Турбулентность и горение

Физика      Постоянная ссылка | Все категории

ПРЕДИСЛОВИЕ

В настоящее время значительная часть используемой энергии вырабаты­вается при сжигании газов или испаренного жидкого топлива в турбулент­ном потоке. По-видимому, такой способ получения энергии еще долго будет оставаться преобладающим, в особенности на транспорте. Поэтому изучение турбулентного горения представляет значительный практический интерес.

В исследованиях турбулентного горения наблюдается заметный разрыв между фундаментальными и прикладными разработками, что сдерживает развитие техники, поскольку устройства для сжигания топлива достигли высокого совершенства и дальнейшее увеличение их эффективности невоз­можно без тщательного анализа гидродинамических особенностей камер сгорания, в частности характеристик турбулентности. Между тем в послед­нее время теория турбулентности значительно продвинулась вперед. Разу­меется, удовлетворительное количественное описание всех турбулентных течений с единых позиций в настоящее время невозможно. Однако достиг­нуто качественное понимание многих особенностей турбулентности, а на­копленный экспериментальный материал и соображения размерности позволяют достаточно точно оценивать характеристики турбулентности в широком классе течений. С другой стороны, сейчас ясны и многие особен­ности горения газов в ламинарном потоке. Поэтому возникают предпосыл­ки создания теории турбулентного горения.

Предлагаемая монография ставит своей целью изложить с единой точки зрения основы этой теории, сформулированные к настоящему времени. Выбор круга проблем, на которых иллюстрируются основные понятия, идеи и методы теории, в значительной мере продиктован собственными исследованиями авторов. Уже самые начальные этапы этих исследований показали, что создание теории турбулентного горения невозможно без развития собственно теории турбулентности и, в частности, тех ее разделов, которые были менее всего изучены (перемежаемость, распределения веро­ятностей различных гидродинамических параметров). Как это часто слу­чается, исследование указанных вопросов приобрело самостоятельное значение, и хочется надеяться, что полученные результаты повлияют на развитие теории турбулентности. Высказанные соображения определили название книги и отбор материала. Несмотря на определенную уязвимость и тенденциозность, такой подход, по-видимому, наилучшим образом позво­ляет выполнить поставленную задачу. Теория турбулентного горения на­ходится в стадии становления. Авторы сознают, что предлагаемая моно – графия – лишь небольшой (но тем не менее необходимый) шаг на пути решения проблем турбулентности и турбулентного горения.

Монография состоит из введения, шести глав и заключения. За исклю­чением § 1.4, четыре первые главы посвящены исследованию течений бе? химических реакций. Это исследование проведено на основе уравнений для плотностей распределений вероятностей различных характеристик турбулентности.

В главе 1 изучается перемежаемость турбулентных течений и ее влияние на качественный вид плотностей распределений вероятностей скорости и концентрации. В главе 2 дается вывод уравнений для плотностей распреде­лений вероятностей различных гидродинамических величин и проведен обзор известных методов замыкания этих уравнений.

В главе 3 анализируется уравнение для плотности распределения вероят­ностей концентрации пассивной примеси. Получены, проанализированы и сопоставлены с экспериментом решения этого уравнения. В главе 4 иссле­дуется уравнение для плотности распределения вероятностей разности скоростей в двух точках, расстояние между которыми принадлежит инер­ционному интервалу спектра турбулентности.

Результаты, полученные в первых четырех главах, используются для анализа диффузионного горения (глава 5) и горения однородной смеси (глава 6). Главный результат главы 5 — метод расчета основных характе­ристик турбулентного диффузионного горения,

В методе учтен цепной характер химических реакций. Показано, что влияние турбулентности на условия протекания химических реакций определяется скалярной диссипацией. Дан метод расчета концентрации окислов азота.

В главе 6 построена качественная схема, в рамках которой учитывается влияние неустойчивости пламени и различий в коэффициентах молекуляр­ного переноса на процесс горения однородной смеси. Получен ряд нетри­виальных критериев, характеризующих распространение пламени. На осно­ве теории локально однородной турбулентности дана оценка предельной теплонапряженности процесса горения и показано, что эта теплонапряжен – ность существенно ниже теплонапряженности в нормальном пламени, если интегральный масштаб турбулентности много больше, чем толщина нор­мального фронта пламени.

Развитие теории турбулентности и турбулентного горения, как и разви­тие любой физической теории, невозможно без тесной и непрерывной связи с экспериментом. Поэтому большое вйимание уделяется подбору и анализу экспериментальных данных, иллюстрирующих принятые гипо­тезы и сделанные выводы. Развитые в монографии методы могут быть использованы в научных и прикладных задачах, связанных с исследованием влияния турбулентности на протекание химических реакций (например, в химической технологии, в газодинамических лазерах и т. д.). Авторы надеются, что данная монография будет способствовать дальнейшему взаимному проникновению и обогащению методов теории турбулентности и теории турбулентного горения и стимулировать новые исследования на стыке этих двух теорий.


Все основные физические идеи и математический аппарат теории турбу­лентности и теории горения даются в тексте только в том объеме, который находит непосредственное применение в теории турбулентного горения. Дополнительные сведения по теории турбулентности, теории горения, а также широко используемой в монографии теории подобия можно найти I специальной литературе (см. Бэтчелор [1953], Таунсенд [1956],Хинце [1959], Монин и Яглом [1965, 1967], Франк-Каменецкий [1967], Щетин – ков [1965], Вильяме [1965], Седов [1977] и другие книги, ссылки на которые имеются в тексте монографии).

Разработка общего плана монографии и обсуждение отдельных глав проводились совместными усилиями обоих авторов, тем самым они в равной мере ответственны за возможные недочеты и упущения.

Авторы считают своим приятным долгом выразить благодарность ака­демику О. М. Белоцерковскому и членам-корреспондентам АН СССР В. М. Иевлеву и В. В. Сычеву за просмотр некоторых разделов рукописи этой монографии. Большую признательность авторы испытывают к редак­тору этой книги А. Н. Секундову, замечания которого способствовали существенному улучшению качества книги, и Ю. Я. Бурико, в сотрудни­честве с которым получен ряд результатов.

ВВЕДЕНИЕ

Для создания теории турбулентного горения необходимо соединить в единое целбе методы и представления, сложившиеся в двух существенно различающихся областях науки — теории турбулентности и кинетике хими­ческих реакций. Чтобы решить эту задачу, прежде всего необходимо уста­новить, какие характеристики турбулентности представляют главный интерес для теории горения. Ответ дается теорией ламинарного горения, которая исходит из того, что толщина зоны осуществления процессов хи­мического превращения много меньше характерного размера задачи. Например, при ламинарном горении однородной стехиометрической про – пано-воздушной смеси в нормальных условиях толщина зоны реакции меньше 0,5 мм. Кроме того, при горении происходит сильное изменение температуры, а скорости химических реакций сильно зависят от темпе­ратуры. Это обстоятельство также приводит к тому, что химические реак­ции локализуются в узких зонах.

На основе указанной особенности в теории ламинарного горения разра­ботаны методы, позволяющие существенно упростить описание явления. В самом деле, зону химических реакций можно рассматривать как некото­рый пограничный слой. Тогда решение этой внутренней задачи (т. е. рас­пределения концентраций и температуры в зоне реакций) находится с помощью сравнительно простых методов, поскольку в уравнениях диф­фузии и теплопроводности перенос тепла и вещества вдоль фронта пла­мени несуществен, и, следовательно, достаточно проинтегрировать систе­му обыкновенных дифференциальных уравнений. При решении внешней задачи химические реакции можно не учитывать, а сращивание внутрен­него и внешнего решений позволяет определить положение фронта пла­мени.

Для иллюстрации сказанного приведем два характерных примера — ламинарное горение неперемешанных газов (диффузионное горение) и горение однородной смеси. В первом случае используется изящный прием, который предложен Бурке и Шуманом [1928], а именно вводится так на­зываемая восстановленная концентрация горючего z = (St су – с0 + 1)/(1+ + St), где St – стехиометрический коэффициент (показывающий, сколько граммов окислителя необходимо для полного сгорания одного грамма топлива), с — массовая концентрация, индексы/и о относятся к горючему и окислителю соответственно. Введенную величину можно интерпретиро­вать как концентрацию атомов горючего во всех образовавшихся хими­ческих соединениях. Следовательно, химические реакции явно не влияют на ее распределение и последнее находится из решения уравнения диффу­зии без источников. Поскольку химическая реакция идет с большой ско­ростью, то во фронте пламени концентрации горючего и окислителя одно­временно близки к нулю, т. е. фронт пламени в первом приближении есть поверхность, на которой выполняется условие г = zs = 1/(1 + St). Исследо­вание внутренней структуры фронта пламени при диффузионном горении проведено Зельдовичем [1949] в предположении о том, что химическая реакция является одноступенчатой и необратимой. Это исследование сво­дится к решению одного обыкновенного дифференциального уравнения с нелинейным источником.

Другим примером служит ламинарное горение однородной смеси. Реше­ние этой задачи получено Зельдовичем и Франк-Каменецким [1938 а, б], в работах которых проанализировано распространение нормального (плос­кого) фронта пламени. В пламени выделяются две зоны. В первой (теп­ловой) химические реакции несущественны. В ней вследствие конвекции и теплопроводности происходит прогрев смеси. Во второй зоне (зоне хи­мических реакций) происходит превращение веществ. Конвекция в этой зоне несущественна, а отвод тепла определяется лишь теплопроводностью. Существенно, что толщина зоны химических реакций во много раз меньше толщины тепловой зоны. Поэтому зону реакций можно рассматривать как некоторую поверхность, на которой выполняются определенные гра­ничные условия. Первое условие очевидно: температура равна температуре термодинамически равновесных продуктов сгорания. Второе условие свя­зывает скачок производной от температуры по нормали к зоне реакции со скоростью химической реакции и коэффициентами молекулярного пере­носа (существование такого скачка следует из того, что тепловыделение сосредоточено на поверхности).

Метод Зельдовича и Франк-Каменецкого можно использовать и для опи­сания горения однородной смеси в общем случае. Для этого следует ре­шить уравнение теплопроводности без источников с двумя граничными условиями: 1) на поверхности фронта пламени температура равна темпе­ратуре продуктов сгорания и 2) на бесконечном удалении от фронта пла­мени температура равна температуре свежей смеси. Еще одно граничное ус­ловие для скачка производной от температуры по нормали к зоне реакций определяет положение фронта пламени.

В ряде случаев решение может быть еще более упрощено, так как не только толщина зоны реакций, но и тепловая толщина фронта пламени зачастую мала по сравнению с характерным размером задачи (как уже отмечалось, при горении однородной смеси пропана с воздухом в нор­мальных условиях основное изменение температуры происходит на рас­стоянии меньше миллиметра). Поэтому фронт пламени можно рассмат­ривать как поверхность, на которой происходит скачкообразное измене­ние скорости, плотности, концентраций и температуры. Скорость движе­ния этой поверхности относительно свежей смеси является некоторой физико-химической постоянной, обычно называемой нормальной ско­ростью распространения и„. Таким образом, определение положения фрон­та пламени сводится к решению чисто кинематической задачи: найти по­верхность, каждая точка которой движется со скоростью u + utln (и – скорость свежей смеси, п – единичная нормаль к фронту пламени).

Из вышеизложенного следует, что в ламинарном потоке как при горе­нии заранее не перемешанных газов, так и при горении однородной смеси положение фронта пламени можно определить, не рассматривая деталей химической кинетики.

Указанные выше методы можно использовать как при анализе турбу­лентного горения однородной смеси (Дамкелер [1940], Щелкин [1943]), так и при исследовании турбулентного диффузионного горения (Гауссорн, Уиддел и Хоттел [1949]). В настоящее время нет больших сомнений в том, что при турбулентном диффузионном горении зону реакций можно счи­тать тонкой (здесь и далее зона реакций определяется по неосредненным распределениям температуры и концентраций). Что же касается турбулент­ного горения однородной смеси, то известные экспериментальные данные (хотя в настоящее время и весьма немногочисленные) также свидетель­ствуют о том, что в большинстве случаев толщина зоны реакций мала по сравнению с характерным размером задачи.

Таким образом, исследование турбулентного горения можно провести в два этапа. На первом этапе изучается внутренняя структура зоны реакций. Эта структура определяется только локальными характеристиками турбу­лентности. Например, если толщина зоны реакций много меньше, чем ми­нимальный пространственный масштаб пульсаций скорости, то в окрест­ности зоны реакций можно принять, что скорость среды и восстановлен­ная концентрация горючего меняются линейно. Такой подход уже использо­вался в теории горения однородной смеси (Климов [1963]). На втором этапе исследуются крупномасштабные колебания зоны реакций, которые приводят к ее перемещениям как целого. В этом случае основной интерес представляют амплитудные характеристики колебаний, так как они опре­деляют среднюю протяженность зоны горения. На этом этапе детали хими­ческой кинетики не имеют особого значения.

Чтобы сформулировать, какие параметры турбулентности и какие методы исследования необходимо использовать на каждом из указанных этапов, рассмотрим основные особенности турбулентных течений и выте­кающие из этих особенностей направления в теории турбулентности. Сей­час в этой теории можно выделить два основных подхода. Целью первого (традиционного) является нахождение различных статистических харак­теристик. Второй возник сравнительно недавно в связи с появлением мощных ЭВМ и основан на численном интегрировании уравнений Навье – Стокса, т. е. на выяснении более или менее детальной картины течения. К этому направлению относятся и исследования так называемых когерентных структур, т. е. неслучайных или не вполне случайных крупномасштабных колебаний скорости.

Выбор правильного подхода должен основываться на главной особен­ности турбулентности, которая обусловлена многомасштабностью харак­теристик течения.

Для пояснения напомним, что любое сложное пространственное распре­деление скорости можно представить в виде суперпозиции гармонических колебаний. В турбулентных потоках длина волны крупномасштабных ко­лебаний сопоставима с характерным линейным размером задачи. Длина волны наиболее мелкомасштабных колебаний намного меньше характер­ного размера задачи и, что самое главное, уменьшается по мере роста числа Рейнольдса. Поэтому в рассматриваемой суперпозиции (т. е. в спектре турбулентности) представлено очень большое число колебаний, длины волн которых сильно варьируются. Крупномасштабные колебания определяют энергию турбулентности, а мелкомасштабные – ее диссипацию, которая оказывается существенной при всех числах Рейнольдса (т. е. при любой сколь угодно малой вязкости).

Последнее обстоятельство заслуживает особого внимания. Из общих соображений ясно, что крупномасштабные колебания скорости-практичес­ки не зависят от вязкости, так как числа Рейнольдса для них обычно очень велики. Такие колебания, однако, неустойчивы, в результате чего образу­ются колебания с меньшим пространственным масштабом и несколько меньшим числом Рейнольдса. Этот процесс продолжается, пока не появят­ся колебания со столь малым пространственным масштабом, что их числа Рейнольдса будут порядка единицы. Эти колебания устойчивы из-за силь­ного влияния вязкой диссипации. Следовательно, с уменьшением вязкости наименьший пространственный масштаб колебаний падает, что4 приводит к увеличению градиента скорости, и поэтому в среднем диссипация энергии остается неизменной.

Из описанной картины вытекает, что много масштабность процессов тур­булентного переноса приводит к авто мо дельности турбулентных тече­ний по числу Рейнольдса. Выражаясь точно, это означает, что средние значе­ния всех величин, определяемых крупномасштабными колебаниями ско­рости, не зависят от числа Рейнольдса, если это число стремится к беско­нечности. К таким величинам относятся, например, скорость, давление или концентрация инертной примеси, а также различные степени этих величин. Принцип автомодельности по числу Рейнольдса, вообще говоря, неприме­ним к описанию градиентов гидродинамических параметров, поскольку эти градиенты определяются мелкомасштабными колебаниями скорости. Справедливость рассматриваемого принципа хорошо подтверждена экспе­риментально и в настоящее время не вызывает особых сомнений.

Из сказанного следует ряд важных выводов. Прежде всего ясно, что описание одних только энергосодержащих, крупномасштабных колеба­ний скорости не может быть замкнутым. В самом* деле, эволюция таких колебаний определяется вязкой диссипацией, зависящей от мелкомасштаб­ных пульсаций. Более того, поскольку энергетический спектр пульсаций непрерывен, крупно-и мелкомасштабные колебания не могут рассматри­ваться изолированно, подобно тому, как в теории ламинарного движения сплошной среды рассматриваются макроскопические и молекулярные движения. Поэтому возможны только два пути создания теории турбулент­ности. На первом рассматриваются характеристики колебаний всех масшта­бов. При этом учет вязких эффектов обязателен и, следовательно, в такой теории должен фигурировать коэффициент кинематической вязкости. Рас­сматриваемый путь, однако, связан с анализом в известном смысле излиш­ней информации, так как основные черты турбулентности не зависят от числа Рейнольдса.

Поэтому более естествен второй путь, основанный на поиске универсаль­ных связей между характеристиками мелко – и крупномасштабных пуль­саций. Как ясно из теории Колмогорова [1941] и Обухова [1941], такие связи действительно существуют, если характерные масштабы колебаний,

определяющих энергию турбулентности и ее диссипацию, сильно различны. Эти связи являются следствием принципа автомодельности турбулентности по числу Рейнольдса.

Строго говоря, такой подход предполагает рассмотрение предела реше­ний уравнений Навье-Стокса при Re 00. В этом случае возникает труд­ность, для пояснения которой обратимся к известному из квантовой меха­ники рассуждению, иллюстрирующему необходимость статистического опи­сания проблемы. Следуя идеям квантовой механики, рассмотрим, возмож­но ли измерение какой-либо величины (в том числе и диссипации энергии) при Re 00. Под термином "измерение" естественно понимать не только собственно измерение с помощью какого-либо физического прибора, но и численное решение уравнений Навье – Стокса.

Ясно, что в любом опыте или численном решении уравнений Навье – Сток – са определяются лишь величины, осредненные по некоторой пространствен­но-временной области (такие величины удобно назвать частично осреднен – ными). Если число Рейнольдса стремится к бесконечности, то проблема измерения (или численного расчета) становится особенно важной, посколь­ку пространственные масштабы колебаний скорости, определяющих дисси­пацию, стремятся к нулю. Очевидно, что теория имеет объективное значе­ние, только если в ней рассматриваются величины, имеющие предел при стремлении к нулю размера области, по которой производится осреднение (в противном случае разные измерительные приборы или разные численные алгоритмы будут давать несовпадающие между собой результаты). Таким образом, необходимо проанализировать двойной предельный переход, когда, с одной стороны, число Рейнольдса стремится к бесконечности, а с другой — размер области /, по которой производится осреднение, приближается к нулю. С практической точки зрения это означает, что производится серия опытов, в которых варьируются величины / и Re, а затем результаты измерений экстраполируются в область I = 0, Re = 00.

Существующие экспериментальные данные вполне определенно свиде­тельствуют о том, что такая экстраполяция принципиально невозможна. Этот вывод основан на многочисленных опытах, в которых исследовалась перемежаемость, т. е. крайне нерегулярное распределение градиентов скоро­сти и концентрации в турбулентных потоках, когда области с чрезвычайно малыми значениями градиентов (нетурбулентная жидкость) нерегулярным образом перемежаются с областями, в которых значения градиентов очень велики (турбулентная жидкость) – Корсин [1943], Бэтчелор и Таун – сенд [1949], Таунсенд [1956] и др. Скорость диссипации энергии турбу­


2

лентности е = ■ и скалярная диссипация концентрацион­

ных неоднородностей N=D (1/, D – кинематическая вязкость


и коэффициент молекулярной диффузии соответственно) квадратичны по градиентам, поэтому сказанное в равной степени относится и к полям с и УУ, которые играют важнейшую роль в теории турбулентности и турбу­лентного смешения.

В нетурбулентной жидкости диссипация энергии и мелкомасштабные колебания скорости отсутствуют. В турбулентной жидкости диссипация и мелкомасштабные колебания скорости всегда играют важную роль.

Поэтому, если измерения проводятся внутри турбулентной жидкости, то при / = const всегда найдется такое достаточно большое число Рей­нольдса, что диссипация энергии будет существенно изменяться внутри измерительною объема. Следовательно, измеренное значение диссипации зависит от размера и формы области, по которой производится осреднение. Сказанное означает, что в турбулентной жидкости, по-видимому, не сущест­вует объективного способа нахождения частично осредненной диссипации энергии. Таким образом, если число Рейнольдса стремится к бесконечности, го возможно лишь статистическое описание течения в турбулентной жидко­сти (т. е. там, где е > 0). С другой стороны, в нетурбулентной жидкости де! ерминированное описание течения возможно, так как в ней отсутствуют мелкомасштабные колебания скорости и, следовательно, измерения величин € и N возможны.

Отсюда ясны трудности, возникающие в том направлении исследования турбулентности, которое связано с исследованием детальной картины течения. Действительно, численное интегрирование уравнений Навье — Стокса возможно при не столь больших числах Рейнольдса, какие представ­ляют основной интерес в конкретных научных и прикладных задачах. Для преодоления этих трудностей предложен ряд так называемых подсеточных моделей турбулентности, в которых непосредственно рассматриваются частично осредненные характеристики течения. Вычисление этих характе­ристик основано на уравнениях движения, в которых влияние колебаний с длинами волн, меньшими масштаба осреднения, описывается с помощью коэффициента турбулентной (точнее, микро турбулентной) вязкости. Однако ясно, что с помощью подсеточных моделей нельзя решить всех проблем, поскольку, как уже отмечалось, перемежаемость приводит к тому, что не существует объективного способа нахождения частично осредненной диссипации энергии. По той же причине нельзя дать и замкнутого описания когерентных структур.

