Математические модели пневмогидравлических систем – часть 29

Машиностроение      Постоянная ссылка | Все категории

(т^Н-Ч-г^Н – (5-зл9)

Полученные из решения уравнений (5.3.19) значения сдк проверяются на удовлетворение (по знаку) формулам (5.3.4), результаты же такого со­поставления позволяют определить, какую из двух формул (5.3.19) нужно использовать для определения сок в данном конкретном случае.

Рассмотрим гидравлический тракт с простейшими граничными условия­ми на выходе — чисто реактивным импедансом. Как уже отмечалось, такой 11* 163

вариант имеет место, если в формуле (5.3.15) принять/?! =те=тиг = 0, т. е. пренебречь потерями давления на выходе и не учитывать сжимаемость жид­кости. В этом случае 01в = О, 01м = соти1, а выбор одного из уравнений (5.3.19) определяется величиной \Фо\. Примем для упрощения, что М < 1. Уравнение tgco^ = — сдк ги1/а может иметь первый корень в диапазоне час­тот 7г/2 < сок < 7г, уравнение ctg сок = сдк ти1/а – в диапазоне частот 0 < 7г/2. Полученные же из соотношений (5.3.4) с учетом зависимости (5.3.17) условия имеют следующий вид:

(1 -021м)(1 + 0О)

ехр (2vk) cos (2cOfc):

(1+0?м)(1-0о) -2 01м(1 + 0О)

ехр (2vk) sin (2и>к) =

0+0 1м) 0 – 0о) ‘ Если 1I < 1, то второе условие удовлетворяется при 7г/2 <сод- <7г, а если 10о I > 1, то при 0 < сдк < 7г/2. Для первого условия появляется дополни­тельная точка изменения знака при значении ф 1м = оокти1/а = 1. Если I 0 о I < 1, то для 0 1 м < 1 это условие удовлетворяется при 0 < сок < тт/4 и 37г/4 < оЗд. < 7г, а для ф\м > 1 – при 7г/4 <сок <37г/4. В случае 10ОI > 1

соответственно для ф\м < 1 – при я/4 <37г/4, а для ф\м > 1 – при О < со*- <7г/4 или 3 7г/4 < оЗ/с < 7г. Если сопоставить в се неравенства для слу­чая |0О1 < 1, то обнаружится, что второму условию (5.3.4) удовлетворяет область тг/2 <йк<тт, определяемая первым уравнением (5.3.19). Первое

условие (5.3.4) при ф\м < 1 ограничивает область возможных значений

частоты диапазоном 37г/4 <одк <тг, а при 0\м > 1 оказывается допустимой другая половина из выбранного диапазона 3 7г/4 < со^ < тт. Таким образом,

варьирование величиной ф\м не изменяет общего диапазона собственных

частот, только удовлетворение неравенства ф\м < 1 или ф2М > 1 разбива­ет полученный из других условий диапазон значений собственных частот на два поддиапазона. Появление двух поддиапазонов частот не является принципиальным и связано с тем, что собственные частоты находятся из уравнений (5.3.19) для частоты соку а условия выбора того или иного из двух уравнений определяются зависимостями (5.3.4) для двойных значе­ний частоты 2сдк.

Если граничные условия на входе изменяются так, что окажется \ Фо\>1, то аналогичные рассуждения приводят к другому диапазону возможных значений первой собственной частоты: 0 < сдк < тт/2, а величину сок будет определять второе из уравнений (5.3.19). Значения собственных частот, определяемых уравнениями (5.3.19), можно найти путем графического решения этих уравнений. На рис. 5.5 приведены два примера графического решения уравнений для случая инерционного импеданса на выходе, для

которого 01м = со fHl jot. Собственная частота находится из формул (5.3.19) по пересечению кривых тангенсоид 3 (|0О1 < 1 — нижняя часть рис. 5.5) или котангенсоид 1 (|0О1 > 1 — верхняя часть рис. 5.5) с прямыми линия – 164

I /

1 /

г

1ЙИ

г

X

и

____

fw/a=0,\

г \

i

г

tJa-Qf

1

\

«

Рис. 5.5. Графическое определение собственных частот участка тракта с инерцион­ностью на выходе: у = ctg[d>/(l - М2)] (7); у = + йти1/а = Ф1м (2); у -

= tg[cJ/(l - М2)] (J).

4

W

r

/

v^H’

I / \V/

Г

Te~W -

Шр

2/

7 ^^

PN

J———

ш

i4^ "V. ^ Na

3?

