Математические модели пневмогидравлических систем – часть 25

Машиностроение      Постоянная ссылка | Все категории

§ 5.2. Вынужденные колебания жидкости в однородном тракте

5.2.1. Частное периодическое решение волнового уравнения. Вынужден­ные колебания возбуждаются в системе под действием внешнего гармони­ческого возмущения. При этом в системе с распределенными параметра­ми вынуждающие возмущения могут быть приложены или к элементам жидкости более или менее равномерно по длине системы, или только к элементам, расположенным на концах системы. В первом случае система описывается неоднородным дифференциальным уравнением с правой частью, во втором — систему описывают однородные уравнения, члены же, определяющие действие вынуждающего воздействия, входят в граничные условия. Решения для вынужденных колебаний являются частными перио­дическими решениями дифференциального уравнения с заданными гранич­ными условиями. При этом как внешние возмущения, так и параметры системы описываются функциями, изменяющимися во времени по гар­моническому закону.

Применительно к вынужденным колебаниям жидкости в однородном трубопроводе вынужденные колебания создаются за счет возмущений на границе, т. е. за счет byoi и by if в граничных условиях (5.1.9) и (5.1.10). Решение для вынужденных колебаний жидкости, описываемых линейной системой уравнений и линейными граничными условиями, проще всего находится путем задания возмущения и решений в виде экспоненциаль­ных функций

&р(х, со, 7) = Ьр(х, со )ехр (/со 7), bu(x, со, t ) = Ьй(х, со)ехр(/со7),

by0i(to, 7) = <5у0/ (со ) exp (z о; 7 ), (5.2.1)

by if (со, 7) = 5yl7-(o3)exp (/со7) , где bp, ЬП – амплитуды безразмерных вариаций давления, скорости, byoi, – амплитуды возмущающих воздействий на входе и выходе участка тракта (величины комплексные), со = сoL/a – безразмерная частота коле­баний. Уравнения (5.1.14) и (5.1.15) после подстановки частных периоди­ческих решений (5.2.1) принимают вид

(5.2.3)

+ co2bu = 0.

dbU

dx

bp = – olMbu – /соа Jbudx, (5.2.2)

Уравнения (5.2.2) и (5.2.3) определяют распределение амплитуд колеба­ний (вариаций) давления и скорости при вынужденных колебаниях жидко­сти в участке тракта с частотой со. При заданной частоте уравнения имеют постоянные коэффициенты. В теории волн уравнения типа (5.2.3), опре­деляющие развитие волновых процессов с заданной частотой в простран­стве, называют уравнениями Голъмголъца. По структуре они похожи на уравнения гармонического осциллятора, только для осциллятора в урав­нения вместо производной по координате входит производная по времени, и соответственно такое уравнение описывает развитие колебаний осцил­лятора во времени.

Решения обыкновенного дифференциального уравнения (5.2.3) и ана­логичного уравнения Гельмгольца для амплитуды вариации давления Ър имеют форму

Ър = А ехр (q^x) ехр (q2x) , (5.2.4)

Ъй = С ехр (qix) + D ехр (q2x) , (5.2.5)

где q 1 и q2 — корни характеристического уравнения. Корни для решений (5.2.4) и (5.2.5) одинаковы, так как дифференциальное уравнение для Ър совпадает с уравнением для Ъй и соответственно совпадают их характе­ристические уравнения

(1 – М2)q2 – 2Miooq + со2 =0. (5.2.6)

Решение характеристического уравнения (5.2.6) определяет его корни Q1 и q2:

1

q, 2 =——– [15]—- [/cJM ± vQvi2co2 - (1 - М2)сУ2 ]

1 – IVr

IOJ


(5.2.7)

- M

ito


Исходное уравнение (5.2.3) — второго порядка, и соответственно его решение должно содержать две произвольные постоянные. В решения (5.2.4) и (5.2.5) входят четыре произвольные постоянные, разные для Ър и 5/7, хотя корни характеристических уравнений для них совпадают. Подставив в линеаризованное уравнение неразрывности (5.1.5) решения (5.2.4) и (5.2.5) с учетом соотношений доя амплитуд вариаций (5.2.1), можно найти связь между константами в решения* (5.2.4), (5.2.5), вспом­нив при этом, чго решение должно быть верным при любом х, а ехр (с/Г) Ф 0 при конечном значении х. Приравняв коэффициенты при одинаковых степенях в экспонентах, получаем

а = – olq

Б = a D. {5’2Я)

Подставив решения (5.2.4) и (5.2.5) ь ». уч ‘ов^п 1.4; и 144


.1.10), учтя соотношения между коэффициентами (5.2.8), находим


Ьр(х, со)

( icdx \ / /сох (а + Vo)exp( – —— – (а – ^о)ехр -

N

\ 1 + М / \ 1 – М


(5.2.9)

X

1-М 1 + М

(а + ф0) ехр

= —I

/сох /со

X 2 71 / 5 v 1 j

1 = 1

- (а – ф\) ехр

(а + ф!) ехр I ————— + ———–

* 1 + М 1 – М

/со

/СОХ


г / /СО X /со \

2

/ = 1

- (a + ^i)expl – —————– — + ——-

\ 1 + М 1-М /


/со \ + М /.