Значительные трудности существуют и в статистическом подходе В лом подходе можно выделить три направления: 1) исследование формализма моментов, связанных бесконечной зацепляющейся цепочкой уравнений Келлера – Фридмана [1924]: 2) функциональный подход к теории турбулентности, основанный на рассмотрении характеристическо­го функционала, введенного Колмогоровым [1935], для которого Хопфом [1952] получено линейное уравнение в вариационных производ­ных; 3) формализм конечномерных распределений вероятностей, введен­ных сравнительно недавно в работах Монина [1967], Ландгрена [1967], Новикова [1967], Улиничаи Любимова [1968], Кузнецова [1967].


Лишь функциональный подход к теории турбулентности является замкнутым. Однако отсутствие математической теории уравнений в ва­риационных производных и, что не менее важно, отсутствие ясности в тех дополнительных ограничениях, которые позволяют выделить множество функционалов, представляющих интерес для теории турбулентности, не позволяют получить до сих пор на этом пути какие-либо конкретные результаты[1]). Кроме того, характеристический функционал описывает все статистические свойства поля скорости, в том числе зависящие от числа Рейнольдса свойства мелкомасштабных пульсаций. Следовательно, такой подход связан с переработкой в известном смысле излишней информации.

Остальные направления, в том числе и модели турбулентности, в кото­рых главные усилия направлены на отыскание первых двух одноточечных моментов поля скорости и концентрации, основаны на точных (но не замкнутых) соотношениях, вытекающих из уравнений Навье — Стокса. Для замыкания этих соотношений привлекается информация, которая заимствуется из опыта. Несмотря на отдельные успехи, такой путь, однако, не привел к созданию универсальной теории, способной с достаточной для практики точностью описать все турбулентные течения.

Таким образом, значительные трудности возникают как при использова­нии статистических методов, так и при попытках выяснить детальную кар­тину течения. По-видимому, лишь сочетание обоих подходов, статистическо­го и детерминированного, позволит решить проблему описания турбу­лентности. Такое сочетание, как сейчас станет ясно, важно и в теории тур­булентного горения.

Ранее указывалось, что в большинстве случаев толщина зоны реакций весьма мала. Поэтому для приближенного описания горения можно ввести некую поверхность, вблизи которой локализованы реакции. Эта поверх­ность сильно искривлена турбулентными пульсациями разных масштабов и, если можно так выразиться, имеет вид сильно смятого комка бумаги со множеством внутренних пустот самых разнообразных размеров. Несмотря на столь сложную структуру, можно отдельно рассмотреть две проблемы: 1) какова внутренняя структура зоны реакций, 2) какова структура по­верхности, вблизи которой она локализована?

Рассмотрим первую проблему. Так как толщина зоны химических реакций мала, то ее структура определяется локальными характеристиками турбулентности. На основе теории Колмогорова [1941] и Обухова [1941, 1949] можно предположить, что эти характеристики определяются коэф­фициентами молекулярного переноса, диссипацией энергии е и, если речь идет о горении иеперемешанных газов, скалярной диссипацией N.

При исследовании внутренней структуры зоны реакций статистическое описание процесса в известном смысле оказывается излишним. В самом деле, если зона реакций локально плоская, то в системе координат, свя­занной с какой-либо изотермой в этой зоне, все характеристики процесса описываются одномерными, квазистационарными уравнениями диффузии и теплопроводности. В эти уравнения входит компонента скорости среды, нормальная зоне реакций, и, если рассматривается горение иеперемешанных газов, восстановленная концентрация горючего. В связи с тем, что толщина зоны реакций мала, можно принять, что эти величины линейно зависят от координаты, нормальной зоне реакций. Поэтому решение уравнений диф­фузии и теплопроводности внутри зоны реакций можно получить с помощью достаточно простых методов. В решение, очевидно, войдут неосредненные градиенты скорости и восстановленной концентрации горючего, которые следует рассматривать как случайные параметры. В рамках такого подхода статистические методы необходимы лишь для определения средних характеристик процесса внутри зоны реакций.

Понятно, что решение этой задачи очень тесно связано с исследованием статистических характеристик мелкомасштабной части спектра турбу­лентности. Отсюда видно, что диссипация энергии и скалярная диссипация играют фундаментальную роль не только в теории турбулентности (Колмо­горов [1941], Обухов [1941, 1949]), но и в теории турбулентного горения.

Рассмотрим вторую проблему. Ее решение должно основываться на ана­лизе распределений вероятностей различных гидродинамических парамет­ров. Действительно, из геометрических соображений понятно, что плот­ность вероятностей температуры (или концентрации) может быть связана с объемом, заключенным между двумя близкими изотермами, в частности, и между теми, где происходит основное превращение вещества. Последний объем пропорционален поверхности, вблизи которой локализованы химиче­ские реакции. Это обстоятельство обуславливает особую роль плотностей вероятностей в теории турбулентного горения. Формально она проявляется в том, что при решении уравнений, описывающих поведение реагирующего газа, приходится осреднять скорости химических реакций, нелинейно зависящие от температуры и концентрации.

На рассматриваемом этапе исследования детали химической кинетики не играют особой роли. Например, при горении неперемешанных газов зона реакций находится вблизи поверхности, на которой восстановленная кон­центрация горючего, т. е. концентрация примеси, не участвующей в реакции, является постоянной. Это означает, что статистические характеристики колебаний фронта пламени непосредственно не зависят от скорости химиче­ской реакции, т. е. задача сводится к исследованию распределения вероятно­стей инертной (нереагирующей) примеси.

При горении однородной смеси зона реакций расположена вблизи по­верхности, на которой температура постоянна и близка к температуре продуктов сгорания. Тем самым описание крупномасштабных колебаний фронта пламени сводится к изучению распределения вероятностей темпера­туры. Детали химической кинетики не имеют значения и в этом случае, поскольку часто можно считать, что скорость движения зоны реакций отно­сительно среды близка к ип и, таким образом, особенности химических реакций влияют только на нормальную скорость распространения пламени.


При использовании описанных представлений в исследованиях турбу­лентного горения необходимо учесть целый ряд нетривиальных эффектов. Один из них обусловлен влиянием изменения плотности газа на гидродина­мическую структуру течения, вследствие чего изменяются средние скоро­сти исходных горючих компонентов и продуктов сгорания. Этот процесс прежде всего воздействует на крупномасштабную часть спектра турбу­лентности. Следовательно, характеристики последнего слабо зависят от кинетики химических реакций и в основном определяются отношением плотностей исходных горючих компонентов и продуктов сгорания. При горении однородной смеси, помимо отмеченных факторов, существенную роль может играть гидродинамическая (тепловая) неустойчивость пламени, которая при определенных условиях может приводить к дополнительной турбулизации потока. Из линейной теории устойчивости (Ландау [1944]) известно, что инкремент нарастания амплитуды гармонического колебания пламени возрастает с уменьшением масштаба этого колебания или с увели­чением нормальной скорости распространения пламени. Поэтому прежде всего должна возникнуть мелкомасштабная турбулентность. Характе­ристики этой турбулентности зависят от иП9 т. е. определяются скоростью химических реакций.

Другая группа эффектов связана с влиянием процессов молекулярного переноса на структуру зоны химических реакций. В этой связи следует подчеркнуть, что поскольку толщина зоны реакций мала, то ее структура определяется мелкомасштабной частью спектра турбулентности, для описания которой принцип автомодельности по числу Рейнольдса неприме­ним. Отметим также, что важную роль могут сыграть и различия между коэффициентами молекулярного переноса, которые приводят к измене­нию состава и температуры в зоне реакций.

Наконец, при анализе внутренней структуры фронта пламени необходи­мо учесть цепной характер химических реакций, т. е. следует иметь в виду, что химические превращения происходят в несколько стадий, на которых образуется много промежуточных веществ (атомов и свободных радикалов).

ГЛАВА 1

ПЕРЕМЕЖАЕМОСТЬ И КАЧЕСТВЕННЫЙ ВИД ПЛОТНОСТЕЙ РАСПРЕДЕЛЕНИЙ ВЕРОЯТНОСТЕЙ В ТУРБУЛЕНТНЫХ ПОТОКАХ

В данной главе обсуждаются основные представления о турбулентном движении при больших числах Рейнольдса, необходимые для анализа струк­туры турбулентных потоков и закономерностей протекания в них химиче­ских реакций. Масштабы длины и скорости, определяющие число Рей­нольдса Re, соответствуют крупномасштабным флуктуациям в потоке, т. е. Re = qL jv, где q — среднеквадратическое значение пульсационной ско­рости, L — интегральный масштаб турбулентности, v — кинематичес­кая молекулярная вязкость. В главе рассматривается перемежаемость и качественный вид плотностей распределений вероятностей в турбу­лентных потоках. Как указывалось во введении, эти характеристи­ки имеют первостепенное значение для теории турбулентного горения и собственно теории турбулентности. В настоящее время благодаря обшир­ным экспериментальным исследованиям стало ясно, что качественный вид плотностей распределений вероятностей существенно определяется переме­жаемостью и локальной структурой турбулентности, вследствие чего эти вопросы невозможно рассматривать изолированно друг от друга.

Изложение перечисленных вопросов следует этой точке зрения, которая высказана в статье Кузнецова и Сабельникова [1981 а].

§1.1. Перемежаемость в турбулентных потоках

В теории турбулентности фундаментальную роль играет предположение о том, что средние значения скорости диссипации энергии < е ) и скалярной диссипации < АО стремятся к конечным и отличным от нуля пределам при Re оо (далее, слово "скорость’ в этих словосочетаниях для краткости опускается). Здесь

vl ди,- ЭмД2 о Э2м, м/

с = —- +—Ц – у | со |2 + 2i>——————— N = D(V z) %

z\dxj dXj } дх dxj

Ds v – коэффициент диффузии и кинематическая вязкость, и – вектор скорости, х – радиус-вектор точки в декартовой прямоугольной системе координат, V = (ЫЪхх, Э/Эх2, Э/дх,) – символ операции градиента

(оператор Гамильтона), со = V X и – вектор вихря (завихренность), z – концентрация инертной примеси (т. е. примеси, не участвующей в хими­ческой реакции) ; по повторяющимся индексам производится суммирова­ние, а угловыми скобками < > обозначено безусловное осреднение.

Подобно тому, как величина е характеризует уменьшение энергии тур­булентности из-за вязкости, скалярная диссипация N описывает, с какой скоростью происходит выравнивание неосредненных концентрационных неоднородностей из-за молекулярной диффузии. Поэтому можно сказать, что скалярная диссипация дает скорость смешения вещества до молеку­лярного уровня.

Предположение о существовании конечных пределов величин <€ > и (N) при Re 00 хорошо подтверждается экспериментально. Его качест­венное обоснование обычно опирается на теорию гидродинамической устойчивости, а именно считается, что при уменьшении вязкости из-за неустойчивости течения образуются более мелкомасштабные движения. Этот процесс автоматически приводит к такому увеличению неосредненных градиентов скорости и концентрации, которое в среднем компенсирует уменьшение вязкости. Указанные соображения положены в основу теории локально однородной и изотропной турбулентности Колмогорова [1941], Обухова [1941, 1949], подробное изложение которой содержится в книге Монина и Яглома [1967]. Согласно этой теории пространственный масштаб наиболее мелкомасштабных движений, так называемый колмогоровский или внутренний масштаб турбулентности ц равен

„ = ,3/4(€>-1/4

Следует отметить, что скалярная диссипация и диссипация энергии не зависят от коэффициентов молекулярного переноса и в ламинарном погра­ничном слое при большом числе Рейнольдса. Примером может служить течение в пограничном слое при нулевом градиенте давления или в слое смешения между двумя плоскопараллельными потоками. В обоих случаях увеличение числа Рейнольдса приводит к уменьшению толщины погранич­ного слоя и соответствующему возрастанию градиентов скорости и кон­центрации. В результате, как это легко проверить из решения Блазиуса (см., например, Шлихтинг [I960]), величины е и 7V остаются в точности неизменными. Такая картина течения наблюдается только внутри узкого пограничного слоя (толщина слоя стремится к нулю при увеличении числа Рейнольдса), вне которого процессы молекулярного переноса несуществен­ны, т. е. в = N = 0, а характеристики потока описываются уравнениями Эйлера (в ряде случаев для описания течения вне пограничного слоя можно использовать предположение о потенциальности течения).

Описанная структура потока характерна для многих задач гидродинами­ки в том смысле, что при очень больших числах Рейнольдса силы вязкости существенны лишь в очень узких областях, вне которых процессы молеку­лярного переноса не играют роли. Этот вывод – вполне естественное следствие уравнений Навье — Стокса, в которых при больших числах Рей­нольдса содержится малый параметр при старшей производной.

Аналогичная структура наблюдается и в турбулентных потоках. В этом случае процессы диссипации также происходят лишь в узких областях. Осо­бенность турбулентного течения проявляется в том, что эти области хаоти­чески перемещаются в пространстве, а значения е и jVb них, вообще говоря, зависят от числа Рейнольдса. Описанное явление впервые обнаружено Корсиным [1943] и обычно называется перемежаемостью. В настоящее время установлено, что оно характерно для всех турбулентных течений.

Различают два вида перемежаемости — внешнюю и внутреннюю. Для пояснения того, что понимается под этими терминами, обратимся к на­глядному примеру — истечению струи дыма из трубы электростанции. Наблюдения за такой струей показывают, что существует достаточно резкая граница, за которую дым не проникает. Эта граница искривлена и неста­ционарно колеблется. Такая граница наблюдается не только в струях, но и в следах и в пограничных слоях. Измерения свидетельствуют о том, что вне границы диссипация энергии равна нулю (Таунсенд [1956]). Таким образом, пространственное распределение диссипации энергии оказывается очень неравномерным: области, в которых е > 0, чередуются с областя­ми, в которых е = 0. Колебание границ следов, струй, пограничных слоев обычно называется внешней перемежаемостью, причем слово "внешняя" часто опускается.

Известно, что внутри границ этих течений пространственные распреде­ления диссипации энергии и скалярной диссипации также весьма нерав­номерны: области, в которых наблюдаются интенсивные пульсации градиен­тов скорости и концентрации, перемежаются с областями, в которых такие пульсации практически отсутствуют. Это явление впервые обнаружено Бэтчелором и Таунсендом [1949]. Оно получило название внутренней пе­ремежаемости.

Существенно, что из-за пульсаций давления флуктуации скорости наблю даются во всем потоке. Поэтому исследование перемежаемости не может основываться на рассмотрении поля скорости. В силу сказанного наиболее распространенный способ изучения перемежаемости связан с анализом поля градиентов скорости, т. е. диссипации энергии. В этом способе, однако, возникает проблема разделения внешней и внутренней перемежаемостей. Чтобы подчеркнуть важность этой проблемы, проанализируем результаты исследований обоих типов перемежаемости.

Согласно установившейся терминологии будем говорить, что области с малыми значениями градиентов скорости или концентрации заполнены нетурбулентной жидкостью, а области с большими значениями градиен­тов – турбулентной жидкостью. В литературе вместо термина "нетурбу­лентная" жидкость часто используется выражение "потенциальная" жид­кость, т. е. предполагается, что существуют области, в которых течение потенциально. Указанное предположение будет использоваться в настоя­щей книге, хотя и его справедливость в настоящее время полностью неясна (см., например, Монин [1978]).

Характеристики внешней перемежаемости подробно исследовались в целом ряде работ (Хедли и Кеффер [1974а, б], Томас [1973], Фабрис [1979а, б], Пайцис и Шварц [1974, 1975], Мобс [1968], Мерлис, Зай и Брэдшоу [1982], Вуд и Брэдшоу [1982] и т. д.). Они основаны на измере­ниях различных условно осредненных моментов, т. е. на осреднении по таким промежуткам времени, когда в рассматриваемой точке наблюдается турбулентная жидкость. Такое осреднение далее обозначается символом < >/. Обычно считается, что жидкость является турбулентной, если квад­рат градиента • скорости превышает некоторое пороговое значение (Таун­сенд [1956]). Иногда принимают, что градиент скорости должен превышать пороговое значение в течение некоторого промежутка времени, продолжи­тельность которого не менее некоторой заданной величины (Хедли и

Г\

"Рис. 1.1. "Замороженные" распределения темпе­ратуры в плоской затопленной струе по данным Уберои и Сингха [1975]. Распределения получены в сечении xx/d =45, d = 3,18 мм. Максимальный перегрев в начальном сечении равен 50 °С; мак­симальная средняя скорость в сечении измерения равна 0,305 м/с, скорость перемещения термо­метра сопротивления равна 6.1 м/с. Осциллограм­мы 1-4 получены в разные моменты времени. Единицы измерения по оси ординат произвольны

Кеффер [1974а, б]). В ряде случаев в ка­честве индикатора турбулентности исполь­зуется поле концентрации, т. е. жидкость считается турбулентной, если z > 0. Подроб­ный обзор различных экспериментальных методик выбора индикатора турбулентнос­ти при измерении уело но осредненных характеристик в турбулентных потоках можно найти в работах Антониа [1981], ШонаиШарне [1977].

Для иллюстрации применимости ноля концентрации (или температуры) в качестве индикатора турбулентности на рис. 1.1 приведены осциллограммы, нолученные в работе Уберои и Сингха [1975] [2]). Опыты проведены со слабо – подогретой плоской струей, вытекающей в неподвижное пространство. В этих опытах термометр сопротивления передвигался перпендикулярно. плос­кости симметрии со скоростью, в 20 раз большей, чем максимальная ско­рость струи в том сечении, где производились измерения. Поэтому на рис, 1.1 изображены "замороженные" распределения температуры. Видно, что на границе струи происходит почти скачкообразное изменение темпера­туры. Следовательно, в данном случае идентификация турбулентной жид­кости не вызывает особого труда. Такая ситуация, по-видимому, харак­терна для не слишком больших чисел Рейнольдса (в данном случае число Рейнольдса, вычисленное по неосредненной ширине струи и максимальной средней скорости, лежит в диапазоне 103 – 1,3 • 103). Как будет видно да­лее, область, которая на рис. 1.1 целиком заполнена пульсациями, при Re приобретает гораздо более сложную структуру.

В результате исследования внешней перемежаемости установлены сле­дующие факты. В тех областях потока, где существенна перемежаемость (т. е. часто наблюдается граница течения), одноточечные распределения ве­роятностей скорости и концентрации сильно отличаются от нормального распределения. Например, в работах Ля Рю и Либби [1974], Антониа,

Прабху и Стефенсона [1975] показано, что коэффициенты асимметрии А и эксцесса Е пульсаций концентраций могут быть больше десяти. Здесь

«е-<£ц3> п_ <«-<ец4> 3

- <а-<?»2>3/2 ‘ <«-<£»2>2

где под величиной £ понимается скорость или концентрация. Далее будут употребляться также величины At и Eti которые получаются, если в фор­мулах для А и Е осреднение производится по турбулентной жидкости.

В противоположность безусловным распределениям вероятностей, ус­ловные распределения вероятностей скорости и концентрации в турбу­лентной жидкости слабо отличаются от нормальных. Например, измерения Ля Рю и Либби [1974], Антониа, Прабху и Стефенсона [1975] свидетельст­вуют о том, что величины At и Et для поля концентрации не превышают нескольких десятых. Аналогичное утверждение справедливо и для поля скорости (Таунсенд [1956]).

Установлено также, что в струях и следах величины, осредненные по тур­булентной жидкости, в поперечном направлении изменяются гораздо слабее, чем безусловно осредненные величины. Этот вывод впервые сделан Таунсендом [1956]. В качестве примера на рис. 1.2 представлены результа­ты измерений диссипации энергии в следе за цилиндром, приведенные в его работе (d – диаметр цилиндра, и0 – скорость набегающего потока). Анало­гичные данные получены и для поля концентрации в осесимметричных струях Беккером, Хоттелем и Вильямсом [1967], Антониа, Прабху и Стефенсоном [1975]. Результаты первой работы помещены на рис. 1.3, 1.4, а второй — на рис. 1.5, 1.6 (d – диаметр сопла, и0 — скорость истече­ния струи, Woo – скорость спутного потока).

Из рис. 1.3, 1.4 видно, что при изменении х2/хг в диапазоне 0,14-0,26 безусловно осредненная концентрация меняется на два порядка, в то время как концентрация, осредненная по турбулентной жидкости, меняется всего в 2,5 раза, а интенсивность пульсаций концентрации в турбулентной жидкости остается практически неизменной.

Рис. 1.2. Профили безусловно и условно оередненной скорости диссипации энергии турбулентности в следе за круговым ци­линдром ‘по данным Таунсенда (1956|. xjd = 160. Red = u0dh> = 8,4 • 103; / -

= <€>,<*, 4=^2/VCv, – xl0)d.

x10 = – 20 d

Как показывают измерения Фабриса [1979а, б] в следе за подогретым круговым цилиндром, такой же характер имеют и средние значения квад­рата производной температуры (ЪТ/dt)2 (рис. 1.7). Используя гипотезу Тейлора о замороженности турбулентности (т. е. предположение о том, что Э/Эг = —< Wi > Э/dXj) и предположение о локальной изотропии турбулентнос­ти, можно сделать заключение, что сказанное в равной степени относится и к скалярной диссипации.