^ и с. 5.6. Графическое определение собственных частот участка тракта с емкостьк выходе: у = tg[w/(l - М2)] (1); у = ± \/а zole (2) ; у = (1 – й2ти г)/аы7е (3); у =

= ctg[w/(l - М2)] (4)


ми 7 для 01м- Разный наклон прямых 2 соответствует различным значе ниям безразмерного параметра ти1/а. При изменении постоянной времен^ для инерционности на выходе ти { значения собственных частот колебание также изменяются, при этом, если ти1/а О, то собственные частоты стре мятся к частоте свободных колебаний участка тракта с акустически от.

крытым концом на выходе (сЗк ^ ктт при | 0О I < 1 и сок = (2к — 1) тт/2 при

I 0о I > 1 — см. рис. 5.3). Если же ти {/а > 1, то, наоборот, граничные условия приближаются к условиям акустически закрытого конца, для которого

со/с ^ (2 к — 1) 7г/2 при | 0о I < 1 и сок ^пк при | 0О I > 1.

Таким образом, инерционность на выходе из тракта понижает частоту собственных колебаний по сравнению с собственной частотой тракта (при

том же |0о I) без инерционности для акустически открытого конца. Комп­лекс соги1/а, определяющий вклад инерционности на выходе, можно пред­ставить следующим образом:

(Ш&учжу^

где FT — площадь проходного сечения тракта, ги>х = LGi/FTpi — инерцион­ная постоянная времени массы жидкости в тракте. Это же соотношение можно представить по-другому, если использовать величины массы жид­кости в тракте mT = pFTL и в местном сопротивлении mx = pFxlx: со и1 =

Ти. т

_ тг ( FT\ 2

= со—— (—— 1 , т. е. влияние инерционности определяется или соотношени­ях \ Fx )

ем между ее постоянной времени и инерционной постоянной времени тракта, или отношением масс жидкости в инерционности и в тракте.

Другой простейший случай граничного условия — большое активное сопротивление на выходе, т. е. hx -> Примером устройства с подобным сопротивлением может служить высоконапорный насос, тупиковая импульсная трубка с измерительным прибором или чувствительным эле­ментом регулятора на конце и т. п. Предельный переход при hx в соот­ношении (5.3.15) приводит к формуле фх = – i (1 – со2 ги. г ге)/соге. Если пренебречь инерцией в горловине резонатора fH<r ^ 0, то соотношение для импеданса еще больше упростится: = —ij(Jofe и, соответственно,

чш-i^ih

где re. T = VTpx\Gxa2, VT = LFT – объем участка тракта. Таким образом, влияние эффектов, связанных с присутствием емкости в конце тракта при закрытом (в акустическом смысле) его конце, определяется отноше­нием податливости (или емкостной постоянной времени) емкости к подат­ливости (или емкостной постоянной времени) жидкости в участке тракта.

Величину собственной частоты и в этом случае можно определить графи­ческим путем по формулам (5.3.19), находя пересечение кривой ф 1м с кривой tg (или ctg). Принцип выбора нужной функции из двух соотноше­ний (5,3.19) с учетом необходимости удовлетворения по знаку формулам ^ 3 4) описан раньше. На рис. 5.6 приведены кривые для tg [со/ (1 — М2) ]

при iv^o I < 1 и ctg [со/ (1 - М2)] при \ ф0\> 1. Здесь же приведены кри­вые для разных значений l/afe = ге>т/ге при ги>г = 0, а также кривые для более сложного случая, когда ги>г Ф 0. Из анализа расположения точек пересечения кривых, определяющих значения собственных частот в различ­ных условиях, следует, что присутствие емкости в конце тракта в случае акустически закрытого конца тракта (hx 00) приводит к снижению собственных частот по сравнению со случаем ге = 0. Если в конце тракта имеется резонатор Гельмгольца (т. е. те Ф 0 и ги. г Ф 0), то на собственной

частоте колебаний резонатора сор = 1/ \/те fH>r’ кривая ф (со) пересекает ось со и, соответственно, еще более существенно изменяется соотношение между значениями собственных частот тракта с резонатором и без резона­тора. Как и в случае простой емкости, резонатор понижает собственную частоту тракта. При со = сор фх = 0, т. е. на резонансной частоте резонатор формирует условия акустически открытого конца. При анализе приведен­ных на рис. 5.5 и 5.6 точек пересечения кривых и соответствующих собст­венных частот тракта обращает на себя внимание то обстоятельство, что

