Математические модели пневмогидравлических систем – часть 28

Машиностроение      Постоянная ссылка | Все категории

01

(т^Мт

-iVlsJ

1-м2/ V

_ 11 + —— III-

expl

(5.3.7)

- М’

2сок

(5.3.8)

1 – М2

Ь

В общем случае сомножитель ехр (2^/(1 — М2) ] Ф 0, поэтому решением уравнения (5.3.8) является ряд частот сок = (1 – М2) ктт/2. Однако не для всех значений к сок удовлетворяют уравнению (5.3.7). Так как экспонен­циальная функция положительна, для удовлетворения уравнения (5.3.7) должны совпадать знаки косинуса и правой части. Знак косинуса положи­телен при значениях сок, соответствующих четным к, и отрицателен при нечетных к. Поэтому зависимость для собственных частот тракта, как неконсервативной системы, оказывается неоднозначной:

Фо


к = 0,2,4,

[------------------------- —>0,


сokL

(5.3.9)

сок = •

- (1 — М2 )к


<0.

, если

*= 1,3,5,


При собственных частотах сЗк модуль сомножителя I cos [2со^/(1 —М2)] Вспомнив, что знаки cos[2co/c/(l — М2)] и правой части (5.3.7) всегда совпадают, и учтя, что экспоненциальный член положителен, найдем зави­симость для коэффициента демпфирования [17]) :

Фо ‘

1 + •

1 = 1.

1 – М2

In

v -

(5.3.10)

При (1 + фо/а) (1 – Ф\!<у) =0 уравнения (5.3.7) и (5.3.8) не имеют общего решения, а это значит, что участок тракта не имеет собственной частоты.

11 ,(»(.ж, icHHc числителя правой части равенства (5.3.7) через нуль onpc, ic. ляет I раницу, на которой изменяется собственная частота тракта. PaneL было показано, что согласно формулам (5.3.1) и (5.3.2) для участка трактСд без протока жидкости в зависимости от сочетания граничных условии симметричные ли они (оба конца открытые или оба – закрытые) или несимметричные (один закрыт, другой открыт) — собственная частота изменяется скачком от значений й)к=ктт к величине = (2к — 1)тг 2, где к = 1, 2,. . .

Аналогичная картин? имеет место и для участка тракта с протоком б случае чисто активных сопротивлений на его концах. Действительно, из соотношений (5.3.9) следует, что сЗк = (1 – М[18]) ктт {к – 1,2,…) при од. новременном выполнении симметричных условий ф0/’а< — 1, а ф1/<х>\ или 0о/а>-1, а ф\!&< 1. Эти условия можно сформулировать так: или оба импеданса больше (по модулю) волнового сопротивления тракта или оба меньше волнового сопротивления. Случай, когда граничный импеданс больше волнового сопротивления тракта, можно назвать (по аналогии с участком тракта без протока) граничным условием с закрытым в акусти­ческом смысле концом, а противоположный случай — с открытым в акус­тическом смысле концом.

% а

_ 4

— J

11 ,! :

Lili

~Т -1

1L а

При ф( = 0 для тракта с протоком получаем условия = О на i-м кон­це, совпадающие с условием, принятым в акустике для открытого конца. Однако и в акустике [191, 197] делаются оговорки, что это условие яв­ляется приближенным, пригодным только для относительно невысоких частот. При более высоких частотах на открытом конце трубы появляется сопротивление, имеющее активную (т. е. вещественную) и реактивную составляющие. Сопротивление на открытом конце связано с потерями энергии на акустическое излучение колеблющейся жидкости на конце трак­та (активная часть) и влиянием присоединенной массы жидкости (реактивная часть), которая вовлекается в колебания во внешнем пространстве. Приме­нительно к тракгу с протоком обе составляющие сопротивления дол­жны в принципе присутствовать (см. гл. 2). Для несимметричных гранич­ных условий из зависимости (5.3.9) следует, что если Фо/а < —1 а фх/’а< 1 или ф0/а> – - 1, а ф1/а> 1, то собственные частоты совпадают с частотами, определяемыми форму­лой (5.3.2): со* = (1 — М2)(2А: — 1)тг/2, где к = 1, 2, 3, . . .


-4

| ш-кп, /г=/,2Д,…

~:cn = f2k-f)j, k = !,2,3,.