осесимметричной струе по данным Беккера, Хоттелаи Вильямса [1967J.*, ld-20-36, Re</ = u0d/v = 5,4 • I О4, d = 2,41 см, и0 = 130 м/с, (z)c - средняя концентрация на оси струи, t=x2l(xl ->г10), xl0 =-4,8d

Рис; 1,4. Безусловные и условные средаеквадратические концентрации в затопленной осесимметричной струе по данным Беккера, Хоттела и Вильямса [1967). ст° =

Рис. 1.6. Профили безусловных и условных среднеквадратических концентраций в спутной осесимметричной струе по данным Антониа, Прабху и Стефенсона [1975]. 1 – a0 =<(z – <z >)*>I/2/<z >с, 2 – a J = < (z – < z >,)* >J/2/< z >c., <z>c – средняя концен­трация на оси струи. Условия опытов те же, что и на рис. 1.5

= u0d/v = 4,3 • 104, Uq/uqo = 6,6, d = 2,03 см, и0 = 32 м/с; / – <z >/<z >с, 2 -<z>f/<z >с, <z)c – средняя концентрации на оси струи, £0 – линейный масштаб, равный расстоя­нию от оси симметрии, при котором < z > = < z ><./2

= <(z – <z >)2>1^2/<z >, а J = < (7 – (z)t)2)^2/(z )t. Условия опытов и обозначения те же, что и на рис. 1.3

Рис. 1.7. Профили безусловно и условно осредненных квадратов производной темпе­ратуры в следе за круговым цилиндром по данным Фабриса [1979а, б). xjd = 400, Red = u0d/»*2J 103. d - 6,25 мм, u0 =6,46 м/с; 1 - n = i(dz/dt)2)d2 !u\% 2 - = {(bz/dt)2)fd2 /и I, z = A T/( А 7)ц)ах» = T~ T<*>

Рис. 1.8. Профили безусловных и условных среднеквадратических пульсаций продоль­ной скорости в турбулентной и нетурбулентной жидкостях и коэффициента переме­жаемости в турбулентном пограничном слое на пластине по данным Коважного, Ки - бенса и Блэкуелдера [1970J. Измерения проведены в сечении, расположенном на расстоянии х, = 9 м от носика пластины, толщина пограничного слоя Ь = 10 см,

=Uoo6/v = 2,75 • 104. Woo =4,3 м/с; / - и J = <(w, - < ux >,)2>}/2/ыоо, 2 - u° = = <(w, -<w, »2>1/2/woo, 3-u°n = <(w, -<W1)w)2>^/2/WOO, 4 — у


В отличие от концентрации примеси, которая не проникает в нетурбу­лентную жидкость, энергия пульсаций в нетурбулентной жидкости не равна нулю, что обусловлено пульсациями давления, которые, как известно, обуславливают нелокальный характер процессов переноса в турбулентных потоках. Для иллюстрации обратимся к рис. 1.8, где изображены результа­ты измерений условно осредненных моментов < - {ux)t)2)\n и

< (ui -(и 1>«)2>У2 в турбулентном пограничном слое на пластине (нижний индекс п соответствует осреднению по нетурбулентной жидкости). Эти дан­ные приведены Коважным, Кибенсом и Блэкуелдером [1970] (аналогич­ные результаты получены в плоской струе Дженкинсом и Гольдшмидтом [1976], Олером, Дженкинсом и Гольдшмидтом [1981]). Видно, что если рассматриваемая точка расположена не слишком далеко от средней грани­цы пограничного слоя, то энергия флуктуаций в обеих жидкостях одного порядка, т. е. пульсации давления достаточно эффективно перераспределяют энергию.

Рассмотрим теперь результаты исследований внутренней перемежаемости. Уже в первой работе, посвященной анализируемому вопросу (Бэтчелор и Таунсенд [1949]), установлено, что коэффициенты эксцесса пульсаций градиента скорости (и, следовательно, коэффициенты эксцесса пульсаций диссипации энергии) очень велики. Показано также (и это наиболее важно), что эти коэффициенты растут с увеличением числа Рейнольдса. Результаты о писанных опытов позже подтверждены Пондом и Стюартом [1965] Гурвичем [1966. 1967]. Стюартом, Вильсоном и Берлингом [1970],Винга ардом и Теннекесом [1970], Гибсоном, Стегеном и Вильямсом [1970] Гибсоном, Стегеном и Мак-Коннелом [1970], Виньянским и Фидиером [ 1970]. Куо и Корсиным [ 19711, Ченом [1971]. Гибсоном и Масейо [ 1971 ], Шейхом, Теннекесом и Лампи [1971], Антониа [1973], Вингаардом и Пао [1975], Френкилем и Клебановым [1975], Вингаардом, Пао и Виньянс­ким [1976] , Антониа и Данем [1977]. а также рядом других исследова­телей.

В качестве примера на рис. 1.9, 1.10 представлены зависимости коэф­фициентов эксцесса пульсаций одной из компонент градиента скорости bujbxi от числа Re\ = V<(w i – < Hi >)2> X/i> ^Re1/2, где X2 = < Г г/, – - <1/1>)2>/<(Э//|/Эдг, )2>, Х – микромасштаб Тейлора. Рис. 1.9 взят из работы Ван Атта и Антониа [1980], а рис. 1.10 – из работы Френкиля и Клебано­ва [1975]. Результаты измерений коэффициентов эксцесса градиента концентрации носят аналогичный характер (рис. 1.11, заимствованный из работы Тэваул эриса и Корсина [19816]).

Результаты рассмотренных измерений свидетельствуют о том, что в пото­ке существуют области, в которых диссипация энергии намного превышает среднее значение. Поскольку < е > не зависит от числа Рейнольдса, а коэф­фициент эксцесса пульсаций диссипации энергии, по-видимому, неограни­ченно растет с увеличением числа Рейнольдса, то отсюда вытекает, что дис­сипация энергии происходит в объеме, который стремится к нулю при Re 00. Для пояснения сделанного вывода заметим, что распределение ве­роятностей случайной величины £ можно рассматривать как отношение той части объема, в которой выполняется неравенство £ < £0, к общему объему системы (для простоты предполагается, что распределение £ (дг) статистически однородно, а процесс эргодичен). В связи с этим остановим­ся на вопросе, каковы распределения вероятностей диссипации энергии и скалярной диссипации.

Хотя известны и непосредственные измерения этих распределений (см. литературу, приведенную выше), здесь удобно ряд заключений сделать на


100 Fa

10

:

ф

Г # * « * *

***

—– 1- 1 1 1 Mill_ 1 1 l. LLJLUl__ 1—– 1

1 1 1 III 1 I •

10

10г

104 Re*

Рис. 1.9. Зависимость коэффициента эксцесса производной скорости от числа Рей­нольдса по данным разных авторов (рисунок соответствует опытам в приземном по­граничном слое и в лабораторных условиях). Fu = { (Ъих 1ъх1)4)Ц{Ъи1 /Ъх{ = 3 + Еи. Различными значками обозначены данные разных авторов


Ю’


Fu 50

20 to

5

Рис. 1.10. Зависимость коэффициента эксцесса производной скорости от числа Рейнольдса в приземном пограничном слое и в лабораторных опытах по данным раз­ных авторов. Fu = <(Э//, /Ъх1)4)/((ди{1Ъх1 )2)2 = 3 + Еи. Различными значками обозначе­ны данные разных авторов

Z 1


Vs

10г

10

1 1 1 1IIII

\fz

Г ‘ГТТИП

1 МИН

А

-

в

А ‘

0

А

- V Ё *

— III! 11.11

IV

1 1 1 11 III

— U 1 Mill

10 10г 103 Re.

Рис. 1.11. Зависимость коэффициента эксцесса производной концентрации от числа Рейнольдса по данным разных авюров. Fz = <(Dz/dхх )4)/<(‘dz/i)jr, )2)2 = 3 + Ь\. Различ­ными значками обозначены данные разных авторов


Рис. 1.12. Распределение вероятностей квадрата разности температур в двух близких точках в приземном пограничном слое по данным Гурвича 11967]. Датчики устанавли­вались на вы со 1С Я = 4 мо1 поверхности земли на расстоянии / = 2 см друг от друга в направлении средней скорости ветра. J – Reyy = <их )N/v = 1,8 • 106, <и{ ) – 1 м/с, 2 – Re„ = <w, )H/v ~ 1.4 • 106. (и, > = 5 м/с, £0 = lg[ (А / Г)2/< (А/Г)2)|, Р($ < £0 ) - вероят­ность события £<£„,< и, > - средняя скорость ветра: зависимости 1. 2 соответству­ют двум отрезкам записи Д/Г, полученным в разные дни; масштаб по оси ординат выб­ран таким образом, чтобы нормальному закону распределения соответствовала пря­мая линия


Рис. 1.13. Распределение вероятностей квад­рата разности скоростей в двух близких точках в приземном пограничном слое по данным Гибсона, Стегена и Вильямса [1970]. Датчики устанавливались на высоте Я = 1. 2 и 7 м от поверхности земли на расстоянии / в 1 см друг от друга в на­правлении средней скорости ветра. 1 – Н = 7 м, 2 – Н = 2 м, 3 – Н = 1м, = = ln(A/w, )г + const, /»(! <€0) – вероятность события | < |0 : масштаб по оси ординат выбран тем же способом, что и на рис. 1.12


основе измерений распределений вероятностей разности скоростей или температур в двух близко расположенных точках. Из теорети 1еских работ Колмргорова [1962а, б], Обухова [1962], Яглома [1966], Бетхова [1974, 1975, 1976] , Бетхова и Лоренцена [1974], Бетхова и Ларсена [1981] из­вестно, что эти распределения принципиально отличаются от нормального. Для иллюстрации на рис. 1.12 приведены результаты измерений в призем­ном пограничном слое распределения вероятностей квадрата разности тем­пературы в двух близко расположенных точках (Д/ Т)2 = [^(л'! + /) - - Т (xi))2 (ось л'! расположена в направлении среднего ветра). Эти данные получены Гурвичем [1967]. Аналогичные данные для квадрата разности скоростей (Д/Mi)2 = [их (xi + /) - иi (*i)]2 представлены на рис. 1.13, на котором помещены результаты опытов Гибсона, Стегена и Вильямса [1970] (см. также Гурвич [1966]). В обоих случаях расстояние между точками / удовлетворяет неравенству т? < I <L.

Из приведенных данных видно, что в первом приближении рассматрива­емые распределения близки к логнормальному (т. е. логарифм величины распределен по нормальному закону). Попытка теоретического обоснова­ния этого закона содержится в работе Яглома [1966]. В указанной работе рассмотрено поле диссипации энергии €7, осредненной по области с малым размером /. На основе достаточно правдоподобной гипотезы показано, что плотность вероятностей величины е1 имеет вид

1 ( (ln(Ђl/(e)) + al/2)2 )

Р(*)=-п=—j ехР | ———————- гт————– ‘ О-’)

у/2тто€€1 \ 2 о\ )

= ju In (L//) = < (In €7 – < In е7 > )2>,

<1п€’> = 1п<€>-Иа2,

где ju — некоторая константа. Часто предполагается, что эта формула дает плотность распределения вероятностей неосредненной диссипации, если / ~ 1? (см., например, Френкиль и Клебанов [1975]). Из приведенной фор­мулы следует, что при / = г? предел

lim / P(el)del

Re—ОО fc(Ђ>

равен нулю при любом сколь угодно малом (но фиксированном) значе-

нии к. Отсюда вытекает, что при Re 00 диссипация энергии сосредотачи­вается в области, объем которой стремится к нулю (Мандельброт [1974. 1976]).

Возникает вопрос, каким образом можно интерпретировать изложенные выше результаты. Еще раз напомним, что при больших числах Рейнольдса течение описывается системой уравнений с малым параметром при старших производных. Хорошо известно, что решения таких уравнений, как прави­ло, имеют особенности, состоящие в том, что возникают области двух ти­пов. В первом типе областей старшие производные (которые в данном слу­чае описывают силы вязкости) несущественны. Во втором типе областей силы вязкости всегда играют важную роль; объем этих областей стремится к нулю при увеличении числа Рейнольдса. Теория ламинарного погранично­го слоя на твердой поверхности хорошо иллюстрирует эту картину течения.

В свободном потоке, по-видимому, также могут возникать такие погра­ничные слои. Этот вывод, в частности, находит подтверждение в линейной теории устойчивости (напомним о так называемом критическом слое, внутри которого силы вязкости всегда существенны). С точки зрения тео­рии идеальной жидкости пограничные слои рассматриваемого типа можно интерпретировать как тангенциальные разрывы.

К этой интерпретации следует относиться с большой осторожностью, так как возможно, что развитие неустойчивости в идеальной жидкости при­водит к возникновению особенностей другого типа. Об этом свидетельству­ют результаты, полученные в численном расчете течения, соответствующего вихрю Тейлора – Грина [1937], т. е. w, = cos х} sinjc2 C0SX3, иг = = – sin хх cos х2 cos x3, U} = 0 при t = 0. Такие расчеты для идеальной жид­кости проводились Морфом, Оржегом и Фришем [1980], а для вязкой – Бречитом и др. [1983]. Установлено, нто при t > 0 течение становится трехмерным, а вихревые трубки растягиваются с нарастающей по времени скоростью и, как следствие, завихренность становится бесконечно большой через конечный промежуток времени. Разумеется, сейчас нет полной уве­ренности в том, что указанный результат отражает принципиальные свойст­ва уравнений гидродинамики, а не. обусловлен несовершенством численного алгоритма. Более подробное обсуждение вопроса о возникновении особен­ностей в решениях уравнений Эйлера и Навье – Стокса дано в работах Ла­дыженской [1970], Сафмена [1978, 1981], Сафмена и Бэйкера [1979], Марсдена и Мак-Кракена [1976]. Здесь отметим лишь наиболее важный ре­зультат, заключающийся в том, что особенности могут возникать только в трехмерном случае, так как в двумерном случае для гладких начальных условий доказана теорема о глобальном существовании и единственности решения как для уравнений Эйлера, так и для уравнений Навье – Стокса (см., например, Ладыженская [1970]). В трехмерном случае такую теоре­му доказать не удается, и поэтому была высказана гипотеза о. том, что в решении нестационарных уравнений Эйлера и Навье – Стокса с гладкими начальными условиями через конечное время возникает особенность (Лере [1934], Крейкнан [1975], Мандельброт [1976]).

Продолжим теперь обсуждение причин возникновения перемежаемости. Рассмотрим дальнейшую "судьбу" тангенциального разрыва. Известно, что в линейном приближении этот разрыв неустойчив, а инкремент нараста­ния амплитуды возмущения (поверхности) обратно пропорционален дли – не волны возмущения (см., например, Ландау и Лифшиц [1954], Бэтчелор [1967]). Последнее обстоятельство имеет, по-видимому, очень большое значение, так как при достаточно большой начальной интенсивности мелко­масштабных возмущений площадь поверхности разрыва сильно возрастает за малое время.

Можно предположить, что поверхность разрьюа компактна (т. е. ее точки не выходят за пределы ограниченной пространственной области), а ее пло­щадь бесконечно велика. Такая поверхность в известной мере напоминает губку, т. е. образование со множеством внутренних пустот, имеющих широ­кий спектр характерных размеров, и нечетко определенной внешней грани­цей (существуют тонкие "каналы", соединяющие внутренность образова­ния с внешним пространством). С этой точки зрения колебания внешней границы "губки" можно назвать внешней перемежаемостью, а колебания внутренних каналов – внутренней перемежаемостью.

Геометрические схемы перемежаемости, отражающие описанную выше картину, развивались Новиковым и Стюартом [1964], Новиковым [1965, 1966, 1969, 1971], Ягломом [1966], Мандельбротом [1976] (см. также обзор в книге Монина и Яглома [1967]). Попытки описания перемежае­мости, основанные на численном интегрировании уравнений гидродинами­ки, предприняты Сиггиа и Петерсоном [1978], Сиггиа [1981], Пуллином [1981], Чорином [1981], Бречитом и др. [1983].

По-видимому, наиболее точно и вместе с тем просто отражает существо дела модель Новикова и Стюарта [1964], в которой предполагается, что поток можно разбить на л3 одинаковых кубов таких, что вся диссипация энергии сосредоточена в у и3 из них (0 < у < 1), а в остальных равна нулю. Предполагается также, что каждый из числа уп3 кубов можно снова раз­бить аналогичным образом, а при Re процесс разбиения можно продол­жить неограниченно. Таким образом, в любой точке потока можно найти нетурбулентную жидкость. Характерный размер областей, заполненных этой жидкостью, варьируется от нуля до интегрального масштаба турбу­лентности. Области, занятые турбулентной жидкостью, тесно "переплетают­ся" с областями, в которых находится нетурбулентная жидкость.

Аналогичные соображения высказаны Мандельбротом [1974, 1975, 1976, 1977], в работах которого для описания структуры турбулентной жидкости использовалось понягие о фракталях.

В практических исследованиях это понятие появилось в связи с опреде­лением длины береговой линии на основе картографических измерений. Оказалось, что она степенным образом растет при увеличении масштаба карты (учитываются все более и более мелкие детали). Основной количест­венной характеристикой фракталей является размерность Хаусдорфа — Безиковича, определяющая меру "запутанности" множества. Не приводя формального определения этой размерности, ограничимся простым, но нестрогим пояснением.

Пусть в некотором кубе есть множество точек. Разобьем этот куб на /V одинаковых кубиков. Будем считать, что известно правило, позволяющее найти те кубики, в которых есть точки анализируемого множества. Пусть M(N) — число таких кубиков. Размерность Хаусдорфа – Безиковича мож­но определить по формуле d = lim In M(N)l\n N. Легко видеть, что если множество ючек имеет привычный вид, то d — целое число: d = 0 для ко­нечного числа ючек: d = 1 для линии конечной длины: d = 2 для поверх­ности конечной площади: d = 3 для конечного объема. В общем случае число d – нецелое. Таким образом, величина d дает также и обобщение по­нятия о числе измерений пространства.

Согласно Мандельброту [1976, 1977] при Re 00 диссипация энергии сосредоточена на множестве точек, которое с топологической точки зрения является поверхностью. Эта поверхность имеет бесконечную площадь и является столь "запутанной", что ее можно рассматривать как фракталь, для которого 2 < d < 3.

Другая точка зрения на моделирование перемежаемости может Ьыть основана на понятии о странных аттракторах. Проблеме странных аттракто­ров посвящен специальный сборник переводов "Странные аттракторы" под редакцией Синая и Шильникова [1981], а также обзоры Рабиновича [1978] иМонина [1978].

Основной результат, достигнутый в этой области, можно сформулиро­вать следующим образом. Решения детерминированных систем обыкновен­ных нелинейных дифференциальных уравнений первого порядка с числом уравнений, равным или большим трех, часто оказываются плохо "прогно­зируемыми" (и стохастическими с точки зрения экспериментатора) даже в том случае, когда решение существует и единственно и, следовательно, в лом решении не возникает никаких особенностей. Такая структура ре­шений обусловлена тем, что каждая фазовая траектория неустойчива (т. е. с течением времени расстояние между двумя первоначально бли?*сими фа­зовыми траекториями экспоненциально растет). Множество фазовых траекторий (странный аттрактор) компактно в том смысле, что все его точки не выходят за пределы некоторого конечного фазового объема. Для неконсервативных систем фазовый объем (точнее, лебегова мера) равен нулю, подобно тому, как равен нулю объем турбулентной жидкости при Re Распределение фазовых точек также напоминает распределение точек, принадлежащих турбулентной жидкости, в физическом пространст­ве. Связь между странными аттракторами и фракталями прослеживается вполне отчетливо (Мандельброт [1976]).

Рассмотренные выше экспериментальные данные и результату их теоре­тического анализа указывают на то, что количественное определение ха­рактеристик перемежаемости связано с рядом принципиальных трудностей. Во-первых, неясно, как определить границы турбулентной жидкости (как уже указывалось, внутрь области, которая на первый взгляд целиком заполнена турбулентной жидкостью, могут "проникать" тонкие каналы, заполненные нетурбулентной жидкостью). Во-вторых, поскольку при Re 00 вязкие эффекты существенны, по-видимому, лишь в области с нулевым объемом, становится неясным, что такое коэффициент переме­жаемости, который обычно понимается как относительная величина объе­ма, заполненного турбулентной жидкостью. В-третьих, возникает вопрос, какая гидродинамическая характеристика наилучшим образом подходит для определения перемежаемости. В самом деле, вблизи турбулентной облаеж всегда найдется нетурбуленшая. Если размеры обеих областей од­ного порядка, то энергии пульсаций также одного порядка, чго ясно из ра – бот Ландау и Лифшица [1954], Филлипса [1955] (пульсации давления приводят к нелокальному переносу энергии). Следовательно, по характе­ру пульсаций скорости обе жидкости могут оказаться трудно различимыми.

Рассмотрим, как можно преодолеть указанные трудности. Очевидно, что последняя из них может быть устранена, если анализировать величины, оп­ределяемые наиболее мелкомасштабными пульсациями. Одной из таких величин является диссипация энергии. Она и будет рассматриваться в дальнейшем.

Заметим теперь, что при любом конечном числе Рейнольдса из-за вязкой диффузии завихренности диссипация энергии в любой точке отлична от нуля. Аналогичное утверждение справедливо и для концентрации примеси, т. е. из-за молекулярной диффузии скалярная диссипация везде отлична от нуля. Таким образом, перемежаемость, если так можно выразиться, явле­ние,. которое возникает только при Re = 00, а при конечном числе Re строго­го определения не имеет. Тем не менее, как это довольно часто бывает в физике вообще и в теории турбулентности в частности, введение при конеч­ном числе Рейнольдса (пусть нестрогого и приближенного) понятия о пе­ремежаемости оказывается чрезвычайно плодотворным*). В этом случае, однако, при количественном определении перемежаемости требуется ввести некоторый граничный уровень е0, считая жидкость турбулентной, если е > е0, и нетурбулентной — в противном случае. Так как не существует сколько-нибудь удовлетворительного способа выбора е0, то, несмотря на свою естественность и широкое использование в экспериментальных иссле­дованиях, приведенное определение неконструктивно. Отмеченную труд­ность, казалось бы, можно преодолеть, если устремить число Рейнольдса к бесконечности и в связи с этим считать, что €о 0.

