Математические модели пневмогидравлических систем – часть 30

Машиностроение      Постоянная ссылка | Все категории

вернемся к общим уравнениям (5.2.9) и (5.2.10). В первую очередь рас­смотрим случай, когда вынужденные колебания задаются на входе в виде колебаний давления, что соответствует граничным условиям 5j01 =5р0 при х = 0. Это условие удовлетворяется, если в (5.1.9) принять: 70i = 1, = 0 (i> 2), Фо! = 0, 8 у ij = 0 (/ = 1, 2, …). Следует обратить внимание на способ задания граничных условий при расчетном анализе динамики ПГС с целью сопоставления результатов расчетов с данными эксперимен­тов. Измерение колебаний только одного из параметров течения жидкости со стороны внесения возмущений предопределяет выделение с помощью используемой измерительной системы только одной составляющей возму­щения, например, колебаний давления или колебаний скорости. С другой стороны, при любом способе создания возмущений в системе одновремен­но возникают колебания (отклонения) как скорости, так и давления. Так как рассматриваются линейные системы, то измерив одну составляю­щую возмущения, находим реакцию системы именно на нее, отбросив другие составляющие. При таком способе анализа реакции системы на воз­мущение место (сечение), в котором действительно вносится воз­мущение, не имеет значения, если устройство для внесения возму­щения не входит в исследуемую систему, а при расчетах за начало отсчета продольной координаты берется сечение, в котором проводится измерение параметра, принимаемого за входное воздействие. Если при эксперимен­тах изменяется тип измерительного прибора, например, малоинерционный датчик давления заменяется на датчик термоанемометра, измеряющего скорость, при расчетах системы необходимо изменить граничные условия на входе. Результаты расчетов (так же как и данные экспериментов) для разных вариантов датчиков, естественно, будут отличаться.

Таким образом, задавая или измеряя в начале тракта или в любом его сечении колебания давления, тем самым создаем в начальном сечении условия, эквивалентные условиям на открытом в акустическом смысле конце. Условие 8р = 0 является частным случаем условия 8р = 8р0 при х = 0 или 8р = 8рх при х = 1. Подставив указанные значения 70i и ф0 в соотношения (5.2.9) и (5.2.10) , находим:

___ ч (а-0!) ехр [-/со (1 - х)] – (а + ехр [/со (1 - х)]

Ьр (х, со) =——————————– ——————————————- 8р0 =

(а – фО ехр (-/со) – (а + 00 ехр (/со)

фх cos [со(1 - х)] + /а sin [со(1 - х)]

I ~ , (5.4.6)

0х cos со + /а sin со

(а-0Оехр[-/со(1 -*)] +(а + 0Оехр[/со(1 - х)]

о и (х, со) — ————————————————————- ——— 8р(\ —

(а + ф!) ехр (/со) – (а – 00 ехр (-/со)

а cos [со (1-х)] +/0i sin [со(1 - х)]

=————— _ ^ . . ——————————- о – (5.4.7)

а(0icosco + m sin со)

Приняв, что на выходе из тракта обеспечиваются условия акустически закрытого конца ф i = 5й~(1, со) = 0, и на входе 5j701 =8р0, найдем соотношения, определяющие распределение амплитуд колебаний давления

при предельных значениях фо=0 к фi

cos [w(l - л:)]

8р(х, со) =——— z—— — 8р0 (5.4.8)

cos со

и амплитуду колебаний скорости / sin [со(1 —

8и(х, со) = ------------ =------- 8р0. (5.4.9)

a cos со

Оба соотношения (5.4.8) и (5.4.9) описывают режим колебаний со стоячими волнами — амплитуда изменяется по длине, фаза колебаний вдоль тракта не изменяется. Если принять частоту со= const, то формулы (5.4.8) и (5.4.9) опишут распределения амплитуд колебаний давления и скорости вдоль тракта. Для колебаний давления амплитуда зависит от длины х по закону косинуса, для колебаний скорости - по закону синуса. При этом в начале расчетного участка тракта (х= 0) 8р(0, со) = 8р0, а 5н(0, со) = /(tgco)5p0/a. На выходе из тракта (х = 1) имеется пучность давления 6р(1, со) = 5p"0/cosсо, узел скорости <5й(1, oj) = 0.