первые, самые низкие значения собственных частот g3i при \ ф0\> 1 на

рис. 5.5 и при | ф0 | > 1 на рис. 5.6 значительно меньше 7г/2, т. е. собственная частота ниже привычных для акустики значений. Эти первые значения йк понижаются при увеличении ги1 или ге. Так как при достаточно боль­шом значении этих постоянных времени оказывается, что g3i < 1, то значе­ния оЗх можно найти аналитически. Из второго соотношения (5.3.19) при

\Фо\> 1 находим ctg со! « l/ooi – cofHl/a или со] =(а2Gi/piFTL)X X(FiPi/Gili) = 1/ (Ге. тТил), т. е. при закрытом в акустическом смысле входе первое значение собственной частоты тракта с инерционностью на конце определяется собственной частотой колебательной системы, состоя­щей из емкости тракта как упругого элемента и инерционности на выходе. _

Аналогично для тракта с емкостью на выходе при * получаем

tg сох ^сО! = 1/(coi теа) или со? = (algjv^o (pift/gil) =1 /(геги. т). И в этом случае первая собственная частота тракта определяется, как для системы с сосредоточенными параметрами, состоящей из инерционности столба жидкости в участке тракта и емкости на конце тракта. Для того, чтобы в этом случае участок тракта можно было рассматривать как инер­ционность, на входе должно соблюдаться условие 1, т. е. условие акустически открытого конца. Если это условие не соблюдается, то пер­вая собственная частота будет близкой к акустической. Рассмотренные варианты граничных условий с чисто реактивным сопротивлением являют­ся в определенном смысле идеализированными, так как для тракта с про­током обычно присутствует и активная составляющая импеданса.

§ 5.4. Входное сопротивление участка тракта

5.4.1. Входное сопротивление. При расчетах сложных гидравлических систем, состоящих из ряда элементарных участков, каждый последующий или предшествующий участок тракта создает определенные условия на гра­ницах анализируемого участка тракта. Основными характеристиками условий на границах участка тракта являются (согласно формулам (5.1.9) и (5.1.10)) граничные импедансы 0О и фх, а также коэффициенты усиления То i и у if. При последовательном (каскадном) соединении участков тракта граничным импедансом для данного участка служит импеданс соседнего участка, т. е. связь между амплитудами вариаций скорости и давления на входе (или выходе) этого участка. Воспользуемся общими решениями (5.2.9) и (5.2.10), считая, что возмущения вносятся только от входа в тракт, т. е. byXj = 0, а и а — заданы, и приняв для простоты М ^ 0. Учтя указанные допущения, разделив вторые слагаемые соотношений (5.2.9) и (5.2.10) друг на друга, получаем уравнение связи между амплитудами колебаний давления и скорости в любом сечении тракта, т. е. найдем импе­данс для любой точки участка тракта длиной L :

Ър _ а {(а+ 00 ехр [/со (1 -*)] – (а – 00 ехр [-/со(1 - х)]}

8й (а + 0Ое*Р -*)] + (а-00ехр [-/w(l - х)] ^ 4 ^

Задав в уравнении (5.4.1) х = О, найдем входной импеданс участка гидрав­лического тракта

8р (0, со) _ а[(а + 00 ехр (zco) - (а - фх) ехр (-/со)]

zo =

5и (0, со) (а + 0О ехР 0′<Ч> + (а – 00 ехР

0х cos со + ia. sin со 1 + / (а/0 О tg со

= а——————— =-=0i————————– — . (5.4.2)

acosco + /0! sinco 1 +/(0i/a)tgco

Входной импеданс тракта – величина комплексная. Только в частном случае а = 0! (т. е. при согласованной нагрузке) z 0 = 0i и входной импе­данс оказывается величиной вещественной, равной выходному импедансу тракта. В этом случае отсутствуют отраженные волны от конца тракта на выходе и весь поток акустической энергии уходит из тракта через сопро­тивление на его конце. Поэтому для трактов, предназначенных для передачи колебаний, например, измерительных трактов с малоинерционным дат­чиком на конце для измерения колебаний давления, наиболее выгодно использовать на выходе условия согласованной нагрузки, которые обеспе­чивают минимальное искажение колебаний.