Однако в этом случае возникает новая трудность, связанная с тем, что объем турбулентной жидкости стремится к нулю и, следовательно, харак­теристики перемежаемости нельзя измерить. Несмотря на указанные труд­ности, количественные характеристики перемежаемости можно ввести, исходя из схемы Обухова [1962] (см. также Яглом [1966], Гурвич и

Яглом [1967]). Рассмотрим поле диссипации е1, осредненной по областям с размером /> скажем по сферам с радиусом / и центром в точке х. Рассмот­рение поля е1 представляется не только естественным, но и даже вынуж­денным, если учесть, что в опытах всегда измеряются величины, осреднен – ные по некоторой конечной области (размер этой области определяется, конечно, локальностью используемого измерительного устройства). В ка­честве граничного уровня диссипации энергии €0 возьмем е0 = <e>/Re. Такой выбор основан на интуитивных соображениях, согласно которым можно ожидать, что в нетурбулентной жидкости lim Эм//Эху конечен и,

Re -00

следовательно, диссипация энергии в этой жидкости обратно пропорцио­нальна числу Рейнольдса.

Цель введения такого понятия основана на стремлении разделить область тече­ния на участки, в которых существенна молекулярная вязкость и диссипация, и участ­ки, где вязкие процессы не важны. Такое разделение позволит далее не только ка­чественно, но и количественно описать многие сложные явления, наблюдающиеся в турбулентных течениях.


Введем функцию (индикатор) перемежаемости У1{х, />: Г1 = 1. если е1 >ео, Г1 = 0* если €’<€0.

Для моментов этой функции используем следующие обозначения: (Г/) = 7/,

(1.2)

(1.3)

<[r/(jc(,))-r/U(2))]2) = Z)/7V <r’(x(1))rV(2))rV3))>=S’ .


Рассмотрим также вероятность того, что в одной части точек пространст­ва находился турбулентная жидкость, а в другой – нетурбулентная. Такой анализ необходим для выяснения структуры двух – и трехточечных плот­ностей распределения вероятностей скорости (см. главу 4). Эти вероятнос­ти будем обозначать символом у1 с нижними индексами t и п (индекс / относится к турбулентной, а п – к нетурбулентной жидкости; порядковый номер индекса соответствует номеру точки). Например, символ ylntnозна­чает, что рассматривается вероятность такого события, когда в первой и третьей точках находится нетурбулентная жидкость, а во второй – турбу­лентная. Введенные вероятности связаны с функцией перемежаемости. Так, например,

у =<г/(лг(1))Г/(л:(2))>^ 7«г = <Г|(*(1)>П – Г’(*(2))1 Г’(*(3)>>

и т. д. Используя определение структурной функции Dlyy и соотношения, связывающие yltr.. ., ylnn с функцией перемежаемости, для локально однородной турбулентности найдем


(1.4)

<ГV1>) Г’(л:(2))> = 7,’, = У1 ~ KDlyy(r) <rV°)ll – rV2))]> = 7\n-VzDlyy(r), < [1 - Г V0)] rV2))>= ylnf = HD1 (r).


<[l-rV0)] [1 - Г/(я<2>)]>=7^ = 1 – V-fcD’fr).


Из общих соображений ясно, что рациональное определение характерис­тик перемежаемости должно основываться на двойном предельном пере­ходе, когда Re 00 и / 0. Результат такого перехода, по-видимому, неод­нозначен. Косвенно этот вывод подтверждается тем, что до сих пор не выра­ботан общепринятый алгоритм измерения коэффициента перемежаемости Известны и прямые доказательства его справедливости. В частности, в рабо­те Куо и Корсина [1971] был избран алгоритм измерения, приведший к необычным результатам. Во-первых, было установлено, что коэффициент перемежаемости уменьшается с ростом числа Рейнольдса. Во-вторых, полу­ченные значения 7 оказались существенно меньше единицы в тех областях

потока, в которых традиционно считается, что у = 1 (например, на оси за­топленной струи).

Таким образом, можно предположить, что моменты функции переме­жаемости стремятся к некоторым значениям, которые существенно зави­сят от того, по каким законам стремятся / к нулю и Re к бесконечности. В частности, для коэффициента перемежаемости можно получить любое значение в интервале 0 < у ^7max ^ Здесь нижняя оценка у выбрана нг основе изложенных выше теоретических соображений и эксперименталь ных данных, из которых следует, что объем, занятый турбулентной жид­костью, стремится к нулю при Re Очевидно, что если сначала / стре­мится к нулю, а затем Re – к бесконечности, т. е. все измерения проводятся точно, то будет получено нулевое значение 7. Тем самым будут измерены характеристики внутренней перемежаемости. Другой вариант предельного перехода основан на том, что сначала устремляется к бесконечности чис­ло Re, а затем устремляется к нулю размер области /. В этом случае про­исходит максимальное сглаживание всех мелкомасштабных деталей, и, следовательно, можно предположить, что в таком варианте получается максимально возможное значение у.

На основе проведенной ранее аналогии между турбулентной жидкостью и губкой можно ожидать, что такое сглаживание как бы "закрывает" все внутренние каналы, которые идут внутрь от ее внешней границы. При этом в турбулентной жидкости могут оставаться неодносвязные нетурбулентные области, размер которых сильно варьируется (он может быть и порядка интегрального масштаба турбулентности). Таким образом, представляется, что второй вариант предельного перехода дает характеристики внешней перемежаемости. Сравнение обоих вариантов предельного перехода пока­зывает, что при строгом понимании нет двух разных видов перемежаемос­ти, а есть лишь одна перемежаемость, характеристики которой до сих пор определялись неоднозначно.

Представляется, что второй вариант предельного перехода ( lim Ит )

/ —0 Re —00

наилучшим образом соответствует алгоритмам, которые используются в опытах при исследовании так называемой внешней перемежаемости.

Сделанное заключение основывается на следующих соображениях. Обратимся к формуле (1.1). Хотя и в настоящее время существуют серьез­ные сомнения в справедливости логнормального закона (см. главу 4), эта формула иллюстрирует основную качественную особенность распределения диссипации, состоящую в том, что амплитуда пульсаций величины е изме­няется в исключительно широком диапазоне значений. Следовательно, оце­нивая локальность измерительного устройства, размер области, по которой производится осреднение, необходимо сравнивать не с колмогоровским масштабом, определяемым по величине < е >, а с колмогоровским масшта­бом, вычисляемым по истинному (неосредненному) значению е. Посколь­ку € > (е > в турбулентной жидкости, то требования, предъявляемые к локальности измерительной аппаратуры, сильно возрастают. В частности, оценки, проведенные в главе 4, показывают, что в большинстве случаев для точного измерения е необходимо, чтобы размер осредняющей области был

меньше, чем е>1’4. Это условие, насколько известно, не выполнялось

ни в одном из известных исследований. Таким образом, в опытах изме – 32

ряются значительно сглаженные характеристики и, следовательно, сущест­вует определенная аналогия между предложенным теоретическим алгорит­мом и алгоритмами, используемыми в экспериментальных исследованиях (легко видеть, что при Re 00 и / Ф 0 также рассматриваются сглаженные характеристики турбулентности). Следует также отметить, что в ряде ис­следований специально используются алгоритмы, фактически основанные на рассмотрении сглаженных характеристик; например, жидкость считает­ся турбулентной, если пороговое значение превышается в течение проме­жутка времени, продолжительность которого не менее заданной величины (Хедли и Кеффер [1974а, б J).

В соответствии с проведенным выше анализом, далее, под величинами 7,

Dyy, S понимаются такие пределы у1 ,Dyyi S lyyy9 когда сначала Re при / = const, а затем / -*0. При этом в формулах (1.2) - (1.4) верхний индекс / будет опускаться.

В заключение этого параграфа остановимся на результатах измерений некоторых характеристик перемежаемости, которые потребуются для интерпретации результатов, полученных в главах 3 и 4. Начнем с изучения поведения структурной функции Dyyi о котором можно судить по результатам измерений спектра корреляции функции перемежаемости

10 W К1С

Рис. 1.14. Нормированный спектр функции перемежаемости в следе за круговым цилинд­ром по данным Ля Рю и Либби [1976]. xjd = = 400, Red = u^d/v = 2,8 • 103, d = 0,66 см, ц, = = 7,6 м/с, Е9уу =£77//с<(Г-<Г»2>, Еуу – спектр корреляции < Г (дг1) Г (лс, +/•)>, к – вол­новое число, lc = >J(xl — х10) d, *10 = -40d. На рисунке показаны данные на различных рас­стояниях от плоскости симметрии следа в диа­пазоне //<.= 0,294 – 0,396, 7 = 0,299 – 0,762

<Г(х(1))Г(лг(2>)> в работе Ля Рю и Либби [1976] (измерения этой корре­ляции проводились также Коважным, Кибенсом и Блэкуелдером [1970], Барсоумом, Каваллом и Кеффером [1978], Моумом, Каваллом и Кеффе – ром [1979]; их результаты аналогичны данным Ля Рю и Либби [1976]). В этой работе исследовался след за нагретым круговым цилиндром, а гра­ницы турбулентной жидкости определялись по полю температуры (приме­нимость этого способа измерения перемежаемости рассматривалась выше; см. также § 1.3). Хотя и нет полной уверенности в адекватности введенно­го выше определения перемежаемости и определения, использованного в опытах Ля Рю и Либби [1976], все же можно ожидать, что качественный характер функции Dyy(r) в эксперименте установлен правильно. Согласно данным Ля Рю и Либби [1976] (рис. 1.14) спектр структурной функции Dyy пропорционален к’2 (к — волновое число) и, следовательно, Dyy (г) (в опытах значения г лежат в диапазоне г = 0,01 — 0Д1С, Lc — ширина следа). Из соотношений (1.4) тогда получаем, что yt t возрастает с умень – шением г. Поскольку величина уп по своему физическому смыслу харак­теризует относительный объем областей, занятых турбулентной жидкостью и имеющих размер порядка г то проявление перемежаемости уменьшается по мере перехода к малым масштабам.

Так как энергия передается от крупномасштабных возмущений к мелко­масштабным, то естественно предполагать, что возмущения с размером порядка г возникли в результате неустойчивости течения в областях с боль­шими, чем г, размерами. Увеличение ytt при r/L 0 показывает, что проис­ходит захват нетурбулентной жидкости. Обратный процесс (переход тур­булентной жидкости в нетурбулентную) невозможен, поскольку жидкие частицы не выходят из области, занятой вихревым движением (см., на­пример, Ландау и Лифшиц [1954]).

Величины ут и ytn характеризуют относительный объем областей, в которых наблюдаются одновременно обе жидкости. Эти величины, следо­вательно, могут служить мерой искривленности границы области, занятой турбулентной жидкостью. Из (1.4) видно, что ytn = ynt 0 при rjL -*> О (£>77 0), т. е. границы турбулентной жидкости искривлены не слишком сильно. Количественную меру этих искривлений удобно дать позже (см. § 3.1 и 3.8) при обсуждении вопроса о площади изоскалярных поверхно­стей в турбулентных потоках. Полученный вывод подтверждается измере­ниями плотности вероятностей Р(т) протяженности т "турбулентных"ин­тервалов (промежутков времени, в течение которых в данной точке на­блюдается турбулентная жидкость; такие промежутки времени можно свя­зать с пространственными масштабами, используя гипотезу Тейлора о за- мороженности турбулентности). В работах Корсина и Кистлера [1955], Ля Рю и Либби [1976, 1978], Кавалла. и Кеффера [1979], Шеврэ и Туту [1978], Барсоума, Кавалла и Кеффера [1978], Моума, Каваллаи Кеффера


1,2

о – /

а-2

а -3


0,8

OA

од

6 CD «

Д oi

i1


Ч

о

-2 0 2 4 6 xй

Рис. 1.15. Плотность распределения вероятностей протяженности ‘турбулентных" интервалов по данным Ля Рю и Либби |1976J /-х2//г = 0.294, 7 = 0,762, ~ xj! c – = 0,349. 7 = 0,509. 3 – xt\lc = 0,39, у = 0.299, Р° = т’Р, т ® ^ (т ~ (т))/т\ <т> – сред­няя продолжи! ельность "турбулентных" ин1ервалов, т =<(г <т>)г>’/2 — среДне – квадратическое значение продолжительности "турбулентных" интервалов Условия опытов те же. что и на рис. 1 14

[1979] показано, что Р(т) при г ->0. В качестве примера, иллюстрирую­щего сказанное, на рис. 1.15 показаны экспериментальные данные Ля Рю и Либби [1976] (измерения проводились в следе за нагретым круговым цилиндром). Если границы турбулентной жидкости были бы сильно искрив­лены, то рассматриваемая плотность вероятностей принимала бы очень большие значения при т 0. Таким образом, наблюдаемый в опытах харак­тер поведения Р(т) при г 0 согласуется с принятым определением коэф­фициента перемежаемости.

§ 1.2. Качественная структура двухточечных и трехточечных плотностей

распределений вероятностей разностей скоростей в локально однородной 1урбулентност

В предыдущем параграфе уже говорилось, что перемежаемость оказыва­ет существенное влияние на w-точечные (п > 2) плотности вероятностей скоростей в турбулентных потоках. В особенности это относится к случаю, когда расстояние между какими-либо двумя точками мало по сравнению с масштабом турбулентности L = q$/(e >, q2 = <(w – <w»2>. Целью этого параграфа является качественный анализ влияния перемежаемости на вид рассматриваемых плотностей вероятностей для п = 2 ии = 3.

Вначале проанализируем структуру двухточечной плотности вероятнос­тей разности скоростей v = и(— и(дг*1*), г = – Введем в рассмотрение четыре условные двухточечные плотности вероятностей разности скоростей: Ргт, Ptri9 Рпт, Рпп, которые соответствуют вероят­ностям ytt, ytn> упп упп. Согласно формуле Бейеса для безусловной плот­ности вероятностей разности скоростей имеем

Р(У< Г) = ytt ptt + yn tpn, + ytnptn +ynnPnn. (1.5)

Рассмотрим случай, когда расстояние между точками удовлетворяет неравенству г < L. Как уже отмечалось, пульсации давления, возникающие в турбулентной жидкости, генерируют колебания скорости в нетурбулент­ной жидкости. Поэтому можно предположить, что при переходе через гра­ницу этой жидкости энергия турбулентности меняется не слишком сильно.

Это предположение согласуется с измерениями в струях, следах и погра­ничных слоях различных одноточечных моментов, полученных условным осреднением по турбулентной и нетурбулентной жидкостям (Коважный, Кибенс и Блэкуелдер [1970], Дженкинс и Гольдшмидт f 1976], Олер, Джен – кинс и Гольдшмидт [1981] и т. д.). В качестве характерного примера сошлемся на рис. 1.8, где приведены результаты измерений в пограничном слое на пластине.

Напомним также о теоретических результатах Ландау и Лифшица [1954] и Филлипса [1955] относительно движения в нетурбулентной жидкости. Ими показано, что по мере удаления от границ турбулентной жидкости пульсации скорости затухают плавным образом. В силу сказанного можно предположить, что пульсации давления настолько эффективно перераспре­деляют энергию между обеими жидкостями, что

Pnt=Ptn=Ptt при r/L-0. (1.6)

Эти формулы несправедливы при любом фиксированном значении г/Л, так как из работ Ландау и Лифшица и Филлипса известно, что по мере про­движения в глубо нетурбулентной жидкости амплитуда пульсаций затухает тем быстрее, чем больше ее волновое число.

Рассмотрим теперь общие свойства функции Рпп. Две точки могут ле­жать либо близко от границ турбулентной жидкости, либо далеко от них. Как установлено в § 1.1, эти границы искривлены не слишком сильно, и, следовательно, при r/L 0 можно пренебречь вероятностью первого со­бытия и рассматривать только второе, т. е. наибольший вклад в условную плотность вероятностей Рпп дают события, происходящие в точках, кото­рые находятся глубоко в нетурбулентной жидкости (на расстояниях от гра­ниц много больше г). По мере проникновения в глубь нетурбулентной жидкоеIи гармонические колебания давления и скорости экспоненциально затухают, а декремент этого затухания обратно пропорционален волно­вому числу (Ландау и Лифшиц [1954],Филлинс [1955]). Отсюда вытекает ряд важных выводов. В нетурбулентной жидкости интенсивность мелко­масштабных пульсаций мала, в связи с чем можно считать, что в области с характерным размером порядка г (r/L 0) скорость меняется но ли­нейному закону (это предположение нетривиально, так как Re = °°), т. е. v,- ~ где Ац – некоторый случайный тензор. Поскольку в нетурбу­

лентную жидкость проникают главным образом крупномасштабные пуль­сации, то 1ензор А ц определяется крупно масштабным движением в турбулентной жидкости. Следовательно, пульсации скорости в нетурбу­лентной жидкости локально однородны (v зависит лишь от расстояния между точками), но, вообще говоря, не изотропны (тензорзависит от крупномасштабных флуктуаций). Отсюда также следует, что в нетурбу­лентной жидкости при малом расстоянии между точками структурная функция пульсаций скорости <U/U/>„ определяется крупномасштабными пульсациями.

Таким образом, влияние турбулентной жидкости на нетурбулентную определяется непосредственным взаимодействием крупномасштабных и мелкомасштабных флуктуаций. Из проведенного анализа следует также, что поскольку Vf = Afjrj, то справедлива оценка

<vk>„*Ak(r/L)k, (1-7)

где Ак не зависит от г.

В § 1.1 установлено, что Dyy(г) 0 при г/Л0. Используя этот резуль­тат, из (1.5) с помощью (1.4), (1.6), (1.7) получим следующее асимптоти­ческое представление безусловной двухточечной плотности вероятностей разности скоростей:

/4v, г)?/>„+(!-Ч)Рпп при г/Л – 0. (1.8)

Формула (1.8) свидетельствует о том, что если rjL —0, то при нахождении величин ytr ум% ynts упп обе точки можно формально рассматривать как одну.

Покажем теперь, что аналогичные результаты справедливы и для трехточечной безусловной плотности вероятностей разностей скоростей P(\f V, r,R), V=u(Jt(3)) R =*(3) – jc(,). Связь этой функции с

условными трехточечными плотностями вероятностей имеет вид

/>(v, У. г, R) = ушРш + 7ttnPttn + • • • + УтАпг + УпппРп**- (Ь9)

Здесь вместо остальных четырех членов, вид которых ясен из структуры формулы, стоит многоточие.

Вероятности yttt…………… уппп легко выражаются через 7, Dyy и Syyy с

помощью соотношений, аналогичных формулам (1.4). Далее, основной интерес будут представлять два случая: 1) r/L О, R ^ L\ 2) rjL 0. R/L-*0.

По-прежнему будем считать, что если в одной из точек находится турбу­лентная? кидкость, то во всех остальных близко расположенных точках статистические свойства пульсаций такие же, как и в-турбулентной жид­кости. Тогда в первом случае по аналогии с формулой (1.6) имеем соот­ношения

Pntn~ Ptnn~ Pftn* Pfltt ~ ?tnt~ Pftti 0-Ю)

и, следовательно, формула (1.9) принимает вид />(v, V, r,R) = (yttt +yntt +ytnt)Pttt+ynntPnnt +

+ (yttn *Упtn +ytnn)pttn +7nnnpnnn. (1.11)

Поскольку L, то при нахождении вероятностей yttr…, ynnn в пер­вом приближении можно считать, что появление турбулентной жидкости в точке дг*3* не зависит от того, какая жидкость находится в точках дг*1* и дг*2). Учитывая это замечание, а также то, что при rfL -+0 структурная функция Dyy стремится к нулю, нетрудно показать, что справедливы со­отношения

У ttt У * Упи ytnt~~*^s Упт У tnn О»

Т,,я=7„„^7(1-7). 7„„л^(1-7)2, г/1-О, R-L.

Во втором случае имеем

Pt, n=Ptnn=Pntn=Pnn,=Pntt=P, nt=t>m- r/L^O. R/L-+ 0, (1.13) и формула (1.9) дает

Р(у, V, г, R) = (7,„ + yttn + ytnn + yntn + ynnt + yntt + ytnt)Pttt +

+ 7„„/„„„, r/L- 0, R/L* 0. (1.14)

Вероятности yt11, yttn, … выражаются через момент Syyy, для нахож­дения асимптотики которого при r/L 0, RjL 0 рассмотрим тождество (при проверке этого тождества надо учесть, что из определения функции перемежаемости следует, что [Г(дг)]2 = Г(дг))

Syyy = а {< Г(дс°>)Г(лг(3))> + < Г(л:(2)) Г(лг(3))> -

- <[ Г(х(1}) - Г(х(2))]2Г(х(3))>1. Поскольку 1 > Г> 0, то

<[Г(дс(1>) - Г(л:(2))]2Г(дг(3>)> <

< <[ Г(л:(1 >) - Г(х(2 >)]2 > = Dyy (г).

(1.12)

Так как Dyy 0 при r/L О, то из полученного неравенства и соотно­шений (1.4) следует, что

Syyy – 7, r/L – О, R/L – 0.

Используя условия Syyy 7, Dyy 0 при r/L — 0, 0, можно пока­

зать, что среди 7trr> … ненулевые пределы существуют лишь у yttJ и

Уппп» т, е*

7rrr 7» 7яй|,-1-7. г/1->0. Л/L-O. (1.15)

Формула (1.15) показьюает, что во втором случае при нахождении упт,. .. .. ., ynnn все три точки можно формально рассматривать как одну.

Подставляя предельные зависимости (1.12) и (1.15) в соотношения (1.11) и (1.14) соответственно, получим следующие асимптотические пред­ставления для P(v, V, г, R):

Р(v, V, r,R) = y2Pttt + V( 1 – 7) (Pun + Pnnt) + О – 7fPnnn, (1-16)

r/L -0, R – L,

и

/>(v, = – У)Р,,ПП. r/L-0, /?//, -> 0. (1.17)

§ 1.3. Качественный вид плотности

распределения вероятностей концентрации пассивной примеси в турбулентных течениях

Особенно сильное влияние перемежаемость оказывает на плотности рас­пределения вероятностей скалярных величин, изменяющихся как правило, в ограниченном интервале. В данном параграфе это влияние анализируется в случае динамически пассивной примеси, концентрация которой будет обозначаться буквой г. Известно, что при малых перегревах жидкости (т. е. когда архимедовы силы малы по сравнению с инерционными) темпе­ратурное поле также может рассматриваться как пассивная примесь. Отме­ченное свойство широко используется в экспериментальных исследованиях. При этом роль концентрации играет безразмерная разность температур AT ЦАТ) max (здесь AT – Т — Го, Т0 — минимальное значение температуры в потоке).