Так как знаменатель соотношений (5.4.8) и (5.4.9) равен cos со, то при определенных значениях безразмерной частоты й>к = (2к - 1)7г/2 (к= 1, 2, 3,. . .) знаменатель обращается в нуль, а амплитуды колебаний давления и скорости в тракте — в бесконечность. В траясге возникает резо­нанс давления, так как он вызван колебаниями давления на входе в тракт. При другом элементарном граничном условии на выходе — акустически открытом конце, т. е. при фх = 0, bp (1, со) = 0, формы колебаний давления и скорости определяются уже другими соотношениями:

_____ sin [со(1 — х)] _

8р(х, со) =————– ———- 8р0,

sin со

zcos[co(l —х)]

8й(х, со)=———– —=——- -8р0. (5.4.10)

О! sin со

При заданной частоте со = const амплитуда колебаний давления по длине тракта описывается функцией sin[co(l — х)], которая при х = 0 удовлетво­ряет условию 5р(0, со) = 8р0, а при х = 1 – условию 5р(1, со) = 0, т. е. в кон­це тракта – узел давления. Колебания скорости, описываемые функцией COS [со(1 — х)], имеют узел в точке х = 0 и пучность в конце тракта при х = 1. Резонансные частоты для давления при рассматриваемом гранич­ном условии отличаются от приведенных выше (при \pi = °°) – амплитуды стремятся к бесконечности при сок = кп (к = 1, 2, 3,. . .). Это естественно, так как задание на входе в участок колебаний давления определяет условия открытого конца^на входе, т. е. ф0 = 0, а переход от условий на выходе

=°° к условию 01 =0 определяет переход от несимметричных (один открытый, другой закрытый конец) к симметричным граничным усло­виям. Соответственно, согласно зависимостям (5.3.9) и разбиению об­ластей на рис. 5.3, изменяются и значения собственных частот тракта’, а зна – чит – и резонансных частот.

Если же на входе в тракт задать или измерять колебания скорости, т. е.

(0, со) = 8й0, то для описания этого условия необходимо принять гранич – ный импеданс на входе 0О = 00 и, кроме того (см. формулу (5.1.9) ), потре­бовать, чтобы lim(7o//0o)= -1 и 8y0i = 5м0, 8yoi = 0 (/ = 2, 3,…). Учтя эти условия, из общих уравнений (5.2.9) и (5.2.10) находим

a cos [со(1 - х)] + /0i sin [со(1 - s)]

6w(*, со) = —————- =———– ;—z—————- 5и0, (5.4.11)

acosco + /01 sin со

a{0icos[co(l-х)] -msin[co(l -*)]}

8р(х, со) = ——————- —————– —————— бм0- (М-12)

а cos со + /0! sin со

Приняв одно из элементарных граничных условий — акустически закрытый конец на выходе, т. е. 0i =°°, 6/7(1, со) = 0, из формул (5.4.11) и (5.4.12) получаем

_____ sin [со(1 - х)]

8 и (х, со) = ———— ——– 5м0,

sin со

______ mcos [со(1 - х)]

8р(х, со)=—————————- 8ы0, (5.4.13)

sin со

а при другом условии — акустически открытом конце на выходе, т. е. 0i = 0, bp (1, со) = 0, находим

_ cos[co(l - х)]

8и(х, со)= —————- ——- 8и0,

cos со

_ _ sin[co(l — х)] _

8р(х, со) = – ia———- =——– 8и0. (5.4.14)

cos со

При акустически закрытом конце на выходе, т. е. при =°°,согласно формулам (5.4.13) резонанс скорости (так как задано или измеряется изменение скорости на входе) наступает при частотах вынужденных колеба­ний со/с = ктт (к = 1, 2, . . .), а при акустически открытом конце (0i = 0) — при частотах со^ = (2к – 1)7г/2.

Из сравнения этих значений с соответствующими резонансными часто­тами для резонанса давления при одинаковых величинах граничных импе – дансов на выходе 0i следует, что резонансные частоты отличаются. Резо­нанс давления в тракте с открытым концом на выходе (01 = 0) наступает при такой же частоте, при которой имеет место резонанс скорости для дру­гого значения граничного импеданса 0i =°° и, наоборот, для тракта с 0! = 00 частота резонанса давления совпадает с частотой резонанса скорости, но для граничного импеданса 0i = 0. При одном и том же граничном им­педансе на выходе из тракта резонансу давления соответствует анти­резонанс (минимум амплитуды) скорости, и наоборот.


Резонансная частота совпадает с одной из собственных частот участка тракта, т. е. с частотами свободных колебаний, возникающих в изолирован­ном тракте при переходном процессе после окончания действия возму – тающей силы. Собственные частоты определяются свойствами самой системы (т. е. параметрами а, ф0 и фх), а не способом и местом внесения возмущения в систему. Однако при вынужденных колебаниях задание определенного типа возмущающего воздействия одновременно определяет и величину на этом конце тракта. Как было показано в § 5.3, собствен­ная частота жидкости сок = кк (к = 1, 2, 3, . . .) имеет место в тракте с симметричными граничными условиями (или Фо~Фх~ 0, или ф0 = ф{ = = оо)? т. е. если оба конца одновременно в акустическом смысле или откры­ты, или закрыты. Аналогично при несимметричных граничных условиях (или при фо =0 и фх =°°, или при фо ~ 00 и ф 1 =0) собственная частота равна сок = ilk + 1)тг/2 (к = 0, 1, 2,. . .).