1

£ 7о/5У0/(, i=i )

/со X

+ (а – Уо) ехР(

(5.2.10)

1-М 1


где


i со

1 +М

/со

.V = (а + i//0)(a – ) ехр ^

(5.2.11)

1-М

- (а – ф0)(а + ф{) ехр|^ -


Соотношения (5.2.9) и (5.2.10) определяют распределение амплитуд безразмерных отклонений давления и скорости вдоль оси тракта в за­висимости от граничных импедансов ф0 и фг на концах участка тракта, приведенного волнового сопротивления ос и числа Маха М для жидкости в тракте, безразмерной частоты вынужденных колебаний со и коэффициентов усиления 7о/ и угу.

Так как и исходные уравнения (5.1.4) и (5.1.5), и использованные граничные условия (5.1,9) и (5.1.10) были линейными, то решения (5.2.9) и (5.2.10) представляют суперпозицию по крайней мере (если не учитывать сумму возмущающих воздействий с каждой стороны) двух решений – реакции на возмущение со стороны входа 701^701 и на воз­мущение со стороны выхода уцдуц.

Решения (5.2.9) и (5.2.10) пригодны как для случая вынужденных колебаний в потоке слабосжимаемой капельной жидкости (для которо­го М ^ 0) , так и для колебаний в адиабатическом потоке газа при любой дозвуковой скорости и отсутствии возмущений температуры газа на входе н участок тракта. Таким образом, решения (5.2.9) и (5.2.10) носят доста­точно общий характер и пригодны для использования в широком круге задач. Однако общность решения определила и его громоздкость, что затрудняет анализ особенностей протекания волновых процессов в участ – ^ гидравлического тракта. Для анализа этих особенностей рассмотрим ц тл:тнь..ч задач.

5 2.2. Бегущие больы, Волновое сопротивление. Рассмотрим течение ~<:-\>’Ли ti полубескоиечной ipyoe, на входе в которую возбуждаются

■ – !• > (HKMdH 145

гармонические колебания давления: х = 0, 5р = 8ро ехр (/со J) .

Подставив соотношения (5.2.7) для корней и q2 и зависимости (5.2.8) в решения (5.2.4), (5.2.5), получим


(5.2.12)

(

/со х \ / /сох \

____________ 1 Г / /сох \ / /сох W

Ьи(х, со) =——— А ехр I————- I – В ехр——————– 1 .

а[ \ 1 - М 1 V 1 + М /]


Естественным является предположение, что прих"->00 амплитуды 5р(х, со) и Ьй(х, со) останутся ограниченными, соответственно в решении (5.2.12) необходимо принять А = 0. Воспользовавшись заданным граничным ус­ловием на входе х = 0, находим


/ – СО X \

(5.2.13)