Как ясно из § 1.1, структура полей диссипации энергии с и скалярной диссипации N качественно одинакова. В тех областях потока, где е = 0, можно ожидать, что и N= 0 (напомним еще раз, что имеется в виду предель­ный случай, когда числа Рейнольдса и Пекле стремятся к бесконечности; поскольку для газов коэффициенты молекулярного переноса близки меж­ду собой, далее, для краткости будем говорить только о числе Рейнольдса). Так как предполагается, что в начальный момент времени примесь в нетур­булентной жидкости отсутствует, то пульсации давления, возбуждающие флуктуации скорости в нетурбулентной жидкости, не могут генерировать в ней флуктуации концентрации, поскольку в уравнении диффузии нет члена, аналогичного градиенту давления в уравнении движения. Поэт шу наличие или отсутствие пульсаций концентрации в нетурбулентной жидкости зави­сит только от начальных условий. Вследствие одностороннего обмена меж-

ДУ турбулентной и нетурбулентной жидкостями (см. предыдущий па­раграф) можно ожидать, что если при / = 0 в нетурбулентной жидкости примеси не бы#о, то она будет отсутствовать в ней и во все последующие моменты времени. Это заключение подтверждается наблюдениями в струях, следах и других свободных течениях (см., например, работы Уберои и Синг – ха [1975], Фабриса [1979а, б], Брайдекталя [1981], Лонга и Чу [1981], Лонга, Чу и Ченга [1981]). Поэтому коэффициенты перемежаемости у и уг, определенные но динамическому и скалярным полям соответственно,

-0,3 -0,2 -0,1

Рис. 1.16. Профиль коэффициента перемежае­мости в слое смешения на начальном участке за­топленной подогретой осесимметричной струи по данным Кузнецова и Расщупкина [1977|. Из­мерения проводились на расстоянии хх - 30 см от кромки сопла; толщина динамического по­граничного слоя на кромке сопла 8 = 7 мм; тол­щина температурного пограничного слоя на по­рядок меньше; Reg = u0b/v = 3,73 • 10\ //0 = = 8 м/с; 1 - ъ 2 - £ = хг/хх; начало коорди­нат располагается на кромке сопла; ось х2 на - направлена иод прямым углом к оси симметрии струи в сторону затопленного пространства

обычно совпадают (возможные исключения проанализированы ниже). Последнее обстоятельство используется во многих экспериментальных работах (см., например, Беккер, Хоттел и Вильяме [1967], Антониа, Праб­ху и Стефенсон [1975], Ля Рю [1974], Ля Рю и Либби [1974], Башир и Уберои [1975], Андерсон, Ля Рю и Либби [1979]). Тем не менее необходи­мо отчетливо сознавать, что перемежаемость есть чисто гидродинамическое явление, описание которого должно опираться на уравнения Навье — Сток­са. Свойства поля концентрации служат лишь косвенными признаками, по которым можно судить о проявлении перемежаемости.

Остановимся теперь на обсуждении уже упомянутых выше случаев, ког­да возможны отклонения от равенства у = у2. Из интуитивных соображе­ний, основанных на физической картине течения, ясно, что примесь рас­пространяется, вообще говоря, не по всей турбулентной жидкости, так как отдельные "куски" такой жидкости не обязательно имеют общие границы. Наблюдения за струей дыма, распространяющейся в турбулентной атмосфе­ре, иллюстрируют сказанное. Очевидно, что коэффициенты у и у2 связаны неравенством

У>У2• (1.18)

Неравенство (1.18) для свободных турбулентных течений подтверждено в опытах Кузнецова и Расщупкина [1977] (рис. 1.16). В этих опытах ис­следовался слой смешения на начальном участке подогретой осесимметрич­ной струи, вытекавшей в неподвижный холодный воздух. В начальном се­чении ширина динамическ(?го пограничного слоя была на порядок меньше ширины теплового пограничного слоя, в силу чего и выполнялось нера­венство (1.18).

На основе вышеизложенного можно предположить, что особенно силь­ные различия между у и yz возникают в тех случаях, когда число не

связанных между собой "кусков" турбулентной жидкости велико. Такая ситуация может иметь место, например, в потоке за турбулизирующими решетками и течениях в каналах. Здесь число "кусков" столь велико, что гидродинамический коэффициент перемежаемости практически не отли­чается от единицы, т. е. у в то время как у2 может быть близким к ну­лю. Указанный эффект целиком обусловлен различными начальными ус­ловиями для скалярного и динамического поля и не связан с какими-либо принципиальными особенностями перемежаемости.

Экспериментальному исследованию поля концентрации в таких течениях посвящено достаточно большое количество работ (Расщупкин и Секундов [1978], Гад-Эль-Хак и Мортон [1979], Кеффер, Ольсен и Кавалл [1977], Ля Рю и Либби [1981], Мешков и Щербина [1981], Ля Рю, Либби и Сешад – ри [1981 ], Щербина [1982]). В этих работах изучалось статистически неод­нородное поле концентрации в однородной турбулентности. В этих случаях перемежаемость особенно сильно сказывается на характеристиках скаляр­ного поля и процесс турбулентного переноса примеси обладает целым рядом особенностей (Расщупкин и Секундов [1978]).

В данной книге такие случаи рассматриваться не будут. Ниже основной интерес представляют течения, близкие к автомодельным (дальний след, основной участок струй), в которых величины уиу2 практически неразли­чимы, вследствие чего, далее, индекс z часто будет опускаться.

Если в нетурбулентной жидкости примесь отсутствует, то условная плот­ность вероятностей концентрации в ней есть дельта-функция. В простейшем случае есть два типа областей, занятых нетурбулентной жидкостью: в одних областях z = 0, а в других z = 1. При любом сколь угодно большом, но ко­нечном числе Re таких областей в строгом смысле не существует. Поэтому во избежание недоразумений еще раз подчеркнем, что в этих рассуждениях число Рейнольдса предполагается равным бесконечности, а результат такого анализа будет далее использован для приближенного описания течений при конечном числе Рейнольдса. Если вероятность наблюдения в нетурбулент­ной жидкости значения z = 1 мала (дальний след, основной участок струй), безусловная плотность вероятностей концентрации имеет вид (Кузнецов [1972а], Кузнецов и Фрост [1973])

p(z) = 7/>,(z) + (1-7)5(z)

/>r(z) = 0(z)F(z).

Здесь Pt – условная плотность распределения вероятностей концентрации в турбулентной жидкости, F – гладкая функция, 0(s) – функция Хеви – сайда, т. е. 0(s) = 0 при КО и 0(s) = 1 при s>0.

Обобщение формулы (1.19) достаточно очевидно (Брэй и Либби [1976], Кузнецов, Лебедев, Секундов и Смирнова [1981], Сабельников [1979, 19806], Либби и Брэй [1981]):

P(z) = То5(z) + 5 (z – 1) + yzPt(z),

7o+7i+7z = l, Pt(z)^ [0(z)-0(z - l)]F(z).

Формула (1.20) применима, например, к смешению большого количества близко расположенных струй в камере смешения (Кузнецов, Лебедев, Се­кундов и Смирнова [1981]).

Коэффициент перемежаемости yz и условная плотность вероятностей концентрации в турбулентной жидкости Pt, входящие в формулы (1.19) и (1.20), характеризуют степень смешения до молекулярного уровня. В част­ности, если коэффициент молекулярной диффузии D равен нулю и в на­чальный момент концейтрация принимает лишь два значения 0 и 1, то по­лучим у 1 = <z>, 7о =1 – (z), yz = Pt =0 и (zn) = (z)=yl. В указанном случае происходит просто турбулентная диффузия меченных жидких частиц (см. обзор в книге Монина и Яглома [1965]), процесс, который в литературе иногда назьюается "черно-белым" смешением (Прудников и др. [1971]). Дисперсия пульсаций концентрации при "черно-белом" смешении достигает максимально возможных значений а^ах = <z2 > — — <z >2 = (z >(1 — (z >). По этой причине отношение a2/[(z) (1 — <z>)]. часто используется как количественная характеристика степени молекуляр­ного смешения в турбулентных потоках (см., например, Рошко [1976]).

Далее, неоднократно будет использоваться геометрическая интерпрета­ция плотности вероятностей как величины, пропорциональной объему меж­ду двумя близкими изоскалярными поверхностями. Для большей нагляд­ности рассмотрим статистически однородное поле концентрации. Пусть V — некоторый достаточно большой объем, a 5KZ – объем, заключен­ный между двумя изоскалярными поверхностями z и z +dz, полностью расположенными в объеме V. Тогда в силу эргодичности справедливо со­отношение

8VZ

P(z)dz = lim ——– . (1.21)

К – оо V

Объем 5 Vz определяется очевидной формулой


‘dz Ъп

bVz=dz f sz

-l

dSz. (1.22)


Здесь Sz — площадь изоскалярной поверхности z(x, t) = const, п — еди­ничная нормаль к этой поверхности.

Из соотношений (1.21) и (1.22) для плотности вероятностей концентра­ции получим следующую формулу:


<1 z Г),’ (1-23)

dz_ Ъп

P{z)^ lim – J-J v «о V s7

Sz

dSz = lim —

V oo у


где нижний индекс z у угловых скобок означает условное осреднение при заданном значении концентрации.

Обобщение формулы (1.23) на случай неоднородного поля имеет вид

d{Sz) /I dz |-\

P(z)= lim —i-Л— ). (1.24)

av-> о dV M Ъп I f z

Формулы (1.23) и (1.24) справедливы лишь в тех случаях, когда отдель­ные значения концентрации не могут наблюдаться с конечной вероятностью. Как обсуждалось выше, для турбулентных течений из-за перемежаемости характерен противоположный случай, когда в областях с конечным объемом концентрация принимает постоянные значения (при Re -►«>).

В этих областях dz/Ъп = 0, и формальное применение соотношения (1.23) дает P{z)= В действительности же, согласно соотношению (1.20), плот­ность вероятностей содержит сингулярные добавки (заметим, что форму­ла (1.21) остается справедливой, если ее понимать в смысле обобщенных функций; неправильна лишь формула для 8 Vz (1.22)).

Формулы (1.21), (1.23) и (1.24) легко видоизменить так, чгобы они были справедливы для условной плотности вероятностей концентрации в турбулентной жидкости. Для этого нужно только заменить в них V на yzV и dV на yzdV. В результате вместо (1.21), (L23) и (1.24) получим соответственно такие соотношения:

5VZ

y2Pt(z)dz = lim lim —(1.25)

V-»oo Re— оо У


Sz

(1.26)

yzPt(z)= lim lim —

d(Sz> ‘ – l

yzPt(z) = lim lim

(1.27)

dV 0 Re – °° dV

K-oo Re-*oo v

( bn

/ fL Л

‘ \ Ъп Д2′


Зависимосш (1.19), (1.20), (1.25) — (1.27) справедливы только при В связи с этим несомненный интерес представляют следующие два вопро­са: 1) каков качественный характер влияния числа Рейнольдса на плот­ность вероятностей концентрации и 2) каков порядок отброшенных чле­нов? Проанализируем вначале первый вопрос. Из физических соображений ясно, что основное изменение плотности вероятностей из-за эффектов молекулярного переноса произойдет в окрестности границы фазового пространства, т. е. вблизи точек z = 0 и z = 1, так как дельта-функции, содержащиеся в предельных формулах (1.19) и (1.20), окажутся "раз­мазанными" на конечный интервал, длина которого по порядку величины должна совпадать с характерным значением амплитуды мелкомасштабных пульсаций, определяемых вязкими процессами оценку которой удобно дать ниже. Сразу отметим, что наблюдаемая в рассмотренных ниже экспе­риментах "размазанность" дельта-функций может быть вызвана как обсуж­даемым принципиальным влиянием процессов молекулярного переноса, так и неточностью измерений. Ответ на вопрос, какой из названных факто­ров оказывает большее влияние на плотность вероятностей, требует спе­циального рассмотрения в каждом конкретном случае. Некоторые сообра­жения о влиянии неточности измерений на плотность вероятностей будут высказаны после обсуждения влияния числа Рейнольдса.

Для иллюстрации "размазывания" дельта-функций на рис. 1.17 приве­дены результаты опытов Бэрча, Брауна, Додсона и Томаса [1978], в кото­рых измерялась плотность вероятностей концентрации на краю затопленной осесимметричной струи метана. Видно резкое увеличение P(z) при z ->0, что можно интерпретировать как след дельта-функции. Аналогичные ре­зультаты получены Кузнецовым и Расщупкиным [1977]. Шринивасаном, Антониа и Стефенсоном [1979], Раджагопаланом и Антониа [1980], Меш­ковым и Щербиной [1981]. В качестве еще одного примера на рис. 1.18 приведены данные измерений плотности вероятностей температуры на


P(zy

•..у

/ ✓

/

/

• •

/ / / / /

ч


0,3


po 0,8

OS

0

0,2

uo

-2,0 -1,0 0

Рис 1.17. Плотность вероятностей концентрации на краю затопленной осесимметрич – ной струи метана но данным Бэрча. Брауна. Додсона и Томаса |1978|. xjd=\0, х2 >d = 1.49, К= 1.6 • 1.3 ем, ^ = 19 м/с

Рие 1.18. Плотное! ь вероятностей 1емперагуры в слое смешения на начальном участке заюпленной подогретой осесиммегричной струи по данным Кузнецова и Расщупкина 11977J / – £ =0, 2 – k а —0.067, 3 – k =0.067. £ = jr2/jr,. J Рл *оР,

i =Д Т/(А Г)таХ. Условия опыюв и система координат те же. что и на рис. 1.16

0,1

О-/

• -2

д-J

Л

! 1

s/j

V \

К

\

у

\ \

1

xJr<

V*

•4.


начальном участке подогретой осесимметричной струи, вытекавшей в неподвижный холодный воздух (Кузнецов и Расщупкин [1977]). Во всех трех точках измеренные плотности вероятностей получились бимодальны­ми, т. е. имеющими по два максимума. Один из максимумов в каждой из точек обусловлен "размазанностью" дельта-функции. Действительно, в точке x2/xi = 0 максимум на s = 1,5 (s = (z – <z >)/a, о2 = <(z – <z>) 2> – дисперсия пульсаций концентрации) соответствует z – 0,92, при х2 /xt = = -0,067 максимум на s = 0,85 соответствует z = 0,98, а при x2/xi = 0,067 максимум на s = -1,7 соответствует z = 0,15. Поэтому максимумы при х2/хх = 0 и лг2/лг, = —0,067 являются "следом" 6(z — 1), а максимум при *г1х\ =0,067 – "следом" б (z). В этих оценках использованы результаты измерений <z > и а, приведенные в рассматриваемой работе.

Продолжим обсуждение влияния числа Re на поведение плотности веро­ятностей концентрации в окрестности точек z = 0 и z = 1. Важно подчерк­нуть, что при конечном числе Рейнольдса, пусть сколь угодно большом, в любой конечной области минимальное zmin и максимальное zmax зна­чения концентрации, в силу принципа максимума для уравнения диффу­зии*), отличаются от нуля и единицы. Надо также иметь в виду, что при конечном числе Рейнольдса величины zmjn и zmax являются функциями координат (и времени, если задача нестационарна в среднем). Определение этих функций — достаточно сложная задача, и она здесь не рассматривается.

Для того чтобы получить более конкретные заключения о поведении плотности вероятностей, необходима информация о поле концентрации в окрестности точек zmia и zmax. Согласно формулам (1.23), (1.24) плот­ность вероятностей зависит от площади изоскалярной поверхности и вели-


чины<

\ Ъп /г

Из физических соображений понятно, что площадь изо-


скалярной поверхности имеет конечные пределы при z -^zmin и z zmax (число Рейнольдса конечно). Таким образом, задача сводится к определе-

/I dz

нию зависимости^ j у от z. Здесь будут рассмотрены две простые

физические модели поля концентрации в окрестности экстремальных точек. Первая модель соответствует статистически однородному полю концентрации в однородной турбулентности. Вторая — предназначена для описания свободных турбулентных течений. Разберем вначале первую модель. В ней предполагается, что поле концентрации в окрестности каж­дой экстремальной точки z = zm представляется в следующем виде (для простоты выкладок рассматривается одномерное поле) :

z = zm+a*2. (1.28)

Здесь координата /? отсчитывается от точки положения экстремума, случай­ная постоянная а имеет смысл кривизны изоскалярной поверхности в экст­ремальной точке и зависит от числа Re, так что а при Re. Из формулы (1.28) имеем

^ =2|a(z-zm)|1/2. (1.29)

Ьп

Задача теперь состоит в том, чтобы использовать соотношение (1.29) для оценки условного среднего^ — ^ . Для качественных оценок прене­брежем флуктуациями величины а. В результате, например, в окрестности точки z – zmin получим такую формулу:

‘Х^Ж2"2")!"1’2- (130>

Из (1.23) и (1.30) находим

P(z)-\a(z~zmin)r1’2, (1.31)

т. е. плотность вероятностей имеет интегрируемую особенность в точке z =zmin. Аналогичный вывод справедлив и для другой граничной точки

z = zmax-

Перейдем к обсуждению второй модели Она основана на результатах экспериментального исследования замороженных пространственных про­филей концентрации (или температуры) в свободных турбулентных тече­ниях (см. рис. 1.1). Из рис. 1.1 видно, что на краю струи происходит скач­кообразное изменение температуры. Аналогичные результаты получены в работах Дженкинса и Гольдшмидта fl976], Чена и Блэкуелдера [1978], Шринивасана, Антониа и Бритца [1979].

Можно предположить, что профиль температуры в окрестности скачка находится в некотором квазистационарном состоянии вследствие баланса двух противоположно действующих факторов — диффузии и конвектив­ного потока, обусловленного сильной гидродинамической деформацией среды. Аналогичная постановка задачи для поля вихря в теории локально однородной и изотропной турбулентности впервые предложена Таунсен – дом [1951].

Уравнение диффузии, выписанное в системе координат, связанной с поверхностью z = z0 = const, на которой происходит скачок, в пренебре­жении искривлением поверхности и граничные условия, описывающие квазистационарный профиль концентрации, имеют вид

dz d2z

-kn— -D—г, *>0, (1.32)

dn dn2

z(0) = z<), z0 при.

Здесь к — неосредненный градиент скорости; считается, что турбулентная жидкость находится в области п > 0. Асимптотика решения уравнения (1.32) при и->—оо (z 0) имеет вид

rdz 1 D / кп2\

Продифференцируем (1.33) по и, выразим п через z с помощью (1.33) и подставим зависимость n{z) в полученное соотношение. В результате найдем

dz / 2к V’2

——- М – — lnz) z, z-> 0. (1.34)

dn \ D /

В оценках пренебрежем пульсациями диссипации, т. е. будем считать, что

к = const ~ \J(Ђ)jv. Тогда из (1.24) и (1.34) для плотности вероятностей получим

,nz)1/2z] • (L35>

Из (1.35) ви№м, что во второй модели плотность вероятностей ограниче­на при z -*zmin. Такой характер P(z) обусловлен тем, что нулевое значе­ние концентрации не достигается на любом конечном расстоянии от 1раниц течений струйного типа.

Рассмотренные выше примеры показывают, что при конечном числе Рейнольдса процессы молекулярного переноса достаточно сложным обра­зом сказываются на форме распределения плотности вероятностей кон­центрации. В связи с этим полезно отметить, что во многих случаях, пред­ставляющих практический интерес, рассматриваемые процессы могут быть существенными.

Как уже указывалось ранее, влияние числа Рейнольдса особенно велико вблизи границ фазового пространства (т. е. точек z = 0 и z = 1), так как в окрестности этих границ плотность распределения вероятностей стре­мится к дельта-функциям. Поэтому дальнейшее обсуждение построим следующим образом. Оценим сначала величину zVj т. е. тот интервал зна­чений концентрации, на котором "размазаны" дельта-функции, а затем найдем порядок отброшенных членов в асимптотическом разложении функции P(z) вне рассматриваемого интервала.

Очевидно, что величина zv определяется амплитудой наиболее мелко­масштабных, зависящих от вязкости пульсаций концентрации. Поэтому для оценки величины zv можно воспользоваться теорией Колмогорова

[1941] и Обухова [1941, 1949], согласно которой г„ зависит только от <Л0, <€>, v и D. Будем считать, что v ~ D, и учтем, что при замене z на Xz (X произвольно) величина <N> преобразуется по закону (N)-»\2(N). Тогда из соображений размерности получим / v \ 1/4

) . (1.36)


Для оценки <е> и <Л0 воспользуемся известными соотношениями (е> ~ o2q! L. Тогда

= (1.37)

Поскольку в (1.37) число Рейнольдса входит в малой степени, то влия­ние процессов молекулярного переноса на плотность распределения вероят­ностей концентрации вблизи граничных точек z = 0 и z = 1 может быть весьма значительным. Например, расчет показывает, что zv\a – 0,16 в усло­виях опытов Бэрча, Брауна, Додсона и Томаса [1978], zv\o-0,13 в услови­ях опытов Кузнецова и Расщупкина [1977]. В обоих случаях значения zv сопоставимы с интервалом, на котором "размазаны" дельта-функции (см. рис. 1.17, 1.18).

