития и позволяющую школьникам перейти в типологическую группу более высокого уровня развития и обученности.

5. Экспериментально проверить целесообразность и эффективность предложенной методики и дать рекомендации для использования её в практике обучения геометрии в основной школе.

Для решения поставленных задач использовались следующие методы исследования: изучение психолого-педагогической и научно-методической литературы по проблеме диссертации, анализ публикаций в периодических методических изданиях, анализ учебников, учебных и методических пособий по геометрии для средней школы; анкетирование учителей математики и учащихся основной школы; изучение и обобщение педагогического опыта; педагогический эксперимент, позволивший изучить состояние проблемы исследования в практике обучения геометрии в основной школе и апробировать предложенную методику дифференцированного подхода; анализ и обработка результатов эксперимента.

Методологической основой исследования послужили основные положения теории системного анализа, деятельностного подхода, методологии методики обучения математике, основные психолого-педагогические и методические положения теории использования задач и обучения их решению в процессе математической подготовки учащихся, работы по проблеме развития личности и по дифференциации обучения.

Исследование осуществлялось поэтапно.

Первый этап (1996-2004 гг.) носил констатирующий и поисковый характер. Цель констатирующего исследования состояла в проверке уровней развития мотивационно-потребностного, содержательно-операционного и эмоционально-волевого компонентов личности и уровня обученности школьников в условиях традиционного использования дифференцированного подхода. Цель поискового исследования (2003-2004 гг.) заключалась в поиске направления исследования, разработке и теоретическом обосновании дидактического механизма дифференцированного обучения школьников геометрии, отборе материала для формирующего эксперимента.

Второй этап (2004-2006 гг.) был посвящён формирующему эксперименту. Он состоял из двух частей – обучающей и контрольной. Цель его проведения заключалась в проверке эффективности и доступности предлагаемого дидактического механизма дифференцированного обучения школьников геометрии, включающего в себя систему учебных заданий и целостную систему планиметрических задач, и оценку их влияния на качество обученности.

Научная новизна выполненного исследования состоит в разработке методики дифференцированного подхода к обучению геометрии учащихся основной школы на основе единства уровневой дифференциации и дифференциации, обусловленной структурой личности. Определены типы задач, формы выполнения заданий, методы обучения, соответствующие каждой типологической группе (12 типологических групп) и способствующие переходу школьника в типологическую группу более высокого уровня развития и обученности. В соответствии с рассматриваемым подходом к осуществлению дифференциации составлены компьютерные программы для обучения школьников геометрии.

Теоретическая значимость проведённого исследования заключается в следующем: установлено соответствие между типологическими группами, организованными исходя из уровней мотивационного, содержательного и волевого компонентов личности школьника и уровнем его учебных достижений; выявлены и исследованы возможности задач различного типа для повышения уровней мотивационно-потребностного, содержательно-операционного и эмоционально-волевого компонентов школьников, которые в свою очередь ведут к повышению уровня учебных достижений школьника; разработана система задач для каждой типологической группы, соответствующая уровню её развития и позволяющая школьникам перейти в типологическую группу более высокого уровня развития и обученности. Результаты исследования расширяют традиционное представление о содержании, роли и месте дифференцированного подхода к обучению учащихся геометрии.

Практическая значимость результатов исследования определяется тем, что разработанная методика дифференцированного подхода к обучению школьников геометрии может быть использована учителями математики в школьной практике в целях повышения уровня обученности школьников; авторами методических пособий для учащихся и учителей; программистами для создания электронных учебных пособий, на основе дифференциации; специалистами по созданию образовательных Web-сайтов для организации дистанционного обучения школьников с учётом их индивидуальных особенностей.

На защиту выносятся следующие положения:

1. В учебно-воспитательном процессе должна быть учтена как дифференциация учебного материала, так и индивидуальные особенности школьников. Наиболее эффективным методом для этого является дифференцированный подход, обусловленный структурой личности школьника.

2. При осуществлении дифференцированного подхода, исходящего из структуры личности, типологические группы образуются исходя из уровней развития мотивационно-потребностного, содержательно-операционного и эмоционально-волевого компонентов школьника.

3. Методика дифференцированного подхода к обучению геометрии учащихся основной школы предусматривает разработку и использование специальной системы задач.

Кроме этого на защиту выносятся: система задач, составленная для учащихся каждой типологической группы; электронные пособия, разработанные на основе уровневой дифференциации и учитывающие индивидуальные особенности школьников.

Достоверность и обоснованность проведённого исследования, его результатов и выводов обусловлены внутренней согласованностью выдвигаемых теоретических положений, их опорой на теоретические разработки в области психологии, педагогики, методики обучения математике, совокупностью разнообразных методов исследования, а также результатами количественной и качественной обработки полученных экспериментальных данных.

Апробация и внедрение результатов исследования осуществлялись в ходе преподавательской работы автора со школьниками МОУ «Кульминская средняя общеобразовательная школа» Чамзинского района, в практике учителей математики МОУ «Отрадненская средняя общеобразовательная школа» и МОУ «Чамзинский многопрофильный лицей №1» Чамзинского района, а также в виде докладов и выступлений на Всероссийских научных конференциях «Гуманитаризация среднего и высшего образования: методология, теория и практика» (г. Саранск, 2002 г., 2005 г.), на II Международной конференции «Математика. Образование. Культура» (г. Тольятти, 2005 г.), на секции «Педагогическая психология» Всероссийской научно-практической Интернет – конференции «Молодость. Наука. Интеллект 2005», на семинарах учителей математики и информатики Чамзинского района (2004, 2005 гг.), на Фестивалях педагогических идей «Открытый урок» (2003, 2004 гг.), на районном конкурсе «Учитель года – 2002», на педагогических советах школы (2003, 2005 гг.), на научно-методических семинарах кафедры методики преподавания математики МГПИ им. М. Е.Евсевьева.

По теме исследования имеется 13 публикаций в печатных изданиях, Интернете, на компакт-дисках и одна разработка (программа для ЭВМ), зарегистрированная на отраслевом и государственном уровнях.

Структура и объём диссертации. Диссертация состоит из введения, двух глав, заключения, списка использованной литературы и приложения. Работа содержит 54 рисунка и 11 таблиц.

ГЛАВА I. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ДИФФЕРЕНЦИРОВАННОГО ПОДХОДА К ОБУЧЕНИЮ ГЕОМЕТРИИ УЧАЩИХСЯ ОСНОВНОЙ ШКОЛЫ

§1. Понятие дифференциации обучения

Анализ психолого-педагогической литературы показывает, что дифференциация обучения как общая педагогическая задача  не является новой ни для нашей, ни для зарубежной школы. Необходимо отметить в этом направлении работы педагогов: Ю. К. Бабанского, А. А. Кирсанова, И. Я. Лернера, Е. С. Рабунского, Н. М. Скаткина, И. Э. Унт и других; психологов: Л. С. Выготского, П. Я. Гальперина, В. В. Давыдова, В. А. Крутецкого, Н. А. Менчинской, Н. Ф. Талызиной, Л. М. Фридмана и других; методистов: Р. Р. Бикмурзиной, В. А. Гусева, А. Н. Капиносова, В. В. Куприяновича, Г. И. Саранцева, И. М. Смирновой, Р. А. Утеевой и других. Истоком современной дифференциации обучения была фуркация обучения, под которой понимали разделение учебных планов, совместимость специализации учащихся с сохранением общеобразовательного характера средней школы.

Как систематическое явление, закреплённое в государственных документах по образованию, фуркация начала развиваться во второй половине 19 века. В этом же столетии были заложены основы педагогической психологии, провозглашён тезис о необходимости выяснения в детстве задатков и способностей каждого человека и их развитие в процессе всего периода обучения.

П. Ф.Каптерев в своей работе «О разнообразии и единстве общеобразовательных курсов» высказал абсолютно современные мысли о необходимости дифференциации обучения в старших классах. Основой дифференциации он называет различные индивидуальные особенности учащихся.

В дореволюционной школе фуркация проявлялась в делении образования на классическое и реальное. В свою очередь, в классическом образовании на старшей ступени средней школы была принята полифуркация, то есть специализация по различным отраслям знаний. Ведущими среди них были: гуманитарное, техническое и естественно-математическое.

Основная цель полифуркации – развить склонности, способности учащихся для их подготовки успешному поступлению и обучению на соответствующих факультетах университетов и институтов.

Математика, в частности геометрия, рассматривалась как одна из основных наук, играющих большую роль в общем образовании человека. В связи с этим геометрия была обязательным предметом на всех отделениях школы, независимо от специализации.

Большой вклад в развитие математического образования в нашей стране, в частности, понимание и решение проблемы фуркации внесли I-й и II-й Всероссийские съезды преподавателей математики (в 1911 г. и в 1912г.). В. В.Лермантов выступил с докладом «Содержание школьной математики с точки зрения современных запросов жизни и приёмы для посильного выполнения школою этих требований». В нём докладчик указывает на то, что в современной школе не принято обращать внимание на природные способности, склонности учеников, в школе наметилось стремление, «научая всех всему, довести их до одного уровня познания по всем предметам обучения». В действительности способности учеников весьма разнообразны и неучёт этого обстоятельства приводит к тому, «что более способные недоучиваются, а наибольшим успехом в школе пользуются заурядные ученики с отличной памятью и отсутствием интереса к какой – либо из предъявляемых наук… многие из них показывают большой интерес к самому процессу учения, оставаясь в тоже время вполне свободными от науки». Затем автор предлагает конкретные пути реализации принципа индивидуализации, которые сводятся, с одной стороны, к повышению этих требований для ребят, способных к математике, за счёт внеклассного её изучения.

После революции полифуркация была подвергнута резкой критике, как противоречащая принципам единства средней школы и предоставления всем учащимся равных возможностей в получении образования.

В 1921 году была введена бифуркация, но не по отраслям знаний, а по производственному принципу. Были созданы школы с двумя отделениями: индустриальным и сельскохозяйственным. К первоначальному пониманию фуркации-специализации по отраслям знаний – вернулись в конце 50-х – начале 60-х годов. На смену термину фуркация пришёл термин дифференциация обучения (от французского differention; латинского differentia – разделение, расслоение целого на части), чтобы подчеркнуть отличие фуркации в зарубежной школе от фуркации в старших классах нашей школы (Н. К.Гончаров, П. Руднев).

Дифференцированным обучением был назван учебно-воспитательный процесс в старших классах, скомплектованных по направлениям и профилям производственной практики в соответствии с выраженными учащимися склонностями и интересами.

Позднее под дифференцированным обучением, в частности, математике стали понимать – обучение учащихся старших классов в классах с углублённым изучением ряда предметов.

В современной педагогической литературе имеются различные трактовки понятия «дифференцированное обучение», а именно:

- обучение учащихся в условиях учебно-воспитательного процесса, для которого характерен учёт типичных индивидуальных различий учащихся;

- обучение, которое направлено на то, чтобы постоянно и постепенно поднимать слабых до уровня средних, средних – до уровня сильных, а сильным – давать задачи повышенной трудности, чтобы их мысль, их волевые усилия, постоянно находились в активном состоянии;

- обучение, состоящее в том, чтобы, зная, индивидуальные особенности каждого ученика… определить для него наиболее целесообразный и эффективный характер работы на уроке.

На международной конференции (август 1971 г. Москва) отмечалась необходимость дальнейшей разработки принципа индивидуального подхода к учащимся в обучении. Необходимость этого принципа следует из выявленных в результате психолого-дидактических исследований существенных различий в обучаемости школьников: «если уровнять многие факторы, влияющие на уровень усвоения новых знаний, а именно, обеспечить одинаковый исходный минимум знаний у всех учащихся, положительное отношение их к уроку, желание как можно лучше усвоить материал, тщательно разработать методику введения нового материала, – то несмотря на равенство всех этих условий, новые знания будут усвоены по-разному.

  В настоящее время в педагогической психологии, дидактике, а также в школьной практике широко используются термины « индивидуальный подход», «индивидуализация обучения», «дифференцированное обучение», «дифференциация образования» и другие. Эти термины нередко употребляются как синонимы, но в то же время в содержании каждого из этих понятий имеются  свои существенные признаки.

  Продемонстрируем  это следующей таблицей, составленной на основании анализа работ в этой области.

Таблица 1

 Ф. И. О. автора

Понятия

Е. С. Рабунский

1) Индивидуальный подход в учебном процессе  означает действенное внимание к каждому ученику, его творческой индивидуальности в условиях классно-урочной системы обучения по общеобразовательным учебным программам  и факультативам (в старших классах), предполагает разумное сочетание фронтальных, групповых и индивидуальных занятий для повышения качества обучения и развития каждого школьника.

2) Индивидуализация обучения – особая организация учебного процесса в коллективе класса (группы), которая направлена на

осуществление требований индивидуального подхода.

 3) Дифференциация образования – разделение учебных планов и программ в старших классах средней школы, осуществляемое на факультативных занятиях, в специализированных школах и классах.

 4) Дифференцированный подход – дидактическое положение, предполагающее деление класса на группы, например, по интересам, успеваемости и т. п.

 5)  Дифференциация обучения – дифференциация учебной работы. Они означают реализацию дифференцированного подхода в обучении, нацеливают на борьбу против ориентации исключительно на учебный класс.

А. А. Кирсанов

1)  Дифференциация поисков деятельности школьников – предоставление им возможности решать поставленную перед классом познавательную задачу или возникшую перед ним в ходе учебно-практической работе проблему своими путями, своими способами, своим темпом, исходя из уровня подготовленности и познавательных возможностей.

2)  Индивидуализация учебной деятельности – система воспитательных и дидактических средств, соответствующих цели деятельности и реальным познавательным возможностям коллектива класса, отдельных учеников и групп учащихся, позволяющих обеспечить учебную деятельность каждого ученика на уровне его потенциальных возможностей с учетом целей обучения.

И. Э. Унт

1) Индивидуализация – это учет в процессе обучения индиви-дуальных особенностей учащихся во всех его формах и методах независимо от того, какие особенности и в какой мере учитываются.

2)  Дифференциация– это учет индивидуальных особенностей учащихся в этой форме, когда учащиеся группируются на основании каких-либо особенностей для отдельного обучения, обычно обучение в этом случае происходит по несколько различным учебным плана и программам.

М. К. Акимова и другие

1)  Индивидуальный подход – ориентация на индивидуально-психологические особенности учеников, включение в работу с ними специальных способов и приемов, соответствующих их индивидуальным особенностям.

2)  Внутриклассная индивидуализация обучения – это те приемы и способы индивидуальной работы, которые использует учитель на уроке в обычном классе массовой школы.

Педагогическая энциклопедия

Индивидуализация определяется как организация учебного процесса, при котором выбор способов, приемов, темпа обучения учитывает индивидуальные различия учащихся, уровень развития их способностей к обучению.

А. М. Абрамов и другие

Дифференциация обучения – создание относительно стабильных или временных учебных групп, различающихся по тем или иным признакам ( содержание, уровень учебных требований, интересы, формы обучения и т. п.)

Г. В. Дорофеев и другие

Дифференциация – такая система обучения, при которой каждый ученик, овладевая некоторым минимумом общеобразовательной подготовки, являющейся общезначимой и обеспечивающей возможность адаптации в постоянно изменяющихся условиях, получая право и гарантированную возможность уделять преимущественное внимание тем направлениям, которые в наибольшей степени отвечают его склонностям.

 Приведенные высказывания свидетельствуют о тесной взаимосвязи понятий дифференциации и индивидуализации обучения. Это отмечает И. Э. Унт в своей книге «Индивидуализация и дифференциация обучения».

В настоящее время в научно-методической литературе выделены следующие виды дифференциации: а) внешняя; б) внутренняя; в) профильная; г) уровневая; д) поисковая; ж) непрерывная.

Под внешней дифференциацией И. М.Шахмаев понимает такую организацию учебного процесса, при которой для учёта индивидуальных особенностей учащихся – последние объединяются в специальные дифференцируемые группы.

В. М. Монахов, В. А. Орлов, В. В. Фирсов под внешней дифференциацией понимают создание на основе определённых принципов (интересов, склонностей, способностей, достигнутых результатов, проектируемой профессии) относительно стабильных групп, для которых содержание обучения и предъявляемые к школьникам требования различаются.

То есть под внешней дифференциацией понимают создание специальных форм обучения, ориентированных на интересы, потребности и способности учащихся.

К ним относятся: факультативы; школы и классы с углублённым изучением математики; курсы по выбору; спецкурсы по предметам.

Рассмотрим в качестве примеров некоторые из этих форм.

1. Факультативные занятия по математике – одна из первых форм дифференциации образования. В практику работы факультативные занятия вошли в 1964/68 уч. г. Целью их создания было «углубление знаний по физико-математическим, естественным и гуманитарным наукам, а также развитие разносторонних интересов и способностей учащихся».

В ряде исследований дидактов и методистов нашли отражение различные вопросы, касающиеся организации, роли факультативных курсов. Так, например, Х. Й.Лийметс отмечал роль факультативных занятий в гетерогенности (разнородности) класса, что затем создавало возможности для взаимного обогащения и обмена культурными ценностями.

И. Э.Унт рассматривает факультативные занятия, как одну из дополнительных форм индивидуализации обучения в школе, обладающие двумя особенностями: 1) они позволяют преодолеть те воспитательные и организационные недостатки, присущие гомогенным классам, так как гомогенная группа создаётся лишь по отдельным предметам и 2) они предоставляют учителю больше возможностей в учёте индивидуальных особенностей учащихся, чем в обычных классах. Однако, автор показывает, что возможности факультативных занятий всё же ограничены: не всегда предлагаемые факультативные предметы соответствуют интересам учащихся.

2. Классы с углублённым изучением математики. Возникновение в нашей стране классов с углублённым изучением математики относится к середине 60-х годов, когда первоначально при некоторых университетах были созданы специализированные физико-математические школы-интернаты для учащихся десятых классов.

И. Э.Унт выдвигает гипотезу о том, что классы с углублённым изучением математики можно организовать в более раннем возрасте, так как результаты исследований В. А.Крутецкого и Н. С.Лейтеса показали, что математические способности проявляются у детей довольно рано.

Остановимся теперь на другом виде дифференциации – внутренней.

И. М.Шахмаев под внутренней дифференциацией понимает такую организацию учебного процесса, при которой учёт индивидуальных особенностей учащихся производится в условиях работы учителей в обычных классах. Это по существу индивидуализация обучения.

В. М.Монахов, В. А.Орлов, В. В.Фирсов под внутренней дифференциацией понимают различное обучение детей в достаточно большой группе (классе) учащихся, подобранных по случайным признакам. Она основана на возможно более полном учёте индивидуальных и групповых особенностей учащихся и предлагает вариативность темпа изучения материала, дифференциацию учебных заданий, выбор различных видов деятельности, определение характера и степени дозировки помощи со стороны учителя.

Итак, под внутренней (внутриклассной) дифференциацией будем понимают такой вид дифференциации, который осуществляется в рамках урока в одном и том же классе учащихся. Она ориентирована на учёт типологических и индивидуальных особенностей учащихся определённого класса.

Термин уровневая дифференциация вошёл в педагогический лексикон сравнительно недавно взамен термина “внутренняя дифференциация”, что обусловлено некоторыми особенностями нового подхода. Традиционно дифференцированный подход основывался на психолого-педагогических различиях обучаемых, при этом конечные цели обучения остаются едиными для всех обучаемых, а для многих заведомо непосильными. Сущность дифференциации состояла в поиске приёмов и способов обучения, которые индивидуальными путями вели бы всех обучаемых к одинаковому овладению программой. А эта задача не всегда разрешима.

Принципиальное отличие нового подхода состоит в том, что уровневая дифференциация основывается на планировании результатов обучения: явном выделении уровня обязательной подготовки и формировании на этой основе повышенных уровней овладения материалом. Сообразуясь с ними и учитывая свои способности, интересы, потребности, школьник получает право, и возможность выбирать объём и глубину усвоения учебного материала, варьировать свою нагрузку при обучении.

На самом деле, обществу не нужно так много людей, знающих, например, математику одинаково превосходно. Важно, чтобы подавляющее большинство владело математическими навыками, необходимыми в быту и общественном производстве, а какая-то часть общества знала математику на гораздо более высоком уровне.

Достижение обязательных результатов обучения становится при таком подходе тем объективным критерием, на основе которого может видоизменяться ближайшая цель в обучении каждого школьника и перестраиваться в соответствии с этим содержание его работы или его усилия направляются на овладение материалом на более высоких уровнях, или продолжается работа по формированию важнейших опорных знаний и умений. Резко увеличиваются возможности работы с сильными школьниками, отпадает необходимость постоянно разгружать программы и снижать общий уровень требований, оглядываясь на слабых школьников.

Необходимо отметить, что принцип выделения уровня обязательной подготовки как основы дифференциации обучения находит поддержку в мировом опыте. Каждой дисциплине устанавливаются минимальные, обязательные требования, представляющие собой государственный стандарт образования, соответствие которому даёт школьнику право на получение документа о соответствующем образовании. В научно-методической литературе указывается ряд важных условий, выполнение которых необходимо для успешного и эффективного осуществления уровневой дифференциации.

Первое состоит в том, что выделенные уровни усвоения материала и в первую очередь обязательные результаты обучения должны быть открытыми для учеников. Успех дифференцированного подхода в обучении существенно зависит от познавательной активности школьников, от того, насколько они будут заинтересованы в своей деятельности. Ясное знание конкретных целей при условии их посильности, возможность выполнять требования учителя активизирует познавательные способности школьников, причем на разных условиях. Если цели известны и посильны школьнику, а их достижение поощряется учителем, то для школьника нет ничего естественнее, как стремиться к их выполнению. Поэтому открытость уровневой подготовки является механизмом формирования положительных мотивов учения, сознательного отношения школьника к учебной работе.

Второе важнейшее условие – это наличие определённых “ножниц” между уровнем требований и уровнем обучения. Не следует отождествлять уровень, на котором ведётся преподавание, с обязательным уровнем усвоения материала. Первый должен быть в целом существенно выше, иначе и уровень обязательной подготовки не будет, достигнут, а ученики, потенциально способные усвоить больше, не будут двигаться дальше. Каждый школьник должен пройти через полноценный процесс обучения. Так, он должен в полном объёме услышать предлагаемый материал со всеми доказательствами и обоснованиями, ознакомиться с образцами рассуждений.

Иными словами, уровневая дифференциация осуществляется не за счет того, что одним ученикам дают меньше, а другим больше, а в силу того что, предлагая школьникам, одинаковый объём материала, мы устанавливаем различные уровни требований к его усвоению.

Третье важнейшее условие, дополняющее предыдущее, состоит в том, что в обучении должна быть обеспечена последовательность в продвижении школьника по уровням. Это означает, что в ходе обучения не следует предъявлять более высоких требований тем школьникам, которые не достигли уровня обязательной подготовки. Надо, чтобы трудности в учебной работе были для таких учеников посильными, соответствующими индивидуальному темпу овладения материалом на каждом этапе обучения. В то же время, если для одних школьников необходимо продлить этап отработки основных, опорных знаний и умений, то других не следует необоснованно задерживать на этом этапе.

Содержание контроля и оценка должны отражать принятый уровневый подход. Контроль должен предусматривать проверку достижения всеми школьниками обязательных результатов обучения. Для каждого уровня необходимо разработать соответствующую шкалу оценивания.

И, наконец, четвертое условие, реализация которого существенно усиливает эффективность дифференцированного обучения, – добровольность в выборе уровня усвоения и отчётности. В соответствии с ним каждый ученик имеет право добровольно и сознательно решать для себя, на каком уровне ему усваивать материал. Именно такой подход позволяет формировать у школьников познавательную потребность, навыки самооценки, планирования и регулирования своей деятельности.

  Концепция уровневой дифференциации – это аналог обучения на основе полного усвоения, которое получило широкое распространение в США, Англии, Австрии, Бельгии, Бразилии, Индонезии, Южной Кореи, Норвегии и других странах. Фундамент концепции обучения на основе полного усвоения составляют идеи, выдвинутые в 60-е годы американскими психологами Дж. Кэрролом и Б. Блумом . Общественная картина разброса успеваемости обычно объясняется соответствующим разбросом способностей к обучению. Дж. Кэррол обратил внимание на то, что в традиционном учебном процессе всегда фиксированы параметры условий обучения (одинаковые для всех учебное время, способ предъявления информации и т. д.). Единственное, что остается не зафиксированным, – это результат обучения, в таком случае все параметры условий будут меняться, подстраиваясь под достижения всеми  учащимися заранее заданного результата.

Этот подход был поддержан и развит Б. С. Блумом. Он предположил, что способности ученика определяются его темпом учения при оптимально подобранных для данного ребенка условиях. Б. С. Блум изучал способности учащихся при изучении разных предметов в условиях, когда время на изучение материала не ограничивается. Результаты изучения показали, что при правильной организации обучения и, особенно, при снятии жестких временных рамок, около 95% учащихся могут полностью усваивать все содержание обучения. Реализуя данный подход последователей Дж. Кэррола и Б. С. Блума (Дж. Блок, Л. Андерсон и другие) на практике разработали методику обучения на основе полного усвоения. При обучении по этой системе различия в учебных результатах будут иметь место за пределами общего для всех общеобразовательного минимума, под которым будет надстраиваться последующее дифференцированное обучение

Профильная дифференциация предполагает обучение разных групп школьников по программам, отличающимся глубиной изложения материала, объемом сведений или даже номенклатурой включенных вопросов. Выделяют следующие основные принципы профильной дифференциации.

1. Обучение по направлениям лишь после того, как школьники получат достаточное единое базовое образование и утвердятся в своих склонностях.

2. На старшей ступени обучения следует обеспечить возможно большее количество направлений обучения или продолжения образования через широкую систему учебных заведений различных типов.

3. По каждому учебному предмету целесообразно объединять различные направления обучения в блоке по принципу сходства целей и задач обучения в этих направлениях для создания единых программ для каждого блока.

4. При составлении программ и учебников, в выборе форм и методов обучения следует учитывать возрастные особенности подростков, склонных к данному виду деятельности, и в то же время не исключать возможности  изменить профиль обучения подростку при ошибке в его выборе.

5. Математика должна входить в набор обязательных учебных предметов любого из профилей (физико-математического, технического и гуманитарного). Содержание и объем учебного математического материала должны отражать специфику данного направления.

 К блоку обязательных предметов обычно относят следующие четыре предмета: родной язык и литературу, историю и обществоведение, математику и физкультуру. На них должно отводиться не менее 50% учебного времени. И обязательные предметы, и предметы по выбору предлагается излагать на двух уровнях – общекультурном и повышенном.

Отнесение математики к числу обязательных предметов допускает следующие варианты для ученика:

1) ученик выбирает общекультурный курс и только им и ограничивается;

2) он выбирает повышенный курс, общекультурный при этом не изучает.

Все курсы по двум направлениям – академическому и профессиональному. Академическое направление включает три основных секции: гуманитарную, физико-математическую, естественнонаучную. Профессиональное направление – секциями, имеющими ориентацию на промышленность, сельское хозяйство, сферу обслуживания. 

Требования, предъявляемые к математической подготовке учащихся 8-9 классов с углубленным изучением математики, вытекают из ориентационного характера этого этапа. Учащиеся, безусловно, должны владеть всем материалом, входящим в общеобразовательный курс математики, при этом  минимальный уровень требований должен совпадать с уровнем требований к учащимся общеобразовательных классов. В то же время достижение учащимися лишь обязательного уровня требований на первом этапе углубленного изучения должно служить сигналом того, что  не целесообразно на следующей ступени обучения выбирать профили, связанные с повышенными курсами математики.

Исходя из сказанного выше, подчеркнем тот факт, что оба вида дифференциации – уровневая и профильная – взаимосвязаны и сосуществуют на всех ступенях школьного математического образования, однако в разном удельном весе. В основной школе ведущим направлением дифференциации является уровневая, хотя она не теряет  своего значения и в старших классах. На старшей ступени школы приоритет  отдается профильной дифференциации, хотя она может уже проявляться и в основной школе, где она осуществляется через систему кружковых занятий и факультативных курсов.

 Следующие два вида дифференциации (поисковая и непрерывная) введены В. А.Гусевым . Под поисковой дифференциацией автор понимает такой вид дифференциации, который позволяет определить (выявить) типологические группы учащихся (особенно на начальных стадиях обучения). При этом приёмы и методы поисковой дифференциации позволяют и в дальнейшем процессе обучения следить за динамикой развития индивидуальных качеств личности.

Непрерывная дифференциация предусматривает возможность построения модели учебного процесса, учитывающей особенности не только групп учащихся, но и каждого ученика. Идея непрерывной дифференциации опирается на абстрактно сформированные индивидуальные возможности и особенности учащихся, которые представляют систему этапов от низшего – к высшим (идеальным целям).