Из анализа соотношений (5.4.6)-(5.4.7) и (5.4.11)-(5.4.12), опреде­ляющих распределение амплитуд колебаний давления и скорости вдоль тракта при внесении возмущения путем изменения давления или скорости на входе, следует, что в них входит только один импеданс – на выходе из тракта, другой же определяется задаваемым возмущением. Сравнение резонансных частот при вынужденных колебаниях с собственными часто­тами показывает, что резонанс давления при внесении возмущения путем задания колебаний возникает на собственной частоте, характерной для трак­та с открытым концом на выходе (ф0= 0), т. е. на частотах сок = ттк {к – 1, 2, . . .), если для выхода фi = 0, и на частотах оок = (2к – 1)я/2, если ф 1 = 00 •

В этих случаях на частотах, соответствующих собственным частотам ко­лебаний жидкости в тракте с акустически закрытым концом на входе (Фо – при возмущении путем изменения давления на входе имеет место антирезонанс, т. е. минимум амплитудной характеристики, так как амплиту­да колебаний давления по длине тракта оказывается меньше амплитуды ко­лебаний давления на входе. Этот эффект можно объяснить тем, что в столбе жидкости возбуждаются такие колебания, которые полностью компенси­руют влияние действия внешних сил и обеспечивают неподвижность (5и ^ 0) жидкости на входе в тракт. В этом случае столб жидкости имеет бесконечно малую податливость. Если задавать или измерять на входе в участок тракта колебания скорости, то картина оказывается совершенно иной. Резонанс скорости (по аналогии с резонансом тока в электрических линиях) наступает при изменении скорости на выходе и приближении частот к собственной частоте жидкости с акустически закрытым (ф0 = °°) концом на входе в тракт. При внесении возмущения с частотой, равной соб­ственной частоте тракта с открытым концом на входе (ф0 = 0), наблюдает­ся антирезонанс. Таким образом, при внесении возмущения путем измене­ния скорости на входе в тракт1) с частотой, для которой при свободных колебаниях пучность скорости совпадает с входным сечением тракта, резонанс не наступает. Наоборот, если вынужденные колебания скорости на входе заданы в системе, у которой при свободных колебаниях на входе имеется узел колебаний скорости, при совпадении частоты колебаний с собственной частотой жидкости наступает резонанс. Аналогичный анализ можно провести для случая внесения возмущения со стороны конца тракта,

1) Или, что то же самое, при измерениях колебаний скорости жидкости на входе.

173

от его выходного сечения. С другой стороны, отличие резонансных частот при резонансах давления и скорости можно объяснить тем, что для обеспе­чения внесения таких несколько искусственных возмущений, описы­вающих или способ создания возмущений, или измеряемую величину, необходимо соответственно менять саму рассчитываемую систему, т. е. из­менять граничный импеданс на входе в тракт. Именно изменением входно­го импеданса был ранее осуществлен переход от общих соотношений (5.2.9), (5.2.10) к соотношениям (5.4.6)-(5.4.7) и (5.4.11)-(5.4.12) для частных случаев внесения возмущения путем задания колебаний давления или скорости на входе в тракт. Изменение ф0 и определяло скачок резо­нансной частоты при переходе от возмущения изменением скорости к воз­мущению давления.

Отмеченное совпадение резонансных частот с собственными частотами системы в первую очередь связано с простотой и определенной идеализа­цией рассматриваемой системы. Но, как будет показано ниже, даже для такой простой системы, какой является участок тракта, при измерениях не на границах тракта резонансные частоты уже не совпадают с собственны­ми частотами. Для более сложных систем такое совпадение является доста­точно частным случаем.

§ 5.5. Участок тракта как четырехполюсник

При определении входного сопротивления тракта находится связь между отклонением давления и скорости (расхода) на входе или выходе тракта в предположении, что никаких возмущений со стороны выхода из тракта нет. При таком подходе участок тракта (и любая другая пассивная, как угодно сложная, линейная система) является двухполюсником. Уравнение двухполюсника (см. гл. 2) связывает отклонения расхода или скорости с отклонением перепада давления, а в зависимость (5.4.1) входит отклоне­ние абсолютного давления. Вспомнив правила измерений, используемые при построении полюсного графа или эквивалентной цепи (гл. 2), убеждаемся, что в эквивалентной схеме цепи или графе системы такой двухполюсник должен связывать точку цепи, соответствующую входу в участок тракта с узлом, описывающим точку с давлением, равным нулю. При этом отклонение 8р будет равно вариации перепада давления на двух­полюснике, связанной одним уравнением с вариацией скорости (расхода) на входе в участок тракта. Такой подход возможен, если не интересоваться вариацией скорости (расхода) на выходе из участка тракта, которая не сов­падает (система с распределенными параметрами) с вариацией скорости на входе в тракт. Подобное описание "висячих" (т. е. связанных только одним концом с остальной системой) участков ПГС вполне закономерно, однако такие участки тракта — частный случай. В большинстве случаев необходимо учитывать разницу в вариациях расходов на входе и выходе участка и то, что на эти вариации влияют не вариации перепада давления (как это имеет место у двухполюсников), а независимо вариации давления на входе и выходе тракта. Это следует из общих решений уравнений гидромеханики для участка тракта (5.2.21) и (5.2.22), согласно которым на любое внеш­нее возмущение имеются разные реакции для значений вариаций скорости и давления на входе (х = 0) и выходе (х = 1) – всего 4 параметра.


