Алгоритмы и программные средства настройки параметров нечетких моделей на основе гибридных методов – часть 2

Математика      Постоянная ссылка | Все категории

Правила нечеткой модели типа синглтон имеют следующий вид:

правило i: ЕСЛИ x1 = А1i И x2 = А2i И … И xm = Аmi ТО y = ri,

где Aji – лингвистический терм, которым оценивается переменная xj, а выход y оценивается действительным числом ri.

Модель осуществляет отображение , заменяя оператор нечеткой конъюнкции произведением, а оператор агрегации нечетких правил – сложением. Отображение F для модели типа синглтон определяется формулой:

,

где, n – количество правил нечеткой модели, m – количество входных переменных в модели, функция принадлежности нечеткой области Aji.

Нечеткое моделирование включает два основных этапа: идентификацию структуры и настройку параметров нечеткой модели. Идентификация структуры – определение таких характеристик нечеткой модели, как число нечетких правил, количество лингвистических термов, на которое разбиты входные и выходные переменные. Настройка параметров – это определение неизвестных параметров антецедентов и консеквентов нечетких правил путем оптимизации работы нечеткой модели по заданному критерию.

Для настройки параметров нечетких моделей используются две группы методов. Первая группа – классические методы оптимизации, основанные на производных: метод наименьших квадратов, градиентный метод, фильтр Калмана. Эти методы обладают высокой скоростью сходимости, но они имеют тенденцию сходиться к локальным оптимумам.

Трудности применения классических методов оптимизации, в частности проблема локального экстремума и «проклятие размерности», заставляют обратиться ко второй группе методов – метаэвристических, таких как алгоритмы муравьиной колонии, роящихся частиц, имитации отжига, генетические алгоритмы. Но это методы грубой настройки, требующие больших временных ресурсов. Кроме того, применение метаэвристик не гарантирует нахождения оптимального решения и, как правило, связано с эмпирической настройкой параметров используемых алгоритмов.

Использование гибридных алгоритмов позволит объединить преимущества метаэвристических методов с преимуществами методов, основанных на производных. Такое объединение повысит качество решений при умеренном количестве ресурсов и за приемлемое время.

Во второй главе приводятся разработанные алгоритмы настройки нечетких моделей.

В работе предлагается следующий алгоритм настройки нечетких моделей:

Алгоритм настройки нечетких моделей

Шаг 1. Задание количества термов лингвистических переменных.

Шаг 2. Инициализация параметров нечеткой модели.

Подшаг 2.1 Задание параметров антецедентов правил с помощью субъективного разделения данных.

Подшаг 2.2 Инициализация консеквентов правил на основе модифицированной процедуры диффузии.

Шаг 3. Настройка параметров нечеткой модели одним из метаэвристических, основанных на производных или гибридных алгоритмов.

Шаг 4. Если среднеквадратичная ошибка нечеткой модели больше заданной, то увеличение количества термов, переход на шаг 2, иначе выход из алгоритма.

Инициализация параметров модели производится на основе субъективного разделения данных и процедуры диффузии. Нечеткие правила и функции принадлежности должны покрывать весь универсум, на котором они определены. Переход от одной функции принадлежности к другой не содержит разрывов, иначе поверхность вывода также будет содержать разрывы. В общем случае алгоритм настройки параметров состоит из следующей последовательности шагов.

Алгоритм настройки параметров нечеткой модели

Шаг 1. Задание начальных параметров нечеткой модели и параметров выбранного алгоритма.

Шаг 2. Генерация решения выбранным алгоритмом настройки.

Шаг 3. Оценка решения с помощью нечеткой модели.

Шаг 4. Проверка условия останова. Если условие выполняется, то переход на шаг 5, иначе переход на шаг 2.

Шаг 5. Вывод решения – набора параметров нечеткой модели, выход из алгоритма.

В работе были использованы следующие методы: основанные на производных — градиентный метод, фильтр Калмана, метод наименьших квадратов, и метаэвристические — генетический алгоритм и алгоритм имитации отжига.

Генетический алгоритм работает с популяцией особей, каждая особь соответствует отдельному решению задачи. В случае настройки параметров антецедентов правил каждый ген хромосомы кодирует один параметр нечеткой модели. В качестве целевой функции выступает ошибка нечеткой модели. Предложено несколько способов формирования текущей популяции: полная замена старой популяции новой, полученной в результате применения операторов скрещивания и мутации; частичная замена, когда формируется «расширенная» популяция, в которую помещаются хромосомы как нового, так и старого поколения; помещение в новую популяцию лучших хромосом из старого поколения и лучших хромосом из нового поколения в отношении 3:7; помещение в новую популяцию лучших хромосом из старого поколения и худших хромосом из нового поколения в отношении 3:7. Описаны условия включения особи в популяцию в зависимости от вида функций принадлежности, параметры которых необходимо настраивать. Определен специфичный оператор мутации.