В случае открытого в акустическом смысле конца на выходе из тракта, т. е. при соблюдении условий фх = 0 и bp (1, со) =0, входное сопротивление участка тракта согласно формуле (5.4.2) равно

z0=ict tgco, (5.4.3)

а при закрытом конце на выходе из тракта, т. е. при =°°, 6/7(1, со) = 0

Zq = – ia ctg со, (5.4.4)

Таким образом, для случаев открытого или закрытого конца тракта (при полном отражении волн от сечения на выходе, т. е. при режиме колебаний с чисто стоячими волнами в тракте) входной импеданс оказывается мни – мЫм, а сопротивление чисто реактивным. Это естественно, так как без учета потерь на вязкое трение при режиме колебаний со стоячими волнами в тракте нет потерь колебательной (акустической) энергии за счет ее выно­са через выходное сечение, в котором или амплитуда скорости или ампли­туда давления равны нулю и, соответственно, отсутствует поток акусти­ческой энергии, равный произведению амплитуд давления и скорости. Как следует из формул (5.4.3) и (5.4.4), величина входного импеданса тракта при открытом или закрытом конце и отсутствии потерь на трение изменяется в пределах от —00 до причем такие предельные значения периодически повторяются с периодом Дсо = тт. Обращение в бесконеч­ность или в нуль входного импеданса свидетельствует о наличии в тракте резонансных явлений.

Одним из простейших случаев выходного граничного импеданса является чисто реактивный импеданс (сопротивление) на выходе из тракта. Приз­наком реактивного импеданса является его мнимость, т. е. 0i = гф 1м, где 01 м — вещественный параметр. Примером реактивного импеданса может служить демпфирующее устройство в конце длинного измеритель­ного тракта, выполненное в виде бачка. Воспользовавшись формулой (5.4.2), находим соотношение для входного сопротивления тракта с реак­тивной нагрузкой, которое и в этом случае также оказывается мнимым:

1мП + W0 ijtgco]

Zq =——————————– (5.4.5)

1 -(01M/«)tgCO

Из отношения (5.4.5) следует, что введение емкости на выходе не исклю­чает обращения в бесконечность импеданса при частотах, определяемых решением уравнения tgco = a/0iM. Используя формулу (5.4.2), можно показать, что если на выходе из тракта импеданс комплексный фг = фхв + + z0im> т0 такая система обеспечивает исключение резких резонансов в системе, при которых z 0

5.4.2. Резонанс в тракте. Вернемся к соотношениям (5.4.3) и (5.4.4) для входного импеданса гидравлического тракта при простейших случаях граничных условий — акустически открытого или закрытого конца на вы­ходе. Из этих формул следует, что при отсутствии трения (система консер­вативная) для определенных значений безразмерной частоты вынужденных колебаний со входной импеданс приобретает бесконечное значение – в трак­те возникает резонанс. При резонансе др/8ы т. е. при любых конечных значениях действующих сил давления практически не возникает колебаний скорости, и тракт на этой частоте не передает возмущений, т. е. является идеальным "изолятором", не пропускающим колебаний. Такое свойство систем с распределенными параметрами используется для демпфирования колебаний, а в радиотехнике [98] — при создании системы изолирующей подвески линий высокой частоты.

__ В зависимости от значения выходного граничного импеданса 01 частота соответствующая резонансу, изменяется. При фi = 0 входной импеданс тракта обращается в бесконечность для значений со^ = (2к + 1) тт/2, а при 0i — для значений dJ^ = к тт. Для определения условий возникновения резонансов в тракте при внесении возмущения различными способами

Машиностроение      Постоянная ссылка | Все категории
Мы в соцсетях:




Архивы pandia.ru
Алфавит: АБВГДЕЗИКЛМНОПРСТУФЦЧШЭ Я

Новости и разделы


Авто
История · Термины
Бытовая техника
Климатическая · Кухонная
Бизнес и финансы
Инвестиции · Недвижимость
Все для дома и дачи
Дача, сад, огород · Интерьер · Кулинария
Дети
Беременность · Прочие материалы
Животные и растения
Компьютеры
Интернет · IP-телефония · Webmasters
Красота и здоровье
Народные рецепты
Новости и события
Общество · Политика · Финансы
Образование и науки
Право · Математика · Экономика
Техника и технологии
Авиация · Военное дело · Металлургия
Производство и промышленность
Cвязь · Машиностроение · Транспорт
Страны мира
Азия · Америка · Африка · Европа
Религия и духовные практики
Секты · Сонники
Словари и справочники
Бизнес · БСЕ · Этимологические · Языковые
Строительство и ремонт
Материалы · Ремонт · Сантехника