Дальнейшее диссертационное исследование предполагает анализ литературы по проблеме дифференцированного подхода к обучению школьников геометрии.

§2. Анализ литературы по проблеме дифференцированного подхода к обучению школьников геометрии

Эффективность дифференциации обучения зависит от того, насколько удачно сформированы типологические группы школьников. В дидактико-методической литературе предлагается несколько десятков критериев деления школьников на группы. Рассмотрим критерии деления школьников на группы, предложенные различными авторами.

Е. С.Рабунский подразделяет школьников в процессе их учебной деятельности по таким показателям дифференциации:

1) уровень успеваемости;

2) уровень познавательной самостоятельности;

3) степень действенности интереса к учению.

Автор предложил распределение школьников на группы хорошо, средне и слабоуспевающих учащихся в зависимости от уровней познавательной самостоятельности и интереса к предмету, которое выразил следующей таблицей.

Таблица 2

Уровень успеваемости учащихся

Группа

Уровень познавательной самостоятельности

Интерес к предмету

Хорошо успевающие

1

2*

3

4*

Высокий

Высокий

Средний

Низкий

Действенный

Потенциальный

Действенный

Действенный

Средне-

успевающие

1

2

3*

4

5*

6

Высокий

Высокий

Средний

Средний

Средний

Низкий

Потенциальный

Отсутствует

Действенный

Потенциальный

Отсутствует

Действенный

Слабо-

успевающие

1

2*

3*

4

5

Средний

Высокий

Средний

Низкий

Низкий

Отсутствует

Отсутствует

Потенциальный

Потенциальный

Отсутствует

* – Представители данной группы встречаются редко.

Познавательную самостоятельность Е. С.Рабунский характеризовал двумя компонентами: 1) уровень обучаемости; 2) организованность в учении.

Сравним предыдущий подход с критериями деления учащихся на группы, предложенными Инге Унт . И. Э. Унт считает, что к особенностям учащихся, которые в первую очередь следует учитывать при индивидуализации обучения, относятся:

1. Обучаемость, то есть общие умственные способности (в том числе креативность), а также специальные особенности;

2. Учебные умения;

3. Обученность, которая состоит как из программных, так и внепрограммных знаний, умений и навыков;

4. Познавательные интересы (на фоне общей учебной мотивации);

5. Состояние здоровья ребенка.

В отдельных случаях к этим особенностям при индивидуальном подходе к детям добавляются и такие факторы, которые в отношении данного ребенка оказывают специфическое влияние на его учебную деятельность (особенно важны среди этих факторов домашние воспитательные условия).

А. А.Кирсанов исходит из:

1)  устойчивости восприятия;

2)  уровня развития памяти;

3)  соотношения наглядно-образного и словесно-логического компонентов мышления;

4)  уровня выполнения мыслительных операций.

А. А. Бударный в качестве основных показателей берет «способность учащихся к учению» и «работоспособность». Он выделил три группы учеников: с высокими, средними и низкими учебными возможностями. Эти критерии определяют различия учащихся в процессе обучения, но носят довольно общий характер.

Л. В. Виноградова считает, что в качестве основного критерия может быть принят уровень развития мышления, так как необходимо организовать индивидуальный подход так, чтобы он не просто обеспечивал усвоение знаний, но и способствовал бы развитию учащихся. В пользу выделения в качестве основного именно этого фактора говорят следующие аргументы. У школьников по-разному развиты мыслительные операции, сформированы приемы умственной деятельности, у каждого учащегося своя «зона ближайшего развития».  Основной причиной отставания в обучении у большинства не успевающих школьников является более низкий, чем у сверстников, уровень развития мышления, поэтому на первый план в работе с неуспевающими выдвигается развитие познавательной самостоятельности.

По данным психологов, у детей с пониженной обучаемостью нет патологических изменений в памяти, не связанной с мышлением, но страдает логическая смысловая память. При соответствующих условиях (на нейтральных методиках) слабые ученики концентрируют свое внимание одинаково с сильными. Но внимание является вторичным явлением, его нельзя считать первопричиной возникновения трудностей; оно само обусловлено тем, что ученик в силу особенностей своего мышления не вовлечен в активную учебную работу, ему трудно участвовать в ней.

Активность учащихся, которая заключается в усиленной деятельности в том, что надо не просто смотреть, а видеть, не слушать, а слышать, понимать, осмысленно пользоваться мыслительными операциями, приемами умственной работы, также зависит от развития мышления. Уровень практических действий и у сильных, и у слабых школьников практически одинаков. Но там, где обобщение протекает в словесно-логическом плане, где требуется формировать признаки или искать зависимости, и возникают трудности, обнаруживаются различия между учащимися.

Х. И.Лийметс выделяет такие признаки:

1) успеваемость по предмету;

2) темп работы;

3) информированность по предмету;

4) способности ученика;

5) взаимоотношения учащихся.

В. Ф.Чучуков предлагает такие параметры:

1) уровень знаний, умений и навыков;

2) уровень развития способностей;

3) уровень работоспособности.

Из сказанного выше следует, что большинство авторов в качестве одного из основных критериев выделяют уровень знаний, умений и навыков учащихся (или успеваемость, или обученность).

Но в литературе по психологии встречается иной подход к объединению школьников в типологические группы. Такого подхода придерживаются М. К. Акимова и В. П. Козлова . Они утверждают, что при индивидуальном обучении делить учащихся на группы по уровням умственного развития можно с большими оговорками, так как уровень умственного развития весьма ненадёжный, чересчур изменчивый критерий. Столь же изменчивы и черты характера, влияющие на школьную успешность. Есть другой тип индивидуальных особенностей, связанных с индивидуальными проявлениями процессов функционирования мозга, основных свойств нервной системы. М. К. Акимова и В. П. Козлова в своём исследовании опираются на силу-слабость (т. е. степень выносливости, работоспособности нервной системы, её устойчивость к разного рода помехам) и подвижность-инертность (т. е. скорость смены и скорость протекания процессов возбуждения и торможения).

Подобное решение вопроса о реализации индивидуального подхода предлагает А. В. Белошистая . Автор пишет об индивидуализации обучения математике уже в начальных классах, основанной на учёте трудностей в обучении у детей со слабой и инертной нервной системой, а также вообще у детей с повышенной утомляемостью и отвлекаемостью.

Организации самостоятельной работы с учащимися, имеющими ярко выраженный тип нервной деятельности (темперамент) посвящена также статья Б. Е. Королькова . В ней говорится о том, что учащиеся (сангвиники и холерики), отличающиеся быстротой реакции, мгновенно реагируют на всё, в том числе и на отвлекающие факторы, могут начать отвлекаться уже при первичном прочтении задания, если что-то в нём не уяснили. Поэтому учитель в начале самостоятельной работы корректирует действия таких ребят и в дальнейшем решении может не беспокоиться, так как в непонятных местах они сами спросят – таков их характер. Учащиеся, отличающиеся медлительностью умственных действий (флегматики и меланхолики) не сразу переключаются на другой вид деятельности, поэтому учитель должен вовремя настроить внимание этих учащихся на предстоящую деятельность.

Рассмотренные выше точки зрения различных авторов в основе индивидуализации выделяют ориентацию на процессуальные особенности деятельности школьника, а не на успеваемость, так как считают, что последняя является результатом этих особенностей. Однако организация обучения с учётом наиболее значимых характеристик нервных процессов встречается довольно редко. Это объясняется: 1) трудностью диагностирования в массовой школе типологических особенностей детей и выявления тех, которые необходимо учитывать при построении методики изучения конкретного предметного содержания; 2) обучением в классно-урочной системе по единому учебнику и при соблюдении нормативных сроков контроля результатов обучения; 3) отсутствием соответствующих учебно-методических материалов, учитывающих индивидуальные особенности нервной системы.

В научно-методической и учебно-методической литературе по математике говорится о том, каким образом можно объединить школьников в типологические группы при осуществлении дифференцированного подхода, а также какие математические задачи соответствуют уровню достижений представителей каждой типологической группы.

В статье «Примеры многовариативных самостоятельных работ» авторы Г. И.Саранцев, И. Г.Королькова исходят из точки зрения на дифференциацию, которая не предполагает давать одним ученикам больший объём материала, а другим – меньший. Каждый должен пройти через полноценный учебный процесс, который ни для кого не может быть ограничен требованиями минимума. Каждый ученик должен услышать изучаемый материал в полном объёме, увидеть в определённом смысле идеальные образцы деятельности. Причём включение учеников в эту деятельность должно учитывать их индивидуальные особенности. Авторы делятся своим опытом дифференцированного подхода с использованием многовариативных самостоятельных работ. Её основу составляет одно задание. Однако ориентация задания на различные группы учащихся осуществляется с помощью специальных указаний. Проверка выполнения такой работы включает всех учащихся класса в этот процесс, позволяет школьникам ощутить себя участником выполнения всей деятельности, связанной с решением задачи.

Далее приводится пример многовариативной самостоятельной работы по теме «Признаки равенства треугольников»

Вариант 1. Внутри равностороннего треугольника АВС взята точка М так, что АМ=МВ. Докажите, что луч СМ – биссектриса угла АВС.

Вариант 2. Внутри равностороннего треугольника АВС взята точка М так, что АМ=МВ. Докажите, что луч СМ – биссектриса угла АВС.

Указание. Докажите равенство треугольников АМС и ВМС.

Вариант 3. Внутри равностороннего треугольника АВС взята точка М так, что АМ=МВ. Докажите, что луч СМ – биссектриса АВС.

Указание. Докажите, что: 1)АС=ВС; 2)АМС=ВМС;

3)АСМ= ВСМ.

Вариант 4. Внутри равностороннего треугольника АВС взята точка М так, что АМ=МВ. Докажите, что луч СМ – биссектриса угла АВС.

Указание. Воспользуйтесь таблицей 3, в которой содержится «часть» решения задачи.

Таблица 3

Утверждения

Обоснования

1. АВС – равносторонний

2. АМ=МВ

3.АС=ВС

4. АМС=ВМС

5. АСМ=ВСМ

6. ……………………………..

По условию

…………………………………………………….

…………………………………………………….

По третьему признаку равенства треугольников

…………………………………………………….

Определение биссектрисы угла

Вариант 5. Задача предъявляется с готовым рисунком.

Задание первого варианта по сложности несколько превосходит обязательный уровень и рассчитано на сильных учеников. Задания других вариантов соответствуют обязательным результатам, однако наборы методических рекомендаций по их решению осуществляют ориентацию этих заданий на разные группы школьников.

Опишем решение проблемы дифференциации, которое предлагает Р. А.Утеева . Под уровневой дифференциацией автор понимает обучение учащихся одного и того же класса на трёх уровнях: базовом, продвинутом и высоком. «Дифференцированное задание – задание, построенное с учётом особенностей типологической группы учащихся, т. е. группы, объединённой «одинаковым» уровнем знаний и умений по предмету (теме, разделу, курсу) и уровнем их усвоения» . Многолетний опыт учёного показывает, что в каждом классе выделяются четыре типологические группы учащихся, названные условно группами А, В, С, Д (в некоторых случаях в группы А или Д входят 1-2 ученика, либо они вообще отсутствуют). В группу А относят учащихся, знающих «сверхпрограммы», в группу В – учащихся с хорошим уровнем знаний и умений, в группу С –учащихся с минимальным уровнем знаний и умений, в группу Д – учащихся, достигающих минимального уровня.

С помощью дифференцированных форм учебной деятельности реализуются такие цели обучения.

С учащимися группы А и В:

1. Расширение и углубление знаний, формирование умений решать задачи повышенной сложности.

2. Развитие устойчивого интереса к предмету, углубление представлений о роли математики в жизни, науке, технике.

3. Развитие умения самостоятельно работать с учебной и научно-популярной литературой.

4. Доведение учащихся до более высокого уровня усвоения знаний и способов деятельности.

С учащимися группы С:

1. Создание соответствующих условий; повторение, ликвидация пробелов, актуализация знаний для успешного изучения новой темы.

2. Развитие и закрепление интереса к математике и к учебной деятельности, выполняемой в процессе обучения математике.

3. Формирование навыков учебного труда, умений самостоятельно работать над задачей.

4. Доведение учащихся до хорошего уровня усвоения знаний и способов деятельности.

С учащимися группы Д:

1. Ликвидация пробелов в знаниях и умениях.

2. Пробуждение интереса к предмету путём использования игровых элементов, занимательных и логических задач наряду с систематической организацией самостоятельной работы учащихся на уроке и дома.

3. Развитие навыков и умений осуществлять самостоятельную деятельность по образцу и в сходных ситуациях, воспроизводить изученный материал, решённую задачу.

4. Доведение учащихся до минимального уровня усвоения знаний и способов деятельности.

Другой автор М. Е.Тимощук пишет «О дифференцированной помощи учащимся при решении задач» и предлагает разбить класс на группы в соответствии с уровнем сформированности их умений по решению задач и выделить три группы учащихся.

Учащиеся первой группы имеют пробелы в знаниях программного материала, искажают содержание теорем в применении их к решению задач, самостоятельно могут решить задачи в один-два шага, часто не могут найти связи между данными и искомыми величинами, пропускают обоснования гипотез, сформулированных в ходе попыток решения.

Учащиеся второй группы имеют достаточные знания программного материала, могут применять их при решении стандартных задач. У этих учащихся не сформированы эвристические приёмы мышления, они с большим трудом могут сформулировать гипотезу относительно конечной цели и промежуточных подцелей в процессе поиска решения задачи.

Третью группу составляют учащиеся, которые могут сводить сложную задачу к цепочке простых подзадач, выдвигать и обосновывать гипотезы в процессе решения задач. Эти учащиеся быстро и легко обобщают методы решения классов однотипных задач, отчётливо выделяют ключевую подзадачу.

Учащиеся всех трёх групп могут решать одну и туже задачу, но мера помощи учителя каждой из групп будет разной. Эта мера определяется спецификой каждого из пяти этапов решения задачи: 1) подготовки к решению; 2) поиска плана решения; 3) составления плана решения; 4) осуществления решения; 5) обсуждения найденного решения (обобщение, формулирование эвристических приёмов, используемых в решении и т. д.).

Учащимся третьей группы автор советует оказывать помощь лишь на 2-м и 5-м этапах. Учащимся второй группы – на 1, 2 и 5-м этапах, учащиеся первой группы нуждаются в помощи на всех этапах решения.

В. В. Куприянович в качестве основных показателей берет «быстроту усвоения». В соответствии с этим автор выделил три группы учащихся (таблица 4).

Таблица 4 

Уровень

Быстрота усвоения

Активность мышления

А:

Учащиеся, имеющие хорошие математические способности

1. Дословное повторение текста.

2. Частичное повторение.

3. Воспроизведение 50 % текста.

4. Самостоятельное воспроизведение ранее изученного текста.

1. Плодотворная работа на протяжении всего урока.

2. Работа со «вспышками».

В:

Учащие, имеющие средние математические способности

4. Самостоятельное воспроизведение ранее изученного текста.

5. Воспроизведение материала с помощью учителя.

6. Воспроизведение с ошибками, но основная нить вопроса выдерживается.

2. Работа со «вспышками».

3. Неполная работоспособность

С:

Учащие, имеющие низкие математические способности

7. Замедленное, невнятное воспроизведение текста.

8. Умственная отсталость (затухание развития).

4. Быстрая утомляемость.

5. Игнорирование заданий.

  В статье «Технология работы в разноуровневых группах» педагоги И. В.Ромашко и В. М.Винник предлагают делить учащихся на три группы.

В первую группу входят учащиеся, достигающие базового уровня;

во вторую группу – вариативный уровень;

в третью группу – творческий уровень.

Учебный процесс предлагается строить в зависимости от такого деления. Например, задания для самостоятельного выполнения учащимися первой группы снабжены руководством к действиям. Особенно часто применяются такие виды учебных заданий: самостоятельные работы с предварительным разбором; решение задач с последующей проверкой; многовариантные задания с готовыми ответами по типу перфокарт; математические диктанты с самопроверкой или взаимопроверкой; операции по заданному алгоритму. Для самостоятельной работы учащимся второй группы предлагаются многовариантные задания с готовыми ответами по типу перфокарт, а также различные виды тестов.

Проверка, оценка и коррекция знаний учащихся третьей группы проводится в форме разноуровневых контрольных работ, тестов, зачётов, семинаров, конференций, общественных смотров. Таким учащимся подбираются задания творческого характера, учитывающие их познавательные интересы.

В качестве примеров приводятся образцы контрольных работ по теме «Теорема Пифагора»:

Первая группа.

1. Стороны прямоугольного треугольника равны 8 см и 15 см. Найдите его диагональ.

2. В прямоугольном треугольнике АВС (С=90°), АВ=1см, А=30°. Найдите катеты треугольника.

Вторая группа.

1. Высота равнобедренного треугольника равна 20см, а его основание – 30см. Найдите боковую сторону данного треугольника.

2. Биссектриса прямоугольного равнобедренного треугольника, проведённая к основанию, равна 3 см. Найдите стороны данного треугольника.

Третья группа.

1. Найдите стороны ромба, если его диагонали равны 24 см и 18см.

2. В треугольнике АВС А равен 45°, С равен 60°, сторона ВС равна 2см. Найдите сторону АС.

Отклоняя ориентацию на «планируемые результаты обучения» В. Г. Болтянский и Г. Д. Глейзер предложили свою концепцию дифференцированного обучения математике. Авторы предлагают разделить учащихся по их отношению к курсу математики на три группы, условно уровни знания математики учащимися этих трех групп можно соответственно назвать общекультурным, прикладным и творческим.

1. Общекультурный уровень. Эту группу должны составлять школьники, для которых математика является лишь элементом общего развития и в их дальнейшей производственной деятельности применяется в незначительном объеме. Для этой категории учащихся существенно овладение общематематической культурой.

2. Прикладной уровень. В эту группу могут входить учащиеся, для которых математика будет важным инструментом в их профессиональной деятельности. Для этой категории учащихся существенны, наряду со знаниями о математических фактах, навыками логического мышления и пространственными представлениями, прочие навыки решения математических задач.

3. Творческий уровень. Эту группу должны составлять учащиеся, которые берут математику (или близкие к ней области знания) в качестве основы своей будущей деятельности. Учащиеся этой группы проявляют повышенный интерес к изучению математики и должны творчески овладеть ее основами.

Свой опыт дифференцированного обучения описывает другой автор Л. В.Морозова . Она предлагает объединить учащихся в две группы А и В. Группа А это учащиеся, занимающиеся на обычном уровне государственного стандарта. Группа В включает учащихся, занимающихся на повышенном уровне сложности. Группы эти не статичны, возможен переход учащихся из одной группы в другую. Обе группы за основу берут программу по математике для общеобразовательных школ. Но для группы В в тематическом плане раздел «содержание обучения» включает содержание курса VII – IX классов плюс дополнительные разделы, примыкающие к этому курсу и углубляющие его по основным идейным линиям.

Для учащихся группы В принят более высокий, чем для группы А, уровень усвоения материала. От учащихся требовалось приобрести умения решать задачи более сложные, по сравнению с обязательным уровнем, точно и грамотно формулировать теоретические положения, излагать собственные рассуждения при решении задач, применять рациональные приёмы вычислений и тождественных преобразований, использовать эвристические приёмы.

И. Я.Каплунович при разделении учащихся на группы исходит из индивидуальных особенностей математического мышления. В своих работах автор пишет, что педагогу важно знать структуру математического мышления которое представляет собой пересечение пяти основных подструктур: топологической, порядковой, метрической, алгебраической и проективной.

Топологическая подструктура обеспечивает замкнутость, компактность, связанность осуществляемых мышлением преобразований, непрерывность трансформаций, мысленное выращивание, вылепливание в представлении требуемого объекта (его образа).

Порядковые подструктуры дают возможность постоянного сопоставления человеком математических объектов и их элементов по таким характеристикам, как больше-меньше, ближе-дальше, часть-целое, изменение направления движения и его характера, положение, форма, конструкция предмета.

Метрические подструктуры позволяют вычленять в объектах и их компонентах количественные величины и отношения (пропорции, численные значения размеров, углов, расстояний).

С помощью алгебраических подструктур человек осуществляет не только прямые и обратные операции над математическими объектами, расчленение и соединение их составляющих, но и замену нескольких операций – одной из определённой совокупности, объединение нескольких блоков предмета в один, выполнение математических преобразований в любой последовательности.

Проективные подструктуры обеспечивают изучение математического объекта или его изображения с определённого самостоятельно выбранного положения, проецирование с этой позиции объекта на изображение (или изображения на объект) и установление соответствия между ними.

«В соответствии с индивидуальными особенностями человека та или иная подструктура занимает место главной, ведущей, доминирующей. Она наиболее ярко выражена по сравнению с остальными, более устойчива и лучше развита. В этом случае процесс обучения школьников математике строится с учётом этих особенностей. Каждый ученик выполняет задание своим способом, тем, который ему понятнее, а этот индивидуальный способ зависит от ведущей подструктуры математического мышления школьника. В зависимости от неё и помощь учителя, его подсказки должны быть различными.

А. Н.Капиносов считает, что «объективно существующие различия учащихся в темпах овладения учебным материалом, а также способностях самостоятельно применять усвоенные знания и умения» обуславливают необходимость дифференцированного обучения математики. С учетом этих факторов А. Н. Капиносов выделил четыре «условных» группы:

Первая группа – учащиеся с высоким темпом продвижения в обучении: общие схемы выполнения типовых или усложненных задач, предполагающих применение нескольких известных способов решения.

Вторая группа – учащиеся со средним темпом продвижения в обучении: овладение новыми знаниями и умениями не вызывает особых затруднений, способы выполнения типовых задач усваивают после рассмотрения 2-3 образцов; решения измененных и усложненных задач находят, опираясь на указания  учителя.

Третья группа – учащиеся с низким темпом продвижения: при усвоении нового материала испытывают определенные затруднения, во многих случаях нуждаются в дополнительных разъяснениях, обязательными результатами обучения овладевают после достаточно длительной тренировки, способностей к самостоятельному нахождению решений измененных и усложненных задач, как правило, не проявляют.

Четвертая группа – неуспевающие учащиеся, значительно отстающие в умственном развитии от сверстников и имеющие существенные пробелы в знаниях. Достижение учащимися этой группы даже уровня обязательных результатов представляет сложную педагогическую задачу.

Автор считает, что в практической деятельности учителю на уроке затруднительно ориентироваться на многие факторы, практически он не может организовать одновременно работу более чем с 2-3 группами. Следовательно, и класс не может быть разбит более чем на 2-3 группы, – чтобы имелась возможность управления деятельностью в этих группах. Для организации дифференцированного подхода учителю необходимо следующее: иметь представление об особенностях мыслительной деятельности разных групп учащихся; о путях развития мышления; уметь оценивать уровень развития учащихся; уметь оказывать помощь разной меры при затруднениях учеников; владеть формами организации индивидуального подхода с учетом необходимости развития мышления.

Г. И.Саранцев и Р. Р.Бикмурзина останавливаются на таком подходе к реализации дифференциации обучения, при котором исходят из структуры личности. Основаниями образования групп служат уровни сформированности мотивационного, операционно-действенного и волевого компонентов личности. Авторы выделяют две группы мотивов:

М – социальные мотивы, связанные с социальными взаимодействиями обучаемого с другими людьми;

М – познавательные мотивы, связанные с содержанием курса математики и процессом его изучения.

Операционно-действенный компонент характеризуется тремя уровнями:

С – ученик знает основные теоремы и определения курса математики, умеет решать стандартные задачи, но допускает нарушения логической последовательности изложения, испытывает затруднения при решении нестандартных задач. Не может выделить главное в своей учебно- познавательной деятельности и поэтому её цель ставит не конкретно. Планирование осуществляет без относительно поставленной цели. К самоконтролю прибегают не всегда.

С – ученик правильно применяет теоремы, не допускает существенных неточностей при формулировании теорем и определений, в изложении допускает небольшие пробелы. Выделяет основное в предстоящей учебно-познавательной деятельности и на этой основе ставит цель. Стремится учесть эту цель при самоконтроле, но не всегда учитывает специфику изучаемого материала.

С – ученик чётко формулирует определения понятий и теорем, не испытывает затруднений в доказательстве теорем и решении задач. Чётко выделяет главное в предстоящей учебно-познавательной деятельности и в соответствии с этим ставит её цель и последовательно раскрывает её в задачах. С учётом целей и задач составляет полный план работы. Осуществляет самоконтроль в соответствии с целями и задачами работы.

В формировании волевого компонента выделяют следующие уровни:

В – волевые усилия ученика проявляются слабо, т. е. ученик не стремится довести работу до конца, при первых затруднениях отказывается от выполнения задания;

В – волевые усилия ученика проявляются в большинстве случаев, например, на занятиях работает напряжённо, стремится довести работу до конца, но при первых серьёзных затруднениях отступает;

В – волевые усилия проявляются во всех видах учебно-познавательной деятельности.

Состояние личности любого ученика обозначается объектом МСВ, где i=1,2; j=1,2,3; k=1,2,3. Указанными объектами можно характеризовать развитие ученика. Наиболее низкому уровню развития соответствует объект МСВ, характеризующий личность, все три компонента которой находятся на самых низких уровнях, а самому высокому – объект МСВ, символизирующий устойчивые познавательные мотивы, волевые проявления и способность к творческой деятельности.

В диссертационном исследовании дифференцированного подхода к формированию познавательной самостоятельности студентов младших курсов вузов Р. Р.Бикмурзина предлагает пути повышения уровня развития студента, которые можно организовать в трёх направлениях: 1) в ситуации лидирующего изменения мотивационного компонента, 2) в ситуации лидирующего изменения содержательно-операционного компонента, 3) в ситуации лидирующего изменения эмоционально-волевого компонента. Каждому направлению соответствует своя система задач, способствующая переходу студента из одной типологической группы в другую более высокого уровня.

Например, для развития познавательной мотивации и переходу объекта МСВ на уровень МСВ предлагаются следующие задания, не требующие глубоких теоретических знаний, но позволяющие вызвать чувство уверенности в своих силах.

1). Найдите сумму векторов

a b e

c d

Рис. 1

 

2). Даны векторы a и b и их линейная комбинация ( а – 3b ). Указать на каком рисунке она изображена.

a

b

a) a a – 3b б) a a – 3b

3b 3b

 

в) a a – 3b

3b Рис. 2

3). Силы F и F имеют равные числовые значения и одно и тоже направление. Оказывают ли они на тело одинаковое воздействие?

F F

Рис. 3

Повышению содержательно-операционного компонента способствуют задачи, требующие большого объёма знаний, большего напряжения мысли и внимания. Например, длина вектора в координатной форме, признак перпендикулярности векторов в координатной форме ( для МСВ

МСВ ). Для повышения содержательно-операционного компонента предлагаются задания типа: «Проанализируйте и выявите существенные признаки…»; «Сравните и выявите общие черты (сходство и различие)»; «Сделайте вывод по изученному материалу». Повышению уровня содержательно-операционного компонента, а значит лучшему осмыслению и пониманию материала способствует решение цепочки задач, подобранных таким образом, что результаты решения предыдущей задачи применяются для решения последующей. Это позволяет вернуться к уже решённой задаче, ещё раз её переосмыслить, глубже вникнуть в её содержание.

В настоящем диссертационном исследовании мы придерживаемся последнего из рассмотренных подходов осуществления дифференциации, поскольку в отличие от остальных он учитывает как уровень достижений школьника, так и структурные компоненты её личности.

§3. Структурные компоненты личности школьника и пути их формирования

Напомним, при дифференцированном подходе, исходящем из структуры личности, основаниями образования групп являются уровни сформированности мотивационно-потребностного, операционно-действенного и эмоционально-волевого компонентов личности. В психологии и дидактике уровни сформированности каждого из указанных трёх компонентов выявлены. Каждый ученик в зависимости от уровня мотивов, волевых усилий и степени владения учебным материалом может продвигаться от элементарного состояния до самого сложного своим путём.

Опишем более подробно каждый из структурных компонентов школьника, то есть мотивационно-потребностный, содержательно-операционный и эмоционально-волевой. Так как изучение курса планиметрии 7-9 классов приходится на подростковый период школьников, то речь будет идти именно об этом возрастном этапе развития личности.

