Математические модели пневмогидравлических систем – часть 13

Машиностроение      Постоянная ссылка | Все категории

- G0 – Gi.

kRT0 dt

Кроме проточной емкости, аналогичными уравнениями описываются нестационарные процессы в тупиковых емкостях (рис. 2.2, б), в емкости, частично заполненной газом (рис. 2.2, в), в открытом участке трубы со сво­бодной поверхностью (рис. 2.2, г), в устройствах с упругим элементом (рис. 2.2, д-ж). Для тупиковой емкости с однофазной рабочей средой сохраняют силу уравнения (2.1.4) или (2.1.5), если инерцией жидкости и гидравлическим сопротивлением в горловине можно пренебречь. Для

емкости, содержащей в своей полости две фазы — жидкую и газообразную (рис. 2.2, в), пренебрегая инерцией, вязкостью в горловине, не учитывая плескания жидкости, запишем уравнение баланса для жидкой фазы

н dt dt

где Гж — объем, занимаемый жидкой фазой. Учитывая сжимаемость жид­кости Эрж/Эр = а2ж и условие для жестких стенок Уж + VT = const (Vr — объем газа), предполагая процесс в газовом объеме политропным pVЈ = = const, где п — показатель политропы, преобразуем уравнение (2.1.6) к следующей форме:

Яж пР J dt

Для сосуда (трубы) со свободной поверхностью, сообщающейся с внешней средой (рис. 2.2, г), используя уравнение баланса (2.1.3) и зависимость для массы жидкости в сосуде т = Ак^/г, где F – площадь поперечного сечения сосуда, h — высота столба жидкости в нем, найдем

dh

Рж?— = G0-Gi. (2.1.8)

dt

Для последнего типа устройств, описываемых как емкость с упругими элементами, можно выделить варианты схемы – с упругим элементом в тупике (рис. 2.2, ж) и с упругим элементом, сообщающимся с трактами ПГС двумя сторонами (рис. 2.2, дне). Запишем уравнение равновесия для подвижной части упругого элемента, пренебрегая инерцией, трением в жид­кости и в подвижных механических частях, а также сжимаемостью жид­кости: 1

(Po-Pi)F*b=kx+P0, (2.1.9)

где ро, Pi – давление на входе и выходе элемента, Рэф – эффективная площадь упругого элемента, к — суммарная упругость подвижной части (сильфонов, мембран, пружин и т. д.), х — координата положения подвиж­ной части, Р0 — начальная затяжка пружины (при х = 0). В уравнении ба­ланса расходов учтем, что при принятых предположениях расход жидкости на входе в упругий элемент равен расходу на выходе и одновременно равен количеству жидкости, вытесняемой подвижной частью в единицу времени:

dx

G0=Gl=pyKF3<i)—. (2.1.10)

dt

Подставив соотношение (2.1.9) в уравнение (2.1.10), получим

(2ЛЛ1)

к dt где Ар =р0 – Рг.

Если упругий элемент находится в тупике (рис. 2.2, ж) и сообщается одной стороной с внешней средой, то запись уравнения (2.1.11) сохранится, только вместо перепада давления Ар будет просто давление р0, так как дав­ление pl9 равное давлению внешней среды, будет постоянно. Приведенные выше элементы (рис. 2.2), описываемые формулами емкости (2.1.4), (2.1.5), (2.1.7), (2.1.8) и (2.1.11), являются двухполюсниками, так как их характеристика содержит одно уравнение и две переменных — давление (разность давлений 1)) и расход (разность расходов). Тип уравнений один и тот же – связывающий последовательную перемен­ную (расход) с производной по времени от параллельной, что характерно для емкостного элемента. Во всех уравнениях емкости, кроме уравнений (2.1.8) и (2.1.11), под производной стоит абсолютное давление. При изме-


Р и с. 2.3. Полюсный граф для про­точной емкости (а) и эквивалентные цепи для емкостей (б, в) и газового сопла (г)