Обратимся теперь к оценке порядка отброшенных членов в асимптотике плотности вероятностей концентрации при Re —00 во внутренних точках интервала zmin < z< zmax, т. е. оценим добавки к функции Pt, входящей в (1.19) и (1.20). В оценках используем гипотезу о статистической незави­симости крупномасштабного, автомодельного по числу Рейнольдса, и мелко­масштабного, определяемого молекулярной вязкостью, движений в турбу­лентной жидкости. Подробное обсуждение этой гипотезы с соответствую­щими ссылками на литературу дано в § 3.2. Здесь ограничимся только указанием на то, что введенная гипотеза является органической частью теории локально однородной и изотропной турбулентности Колмогорова – Обухова. Чтобы применить эту гипотезу, разложим поле концентрации на сумму двух полей

2 = 2 (1) + z (2) <(z (0)2 > 1/2 ^ а <(z (2)}2 > 1/2 ^ ( j 38)

одно из которых – z^ – крупномасштабное, а другое – z(2) – мелко­масштабное, локально однородное изотропное поле. Последнее, в част­ности* означает, что при Re справедливо такое выражение:

<(-(2))2>

-—т— – Re"1/2. (1.39)

о2

Разбиение (1.38) можно осуществить, например, следующим образом. Рассмотрим куб cj с центром в точке х и стороной /, удовлетворяющей условию / = к т?, к > 1, и введем величины

Z0)=L fzdK z(2) = z_z(О.

GJ

V

Здесь V — объем области со. Устремляя число Рейнолыхса к бесконечности при к = const, получим представление (1.38).

Использование гипотезы о статистической независимости полей и zпозволяет расщепить корреляции типа <(z^ )*» (z^2) )к* >, т. е. <(Z(D)^ >= <(z(D)*i ><(Z(2))^>, (1.40)

где кi и к2 — любые положительные числа. Теперь все готово для того, чтобы оценить порядок отброшенных членов в асимптотике плотности вероятностей концентрации.

Действительно, как известно, плотность вероятностей однозначно опре­деляется своей характеристической функцией, т. е. величиной = = <exp(/Xz)>. Из (1.38), (1.40) имеем = <exp(/Xz(i)) ><exp(/Xz(2)) >. Так как <(zi2* )2 >^2 < а в силу (1.39), то приближенно получаем <exp(/Xz(2))> = < 1 + /Xz(2) – Уз X2(z(2))2>. Поскольку поле z(2) локаль­но однородно, то <exp(/Xz(2)) > = 1 – Vi X2((z*2′)2 > + . .. Таким образом, разложение характеристической функции имеет вид

<^> = <exp(/Xz(,)))(l – ^X2<(z(2))2>+ • • • )•

Так как <(г )2> при Re то обратное преобразование Фурье от первого члена в этом разложении, в силу (1.19) и (1.20), есть уPt. Обрат­ное преобразование Фурье от следующего члена в разложении характеристи­ческой функпии, в силу (1.39), порядка Re~ .

Таким образом, предположение об автомодельности функции Р по числу Рейнольдса выполняется с точностью порядка Re ~ .

Даже в лабораторных условиях, когда число Рейнольдса Re = Lq\v редко превышает 104, эта точность порядка одного процента. Поэтому влияние процессов молекулярного переноса на плотность распределения вероят­ностей концентрации вне малых окрестностей точек z = 0 и z = 1 можно не учитывать. И, наоборот, в окрестности этих точек влияние числа Рей­нольдса существенно, что связано с двумя обстоятельствами. Во-первых, как установлено выше, при указанном выше числе Рейнольдса интервал, на котором "размазаны" дельта-функции, достаточно велик (zv ~ 0,1а) Во-вторых, поскольку Р ~ 6(z) при Re->°°, то число Рейнольдса сильно сказывается на абсолютных значениях плотности, вероятностей (при конеч­ном числе Рейнольдса P(z) имеет ярко выраженный максимум, располо­женный при z = 0; изменение числа Рейнольдса сильно сказывается на амплитуде этого максимума).

Таким образом, при интерпретации экспериментальных данных следует с большой осторожностью пользоваться предположением об автомодель­ности распределений вероятностей по числу Рейнольдса. Это обстоятельство зачастую игнорируется. В качестве примера можно привести работы Поупа [1979, а, б], в которых для аппроксимации измеренных в опытах плотнос­тей распределений вероятностей, т. е. функций с особенностями, обуслов­ленными вязкостью, предложен ряд вариационных принципов, не содержа­щих числа Рейнольдса.

К рассмотренной выше проблеме о воздействии процессов молекуляр­ного переноса на вид плотностей распределений вероятностей тесно примы­кает вопрос о влиянии приборных погрешностей на измеренные значения P(z). В ряде случаев влияние числа Рейнольдса и погрешностей измерения приводит к качественно одинаковым результатам. Например, при отличной от нуля ширине окна компаратора[3]), служащего для измерения плотности вероятностей, дельта-функция будет "размазанной". Указанный эффект может быть существенным. Например, в опытах Кузнецова и Расщупкина

[1977] эта ширина совпадает с оцененной выше амплитудой мелкомасш­табных пульсаций zv. В ряде опытов, однако, "размазывание" дельта – функций обусловлено в первую очередь шумами в комплексе измеритель­ной аппаратуры (Ля Рю и Либби [1974], Раджагопалан и Антониа [1980], Мешков и Щербина [1981]), что всегда надо иметь в виду при анализе экспериментальных данных. Метод преодоления указанной трудности предложен в работах Билджера, Антониа и Шринивасана [1976], Брэдшоу

[1978] , Билджера [1978], Мешкова и Щербины [1981], Щербины [1982]. Основная идея метода остоит в том, что "размазанная" шумами плотность вероятностей в окрестности точек z – 0 и z = 1 аппроксимируется специаль­но подогнанными гауссовскими кривыми, площади под которыми дают соответственно 7о и 7i.

Проведенный анализ показывает, что учет влияния процессов молеку­лярного переноса на вид плотности распределения вероятностей сопряжен с преодолением значительных трудностей, возникающих как при теорети­ческих, так и при экспериментальных исследованиях. Введение перемежае­мости позволяет обойти эти трудности. Именно в этом и заключается основное преимущество рассмотрения предельной картины течения при Re =

§ 1.4. Качественный вид плотности

распределения вероятностей концентрации при горении однородной смеси

При горении в турбулентных потоках в плотностях распределения ве­роятностей коцентрации химически активной примеси имеется ряд качест­венных особенностей, существенно отличающих этот случай от проанали­зированного в предыдущем параграфе смешения пассивной примеси. Как будет показано в главе 5, лишь для диффузионного горения, т. е. при раз­дельной подаче горючего и окислителя, при некоторых предположениях общего характера задачу можно свести к исследованию плотности вероят­ностей химически инертной примеси. Поэтому при таком способе организа­ции процесса качественная картина плотности вероятностей концентрации остается прежней.

Однако положение кардинальным образом меняется при горении пред­варительно перемешанных газов. Анализ этого случая является целью данного параграфа. Далее концентрация химически активной примеси будет обозначаться буквой с. Это же обозначение применяется и для норми­рованной температуры. Условимся, что в последнем случае с = 0 в свежей смеси и с=\ в продуктах сгорания, т. е. с = (Г – Г(°>)/(Г^> -

- температура свежей смеси, Т^ – температура продуктов сгорания.

В работах Дамкелера [1940], Щелкина [1943], Щелкина и Трошина [1965] были сформулированы два предельных механизма горения одно­родной смеси: 1) горение происходит в протяженных зонах, размеры которых сравнимы с масштабом турбулентности, — объемный механизм горения и 2) горение протекает в узких зонах, сильно искривленных и запутанных из-за флуктуаций скорости, – фронтальный механизм горения. Специально подчеркнем, что здесь рассматривается неосредненная картина течения и горения. За дальнейшими сведениями о моделях турбулентного

т



t

Рис. 1.19. Осциллограмма пульсаций температуры при горении однородной смеси по данным Кокушкина [1960]. Опыты проведены с бензино-воздушной смесью; коэффи­циент избытка воздуха а = 1,6 – 1,8; начальная температура 573 К; давление нормаль­ное. Смесь горела за коническим стабилизатором диаметром 6 см, расположенным на срезе трубы диаметром 40 см. Скорость истечения составляла 90-110 м/с. Измерения проводились на расстоянии 40 см от среза трубы. Единицы измерения по осям коорди­нат произвольны

горения можно обратиться к книгам Талантова [1975], Щетинкова [1965], Прудникова и др. [1971], Ильяшенко и Талантова [1964], Раушенбаха и др. [1964], Вильямса [1965] и обзорам Эндрюса, Брэдли и Лвакавамба [1975], Либби и Вильямса [1981], Абдель-Гайеда и Брэдли [1981], Брэя [1980], Борги [1984], Брэдли [1984].

"Замороженное" (мгновенное) распределение температуры в двух указанных случаях существенно различно. При объемном механизме горе­ния изменение температуры происходит на масштабах порядка L и качест­венный вид плотностей вероятностей концентрации при горении и при смешении без реакций принципиально не отличаются.

Подробные оценки, проведенные в главе 6, свидетельствуют, что в условиях, реализующихся в технических устройствах, горение однородной смеси чаще всего происходит по фронтальному механизму. В этом случае профиль температуры состоит из последовательности импульсов почти прямоугольной формы с одной и той же амплитудой, но разной продолжи­тельности. Изменение температуры от нижнего уровня до верхнего проис­ходит на толщине 5, имеющей порядок толщины нормального фронта пламени. Сказанное иллюстрируется осциллограммой пульсаций темпе­ратуры, которая получена Кокушкиным [1960] (рис. 1.19). Из этой осцил­лограммы видно, что горение происходит в соответствии с фронтальной моделью.

Структура поверхности пламени проиллюстрирована на рис. 1.20, заимст­вованном из той же работы. В этом опыте использовались пять термомет­ров сопротивления, расположенных на расстоянии 6 мм друг от друга вдоль прямой, перпендикулярной оси факела (ось х2 на рис. 1.20). Верти­кальные отметки на риб. 1.20 соответствуют моментам времени, в которые фронт пламени проходит через датчик. При интерпретации рис..1.20 на основе известной гипотезы Тейлора о замороженности турбулентности

время можно связать с продольной координатой с помощью соотношения Xi =(w!>r. Поэтому сплошные линии соответствуют зарегистрированному положению фронта пламени.

Таким образом, в первом приближении фронт пламени можно рассмат­ривать как поверхность, на которой претерпевают разрыв скорость, плот­ность, температура и концентрации.

Очевидно, что при фронтальном механизме горения плотность вероят­ностей промежуточных значений температуры (0< с< 1) пропорциональна

Рис. 1.20 "Замороженное Условия опытов те же. что и на рис. 1 19

* 1/200 ‘ *>с

положение фронта пламени по данным Кокушкина [I960]


тепловой толщине нормального пламени 8 а/ип, где а — коэффициент температуропроводности, ип — скорость нормального распространения пламени. Более подробно об этих параметрах говорится в главе 6. Прове­денные там оценки показьюают, что параметр 6 мал (меньше 1 мм). Поэто­му справедлива оценка

Р(с) – 6/L, 6 = а\ип, 0< с< 1. (1.42)

Аналогичная оценка получена Прудниковым в 1960 г. (см. изложение работы Прудникова в книге Раушенбаха и др. [1964]). Эта оценка, разу­меется, неверна при с – 0 или с – 1, так как ясно, что при 6=0 промежу­точные значения температуры не наблюдаются, а плотность вероятностей имеет вид

Р(с) =Тоб(с) 1), у0 +7i = 1. (1.43)

Соотношение (1.43) дает главный член асимптотического разложения плотности вероятностей по большому параметру L/д =unL/a, который в данном случае можно рассматривать как аналог числа Рейнольдса.

Формула (1.43) также, по-видимому, впервые получена Прудниковым в 1960 г. (см. изложение работы Прудникова в книге Раушенбаха и др. [1964]). Так как в (1.20), (1 43) фигурируют сингулярные слагаемые, то можно считать, что при горении однородной смеси возникает явление, внешне сходное с перемежаемостью в турбулентных потоках. Эта аналогия оправдана также и тем, что в условия применимости формулы (1.43) входит коэффициент молекулярного переноса.

Подчеркнем, однако, что отмеченная аналогия далеко не полная, так как при горении жидкость до и после фронта пламени, разделяющего области с с = 0 и с = 1, может быть завихренной.

Измерения плотности вероятностей температуры при горении однород­ной смеси проводились Иошидой и Гюнтером [1980] (в качестве горючего газа использовался природный газ). Одна из полученных в ->гой работе плотностей вероятностей прирейена на рис. 1.21. Четко видны два макси­мума, соответствующие двум "размазанным" дельта-функциям в выраже-

нии (1.43). Причины "размазанности" те же, что и при диффузии пассивной примеси (этот вопрос подробно обсуждался в § 1.3). При 0< £ < 1 плот­ность вероятностей мала. В этой же работе проверено следствие формулы


(1.43):

(1.44)

о2 =<<♦>( 1 – <с».


Результаты сопоставления соотношения (1.44) с экспериментальными данными приведены на рис. 1.22. Видно, что соотношение (1.44) выпол­няется с точностью не менее 10% при любом значении (с). Аналогичные результаты получаются и при обработке опытов Калгатги и N юса [1979]. С фронтал ным механизмом горения согласуются и результаты опытов Билла, Неймера и Талбота [1981]. В этой работе исследовалось горение смеси этилена с воздухом в потоке за турбулизирующей решеткой, распо­ложенной в канале. Пульсации скорости измерялись лазерным анемомет­ром. На рис. 1.23 изображена плотность распределения вероятностей про­дольной скорости, измеренная в некоторой внутренней точке зоны горения. Отчетливо видна бимодальная структура этой плотности вероятностей. Тем самым в точке с конечной вероятностью наблюдались две жидкости с различными статистическими свойствами. Другие результаты рассматри­ваемой работы будут отмечены в § 6.6.

В отличие от случая, рассмотренного в § 1.3, при горении однородной смеси следует учесть поправки к плотности вероятностей, которые обус­ловлены влиянием процессов молекулярного переноса. В самом деле, с помощью формулы (1.43) нельзя найти, например, среднее значение скорости химической реакции. Проанализируем это влияние, пользуясь теорией Зельдовича и Франк-Каменецкого [1938а, б], которая, как из­вестно, дает главный член в асимптотическом разложении решения урав­нения теплопроводности с источником (скоростью тепловыделения, опи­сываемой законом Аррениуса) по малому параметру RT^ /£, где R – газовая постоянная, Е — энергия активации, Т^ – адиабатическая темпе­ратура горения. В рамках указанной теории толщина слоев 6С, в которых происходят химические реакции, по порядку равна 6c = bRTw/Е<Ь. При фиксированном значении б и R T(h) IE ->0 можно, следовательно, считать, что реакции идут на поверхности с = 1 — 0. По одну сторону этой поверхности – в продуктах сгорания – концентрация сохраняет постоян-

2,5 – Р(Т) Ю3


J——- ‘ ■ ‘V

0 500 Ю00 T,°C

Z

Рис 1.21 Плотность распределения вероятное гей темпера­туры ири горении однородной смеси в бунзеновской го­релке но данным Иошиды и Гюнгера |1980| xjd = 1.75, xjd =0,3.Red = wod/^ = 1.44 • 10\«e =5.44 м/с,<*-3.97см


Рис. 1.22. Связь дисперсии пульсаций температуры со средней температурой при горе­нии однородной смеси в бунзеновской горелке по данным Иошиды и Гюнтера 11980). / – jr, Id = 3. и\ = 6%, of = 1,25, 2 — xjd ~ 2,375. и\ 1и0 = 6%, а = 1,18, 3 — xjd = 1,75, и\ /ив = 6%, <* = 1,11, 4 – jr, Id = 3, i/J /ии = 4%, а = 1.25, 5 – jr, fd = 1,75, wj lu„ = 9%, <* = s 1,25, 6 – зависимость, описываемая формулой (1.44), о? — коэффициент избытка воздуха, и\ -((а, – <и, М2 > V2. с = (Г – 7′(°>)/(Г^> – Г<°>), о2 = < (с – <е» 2>

б2

Ofi 0,3 0,2 0,1

О


Рис. 1.23. Плотность распределения вероятностей продольной скорости при горении однородной смеси этилена с воздухом в потоке за турбулизирующей решеткой в кана­ле по данным Билла, Неймера и Тал бота 11981]. Измерения проводились в сечении, расположенном на расстоянии 7,5 см от решетки. Размер ячейки решетки М = 0,5 см, ширина канала 10 см. и0 – 6,84 м/с — средняя скорость перед решеткой. Коэффициент избытка воздуха а = 1,33

ное значение с = 1, а по другую — наблюдаются все промежуточные значения концентрации. Следовательно, в приближении Зельдовича и Франк-Каме – нецкого в выражении для плотности вероятностей температуры должен содержаться член, пропорциональный б (с – 1). В приведенном рассужде­нии, принадлежащем Кузнецову [19766], существенно то, что параметр 6 фиксирован (число Рейнольдса конечно) и, следовательно, в плотности вероятностей отсутствует член с 6(c). Заметим, что это обстоятельство упущено из внимания в ряде работ и, в частности, у Прудникова (см. Рау – шенбах и др. [1964]), Зимонта [1977], Брэя [1980], Либби и Брэя [1981], Либби и Вильямса [1981]. Таким образом, имеем

Р{с) = 7j 6(с — 1) + yPt(c), 7i +7=1. (1.45)

Во избежание недоразумений подчеркнем, что здесь нижний индекс t имеет смысл иной, чем в формуле (1.19). Он употребляется здесь лишь на основе формальной аналогии между соотношениями (1.19) и (1.45).

В рассмотренном предельном переходе (RT(b)/E-> 0, 6/Z, фиксировано) профиль концентрации обладает тем свойством, что Эс/Эн-^0 при с->0 и, следовательно,/*, (с) при с-*0, т. е. условная плотность вероятностей, как видно из (1.24), имеет интегрируемую особенность в нуле.

Важно еще раз подчеркнуть, что в анализируемом случае, в отличие от чистого смешения, использование принципа автомодельности по числу


Рейнольдса для условной плотности вероятностей температуры неприем­лемо.

Как и в случае смешения без реакций, когда перемежаемость обусловле­на крупномасштабными колебаниями узкой границы, разделяющей турбу­лентную и нетурбуяентную области, так и в случае горения однородной смеси перемежаемость вызвана крупномасштабными колебаниями фронта горения. Однако, несмотря на формальное сходство формул (1.45) и (1.19), оба вида перемежаемости не связаны между собой и обусловлены совершенно разными физическими причинами: гидродинамическая пере­межаемость возникает при Re-*°°, а перемежаемость в случае горения однородной смеси – при R Т/£ 0.

ГЛАВА 2

УРАВНЕНИЯ ДЛЯ ПЛОТНОСТЕЙ РАСПРЕДЕЛЕНИЙ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

Первая попытка получить уравнение для плотности вероятностей в тур­булентном потоке, по-видимому, сделана Фростом [1960] при рассмотре­нии турбулентного горения однородной смеси горючих газов. В этой работе найдено уравнение для плотности вероятностей температуры. При выводе, помимо точного уравнения теплопроводности, привлекались дополнитель­ные соображения (например, о марковском характере процесса турбу­лентного смешения). Похожее уравнение (под названием модели Ланжеве – на) появилось позже в работе Чанга [1969]. В дальнейшем этот подход развивался в работах Кузнецова и Фроста [1973] и Фроста [1973, 1977].

Точные незамкнутые уравнения для п-точечных плотностей распределе­ний вероятностей различных гидродинамических характеристик, получен­ные из уравнений Навье – Стокса, введены в теорию турбулентности прак­тически одновременно в работах Монина [1967а, б], Ландгрена [1967]. Новикова [1967], Кузнецова [1967], Улинича [1968]. Улинича и Люби­мова [1968]. Впоследствии уравнения для плотностей вероятностей были обобщены на случай лагранжева описания движения среды в работах Люби­мова [1969], Любимова и Улинича [1970]. Общий метод вывода уравне­ний для плотностей вероятностей в произвольной сплошной среде дан в ра­ботах Иевлева [1972, 1975] и Фокса [1975] (см. также Хилл [1976]) Достаточно подробный обзор работ, выполненных в этом направлении, включая и способы замыкания уравнений, содержится в статьях Кузнецова и Сабельникова [1981 а, б] (см. также § 2.3 данной книги), книге "Турбу­лентные течения реагирующих газов" под редакцией Либби и Вильямса 11980], обзоре Борги [1980] и статьях Сабельникова [1985а, 1986].

В следующих главах потребуются лишь два уравнения: первое – для одноточечной плотности вероятностей концентрации и второе – для двух­точечной плотности вероятностей разности скоростей. Использованный ни­же метод вывода этих уравнений отличается от описанных в литературе тем, что уже на первом его этапе вводится перемежаемость. Это, как указыва­лось в главе 1, позволяет избежать формальных трудностей, связанных с предельным переходом Re Такой подход был предложен Кузнецо­вым [1972а]. Затем он использовался в работах Кузнецова и Фроста [1973], Кузнецова [19776, 1979а], Сабельникова [1979, 1980 а, б, 19826,в], Кузнецова и Сабельникова [1981а, б], Кузнецова, Лебедева, Секундова и Смирновой [1981], О’Брайена и Допазо [1978], О’Брай – ена [1978] и ряде других работ.

§ 2.1. Уравнение для плотности распределения вероятностей концентрации

В данном параграфе рассматриваются процессы в трех разных случаях: 1) смешение в отсутствие химических реакций: 2) юрение, возникающее при смешении потоков топлива и окислителя (диффузионное горение) : 3) горение предварительно перемешанных горючих компонентов. Во вто­ром случае предполагается, что скорости всех химических реакций беско­нечно велики, т. е. состав и температура термодинамически равновесны. В третьем – считается, что происходит одноступенчатая реакция, a cKopocib ее конечна. Предполагается, что число Рейнольдса стремится к бесконечно­сти, а число Маха – к нулю. В силу последнего предположения при вычисле­нии плотности р давление р можно считать постоянным, т. е. р зависит лишь от температуры и состава (в таком приближении градиент давления, входящий в уравнение Навье – Стокса, всегда учитывается).