Рис. 5.3. Области различных значений собственных частот участка тракта в зависимости от приведенных граничных импедансов ^ 0/а и О 1 /а


г Ф 0 или \pi Ф собственные частоты сохраняют практически такие значения, как и в случае без протока. Изменение собственных частот при изменении значений ф^а можно изобразить графически виде областей с разными собственными частотами в плоскости параметров фо/а и ф Jot (рис. 5.3). Приведенные выше неравенства и иллюстрирующее их разбиение областей на рис. 5.3 показывают, что для тракта с протоком жидкости и чисто активными граничными импедансами собственная частота остается неизменной при изменении в широких пределах отношения граничных импедансов к волновому

сопротивлению.

*Ре


5G,

-бр

Ц_ 60н

LIP’^h


а б

Ри с. 5.4. Схема эквивалентная ПГЦ (а) и (б) для модели граничных условий участ­ка тракта

5.3.3. Собственные частоты участка тракта при комплексном граничном импедансе. Рассмотренные выше чисто активные граничные импедансы являются определенной идеализацией действительного процесса при неста­ционарном течении на границе участка. Как уже отмечалось в разделе 5.3.2, в акустике при рассмотрении процесса распространения волн в тракте без протока обнаруживается, что условия открытого конца из-за влияния присоединенной массы жидкости и акустического излучения во внешнее пространство не выполняются [105, 191]. При протоке жид­кости через тракт влияние присоединенной массы жидкости должно сказы­ваться как при истечении (или втекании) с открытого конца, так и для случая течения через местное сопротивление. Применительно к местным сопротивлениям с протоком жидкости (типа дроссельной диафрагмы) это было показано в гл. 2. Другое возможное уточнение граничных условий — учет сжимаемости среды в устройствах на границе участка тракта.

161

11. Б. Ф. Гликман

Примером подобных устройств могут служить емкости, заполненные жидкостью, уравнительные башни, воздушные колпаки [234], наконец – зона местной кавитации на входе в центробежный насос [182]. Учет инер­ционности или емкости на выходе из тракта приводит к изменению формы записи граничного импеданса — он станосится величиной комплексной, зависящей от частоты. Составим уравнение граничного импеданса для дос­таточно общего случая (рис. 5.4,а), учтя инерцию жидкости и потери дав­ления в местном сопротивлении на выходе, а также податливость в виде упругого элемента, описываемого уравнением резонатора Гельмгольца (без учета сопротивления его горловины). На рис. 5.4,6 представлена схема эквивалентной ПГЦ. Используя полученные в гл. 2 зависимости для эле­ментов с сосредоточенными параметрами и обозначения, приведенные

(5.3.11 (5.3.12;

(5.3.13)

на рис. 5.4,я, запишем для резонатора Гельмгольца

bp! – iu>TH. rЈ>Gei

icorebpe = 5 G е, для сопротивления на выходе с учетом инерции:

Pi г-

——————- — =l 2+/соги1 ———————- 5GH,

Api Арх \ Арх J

баланс расходов у горловины резонатора:

ЬСХ = bGe +5GH, (5.3.14)

где 8pi, bpe, bp н — амплитуды безразмерных вариаций давления перед местным сопротивлением, в емкости резонатора, во внешней (для рассмат­риваемого участка) среде за сопротивлением, bGx, bGe, bGH — амплитуды безразмерных вариаций расхода на выходе из участка тракта, на входе в резонатор и через сопротивление на выходе (все отнесены к среднему расходу через тракт), рх, рн – давление перед сопротивлением и за ним, Api =Pi – рН) Ти. г = lTGilFlPl9rKl =liGlIFiPi, Te=PiVjGlal, lT9ll – длина горловины резонатора и проточной части сопротивления с учетом присоединенной массы жидкости (см. гл. 2) к горловине резонатора и мест­ному сопротивлению, Ve — объем полости резонатора, ае — эффективная скорость звука в среде, заполняющей резонатор с учетом податливости его стенок и возможного наличия другой фазы.

Исключив часть переменных из соотношений (5.3.11) — (5.3.14), выделив в полученной зависимости вещественную и мнимую части, найдем соотно­шение для импеданса на выходе из участка тракта:

hx _ _ i __ = —(1 – со ги. гге)2 + — {согиЛ [1 - со2 (ги. г + Di Di

+ тиЛ)ге] (1 т„.г Ге)-Л? оЗге(1 – W2 Ги<гге)} , (5.3.15)

где Di = [1 - со 2 (ги. г + FиЛ) Fe]2 со fe)2, со = сoL/a, ги. г = ти. га/Ь.