Алгоритм имитации отжига использует упорядоченный случайный поиск, основываясь на аналогии с процессом охлаждения металла. Параметры функций принадлежности, полученные в результате субъективного разделения данных, формируют текущее решение, которое, при его изменении случайным образом, переходит в рабочее. Рабочее решение может опять вернуться в текущее, либо перейти в лучшее при условии уменьшения ошибки нечеткой модели. Рабочее решение может быть принято в качестве текущего, даже если его ошибка превышает ошибку текущего, в том случае, когда выполняется критерий допуска. При высокой температуре плохие решения принимаются чаще, чем отбрасываются. При снижении температуры вероятность принятия худшего решения уменьшается.

Градиентный метод в практике обучения нечетких правил используется давно. Суть метода заключается в том, что последующее приближение функции получается из предыдущего движением в направлении, противоположном направлению градиента целевой функции. При настройке параметров нечетких моделей целевой функцией является среднеквадратичная ошибка, а вектор параметров определен на множестве параметров антецедентов и консеквентов правил.

Постановка задачи настройки параметров нечетких моделей на основе фильтра Калмана приведена ниже. Состояние системы задается вектором значений параметров функций принадлежности. Вычисляемой переменной, определенным образом связанной с состоянием системы, является выход нечеткой модели. Два последовательно определенных вектора состояния связаны рекуррентным уравнением (модель процесса). Определенным уравнением связаны вектор измерений и вектор состояний (модель измерения). Процессом для системы является движение по пространству решений задачи, шумы процесса и измерения определяются неточностью в определении нахождения решения в пространстве и неточностью в измерении координат решения, соответственно. Сходимость алгоритма и точность определения параметров нечеткой модели зависят от выбора значений матриц ковариаций шума процесса и шума измерения.

Метод наименьших квадратов используется в работе для настройки параметров консеквентов. Здесь минимизируется сумма квадратов отклонений значений, полученных в результате нечеткого вывода, от наблюдаемых данных.

Разработаны гибридные алгоритмы на базе основанных на производных (градиентный метод, фильтр Калмана, метод наименьших квадратов) и метаэвристических (генетический алгоритм и алгоритм имитации отжига) методов, направленные на объединение преимуществ этих двух групп.

В работе предлагается три способа гибридизации.

Первый способ – двухэтапная настройка параметров модели (рис. 1). На первом этапе параметры функций принадлежности настраиваются генетическим алгоритмом, а консеквенты – методом наименьших квадратов. На втором этапе параметры функций принадлежности и консеквенты настраиваются градиентным методом или алгоритмом фильтрации Калмана.

Рис. 1. Схема первого способа гибридизации (ГА – генетический алгоритм, МНК – метод наименьших квадратов, ГМ – градиентный метод, ФК – фильтр Калмана, ФП – функция принадлежности)

Такой подход исключает недостаток основанных на производных методов – неспособность проходить локальные минимумы, и недостаток генетического алгоритма – не всегда точное попадание в глобальный оптимум. Таким образом, используя на начальных этапах генетический алгоритм, вычисляется начальное приближение, локализованное в области экстремума, на заключительном этапе уточняется положение экстремума градиентным методом или фильтром Калмана.

Второй способ. Применение градиентного метода или фильтра Калмана в качестве оператора мутации генетического алгоритма или совместно с ним. При этом часть особей популяции изменяются с использованием градиентного метода (фильтра Калмана), остальные мутируют обычным образом. После настройки антецедентов – настройка консеквентов методом наименьших квадратов.

Третий способ – трехэтапная настройка параметров модели. Предлагается изменить первый способ гибридизации следующим образом: использовать алгоритм имитации отжига для формирования начальной популяции особей генетического алгоритма (рис. 2). Таким образом, сначала алгоритмом имитации отжига генерируется некоторое множество решений задачи, из которых формируется начальная популяция в генетическом алгоритме. После генетического алгоритма и метода наименьших квадратов настройка производится градиентным методом или алгоритмом фильтрации Калмана.

Рис. 2. Схема третьего способа гибридизации (АИО – алгоритм имитации отжига, ГА – генетический алгоритм, МНК – метод наименьших квадратов, ГМ – градиентный метод, ФК – фильтр Калмана)

В третьей главе рассматриваются вопросы проектирования и реализации программного комплекса настройки нечетких моделей на основе метаэвристических, основанных на производных и гибридных методов, приведена структурная схема программного комплекса, произведено описание входящих в комплекс классов и модулей и схема их взаимодействия.

Программный комплекс выполняет следующие функции:

1) формирование базы нечетких правил,

2) настройка параметров антецедентов и консеквентов правил,

3) реализация нечеткого вывода,

4) представление результатов вывода.

Основное требование – наличие описания поведения объекта, заданное в виде таблицы наблюдений.

На рис. 3. представлена функциональная схема программного комплекса.

Взаимодействие между классом нечеткой модели и классами, соответствующих методам настройки осуществляется с помощью дополнительного класса «Идентификация». Такой способ организации взаимодействия позволяет получить универсальные классы для нечеткой модели и методов настройки модели и упрощающая процесс добавления нового метода в программный комплекс. Вынесение модуля пользовательского интерфейса за пределы блока моделирования и расчетов, а также оформление блока моделирования и расчетов в виде dll-библиотеки позволяет включить разработанную систему классов в конкретную программную систему для построения нечеткой модели изучаемого объекта.