рении абсолютного давления в емкости необходимо найти разность между давлением в емкости и давлением во внешней среде — в пространстве с абсолютным вакуумом. Соответствующий полюсный граф будет изобра­жаться линией, связывающей точку в системе, где установлена емкость, с точкой, характеризующей состояние внешней среды. Учитывая, что во всех этих случаях (см. рис. 2.2, а-г, ж) в емкость жидкость подводится и отводится, а расходы жидкости на входе и выходе разные, то полюсный граф проточной емкости должен иметь вид, изображенный на рис. 2.3, а. Здесь появляется дополнительный расход Ge, идущий на изменение массы жидкости в емкости при изменении давления. Этот расход идет к полюсу Н, описывающему состояние внешней среды. Эквивалентную цепь для этих устройств можно представить в виде четырехполюсного элемента, включа­ющего емкость (рис. 2.3, б), добавив в качестве второго уравнения усло­вие сохранения в элементе мгновенного значения давления (уравнение им­пульса) ро = р^

Для сосуда со свободной поверхностью получится такая же форма пред­ставления, если вспомнить, что р0 = ржИ + рн, а рн — давление во внешней атмосфере. Несколько отличается случай непроточных упругих элементов (рис. 2.2, д, е), для которых эквивалентная схема (рис. 2.3, в) — просто емкость как двухполюсник, так как измерение параллельной переменной (перепада давления) производится между двумя точками внутри устрой­ства — перед упругим элементом и за ним. Таким образом, использование (хотя бы мысленно) процедуры измерений параметров позволяет устано­вить структуры как графа, так и цепи, эквивалентной рассматриваемой ПГС. Другим идеализированным элементом ПГЦ является инерционность — аналог индуктивности в электротехнике. Как в электротехнике реально не существует устройств, которые обладают индуктивностью без сопротив­ления, так и в устройствах ПГС нельзя выделить элемент, обладающий только инерционностью без сопротивления.

В уравнении (2 1.8) величина ржк также является разностью между давлением на входе в сосуд и давлением над свободной поверхностью.

Однако в ряде случаев инерционные свойства дают в динамике сущест­венно большие эффекты (например, перепад давления), чем потери давле­ния на гидравлическое сопротивление. Рассмотрим столб несжимаемой невязкой жидкости в тракте цилиндрической формы и запишем для него уравнение количества движения du dG

Wo – Pi)F = plF— = /—, (2.1.12)

dt dt

где Po> Pi — давление на входе и выходе тракга, F, I — площадь его попе­речного сечения и длина, и, G — скорость и расход жидкости. Если тракт состоит из п участков разного сечения и длины, то, пренебрегая потерями давления на трение о стенки и в местах изменения сечения тракта, запи­шем п уравнений типа зависимости (2.1.12). Учитывая, что при принятых предположениях давление на выходе из одного участка равно давлению на входе в следующий участок, последовательно исключая величины давле­ний во всех сечениях, кроме крайних, получим


П / /Л dG ■Ро-Рп – 2 — —, / = 1 \ Fj 1 dt

Лр=Ро-Р„= 2 Нг —, (2.1.13)

где lilFj — приведенная инерционность столба жидкости в г-м участке тракта. Для тракта с непрерывным изменением площади проходного сече­ния F(x) при соблюдении перечисленных выше предположений сумма в зависимости (2.1.13) переходит в интеграл по продольной координате х: dG ‘ dx

*р*иг{7й – (2лл4)

Приведенные уравнения инерционности описывают процесс ускорения или замедления жидкости под действием переменного перепада давления. При этом работа сил давления затрачивается на изменение кинетической энергии потока. В уравнение инерционности (2.1.12) входит длина сужаю­щегося участка тракта /, которая применительно к нестационарным про­цессам в местных сопротивлениях не совпадает с геометрической длиной сужения тракта. Это связано с тем, что поток на входе в сопротивление и особенно на выходе из него отрывается от стенок канала. Благодаря такому характеру течения вместе со столбом жидкости в сужающемся участке при колебаниях давления колеблется некоторая масса жидкости вне этого участка. Колебания этой присоединенной массы сказываются на эффективной величине //F, т. е. на инерционности элемента (см. раздел 2.1.4) .