5р(х, со) = bp ехр (/со t) = bp0 exp/^co t – ^ j,

1 /__ сох \

Математические модели пневмогидравлических систем – часть 1 1

Математические модели пневмогидравлических систем – часть 2 13

Математические модели пневмогидравлических систем – часть 3 22

Математические модели пневмогидравлических систем – часть 4 46

Математические модели пневмогидравлических систем – часть 5 55

— + н — =0, bt Ъх- 63

Математические модели пневмогидравлических систем – часть 6 64

Математические модели пневмогидравлических систем – часть 7 79

Математические модели пневмогидравлических систем – часть 8 95

Математические модели пневмогидравлических систем – часть 9 103

Ч’-т) 107

Математические модели пневмогидравлических систем – часть 10 113

Математические модели пневмогидравлических систем – часть 11 176

(т) 189

Математические модели пневмогидравлических систем – часть 12 194

ж – 201

Математические модели пневмогидравлических систем – часть 13 202

Математические модели пневмогидравлических систем – часть 14 217

Математические модели пневмогидравлических систем – часть 15 228

i 242

Математические модели пневмогидравлических систем – часть 16 243

Математические модели пневмогидравлических систем – часть 17 250

Математические модели пневмогидравлических систем – часть 18 258

Математические модели пневмогидравлических систем – часть 19 279

Математические модели пневмогидравлических систем – часть 20 287

Математические модели пневмогидравлических систем – часть 21 294

Математические модели пневмогидравлических систем – часть 22 304

Математические модели пневмогидравлических систем – часть 23 314

Математические модели пневмогидравлических систем – часть 24 322

Математические модели пневмогидравлических систем – часть 25 339

Математические модели пневмогидравлических систем – часть 1 351

Математические модели пневмогидравлических систем – часть 1 358

Математические модели пневмогидравлических систем – часть 1 368

Математические модели пневмогидравлических систем – часть 1 375

Математические модели пневмогидравлических систем – часть 1 383

Математические модели пневмогидравлических систем – часть 1 393

бы(0) J ‘ 394

Математические модели пневмогидравлических систем – часть 1 402

а ^ " 1ГГ°’ (6-2-3) 404

ъьи – 409

Математические модели пневмогидравлических систем – часть 1 411

(т) 411

(7) (т) 411

Математические модели пневмогидравлических систем – часть 1 421

Математические модели пневмогидравлических систем – часть 1 429

Математические модели пневмогидравлических систем – часть 1 202

Математические модели пневмогидравлических систем – часть 1 210

ади/а} = LpoUoa28v’/LuoPoOjR = k8v’/RGJ9 211

Математические модели пневмогидравлических систем – часть 1 219

= Ihy/tojV – 212

Математические модели пневмогидравлических систем – часть 1 213

Математические модели пневмогидравлических систем – часть 1 220

bz 1 = = Ъи +1, 222

Математические модели пневмогидравлических систем – часть 1 227

Математические модели пневмогидравлических систем – часть 1 234

Математические модели пневмогидравлических систем – часть 1 231

1,0 0,8- 235

Математические модели пневмогидравлических систем – часть 1 239

Математические модели пневмогидравлических систем – часть 1 249

радиусу, имеем – 254

Математические модели пневмогидравлических систем – часть 1 256

Математические модели пневмогидравлических систем – часть 1 265

Математические модели пневмогидравлических систем – часть 1 273

Математические модели пневмогидравлических систем – часть 1 260

Математические модели пневмогидравлических систем – часть 1 265

Математические модели пневмогидравлических систем – часть 1 271

Математические модели пневмогидравлических систем – часть 1 280

Математические модели пневмогидравлических систем – часть 1 287

Математические модели пневмогидравлических систем – часть 1 295

Математические модели пневмогидравлических систем – часть 1 304

г 1 _.,[ §см(о)1- 306

Математические модели пневмогидравлических систем - часть 1 311

©-- 312

Математические модели пневмогидравлических систем - часть 1 299

Математические модели пневмогидравлических систем - часть 1 308

Математические модели пневмогидравлических систем - часть 1 311

ехр(гУ+ехр(~- 317

ехр(г^)+ехр(-тт^)] 317

7[ехр (ГГм)+ ехр 7~~м~)1- 319

Нехр( Г? м ) + ехр(~ ГГм) 320

Математические модели пневмогидравлических систем – часть 1 321

Математические модели пневмогидравлических систем – часть 1 333

Математические модели пневмогидравлических систем – часть 1 344

Математические модели пневмогидравлических систем – часть 1 354

Математические модели пневмогидравлических систем – часть 1 364

щ( 1, t) = (Fi + jFdut +!(О, Г), Pi( 1,0 = Pi +1 (0,0, 370

Математические модели пневмогидравлических систем – часть 1 374

Математические модели пневмогидравлических систем – часть 1 383

Математические модели пневмогидравлических систем – часть 1 360

Математические модели пневмогидравлических систем – часть 1 367

Математические модели пневмогидравлических систем – часть 1 371

V 1+М/ \ 1-м/

Решения уравнений (5.2.19) – (5.2.20) отличаются по виду от реше­ний (5.2.4) и (5.2.5) исходных уравнений (5.1.4) и (5.1.5), так как они содержат только по одному члену с экспонентой и произвольной постоян­ной. Для каждой из переменных bv и bw, характеризующих акустический импульс, решение описывает движение бегущих волн только в одном направлении, для отклонения bv – в положительном направлении х; для bw – в отрицательном. В некоторых случаях простота решений уравне­ний (5.2.19) -(5.2.20) дает определенные преимущества.

Машиностроение      Постоянная ссылка | Все категории
Мы в соцсетях:




Архивы pandia.ru
Алфавит: АБВГДЕЗИКЛМНОПРСТУФЦЧШЭ Я

Новости и разделы


Авто
История · Термины
Бытовая техника
Климатическая · Кухонная
Бизнес и финансы
Инвестиции · Недвижимость
Все для дома и дачи
Дача, сад, огород · Интерьер · Кулинария
Дети
Беременность · Прочие материалы
Животные и растения
Компьютеры
Интернет · IP-телефония · Webmasters
Красота и здоровье
Народные рецепты
Новости и события
Общество · Политика · Финансы
Образование и науки
Право · Математика · Экономика
Техника и технологии
Авиация · Военное дело · Металлургия
Производство и промышленность
Cвязь · Машиностроение · Транспорт
Страны мира
Азия · Америка · Африка · Европа
Религия и духовные практики
Секты · Сонники
Словари и справочники
Бизнес · БСЕ · Этимологические · Языковые
Строительство и ремонт
Материалы · Ремонт · Сантехника