3.1. Мотивационно-потребностная сфера и её формирование

Подростковый период традиционно считается одним из наиболее критических моментов в психическом развитии личности, и это в первую очередь определяется происходящими глубокими преобразованиями в мотивационно-потребностной сфере подростков. «Именно в подростковом возрасте на протяжении сравнительно небольшого срока происходят интенсивные и глубокие изменения в движущих силах поведения» . По своему строению мотивационная сфера начинает характеризоваться не рядоположеностью мотивов, а их иерархической структурой, наличием определённой системы соподчинения различных мотивационных тенденций. «С развитием процессов самосознания наблюдаются качественные изменения мотивов, ряд их характеризуется большой устойчивостью, многие интересы принимают характер стойкого увлечения» по механизму действия мотивы становятся не непосредственно действующими, а возникающими на основе сознательно поставленной цели и осознанно принятого намерения. Возникновение опосредованных потребностей делает возможным сознательное управление подростком своими потребностями и стремлениями, овладение своим внутренним миром, формирование долгосрочных жизненных планов и перспектив.

Мотив – внутреннее побуждение личности к тому или иному виду активности, связанное с удовлетворением определённой потребности.

Мотивация – вся совокупность различных побуждений: мотивов, потребностей, интересов, стремлений, целей, влечений, мотивационных установок или диспозиций, идеалов и т. д., что в наиболее широком смысле подразумевает детерминацию поведения вообще.

В подростковом периоде происходят психологические изменения: усложнение форм абстрактно-логического мышления, развитие самосознания, расширение сферы волевой активности. Важным мотивационным образованием, влияющим на все стороны жизнедеятельности подростка, являются его интересы. Интересы представляют одну из главных характеристик личности человека, наиболее обще их можно определить как эмоциональное проявление потребностей.

В подростковый период в мотивационной сфере человека происходят кардинальные изменения. Эти изменения носят как количественный, так и качественный характер. Выстраивается иерархическая система мотивов. С развитием процессов самосознания наблюдаются качественные изменения мотивов, они становятся более устойчивыми, многие интересы принимают характер стойкого увлечения. По механизму действия мотивы становятся не непосредственно действующими, а возникающими на основе сознательно поставленной цели и сознательно принятого намерения. Возникновение опосредованных потребностей делает возможным для подростка сознательное управление своими потребностями и стремлениями, овладение своим внутренним миром, формирование долгосрочных жизненных планов и перспектив.

Решающее значение для достижения позитивных результатов в рамках учебной деятельности имеют мотивирующие её факторы, т. е. те движущие силы внутреннего и внешнего порядка, которые порождают и определяют любую человеческую активность.

Мотив может характеризоваться не только количественно (по принципу «сильный – слабый»), но и качественно. В этом плане обычно выделяют интринсивную, т. е. внутреннюю, и экстренсивную, т. е. внешнюю мотивацию. При этом речь идёт об отношении мотива к содержанию деятельности. Если для личности деятельность значима сама по себе (например, удовлетворяется познавательная потребность в процессе учения), то говорят о внутренней мотивации. Если же значимы другие потребности (социальный престиж, зарплата и т. д.), то говорят о внешних мотивах.

Классический закон Йеркса – Додсона, сформулированный несколько десятилетий назад, установил зависимость эффективности деятельности от силы мотивации. Из него следует, что чем выше сила мотивации, тем выше результативность деятельности. Однако, прямая связь сохраняется лишь до известного предела: если по достижении некоторого оптимального уровня сила мотивации продолжает увеличиваться, то эффективность деятельности начинает падать. Однако, качественная характеристика мотивов чрезвычайно важна, так как, например, на познавательную мотивацию рассмотренный выше закон Йеркса – Додсона не распространяется. Следовательно, даже постоянное нарастание силы познавательной мотивации не приводит к снижению результативности учебной деятельности. Именно с познавательной мотивацией (не с мотивацией успеха) связывают продуктивную творческую активность личности в учебном процессе (А. М.Матюшкин).

Какого-либо единства взглядов по вопросу о том, чем различается интринсивно и экстринсивно мотивированное поведение, до сих пор не существует. Общим для всех концепций является лишь понимание внутренне мотивированного поведения как совершающегося ради себя самого или ради тесно связанных с ним целевых состояний, как не могущего быть лишь простым средством достижения инородной по отношению к такому поведению цели.

М. Чикжентмихали также предложил в качестве интринсивной мотивации определённое состояние «поток». «Поток» представляет собой радостное чувство активности, когда индивид как бы полностью растворяется в предмете, с которым имеет дело, когда внимание всецело сосредотачивается на занятии, и это заставляет его забывать о собственном Я, т. е. мотив тогда будет внутренним, когда человек получает удовольствие от самой деятельности, когда он полностью погружается в переживание продвигающегося вперёд действия (по: Х. Хекхаузен).

Осознание определяющего значения мотивации для учебной деятельности привело к формулированию принципа мотивационного обеспечения учебного процесса. Многие специалисты приходят к мысли о необходимости целенаправленного формирования у учащихся мотивации учебно-трудовой деятельности. При этом подчёркивается, что управлять формированием мотивов учебной деятельности ещё труднее, чем формировать действия и операции .

Содержательный анализ исследований, посвящённых проблеме мотивации учения, обнаруживает большое разнообразие мотивов, влияющих на эффективность процесса учения. Это обусловлено не только чрезвычайной сложностью самой учебной деятельности, уровнем её организации, но и возрастными особенностями учащегося. В подростковом возрасте учёба перестаёт быть ведущей деятельностью и активность подростка в большей степени направляется на общение со сверстниками, на внеклассные виды деятельности.

В исследовании А. В.Кирьяковой , изучавшей ценностные ориентации школьников, был зафиксирован очень низкий уровень ценности учения, познания у младших школьников. Только 30,3% от числа опрошенных сказали, что им учиться интересно, нравится, при этом 66% из них осознают, что это необходимо. Ещё более удручающие цифры были получены на выборке старших подростков и группы старшеклассников: среди старших подростков интересно учиться 8,1%, а среди старшеклассников – 12,4%. При этом, чем взрослее школьник, тем в большей степени он осознаёт, что учиться необходимо – 75,3 и 81%.

Данные исследований довольно убедительно демонстрируют низкую значимость учения и познавательной деятельности в системе ценностных координат современных подростков, при этом критической точкой становится переходный период от подросткового к юношескому возрасту.

В исследовании И. В.Дубровиной и её коллег было обнаружено, что максимальное значение для учащихся старших классов имеет мотив самоутверждения, связанный с наличием у старшеклассников потребности в самоуважении, которая может быть реализована через достижения в учебной деятельности. В качестве ведущих мотивов учения в средних классах исследователи называют стремление подростка завоевать определённое положение в классе, выделиться, добиться признания сверстников. Другим внешним и достаточно действенным мотиватором учения является отметка. На вопрос о том, хотели бы они учиться без отметок, большинство старшеклассников (девятый класс) отвечают отрицательно, так как без отметок им трудно было бы заставить себя заниматься. Второе по значимости место у старшеклассников принадлежит мотиву саморазвития, связанному со стремлением учащихся к развитию у себя в процессе учёбы таких качеств, как воля, целеустремлённость, а также с расширением своего кругозора в различных отраслях знаний, что проявляется в стремлении к самообразованию, выходу за пределы школьной программы.

Существующие на сегодняшний день исследования познавательных мотивов учения обнаруживают их низкую побудительную силу на протяжении всего школьного возраста. Подобные мотивы не приобретаются вместе с ранцем, а постепенно формируются в процессе самого учения, и ответственность за это ложится в первую очередь на педагога и родителей. При этом они требуют специальных действий по формированию, иначе с насыщением, например, потребности в позиции школьника успешность учения резко снизится.

Статистика констатирует, что в среднем лишь 22% российских школьников средних и старших классов имеют устойчивый интерес к учебным предметам, у большинства сформированного активного интереса к учёбе нет, а для значительной части учащихся (примерно 54%) характерно преобладание ориентации не на получение знаний, а на оценку (И. С.Кон).

По данным А. В.Кирьяковой, познавательный интерес присущ лишь 14,5% от числа опрошенных старшеклассников и занимает тем самым последний ранг среди других пяти мотивов учения.

В исследовании И. В.Дубровиной и её коллег были выделены следующие группы познавательных мотивов: интерес к предмету («Мне нравится сам предмет»); качество преподавания («Интересен тот предмет, который хорошо преподают»); нужность предмета в будущем («Неинтересно заниматься ненужным в будущем предметом»); хорошее знание предмета учеником («Мне нравятся те предметы, которые я хорошо знаю»); понимание предмета («Для меня самое главное на уроках – понимание»); самостоятельность мышления («Интересны те предметы, на которых можно пошевелить мозгами»).

Однако часто наблюдается такая картина, когда учителя не только не пробуждают интереса к предмету, но гораздо чаще гасят имеющийся и, более того, отвращают учащегося от изучения определённой дисциплины.

Помимо рассмотренных факторов, влияющих на проявление познавательной мотивации, следует отметить, что существуют и другие, в меньшей степени зависящие от учителя и школы причины. В исследовании Е. Н. Тумановой было показано, что внутренние познавательные мотивы, потребность в самоактуализации и самосовершенствовании более характерны для подростков из гармоничных семей. Мотивы избегания неприятностей, стремление к принятию и страх отвержения в большей степени влияют на учебную деятельность для подростков из негармоничных семей.

С другой стороны, интеллектуальные способности ребёнка также влияют на сформированность его мотивационной сферы. Дети с высоким уровнем интеллекта нередко отличаются достаточно высокой сформированностью всех компонентов мотивации.

В подростковом возрасте ребёнку доступно осознание своей учебной деятельности, её задач, способов и средств, доступно осознание соподчинения, сравнительной значимости мотивов, а это означает, что в этом возрасте складывается её осознанная иерархия. Кроме того, существенно развиваются процессы целеполагания в учении. Подросток способен к овладению умения ставить гибкие цели, связанные с приближающимся этапом социального и профессионального самоопределения. Однако без специального вмешательства существенных изменений в мотивации учения школьников при традиционной системе обучения не происходит.

3.2. Содержательно-операционный компонент школьника

и его формирование

Содержательно-операционный компонент школьника включает в себя систему ведущих знаний и способы учебно-познавательной деятельности, которые определяют умение самостоятельно овладевать новыми знаниями и способами деятельности.

Представим внутреннюю структуру знания: понимание изучаемого материала; сохранение его в памяти; умение воспроизводить усвоенные факты и вытекающие из них теоретические обобщения; умение применять знания на практике; развитие творческих способностей познавательной и практической деятельности.

Для того чтобы самостоятельно пополнять запас знаний и умений, критически относиться к изучаемому нужно, прежде всего, научиться не запоминать изученное, а понимать его, научиться проверять каждый шаг своих собственных рассуждений и пополнять их, если замечаешь неполноту логических заключений.

Понимание совершается в активной мыслительной деятельности, начиная с принятия проблемы и желания её решить. Однако понимание ещё не есть знание. Овладение же изучаемым материалом предполагает их прочное усвоение, когда ученик может в полном объёме воспроизводить как изученный фактический материал, так и вытекающие из него теоретические обобщения. Поэтому органической составной частью учебно-познавательной деятельности школьников является запоминание осмысленного материала.

Но что, значит, запомнить материал? Это, значит, усвоить изучаемые теоремы и определения, выводы и следствия из них и уметь свободно их воспроизводить. При решении задачи важно уметь расчленять её на части и составить план её решения, выделить главное, воспроизвести материал полностью или в сокращённом виде, соотнести его с ранее усвоенными знаниями.

Любые вопросы типа «Что называется…?», «Как формулируется такая-то теорема…?» легко заменить соответствующими упражнениями. Выполняя их, ученики и формулируют, и применяют их и легче запоминают.

Следующей ступенью процесса обучения является применение знаний на практике и выработка соответствующих умений и навыков. Организация этой работы сопряжена с немалыми трудностями в условиях школьного обучения. Чем же обусловлены эти трудности?

По этому поводу академик Б. М.Кедров отмечал: «Движение познания от теории к практике соответствует нарастанию момента субъективности в деятельности человека при сохранении объективного момента в качестве исходного, определяющего собой весь процесс его познавательной и практической деятельности» .

Важно научиться составлять свои задачи – не только аналогичные разобранным, но и естественным образом вытекающие из правил, формул, теорем, свойств рассматриваемых функций.

Желательно практиковать задачи, в которых ещё надо уточнить их постановку (например, с заданием «сравните», «исследуйте», «обсудите» и т. п.).

Ставя перед собой вопрос – каким умениям следует обучить школьников, чтобы они обеспечивали им относительную лёгкость учения и добывания знаний, Н. В.Кухарев назвал их побудительными (связаны с мотивами учения и организованностью) и интеллектуальными (обусловлены умением рационально добывать знания и совершенствовать собственные умения).

Он включает в состав интеллектуальных умений следующие компоненты: (операционный компонент)

1) Выделять в информации существенное, главное.

2) Систематизировать материал и выражать в схеме.

3) Подбирать выступление к собственному ответу; делать сопостав-ления и выводы.

4) Пользоваться первоисточниками, привлекать их при ответе.

5) Пользоваться справочной литературой.

6) Изображать графически, поддающийся схематизации учебный материал.

7) Строить связанный рассказ, подчёркивая логические акценты и переходы.

8) Раскрывать материал в сравнении.

9) Понять познавательную задачу, содержащуюся в тексте.

10) Высказывать собственное отношение к изучаемым фактам.

11) Самостоятельно формулировать вопросы в связи с изучением нового материала на сопоставление его с уже известными фактами и положениями.

12) Проводить элементарное исследование на основе нескольких источников.

13) Формулировать гипотезу, намечать пути её проверки.

14) Проводить сравнение, сопоставляя, делать выводы.

15) Раскрывать смысл абстрактных явлений.

16) Находить способы применения получаемых знаний на практике.

Показателем сформированности содержательного компонента школьника является сознательность усвоения системы знаний.

Показателем же сформированности операционного компонента является умение выделять главное; умение планировать свою предстоящую учебно-познавательную деятельность и самоконтроль.

3.3. Эмоционально-волевая сфера и её формирование

Исследование проблемы воли показывает, что в основных теориях воля понимается не как изначально данная человеку способность, а, по крайней мере, способность развивающаяся, то необходимо поставить вопросы о критериях выявления воли или степени её развития и об условиях, требующих проявления воли.

Разными авторами выделяются следующие 4 типа критериев воли.

Воля проявляется:

1) в волевых действиях;

2) в выборе мотивов и целей;

3) в регуляции внутренних состояний человека, его действий и различных психических процессов;

4) в волевых качествах личности .

Анализ критериев, по которым определяется волевое действие, показывает общие характеристики, из которых исходят разные авторы:

1) волевое действие является осознанным, целенаправленным, намеренным;

2) всегда существуют причины, по которым действие принимается к исполнению;

3) волевое действие имеет исходный или появляющийся при его осуществлении дефицит побуждения (или торможения);

4) волевое действие в итоге обеспечивается дополнительным побуждением (торможением) за счёт функционирования определённых механизмов и заканчивается достижением намеченной цели.

Второй тип критериев воли связан с выбором мотивов и целей, что часто описывается как борьба мотивов. Проблема выбора сама по себе сложна и в качестве критерия воли неоднозначна. Конфликт и необходимость выбора возникают в различных ситуациях и по разным причинам:

1) необходимость выбора одного из двух физически несовместимых действий и стоящих за ними желаний (например, подготовка к экзаменам и просмотр кинофильма)

2) необходимость выбора одной из целей;

а) обусловленных разными мотивами;

б) отвечающих одному и тому же мотиву, но приводящих к разным последствиям;

3) конфликт между желаемой целью и последствиями действия;

4) конфликт между социально заданной целью и личными мотивами.

Следующий тип критериев воли связан со способностью человека к преднамеренной регуляции:

1) различных параметров действия (темпа, скорости, силы, длительности и пр.);

2) физиологических и психических процессов:

а) торможение неадекватных процессов, прежде всего эмоциональных, и активизации необходимых процессов;

б) организации психических процессов в соответствии с ходом деятельности .

При использовании таких критериев часто исчезает разница между волевой и эмоциональной регуляцией действий, отсюда и понятие эмоционально-волевой регуляции, при которой в качестве проявления воли рассматривается и произвольная саморегуляция эмоциональных состояний, и регуляция действий через изменение эмоционального состояния и отношения к действию.

Последний – наиболее эмпирический тип критериев воли связан с наличием у человека разнообразных качеств или свойств, получивших название волевых: энергичность, выдержка, настойчивость, терпеливость, решительность и др. по крайней мере, отсутствие этих качеств традиционно рассматривается как показатель слабости воли. Однако достаточно надёжно показано, что отдельные волевые свойства не всегда связаны друг с другом: наличие у человека одного свойства не предполагает других качеств.

Ф. Н. Гоноболин, А. Ц. Пуни, В. И. Селиванов , и другие авторы считают, что волевые свойства личности формируются в процессе деятельности. Поэтому для развития «силы воли» (волевых качеств) чаще всего предлагается путь, кажущийся наиболее простым и логичным: если «сила воли» проявляется в преодолении препятствий и трудностей, то и путь ее развития идет через создание ситуаций, требующих такого преодоления. Однако практика показывает, что это не всегда приводит к успеху. Говоря о развитии «силы воли» и волевых качеств, следует учитывать их многокомпонентную структуру. Один из компонентов этой структуры — моральный компонент воли, по И. М. Сеченову, т. е. идеалы, мировоззрение, нравственные установки, — формируется в процессе воспитания, другие (например, типологические особенности свойств нервной системы), как генетически предопределенные, не зависят от воспитательных воздействий, и у взрослых людей практически не изменяются. Отсюда развитие того или иного волевого качества в значительной степени зависит от того, в каком соотношении в структуре этого качества находятся указанные компоненты.

Большое значение для формирования волевой сферы личности ребенка имеет не только предъявление к нему требований, вербализуемых в словах «надо» и «нельзя», но и контроль за выполнением этих требований. Если взрослый говорит «нельзя», а ребенок продолжает выполнять запрещаемое действие, если после слов «надо убрать игрушки» ребенок убегает, и невыполнение требований остается для него без последствий, нужный стереотип волевого поведения не вырабатывается. В таком подходе к развитию воли, как полагал С. Л. Рубинштейн, имеются две крайности, каждая из которых таит в себе серьезную опасность. «Первая заключается в том, что ребенка изнеживают и волю его расслабляют, избавляя его от необходимости делать какие-либо усилия; между тем готовность употребить усилие, чтобы чего-нибудь достигнуть, — совершенно необходимая в жизни, не дается сама собой, к ней нужно приучать; лишь сила привычки может облегчить трудность усилия: совершенно не привычное, оно окажется непосильным. Другая — тоже не малая — опасность заключается в перегрузке детей непосильными заданиями. Непосильные задания обычно не выполняются. В результате создается привычка бросать начатое дело незавершенным, а для развития воли нет ничего хуже этого. Для выработки сильной воли первое и основное правило — доводить раз начатое дело до конца, не создавать привычки бросать незавершенным то, за что взялся. Нет более верного средства дезорганизовать волю, как допустить один за другим ряд срывов, раз за разом не довести до конца начатое дело» .

Проявление силы воли в значительной степени обусловлено нравственными мотивами человека. Наличие у человека прочных убеждений, целостного мировоззрения и стойких убеждений Л. И. Божович связывает не просто с волевой регуляцией, а с волевой организацией личности человека. Отсюда одним из путей формирования волевой сферы личности человека считается его нравственное воспитание. П. А. Рудик, подчеркивая значимость этого момента он говорил о том, что воспитание требуемых (человеку) волевых качеств органически и неразрывно связывается с его нравственным воспитанием. Оно представляет собою единый педагогический процесс, в котором воспитание волевых и моральных сторон личности взаимосвязаны и не могут протекать раздельно: воспитание волевых качеств не может быть осуществлено без одновременного воспитания нравственных черт личности; в то же время моральное воспитание не может быть осуществлено вне волевой деятельности.

Воспитательная работа является необходимым условием развития волевой сферы человека. Воспитание чувства коллективизма, ответственного отношения к общему делу создает хорошие предпосылки для волевых проявлений. На значение коллектива и коллективистских настроений в воспитании воли указывали многие психологи: А. В. Веденов, А. Б. Запорожец, К. Н. Корнилов, В. А. Крутецкий и др. Во многих исследованиях, например, установлено, что групповой (командный) соревновательный мотив стимулирует проявление силы воли в большей мере, чем индивидуальный. Обращение педагогов, тренеров, товарищей к моральным и нравственным чувствам человека увеличивает его смелость и решительность. Таким образом, при воспитании человека и его морально-волевой подготовке в первую очередь необходимо заботиться о формировании целостной личности, у которой хорошо развиты те мотивы, которые имеют общественную направленность.

Для формирования волевых качеств немаловажно развитие самостоятельности у школьников, которое проходит ряд этапов. На первом этапе самостоятельность проявляется лишь в исполнении того, что было запланировано только учителем (руководителем, тренером) или учителем совместно с учениками, подчиненными. На втором этапе самостоятельность проявляется не только в исполнении, но и в самоконтроле. На третьем этапе к ним присоединяется возможность самому планировать деятельность. На четвертом этапе появляется творческая инициатива, т. е. самостоятельность в постановке цели, выборе путей ее достижения, в принятии на себя ответственности за осуществление дела.

Успешное формирование самостоятельности требует учета ряда обстоятельств и создания определенных условий.

1. Развитие самостоятельности возможно лишь на основе приобретения знаний и умений, необходимых в данном виде деятельности.

2. Развитие самостоятельности должно проходить под контролем наставника (учителя, родителей и т. п.), но без лишней опеки, без сковывания инициативы человека.

3. Необходим интерес обучаемого к данному виду деятельности.

ВЫВОДЫ ПО ГЛАВЕ I

1. Анализ научно-методической и психолого-педагогической литературы по проблеме использования дифференцированного подхода к обучению школьников геометрии показал, что для осуществления дифференцированного подхода к обучению школьников предлагаются десятки критериев, по которым школьники могут быть объединены в типологические группы. Ряд авторов, дифференцированный подход к обучению связывают с дифференциацией учебного материала, уровнем обученности и обучаемости школьников, их познавательными интересами, уровнем знаний, умений и навыков, уровнем работоспособности. По мнению других авторов, основаниями образования групп являются индивидуальные особенности нервной системы, темперамент, здоровье, структура математического мышления, устойчивость восприятия, уровень развития памяти и др. То есть предлагаемые различными авторами критерии деления школьников на группы либо представляют собой дифференциацию учебного материала, либо содержат отдельные аспекты развития личности, выявление которых представляет трудную педагогическую задачу.

2. Обобщение точек зрения различных исследователей на роль дифференцированного подхода к обучению школьников позволил сделать вывод о том, что в учебно-воспитательном процессе должна быть учтена как дифференциация учебного материала, так и индивидуальные особенности школьников. Наибольшие возможности для этого представляет дифференцированный подход, исходящий из структуры личности школьника. При таком подходе к дифференциации типологические группы образуются исходя из уровней развития мотивационно-потребностного, содержательно-операционного и эмоционально-волевого компонентов школьника. В психологии и дидактике уровни сформированности каждого из указанных трёх компонентов выявлены.

3. При дифференцированном подходе к обучению геометрии учащихся основной школы составляется индивидуальная траектория развития для представителей каждой типологической группы в зависимости от уровня его мотивации, знаний и волевых качеств. Для гармоничного развития представителей каждой типологической группы педагог должен: 1) иметь разнообразную систему дидактических материалов по каждой теме изучаемого курса геометрии; 2) знать соответствие каждого задания уровню развития школьника, представляющего определённую типологическую группу.

Методическая реализация дифференцированного подхода к обучению геометрии учащихся основной школы будет подробно рассмотрена во второй главе.

ГЛАВА II. МЕТОДИЧЕСКИЕ АСПЕКТЫ ДИФФЕРЕНЦИРОВАННОГО ПОДХОДА К ОБУЧЕНИЮ ГЕОМЕТРИИ УЧАЩИХСЯ ОСНОВНОЙ ШКОЛЫ

Совпадение во времени двух крупных перестроек – перехода на всеобщее среднее образование и реформы содержания школьной математики (начало 70-х гг.) – увеличило проблемы школьного образования. Традиционная система обучения была направлена на то, чтобы пытаться научить каждого на максимальном уровне и рассчитана на подготовленного ученика. Возникает перегрузка относительно более слабых школьников, которые не могли усваивать всю информацию на максимальном уровне. Особенно сложным оказалось положение такого предмета, как математика. Для неё характерны глубокие внутрипредметные связи: если ученик плохо усвоил предшествующий материал, то он ещё хуже усвоит последующий. Известно, что не получив на каком-то этапе необходимого фундамента математической подготовки, ученик оказывается не в состоянии продолжать учиться. Дальнейшее изучение математики, а также смежных предметов становится для ученика трудным, а иногда и невозможным из-за существенных пробелов в изучении материала.

Решением создавшейся проблемы явилось появление нового вида дифференциации – уровневой. Идея уровневой дифференциации предусматривает выделение уровня обязательной подготовки, которым должны овладеть все учащиеся в итоге изучения курса математики. Этот уровень называют «обязательные результаты обучения». Они должны быть заданы явно, т. е. зафиксированы и описаны, известны всем участникам учебного процесса. Обучение математике должно строиться так, чтобы достижения обязательных результатов учащимися было безусловным требованием и непременно контролировалось. При этом достижение выделенного уровня обязательной подготовки должно служить ученику гарантией положительной оценки его успехов. Необходимо подчеркнуть, что достижение обязательных результатов обучения – это не единственная цель обучения математике. Одновременно должны быть созданы условия для максимального математического развития школьников, интересующихся предметом, для совершенствования возможностей и способностей каждого ученика.

Многолетние наблюдения за учебной деятельностью школьников, за результатами их достижений, развитием личностных качеств школьников позволяют сделать вывод о том, что обязательных результатов достигают школьники, состояние личности которых характеризуется объектами МСВ, МСВ, МСВ, МСВ, МСВ, МСВ, МСВ (i+j+k=3;4;5). Продвинутого уровня достигают школьники структурные компоненты личности, которых характеризуется объектами: МСВ, МСВ, МСВ, МСВ, МСВ (i+j+k=5;6;7).

Соответствия между уровнями учебных достижений и уровнем развития личности можно представить в виде таблицы 5.

Таблица 5

Уровень учебных достижений школьника

Состояние личности школьника

1. Обязательный уровень

МСВ, МСВ, МСВ, МСВ, МСВ, МСВ, МСВ

2. Продвинутый уровень

МСВ, МСВ, МСВ, МСВ, МСВ

Характеризуя таким образом соответствия между уровнем учебных достижений школьника и уровнем его развития следует заметить, что данная зависимость не является жёсткой, так как достижение или не достижение обязательного или продвинутого уровня школьником по каждой конкретной теме зависит от содержания учебного материала, поэтому по некоторым темам, например, школьники первой группы могут и не достичь обязательного уровня, а успехи школьников второй группы оказаться ниже продвинутого уровня.

Из таблицы видно что, даже находящиеся на одном уровне учебных достижений ученики отличаются друг от друга личностными качествами, например, у одних сильная воля, но низкие познавательная мотивация и уровень содержательного компонента, а у других высокий содержательный компонент, но низкие уровни мотивации и воли.

Неправомерно рассматривать индивидуальные особенности школьника безотносительно к возрастному периоду, стадии его развития. Изучение курса планиметрии 7-9 классов приходится на возрастной период 13-15 лет, то есть подростковый период. Подростковый возраст – это возраст пытливого ума, жадного стремления к познанию, возраст кипучей энергии, бурной активности, инициативности, жажды деятельности. Общие закономерности подросткового возраста проявляют себя через индивидуальные вариации, зависящие не только от окружающей подростка среды и условия воспитания, но и от особенностей организма или личности. Подростковый возраст занимает важную фазу в общем процессе становления человека как личности, когда на основе качественно нового характера, структуры и состава деятельности ребенка закладываются основы сознательного поведения, вырисовывается общая направленность в формировании нравственных представлений и социальных установок.

Подростки стремятся к самосовершенствованию, начинают работать над своими недостатками, стремятся быть похожими на своих более успешных в учебных делах товарищей, и даже внешне спокойный неуспевающий школьник мечтает быть лучше. Задача педагогов состоит в том, что бы создать педагогическое пространство, где ребенок имел бы возможность для разностороннего и гармоничного развития своей личности, обогащения своего внутреннего мира.

§1. Дифференцированный подход к обучению школьников геометрии в условиях обязательных результатов

Достижение обязательных результатов обучения необходимо рассматривать как первоочередную по своей значимости задачу, которую должен ставить перед собой каждый учитель, организуя усвоение материала учащимися. Несмотря на относительную простоту соответствующих задач и сравнительно небольшой их объём, очень нелегко добиться, чтобы каждый ученик свободно справлялся с их решением.

Недооценка сложности этой проблемы встречается очень часто. Вместе с тем практика показывает, что значительная часть учащихся не владеет опорными умениями и навыками в необходимой степени. Контрольные работы, направленные на проверку обязательных результатов обучения, показывают, что часто значительная часть класса не справляется с решением даже несложных геометрических задач.