Во всех уравнениях инерционности перепад давления между сечениями на входе и выходе связывается с производной от расхода. Соответственно полюсный граф также связывает эти точки, а в качестве изображения инер­ционности как элемента цепи используем символ, применяемый в электро­технике для индуктивности. Свойства простейших элементов становятся еще более наглядными, если линеаризовать их уравнения. Для емкости линеаризация наиболее общего уравнения (2.1.7) при переходе к безраз­мерным вариациям приводит к следующей зависимости:

руж ржут\й&р dbP

7^7"————— —=re—=5G0-SGb (2.1.15)

Ga^ nG J dt dt

где bp, 5G0, bGx – безразмерные вариации давления, расхода на входе и

выходе емкости, ге — постоянная времени емкости, состоящая из двух слагаемых: ге. ж =рУж1Са2 – емкостной постоянной времени для сжимае – моей жидкости и те. г = рж VTjnG — емкостной постоянной времени для объема газа, частично заполняющего емкость с жидкостью. Для емкости, полностью заполненной жидкостью, те=ге>ж, для емкости пневматичес­кой системы в выражении для те. г необходимо заменить плотность жид­кости Рж на плотность газа pr = p/RT. Соответственно при линеаризации уравнения (2.1.5) постоянная времени при производной от давления будет равна ге. г = pVe/nRTG, где п — показатель политропы процесса (вместо показателя адиабаты в выражении (2.1.5)). Для емкости, описываемой уравнением (2.1.8), постоянная времени reh = pyKFh/Gi где h – высота столба жидкости, а для упругого элемента, характеризуемого зависимостью (2.1.11), ге. у = pF^pyK/kG. В последнем соотношении G — масштабный расход жидкости, во всех предшествующих формулах дляге G—средний расход жидкости. В качестве масштабного значения расхода удобно выби­рать средний расход жидкости через тракт, соединяющийся с другим эле­ментом.

Применительно к инерционному элементу уравнение (2.1.13) после ли­неаризации и перехода к безразмерным вариациям преобразуется к виду

dbG

6Ар = 6ро ~Ърп= ги —— , (2.1.16)

a t

п ( I i \ G

где ги = S I————- ———- инерционная постоянная времени, <5Ар, Sp0i

/= 1 \ Fj 1 р

Ьрп — безразмерные вариации перепада давления, давлений на входе и выходе элемента. Если инерционный элемент описывается уравнением (2.1.14), то форма уравнения элемента (2.1.16) сохранится, постоянная

/

же времени определится формулой ги = (G/p) / dx/F (л:).

о

Таким образом, все многообразные емкостные устройства (после линеа­ризации) описываются одним уравнением (2.1.15), в котором при измене­нии типа устройства или рабочей среды изменяется только формула записи для постоянной времени емкости. Аналогичная ситуация имеет место и для инерционного элемента, описываемого уравнением (2.1.16).

2.1.4. Местное сопротивление. Рассмотренные выше уравнения двух­полюсников были получены двумя путями: с помощью упрощения уравне­ний гидромеханики (§ 1.10) или из общих физических закономерностей (раздел 2.1.3). К сожалению, применительно к проточному или непроточ­ному местному сопротивлению при турбулентном режиме течения оба метода непригодны из-за сложного характера потока — с отрывами тече­ния, обратными токами и т. д. Характеристики местного сопротивления при турбулентном течении описываются эмпирической зависимостью, связывающей перепад давления Ар с расходом G или скоростью и. Для несжимаемой жидкости при турбулентном режиме течения без учета инер­ции для местного сопротивления используют зависимость ри2 G2

&Р = Ро – Pi — = 2 , (2.1.17)

2 2 (vlFYP

где F — площадь проходного сечения, в общем случае регулируемая и за – висящая от положения х регулирующего элемента, £ – коэффициент потерь, ^ – коэффициент расхода. Величины £ и ^ изменяются в зависимости от схемы, геометрических характеристик местного сопротивления, числа Рейнольдса, поля скоростей перед сопротивлением и т. д. [101].