Предположим также, что все коэффициенты молекулярного переноса равны, а начальные распределения концентраций всех веществ и энтальпии и граничные условия подобны. Первое ограничение не является слишком сильным, поскольку характеристики смешения слабо зависят от числа Рейнольдса. Как известно, в указанных выше предположениях для описа­ния рассматриваемых процессов достаточно задать лишь гидродинамиче­скую скорость и концентрацию какого-нибудь одного вещества (Бурке и Шуман [1928], Зельдович и Фракк-Каменецкий [1938а, б]. Шваб [1948], Зельдович [1949]).

Этот вывод очевиден для случая смешения без реакций.

Если в потоке происходят химические реакции, то суммарные весовые концентрации са (а = 1, 2, …) атомов данного вида, содержащиеся во всех химических соединениях, и полная энтальпия (включающая в себя энергию химических связей) с0 описываются одинаковыми уравнениями без источников. Поскольку начальные и граничные условия обычно подоб­ны, то величины с0 и са линейно выражаются через решение уравнения диффузии без источника. Тогда при диффузионном горении температуру, плотность и концентрации всех веществ можно связать с этим решением с помощью термодинамического расчета. Далее предполагается, что эта операция уже выполнена.

Если химическая реакция является одноступенчатой, то при горении заранее перемешанных горючих компонентов количество выделившегося тепла и изменение концентраций реагирующих веществ легко выражаются через концентрацию какого-нибудь одного вещества. Следовательно, и в этом случае достаточно задать распределение какой-нибудь одной харак­теристики процесса (например, температуры).

Таким образом, во всех рассматриваемых случаях плотность р и ско­рость химической реакции W выражаются через одну переменную. Эту пере­менную обозначим буквой с (с = z – концентрация инертной примеси при

смешении или при диффузионном горении, с = ущ—при горении однородной смеси, Т — температура, индексы 0 и b относятся к свежей смеси и продуктам сгорания соответственно). Все результаты, полученные в данной главе, остаются справедливыми и в случае W = 0.

Сформулированные предположения значительно упрощают анализ и вместе с тем вполне достаточны для решения задач, рассмотренных в главах 5, 6.

Выпишем неосредненные уравнения диффузии и неразрывности

Р^ + puV с = V(pDVc) + pW, (2.1)

ot

|Ј+VP«=0. (2.2)

ot

Здесь D – коэффициент диффузии, W – скорость химической реакции ( W = 0 при смешении или диффузионном горении).

Введем величину \р = exp(/Xr), X – действительное число. По опреде­лению < кр > – характеристическая функция плотности вероятностей кон­центрации. Поэтому, если функция < у > известна, то плотность вероятно­стей находится с помощью обратного преобразования Фурье:

= ^ / < <р > ехр (—/ X с )d\.

Продифференцируем ур по t. Появляющуюся при этом производную Эс/Эг выразим из уравнения теплопроводности (2.1). В результате получим

р^ = i\y[-puvc + V(pD Vc) + pW]. ot

Первый член в правой части этого соотношения приводится к виду – piiV^. Поэтому после использования уравнения неразрывности (2.2) и осреднения имеем

Э <р^>

‘ + V < put > = /X < р HV > + /X < Vc) >. (2.3)

Э t

Второе слагаемое в правой части соотношения (2.3) можно преоб­разовать к следующему виду (Кузнецов [1967, 1972а], Фокс [1971], Поуп [1976]):

/X (\pV(pDVc)y = /X V < pDvpVc > — /X < pDVc • V</>) =

= V<pDV</?> + X2 <p/\fy?>, N = D(Vc)2. (2.4)

Преобразование (2.4) играет важную роль при получении уравнения для плотности вероятностей концентрации. Заметим, что оно аналогично преоб­разованию, обычно используемому при выводе уравнения для дисперсии пульсаций концентрации (Корсин [1951]). Слагаемое V<pDV^>, содер­жащееся в правой части (2.4), описывает молекулярный перенос моментов поля концентрации, и оно пропорционально Re"1. Поскольку рассматри­вается предел Re это слагаемое далее опускается (остальные сла­гаемые в уравнении конечны, так как плотность вероятностей и <N> при Re — °° имеют конечные пределы)

Используя (2.4), приведем соотношение (2.3) к виду Э<р*>

– —+ V < р w ^ > = X2<pyVv-> + /X<p W<p). (2.5)

Эг

Соотношения (2.3) и (2.5), как и все точные уравнения для статистиче­ских характеристик в теории турбулентности, незамкнуты. В них, помимо корреляции < р Wip > , которая (при принятом предположении относительно вида скорости химической реакции W) точно выражается через плотность вероятностей Р(с) (это обстоятельство и составляет главное преимущест­во использования плотностей вероятностей в теории турбулентного горе­ния) , входят корреляции < ри^р > и < pN<p >, не выражающиеся через иско­мую плотность вероятностей.

Относительно корреляции <рН^> отметим следующее. Наиболее рас­пространен случай, когда в нетурбулентной жидкости W = 0 и, следо­вательно,

<pWsp)=y(pWsp)t=yfpW*pPt(c)dc. (2.6)

Интегрирование в (2.6) проводится по всему интервалу изменения с. Для краткости пределы интегрирования не указываются. Такое сокращение записи будет использоваться и далее.

Рассмотрим теперь корреляцию < ри^р > . По определению имеем

(puf) = fpuyP(u, c)d3udc. (2.7)

Здесь Р(и, с) – совместная плотность вероятностей скорости и концентра­ции. Соображения, аналогичные тем, которые использовались в § 1.3 при получении формул (1.19), (1.20), позволяют установить вид этой функции (Сабельников [1979,19806]):

Р(и, с) = уРг(и, с) + тоРп(и I с = 0) 5 ( с ) +

+ 7хРп{и\с = 1)6 (с – 1). (2.8)

Здесь Рг(и, с) — условная совместная плотность вероятностей скорости и концентрации в турбулентной жидкости, Рп(и\ с = 0) и Рп(и\ с = 1) – условные плотности вероятностей скорости в нетурбулентной жидкости при условии с = 0 и с = 1 соответственно. Подставляя (2.8) в (2.7), получим

< риv? > = у J р < и )Tt c#P,(c)dc + ТоР(0) < и )Пг о +

+ Ti р(1) ехр (/ X ) <ii j, (2.9)

где

<!*>„, о = fuP„(u\c = 0 )d3u.

(и)пл = fuPn(u\c = 1 )d3u.

(и)ГшС = f uPt(u I c)d6u.

С+АС

Ot, t2

Рис. 2.1 К определению условно осреднен – ной скорости

_ 2vUk) Afk

А/д — продолжительноеib Аг-го интервала времени, когда значения концен фации на­ходятся в диапазоне с% г + дс, Л – 1.2,3, .

Здесь Pt{u | с) — условная плотность вероятностей скорости в турбулент­ной жидкости при заданном значении концентрации, <и>л,0> i — условно осредненные скорости в нетурбулентной жидкости при с = 0 и с = 1 соответственно, <м> tf с – условно осредненная скорость в турбулент­ной жидкости при заданном значении концентрации. Для пояснения смысла условно осредненных характеристик < > ti с на рис. 2.1 схематически показана процедура определения условно осредненной скорости < и) с в статистически стационарном случае.

Проанализируем корреляцию (pN^p >. По определению имеем

{pNsp) = / pN^P(N, c)dNdc. (2.10)

Здесь P(N, с) — совместная плотность вероятностей скалярной диссипации и концентрации. Из-за перемежаемости значения с = 0, с = 1 и TV = 0 наблю­даются с отличной от нуля вероятностью. Поэтому

P(N, c)=yPt(N, c)+y0b(c)6(N)+ylb(c – \)b(N). (2.11)

Здесь Pr(N, с) – совместная плотность вероятностей скалярной диссипации и концентрации в турбулентной жидкости.

Подстановка соотношения (2.11) в (2.10) дает

< pNif) = 7 < pNif >, =7 f pN<pPt(N, c)dNdc =y f p (N )t cyPr(c)dc,

(2.12)

где

(AOf., = fNPr(N\c)dN.

Здесь Pr{ /V | с)- условная плотность вероятностей скалярной диссипации в турбулентной жидкости при заданном значении концентрации, (N)r, c – условно осредненная скалярная диссипация в турбулентной жидкости при заданном значении концентрации.

Вполне аналогично представляется и корреляция < \р V(pD V г) >:

{ipV(pDVc)) = 7 < урЧ( pDV с)), -

= У Sv(V{pDVc))tcPt(c)dc. (2 13)

Здесь < V( pDVc ) > условное среднее значение дивергенции диффу­зионного потока V(pDVc) в турбулентной жидкости при заданном значе­нии концентрации.

В зависимости от того, используется или нет преобразование (2.4), по­лучаются две различные формы записи уравнения для плотности вероятно­стей концентрации. Рассмотрим вначале соотношение (2.3). Применим к нему обратное преобразование Фурье и учтем выражения (2.6), (2.9) и (2.13). В результате получим

дрР

—— + V( р { иР{и. c)d 1 ) =

Э/

= -7—<V( pI)Vc))t rPr(c)-y—pWPt(c). (2.14)

дс дс

Аналогичным образом из соотношения (2.5) получим вторую форму записи уравнения

дРР г д2 д

— + V(pfuP(ku. r)d3u) = – y-^-p(JV>tcPf-y—pWPf. (2.15) ot дс2 ‘ дс

Интеграл, фигурирующий в уравнениях (2.14) и (2.15), после подста­новки выражения (2.8) для Р(и, с) принимает вид (Сабельников [1979, 19806])

fuP(u, c)d3u=y05(c)(u)n.0 +

+ 7,6(с – l)<if>„.i +7 <»>,.сЛ(0. (2.16)

Две приведенные здесь формы записи уравнения для плотности вероятно­стей концентрации (2.14) и (2.15) эквивалентны. Физический смысл от­дельных слагаемых в (2.14) и (2.15) достаточно прозрачен. Первый член в левой части каждого из уравнений (2.14), (2.15) обусловлен возможной нестационарностью (в среднем), а второй – описывает конвекцию и турбу – лешную диффузию. В правой части (2.14) и (2.15) содержатся члены, характеризующие затухание концентрационных неоднородностей из-за смешения до молекулярного уровня и влияние тепловыделения.

В заключение этого параграфа приведем вывод уравнения для плотности вероятностей концентрации, основываясь на ее геометрической интерпрета­ции, данной в § 1.3, что полезно для понимания результатов, полученных в главах 3, 5 и 6. Кроме того, использованные при таком выводе промежу­точные формулы будут неоднократно применяться в главах 3 и 5. Для простоты рассмотрим статистически однородное поле концентрации. Вычислим скорость изменения объема bVCi заключенного между двумя близко расположенными изоскалярными поверхностями сис+rfe и пол­ностью лежащими в некотором достаточно большом объеме V. Имеем

-JJ- = f vndSc+dc – J \ndSf = ————————————- dc.

sc+dc Sc дс

(2.17)

Здесь v – скорость движения изоскалярной поверхности относительно га­за, п = Vc/| Vc | – вектор единичной нормали к изоскалярной поверхности. Скорость v находится из уравнения диффузии, записанного в системе коор­динат, связанной с изоскалярной поверхностью с(х, t) = const (Гибсон [1968], Климов [1972]):

-PWC = V( pDVc) + р W. (2.18)

\ =ис – и.

Здесь ис = dx/dt – абсолютная скорость движения точек, расположенных на изоскалярной поверхности. Из (2.18) находим, что

VII = – р"1 V(pDVc)|Vc|_1 – W\Vc\’1 .

Подстановка этого выражения в (2.17) дает

Э / [ —V(pЈ>Vc) | Vc Г1—рИ;| Vc| )dSc dpb Vc sc

dc

dt Ъс

Ъ f [ — V(pDVc) — pW\dbVc ь vc

= ------------------------------------ dc. (2.19)

Эс

Разделим (2.19) на объем V и устремим V к бесконечности. Учитывая опре­деление плотности вероятностей (1.21), получим

ЪрР Ъ Ъ

= « v(pЈ>Vc) »,. cPt - У—Р WPt, (2.20)

Эг Эс Эс

где

«V(pZ>Vc)»r, = — / V{pDVc)ddVc. 6 Vc 6 vc

В статистически однородном случае уравнение (2.20) совпадает с получен­ным выше уравнением (2.14), поскольку в силу эргодичности выполняется равенство

<(V(pDVc)))ttC = <V(pDVc))t, c•

§ 2.2. У равнение для двухточечной плотности

распределения вероятностей разности скоростей в локально однородной турбулентности

Рассмотрим однородное и изотропное поле турбулентности в несжи­маемой жидкости. Пусть дс(1) и дс(2) - две произвольные точки, рас­стояние между которыми принадлежит инерционному интервалу, т. е. r\<r < L, где г? - колмогоровский масштаб, L - интегральный масштаб

турбулентности, г = дг<2) - При выводе уравнения для плотности

вероятностей разности скоростей в этих точках, 1ак же как и в предыду - щем параграфе, будем считать, что число Рейнольдса стремится к бесконеч­ности. Тем самым дальнейшее изложение относится лишь к главному члену в асимптотическом разложении плотности вероятностей при Re кото­рый имеет вид (1.8).

Приведенный здесь вывод уравнения основан на работах Кузнецова [1967, 1976а, 1977 в] (см. также статью Кузнецова и Сабельникова

[1^81а]). Введем величину ур = exp(/Xv ), v =и(лг(2), r)-u(x(I), t),\ – действительный вектор. Среднее значение является характеристиче­

ской функцией плотности вероятностей разности скоростей в двух точках.

Продифференцируем <р по времени и выразим появляющиеся при диффе-.

Э w*(*(1>,f) Э М*(2).0 ренцировании производные и из уравнений

Навье – Стокса

Ъик Ъик Ър

—– + Mi—— =———— + vAuk. (2.21)

bt ‘Эх, Ъхк k v

взятых в точках дг^1* и В (2.21) р – давление, поделенное на

плотность.

После осреднения выражения, полуденного в результате выполнения ука­занной процедуры, находим

it \L ‘ Э*<’) ‘ Эх<2> дх(‘>

I I К



э р<2>

э42)

+ "дх(2)42) – "ДсО)"^])- (2.22)


Входящие в правую часть этого соотношения инерционные члены после использования предположения об однородности турбулентности и уравне­ния неразрывности Vh = О приводятся к виду

/X,

3 „, Э 3 Э=<<>>

Преобразуем теперь в соотношении (2.22) члены, характеризующие силы давления. С этой целью дважды продифференцируем уравнения Навье-Стокса (2.21) по хк и X/. Воспользовавшись уравнением неразрыв­ности, получим в результате для градиента давления уравнение Пуассона

Эр Э2ик и,

А — =————— K-J— . (2.24)

дX/ дхf Ъхк Эх/



(2.25)

Из (2.24) находим _ Э3

где = ^>э43>э, р> •

Поскольку справедливо очевидное соотношение

diklu^u^ = diUykVt. К = И<3>-«<’>, то получим

/ Э^1) Эр<2)1\


= ih-fTDiknPP(^ V, r,R)Vk V, d> Vd3 R.

4 7Г (2.26)

1 1

T=——————- . R=x(3)-x(1K Dikl =

R \R – r\ bRibRkbRl

Здесь P(\s K, r, R) – трехточечная плотность вероятностей разностей ско­ростей.

Рассмотрим вязкие члены в (2.22). Как и при выводе уравнения для плотности вероятностей концентрации (см. § 2.1), их можно записать в двух различных формах. Далее будет использоваться только одна из них, а именно та, которая соответствует записи уравнения для плотности ве­роятности концентрации Р(с) в форме (2.15). Чтобы получить эту форму записи, примем во внимание следующие тождества (легко видеть, что они аналогичны преобразованию (2.4)):

m i 0 i

3.V}1) Эх7(1>

которые позволяют представить вязкие члены в нужном виде

д2<*>>

Х/Х/ < ^t^1 >+ е<-2>)> + ———, (2.27)

о/’/ О/’/

dUj biij

4 Эх/ bxj

Вторым слагаемым в правой части этого соотношения (оно описывает молекулярный перенос моментов разности скоростей) при г> г? и Re -►о® можно пренебречь. Что касается первого слагаемого в правой части (2.27), то, как показывают выкладки и рассуждения, аналогичные тем, которые использовались в главе 1 при получении формулы для плотности вероят­ностей разности скоростей (1.8) из (1.5), оно при ri< r< L имеет вид

<*(е</> + е</>)> =7<^1}+е</>)>г. (2.28)

Для дальнейшего преобразования соотношения (2.28) введем условную плотность распределения вероятностей jPr е (е,-у |v) величины е, у при усло­вии, что точки а** 1 * и хнаходятся в турбулентной жидкости, а разность скоростей в этих точках равна v. Введем обозначение

(V) = / в</ >/>Гс(е</) I V) с/) = / e<2>/>,e(e</>|v)</e<2>. (2.29)

Равенство интегралов в (2.29) следует из соображений симметрии. Исполь­зуя формулу Бейеса для условной совместной плотности вероятностей Ђ,-j и v в турбулентной жидкости:

Ptt^ih\) = PtЂiЂif I V)/>„(V, r) и введенное обозначение (2.29), приходим к соотношению

< * (41 > + 4*>> > = 2У /€ч (у) (v>v (230>

Из формул (2.23), (2.26), (2.27) и (2.30) получаем уравнение для характеристической функции. Применяя к этому уравнению обратное пре­образование Фурье, найдем, что плотность вероятностей разности скорос­тей в двух точках удовлетворяет следующему уравнению:

ЪР ЪР Ъ2 Ълк

— + vk — + Г"4 =а (231)

о Г Ъгк dVjOVj Ъик

Здесь

тг* = J – / TDkij VjVj Р(у^ к Л Л)£/3 VJ3R.

4 7Г

Связь безусловной плотности вероятностей P(v, г ) с условными плот­ностями вероятностей Ptt(\,r) иРпп(у>г) дается формулой (1.8).

В инерционном интервале в полученном уравнении, в силу равновес­ности мелкомасштабной турбулентности, нестационарное слагаемое можно опустить.

§ 2.3. Гипотезы, используемые при замыкании уравнений для распределений вероятностей

Уравнения для плотностей вероятностей, полученные в первых двух параграфах данной главы, как и все осредненные уравнения в статисти­ческой теории турбулентности, строго’ следующие из уравнений Навье – Стокса и диффузии, незамкнуты (исключение составляет лишь уравне­ние для характеристического функционала, Монин и #глом [1967]). Для неизвестных функций, входящих в эти уравнения, можно выписать новые уравнения, которые также будут незамкнутыми и т. д. В результа-

63

те получается бесконечная зацепляющаяся цепочка уравнений, сходная с цепочкой уравнений Ивона – Борна – Кирквуда – Боголюбова в ста­тистической физике. Попытки замкнуть эту цепочку уравнений пока не­многочисленны. Методы, предложенные для аппроксимации неизвестных членов, в большей своей части являются чисто полуэмпирическими или формальными и, как правило, основаны на аналогии с кинетической теори­ей газов.

Рассмотрим по необходимости кратко сначала те гипотезы, которые используются при замыкании уравнения для одноточечной плотности вероятностей концентрации (подробный обзор и анализ гипотез замыкания содержится в работе Сабельникова [1985а]). В этом случае наибольшие трудности, по-видимому, возникают при описании смешения до молеку­лярных масштабов, т. е. первого слагаемого, которое фигурирует в правой части уравнения (2.14) или (2.15). Поэтому очень часто в качестве исход­ного соотношения используются не точные уравнения механики сплошной среды, а некоторые модельные уравнения, основанные на качественных представлениях о характере процесса молекулярного смешения в турбу­лентных потоках. Например, в работах Кузнецова и Фроста [1973], Фрос – та [1973], Чанга [1969, 1970, 1976] применялось уравнение Ланжевена. В этом случае первый член в правой части (2.14) приобретает вид[4])

э, ч э

—- <V(DVc))cP = P —(с-(с))Р, (2.32)

Ъс Ъс

где Р – некоторая функция, не зависящая от концентрации.

Аналогичное выражение предложено Допазо [1975], Допазо и О’Брай – еном [1976]. В этих работах показано, что (2.32) есть точное выражение, если двухточечное распределение вероятностей концентрации в двух близ­ких точках является нормальным (по этой причине замыкание (2.32) в литературе часто называется квазигауссовским). Тогда функция 0 имеет вид Р = < N) /а2, где а = \/< (с – < с >)2>’ – среднеквадратическая концен­трация. В главе 1 отмечалось, что указанное распределение вероятностей концентрации при малом расстоянии между точками принципиально отли­чается от нормального (см. рис. 1.11).

Следовательно, трудно ожидать, что соотношение (2.32) даст удовлет­ворительные результаты и действительно анализ, выполненный Фростом [1973], Допазо [1979], ОЪрайеном [1980а], Сабельниковым [19826, 1985а, 1986], подтверждает этот вывод.

Иной подход развит в работах Кела [1963], Поупа [1976, 19816] , Коль – мана и Янички [1982], Фроста [1973, 1977], Янички, КольЗе и Кольмана [ 1979], Допазо [1979], Недоруба, Фроста и Щербины [1979] (см. также обзоры О’Брайена [1980а, б], Компанийца, Овсянникова и Полака [1979], Щербины [1982]). В этих работах рассматриваемое слагаемое заменя­ется фактически произвольным выражением, которое нелинейно и нело­кально зависит от плотности распределения вероятностей. Так, Поуп [1976]

предложил такое выражение:

Э qo Ъ2 с /с-с\

— <VO>Vr) >,/>- — — f g(————- )P(c)dcX

Ъс L Ъсг – о \ о /

i+o /с"-с\

X / g[^—JP(c")dc\ (2.33)

где Ј(s) = In (1 + 5): здесь и далее символы -0 и 1 + 0 означают, что при интегрировании в согласии с (1.20) учитываются слагаемые, пропорцио­нальные д(с) и 6(с — 1) соответственно.