Задав в общем решении (5.2.10) ф0 ~ Ф1 ~ 0, ■ 5j01 = 5р(0), 8уц = = 5р(0, То 1 = Ti 1 ~ 1. sJoi = 5J71/ = 0 при г, /’= 2, 3,.. . , после преоб­разования найдем

М

/ехр —/со

/ I ш \

5и(0) – -■

1 – М2

)

u>

asm

1 – М2

/ехр -/со

\ 1-м2/. ■ ( * \

asm ————–

\ 1 – М2/

«РО), (5.5.1)

8й(1)=-

5р(0) ctg( " W(l).

а \ 1 — М /


Уравнения (5.5.1), связывающие отклонения скорости и давления на вхо­де с отклонениями этих же параметров на выходе, являются уравнениями четырехполюсника. Система уравнений (5.5.1) — незамкнутая, так как два уравнения связывают четыре параметра. Они описывают связь парамет­ров на входе и выходе в цилиндрическом однородном участке тракта как систему с распределенными параметрами без учета каких-либо гранич­ных условий[19]). Для замыкания системы к уравнениям (5.5.1) необходи­мо добавить два граничных условия – граничные импедансы. В этом случае мы практически вернемся к уравнению (5.2.22).

Запись уравнений динамики элементов ПГЦ в форме уравнений четырех­полюсника, как это будет ясно из дальнейшего изложения (см. гл. 7), удобна для формирования математических моделей сложных разветвлен­ных ПГС. Запись уравнений четырехполюсника в виде зависимости откло­нений скоростей (расходов) от отклонений давлений по принятой терми­нологии [203] называется записью в у-параметрах. Уравнения тракта как четырехполюсника в >>-параметрах (5.5.1) можно представить в матричной форме:

Г 5/7(0) 5/7(1) J


1 – М2 exp[-/wM/(l - М2)]

sin[u>/(l -М2)] = у[5р(0) 5р(1)]\ где у — матрица проводимости.

ехр[— г'оЗМ/(1 - М2)]‘

г§р(0)1 5p(l)J

(5.5.2)


1) Задание граничных условий ф0 = =0 являлось приемом получения уравне­ний тракта как четырехполюсника как раз с целью исключения влияния граничных импедансов.


Для тракта без потерь проводимость — величина мнимая, т. е. проводи­мость (так же как и сопротивление) участка однородного тракта – чисто ре­активная. Для четырех параметров возможно шесть вариантов их деления на две пары, соответственно существует шесть форм записи уравнений четырех­полюсников. Преобразования из одной формы в другую можно выполнить по готовым формулам [15, 60, 203]. Кроме записи в jy-параметрах, часто удобно пользоваться формой представления четырехполюсника в В-пара­метрах. Из уравнений (5.5.1) после преобразований найдем уравнения для участка тракта как четырехполюсника в ^-параметрах в виде зависимости, связывающей вариации переменных на выходе с вариациями входных па­раметров:

Машиностроение      Постоянная ссылка | Все категории
Мы в соцсетях:




Архивы pandia.ru
Алфавит: АБВГДЕЗИКЛМНОПРСТУФЦЧШЭ Я

Новости и разделы


Авто
История · Термины
Бытовая техника
Климатическая · Кухонная
Бизнес и финансы
Инвестиции · Недвижимость
Все для дома и дачи
Дача, сад, огород · Интерьер · Кулинария
Дети
Беременность · Прочие материалы
Животные и растения
Компьютеры
Интернет · IP-телефония · Webmasters
Красота и здоровье
Народные рецепты
Новости и события
Общество · Политика · Финансы
Образование и науки
Право · Математика · Экономика
Техника и технологии
Авиация · Военное дело · Металлургия
Производство и промышленность
Cвязь · Машиностроение · Транспорт
Страны мира
Азия · Америка · Африка · Европа
Религия и духовные практики
Секты · Сонники
Словари и справочники
Бизнес · БСЕ · Этимологические · Языковые
Строительство и ремонт
Материалы · Ремонт · Сантехника