Зависимость коэффициента потерь от числа Рейнольдса носит достаточ­но сложный характер, но для каждого сопротивления можно выделить три области [2, 233] – ламинарного режима течения при Re<ReKp, автомодельного режима при Re > Renp и переходную область ReKp < Re < < Renp. В области ламинарного течения £ обратно пропорционально Re, в автомодельной области — закон сопротивления квадратичный, в пере­ходной области зависимость Ј(Re) может быть достаточно сложной, иногда – нерегулярной. При этом в общем случае £ = Ј(Re,.x), т-е- зави­сит от положения регулирующего органа. Линеаризовав соотношение (2.1.17), найдем для размерных вариаций

Математические модели пневмогидравлических систем – часть 1 1

Математические модели пневмогидравлических систем – часть 2 13

Математические модели пневмогидравлических систем – часть 3 22

Математические модели пневмогидравлических систем – часть 4 46

Математические модели пневмогидравлических систем – часть 5 55

— + н — =0, bt Ъх 63

Математические модели пневмогидравлических систем – часть 6 64

Математические модели пневмогидравлических систем – часть 7 79

Математические модели пневмогидравлических систем – часть 8 95

Математические модели пневмогидравлических систем – часть 9 103

Ч’-т) 107

Математические модели пневмогидравлических систем – часть 10 113

Математические модели пневмогидравлических систем – часть 11 176

(т) 189

Математические модели пневмогидравлических систем – часть 12 194

ж 201

Математические модели пневмогидравлических систем – часть 13 202

Математические модели пневмогидравлических систем – часть 1 217

Математические модели пневмогидравлических систем – часть 1 226

i 233

Математические модели пневмогидравлических систем – часть 1 234

Математические модели пневмогидравлических систем – часть 1 241

Математические модели пневмогидравлических систем – часть 1 249

Математические модели пневмогидравлических систем – часть 1 257

Математические модели пневмогидравлических систем – часть 1 265

Математические модели пневмогидравлических систем – часть 1 272

Математические модели пневмогидравлических систем – часть 1 282

Математические модели пневмогидравлических систем – часть 1 292

Математические модели пневмогидравлических систем – часть 1 300

Математические модели пневмогидравлических систем – часть 1 310

Математические модели пневмогидравлических систем – часть 1 319

Математические модели пневмогидравлических систем – часть 1 326

Математические модели пневмогидравлических систем – часть 1 336

Математические модели пневмогидравлических систем – часть 1 343

Математические модели пневмогидравлических систем – часть 1 351

Математические модели пневмогидравлических систем – часть 1 361

бы(0) J ‘ 362

Математические модели пневмогидравлических систем – часть 1 370

а ^ " 1ГГ°’ (6-2-3) 372

ъьи 377

Математические модели пневмогидравлических систем – часть 1 379

(т) 379

(7) (т) 379

Математические модели пневмогидравлических систем – часть 1 389

Математические модели пневмогидравлических систем – часть 1 397

Математические модели пневмогидравлических систем – часть 1 202

Математические модели пневмогидравлических систем – часть 1 210

ади/а} = LpoUoa28v’/LuoPoOjR = k8v’/RGJ9 211

Математические модели пневмогидравлических систем – часть 1 219

= Ihy/tojV 212

Математические модели пневмогидравлических систем – часть 1 213

Математические модели пневмогидравлических систем – часть 1 220

bz 1 = = Ъи +1, 222

Математические модели пневмогидравлических систем – часть 1 227

Математические модели пневмогидравлических систем – часть 1 234