Таким образом, задача достижения всеми учениками уровня обязательной подготовки стихийно, без целенаправленной работы не решается. Необходимы специальные меры для решения этой проблемы. Важным обстоятельством при этом должен являться тот факт, что обязательные результаты обучения должны стать основой дифференциации требований к учащимся.

Опишем организацию работы со школьниками первой группы по достижению ими обязательных результатов обученности. Эффективность такой работы зависит от правильно составленной системы задач и упражнений, соответствующей достигнутому уровню развития школьника и позволяющей ему развить другие положительные личностные качества.

Напомним, что в первую группу входят школьники, структурные компоненты личности которых характеризуются объектами МСВ, где i+j+k=3,4,5, то есть МСВ, МСВ, МСВ, МСВ, МСВ, МСВ, МСВ.

У представителей типологической группы МСВ все структурные компоненты находятся на одинаково низком уровне: низкий уровень мотивационно-потребностной сферы, низкий уровень содержательно-операционного компонента, низкий уровень эмоционально-волевой сферы. Такая «гармония» личностных качеств не должна устраивать педагогов, организующих учебный процесс. Для этого объекта характерна «умственная пассивность», затруднённость перехода от самостоятельной работы по образцу к реконструктивным и вариативным, не говоря уже о творческих. Эти учащиеся – самая инертная часть школьников, которые самообразованием практически не занимаются, не испытывают желания учиться. Нередко наблюдается неуверенность в себе, колебания. Они чаще других отказываются от решения задач. Иногда ранее решённые задачи могут восприниматься ими как совершенно новые. Они медленно усваивают новые знания. Ещё больше времени им требуется на закрепление материала.

Для повышения уровня содержательно-операционного компонента таким школьникам нужно предлагать задания типа: «Проанализируйте и выявите существенные признаки…», «Сравните и выделите общие черты (сходство и различие)»; «Сравните имеющиеся точки зрения и выявите, какие из них имеют общий подход к проблеме»; «Докажите, какая из гипотез, на ваш взгляд, более обоснована»; «Сделайте вывод по изученному материалу».

Содержательный компонент включает в себя владение учеником системой опорных знаний и способов познавательной деятельности. Для того чтобы знания являлись действительно опорой в приобретении новых знаний собственными силами, они должны быть хорошо усвоены на уровне свободного владения. Содержательный компонент должен включать в себя также владение методами мыслительной деятельности, то есть умениями анализировать наблюдаемые явления, выделять в них главное, отбрасывать второстепенное, умениями конкретизировать общие положения, отыскивать доказательства, умениями видеть задачу, проблему и находить более рациональный путь её решения.

Повышению уровня содержательно-операционного компонента, а значит, лучшему осмыслению и пониманию материала способствует решение цепочки задач, подобранных таким образом, что результаты решения предыдущей задачи применяются для решения последующей. Это позволяет вернуться к уже решённой задаче, ещё раз переосмыслить, глубже вникнуть в её содержание.

Рассмотрим цепочку задач, которую можно предложить при изучении темы: «Теорема Пифагора» на этапе связи теоремы с другими теоремами.

С 1). По данным рис. 4 найдите катет ВС.

2).Найдите площадь треугольника АВС.

3).Найдите высоту ВН.

Н 4).Найдите длину отрезка АН.

5).Найдите длину отрезка СН двумя способами.

А В 6).Вычислите площадь треугольника АВН.

Рис.4 7).Найдите площадь треугольника ВНС двумя способами.

При выполнении этого задания учащиеся несколько раз применяют теорему Пифагора, теорему о площади треугольника, что способствует лучшему усвоению этих теорем.

На этапе систематизации, например, по теме «Площадь» предложим такую задачу:

Достройте прямоугольный треугольник 1) до равнобедренного треугольника; 2) до параллелограмма; 3) до прямоугольника так, чтобы площади этих фигур были в два раза больше площади исходного треугольника. Можно ли достроить данный треугольник до трапеции площадь которой в два раза больше площади исходного треугольника? Почему?

Это задание способствует усвоению свойств площадей, теорем о площадях изученных геометрических фигур, развивает логическое мышление при доказательстве невозможности достроить треугольник до трапеции с указанными свойствами.

Для учащихся МСВ важно полноценно пройти все этапы при изучении нового понятия или теоремы, что повышает уровень содержательно-операционного компонента. Чтобы не исчезла мотивация, возникшая при выполнении заданий необходимо вовремя оказывать помощь таким ученикам, иначе, если ученику никак не удаётся подойти к решению заинтересовавшей его задачи, положительные мотивы могут угаснуть и даже превратиться свою противоположность. Вовремя оказанная помощь избавляет ученика от чувства неудачи. Так, если ученику предложено выполнить цепочку вышерассмотренных задач 1) – 7), необходимо также предложить следующие методические рекомендации а) – е):

а) Выразите неизвестный катет через гипотенузу и известный катет.

б) Вспомните формулу площади треугольника.

в) Запишите формулу площади треугольника для треугольника АВС с осно-ванием АС и высотой ВН. Выразите высоту ВН через площадь и основание АС.

г) Запишите теорему Пифагора для треугольника АВН. Найдите катет АН.

д) Запишите теорему Пифагора для треугольника СВН. Найдите катет СН.

е) Вспомните формулу площади прямоугольного треугольника.

Повышению мотивационного и эмоционально-волевого компонентов этих учащихся способствует использование задач с эстетическим содержанием. Рассмотрим на материале геометрии восьмого класса, каким образом можно использовать эстетическую мотивацию при изучении некоторых тем.

Например, при изучении темы «Центральная и осевая симметрии» предложить школьникам такую практическую работу:

1. Вырезать из листа бумаги «снежинки», имеющие две (четыре) оси симметрии.

2. Выяснить от чего зависит число осей симметрии «снежинки».

3. Выяснить будет ли иметь центр симметрии получившаяся геометрическая фигура.

Эта практическая задача посильна учащимся со структурными компонентами МСВ, одновременно происходит усвоение понятий осевой и центральной симметрий. В результате выполнения задания создаются красивые фигуры.

При изучении темы «Площадь квадрата, площадь прямоугольника, свойство площадей» предложить школьникам геометрические фигуры различной формы с вырезанными из них частями. Учащимся даётся задание: «Вычислите площади фигур разными способами». Это практическое задание стимулирует пространственное мышление и одновременно происходит непроизвольное запоминание формул площадей квадрата и прямоугольника, что повышает уровень содержательно-операционного компонента.

При изучении темы «Теорема Пифагора» можно предложить различные формулировки теоремы, сформулировать как звучала теорема в V веке до н. э. в виде задачи: «Доказать, что квадрат, построенный на гипотенузе, равновелик сумме квадратов, построенных на катетах.

Так как содержательно-операционный компонент учащихся низкий, то необходимо предлагать больше заданий с образцами решения, задания на заполнение пропусков.

Рассмотрим задачу из обязательных результатов обучения по теме:

«Равенство треугольников»:

Задача 1. СО=ОВ и АО=О. Докажите, что АСО= ДВО. (Рис. 5).

Предлагаем школьникам следующую карточку на заполнение пропусков в решении:

1.Рассмотрим АСО и DВО.

СО = ОВ (по условию)

АО = … (по условию)

АОС = … (как вертикальные),

значит АСО = DВО (по … признаку равенства …)

Рис.5

Вторая типологическая группа МСВ – это подростки, имеющие низкую учебную мотивацию, слабый содержательно-операционный компонент, но сильную волю. Им присущи колебания между активностью и апатией, часто наблюдается неуверенность в собственных силах, вызываемая неудачами. Таким школьникам нередко свойственны замедленность, скованность мыслей, недостаточное развитие речи. Поэтому активнее работают при повторении, чем при изучении новой темы. Самостоятельность проявляется у них только при решении задач по образцу. Пытаются планировать свою деятельность, но неразумное использование времени не всегда позволяет придерживаться составленного плана.

Исходя из классической философии духовный мир личности рассматривается в единстве трёх сторон: рациональной, чувственно-эмоциональной и волевой, находящихся в тесной взаимосвязи и взаимодействии. В деле формирования человека с этой точки зрения необходимо равномерное развитие каждой из указанных сфер. Так, если у человека недостаточно развиты мышление и чувства, а воля гипертрофирована, то такой человек будет любым путём стремиться к самоутверждению, к доказательству своего превосходства над другими, к первенству. Воля, не освящённая умом и чувствами – лишена нравственной направленности.

Исходя из этого следует, что для гармоничного развития школьник, имеющий сильную волю должен иметь соответствующие познавательную мотивацию и мышление. Как же формировать мотивацию и мышление школьников, относящихся к типологической группе МСВ?

Таким школьникам нужно давать для домашней работы задания с чётким алгоритмом по выполнению, так как сильный волевой компонент позволяет им прилагать достаточно усилий для достижения цели. Так как им свойственна замедленность мыслей, то в домашней обстановке не спеша они могут выполнить необходимое количество упражнений. Например, это может быть работа по усвоению свойств понятия и логической структуры определения.

По теме «Трапеция» можно порекомендовать такие задания:

1. Разделите определение трапеции на логические части. Результатом выполнения будет ответ: трапецией называется / четырёхугольник, у которого / две противоположные стороны параллельны, / а две другие не параллельны.

2. В соответствии с определением трапеции составьте упражнения на проверку принадлежности геометрической фигуры понятию трапеция.

Ученик должен понимать смысл этого задания, результатом которого могут быть такие придуманные им упражнения:

Является ли трапецией фигура, для которой выполняются условия:

А) – С)

1. А. Это пятиугольник; В. стороны параллельны; С. стороны не параллельны.

2. А. Это четырёхугольник; В. Две противоположные стороны параллельны; С. Две другие стороны также параллельны.

Или такое упражнение:

Являются ли нарисованные фигуры трапециями и почему?

 

 

Рис.6

К проверке правильности выполнения этих заданий могут быть привлечены родители, для которых такие задания не представят особых трудностей. Ребёнок поясняет им, почему на одном рисунке фигура является трапецией, а на другом нет. Таким образом, развивается логическое мышление школьника, умение обосновывать, развивается речь, происходит усвоение понятий.

На этапе систематизации в качестве домашней работы школьникам предлагается придумать задания на соответствие фигур их названиям. Ученик вырезает отдельно различные геометрические фигуры и названия геометрических фигур. Затем перемешивает все фигуры и их названия, после чего надо поставить в соответствие каждой фигуре её название.

шестиугольник

 

 

параллелограмм

 

прямоугольник

 

ромб

 

трапеция

 

квадрат

 

Рис.7

Можно также предложить написать определения всех изученных геометрических фигур на отдельных карточках, затем ножницами разрезать определение на 2 части по образцу: (геометрической фигурой называется)+(перечисление свойств фигуры), перемешать все записи и снова сложить формулировки определений.

прямоугольник, у которого все стороны равны

 

Параллелограммом называется

 

четырёхугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны

 

четырёхугольник, у которого две стороны параллельны, а две другие не параллельны

 

параллелограмм, у которого все стороны равны

 

параллелограмм, у которого все углы прямые

 

Квадратом

называется

 

Ромбом

называется

 

Трапецией

называется

 

Прямоугольником называется

 

Рис.8

По теме «Площадь» подобные карточки, для систематизации формул площадей могут выглядеть так:

S=

 

S□=

 

S◊=

 

S=

 

S=

 

S=

 

a*h

 

½(a+b)h

 

a²

 

½a*h

 

½d1*d2

 

½a*h

 

 

Рис.9

Самостоятельное составление таких заданий, выполнение их создаёт у школьника положительную учебную мотивацию. Спокойная, неторопливая работа дома позволяет им усвоить определения, привести знания в систему. Изготовленные дома карточки ученик может принести на следующий урок в класс и предложить одноклассникам собрать формулы площадей, определения геометрических фигур и др.

Третья типологическая группа МСВ у представителей которой при низких уровнях мотивации и воли, содержательный компонент находится на высоком уровне. Это учащиеся с разбросанными или неопределёнными интересами, с отсутствием познавательного интереса. Для них характерно безразличное отношение к учению, хотя они вполне могли бы успевать на «хорошо», так как знают основные понятия, теоремы, формулы, умеют доказывать их и применять к решению задач. Однако занятия представляются им нередко скучными, малозначительными, подавляющими «свободу творчества», отталкивающими строгим контролем и т. п. Этих учащихся можно отнести к пессимистам. Они, как правило, невысокого мнения о результатах своей работы. Характерным для них является нестабильность в решении даже типовых задач, происходит чередование верных и неверных ответов. Они затрудняются при переходе к решению задач нового типа, но, овладев методами их решения, справляются с аналогичными задачами. У них не сформированы эвристические приёмы мышления, им трудно сформулировать гипотезу относительно конечной цели и промежуточных подцелей в процессе поиска решения задач.

Для повышения мотивации необходимо решать такие задачи, которые позволяют углубить стремление учащихся находить практические приложения, сформировать отрицательное отношение к механическому изучению математики.

Например, изучая тему: «Подобие» в 8 классе можно предложить ученикам такие задачи, связанные с их практическими интересами.

Задача 2. Кадр на фотоплёнке имеет размеры 3,6 см * 2,4 см. Фотография, которую вам сделали в фотосалоне, имеет стандартный размер: 15см * 10см. Сохраняются ли пропорции изображений при таких размерах фотографии?

Задача 3. Вы решили увеличить фотографию 15см * 10см. Какие размеры вам могут предложить в фотосалоне? Заполните таблицу размеров фотографии.

Таблица 6

Длина фотографии

Ширина фотографии

15 см

10 см

30 см

……

……

30 см

18 см

……

Задача 4. Графический редактор Paint имеет возможность изменять размеры рисунков. Рамка вокруг рисунка выглядит так:

 

Рис.10

Стрелки указывают направления изменения размеров. За какие стрелки можно «потянуть» рамку, чтобы сохранились пропорции изображения?

Эмоциональные переживания, чувства также выступают в роли мотива. Таким средством, повышающем мотивацию, являются задачи с эстетическим содержанием. Так как эти задачи интересны учащимся, они вызывают положительные эмоции, чувства радости, ощущения прекрасного, то, испытав такие чувства однажды, у ученика формируется потребность ощутить их снова. Таким образом, через эмоции учитель может повысить уровень мотивационно-потребностной сферы ученика.

Рассмотрим, каким образом можно использовать эстетическую мотивацию при изучении нового материала. Объекты, используемые, например, на этапе мотивации введения понятия, должны служить раскрытию таких признаков красоты математических объектов, как: упорядоченности, проявляющейся в сочетании аналитических и геометрических факторов, в симметрии формы; возможности установления неожиданных связей; контрасте между сложностью вводимого факта и простотой используемых средств; достаточно высокой степени общности; возможности визуализации объекта, то есть создании его наглядного образа. Это различные рисунки, чертежи, схемы, таблицы. С одной стороны, качественно оформленные, внешне они способствуют созданию эстетического фона обучения математике; с другой стороны, наглядно отображая обнаруженные взаимосвязи математических объектов, результаты обобщений, логику процесса познания, служат раскрытию внутренней красоты математики. Значительную роль следует отвести экскурсам в историю математики, раскрывающим те её аспекты, в которых обсуждается взаимосвязь математики и искусства. Включая «другие искусства» в свои уроки, учитель математики может противостоять распространяющейся безвкусице и равнодушию к прекрасному, то есть к дисгармонии в развитии личности. Например, при изучении теоремы Пифагора рассказать об истории Пифагора и его школы, ученикам интересно будет узнать, что в настоящее время существует уже более ста способов доказательства теоремы. Неожиданность этого факта повышает эмоциональный и мотивационный компоненты личности, у школьника может возникнуть потребность узнать о других, отличных от приведённого в учебнике доказательства, из математической литературы, энциклопедий и Интернета.

Так как занятия математикой представляются школьникам со структурными компонентами МСВ скучными и подавляющими «свободу творчества», то нужно предлагать творческие задания, которые будят их воображение.

Например, такую задачу.

Задача 5. Выпуклый четырёхугольник разрезали на четыре части (рис.11). Можно ли из этих частей сложить параллелограмм?

 

Рис.11

При решении этой задачи школьник применяет определение и свойства параллелограмма, которые он изучил. Она показывает, что знания можно применить при решении задач на достраивание, на разрезание данных фигур и конструирование новых, которые создают эстетическую мотивацию у школьников и развивают его эмоционально-волевую сферу.

Воспитательная работа является необходимым условием развития волевой сферы человека. Воспитание чувства коллективизма, ответственного отношения к общему делу создает хорошие предпосылки для волевых проявлений. На значение коллектива и коллективистских настроений в воспитании воли указывали многие психологи. Во многих исследованиях, например, установлено, что групповой (командный) соревновательный мотив стимулирует проявление силы воли в большей мере, чем индивидуальный.

Сформулированные правила групповой работы заставляют учащихся управлять своим поведением, подчиняться требованиям группы, класса.

Под групповой работой понимается такая форма проведения занятий, при которой:

а) учащиеся класса разбиваются на группы по 3–6 человек;

б) внутри каждой группы между ее участниками распределяются роли;

в) каждая группа получает определенное задание (либо одинаковое, либо дифференцированное);

г) процесс выполнения задания в группе осуществляется на основе обмена мнениями, оценками;

д) выработанные в группе решения могут выноситься на обсуждение всего класса.

Различные разработанные варианты работы в малых группах отнесят к трем структурным типам: 1) работа – сотрудничество ( поощряется взаимопомощь между членами группы); 2) работа – соперничество (здесь цель каждого – любой ценой опередить товарища в темпе и качестве выполнения задания); 3) индивидуальная работа (предусматривается выполнение учебного задания каждым учеником без ориентации на товарища).

Четвертая, рассматриваемая нами типологическая группа школьников, характеризуется объектом МСВ. У её представителей, несмотря на высокие уровни мотивации и воли, содержательный компонент остаётся на низком уровне. Эти школьники являются полной противоположностью предыдущей группы МСВ, так как все структурные компоненты представителей этих групп противоположны по своим значениям. Если про вторых говорят, что могли бы учиться лучше, но ленятся, то про первых обычно говорят, что прилагают много усилий, а знания всё равно остаются слабыми. Многие из них часами, почти не отдыхая, готовятся к урокам, привыкая к нерациональным способам работы. Решения домашних заданий у этих учащихся могут занимать несколько исписанных тетрадных страниц. Чрезвычайная старательность нередко создаёт видимость благополучия, но при проверке часто оказывается, что среди выполненного мало правильно решённых заданий. Их «терпение и труд» часто формируют неразумные, неэкономичные способы познавательной деятельности. Повышению содержательно-операционного компонента этих школьников способствуют задачи на укрупнение дидактических единиц, цепочки задач, когда при решении каждой последующей задачи ученику приходится повторять решение предыдущей.

Например, при изучении темы «Простейшие задачи в координатах» можно предложить следующую задачу.

Задача 6. Вершины треугольника АВС имеют координаты: А(0;1), В(1;4), С(5;2).

а) Найдите длины сторон треугольника АВС.

б) Найдите периметр треугольника АВС.

в) Докажите, что треугольник АВС равнобедренный.

г) Найдите координаты середин сторон треугольника.

д) Найдите длины медиан треугольника.

е) Найдите площадь треугольника АВС.

ж) Найдите углы треугольника.

Здесь при решении каждой последующей задачи используется результат решения предыдущей, повторяются действия по нахождению длины стороны и координат середины отрезка, что позволяет лучше усвоить этот материал. Показывается применение простейших задач в координатах для решения треугольника.

Школьникам с низким уровнем содержательно-операционного компонента необходимо предлагать больше тренировочных упражнений на отработку изучаемой теории. Они должны полноценно пройти все этапы работы с новым для них понятием или теоремой. Остановимся подробнее на изучении школьных теорем, которое включает этапы 1) – 7): 1) мотивация изучения теоремы, 2) ознакомление с теоремой, 3) усвоение содержания теоремы, 4) запоминание формулировки теоремы, 5) ознакомление со способом доказательства, 6) доказательство теоремы, 7) применение теоремы, 8) установление связей теоремы с теоремами, изученными ранее.

Рассмотрим, к примеру, систему задач и тренировочных упражнений, которую можно предложить школьникам при изучении теоремы о площади параллелограмма.

1 и 2 этапы работы с теоремой объединяем и предлагаем учащимся такие практические задачи.

Задача 7. Имеется проволочный каркас прямоугольной формы размером 4 дм х 2 дм, которому изменили форму до параллелограмма с высотой 1 дм и основанием 4 дм. Изменилась ли площадь фигуры, ограниченной каркасом? Вычислите площадь получившегося параллелограмма.

Задача 8. Паркетный пол сложен из десяти плиток размерами 4дм * 2дм. Изменится ли количество плиток и как, если они будут иметь форму параллелограммов со сторонами 4дм * 2дм и высотой 1дм.

Учащиеся обсуждают решения этих задач, затем учитель задаёт им вопрос: «Как можно вычислить площадь параллелограмма?»

Учащиеся выдвигают гипотезу: чтобы найти площадь параллелограмма нужно основание умножить на высоту, проведённую к этому основанию.

На 3 и 4 этапах решаем задачи на распознавание ситуаций, удовлетворяющих теореме.

1.Верно ли найдена площадь параллелограмма на следующих рисунках:

Рис.12

На 5 и 6 этапах знакомимся со способом доказательства и доказательством теоремы о площади параллелограмма, согласно учебнику.

7 этап. Когда учащиеся усвоят теорему, запомнят её формулировку можно перейти к решению задач на применение, используя упражнения из учебника геометрии.

8 этап. Установление связей можно осуществить при обобщении изученного материала предложив учащимся: 1) составить «родословную» доказательства теоремы; 2) сгруппировать теоремы по приёмам доказательства; 3) придумать схемы, связывающие теоремы изучаемой главы. Например, такие:

S прямоугольника→S параллелограмма→ S треугольника→ S трапеции

или такие:

Рис.13

Такое поэтапное ознакомление с новым фактом позволяет школьникам с низким содержательно-операционным компонентом усвоить содержание теоремы, запомнить её формулировку и при необходимости применить теорему к решению задач в стандартных и несколько изменённых ситуациях.

Наблюдая за учащимися с низким содержательно-операционным компонентом на уроках математики, на внеклассных мероприятиях по математике и другим предметам, на общешкольных праздниках, анализируя результаты обученности по разным предметам, приходим к выводу, что эти школьники имеют проблемы с логической памятью, которые особенно проявляются на уроках геометрии. Для развития логической памяти полезно использовать структурирование учебного материала в таблицы, схемы, диаграммы; уделять внимание обобщению и систематизации изученного материала.

Пятая типологическая группа, представители которой достигают обязательных результатов обучения, это МСВ. Они имеют высокий уровень мотивационного компонента, но низкие уровни содержательного и волевого. У этих школьников есть тяга к знаниям, желание узнать новые факты, их увлекает сам процесс решения задач, однако низкий уровень содержательно-операционного и эмоционально-волевого компонентов не позволяют им добиться больших результатов.

На уроках они постоянно отвлекаются, задания выполняют формально, часто вообще не выполняют. Самоконтроль сводят к сверке или списыванию ответов у товарищей. При работе с текстом выбирают в первую очередь второстепенную, описательную информацию.

Имеют пробелы в знаниях программного материала, искажают содержание теорем в применении их к решению задач, самостоятельно могут решить задачи в 1 – 2 шага. В решении более сложных проблем начинают со слепых проб, не умеют вести целенаправленный поиск решения, не могут найти связи между данными и искомыми величинами, часто пропускают обоснование гипотез, сформулированных в ходе попыток решения, не видят существенных зависимостей и ключевых моментов в решении задачи.

Такие учащиеся, как правило, отличаются неаккуратностью, неумением организовать своё время. Иногда они напускают на себя маску равнодушия, беспечности, хотя на самом деле испытывают недовольство результатами своей деятельности. Стремление и желание этих подростков не соответствуют прилагаемым волевым усилиям, волевой компонент у них недостаточно развит. Такие ученики отличаются слабоволием, отсутствием усердия и прилежания, не прилагают никаких усилий в учёбе, хотя и хотели бы добиться хороших результатов. Эти учащиеся характеризуются интеллектуальной пассивностью, характерным показателем которой является негативное отношение к любой деятельности, связанной с умственной работой. Низкая работоспособность в этом виде деятельности, отсутствие «умственного удивления». Большинству из них не нравятся трудные проблемные задания. Они предпочитают задания лёгкие, маленького объёма и знакомые (т. е. такие, которые прежде уже выполнялись или очень похожие на них); стремятся, как можно чаще воспользоваться помощью учителей или родителей.

Существенным фактором, влияющим на возникновение интеллектуальной пассивности, является познавательный климат семьи. По данным некоторых учёных только 17% интеллектуально-пассивных школьников имеют хорошие показатели познавательного климата в семье, а 28% из них – вообще неудовлетворительные. Для последних характерны наличие в семье избыточной поверхностно-развлекательной информации.

В случае с данными школьниками интеллектуальная пассивность оказывается следствием недостаточного развития операционально-технических механизмов интеллектуальной деятельности. В этом случае в основе её развития лежат пробелы в знаниях, неумение применять их на новом материале; отсутствие умений и навыков организации учебной работы; отсутствие привычки самостоятельного выполнения задания.

Такие черты характера как лень, повышенная отвлекаемость целиком подчинены самоконтролю, а потому нужно заставить ученика бороться с этими недостатками. На первом этапе развития воли нужны контроль и помощь со стороны взрослых. Затем по мере взросления, особенно в старшем подростковом возрасте, школьники начинают интересоваться вопросами самосовершенствования и саморазвития и в состоянии сами контролировать волевые проявления. Если же этого не происходит, т. е. нет помощи со стороны взрослых, подросток не занимается самосовершенствованием, то дефицит воли, который лежит в основе лени и неумения сконцентрироваться на материале, может восприниматься как постоянно действующий и неустранимый фактор, и каждый новый неуспех только укрепляет эту установку.

В педагогической литературе отмечается, что основной задачей школы является формирование личности, а для становления личности обученная беспомощность является более вредной, чем для получения образования. Поэтому задача педагога в случае работы с учащимися, со структурными компонентами обозначенными как МСВ, при изучении учебного материала обращать внимание на развитие их воли.

Опишем каким образом можно организовать процесс решения школьником задачи обязательного уровня, используя в роли помощника современные компьютерные технологии.

Решение задачи происходит в режиме совместной работы ученика с компьютером. Компьютер направляет решение и предлагает на каждом шаге выбрать правильный ответ из числа предложенных. При выборе школьником неправильного ответа на экран выходит сообщение: «Подумайте над этим вопросом ещё раз», «Повторите соответствующий теоретический материал», а если ответ верный, то появляется сообщение: «Приступайте к следующему шагу решения». Так в дружественном диалоге компьютер учит школьника доводить выполнение каждого шага решения до конца. При окончании выполнения задания на экран выходит сообщение: «Вы успешно справились с заданием!», что создаёт уверенность школьника в своих силах, то есть повышает уровень эмоционально-волевого компонента.

Другой вид заданий, способствующих формированию самоконтроля, заключается в том, что школьник последовательно выполняет все задания после чего компьютер сообщает количество неверно выполненных шагов и предлагает исправить ошибки и выполнить задания снова. К выполнению последующего типа заданий школьник может приступить лишь, верно выполнив все предшествующие задания.

Опишем организацию обучения решению задач обязательного уровня в компьютерном варианте.

Задача 9. Найдите длину окружности, описанной около квадрата со стороной 3 см.

Инструкция по решению: на каждом шаге решения выберите ответ из числа предложенных, либо введите свой ответ в пустое окошко.

После прохождения всех шагов появляется решение, состоящее из ответов выбранных учеником.

После выбора варианта ответа на каждом шаге появляется либо сообщение «Молодец!», либо «Подумай над заданием ещё раз!»

А так выглядит экран компьютера при решении данной задачи:

Рис.14

При выполнении таких заданий под контролем компьютера развивается настойчивость школьников в достижении цели, формируется самоконтроль, а также повышается уровень знаний школьника.

Шестая типологическая группа, это подростки структурные компоненты личности которых можно выразить аббревиатурой МСВ. Эти учащиеся любознательны, однако не всегда проявляют инициативу и должную самостоятельность для преодоления познавательных затруднений (воля В). Проявляют лишь эпизодическое стремление познать новое, самостоятельно работают мало. Часто расслабляются на занятиях и не прилагают усилий, чтобы довести работу до конца. Самостоятельность проявляется при решении задач репродуктивного и репродуктивно-вариативного типа. Могут решать задачи средней сложности и при этом рассмотреть несколько способов их решения. Однако, они не любят длительного поиска решения задачи, доводят решения до конца лишь в интересной для себя ситуации. Если этого нет, без сожаления оставляют задачу. Стремятся получить помощь товарищей, учителя, даже тогда, когда могут справиться сами.