ги1 = 7и1 ajL, f е = те a/L, = 2 A Pi/Pi, L,a – длина и скорость звука для

участка тракта. Введение нормировки постоянных времени к характерно­му для акустики времени пробега волной длины участка тракта L/a позво­ляет сделать более наглядными результаты расчета собственных частот. Действительно, как следует из самой формы записи соотношения для импеданса (5.3.15), именно относительные, нормированные постоянные времени элементов с сосредоточенными параметрами определяют их вклад в отдельные составляющие граничного импеданса. При этом не следует за­бывать, что акустические эффекты начинают ощутимо сказываться только с со ~ 1.

Если статический перепад давления на выходе отсутствует, т. е. hi = О, то активная составляющая граничного импеданса в (5.3.15) исчезает, а в реактивной составляющей остается только член с множителем соги1.Если емкостью в конце тракта можно пренебречь, т. е. т~е ^ 0, то соотношение (5.3.15) существенно упрощается:

Ф1 =h 1 + /£3т~и1. (5.3.16) г1ля определения собственной частоты тракта при комплексном значении ^наличного импеданса необходимо использовать соотношение (5.3.5), определив вначале вещественную и мнимую составляющие правой части формулы (5.3.3). Для упрощения выкладок примем, что граничный импе­данс на входе в участок тракта (.х = 0) активный, т. е. выражение для него чисто вещественное. Для импеданса на выходе (л: = 1) запишем:

ф 1 01В у , .т

ZL =——————— = 0Ib+’0im,

а а

где 0iв» 01м – вещественная и мнимая составляющие импеданса, 01в =

= 01м = 01м/а и аналогично для импеданса на входе 0О = 0о/а. Учтя

принятые обозначения, преобразуем правую часть соотношения (5.3.3):

(1 + 0о/а)(1 – Фг/а) (1 + 0о)(1 – ФiB ~ *Ф 1м) _

(I – Фо! а) (1 + 01/а) (1 – Фо) (1 + 01в +’01м)

(1 +0о)(1 -01В-01м) . (1 +0o)(-20im)

+1

(1 – Фо) [(1 + 01в)2 + 0 1м] (1 – 0о) [(1 + 01в)2 + 0 1м] = Re (со ) + / Im (со) . (5.3.17)

Найдя вещественную Re (со) и мнимую Im(co) части, подставив их в урав­нение (5.3.5), получим равенство, определяющее собственную частоту участка тракта при принятых условиях:

1е(т~мг’)*~1 р’-р • <"18>

\ 1 – М2 / 1 – 01В – 01М

Определив ряд собственных частот сдк по формуле (5.3.18), необходимо проверить, удовлетворяет ли каждое полученное значение со*. двум исход­ным формулам (5.3.4). При этом следует учитывать, что всегда ехр [2^/(1 — М2)] >0, использовать значения Re (со) и Jm(co) из соот­ношения (5.3.17), а удовлетворение равенств проверять только по знаку.

В формулу (5.3.18) не входят значения граничного импеданса на входе 0О. Однако "отсеивание", с помощью соотношений (5.3.4) значений собст­венных частот из всего набора частот со^, удовлетворяющих равенству (5.3.18), обеспечивает учет влияния импеданса на входе (т. е. условия

I 0о I > 1 или | 0о I < 1) на собственную частоту тракта. Если для импедан­са на выходе можно пренебречь активной составляющей, т. е. принять 01 в = 0, то используя формулы тригонометрии для тангенса двойного угла, находим


tg

Машиностроение      Постоянная ссылка | Все категории
Мы в соцсетях:




Архивы pandia.ru
Алфавит: АБВГДЕЗИКЛМНОПРСТУФЦЧШЭ Я

Новости и разделы


Авто
История · Термины
Бытовая техника
Климатическая · Кухонная
Бизнес и финансы
Инвестиции · Недвижимость
Все для дома и дачи
Дача, сад, огород · Интерьер · Кулинария
Дети
Беременность · Прочие материалы
Животные и растения
Компьютеры
Интернет · IP-телефония · Webmasters
Красота и здоровье
Народные рецепты
Новости и события
Общество · Политика · Финансы
Образование и науки
Право · Математика · Экономика
Техника и технологии
Авиация · Военное дело · Металлургия
Производство и промышленность
Cвязь · Машиностроение · Транспорт
Страны мира
Азия · Америка · Африка · Европа
Религия и духовные практики
Секты · Сонники
Словари и справочники
Бизнес · БСЕ · Этимологические · Языковые
Строительство и ремонт
Материалы · Ремонт · Сантехника