Математические модели пневмогидравлических систем – часть 1 231

1,0 0,8 235

Математические модели пневмогидравлических систем – часть 1 239

Математические модели пневмогидравлических систем – часть 1 249

радиусу, имеем 254

Математические модели пневмогидравлических систем – часть 1 256

Математические модели пневмогидравлических систем – часть 1 265

Математические модели пневмогидравлических систем – часть 1 273

Математические модели пневмогидравлических систем – часть 1 260

Математические модели пневмогидравлических систем – часть 1 265

Математические модели пневмогидравлических систем – часть 1 271

Математические модели пневмогидравлических систем – часть 1 280

Математические модели пневмогидравлических систем – часть 1 287

Математические модели пневмогидравлических систем – часть 1 295

Математические модели пневмогидравлических систем – часть 1 304

г 1 _.,[ §см(о)1 306

Математические модели пневмогидравлических систем - часть 1 311

© 312

Математические модели пневмогидравлических систем - часть 1 299

Математические модели пневмогидравлических систем - часть 1 308

Математические модели пневмогидравлических систем - часть 1 311

ехр(гУ+ехр(~ 317

ехр(г^)+ехр(-тт^)] 317

7[ехр (ГГм)+ ехр 7~~м~)1 319

Нехр( Г? м ) + ехр(~ ГГм) 320

Математические модели пневмогидравлических систем - часть 1 321

Математические модели пневмогидравлических систем - часть 1 333

Математические модели пневмогидравлических систем - часть 1 344

Математические модели пневмогидравлических систем - часть 1 354

Математические модели пневмогидравлических систем - часть 1 364

щ( 1, t) = (Fi + jFdut +!(О, Г), Pi( 1,0 = Pi +1 (0,0, 370

Математические модели пневмогидравлических систем - часть 1 374

Математические модели пневмогидравлических систем - часть 1 383

Математические модели пневмогидравлических систем - часть 1 360

Математические модели пневмогидравлических систем - часть 1 367

Математические модели пневмогидравлических систем - часть 1 371

или

, / 1 dF 1 ,

8Ар' = 8р'0-8р[ =2-------- 8G,-2Apl----------------- +------------- )8х, (2.1.19)

G \ F dx ix dx J

где 8ро, 8 р[, 8 Ар, 8G вариации давлений перед и за сопротивлением, перепада давления и расхода в местном сопротивлении, 5// — вариа­ции коэффициентов, 8F',8х — вариации площади проходного сечения и положения подвижного дросселирующего устройства. Переходя к без­размерным вариациям, получаем из выражений (2.1.18) и (2.1.19)

Ро ^ Pi {* х dF \

5Др=— 8р0 -—-8Pl =------------------------- 2------------- 6x + 25G, (2.1.20)

Ар Ар \ % dx F dx )

го сопротивления — с достаточно плавным изменением проходного сечения на входе, можно записать для докритического режима истечения [81 ]


1. к+1

Машиностроение      Постоянная ссылка | Все категории
Мы в соцсетях:




Архивы pandia.ru
Алфавит: АБВГДЕЗИКЛМНОПРСТУФЦЧШЭ Я

Новости и разделы


Авто
История · Термины
Бытовая техника
Климатическая · Кухонная
Бизнес и финансы
Инвестиции · Недвижимость
Все для дома и дачи
Дача, сад, огород · Интерьер · Кулинария
Дети
Беременность · Прочие материалы
Животные и растения
Компьютеры
Интернет · IP-телефония · Webmasters
Красота и здоровье
Народные рецепты
Новости и события
Общество · Политика · Финансы
Образование и науки
Право · Математика · Экономика
Техника и технологии
Авиация · Военное дело · Металлургия
Производство и промышленность
Cвязь · Машиностроение · Транспорт
Страны мира
Азия · Америка · Африка · Европа
Религия и духовные практики
Секты · Сонники
Словари и справочники
Бизнес · БСЕ · Этимологические · Языковые
Строительство и ремонт
Материалы · Ремонт · Сантехника