Учащиеся МСВ. как правило, пессимисты. Они невысокого мнения о результатах своей работы и старательно оттягивают её начало. Они могли бы заниматься на «хорошо», но им не хватает уверенности. И поэтому им необходимо повышать уровень эмоционально-волевого компонента, иначе если эта сфера личности не получит достаточного развития, то мысли не перейдут в действия, а останутся лишь благими пожеланиями.

Для совершенствования эмоционально-волевой сферы необходимо предлагать таким школьникам посильные творческие задания проблемного характера. Творческие, причём посильные задания наиболее цепко держат внимание ребят. При этом опора на интерес и радость, которую получают дети от сделанных на уроке открытий, может создать мотивационную основу для истоков созидательной деятельности.

Интерес к математике и сформированность основных умений и навыков создаёт условия использования проблемных ситуаций, требующих более высокого уровня интеллектуального и общего развития, волевого напряжения, то есть решение проблемных ситуаций соответствует зоне их ближайшего развития.

Современному обществу необходимы грамотные специалисты и творческие люди. Школа должна научить ученика находить пути решения различных проблем, формировать способность к самостоятельному творческому мышлению. Математические задачи – главное звено в формировании творческого мышления. Не случайно известный педагог-математик Д. Пойа пишет: «Крупное, научное открытие даёт решение крупной проблемы, но и в решении любой задачи присутствует крупица открытия». Для проблемной задачи неизвестно не только решение и его обоснование, но и плохо определены либо данные, либо цель, и потому как сама задача, так и её решение могут быть весьма содержательными и разнообразными. По существу в этом случае имеют дело не с одной задачей, а с множеством задач.

Часто проблемная задача, хотя и является достаточно простой и определённой, может быть рассмотрена как ядро многих аналогичных задач. Для того чтобы создать серию задач из данной задачи – сделать её проблемной, нужно лишь поразмыслить и использовать «метод» под названием «А нельзя ли…?»

Рассмотрим задачу по теме «Четырёхугольники».

Задача 10. Соедините середины сторон произвольного четырёх-угольника АВСД и определите вид полученного четырёхугольника KLMN.

А K

В

N L

D М С

Рис. 15

Задача 11. найдите соответствие между двумя множествами.

АВСД KLMN

1.Прямоугольник А. Прямоугольник

2.Ромб Б. Ромб

3.Квадрат В. Квадрат

4.Равнобедренная

трапеция

Эти задачи можно продолжить, преобразовав их в проблемные.

Задача 12. Какой формы лист необходим для склеивания конверта?

Ответ. Ромб; квадрат

Задача 13. Какой конверт получится из листа треугольной формы?

Ответ. Прямоугольной формы, открытый с одной стороны (рис. 16).

 

 

 

Открытая сторона

Рис.16

При выяснении вопроса о форме листа школьники могут использовать симметрию относительно прямой. При выполнении творческих заданий развиваются познавательная активность, усидчивость, упорство в достижении цели, самостоятельность, т. е. слагаемые волевого компонента личности.

В 8-9 классах школьникам можно предлагать простейшие исследовательские задачи. Так как к этому времени учащиеся располагают определёнными знаниями, необходимыми для построения научных предположений, а также некоторыми умениями делать такие предположения, т. е. пользоваться методом гипотезы, как одной из важных форм научного мышления.

Предложим школьникам следующую задачу и задание решить её несколькими способами.

Задача 14. В равнобедренном треугольнике с боковой стороной длиной 4см проведена медиана к боковой стороне. Найти длину основания треугольника, если длина медианы равна 3 см.

В АВ=ВС=4см,

М АМ=3см – медиана.

АС=?

А С

Рис.17

Разобрав с учениками один из способов, подсказать, что её можно решить, используя в одном случае теорему косинусов, в другом свойство медианы треугольника, заключающееся в том, что медиана делит треугольник на два равновеликих.

Седьмой тип – это школьники МСВ. Учебно-познавательные мотивы у этих школьников сформированы слабо. Их нельзя назвать ни старательными, ни ленивыми, ни самостоятельными, ни беспомощными. Обычно характеризуются положительным отношением к учёбе, но зачастую им недостаёт прилежания. Они владеют программным материалом в объёме учебника, в изложении допускают небольшие пробелы, не искажающие содержания ответа по вопросу. Могут претендовать на высокий уровень содержательно-операционного компонента, но не инициативны, инертны. Проявляют лишь эпизодическое стремление познать новое. Знания по математике несколько разрознены, бессистемны, стремятся усваивать знания выборочно, только если считают, что они имеют для них ценность.

При работе со школьниками этой типологической группы учителю нужно обратить внимание на развитие их мотивации. Известно, что мотивация учения выполняет несколько функций: побуждающую, направляющую и смыслообразующую. Это означает, что недостаточно сформировать побуждающую функцию, вызвав первичный интерес к материалу, необходимо поддерживать мотивацию на всех этапах обучения и добиваться, чтобы она организовывала учебную работу и, главное, придавала ей глубокий внутренний смысл, личностную значимость для самого ученика.

Формировать мотивацию таких школьников нужно целенаправленно на всех этапах изучения материала, так чтобы, возникнув на определённом этапе, на следующих она не исчезла.

Каким же образом помочь подростку в формировании такой его личностной компоненты как учебная мотивация? Ответом на этот вопрос будет описание далее способов формирования мотивации на различных этапах работы с новым понятием.

1 этап. Мотивация введения понятия.

Именно на этом этапе важно, чтобы у школьника возникла мотивация изучения нового материала. Это может быть интерес к понятию, связанный с практическими, с межпредметными, внутрипредметными целями. На этапе мотивации изучения темы площадь можно предложить такую практическую задачу.

Задача 15. Во время летних каникул нужно будет произвести ремонт кабинета математики: покрасить полы, побелить потолок. Посчитайте, какое количество краски и побелки необходимо приобрести.

Учащиеся утверждают, что для того чтобы узнать количество материала нужно знать площади прямоугольных участков.

Следует также отдавать предпочтение математическим объектам с явными элементами эстетических свойств во внешнем чувственном облике либо в сущностном анализе внутренних процессов, зависимостей и отношений. Отдавать предпочтение последним, так как это более соответствует высокому развитию уровней содержательно-операционного (С) и эмоционально-волевого (В) компонентов этих школьников.

Рассматривая задачи, как средство формирования мотивации, отметим, что внешняя привлекательность задачи проявляется в задачной ситуации, в занимательной фабуле задачи, в красивом оформлении чертежей, таблиц, схем.

Усилить эстетичность задачи необходимо путём неожиданной постановки вопроса, способом преподнесения задачи учителем, увлечённость задачей самого учителя передаётся и ученикам, так как интерес обладает свойством иррадиации.

Например, при изучении темы «Сравнение углов» рассказать, о замечательном свойстве «угол падения равен углу отражения», которое наблюдается и используется в различных интерпретациях: удар шаром о борт – в бильярде; луч света, падающий на зеркальную поверхность – в оптике; отражение лучей от двух зеркал в перископе.

2 этап. Анализ понятия.

На этом этапе учащиеся активно участвуют в «рождении» понятия, что способствует развитию интереса к его изучению. Данный этап подготавливает школьников к формулировке определения понятия, создавая для этого наглядно-образную базу. Логическая организация наглядных представлений учащихся способствует развитию привлекательности учебного материала. Доступность в его изучении будет обеспечивать трансформацию ситуативной мотивации в надситуативную. Рассматриваемый этап важен не только при формировании понятий, он способствует формированию эстетического вкуса школьников. На этом этапе, например, для ознакомления с существенными свойствами понятия учащиеся могут выполнять упражнения, используя графические возможности компьютера.

Например, изучая понятие подобных треугольников предложить такое задание: нарисуйте подобные треугольники.

 

Рис.18

Учащиеся рисуют пары подобных треугольников. Они могут использовать для этого возможность компьютера увеличивать размеры пропорционально во все стороны. Рисунки учащихся получаются красочными, радующими глаз, если они используют заливку области в различные цвета, выбирая их из цветовой палитры. Школьники с нетерпением ждут уроков геометрии, на которых они могут самостоятельно выполнять чертежи по изучаемой теме. В данной учебной ситуации не только красочные рисунки создают мотивацию, но и сам компьютер обладает мотивационным потенциалом.

3 этап. Усвоение определения понятия.

На этом этапе происходит овладение действиями распознавания объектов, принадлежащих понятию, выведение следствий из принадлежности объекта понятию, конструирование объектов, относящихся к объёму понятия, и их совокупностью. На данном этапе получает дальнейшее развитие формирование образов объектов, составляющих объём изучаемого понятия, и стандарта логических рассуждений. На этом этапе можно проводить мотивацию саморазвитием подростков, которые в этом возрасте задумываются о своём самосовершенствовании.

Учитель должен показать, каким образом ученик мыслит при решении задач на распознавание объектов и при выведении следствий из факта принадлежности объекта понятию. Упражнения на этом этапе подразумевают выполнение одного логического шага, составляемого большой посылкой, малой посылкой и выводом. Поэтому такие упражнения являются хорошим средством формирования стандарта логического рассуждения, осуществляемого по правилу заключения либо по правилу отрицания:

а)А В, А б). А В, В

В А

Например, при изучении понятия параллелограмма можно объяснить, что большой посылкой здесь является само определение:

Параллелограммом называется четырехугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны.

Малой посылкой может быть такое предложение: АВСД – четырёхугольник, АВ|| СД, ВС|| АД

Выводом: АВСД – параллелограмм.

Такую же работу полезно проводить и по правилу отрицания.

Учащиеся должны уметь составлять предложения, являющиеся отрицанием данных.

Например, для предложения:

С = «Все квадраты являются прямоугольниками»

отрицанием будет такое:

С = «Имеется квадрат, не являющийся прямоугольником».

Учащиеся выясняют истинность или ложность этих предложений. Такая работа полезна и для обучения учащихся умению доказывать теоремы методом от противного.

4 этап. Применение понятия.

Данный этап предполагает знакомство со свойствами и признаками понятия, их применением в конкретных ситуациях. Мотивация на этом этапе учебного процесса осуществляется через решение задач. Немаловажно донести до учащихся мысль, что они сами могут составлять задачи путём обобщения; конкретизации; привлечения аналогии; использования взаимно-обратных задач, в этом случае задача становится личностно значимой для школьника.

В контексте эстетического воспитания важно упорядочение задач. Блоки задач могут конструироваться следующими способами: а) результаты решения предыдущей задачи используются в решении последующей; б) результаты решения предыдущей задачи используются в условии последующей; в) предыдущие задачи являются элементами последующей; г) решение совокупности задач осуществляется одним и тем же методом.

Эстетический потенциал многих задач можно повысить путём расширения требования задачи, установки на исследование задачной ситуации и составления на её основе новых задач, неопределённости требования задачи, предполагающего рассмотрение различных случаев, усиления таких эффектов, как неожиданность, простота, оригинальность.

Рассмотрим для примера следующую задачу.

Задача 16. В треугольнике с неравными сторонами АВ и АС проведены высота АН и биссектриса АD. Докажите, что угол НАD равен полуразности углов В и С.

B H

D

A C

Рис.19

Решение задачи желательно сопроводить рассмотрением частных случаев остроугольного, прямоугольного и тупоугольного треугольников.

При решении этой задачи учащиеся с помощью учителя выясняют, что это задача с недостающими данными. Поэтому предлагается дополнить условие, так чтобы сохранилось её требование.

В результате задача будет звучать так.

Задача 17. В треугольнике с неравными сторонами АВ и АС, такими что АС>АВ проведены высота АН и биссектриса АD. Докажите, что угол НАD равен полуразности углов В и С.

В этой же задаче можно изменить требование, и тогда условие оставляем без изменений.

В результате получится такая задача.

Задача 18. В треугольнике с неравными сторонами АВ и АС, такими что АС>АВ проведены высота АН и биссектриса АD. Докажите, что угол НАD равен модулю полуразности углов В и С.

5 этап. Систематизация понятий и логические операции с понятием.

Этап систематизации понятий реализуется посредством упражнений на составление родословной понятия, на применение понятия в различных конкретных ситуациях, на установление связей между понятиями. Систематизация учебного материала достигается следующими путями: 1) разноплановой систематизацией материала по различным основаниям; 2) обобщением понятия; 3) конкретизацией понятия. Одной из форм систематизации учебного материала является укрупнение действий, адекватных этому материалу, что осуществляется посредством укрупнения задач. В качестве примера рассмотрим конструирование следующего блока задач.

Задача 19. В трапеции АВСD с большим основанием АD диагональ АС перпендикулярна к боковой стороне СD, ВАС= САD. Найдите АD, если периметр трапеции равен 20 см, а угол D равен 60 °.

Задача 20. В трапеции АВСD с большим основанием АD диагональ АС перпендикулярна к боковой стороне СD, ВАС= САD. Найдите стороны трапеции, если АС=√2.

Задача 21. В трапеции АВСD с большим основанием АD диагональ АС перпендикулярна к боковой стороне СD, ВАС = САD. Через точки А и D провели прямые параллельные СD и АС соответственно. Найти отношение площадей получившегося четырехугольника и трапеции АВСD.

В качестве обобщения методики дифференцированного подхода к обучению геометрии учащихся основной школы в условиях обязательных результатов обучения приведём структурированную таблицу, в которой отражены методы, формы и средства, наиболее способствующие переходу школьников из одной типологической группы в другую более высокого уровня. (Приложение 3).

§2. Дифференцированный подход к обучению школьников геометрии в условиях продвинутых результатов

Рассмотрим организацию работы со школьниками второй группы по достижению ими продвинутых результатов обученности. Эффективность такой работы зависит от правильно составленной системы задач и упражнений, соответствующей достигнутому уровню развития школьника и позволяющей перейти ему в типологическую группу более высокого уровня.

Напомним, что во вторую группу входят школьники, структурные компоненты личности которых характеризуются объектами МСВ, где i+j+k=5;6;7, то есть МСВ, МСВ, МСВ, МСВ, МСВ.

У школьников, структурные компоненты которых характеризуются объектом МСВ отсутствует интерес к математике, а также к знаниям, польза которых для них не очевидна. Такие школьники – индивидуально-яркие личности – увлекаются спортом, техникой, искусством, противопоставляя эти занятия занятиям учебным.

Их особенностью является быстрое восприятие материала. Они как бы скользят по поверхности, не углубляясь в суть и стараясь как можно быстрее получить новую информацию. Эти школьники отличаются широким кругозором, высоким интеллектом. Они характеризуются тем, что учатся неровно, способные, схватывают всё «на лету», несобранные, хотя изобретательны в организации самостоятельной деятельности.

Благодаря незаурядным способностям они легко запоминают материал. Умеют выделять вид задачи и свободно оперируют способами решения некоторых из них. Осознанно применяют приёмы умственных действий, входящих в состав умения решать задачу. Однако, часто стремятся к стандартным, апробированным решениям. Не ищут рациональных, оригинальных решений, так как им недостаёт прилежания.

Для развития учебной мотивации и воли, проявляющейся в учебном процессе нужно предлагать таким школьникам задания, активизирующие их познавательную деятельность и для этого использовать активные формы обучения.

Активизации учебно-познавательной деятельности способствуют выполнение школьниками творческих проектов при изучении “сквозных” тем в решении прикладных геометрических задач и составлении собственных задач, например, относящихся к измерительным работам на местности:

1).Творческий проект “Применение равенства треугольников при измерительных работах” (7-й класс);

Задача 1. “Как измерить длину тоннеля”:

Бригада по прокладке дорог должна сделать тоннель, но расстояние, которое нужно пробить через гору, не известно. Что должна предпринять бригада, чтобы узнать это расстояние, если известно расстояние от А до С и от В до С (рис. 20)?

Рис.20

2). Творческий проект “Применение подобия треугольников при измерительных работах” (8-й класс);

3). Творческий проект “Использование тригонометрических формул при измерительных работах” (9-й класс).

4). Познавательно-исследовательской работы “Пифагор и его теорема” в 8-м классе в ходе изучения теоремы Пифагора.

По согласованию с учителями информатики некоторые проекты можно выполнить в электронном виде в программе создания мультимедийных презентаций Power Point, например, такие работы: «Золотое сечение и пропорции человека»; «Математика в искусстве»; «Симметрия в природе», «Оригами»; «Узоры симметрии». Три “кита”, на которых держится проектная технология: самостоятельность, деятельность, результативность.

Другим из активных методов на уроке является создание проблемных ситуаций. Суть активизации учения школьника посредством проблемного обучения заключается не в обычной умственной активности и мыслительных операциях по решению стереотипных школьных задач и выполнению репродуктивных заданий – она состоит в активизации его мышления путём создания проблемных ситуаций, в формировании познавательного интереса в моделировании умственных процессов, адекватных творчеству. Необходимо давать возможность ученику экспериментировать и не бояться ошибок, воспитывать у учащихся смелость быть не согласным с учителем. Проблемный вопрос содержит еще не раскрытую учащимися проблему, область неизвестного, новые знания, для добывания которых необходимо какое-то интеллектуальное действие. Но вопрос не должен быть очень сложным, должен соответствовать возрасту и изучаемому материалу.

На уроке геометрии в восьмом классе на тему “Трапеция” учащимся предлагается задача:

“В трапеции ABCD(BC || AD) проведена средняя линия MN. Основание BC равно 8 см, AD равно 14 см, AB= 5см, CD=9см. Вычислить периметр трапеции MBCN.”

Решая её, учащиеся легко находят боковые стороны новой трапеции; одно основание им известно, а найти длину второго, которое является средней линией трапеции, не могут (недостаточно знаний о трапеции). Возникает противоречие между потребностью в решении задачи и недостаточностью прежних знаний.

Нестандартные уроки, это тоже форма активного обучения. Виды нестандартных уроков: уроки-путешествия, уроки-дискуссии, уроки-соревнования, уроки-практикумы, уроки – деловые игры, уроки – ролевые игры, уроки – семинары, уроки с дидактической игрой. Например, деловые игры “Строитель” (тема “Площади многоугольников”); “Конструктор” (тема “Преобразование фигур на плоскости. ГМТ”) и др.

Опишем представителей типологической группы МСВ и систему заданий, способствующую гармоничному развитию этих школьников. Несмотря на то, что содержательно-операционный и эмоционально-волевой компоненты находятся на высоком уровне, мотивационно-потребностный компонент – это преимущественно социальные мотивы. Такие школьники для достижения высоких результатов в деятельности, которая не является для них личностно-значимой вынуждены, постоянно прикладывать значительные волевые усилия. Это приводит к ещё большей потере интереса к математическому содержанию.

Эти школьники не проявляют никакого стремления к творческим видам деятельности. Умеют планировать «отсроченные задания», но делают это зачастую поверхностно, такие планы являются для них руководством к самостоятельной деятельности и часто не выполняются. Они могут сводить сложную задачу к цепочке простых подзадач, выдвигать и обосновывать гипотезы в процессе поиска решения задач, переносить прежние знания в новые условия. Быстро и легко обобщают методы решения классов однотипных задач, отчётливо выделяют ключевую подзадачу в решённой, могут сформулировать её в ходе поиска решения самостоятельно или с небольшой помощью извне.

Они с охотой решают абстрактные математические задачи, предпочитая применять для этого известные несложные методы решения. При этом стараются решить задачу разными способами. Однако, оптимальное решение отыскивают лишь в отдельных случаях, когда задача описывает конкретный процесс деятельности. Любят применять готовые алгоритмы, но потребности в самостоятельном их составлении не испытывают. Равнодушны к деятельности по модернизации известных алгоритмов. Предпочитают заучивание способов решения типовых задач. Не стремятся классифицировать задачи и методы их решения. Критически осмысливают решение лишь в отдельных, заинтересовавших случаях. Любят довести решение задачи до «числа», но только если уверены в успешном конечном результате, а иначе теряют интерес и бросают решение. Незнакомую задачу решают в силу вынужденности. Не испытывают стремления к самостоятельному нахождению решения незнакомых задач. Отличаются стремлением к пунктуальности.

Снижение уровня мотивации может впоследствии привести к снижению уровня содержательно-операционного компонента, а в итоге и успеваемости по предмету. Часто такие ситуации возникают именно в подростковом возрасте. Поэтому учителю важно вовремя заметить изменения, происходящие со школьником, признаком может служить снижению оценок, и принять грамотные педагогические воздействия для изменения сложившейся ситуации.

Для гармоничного развития таких школьников, для того чтобы они испытывали удовольствие от занятий математикой, необходима продуманная система задач, способствующая повышению познавательных мотивов. И в этой системе должны быть учтены актуальные мотивы этих школьников – социальные, так как в учебном процессе все виды мотивации должны органично переплетаться, взаимодействовать в комплексе. «…Сочетание широких социальных мотивов с мотивацией содержанием создают наиболее благоприятные условия для учебной деятельности, так как при такой мотивации со стороны учащихся тратится меньше волевых усилий» . Формирование и развитие познавательных мотивов должно также опираться на высокий уровень содержательно-операционного и волевого компонентов.

Так как познавательные мотивы включают в себя: широкие познавательные мотивы; учебно-познавательные мотивы; мотивы самообразования, то рассмотрим формирование именно этих мотивов учёбы.

Формированию широких познавательных мотивов способствуют задания с занимательной фабулой; интересными свойствами явлений; их прикладным значением; интересными причинно-следственными связями. Например, по теме: «Серединный перпендикуляр» предложить такую задачу-вопрос: «Где жители 3 сельских домов должны выкопать новый колодец, чтобы он находился на одинаковом расстоянии от каждого дома?». По теме «Построение треугольников по стороне и двум прилежащим к ней углам» следующую: «От оконного стекла треугольной формы откололся один из его углов. Можно ли по сохранившейся части, заказать стекольщику, вырезать такое же оконное стекло? Какие следует снять размеры?». По теме «Теорема Пифагора» старинную задачу из «Арифметики» Л. Ф.Магницкого: «Случилося некоему человеку к стене лестницу прибрати, стены же тоя высота 117 стоп. И обрете лестницу долготою 125 стоп. И ведати хощет, колико стоп сея лестницы нижний конец от стены отстояти имать»

Нетрадиционные уроки: игровые и интегрированные, полные выдумок, фантазий показывают роль математики во всех областях науки. Интегрированные уроки, на которых решаются задачи, содержащие межпредметные связи, это также возможность помочь уйти от перегрузок, с которыми часто сталкиваются добросовестные учащиеся.

Следующие задачи предлагаются при изучении подобия треугольников.

Задача 2. В одном из рассказов писатель Конан Дойль рассказывает, что Шерлоку Холмсу нужно было определить, где будет конец тени от вяза, который срубили. (Высоту этого дерева герой произведения знал ранее). Шерлок Холмс так объяснил свои действия: я связал вместе два удилища, что дало мне шесть футов, и мы с моим клиентом отправились к тому месту, где когда-то рос вяз. Я воткнул свой шест в землю, отметил направление тени и измерил ее. В ней было девять футов. Дальнейшие мои вычисления были уж совсем несложны. Если палка высотой в шесть футов отбрасывает тень в девять футов, то дерево высотой в шестьдесят четыре фута отбросит тень в девяносто шесть футов, и направление той и другой, разумеется, будет совпадать.

Рис.21

Задача 3. «Неприятельская вышка»

Открытый участок дороги находится на полосе АВ шириной в 50 м; неприятельский наблюдательный пункт находится на верху колокольни высотой MN = 22 м. Какой высоты следует сделать вертикальную маску КВ на расстоянии 500 м от колокольни, чтобы закрыть дорогу от наблюдателя противника?

Рис.22

Дано:

AMN, АВ = 50 м,

MN = 22 м,

BN = 500 м

Найти: КВ.

Решение:

АКВ ~ АМN (по 2-м углам: А – общий, АВК и AMN – прямые, а если треугольники подобны, то все его элементы тоже подобны. То есть, , а . Следовательно, м.

Ответ: 2 м.

Задача 4. Найти расстояние от точки А (рис. 23), находящейся на берегу до корабля.

Дано:

А = 1; В = 2; АВ = а.

Найти: АК.

Рис.23

Решение:

Эту задачу на определение расстояния до кораблей можно решить способом, получившим название метода триангуляции, который нашел применение в астрономии. С его помощью измерялись расстояния до небесных тел. Этот метод состоит из 3-х этапов:

1.  Измерение углов 1 и 2 и расстояния АВ.

2.  Построение А’В’К’ с углами 1 и 2 при вершинах А’ и В’ соответственно.

3.  Учитывая подобие треугольников АВК, А’В’К’ и равенство , по известным длинам отрезков АВ, А’К’ и А’В’ нетрудно найти длину отрезка АК.

Эту же задачу при изучении темы «Признаки равенства треугольников» можно решить таким образом. Пусть корабль находится в точке К, а наблюдатель в точке А. Требуется определить расстояния КА. Построив в точке А прямой угол, необходимо отложить на берегу два равных отрезка АВ = ВС. В точке С вновь построить прямой угол, причем наблюдатель должен идти по перпендикуляру до тех пор, пока не дойдет до точки D, из которой корабль К и точка В были бы видны лежащими на одной прямой. Прямоугольный треугольники ВСD и ВАК равны, следовательно, CD = AК, а отрезок CD можно непосредственно измерить.

Рис.24

Следующая задача будет полезной при изучении свойства касательной.

Задача 5. «Земля как на ладони, когда ты в небе на воздушном шаре». Как далеко видно с воздушного шара, поднявшегося на высоту 4 км над Землей (радиус Земли примерно равен 6370 км)?

Решение:

Рис.25

На применение свойств отрезков пересекающихся хорд можно привести задачу из романа поэта Г. Лонгфелло: “Лилия, на одну пядь, поднимавшаяся над поверхностью воды, под порывом свежего ветра коснулась поверхности озера в двух локтях от прежнего места: исходя из этого требовалось определить глубину озера”. (1 пядь равна 10 дюймам, два локтя 21 дюйму). А решается эта задача на основе теоремы: если две хорды одной окружности пересекаются, то произведение длин частей одной из них равно произведению длин частей другой.

При изучении свойств прямоугольного треугольника можно показать связь с законами отражения света из физики. Свойство сумма двух острых углов прямоугольного треугольника равна 90о. лежит в основе конструкции простейшего уголкового отражателя. Предлагается задача: Угол между зеркалами ОА и ОВ равен 90о. Луч света, падающий на зеркало ОА под углом img7.jpg (5136 bytes), отражается от него, а затем отражается от зеркала ОВ. Доказать, что падающий и отражённый лучи параллельны.

Рис.26

С помощью уголкового отражателя впервые с очень высокой степенью точности измерили расстояние от Земли до Луны.

По тем же законам происходит и отскок шайбы при передаче другому хоккеисту через два борта, опытные бильярдисты также используют при игре данный приём.

Формированию учебно-познавательных мотивов также немаловажно для учащихся относящихся к типологической группе МСВ, так как большинство из них это будущие работники умственного труда. Поэтому необходимо развивать интерес к приёмам самостоятельного приобретения знаний, к методам научного познания, к способам рациональной организации учебного труда. Например, метод сравнения весьма эффективный инструмент не только познания, но и мотивации. Ученики на деле убеждаются, как один материал увязывается с другим. Параллельно можно изучать темы: «Признаки подобия и равенства треугольников», «Равные фигуры», «Равновеликие фигуры», «Отрезок, луч, прямая»; «Прямые и обратные теоремы»; «Признаки и свойства параллельных прямых»; «Признаки и свойства параллелограмма»

Опишем представителей типологической группы МСВ волевой компонент которых не соответствует высоким уровням развития познавательных мотивов и уровню содержательно-операционного компонента. Школьники, относящиеся к этой группе, выделяют математику как важный для себя предмет. Любят решать задачи, чтобы получить навык в применении изученных методов. Однако, глубокими исследованиями получаемых решений не занимаются. Не стремятся разобраться самостоятельно в сложной ситуации, ищут помощи, так как считают, что не следует на это тратить время. Достаточно разобраться в том, как применять метод, а всё остальное не существенно. Любят наблюдать процесс рассуждений по аналогии, но глубоко его понять, освоить не стремятся. У них хорошая память, поэтому они стремятся запомнить алгоритмы решения задач. Построение обобщённого алгоритма, по их мнению – лишняя трата времени.

Учащиеся МСВ пластичны в переключении с одного типа заданий на другой. Эти учащиеся активны как при восприятии нового материала, так и при повторении хорошо усвоенного. Такие учащиеся являются оптимистами. Как правило, неудачи воспринимаются ими как досадные недоразумения, и нужна серия неудач, чтобы заставить таких школьников критически отнестись к своей работе. Неудачи же случаются при необычно поставленной задаче, требующей нетривиального решения. Составляют план работы, но в силу низкого уровня эмоционально-волевого компонента не всегда придерживаются этого плана.