Рис. 3. Функциональная структура программного комплекса настройки параметров нечетких моделей

В четвертой главе содержится описание проведенных экспериментов над нечеткими моделями и алгоритмами настройки.

Для выявления оптимальных параметров алгоритма настройки модели было проведено исследование влияния параметров разработанных алгоритмов на ошибку нечеткой модели. Суть эксперимента заключалась в аппроксимации при помощи нечеткой модели следующих тестовых функций:

1) ;

2) ;

3) .

Эти функции выбраны потому, что представляют различные типы: функции с несколькими экстремумами, гладкие функции и кусочно-линейные. На основе тестовых функций строились таблицы наблюдений, состоящие из 121 строки, и на основе таблиц наблюдений проводилось обучение нечетких моделей. Начальное решение одинаково для всех экспериментов: параметры функций принадлежности получены с помощью субъективного разделения пространства данных, параметры консеквентов получены с применением процедуры диффузии.

В результате проведенных опытов выработаны рекомендации по использованию параметров рассматриваемых методов для решения задачи настройки параметров нечетких моделей.

На рис. 4−6 представлены результаты работы разработанных алгоритмов для каждой из тестовых функций. В левом столбце гистограмм представлена ошибка начального решения, остальные столбцы соответствуют усредненным значениям среднеквадратичной ошибки нечеткой модели для каждого из алгоритмов

Рис. 4. Результаты эксперимента для функции

Рис. 5. Результаты эксперимента для функции

Рис. 6. Результаты эксперимента для функции

Анализ экспериментов с гибридными алгоритмами, позволил сделать следующие выводы:

- гибридные алгоритмы на основе метаэвристик и методов, основанных на производных, обеспечивают лучший результат по сравнению с использованием методов по отдельности;

- второй способ гибридизации (использование метода, основанного на производных, совместно с оператором мутации) приводит к наименьшим ошибкам вывода; это объясняется тем, в результате такой мутации получается особь с ошибкой, меньшей, чем до мутации, и генетический алгоритм работает с решениями из областей локальных минимумов;

- совместное применение двух метаэвристических методов дает результат хуже, чем применение метаэвристики совместно с методом, основанным на производных; это объясняется тем, что основанные на производных методы лучше справляются с задачей нахождения локального оптимума после сужения области поиска.

Эксперименты с аппроксимацией поверхностей, зашумленных аддитивным нормально распределенным шумом, показали, что ошибка нечеткого вывода возрастает линейно с ростом дисперсии шума.

Для сравнения разработанных гибридных алгоритмов с существующими подходами построения нечетких моделей было проведено исследование результатов аппроксимации следующих нелинейных функций:

а) ;

б) ;

в) ;

г) .

Значения среднеквадратичной ошибки аппроксимации, получаемой разработанными алгоритмами и аналогами для этих функций представлены в табл. 1.

Сравнивая полученные результаты, можно сделать вывод, что предлагаемые в работе гибридные алгоритмы в большинстве рассмотренных случаев позволяют достичь меньших ошибок по сравнению с рассмотренными аналогами.

Таблица 1

Значения среднеквадратичной ошибки аппроксимации функций а)-г) при настройке разработанными гибридными алгоритмами и алгоритмами других авторов

тестовая функция

алгоритм

количество правил

среднеквадратичная ошибка

а

S. Mitaim и B. Kosko

12

1,426

D. Lisin and M. A. Gennert

12

0,247

первый гибридный алгоритм

12

0,045

второй гибридный алгоритм

12

0,013

третий гибридный алгоритм

12

0,027

б

I. Rojas и др

9

0,146

16

0,051

25

0,026

36

0,017

M. Sugeno и T. Yasukawa

6

0,079

K. Nozaki и др

25

0,0085

You-Wei Teng и др

4

0,016

Z.-J. Lee

3

0,0028

H Wang. и др.

3

0,0052

G. Tsekouras и др.

6

0,0108


Продолжение таблицы 1

Математика      Постоянная ссылка | Все категории
Мы в соцсетях:




Архивы pandia.ru
Алфавит: АБВГДЕЗИКЛМНОПРСТУФЦЧШЭ Я

Новости и разделы


Авто
История · Термины
Бытовая техника
Климатическая · Кухонная
Бизнес и финансы
Инвестиции · Недвижимость
Все для дома и дачи
Дача, сад, огород · Интерьер · Кулинария
Дети
Беременность · Прочие материалы
Животные и растения
Компьютеры
Интернет · IP-телефония · Webmasters
Красота и здоровье
Народные рецепты
Новости и события
Общество · Политика · Финансы
Образование и науки
Право · Математика · Экономика
Техника и технологии
Авиация · Военное дело · Металлургия
Производство и промышленность
Cвязь · Машиностроение · Транспорт
Страны мира
Азия · Америка · Африка · Европа
Религия и духовные практики
Секты · Сонники
Словари и справочники
Бизнес · БСЕ · Этимологические · Языковые
Строительство и ремонт
Материалы · Ремонт · Сантехника