Эти школьники могли бы достигать больших результатов в учебной деятельности, если бы проявляли больше волевых усилий: энергичности, настойчивости, терпеливости, решительности в достижении цели. Развитие воли этих школьников должно опираться на высокий уровень учебной мотивации и содержательно-операционного компонента.

«Математика способна внести заметный вклад не только в общее развитие личности, но и в формирование характера, нравственных черт. Для законченного решения математической задачи необходимо пройти довольно длинный ветвистый путь. Ошибку невозможно скрыть – есть объективные критерии правильности результата и обоснованности решения. Математика способствует формированию интеллектуальной честности, объективности, настойчивости, способности к труду».

Покажем формирование каких именно волевых качеств происходит на каждом из этапов решения геометрических задач.

До решения задачи происходит борьба трудносовместимых мотивов, которая наиболее отчётливо переживается подростком при выполнении домашней работы. В таких обстоятельствах необходимо, чтобы учебная деятельность приобрела больший смысл, который можно связать с духовными ценностями школьника, придание ей гораздо большего значения, чем она имела раньше. Например, необходимость решения домашних задач, так как завтра будет самостоятельная работа; зачёт; контрольная работа и т. п.

Этап понимания постановки задачи. На этом этапе мобилизующими волю являются задачи с избыточными, противоречивыми или неопределёнными данными. Включение воли в действие возникает при выяснении что дано; что требуется найти в задаче; достаточно ли данных для ответа на вопрос задачи. При обнаружении необычности в условии задачи школьник происходит произвольное вовлечение сознания в процесс осуществления деятельности.

В качестве примера опишем такую задачу:

1. В треугольнике одна сторона имеет длину 10 см, а другая 8 см. Найти длину третьей стороны. (Задача с неполным условием)

С первого взгляда ясно, что задача не может иметь решения, потому что в ней не хватает данных. Однако исследуем ситуацию глубже. Вспомним неравенство треугольника и запишем его для данного треугольника, обозначив неизвестную сторону через а.

Получим:

10 + 8 > a;

a + 10 > 8;

a + 8 > 10;

а из этой системы следует, что

2 < a < 18.

Таким образом, удаётся уточнить ответ с фразы “задачу невозможно решить” до вполне определённого интервала, что следует признать ответом более высокого уровня. Не зная, имеется ли в условии задачи лишнее данное или нет, но, подозревая, что оно может быть, учащиеся к каждой задаче будут подходить критически, что вызовет большую, чем в традиционных условиях, необходимость внимательного анализа условия задачи и различных подходов к её решению.

Составление плана – следующий этап решения задачи. Признаком волевого характера действия или деятельности, регулируемой волей,—это наличие продуманного плана. При составлении плана решения задачи для развития волевых качеств важно предоставить достаточно самостоятельности школьнику. Важно, чтобы выполняемая деятельность находится в зоне оптимальной трудности, т. е. на пределе возможностей ребенка, тогда она ведет за собой развитие его способностей, реализуя то, что Л. С. Выготский называл зоной потенциального развития.

Особенно интересен процесс поиска решения оригинальных задач, который может продолжаться в течение длительного времени, даже в то время когда человек отдыхает, то есть непосредственно не занимается решением задачи, его мозг не отдыхает, продолжает работать с задачной информацией, он полон проблемой, он глубоко сосредоточен. Его работа над проблемой продолжается вплоть до прихода решения, в виде «внезапного озарения».

Следующий этап решения задачи это осуществление плана.
Осуществление плана решения включает:
-решение задачи – выполнения действий;
-запись решения задачи;
-выделение способов решения.
Осуществляя план решения, следуя советам Д. Пойа, нужно уметь контролировать каждый свой шаг; выяснять правилен ли предпринятый шаг; доказывать, что он правилен. Контролю каждого шага решения и умению объяснить правильность этих шагов будет способствовать такая организация рассматриваемого этапа решения задачи. Учащиеся объясняют доказательство или решение задачи одноклассникам. Во время объяснения учащимся решения или доказательства какой-либо задачи, все остальные должны напряженно искать возможных возражений и немедленно их высказывать. Ученик, прежде чем сказать, будет обдумывать, анализировать каждый шаг своего решения, рассматривать его с различных точек зрения, пересматривать свою точку зрения, аргументировать и доказывать свое мнение, изыскивать исчерпывающие аргументы. Если он “отобьется” от всех возражений, ему удастся убедить в своей правоте других, то он испытает радость, удовлетворение от своей работы.
На этом шаге решения задачи развиваются такие волевые качества как целеустремленность - это умение личности ставить и достигать
общественно значимые цели. настойчивость в достижении цели, если решение задачи ученик доводит до конца. Этот этап является показателем силы воли как внутренней сила личности. В случае затруднений, с которыми ученик встретится при решении, учитель должен оказать своевременную, необходимую помощь, для того чтобы задача была обязательно решена до конца и у школьника возникла уверенность в своих силах.
Изучение полученного решения - заключительный этап решения задачи. Рефлексивная стадия заключительного этапа  сконцентрирована на осмыслении условия, поиска, хода и результата решения задачи, то есть происходит «взгляд назад». Школьник отвечает на следующие вопросы. «Нельзя ли проверить результат? Нельзя ли проверить ход решения задачи? Нельзя ли получить тот же результат иначе? Нельзя ли усмотреть его с одного взгляда? Нельзя ли в какой-нибудь другой задаче использовать полученный результат или метод решения?» Развитие воли происходит в направлении контроля над своим поведением. В течение всего периода выполнения задания включается единый механизм рефлексивного самоконтроля, основанный на обобщении и анализе промежуточных результатов, поэтому оценивание и контроль своих действий учеником несколько раз периодически повторяются. То есть благодаря потребности в самоконтроле и в критической самооценке своих действий учащиеся вынуждены неоднократно просматривать и анализировать то, что они уже выполнили. 

Потребность в самоконтроле и критической самооценке своих действий, постоянно развиваясь в ученике, превращается в его личностное качество, которое ему будет необходимо в любой другой деятельности. Рассмотрим, какие же ситуации критической самооценки можно специально создавать на уроках математики и проанализируем некоторые из них:

1.  Учащимся дается задание составить задачи для одноклассников, используя пройденный материал.

При составлении задачи ученику приходится побывать и в позиции учителя, который составляет задачу, и в позиции ученика, который решает задачу. Он старается составить задачу таким образом, чтобы задача и решалась, и в то же время она в себе содержала некоторую трудность, т. е требовала обдумывания, применения своих знаний, в том числе и знаний полученных по другим предметам. При этом ему необходимо оценивать свои силы, знания, заранее запланировать свои действия. Чтобы не ошибиться, он будет, пересматривать каждое свое действие, контролировать их выполнение. Ему придется решать задачу, анализировать и обобщать её по нескольку раз, вновь возвращаясь к условию задачи.

2. Учащимся даются задания, составленные учителем или сверстниками на нахождение и исправление “допущенных” ошибок.

Чтобы развить умение ученика критически относиться к себе, к своей работе и к собственной деятельности, необходимо обучить его искать ошибку у других. Сознательно допущенная ошибка заставит ученика подумать, критически переосмыслять, оценивать не только данную работу, но и пересматривать свои взгляды, свои знания. В процессе поиска и исправления ошибок лучше всего выявляется своя неполнота понимания, что заставляет ученика анализировать свои знания.

3. Учитель при объяснении “допускает” ошибку.

Учитель при объяснении на доске сознательно допускает ошибку: при выводе формулы или решения задачи, неполный разбор возможных случаев (например, рассмотрение лишь одного расположения частей чертежа) и т. д. Ученикам, которые нашли ошибки учителя, приходится давать убедительные объяснения и приводить доказательства, пока все учащиеся не увидят ошибку, не поймут её и не включаться в активную умственную деятельность.

4. Учащиеся объясняют доказательство или решение задачи одноклассникам.

Во время объяснения учащимся решения или доказательства какой-либо задачи, все остальные должны напряженно искать возможных возражений и немедленно их высказывать. Ученик, прежде чем сказать, будет обдумывать, анализировать каждый шаг своего решения, рассматривать его с различных точек зрения, пересматривать свою точку зрения, аргументировать и доказывать свое мнение, изыскивать исчерпывающие аргументы. Если он “отобьется” от всех возражений, ему удастся убедить в своей правоте других, то он испытает радость, удовлетворение от своей работы.

5. Учащиеся решают одну и ту же задачу несколькими способами, обсуждают и выбирают наиболее удачное решение.

Выбор наиболее оптимального решения, требует от учащихся разностороннего рассмотрения условия задачи, тщательного анализа каждого шага их решений, сравнения методов и способов решения этих задач. Ученик опять же будет изыскивать аргументы в пользу понравившегося ему решения, будет стараться доказывать и отстаивать свое мнение.

6. Учащимся дается задание с недостающими данными, которые им необходимо самим определить.

В этих задачах отсутствуют некоторые данные, вследствие чего дать точный ответ на вопрос задачи не представляется возможным. Цель таких заданий научить учащихся “схватывать” в процессе восприятия условия задачи ее формальную структуру, обнаружить неполноту данных. В таких задачах следует дать самостоятельность в подборе необходимых подходящих величин из опыта, что также требует неоднократного анализа задачи и самоконтроля результатов решения.

7. Учащимся дается задание с избыточными данными.

В таких задачах введены дополнительные, ненужные, не имеющие значения показатели. Учащиеся должны уметь из совокупности данных им величин выделить именно те, которые представляют собой систему отношений, комплекс взаимосвязанных величин, составляющих существо задачи, и являются необходимыми и достаточными для ее решения.

Критическую деятельность учащихся развивают множество таких ситуации: взаимопроверка домашних заданий с указанием верно решенных задач; решение заданий, в которых необходимо использовать знания из смежных областей наук; задания, вводящие в заблуждение (например, вводит в заблуждение чертеж); задачи на опровержение (например, опровергнуть теорему) и т. д.

Представителей следующей типологической группы МСВ характеризуют высокие познавательные мотивы и волевые качества, но они стремятся повысить уровень своих знаний, который у них и так сравнительно высок. Любят решать задачи с помощью полученных математических формул. При этом их больше привлекают задачи, сформулированные на «прикладном» материале, а не абстрактные математические задачи. Однако, решение прикладных задач проходит трудно, так как ещё не выработаны навыки применения этих методов в конкретных практических ситуациях. Стремление к механическому запоминанию алгоритмов решения задач, поэтому при решении вынуждены перебирать их пока не будет найден нужный, что тормозит процесс решения, замедляет реакцию на оригинальные предложения товарищей.

Работу с учащимися, желающими повысить уровень содержательно-операционного компонента следует проводить учитывая высокий уровень учебной мотивации и сильную волю. Повышение уровня содержательно-операционного компонента таких школьников можно организовать в процессе решения геометрических задач. Так как, эти школьники характеризуются высоким уровнем учебной мотивации, то они с удовольствием участвуют в школьных и районных олимпиадах; посещают кружки, факультативы по математике, на которых решаются задачи повышенной сложности; ежегодно участвуют в конкурсах, например, в Международном конкурсе по математике «Кенгуру», во время которого в течение 75 минут школьнику нужно решить 30 задач. Примеры таких задач приведены ниже.

1. Сколько существует треугольников, у которых одна из сторон равна 3 см, другая – 4 см, а один из углов равен 10.

2. В треугольнике АВС стороны АВ и АС равны, а точки Д и Е таковы, что АЕ=АД и ВАД=30. Чему равен СДЕ?

Учащиеся имеют желание учиться в заочных школах, например, в ЗФТШ при МФТИ, заочной школе при МГУ и др. Обучение в таких школах требует от школьника серьёзной организованности своего времени.

Ниже приведены несколько задач, из программы такого обучения.

1. Треугольник АВС – прямоугольный, С=90°, А=60°. Через середину катета ВС проведена прямая, пересекающая гипотенузу АВ в точке К и продолжение катета АС за точку С в точке F, при этом ВК=1 и СF=1. Найдите длину гипотенузы АВ.

2. В треугольнике АВС высота СD равна , АВ=1 и АD=ВС. Найдите стороны треугольника.

На систематизацию изученного материала полезно использовать задания части «В» единого государственного экзамена, которые содержат материал сразу по нескольким темам курса планиметрии. Например,

1. В четырёхугольнике АВСD длина стороны АВ=10, синус угла ВАС равен 0,39, синус угла АDВ равен 0,65. Сумма углов ВАD и ВСD равна 180°. Найдите длину стороны ВС.

2. Дан равнобедренный треугольник SPT с основанием ST. Вписанная в него окружность касается стороны РТ в точке А, причём АТ=4АР. Найдите основание треугольника, если радиус окружности равен 8.

В целях профориентации и для приобщения к профессиональной деятельности, в частности к профессии учителя математики, можно предложить школьникам подумать, как бы они объяснили некоторый учебный материал, если бы они были педагогами. Здесь школьнику вместе со знаниями по математике нужно проявить педагогические способности.

Немало возможностей для таких школьников имеются в журнале «Математика в школе» и газете «Математика». Газета издаёт специальные номера для школьников, проводит лекторий для любознательных учеников и их учителей. В журнале имеется рубрика «Задачи», решения задач которой могут присылать в редакцию члены математических кружков. Например, задача, предложенная в одном из номеров (№10 за 2002 г.):

Задача 6. На биссектрисе угла А треугольника АВС отмечены точки В и С так, что АВВ=АСС=90°. Доказать, что середина отрезка ВС равноудалена от вершин В и С.

Представители последней типологической группы МСВ – это школьники, которые отличаются большей организованностью, широким кругозором, высокой степенью умственного развития, устойчивым интересом к учению. Иногда такие школьники бывают на уроках недогружены, «скучают». Они чётко выделяют главное в предстоящей учебно-познавательной деятельности и в соответствии с этим ставят цель. С учётом целей и задач составляют план работы и придерживаются этого плана, уточняя и внося необходимые корректировки.

Они способны анализировать решения, оценивать полученный результат, опираясь на условия задачи и собственные знания. Такие школьники имеют множество ассоциаций, помнят, в достаточно далёком прошлом, о решении подобных задач, сопоставляют текущий материал с предыдущим, делают обобщающие выводы.

Важно также отметить, что новая информация такими школьниками не принимается на веру, подвергается сомнению и не используется до тех пор, пока не будет соотнесена с прежними знаниями и не включена в схему. Эти школьники – реалисты. Они всегда способны оценить как свою работу, так и полученный результат.

Эти школьники относятся к группе одарённых детей. Опишем особен-ности 1) – 6) развития этих подростков, проявляющиеся в познавательной сфере, в контексте данной работы – это решение задач продвинутого уровня сложности.

1.Познавательная потребность

Умственно одаренные дети получают удовольствие от умственного напряжения. На уроках за такими школьниками наблюдается всплеск эмоций, происходящий при выполнении учебных заданий. Это вызывает отрицательную реакцию у одноклассников, поэтому учителю особенно важно воспитывать у одноклассников чувство толерантности к своему одарённому товарищу.

Одаренным детям в большей степени, чем их “нормальным” сверстникам, свойственно стремление к познанию, исследованию окружающего мира. При обучении таких детей необходимо, чтобы они имели выход в сеть Интернет, для того чтобы он смог найти ответы на многочисленные познавательные вопросы. Есть достаточно адресов образовательных сайтов, которые помогают углубить и расширить знания школьников. Вот примеры некоторых из них: www. exponenta. ru (образовательный математический сайт), www. nips. riss-telecom. ru/poly (мир многогранников), www. zaba. ru (олимпиады по математике и задачи для школьников); http://karusel. desc. ru (дистанционная олимпиада: Интернет-карусель); http:www. math-on-line. com (Интернет-олимпиада «Сократ»). При “компьютерной” индивидуальной подаче дополнительно изучаемого материала процесс сверхобучения происходит не демонстративно. Отсутствует нарочитое, бьющее в глаза отделение более одарённого подростка от его сверстников.

2. Сверхчувствительность к проблемам

Догматичное содержание, сочетающееся с доминированием репродуктивных методов обучения, является основным фактором, подавляющим эту способность. Проблемное обучение, ориентированное на самостоятельную исследовательскую работу ребенка, развивает не только эту способность, но и другие необходимые для творчества качества.

3. Познавательная самодеятельность

Для одаренного ребенка решение задачи не является завершением работы. Это начало будущей новой работы. В этой способности не “гаснуть” в полученном ответе, а “возгораться” в новом вопросе кроется тайна высших форм творчества, способность видеть в предмете нечто новое, такое, что не видят другие.

4. Высокий уровень развития логического мышления

Решения задач таких учащихся, объяснённое вслух, является образцом логических рассуждений для одноклассников.

5. Склонность к открытым задачам

Создаваемые этими задачами ситуации с различной, в том числе и высокой, степенью неопределенности не подавляют, а, напротив, стимулируют активность ребенка, так как главная особенность открытых задач в том, что они допускают существование множества правильных ответов,

6. Оригинальность мышления

Такие дети часто предлагают на уроке способы решения задач отличные от тех, к которым подводит в ходе объяснения учитель. Порою для самого учителя бывает неожиданностью тот способ, который предлагает этот школьник. Одна из причин такого проявления оригинальности мышления кроется в том, что с этими детьми в дошкольном возрасте много занимались родители. Наблюдение за семьями таких детей, беседы с родителями позволяют сделать вывод, что при выраженных способностях родителей к оригинальности мышления с большей вероятностью создаются благоприятные, а иногда и уникальные условия для развития тех же способностей у детей.

Поддержать творческое состояние личности одарённого школьника можно используя заключительный этап работы с задачей, который предполагает 1) нахождение новых способов решения; 2) частичное изменение условия задачи при помощи изменения данных и сохранения заключения; изменения требования задачи при сохранении данных; формулировании обратной задачи; 3) выдвижение, обоснование или опровержение гипотезы и формулирование новых задач путём применения обобщения, рассмотрения частных случаев, переосмысления математических объектов в плане других математических понятий, выделения или введения новых элементов рассматриваемого в задаче математического объекта и включения их в новые связи.

Рассмотрим заключительный этап решения следующей задачи.

Задача 7. Докажите, что средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме.

Рис. 27

Пусть основания трапеции АВСD равны a и b. В ходе доказательства устанавливаем, что средняя линия трапеции МN имеет длину, равную среднему арифметическому длин оснований – МN=. Осмысление хода и результата решения на заключительном этапе работы с задачей позволяют увидеть, что геометрический объект получил алгебраическое истолкование (установление внутрипредметных связей).

При осмыслении условия и хода решения задачи появляется мысль рассмотреть другие особые положения отрезка, параллельного основаниям трапеции (введение дополнительных элементов и включение их в новые связи).

Одним из них является отрезок МN, проходящий через точку О пересечения диагоналей трапеции параллельно её основаниям (рис.34). Появляется новая проблема: выразить, если это возможно, длину отрезка МN через длины оснований трапеции. В ходе её решения выясняется, что длина отрезка МN равна среднему гармоническому длин оснований – МN= = (выявление нового свойства рассматриваемого в задаче математического объекта, нового факта, формулы, иллюстрация внутрипредметных связей). Кроме того, попутно устанавливается, что среднее гармоническое имеет и вполне конкретный физический смысл: Пусть автомобиль первую половину пути проходит со скоростью а, а вторую половину – со скоростью b. Тогда средняя скорость на всём пути равна (установление межпредметных связей).

Деятельность ученика на рефлексивной стадии заключительного этапа рабаты над задачей сконцентрирована на осмыслении условия, поиска, хода и результата решения задачи – «взгляд назад» (Д. Пойа). На этом этапе ученик «находится внутри» задачи, то есть возвращается к отдельным этапам её решения, анализирует их, фиксирует полученные в ходе работы с задачей новые для себя результаты: факты, формулы, свойства, признаки, теоремы, способы, методы, приёмы решения задач; соотносит решённую задачу с известными ему типами задач, имеющимися теоретическими знаниями; выделяет и формулирует эвристические предписания; соотносит решённую задачу с известными ему типами задач, имеющимися теоретическими знаниями; выделяет и формулирует эвристические предписания; осознаёт и намечает пути дальнейшего развития задачи. В результате этого происходит переконструирование, переоценка, систематизация, превращение имеющихся у ученика знаний и умений. Полученное таким путём знание является не усвоенным извне, а построенным самим учеником, что подчёркивает творческий характер такой деятельности.

Для одарённых школьников также важна работа на преобразующей стадии решения задачи, когда деятельность ученика направлена на развитие задачи – «взгляд вперёд» (Г. И.Саранцев). Ученик «выходит за рамки» задачи, то есть, возвращаясь к отдельным составляющим решения и анализируя их, формулирует на основе решённой новые задачи, объединяет их в блоки, циклы, «цепочки», серии и т. п. взаимосвязанных задач.

Такие школьники, как правило, интересуются информационными технологиями, любят работать на компьютерах, посещают кружок по информатике, использовать это можно для установления межпредметных связей информатики и математики. Привлекать школьников для составления электронных уроков в программе PowerPoint; программирования тестовых заданий к урокам, используя объектно-ориентированные языки программирования, например, Visual Basic; Delphi. На этапах систематизации полезно составить электронные программы, включающие изученный материал, например, при повторении и систематизации курса планиметрии в конце девятого класса можно составить программу по теме: «Треугольник». При выполнении этой программы школьники смогут по введённым длинам сторон узнать: существует ли треугольник с заданными длинами сторон; каков вид этого треугольника по сторонам и по углам и даже увидеть форму подобного треугольника. Для написания же такой программы ученику нужно будет повторить следующий теоретический материал: неравенство треугольника; определения равнобедренного, равностороннего и разностороннего треугольника; теорему косинусов; значения косинусов острого, прямого и тупого углов, составить модель решения этой задачи, переведя её на язык программирования. Текст программы содержится в приложении №1.

Другим условием поддержания творческого состояния одарённых детей является совместная исследовательская деятельность учителя и учеников. В проектно-исследовательской деятельности по математике можно выделить следующие этапы работы:

– поиск интересной задачи или проблемы;

– формулировка гипотезы;

– попытка опровергнуть гипотезу (аналитически или численно, если необходимо, то с привлечением компьютерной техники), если эта попытка не удаётся, то это косвенно подтверждает гипотезу;

– доказательство (или опровержение) утверждения, построение математической модели;

– построение (если это возможно) с помощью компьютера информационной модели, демонстрирующей доказанный факт;

– оформление отчёта о выполненном проекте;

– защита исследовательской работы;

– публикация результатов (в печати, в Internet и т. д.).

Сотворчество учителя и учеников – одна из главных концептуальных идей процесса образования в XXI веке.

В качестве обобщения методики дифференцированного подхода к обучению геометрии учащихся основной школы в условиях продвинутых результатов обучения приведём структурированную таблицу, в которой отражены методы, формы и средства, наиболее способствующие переходу школьников из одной типологической группы в другую более высокого уровня. (Приложение 3).

§ 3. Организация и результаты экспериментальной работы

Цель экспериментальной работы состояла в проверке эффективности применения в процессе обучения разработанного дидактического механизма дифференцированного подхода к обучению геометрии учащихся основной школы. Она проводилась в два этапа в течение десяти лет (1996-2006 гг.).

Первый этап (1996-2004 гг.) носил констатирующий и поисковый характер.

Второй этап (2004-2006 гг.) был посвящён формирующему эксперименту. Он состоял из двух частей – обучающей и контрольной. Проводимый эксперимент по продолжительности не превышал шести месяцев.

Перейдём к описанию и обсуждению каждого этапа в отдельности.

Первый этап – констатирующе-поисковое исследование. Цель констатирующего исследования состояла в проверке уровней развития мотивационно-потребностного, содержательно-операционного и эмоционально-волевого компонентов и уровня обученности школьников в условиях традиционного использования дифференцированного подхода. Контингент исследования учащиеся 7-9 классов МОУ «Кульминская средняя общеобразовательная школа».

Цель поискового исследования (2003-2004 гг.) заключалась в поиске направления исследования, разработке и теоретическом обосновании дидактического механизма дифференцированного подхода к обучению школьников геометрии, отборе материала для формирующего эксперимента, а также в выявлении методических путей, уровней сформированности мотивационного, содержательно-операционного и эмоционально-волевого компонентов школьников.

Рассмотрим результаты констатирующего эксперимента. Уровень развития школьника определялся на основе критериев определяющих уровни мотивационного, содержательно-операционного и эмоционально-волевого компонентов. Была создана тестирующая электронная программа, предлагающая школьнику ответить на вопросы, после чего компьютер выдавал сообщение о принадлежности его к определённой типологической группе МСВ. Вопросы тестирования были следующие:

Таблица 7

Диагностируемые показатели

Вопросы

Мотивационно-потребностная

сфера

школьника

Выберите ту группу причин, которая вам больше подходит чтобы ответить на вопрос: «Для чего вам нужно учиться в школе?»

1). Я учусь для того, чтобы одобрили окружающие; из-за боязни неприятностей которые влечёт плохая успеваемость; понимаю значение знаний для будущего. (М)

2). Учусь потому что нравится овладевать новыми знаниями; мне интересно овладеть разными способами добывания знаний; нравится заниматься самообразованием.(М)

Содержательно-операционный

компонент

школьника

Определите себя к одной из следующих групп школьников.

1).Знают основные теоремы и определения, умеют решать стандартные задачи, при ответе допускают нарушение логической последовательности. Не могут выделить главное в своей учебно-познавательной деятельности.(С)

2).Правильно применяют теоретический материал при решении задач; не допускают существенных неточностей при формулировке теорем и определений; доказательстве теорем; устанавливают межпредметные связи. Выделяют основное в предстоящей учебно-познавательной деятельности.(С)

3).Глубоко и прочно усваивают программный материал, математически грамотно его излагают. Чётко формулируют основные понятия и теоремы, не испытывают затруднений при доказательстве теорем. Умеют приводить примеры и контрпримеры. Чётко выделяют главное в предстоящей учебной работе.(С)

Эмоционально-волевая сфера

школьника

Выберите из предложенных описаний характеристик школьников группу, к которой вы себя относите:

1).Эти школьники на уроках часто расслабляются, не стремятся довести решение задачи до конца, отказываются от выполнения задачи при первых же затруднениях.(В)

2).А эти школьники на уроках работают напряжённо, решают трудные задачи по своей инициативе, отступают лишь при серьёзных затруднениях.(В)

Уровень обученности определялся по результатам контрольных работ учащихся. Проследим динамику результатов контрольных работ в условиях традиционного использования дифференциации. На диаграммах представлены качество обученности и уровень обученности контрольного класса в динамике за 3 учебных года, где качество обученности находится как частное от деления числа учащихся выполнивших контрольную работу на «4» и «5» к общему количеству учащихся выполнявших работу, а уровень обученности есть отношение числа учащихся имеющих за контрольную работу оценки «3», «4» и «5» к общему количеству учащихся.

Диаграмма 1

1996-1997 уч. г. 1996-1997 уч. г. 1996-1997 уч. г.

В ходе констатирующего эксперимента установлено, что результаты выполнения контрольных работ в условиях традиционного использования дифференцированного подхода к учащимся успеваемость учащихся либо остаётся на прежнем уровне либо имеет тенденцию к понижению.

Результаты тестирования на уровень МСВ сравнивались с успеваемостью учащихся, в результате чего установлены зависимости между структурными компонентами личности и уровнем учебных достижений школьника, оформленные в виде таблицы 5 и представленные в начале главы II.

В ходе поискового эксперимента установлена положительная корреляционная зависимость успеваемости школьника от его личностного развития, а именно уровня МСВ. Таким образом, установлено, что успеваемость зависит от личностного развития, поэтому с повышением уровня личностного развития будет улучшаться успеваемость и в частности, умение решать задачи.

Итак, результаты проведённого констатирующего эксперимента привели к следующим выводам:

-так как уровень обученности и качество обученности (умение решать задачи) находятся в тесной корреляционной связи с уровнем личностного развития школьника, то с повышением уровня развития школьника будет улучшаться и обученность ученика (умение решать геометрические задачи).

-так как обучение математике немыслимо без решения задач, то за дидактическое средство осуществления дифференцированного подхода к обучению школьников геометрии необходимо принять специальную систему задач.

Выводы послужили основой для постановки проблемы и частных задач исследования.

Второй этап – формирующий эксперимент. Цель его проведения заключалась в проверке эффективности и доступности предлагаемого дидактического механизма, включающего в себя систему учебных заданий и целостную систему планиметрических задач, и оценку их влияния на качество обученности.

В ходе эксперимента решались следующие задачи:

-выяснить уровень личностного развития каждого школьника, т. е. уровень МСВ;

-выяснить уровень обученности каждого школьника (обязательный или продвинутый)

-составить систему задач для каждой типологической группы учащихся, способствующую переходу с одного уровня развития на другой более высокий, т. е. в другую типологическую группу, и повышению уровня обученности.

-определить эффективность применения методики дифференцированного подхода к обучению школьников геометрии в результате включения его дидактического механизма в процесс обучения.

Эксперимент проводился в 2004-2006 учебных годах в 7-9 классах МОУ «Кульминская средняя общеобразовательная школа», МОУ «Чамзинский многопрофильный лицей №1», МОУ «Отрадненская средняя общеобразовательная школа». Всего в эксперименте участвовало 110 человек.

Экспериментальная работа по формированию умения решать геометрические задачи в условиях дифференцированного подхода, обусловленного структурой личности, проводилась у учащихся средних школ в течение полугода.

Формирующий эксперимент, как отмечалось ранее, состоял из обучающей части и контрольной. Рассмотрим каждую из них в отдельности.

Обучающий эксперимент

Экспериментальное обучение осуществлялось в два этапа.

На первом, подготовительном, проводилась специально организованная работа по осознанию участниками эксперимента своего уровня МСВ с помощью тестирований, опросов и бесед с учащимися.

На втором, основном этапе обучающего эксперимента, его участникам были предложены дифференцированные задачи по текущим темам.

В качестве примера, рассмотрим систему планиметрических задач для каждой типологической группы по теме: «Площадь», изучаемую в восьмом классе по методике дифференцированного подхода.

I. Задания для учащихся, находящихся на обязательном уровне учебных достижений.

1 типологическая группа: МСВ

Задания на усвоение и запоминание формул площадей, например площади параллелограмма.

Найдите площади параллелограммов, изображённых на рисунке 28:

Рис. 28

Для стимулирования активной деятельности предлагаются посильные практические работы по измерению площадей фигур различной формы.

2 типологическая группа: МСВ.

Дидактические игры на развитие речи, например, опишите рисунок, используя те данные, которые заданы; задание на дом: придумайте рисунок по теме «Площадь» и опишите его. Подобные задания побуждают школьника к творчеству для чего ему нужно глубоко знать учебный материал.

3 типологическая группа: МСВ.

Нестандартные практические задачи: 1) Дан прямоугольный лист бумаги. Вырезать из него параллелограмм, площадь которого в два раза (в три раза) меньше площади прямоугольника. 2) На парту раскладывается набор равнобедренных прямоугольных треугольников, которые равны между собой. Боковая сторона равнобедренного треугольника равна 4 см (30 треугольников). Из этих треугольников составить: квадрат с площадью 16см, ромб – с площадью 32 см, прямоугольник – с площадью 32 см, квадрат – с площадью 64 см, параллелограмм – с площадью 48 см, трапецию – с площадью 48 см.

4 типологическая группа: МСВ.

Для лучшего усвоения школьниками теорем и определений используются специально созданные для этого компьютерные программы, содержащие задачи на узнавание ситуаций, удовлетворяющих изучаемой теории; упражнения на выделение следствий из определения понятия; упражнения на дополнение условий (распознавание и выведение следствий).

Примеры таких электронных заданий и программы к ним на языке Visual Basic приведены в приложении №2.

Для формирования гибкости мышления, освобождению мышления таких школьников от шаблонов предлагаются задачи, где приходится менять ход мыслей на обратный, например:

Задача. Нарисуйте параллелограмм, площадь которого равна 30 см ² .

Учащиеся анализируют ситуацию, что ускоряет формирование навыка и запоминание формулы площади параллелограмма.

При решении задачи: «Нарисуйте параллелограмм и треугольник, площади которых равны 20 см²» учащиеся сравнивают формулы площадей параллелограмма и треугольника, что способствует более прочному усвоению и запоминанию этих формул.

5 типологическая группа: МСВ.

Для таких школьников необходимо в задания с дидактическими функциями включать упражнения на тренировку волевых качеств: настойчивости, целеустремлённости. Так, в описанные выше электронные задания в случае неправильного выполнения их учеником компьютер в режиме интерактивного диалога выдаёт совет: «Подумайте над задачей!». Компьютерная программа составлена так, что ученик не может перейти к выполнению следующей задачи или следующего этапа задачи до тех пор, пока не справится с текущим заданием. После успешного выполнения всех заданий на экране появляется сообщение: «Задача решена верно!», что придаёт школьнику уверенность в своих силах. (Пример компьютерной программы в Приложении 2).

6 типологическая группа: МСВ.

Поисковые и исследовательские задачи.

“Разбейте треугольник на три части, из которых можно было бы сложить прямоугольник, сделайте вывод о формуле площади треугольника”. Результат работы показан на рисунке.

Рис.30

Перед изучением площади параллелограмма, учащимся предлагается самим найти способ разбиения на части, из которых можно было бы составить фигуру, площадь которой уже умеют находить.

Перед тем, как перейти к изучению площади трапеции, накануне соответствующего урока предлагается разбить трапецию на такие части, площади которых легко вычислить. В основном трапецию разбивают так, как показано на рисунке.

Вывод нужной формулы в данном случае выглядит следующим образом:

SABCD = SABM + S BCKM + S CKD = (S ABC + S CKD) + S BCKM

Рис.31

Учащиеся на уроке работают с моделью и поэтому имеют возможность сложить получившиеся треугольники АВМ и СКD так, чтобы их стороны ВМ и СК совпали, в результате чего они получали треугольник АВD. Основание АD треугольника АВD будет равно а – b. Окончательно имеем:

Как показывает опыт, такая самостоятельная работа ставит учащихся в условия “первооткрывателя” теоремы, позволяет ему структурно понять идею равносоставленности равновеликих многоугольников с последующим осмысленным ее переносом в новые ситуации.

При таком подходе, когда отсутствует объяснительно-иллюстрированный метод изложения учебного материала учителем, учащиеся не просто механически выучивают выводы соответствующих формул, а понимают внутреннюю связь между формой задачи и поставленной целью, постигают суть проблемы.

7 типологическая группа: МСВ.

Задачи с неполным условием: «Определите площадь которого из параллелограммов больше: с основанием 10см или с основанием 30см?» (Ответить на вопрос задачи нельзя, т. к. неизвестны высоты).

Развитию познавательной мотивации помогает решение практических задач на составление и расчёт смет ремонтных работ.

Задача «Заказ на выполнение услуг по ремонту квартир»:

Необходимо выяснить количество материала для выполнения заказа (выполнить расчёты, проверить, используя формулы площадей); стоимость материалов; стоимость выполненных работ.

№1. Комната имеет пол прямоугольной формы со сторонами 5м и 3,5м. Высота 2,5м.

Необходимо выполнить следующее:

    Сделать навесные потолки. Для выполнения работы используют плитки квадратной формы со стороной 50 см, по периметру – бордюр. Наклеить на стены обои. Используются обои шириной 50 см, длина рулона 10 м. Обрезки составляют 12%. Пол выстлать паркетом. Предлагается произвести настил паркетного пола, используя плитки, имеющие форму прямоугольных треугольников, параллелограммов, трапеций. Размеры в сантиметрах указаны на рисунке 32.

Паркетные плитки (в см)

Рис.32

№2. Рисунок 40 представляет собой план столовой. Размеры даны в метрах. Требуется покрасить пол в два слоя. Расход краски – 80 г/ м2.

План столовой (в метрах)

Рис.33

№3. Необходимо облицевать кафельной плиткой стены ванной комнаты. Комната имеет форму прямоугольника. Длина 2,1м, ширина 1,5. Высота 2м. Ширина дверного проёма – 0,9м. Кафель имеет форму прямоугольной формы со сторонами 20см и 30см. Отходы составляют 18%.

№4. Предлагается постелить линолеум в прихожей. Выбрать линолеум максимально удобной ширины. План на рисунке 3. Размеры в метрах.

План прихожей (в метрах) Рис.34

2) Прайс-лист цен строительных материалов

Таблица 8

Наименование материла

Цена (в рублях)

Количество

Потолочная плитка

130

1 штука

Потолочный бордюр

6

1 штука – 1,2 метра.

Краска половая

130

1 банка – 1 кг

Обои

85

1 рулон

Паркетные плитки:

треугольник,

параллелограмм,

трапеция.

25

30

30

1 штука

1 штука

1 штука

Линолеум

120

1 м2, ширина – 1м2,

1,5 м2, 2м2

Кафель

220

1 м2

3) Прейскурант цен на стоимость услуг (за 1 м2)

·  Настил линолеума – 40 рублей.

·  Настил паркета – 70 рублей.

·  Покраска пола – 30 рублей.

·  Укладка кафеля – 120 рублей.

·  Наклеивание обоев – 50 рублей.

·  Ремонт потолка – 40 рублей.

Привлечение учащихся к разработке творческих проектов.

II. Задания для учащихся, находящихся на продвинутом уровне учебных достижений

8 типологическая группа: МСВ.

Проведение лабораторных работ, на которых учащиеся «открывают» новые математические понятия, практических работ на вычисление площадей геометрических фигур.

Практическая работа.

Вы бригадир в совхозе. У вас трактористы вспахали поле треугольной формы. Вам надо найти площадь этого поля, чтобы составить наряд для оплаты за проделанную работу трактористу.

Цель работы: зная формулу площади треугольника, вычислить площадь земельного участка треугольной формы по его плану.

Оборудование: измерительный циркуль, линейка, карточки, на которых изображен план участка треугольной формы.

Подготовка к работе.

Пользуясь карточками, на которых изображен план участка треугольной формы, выяснить следующие вопросы:

1.  Какие построения и измерения надо сделать для вычисления площади треугольника?

2.  как вычислить действительную площадь земельного участка треугольной формы?

Содержание карточек-заданий.

Дан план участка.

Масштаб 1:5000 (1:10000) (1:15000)

Вычислить площадь участка.

Порядок выполнения работы.

1.  Начертить в тетрадях эскиз участка треугольной формы. Ввести обозначения.

2.  Выполнить на эскизе необходимые построения.

3.  Выполнить необходимые построения, используя за основание каждый раз новую сторону.

4.  Вычислить площадь (каждого) земельного участка для каждого измерения и найти среднее арифметическое значение площади.

5.  Результаты измерений и вычислений записать в таблицу по схеме:

Таблица 9

основание, сторона

высота к ней проведена

площадь

1-ое измерение

2-ое измерение

3-ое измерение

Среднее арифметическое

Вычислить площадь земельного участка, учитывая масштаб плана.

9 типологическая группа: МСВ.

Обращение к приложениям математики, к задачам, которые привели к математическим открытиям, выяснение какие новые средства были при этом созданы, как с их помощью удалось продвинуться вперёд науке и технике – всё это поможет заинтересовать ученика, расширить его кругозор. Измерение площадей считают одним из самых древних разделов геометрии; в частности название “геометрия” (т. е. “землемерие”) связывают именно с измерением площадей. Согласно легенде, эта наука возникла в Древнем Египте, где после каждого разлива Нила приходилось заново производить разметку участков, покрытых плодоносным илом, и вычисление их площадей. В древности считалось, что площадь четырехугольника, последовательные стороны которой имеют длины a, b,c, d, можно вычислять по формуле (т. е. полусумму длин противоположных сторон умножить на полусумму двух других сторон). Эта формула найдена опытным путем, неверная, по-видимому, в древности приходилось рассматривать лишь участки, мало отличающиеся от прямоугольника по форме, а для таких участков погрешность, вносимая указанной формулой, невелика. Проверьте справедливость формулы для четырёхугольника, имеющего формулу параллелограмма.

Занимательные задачи, красиво оформленные чертежи:

    Первые упоминания о треугольнике и его свойствах встречаются в египетских папирусах, которым более 4000 лет. В частности, там упоминается способ нахождения площади равнобедренного треугольника, дающий хорошее приближение при малых углах при вершине, противоположной основанию. Эта площадь находится как произведение половины основания на боковую сторону.

SАВС 1/2 AC · AB

SАВС 1/2 AC · BD

Рис.35

    В древнем мифе рассказывается, что тирский царь Пигмалион убил Сихея, мужа своей сестры Дидоны, чтобы овладеть его богатством. Дидона, покинув Финикию, после многих приключений оказалась в северной Африке. Король нумибийцев Ярб обещал подарить Дидоне участок земли на берегу моря “не больше, чем можно окружить воловьей шкурой”. Хитрая Дидона разрезала шкуру вола на тонкие полоски, связала из них очень длинную веревку и отмерила большой участок земли, на котором основала город Карфаген.

    Вопрос. Участок земли какой формы отмерила Дидона веревкой данной длины, чтобы получить наибольшую площадь?

    Ответ…

Задачи на перекраивания фигуры:

В 1832 году венгерский математик Ф. Больяи и австриец П. Гервин доказали теорему о том, что любой из двух многоугольников равной площади всегда можно разрезать на несколько меньших многоугольников и сложить из них второй многоугольник.

Рис.36

Гениальность идеи состояла в том, чтобы разрезать любой многоугольник на части, из которых можно сложить квадрат. Нанеся затем на квадрат границы уложенных в нем кусков сначала первого многоугольника, а затем второго, разрежем квадрат по всем полученным линиям. Из образовавшихся кусочков можно будет сложить как первый, так и второй многоугольники.

10 типологическая группа: МСВ.

Игровые ситуации. Решение проблемных ситуаций. Самостоятельная деятельность учащихся. Решение прикладных задач и составление собственных. Исследовательские и творческие работы.

Задача. В землеустроительной практике иногда бывает необходимо ломаную границу АВС (рис. 37) двух полей заменить отрезком так, чтобы площади полей не изменились. Как это сделать?

Рис. 37

Р е ш е н и е. Через точку В проведем прямую, параллельную прямой АС. Она пересечет границу массива в некоторой точке D. Покажем, что отрезок АD и может служить искомой границей.

После спрямления границы поля как бы поменялись треугольниками АОВ и DOC. Требуется доказать, что эти треугольники равновелики. Но это сразу следует из равновеликости треугольников АВС и АDС.

Площади многоугольников

З а д а ч а  8. В землеустроительной практике нужно разделить участок треугольной формы на три равновеликих трапеции, так как такая форма удобнее для механизированной обработки. Как это сделать?

Р е ш е н и е. Через точку О пересечения медиан треугольника АВС (рис. 38) проведем прямые, параллельные сторонам. Получим разбиение треугольника на три трапеции ОDAE, ОЕВF, ОFСD. При этом

SODAE = SODAE + SOF1E

SOEBF = SCEBD1 + SOD1F

Отрезок DD1, параллельный стороне АВ, делиться медианой СС1 пополам. Поэтому площади параллелограммов ОDAF1 и OEBD1 равны. Треугольники ОF1E и ОD1F конгруэнтны по стороне и двум прилежащим углам. Значит, их площади тоже равны. Поэтому трапеции ODAE и OEBF равновелики. Аналогично устанавливается равенство площадей трапеции ОFCD и ODAE.

Рис. 38

Деловая игра “Строитель”:

Необходимо выполнить работу по настилке паркетного пола в небольшой комнате размером 280х200 см. Работа над задачей выполняется в бригадах.

1 бригада – “Столяры”

Задача: изготовить паркетные плитки указанных размеров в таком количестве, чтобы после настилки пола в комнате размером 280х 200 см не осталось лишних плиток. Число треугольных плиток должно быть минимальным, а плиток в форме параллелограммов и трапеций – одинаковое количество.

Рис.39

2 бригада – “Поставщики”

Задача: необходимо поставить нужное количество плиток указанных размеров для настилки пола в комнате 280х200 см. Следовательно, необходимо рассчитать, сколько и каких плиток нужно поставить, чтобы не осталось после укладки паркета лишних плиток, а число треугольных плиток должно быть минимальным. Количество же плиток в форме параллелограмма и трапеции должно быть одинаковым.

3 бригада – “Паркетчики”

Задача: проконтролировать доставку паркетной плитки на строительство. То есть надо знать, сколько и каких плиток понадобится для покрытия пола в комнате размером 280х200 см, чтобы не осталось лишних плиток и число треугольных плиток было минимальным, а плиток в форме параллелограмма и трапеции – одинаковое число.

Ответы решения задачи:

Вариант №1

Рис.40

Вариант №2

Рис.41

Парадоксы, в которых принципом “скрытого перераспределения” объясняется таинственное исчезновение или появление площадей:

1.  Парадокс шахматной доски – один из самых старых и самых простых.

Рисунок 42

Рисунок 43

Шахматная доска разрезается наискось, как это показано на рис.42, а затем часть В сдвигается вниз, как это показано на рис. 43.

Если треугольник, выступающий в правом верхнем углу, отрезать ножницами и поместить на свободное место, имеющее вид треугольника в левом нижнем углу рисунка, то получится прямоугольник.

Куда исчезла одна недостающая квадратная единица?

2.  В дне деревянного судна во время плавания случилась прямоугольная пробоина в 13 см длины и 5 см ширины, то есть площадь пробоины оказалась равной 13 см х 5 см = 65 см2. У судового плотника оказалась для ремонта только квадратная дощечка со стороной равной 8 см, т. е. площадь квадрата равнялась 64 см2. Что делать?

Рисунок 44

Он разрезал ее прямыми линиями

на четыре части А, В, С, D.

А затем сложил их так, что получился прямоугольник,

как раз соответствующий пробоине.

Рисунок 45

Вышло так, что плотник сумел квадрат 64 см2 обратить в прямоугольник с площадью 65 см2. Откуда появилась лишняя квадратная единица?

11 типологическая группа: МСВ.

Решение с учениками задач для подготовки к олимпиадам, конкурсам, решение планиметрических задач из ЕГЭ. Например, следующей задачи повышенной сложности:

Задача. В трапеции АВСD с основаниями ВС и АD диагонали пересекаются в точке О. Площади треугольников ВОС и АОD равны S и S. Найдите площадь трапеции.

12 типологическая группа: МСВ.

Составление с учащимися компьютерных программ по теме. В приложении №2 приведён пример программы по теме «Площадь треугольника».

Заключительный этап работы с задачами по теме «Площадь». Для этого используются дополнительные задачи и задачи повышенной сложности из учебника, по которому обучаются школьники.

Итак, выше были приведены примеры применения учебных заданий для осуществления дифференцированного подхода к учащимся при изучении темы «Площадь» в восьмом классе.

Контрольный эксперимент

Первый контрольный срез производился после подготовительного этапа обучающего эксперимента для определения исходного уровня умений решать геометрические задачи.

Второй контрольный срез – определение умения решать задачи проводился на заключительном этапе основного эксперимента.

Результаты проведения контрольных срезов показывают повышение уровня, качества и степени обученности учащихся.

Уровень обученности (U) определялся как отношение количества учащихся, выполнивших контрольную работу на оценки «3», «4» и «5» к общему количеству учащихся, выполнявших контрольную работу.

Качество обученности (Р) определялось как отношение количества учащихся, выполнивших контрольную работу на «4» и «5» к общему количеству выполнявших.

Степень обученности определялась по формуле:

S = ,

где К – количество пятёрок за контрольную работу, К – количество четвёрок, К-количество троек, К-количество двоек, а К – общее количество учащихся, выполнявших контрольную работу.

Затем сравнивались соответствующие показатели на начальном и заключительном этапах обучающего эксперимента и определялся:

а) прирост (П) этого показателя, как разность показателя на заключительном и начальном этапах эксперимента. Например, прирост качества обученности П определялся так:

П = РР ;

б) сравнительный показатель эффективности экспериментального обучения, как отношение показателя на заключительном этапе к исходному значению этого показателя. Например, для качества обученности:

η = .

Полученные показатели эффективности использования дифференциации в процессе обучения представлены в сводной таблице № 10.

Таблица 10

Экспериментальные группы

Р

Р

П

η

U

U

П

η

S

(%)

S

(%)

П

(%)

η

МОУ «Кульминская сош»

7 класс

0,33

0,5

0,17

1,51

0,83

1,0

0,17

1,20

54

62

8

1,15

8 класс

0,5

0,75

0,25

1,50

0,75

1,0

0,25

1,33

54

66

12

1,22

9 класс

0,67

1,0

0,33

1,50

1,0

1,0

0,0

1,0

68

76

8

1,34

МОУ «Отрадненская сош»

7 класс

0,42

0,75

0,33

1,79

0,96

1,0

0,04

1,04

48

67

19

1,40

8 класс

0,40

0,71

0,31

1,78

0,85

1,0

0,15

1,18

43

60

17

1,40

9 класс

0,37

0,63

0,26

1,70

1,0

1,0

0,0

1,0

49

64

15

1,30

МОУ «Чамзинский многопрофильный лицей №1»

8«а» кл.

0,44

0,75

0,31

1,70

1,0

1,0

0,0

1,0

47

79

32

1,68

8«б» кл.

0,42

0,73

0,31

1,74

0,93

1,0

0,07

1,08

41

74

33

1,80

8«в» кл.

0,40

0,70

0,30

1,75

1,0

1,0

0

1,0

53

68

15

1,28

Качественные показатели таблицы позволяют сделать вывод о том, что наблюдается прирост уровня, качества и степени обученности школьников. Разработанные компоненты дидактического механизма, включённые в процесс обучения, оказались эффективным средством развития учащихся, позволили повысить их умение решать задачи.

ВЫВОДЫ ПО ГЛАВЕ II

1.Дифференцированный подход к обучению геометрии учащихся основной школы должен применяться учителями целенаправленно и систематически. Его эффективность подтверждается результатами проведённого эксперимента.

2.Для осуществления дифференцированного подхода, обусловленному структурой личности, учителю необходимо знать уровень развития мотивационного, содержательно-операционного и эмоционально-волевого компонентов каждого школьника. Выявить уровень мотивационного, содержательно-операционного и эмоционально-волевого компонентов можно с помощью опросов, анкетирования, бесед и наблюдений за ними. После чего школьники делятся на типологические группы МСВ, где i=1,2; j=1,2,3; k=1,2, то есть на 12 групп в зависимости от уровня развития структурных компонентов личности.

3..Для гармоничного развития представителей каждой типологической группы педагог должен: 1) иметь разнообразную систему дидактических материалов по каждой теме изучаемого курса геометрии; 2) знать соответствие каждого задания уровню развития школьника, представляющего определённую типологическую группу. В дидактических материалах по изучаемым темам курса геометрии должны быть: 1) упражнения на отработку новых понятий и теорем для школьников с низким уровнем содержательно-операционного компонента; 2) задания с практическим содержанием; задачи с эстетической мотивацией; задачи на межпредметные связи для школьников с низким уровнем познавательной мотивации; 3) упражнения с обязательным выполнением самоконтроля для школьников с низким уровнем волевого компонента; 4) задания, выполняемые по правилам групповой игры для представителей типологических групп с низкой мотивацией и волей; 5) задачи повышенной сложности, олимпиадные задачи для школьников все структурные компоненты которых находятся на достаточно высоком уровне.

3.Из-за разнообразия типологических групп в одном классе учителю следует шире использовать возможности информационно-коммуникационных технологий. Так, для усвоения и запоминания теории школьнику необходимо предлагать упражнения в электронном виде, причём компьютер должен вести с обучаемым интерактивный диалог, подсказывая ему, правильно или неправильно выполнено задание, предлагая подумать над задачей и выполнить её снова. Групповой формой работы может стать выполнение проектов, оформление которых происходит в виде презентаций в PowerPoint. Для поддержания творческого состояния одарённых детей необходимо шире использовать возможности Интернет – технологий.

4.Применение методики дифференцированного подхода к обучению школьников геометрии, заключающейся в использовании задач, соответствующих уровню развития представителей каждой типологической группы, позволяет школьникам: 1) повысить уровень развития мотивационного, содержательно-операционного и эмоционально волевого компонентов, 2) перейти из одной типологической группы в другую более высокого уровня развития и обученности, 3) научиться лучше решать задачи по курсу геометрии основной школы.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В данном исследовании разработаны теоретические и методические основы использования дифференцированного подхода к обучению геометрии учащихся основной школы. В процессе теоретического и экспериментального исследования поставленной научной проблемы в соответствии с задачами и целью исследования получены следующие основные РЕЗУЛЬТАТЫ:

1.Обобщение точек зрения различных исследователей на роль дифференцированного подхода к обучению школьников позволил сделать вывод о том, что в учебно-воспитательном процессе должна быть учтена как дифференциация учебного материала, так и индивидуальные особенности школьников. Наибольшие возможности для этого представляет дифференцированный подход, исходящий из структуры личности школьника. При таком подходе к дифференциации типологические группы образуются исходя из уровней развития мотивационно-потребностного, содержательно-операционного и эмоционально-волевого компонентов школьника.

2.Для гармоничного развития представителей каждой типологической группы педагог должен: 1) иметь разнообразную систему дидактических материалов по каждой теме изучаемого курса геометрии; 2) знать соответствие каждого задания уровню развития школьника, представляющего определённую типологическую группу.

3. В дидактических материалах по изучаемым темам курса геометрии должны быть: 1) упражнения на отработку новых понятий и теорем для школьников с низким уровнем содержательно-операционного компонента; 2) задания с практическим содержанием; задачи с эстетической мотивацией; задачи на межпредметные связи для школьников с низким уровнем познавательной мотивации; 3) упражнения с обязательным выполнением самоконтроля для школьников с низким уровнем волевого компонента; 4) задания, выполняемые по правилам групповой игры для представителей типологических групп с низкой мотивацией и волей; 5) задачи повышенной сложности, олимпиадные задачи для школьников все структурные компоненты которых находятся на достаточно высоком уровне.

4.Из-за разнообразия типологических групп в одном классе учителю следует шире использовать возможности информационно-коммуникационных технологий. Так, для усвоения и запоминания теории школьнику необходимо предлагать упражнения в электронном виде, причём компьютерные программы должны вести с обучаемым интерактивный диалог, подсказывая ему, правильно или неправильно выполнено задание, предлагая подумать над задачей и выполнить её снова. Групповой формой работы может стать выполнение проектов, оформление которых происходит в виде презентаций в PowerPoint. Для поддержания творческого состояния одарённых детей необходимо шире использовать возможности Интернет – технологий.

5.Применение методики дифференцированного подхода к обучению школьников геометрии, заключающейся в использовании задач, соответствующих уровню развития представителей каждой типологической группы, позволяет школьникам: 1) повысить уровень развития мотивационного, содержательно-операционного и эмоционально волевого компонентов, 2) перейти из одной типологической группы в другую более высокого уровня развития и обученности, 3)научиться лучше решать задачи по курсу геометрии основной школы.

6. Разработанная методика дифференцированного подхода к обучению школьников может быть использована учителями математики в школьной практике в целях повышения уровня обученности школьников; авторами методических пособий для учащихся и учителей; программистами для создания электронных учебных пособий, на основе дифференциации; специалистами по созданию Web-сайтов для организации дистанционного обучения школьников с учётом их индивидуальных особенностей.

Сказанное позволяет считать, что дифференцированный подход к обучению геометрии учащихся основной школы оказывает существенное влияние на качество обучения геометрии в основной школе, реализует образовательный, развивающий и воспитательный потенциал обучения математике. Таким образом, подтверждена верность выдвинутой гипотезы и решены задачи исследования.

ЛИТЕРАТУРА

1.Акимова М. К., В. П.Козлова Индивидуальность учащегося и  индивидуаль­ный подход. – М.: Знание, 1992. – 56с.

2.Антонова Г. П. О соотношении индивидуальных различий в мыслительной деятельности школьников и особенностей их высшей нервной деятельности. //Вопросы психологии.- 1966.- №1.

3.Бабанский Ю. К. Оптимизация процесса обучения. Общедидактический аспект. М., 1977г.

4.Базаров Н. Индивидуальная работа с учащимися. // Математика в школе.- 1999.-№2- С.29-32.

5.Башмаков М. И. Уровень и профиль школьного математического образования. // Математика в школе.- 1993.-№2- С.8.

6.Белошистая А. В.Обучение математике с учётом индивидуальных особенностей ребёнка.// Вопросы психологии.- 2001.-№5.

7.Беспалько В. П. Слагаемые педагогической технологии. – М.: Педагогика, 1989. – 192 с.

8.Бикмурзина Р. Р. Дифференцированный подход к формированию познавательной самостоятельности студентов младших курсов вузов в процессе обучения математике: Дисс. … канд. пед. наук. – Саранск, 1996.

9.Бодалев А. А. Восприятие и понимание человека человеком. – М., 1982.

10.Божович Л. И. Что такое воля. //Семья и школа.- 1981.- №1.

11.Болтянский В. Г., Грудёнов Я. И. Как учить поиску решения задач.// Математика в школе.- 1988.-№1.

12.Бударный А. А. Индивидуальный подход в  обучении.//Советская педагогика.-1965.-№ 7 – С.18-20.

13.Веденов А. В. Личность как предмет психологической науки. // Вопросы психологии, 1956. – №1.

14.Верченко А. И., Верченко С. Б. Дифференциация обучения во Франции // Математика в школе.- 1989.-№3..

15.Возрастная и педагогическая психология. Под. ред. М. В.Гамезо, М. В. Матюхиной, Т. С.Михальчик. – М.:Просвещение, 1984 г.

16.Волкова Е. Е. Основные психолого-педагогические закономерности усвоения знаний и способов деятельности: Дисс. … канд. пед. наук.

17.Волович М. Б. Математика без перегрузок, М., Педагогика, 1991

18.Волович М. Б. Ключ к пониманию геометрии / 7-9 классы. К.: ГИППВ, 1998. – 272 с.

19.Воскресенская Н. М. Дифференциация обучения в школах Англии // Советская педагогика.- 1988. – №12.

20.Выгодский Л. С. Избранные психологические исследования. М.: Педагогика, 1956. 95 с.

21.Геометрия: Учебн. для 7-9кл. сред. шк. / Л. с.Атанасян, В. Ф.Бутузов, С. Б.Кадомцев и др.-М.:Просвещение, 2005.-336с.

22.Гильберт Д., Кон-фосен С. Наглядная геометрия / Пер. с немец. Каменского, 1981 г.

23.Глейзер Г. И. История математики в школе: IV-VI кл. Пособие для учителей. – М.: Просвещение, 1981. – 139 с.

22.Гнеденко Б. В., Черкасов Р. С. О курсе математики в школах Японии // Математика в школе.- 1988.-№5- С.72-76.

24.Гоноболин Ф. Н. Внимание и его воспитание. – М., 1972.

25.Гончаров Н. К. Ещё раз о дифференцированном обучении в старших классах // Советская педагогика.- 1963.- №2.

26.Грудёнов Я. И. Совершенствование методики работы учителя математики. – М., Просвещение, 1990.

27.Грудёнов Я. И. Психолого-дидактические основы методики обучения математике. – М.: Педагогика, 1987.

28.Гузеев В. В. О новых формах организации обучения // Математика в школе.- 1988.-№4.

29.Гусев В. А. Индивидуализация учебной деятельности учащихся как основа дифференцированного обучения математике в средней школе. // Математика в школе.- 1990.-№4 – С.27-31.

30.Гусев В. А. Методические основы дифференцированного обучения математике в средней школе: Дисс. … докт. пед. наук. – Москва, 1990.

31.Долбилин Н. П. О необходимости курса наглядной геометрии в младших классах. // Математика в школе.- 1990.-№6 – С.19.

32.Дорофеев Г. В., Кузнецова Л. В., Суворова С. Б., Фирсов В. В. Дифференциация в обучении математике. // Математика в школе.- 1990.-№4- С.15.

33.Дорофеев С. Н. К вопросу о формировании топологического компонента математического образования студентов технических специальностей. // Математика. Образование. Культура: Сборник трудов по материалам I международной научной конференции, 22-24 октября 2003 г., Россия, г. Тольятти / Под общ. ред. Р. А.Утеевой. Тольятти: ТГУ, 2004. – Ч.1. – С. 150-153.

34.Дробышева И. В. Методическая подготовка будущего учителя математики к дифференцированному обучению учащихся средней школы: Автореф. дисс. … докт. пед. наук. – М.

35.Дубровина И. В., Данилова Е. Е., Прихожан А. М. Психология. – Академия, 2004. – 464 с.

36.Егорченко И. В. Математические абстракции и методическая реальность в обучении математике учащихся средней школы: Дисс. …докт. пед. наук.- Саранск, 2003.

37.Епишева О. Б., Крупич В. И. Учить школьников учиться математике: Формирование приёмов учебной деятельности: Кн. Для учителя. – М.: Просвещение, 1990.

38.Ершова А. П., Голобородько В. В., Ершова А. С. Самостоятельные и контрольные работы по алгебре и геометрии для 8 класса. – М.: Илекса, Харьков: Гимназия, 1999, – 160 с.

39. Есипов Б. П. Поиски путей повышения эффективности уроков. // Советская педагогика. – 1962.- №8 – С. 17-30.

40.Журик Т. А. Проблемные ситуации при изучении программирования. //Информатика и образование. – 2002. – №11 – С. 46-47

41.Загвязинский В. О дифференцированном подходе. // Народное образование.- 1968. – №10.

42.Зайкин М. И. Исследование организации структуры учебного процесса по математике в классах с малой наполняемостью: Дисс. …докт. пед. наук. – 1994.

43.Занков Л. В. Избранные педагогические труды: Дидактика и жизнь. Обучение и развитие. М.: Педагогика, 1990

44.Зеленина Н. А. Заключительный этап решения геометрических задач в основной школе: Дисс. … канд. пед. наук. – Киров, 2004.

45.Зив Б. Г. Дидактические материалы по геометрии для 9 класса. – М.: Просвещение, 1993. – 112 с.

46.Зимняя И. А. Педагогическая психология: Учебное пособие. Ростов-на-дону, 1997.

47.Злоцкий Г. В. Широкий спектр средств дифференциации. №5, 1991

48.Иванников В. А. Психологические механизмы волевой регуляции М.:, Из-во МГУ, 1991 г.

49. Иванов О. А. Обучение поиску решения задачи (фантазии в манере Пойа). // Математика в школе. – 1997. – №6.

50.Иванова Т. А. Теоретические основы обучения математике в средней школе. – Н. Новгород, 2003. – 318 с.

51.Изучение геометрии в 7-9 классах: Методические рекомендации к учебнику.: Кн. для учителя / Л. С.Атанасян, В. Ф.Бутузов, Ю. А.Глазков и др. – 3-е изд. – М.: Просвещение, 2000.

52.Ильин Е. П. Дифференциальная психофизиология. – СПб.: Питер, 2001. – 464 с.

53.Ирошников Н. П. Организация обучения математике в 4, 5 классах сельской школы. – М., Просвещение, 1982

54.Ительсон Л. Б. Учебная деятельность. Её источники, структура и условия: Хрестоматия по возрастной и педагогической психологии/Ред. И. И.Ильясова, В. Я.Ляудис. – М.: МГУ, 1981.

55.Кабанова-Меллер Е. Н. Учебная деятельность и развивающее обучение. – М.: Знание, 1981.

56.Калин В. К. Экспериментальное изучение волевого усилия: Автореф. дис. …канд наук (по псих.). – М, 1968.

57.Калмыкова  З. И.  Психологические  принципы  развивающего обучения. – М.: Знание, 1979. – 48 с.

58. Канин Е. С. Развитие темы задачи. // Математика в школе. – 1991. – №3.

59.Капиносов А. Н. Уровневая дифференциация при обучении математике в V-VI классах. // Математика в школе. – 1990. – №5. – С.16.

60.Капкаева Л. С.Интеграция алгебраического и геометрического методов как условие гуманитаризации среднего математического образования. // Гуманитаризация среднего и высшего математического образования: методология, теория и практика: Материалы Всероссийской научной конференции. Саранск, 18-20 сентября 2002 г. Часть 1 / Мордов. гос. пед. ин – т. – Саранск, 2002. – С.42-47.

61. Каплунович И. Я. // Математика в школе. – 1990. – №5. – С.45.

62. Кедров Б. М. О науках фундаментальных и прикладных. // Вопросы философии. – 1972. – №10. – С.39-42.

63.Кильдяева Л. Г. Система задач и тренировочных упражнений для учащихся с низким уровнем содержательно-операционного компонента на различных этапах работы с теоремой. // Технические и естественные науки: проблемы, теория, эксперимент: Межвузовский сборник научных трудов. – Вып. IV. – Саранск: РНИИЦ, 2005. – С.69-72

64.Кильдяева Л. Г.Обучение геометрии школьников со слабой мотивацией. // Естественно-технические исследования: теория, методы, практика: Межвузовский. сборник научных трудов. – Вып. V. – Саранск: Ковылк. Тип., 2005. – С.102-105

65.Кильдяева Л. Г. Дифференцированный подход к обучению школьников сельской школы на уроках математики и во внеурочное время. // Гуманитаризация среднего и высшего математического образования: методология, теория и практика: Материалы Всероссийской научной конференции. Саранск, 18-20 сентября 2002 г. Часть 2 / Мордов. Гос. Пед. ин-т. – Саранск, 2002. – С.225-230

66.Кильдяева Л. Г. Обучение геометрии школьников с низким содержательно-операционным компонентом. // Математика. Образование. Культура: Сборник трудов по материалам II международной научной конференции, 1-5 ноября 2005 г., Россия, г. Тольятти / Под общ. ред. Р. А.Утеевой. Тольятти: ТГУ, 2005. – Ч.3. – С.83-87

67.Кильдяева Л. Г. Создание электронных тестов на основе дифференциации. // Гуманитаризация среднего и высшего математического образования: методология, теория и практика: Материалы Всероссийской научной конференции. Саранск, 4-6 октября 2005 г. Часть 2 / Мордов. Гос. Пед. ин-т. – Саранск, 2005. – С.210-211

68. Кильдяева Л. Г. Значение компьютерных, информационных технологий в осуществлении уровневой дифференциации при обучении математике. // Фестиваль педагогических идей «Открытый урок 2003-2004». – www.1september. ru.

69.Кильдяева Л. Г. Значение компьютерных, информационных технологий в осуществлении уровневой дифференциации при обучении математике. // Фестиваль педагогических идей «Открытый урок». Сборник тезисов. 2003/2004 учебный год.-М.:ООО Издательство «Первое сентября»; ООО «Чистые пруды», 2004.- С.121

70.Кильдяева Л. Г. Значение компьютерных, информационных технологий в осуществлении уровневой дифференциации при обучении математике. // Фестиваль педагогических идей «Открытый урок 2003-2004». – Компакт-диск.

71.КильдяеваЛ. Г. Применение электронных тестов для осуществления уровневой дифференциации. // Фестиваль педагогических идей «Открытый урок 2004-2005» . – www.1september. ru.

72.Кильдяева Л. Г. Применение электронных тестов для осуществления уровневой дифференциации. // Фестиваль педагогических идей «Открытый урок». Сборник тезисов. 2004/2005 учебный год: Книга 2. – М.: «Первое сентября»; ООО «Чистые пруды», 2005. – С.370

73.Кильдяева, Л. Г. Применение электронных тестов для осуществления уровневой дифференциации. // Фестиваль педагогических идей «Открытый урок 2004-2005». – Компакт-диск.

74. Кильдяева Л. Г., Ерошкина С. А., Логинова Е. В., Четвергов Д. В. Электронное учебное пособие «Дифференцированное изучение теоремы Пифагора». // М.: ВНТИЦ, 2006. – №50200600350

75.Кильдяева Л. Г., Ерошкина С. А., Логинова Е. В., Четвергов Д. В. Электронное учебное пособие «Дифференцированное изучение теоремы Пифагора». // Компьютерные учебные программы и инновации. – 2006, №3.- С.13-17.

76. Кильдяева Л. Г., Подсеваткин А. В., Тихонова А. А. Развитие волевых качеств школьников на различных этапах решения математических задач. // Всероссийская научно-практическая Интернет – конференция «Молодость. Наука. Интеллект 2005» (секция: «Педагогическая психология).- www. psyinfo. ru.

77.Кирсанов А. А. Индивидуализация  учебной  деятельности школьников. -  Казань: Тат. кн. изд-во, 1980.- 207 с.

78.Кирьякова А. В. Ориентация школьников на социально значимые ценности. / Учеб. Пособие. Л., 1991.

79.Коломинский Я. Л. Психология взаимоотношений в малых группах. – Минск, 1976.

80.Колягин Ю. М., Оганесян В. А. Учись решать задачи: Пособие для учащихся VII – VIII кл. – М.: Просвещение, 1980 – 96 с.

81.Коменский Я. А., Локк Д., Руссо Ж.-Ж., Песталоцци И. Г. Педагогическое наследие / Сост. В. М.Кларин, А. Н.Джуринский. – М.: Педагогика, 1988.-416с.

82.Концепция модернизации российского образования на период до 2010 года. – http//www/mschools. ru/ c. 7

83.Корнилов К. Н. Воспитание воли и характера. – М., 1950.

84.Корольков Б. Е. Организация самостоятельной работы учащихся, имеющих ярко выраженный тип темперамента. // Математика в школе. – 1993. – №1.

85. Крутецкий В. А. Психология математических способностей  школь­ников.- М.: Просвещение, 1968. – 427с.

86.Кузнецова Е. В. Элементы творческой деятельности учащихся V-VI классов при решении занимательных задач. // Математика в школе. – 1997. – №5.

87.Кузнецова Л. В. Об организации учебного процесса с учётом обязательных результатов. // Математика в школе. – 1986. – №4.

88.Куприянович В. В. Изучение способностей направляет дифференциацию. // Математика в школе. – 1991. – №5.

89.Купцов И. И., Чистотина Л. И. Воспитание воли. // Начальная школа. -1981.- №3.

90.Лейтес Н. С. Об умственной одарённости. – М., 1960.

91.Леонтьев А. Н. Избранные психологические произведения: В 2-т. Т.2. – М.: Педагогика, 1983.

92. Лернер И. Я. Проблемное обучение. – М., 1974.

93.Лийметс Х. Й. Групповая работа на уроке. – М., Знание, 1975

94.Маркова А. К., Матис Т. А., Орлов А. Б. Формирование мотивации учения. – М.: Просвещение, 1990.

95.Матюхина М. В. Мотивы учения учащихся с разным уровнем успеваемости. В сб. Мотивы учения. Волгоград, 1976.

96. Менчинская Н. А. Краткий обзор состояния проблемы неуспевающих школьников. // В  кн.:  Психологические  проблемы  неуспевающих школьников. – М.: Педагогика,1971. – 196с.

97.Монахов В. М. Перспективы развития новой ИТ обучения на уроках математики. // Математика в школе. – 1991. – №3. – С. 58-62.

98.Морозова Л. В. Из опыта дифференцированного обучения. // Математика в школе. – 1998. – №6. – С.37.

99.Мышкис А. Д. К методике прикладной направленности обучения математике. // Математика в школе. – 1988. – №2.

100. Нагибин Ф. Ф., Канин Е. С. Математическая шкатулка.

101.Наумова Л. М. Теоретические основы отбора варьируемого компонента содержания математического образования в профессиональных училищах: Автореф. дисс. …канд. пед. наук. – Саранск, 1995. – 14 с.

102.Никольская И. Л., Семёнов Е. Е. Учимся рассуждать и доказывать: Кн. для учащихся 6-10 кл. сред. шк. – М.: Просвещение, 1989. – 192 с.

103.Новичкова Т. Ю. Теория и методика использования тестов в обучении математике учащихся общеобразовательных учреждений: Дисс. …канд. пед. наук.- Пенза, 2004.

104. Обучение и развитие. / Под ред. Л. В.Занкова.- М., Просвещение, 1975.

105.Одарённые дети / Пер. с англ. Ред. Бурменская. – М.: Прогресс, 1991

106.Оксман В. М. Компьютер при изучении показательной функции // Математика в школе. – 1988. – №5. – С.12-15.

107.Ольбинский И. Б. Развитие задачи. // Математика в школе. – 1998. – №2.

108.Петрова Е. С. Планирование индивидуальной работы с учащимися мат.№31, 1998 с.27-31

109.Петровский А. В. Вопросы истории и теории психологии. – М., 1984.

110.Пидкасистый П. И. Самостоятельная познавательная деятельность школьников в обучении. – М., 1980.

111.Планирование обязательных результатов обучения математике / Л. О.Денищева, Л. В.Кузнецова, И. А.Лурье и др.; Сост. В. В.Фирсов.-М.: Просвещение, 1989.-237 с.

112.Погорелов А. В. Геометрия: Учеб. для 7-11 кл. сред. шк. – 3-е изд. – М.: Просвещение, 1992.

113.Пойа Д. Как решать задачу. – Львов: квантор, 1991. – 216с.

114.Поплужный В. Н. Эмоции на уроке. // Народное образование. – 1976. – №6.

115.Программы средней общеобразовательной школы. Математика. – М.: Просвещение, 1998.

116.Произволов В. В. Задачи учат думать. // Математика в школе. – 1999. – №2.

117.Психология подростка. Учебник./ Под редакцией члена-корреспондента РАО А. А.Реана. – СПб.: «Прайм – ЕВРОЗНАК», 2003. – 480с.

118.Рабунский Е. С.  Индивидуальный  подход  в  процессе  обучения школьников. – М.: Педагогика, 1975. -213с.

119.Рогановский Н. М. Каким быть дифференцированному учебнику. // Математика в школе. – 1990. – №3.

120.Родионов М. А. Мотивация учения математике и пути её формирования: Монография. – Саранск: МГПИ им. М. Е.Евсевьева, 2001. – 252 с.

121. Ромашко И. В., Винник В. М. Технология работы в разноуровневых группах. // Математика в школе. – 1996. – №4.

122.Рубинштейн С. Л. Основы общей психологии. – М.: Учпедгиз, 1946. – 704с.

123.Руднев П. К вопросу о «Дифференциации общего образования» в средней школе. // Народное образование. – 1963. – №1.

124.Рыбников К. А. к вопросу о дифференциации обучения.// Математика в школе. – 1988. – №5.

125.Саврасова С. М., Ястребинецкий Г. А. Упражнения по планиметрии на готовых чертежах. – М.: Просвещение, 1987.

126.Саранцев Г. И. Методика обучения математике в средней школе: Учебн. Пособие для студентов мат. спец. пед. вузов и ун-тов / Г. И.Саранцев.-М.: Просвещение, 2002.-224 с.

127.Саранцев Г. И. Упражнения в обучении математике.-М.:Просвещение, 1995.-240 с.

128.Саранцев Г. И. Эстетическая мотивация в обучении математике. –ПО РАО, Мордов. пед. ин-т. – Саранск, 2003. -136 с.

129.Саранцев Г. И., Королькова И. Г. Примеры многовариативных самостоятельных работ. // Математика в школе. – 1994. – №4. – С.20-22.

130.Сафонова Л. А. О действиях, составляющих умение решать задачи. // Математика в школе. – 2000. – №8.

131.Сборник задач по геометрии: 7 кл.: К учебнику Л. С. Атанасяна и др. «Геометрия. 7-9 классы» / В. Н.Литвиненко, Г. К.Безрукова, Е. В.Родина, Н. В.Шевелёва; Под ред. В. Н.Литвиненко. – М.: Издательство «Экзамен», 2004. – 95 с.

132.Селиванов В. И. Воля и её воспитание. – М., Знание, 1976.

133.Семёнов Е. Е. Размышления об эвристиках // Математика в школе. – 1995. – №5. – С.39-43.

134.Смирнова И. М. Профильная модель обучения математике. // Математика в школе. – 1997. – №1.- С.32

135.Смирнова И. М. Научно-методические основы преподавания геометрии в условиях профильной дифференциации обучения: Дисс. …докт. пед. наук.- Москва, 1994.

136.Столяр А. А. Роль математики в гуманизации образования // Математика в школе. – 1990. – №6.

137.Страбыкина Л. А. Формирование геометрических понятий в средней школе с использованием компьютера: Дисс. …канд. пед. наук.- Киров, 2002.

138.Талызина Н. Ф. Формирование познавательной деятельности учащихся. – М.: Просвещение, 1988.

139.Теплов Б. М. Изучение основных свойств нервной системы и их значение для психологии индивидуальных различий // Хрестоматия по психологии. – М.: Просвещение, 1999.

140.Теплов Б. М. Психология музыкальных способностей. – Наука, 2003

141.Тимощук М. Е. Как научить доказывать? // Математика в школе. – 2001. – №4. – С. 38-40.

142. Тимощук М. Е. пишет «О дифференцированной помощи учащимся при решении задач». // Математика в школе. – 1993. – №2.

143.Тихомиров В. М. Геометрия в современной математике и математическое образование. // Математика в школе. – 1993. – №4.

144.Тихонов А. Н. Рассказы о прикладной математике. – М.: Наука, 1979

145.Токарева Л. И. К вопросу о выполнении методического анализа школьных математических задач. // Математика в школе. – 1991. – №3.

146.Туманова Е. Н. Кризисная ситуация в жизни подростков из неблагополучных семей: Автореф. дис. …канд. психол. наук.- СПбГУ., 2001.

147. Тучнин Н. П. Как задать вопрос? (О мат. творчестве школьников): Кн. Для учащихся. – М.: Просвещение, 1993. – 192 с.

148.Ульянова И. В. Обучение школьников методам решения геометрических задач в контексте укрупнения дидактических единиц: Дисс. …канд. пед. наук.- Саранск, 2002.

149.Унт И. Э. К проблеме индивидуализации учебного процесса. // Советская педагогика. – 1971 .- №1.

150.Унт Н. Э. Индивидуализация и дифференциация  обучения.  -  М.: Педагогика, 1990. -190с.

151.Утеева Р. А. Дифференцированные формы учебной деятельности учащихся. // Математика в школе. – 1995. – №5.

152.Утеева Р. А. Теоретические основы организации учебной деятельности учащихся при дифференцированном обучении математике в средней школе: Дисс. …докт. пед. наук.- МПГУ, М, 1998.

153.Утеева Р. А. Уровневая дифференциация. // Математика. – 2001.- №34.

154.Фридман Л. М., Турецкий Е. Н. Как научиться решать задачи. – М.: Просвещение, 1989. – 191 с.

155.Фридман Л. М. Учитесь учиться математике: Кн. Для учителя. – М.: Просвещение, 1986.

156.Хазанкин Р. Г. Кружковое занятие по теме «Трапеция» // Учитель Башкирии. – 1990. – №11. – с.45-48.

157.Хазанкин Р. Г. Урок одного замечательного свойства трапеции // Учитель Башкирии. – 1990. – №7. – С.35-39.

158.Хамраев Ч. Приём составления системы подзадач, решаемых общим способом. // Математика в школе. – 1993. – №5.

159.Хамракулов А., Хасанов Б. Нужны ли разноуровневые учебники. // Математика в школе. – 1990. – №2. – С.5.

160.Чичаева И. В. Один из приёмов обучения решению задач. // Математика в школе. – 1988. – №2.

161.Чучуков В. Ф. Система дифференцированных заданий как средство управления процессом обучения (на материале математики в 6-8 классов): Дисс. …канд. пед. наук. – Киев, 1975. – 188с.

162.Чхартишвили Ш. Н. Проблема мотива волевого поведения: Автореф. докт. …пед. наук. – Тбилиси, 1955.

163. Шамова Т. И. Активизация учения школьников. – М., Педагогика, 1982.

164.Шарыгин И. Ф. Геометрия. 7-9 классы. – 2-е изд. – М.: Дрофа, 1998. – 352

165.Шарыгин И. Ф. Информационно-поисковая система по учебным задачам. // Математика в школе. – 1993. – №2.

166.Шаталов В. Ф. Куда и как исчезли тройки. – М.: Педагогика, 1980

167. Шаталов В. Ф. Точка опоры. – М., Педагогика, 1987.

168.Шахмаев Н. Н. Учителю о дифференцированном  обучении:  Методические рекомендации. – М.: АПН  СССР  НИИ  общей  педагогики, 1989. – 64 с.

169.Шестаков Л. Г. Как повысить логическую культуру учащихся гуманитарных классов. // Математика в школе. – 1999. – №5. – с.90-93.

170.Щукина Г. И. Познавательный интерес в учебной деятельности школьников. – М., 1972.

171. Щуркова Н. Е. Педагогическая технология как учебная дисциплина

//Педагогика N2,1993г. стр.66-70.

172.Эрдниев П. М. Методика упражнений по математике. – М.: Просвещение, 1970.

173.Юркина С. Н. О дифференцированном обучении математике. // Математика в школе. – 1990. – №3.

174.Якиманская И. С. Развивающее обучение. – М.: Педагогика, 1979.

175. Bloom B. S. Taxonomy of Educational Objectives. // The Classification of Educational goals. Handbook I: Cognitive Domain. N. Y., 1967.

176.How teachers make a difference. ton. Gov. print. off., 1971. – 166p.

Приложение 1

Слайд «Виды треугольников», созданный в PowerPoint

Программа «Виды треугольников», написанная на языке

программирования Visual Basic

Private Sub CommandButton1_Click()

AB = TextBox1.Text

BC = TextBox2.Text

AC = TextBox3.Text

If Val(TextBox1.Text) + Val(TextBox2.Text) <= Val(TextBox3.Text) Or Val(TextBox2.Text) + Val(TextBox3.Text) <= Val(TextBox1.Text) Or Val(TextBox3.Text) + Val(TextBox1.Text) <= Val(TextBox2.Text) Then

TextBox4.Text = “треугольник не существует”

Else: TextBox4.Text = “треугольник существует”

End If

End Sub

Private Sub CommandButton2_Click()

c = Val(TextBox1.Text)

a = Val(TextBox2.Text)

b = Val(TextBox3.Text)

cosA = (b * b + c * c – a * a) / (2 * b * c)

cosb = (a * a + c * c – b * b) / (2 * a * c)

cosC = (a * a + b * b – c * c) / (2 * a * b)

m = cosA

If m > cosb Then

m = cosb

End If

If m > cosC Then

m = cosC

End If

If m > 0 Then

TextBox5.Text = “треугольник остроугольный”

End If

If m = 0 Then

TextBox5.Text = “треугольник прямоугольный”

End If

If m < 0 Then

TextBox5.Text = “треугольник тупоугольный”

End If

End Sub

Private Sub CommandButton3_Click()

If Val(TextBox1.Text) = Val(TextBox2.Text) And Val(TextBox2.Text) = Val(TextBox3.Text) Then

TextBox6.Text = “треугольник равносторонний”

End If

If (Val(TextBox1.Text) = Val(TextBox2.Text) And Val(TextBox2.Text) <> Val(TextBox3.Text)) Or (Val(TextBox2.Text) = Val(TextBox3.Text) And Val(TextBox2.Text) <> Val(TextBox1.Text)) Or (Val(TextBox3.Text) = Val(TextBox1.Text) And Val(TextBox1.Text) <> Val(TextBox2.Text)) Then

TextBox6.Text = “треугольник равнобедренный”

End If

If Val(TextBox1.Text) <> Val(TextBox2.Text) And Val(TextBox2.Text) <> Val(TextBox3.Text) And Val(TextBox1.Text) <> Val(TextBox3.Text) Then

TextBox6.Text = “треугольник разносторонний”

End If

End Sub

Private Sub CommandButton4_Click()

TextBox1.Text = “”

TextBox2.Text = “”

TextBox3.Text = “”

TextBox4.Text = “”

TextBox5.Text = “”

TextBox6.Text = “”

End Sub

Приложение 2

Тестирование по теме «Площадь треугольника»

Слайд 1

Слайд 2

Программа к слайду №1

Private Sub CommandButton1_Click()

Dim name As String

name = TextBox2.Text

MsgBox “Привет” + ” ” + name + “!” + ” ” + “Предлагаю тебе тестовые задания по теме Площадь треугольника”

End Sub

Private Sub CommandButton2_Click()

MsgBox “1.Перейдите в следующий слайд; “+” “+

“2.К каждому вопросу даны 4 варианта ответов;”

“3.Вам необходимо выбрать один из предложенных ответов, поставив флажок(галочку)в нужное окошко”

End Sub

Программа к слайду №2

Private Sub CommandButton1_Click()

k = 0

If CheckBox2.Value = True Then

k = k + 1

End If

If CheckBox5.Value = True Then

k = k + 1

End If

If CheckBox10.Value = True Then

k = k + 1

End If

If CheckBox15.Value = True Then

k = k + 1

End If

If CheckBox17.Value = True Then

k = k + 1

End If

If CheckBox24.Value = True Then

k = k + 1

End If

TextBox2.Text = Format(k)

End Sub

Прочие материалы детской тематики      Постоянная ссылка | Все категории
Мы в соцсетях:




Архивы pandia.ru
Алфавит: АБВГДЕЗИКЛМНОПРСТУФЦЧШЭ Я

Новости и разделы


Авто
История · Термины
Бытовая техника
Климатическая · Кухонная
Бизнес и финансы
Инвестиции · Недвижимость
Все для дома и дачи
Дача, сад, огород · Интерьер · Кулинария
Дети
Беременность · Прочие материалы
Животные и растения
Компьютеры
Интернет · IP-телефония · Webmasters
Красота и здоровье
Народные рецепты
Новости и события
Общество · Политика · Финансы
Образование и науки
Право · Математика · Экономика
Техника и технологии
Авиация · Военное дело · Металлургия
Производство и промышленность
Cвязь · Машиностроение · Транспорт
Страны мира
Азия · Америка · Африка · Европа
Религия и духовные практики
Секты · Сонники
Словари и справочники
Бизнес · БСЕ · Этимологические · Языковые
Строительство и ремонт
Материалы · Ремонт · Сантехника