Замыкающие соотношения, предложенные в остальных из перечисленных выше работ, за исключением замыкания из статьи Фроста [1973], следуя статье Янички, Кольбе и Кольмана [1979], можно записать в следующем общем виде*):

— (V (DVc))eP~- — [ f dc 7°dc, P{c)P(c")X

Ъс L ~ or

XC(f, f',fVWl / G{c, c',c")dc = 2. c'<c<c". (234)

c'

Здесь G - некоторая неотрицательная функция, которая преобразуется по закону G(Kc, \с, Хс") = Х_16(с, с\ с"). Замыкание Фроста [1973] отли­чается от общего соотношения (2.34) тем, что в нем, во-первых, функция G (G=\) не удовлетворяет указанному закону преобразования и, во-вторых, перед Р(с) вместо единицы стоит коэффициент

[Vz f (с - cf)P(cf)dc' + / V ~ c)P(c")dc"] .

-О Г

Формула (2.34) вытекает из модели, согласно которой молекулярное смешение происходит при контакте двух молей с концентрациями с и с" При таком контакте возникают новые моли с концентрациями с\ удовлетворяющими условию с’ < с< с". В частности, если сделать простей­шее предположение о том, что образуется моль лишь с одной концентра­цией, равной с = Vz (с’ + с "), т. е. G = 26 [с - Vi (с' + с ") ], то получим известную схему Кела [1963]

— {V{DVc))cP~-— (4 / P{c-c’)P{c+c’)dc -Р(с) 1.

Ъс L (-о J

Более сложные выражения для функции G анализируются Яничкой, Кольбе и Кольманом [1979], Допазо [1979], Недорубом, Фростом и Щер­биной [1979J, Кольманом и Яничкой [1982], Щербиной [1982].

65

5. В. Р. Кузнецов

Главный недостаток замыканий вида (2.34) в том, что они не опираются на экспериментальные данные. Основная цель, которая преследуется при построении перечисленных замыкающих соотношений, состоит в том, чтобы найти такие уравнения, которые допускали бы возможность числен­ного интегрирования с помощью стандартных методов (имеющиеся на та­ком пути возможности продемонстрированы в работах Поупа [1981а],


Недоруба, Фроста и Щербины [1979], Локвуда. и Шэха [1982], Кольмана и Янички [1982]).

Описание смешения до молекулярного уровня – не единственная проб­лема, возникающая при анализе одноточечного распределения вероятностей концентрации. Другой важной проблемой является описание турбулен!- ной диффузии (второе слагаемое в левой части (2.14) или (2.15)). В урав­нении для Р(с) это слагаемое обычно записывается по аналогии с полу­эмпирической теорией турбулентной диффузии (Кузнецов и Фрост [1973], Фрост [1973, 1977], Поуп [1976], Недоруб, Фрост и Щербина [1979], Недоруб и Щербина [1979], Щербина [1982] и ряд других работ), т. е.

fuP(u, c)d3u = (и)Р – Dt VP. (2.35)

Здесь Dt – коэффициент турбулентной диффузии.

Нетрудно видеть, что формула (2.35) предполагает равенство коэффи­циентов переноса для коэффициента перемежаемости, вероятностей 70, ji и всех моментов поля концентрации введенному в (2.35) коэффициенту диф­фузии Dt. Этот вывод, вообще говоря, не согласуется с известными полуэм­пирическими теориями. В них, как известно, для лучшего совпадения теорети­ческих и экспериментальных данных используются различные значения коэф­фициентов переноса для у0,7,, 7, < с > и о2 = < (с – < с))2) (см., например, Мещеряков [1974], Роди [1980], Мещеряков и Сабельников [ 1984а. б]).

Подчеркнем, что, несмотря на указанный недостаток, замыкание (2.35) в ряде случаев, по-видимому, может оказаться вполне удовлетворительным. Так, например, при "черно-белом" смешении, когда < ск > = (с > = 7i, к > 0 (см. § 1.3), коэффициенты переноса всех моментов в точности совпадают. Поэтому можно предположить, что соотношение (2.35) приме­нимо, когда мала вероятность наблюдения промежуточных значений кон­центрации, т. е. при малых значениях коэффициента перемежаемости.

Описание турбулентной диффузии значительно упрощается, если исполь­зуются уравнения для совместного распределения вероятностей скорости и концентрации. Такой подход развивался Кузнецовым [19766], Допазо [1976], Онуфриевым [1977], Сабельниковым [1979, 1981, 1983], Поупом [19816], Либби иБрэем [1981] (см. также обзор Либби и Вильямса [1981]). В этом случае вообще отпадает необходимость введения каких-либо гипо­тез о характере турбулентной диффузии. Однако возникают две новые трудности. Первая связана с многомерным характером уравнения для сов­местной плотности распределения вероятностей скорости и концентрации. Вторая возникает при описании пульсаций давления. Вследствие указанных трудностей рассматриваемый подход не привел пока к каким-либо кон­кретным результатам.

Рассмотрим теперь гипотезы, используемые при замыкании уравнений для плотностей распределений вероятностей скоростей. Уравнение для од­ноточечной плотности вероятностей скорости рассматривалось Ландгре – ном [1969], Иевлевым [1970, 1975], Онуфриевым [1977], Сабельниковым [1982а, г]. В работе Ландгрена для описания сил давления использовалось релаксационное выражение, совпадающее с выражением, которое вытекает из модели Крука в кинетической теории газов (см., например, Черчиньяни [1975]). Аналогичные выражения использовались Онуфриевым [1977]. Для аппроксимации вязких сил в работе Ландгрена [1969] предполагалось, 66 что двухточечное распределение вероятностей скорости является нормаль­ным (аналогичный характер носит рассмотренная выше гипотеза (2.32)). Предположение о том, что л-точечные распределения вероятностей скорости слабо отличаются от нормальных, использовалось также Иевлевым [1975]. В работах Ландгрена и Иевлева слагаемые, описывающие процессы моле­кулярного переноса, пропорциональны первым производным по скорости от плотности распределения вероятностей. В случае уравнения для распре­деления вероятностей концентрации такое описание соответствует записи уравнения в форме (2.14).

В отличие от предыдущих работ. Сабельников [1982а, г] использовал уравнение, в котором вязкие слагаемые пропорциональны вторым произ­водным от плотности распределения вероятностей, что соответствует форме описания, принятой в § 2.2. Указанный способ представления урав­нений для плотностей распределений вероятностей предложен в работах Кузнецова [1967], Улинича и Любимова [1968]. В работе Сабельникова [1982а] влияние пульсаций давления аппроксимировалось с помощью диффузионного приближения, которое часто используется в задачах кинети­ческой теории газов (см., например, Черчиньяни [1975]). Полученное уравнение сходно с уравнением Фоккера — Планка.

Уравнения дня двухточечных плотностей распределений вероятностей скорости рассматривались Кузнецовым [1967, 1976а], Ландгреном [1975], Иевлевым [1970, 1975], Сосиновичем [1973, 1974, 1981а, б]. В работе Ландгрена [1975] трехточечная плотность вероятностей скорости выража­ется через двухточечную и одноточечную с помощью гипотезы о том, что трехточечная корреляционная функция в групповом представлении трех­точечной плотности вероятностей совпадает с трехточечной гауссовской корреляционной функцией (указанное замыкание легко обобщается на случай любой п-точечной плотности вероятностей, п > 3). Такое замыкание приводит к интегро-дифференциальному уравнению достаточно сложной структуры. Оно существенно упрощается при анализе инерционного интервала и сводатся к замкнутому уравнению для структурной функции.

Основная идея метода, предложенного Иевлевым [1970], состоит в специальном задании функционального вида выражений для условно ос­редненных моментов, которые входят в уравнение для любой и-точечной плотности вероятностей (п > 2). Количество неизвестных функций в этих приближенных выражениях совпадает с количеством условий, следующих из всех предельных свойств и-точечных плотностей распределений вероят­ностей (таким условием, например, является стремление к нулю семиин­вариантов при неограниченном раздвижении рассматриваемых точек и т. д.). Метод замыкания Иевлева использовался Алексеевым, Иевлевым и Кисе­левым [1976], Киселевым [1977] при анализе вырождения однородной турбулентности в модели Бюргерса, а также в задаче об однородной и изо­тропной турбулентности в несжимаемой жидкости. В работе Куо и О’Брайе – на [1981] метод Иевлева применялся для описания двухточечной плотности вероятностей концентраций в химической турбулентности (т. е. стохастичес­кого колебания концентраций в неподвижной реагирующей среде).

В работах Сосиновича [1973, 1974] вывод замкнутого уравнения для двухточечной плотности вероятностей скоростей основан на диаграммной технике неравновесной статистической механики и квантовой теории поля (эти методы в теорию турбулентности введены Крейкнаном [1959]). Най­денное таким образом уравнение содержит квадратичные члены, что вызы­вает пока непреодолимые трудности при отыскании точного решения. По этой причине в последующих работах Сосиновича [1981а, б] используются более простые гипотезы замыкания, приводящие к замкнутому уравнению для структурной функции.

В гипотезах, которые предложены в рассмотренных работах, нет эмпи­рических постоянных. Однако выражения, которые из них вытекают, достаточно громоздки и поэтому мало исследованы. Окончательные воз­можности описания турбулентности в рамках полученных уравнений пока неясны.

Рассмотренные замыкающие гипотезы имеют много общего. Во-первых в них часто явно или неявно используются предположения о близости я-точечных плотностей распределений вероятностей к гауссовским функ­циям Экспериментальные данные показывают, что это предположение в общем случае далеко от истины (см. § 1.1). Сказанное в наибольшей сте­пени относится к многоточечным плотностям вероятностей, когда расстоя ние между точками мало по сравнению с масштабом турбулентности (см рис. 1.9 – 1.13). Основной причиной отклонения от нормального закона как уже отмечалось в главе 1, является существование внешней и внутрен­ней перемежаемостей. Во-вторых, в большинстве из указанных работ отсутствует связь с фундаментальной теорией локально однородной и изотропной турбулентности, развитой Колмогоровым [1941, 1962а, б], Обуховым [1941, 1962] и, независимо, Онзагером [1945, 1949] и Вейц – зекером [1948]. В особенности это касается идей об универсальном рав­новесии и статистической независимости мелко – и крупномасштабного движений в развитом турбулентном потоке, наиболее полно и отчетливо изложенных в книге Бэтчелора [1953]. Более того, в некоторых работах ставится задача получить рассматриваемые свойства дедуктивным образом из формально замкнутых уравнений. Так, например, Ландгрен [1975] в инерционном интервале спектра турбулентности получил закон "двух третей" Колмогорова — Обухова с числовым коэффициентом, очень близ­ким к экспериментальному значению. Однако, имея в виду, чго в инер­ционном интервале двухточечная плотность вероятностей скорости прин­ципиально отличается от нормальной, следует признать, что полученный Ландгреном результат выглядит не совсем убедительным.

Не отрицая всей важности этого направления исследований, необходимо отметить, что в настоящее время более плодотворным, по-видимому, является другой подход, в котором существование универсального равно­весия предполагается изначально. Тем самым задача сводится к исследова­нию и использованию свойств универсального равновесия. В связи с этим подчеркнем, чго цепочка уравнений для w-точечных плотностей вероятностей, вообще говоря, имеет не одно, а широкий класс решений, и для того, чтобы выделить представляющее физический интерес решений, необходимо, видимо, заранее наложить некоторые ограничения на искомые функции.


Здесь можно провести аналогию с решением проблемы равновесных ансамблей в статистической физике. Известно (см., например, главу 4 в книге Балеску [1975]), что, оставаясь в рамках механики, невозможно однозначно решить эту проблему. Лишь введение статистического пред 68 положения — так называемого принципа равных априорных вероятностей – позволяв г построить функцию равновесного распределения.

Принимая во внимание эти соображения, в данной книге предпринята попытка получить уравнения для плотностей распределений вероятностей различных характеристик турбулентности, исходя из предположения о том, что существует универсальное статистическое равновесие между крупно­масштабными и мелкомасштабными пульсациями. Другими словами, принятые ниже замыкающие соотношения существенно основаны на теории локально однородной турбулентности, развитой Колмогоровым [1941, 1962а, б] и Обуховым [1941, 1949, 1962]. Такой подход предложен Куз­нецовым [1967, 1972а. 1976а], Улиничем и Любимовым [1968], Люби­мовым и Улиничем [ 1970].

Как известно, в теории локально однородной турбулентности фунда­ментальную роль играют диссипация энергии и скалярная диссипация. Поэтому далее основное внимание уделяется уравнениям для плотностей распределения вероятностей концентрации и разности скоростей, записан­ных соответственно в виде (2.15) и (2.31). Из этих уравнений следует, что в фазовом пространстве перераспределение плотности вероятностей носит диффузионный характер, а коэффициентами диффузии служат взятые с обратным знаком скалярная диссипация и диссипация энергии. Эти коэф­фициенты отрицательны, что, как будет показано далее, обуславливает многие весьма необычные свойства полученных уравнений.

Таким образом, в развиваемой теории главную роль играют условно осредненные значения скалярной диссипации < N)t с и диссипация энергии ei/(v)- Важно подчеркнуть следующее. Заранее не очевидно, что функции ( N) ttC и ец(\) обладают большей простотой и универсальностью, чем сами распределения вероятностей. Проведенное в последующих главах исследование, которое основано на теории локально однородной турбулент­ности, а также некоторые (пока немногочисленные) экспериментальные данные показывают, что такая простота и универсальность, по-видимому, существует. В противном случае точные незамкнутые уравнения для плот­ностей распределений вероятностей позволяли бы только выразить одни неизвестные функции через другие.

В исследованиях, проведенных в главах 3, 4, немаловажную роль играет условие неотрицательности решений уравнений для плотностей распреде­лений вероятностей, которое обычно специально не анализируется. Необ­ходимо подчеркнуть, что рассматриваемое условие с математической точки зрения далеко не тривиально. Оно существенно сужает класс возможных замыканий уравнения для плотности вероятностей (при известной струк­туре точного незамкнутого уравнения), накладывая определенные огра­ничения на функциональный вид замыкающих соотношений. К сожалению, сейчас нет общей теории, которая позволяла бы указать вид этих ограни­чений.

Отметим, что, несмотря на свою незамкнутость, уравнения (2.15) и (2.31) представляют собой точную связь между непосредственно измеря­емыми характеристиками турбулентности. Это позволяет, по крайней мере в принципе, совершенствовать замыкание по мере получения новых экс­периментальных данных. Как представляется, в таком направлении и дол­жно происходить в будущем уточнение теории.


глава 3

РАСПРЕДЕЛЕННОЕ ВЕРОЯТНОСТЕЙ КОНЦЕНТРАЦИИ ПАССИВНОЙ ПРИМЕСИ

В данной главе рассматривается уравнение для плотности вероятностей концентрации динамически пассивной примеси. Как ив § 1.3, для обоз­начения этой концентрации используется буква z. Здесь подробно обсуж­даются гипотезы, используемые для замыкания этого уравнения. Анализи­руются решения замкнутого уравнения в случае статистически однород­ного поля концентрации и в свободных турбулентных течениях. В главе преследуются три основные цели. Первая является чисто практической и заключается в том, чтобы дать простой приближенный метод определе­ния распределения вероятностей концентрации и коэффициента переме­жаемости в струях. Эта задача решается по возможности без сложных мате­матических выкладок. Вторая цель – исследовать математические свой­ства уравнения для плотности вероятностей концентрации, сформулировать краевую задачу и показать, что из условия разрешимости этой краевой за­дачи вытекают дополнительные связи между заранее не известными функ­циями, входящими в замыкающие соотношения. Этот результат имеет принципиальное значение, так как из него следует, что развиваемый подход позволяет сократить количество произвольных функций по сравнению с обычными полуэмпирическими теориями для одноточечных моментов. Не исключено, что новые пути построения замкнутой теории турбулент­ности будут связаны с совершенствованием этого подхода. Третья цель – изучить структуру изоскалярных поверхностей в турбулентных потоках. Такое исследование позволяет, во-первых, предложить дополнительный способ получения граничных условий для плотности вероятностей концен­трации и выявить их физический смысл и, во-вторых, проследить взаимо­связь между перемежаемостью и структурой изоскалярных поверхностей.

Исследование распределения вероятностей концентрации предполага­ет, что заданы все гидродинамические характеристики течения, т. е. ноле средних скоростей и коэффициент перемежаемости. В статистически одно­родном случае, когда средняя концентрация постоянна, этих характеристик достаточно для решения задачи. В турбулентных струях, поскольку средняя концентрация неизвестна, в число параметров, которые должны быть за­даны, нужно включить еще и величину <z>. Решение практических вопросов показывает, что удобно несколько изменить указанную поста­новку задачи. Дело в том, что сейчас методы расчета коэффициента пере­межаемости находятся на начальном этапе развития, в то время как сред­няя концентрация (или, что то же, поток вещества) может достаточно на­дежно рассчитываться из полуэмпирических моделей турбулентности

Поэтому целесообразно считать, что средняя концентрация известна, а искомой функцией является коэффициент перемежаемости. Подчеркнем, что оправданием произведенному изменению постановки задачи служат только соображения удобства, поскольку i идродинамический параметр 7, вообще говоря, не связан с полем концентрации (см. § 1.3). Изменен­ная постановка вполне приемлема в струях или следах, где, как отме­чалось в § 1.3, коэффициенты перемежаемости, определенные по динами­ческому и скалярным полям, практически равны между собой.

Содержание главы основано на работах Кузнецова [1972а. 19776], Сабельникова [1980а, 19826, 19856] и Кузнецова и Сабельников а [19816].

§ 3.1. Уравнение для условной плотности

вероятностей концентрации в турбулентной жидкости. Граничные условия

В уравнение для безусловной плотности вероятностей концентрации (2.15), как это следует из выражения (1.20), наряду с гладкими функция­ми входят обобщенные функции – разрывная функция Хевисайда, дельта – функция и ее производная. Это обстоятельство наводит на мысль, что из уравнения (2.15) могут быть получены соотношения трех различных типов. Ниже показано, что это действительно так, и из уравнения (2.15) удается выделить, во-первых, отдельное уравнение для условной плотности вероятностей концентрации, во-вторых, уравнения для вероятностей у0 и 7! и, в-третьих, найти граничные условия для условной плотности вероят­ностей при z = 0 и z = 1. Напомним, что z = 0 и z = 1 характеризуют диапа­зон изменения концентрации внутри турбулентной жидкости, т. е. являются границами фазового пространства и соответствуют значениям z в нетур­булентной жидкости при Re ->о°.

Способ, с помощью которого получаются названные уравнения и гранич­ные условия, предложен Кузнецовым [1972а]. В этой работе, предпола­галось, что условно осредненная скалярная диссипация *не зависит от z, т. е. <N)tiZ = <N)t (подробнее об этой гипотезе см. § 3.2). Но область применимости указанного способа не ограничивается только этим случаем.

В соответствии с работой Кузнецова [1972а] умножим уравнение (2.15), в которое предварительно подставлено выражение (1.20) для безусловной плотности вероятностей P(z), на произвольную гладкую функцию кон­центрации ф(г) и проинтегрируем по z от до Используя хорошо известные правила действий с обобщенными функциями (см., например, Гельфанди Шилов [1959]), получим


byF, д (N), ZF

Э t

f Э-уо

+ | — + V<«>«, o7o +7

<>7i

—+V<w>W I 7i-7 bt dz

I

+ V(u)tzyF + y



-Ф’(0)у [(N)lzF\z-_ о + =0. (3.1)

Здесь штрихом обозначено дифференцирование по z. Теперь учтем, что функция произвольна. Следовательно, подынтегральное выражение,

а также все функции перед ^(0), ^(1), Ф'(0) и i//'(l) в (3.1) должны по отдельности тождественно равняться нулю. В результате приходим к сле­дующим соотношениям:


' b2{N\zF

dyF

~э7~

+ V(u)tfZyF=-y

dz2 d<N>,tZF dz

Э<А1\ZF4

dyo

— + V<w>rt070 = - у dt

(3.2)  

z =0

dyi

ТГ

(3.3)  

+ V(u>n,7, =7

dz

z= 1

(3.4)  

F = 0, z — 0 и z = l.

(3.5)  

Необходимо заметить, что при получении граничных условий (3.5) неявно использовано предположение, что <Л0Г>2 =Ј0,z=0hz = 1. Это предположе­ние вполне оправдано в рамках рассматриваемой асимптотической теории, когда Re = °°. Результаты, полученные в § 1.3, позволяют вообще утверж­дать, что (N)tyZ Ф 0, 0 < z < I. В самом деле, функция (N)t%z представляет собой главный член асимптотического разложения условно осредненной скалярной диссипации <N)z при Re->°° и тем самым не зависит от числа Рейнольдса. Поэтому обращение (N)tfZ в нуль противоречило бы сделан­ному в § 1.3 вьюоду, что закон, по которому (N)tfZ стремится к нулю на границах фазового пространства, принципиально зависит от числа Re (в формулах (1.29) и (1.34) величины а и к зависят от числа Re).

Поясним физический смысл уравнений (3.3), (3.4) для вероятностей у0 и 7! и уравнения для коэффициента перемежаемости, которое получается либо интегрированием уравнения (3.2) по всем z, либо из (3.3) и (3.4) после использования соотношения 7 = 1 - 70 - 7i:

Э7

— + V<w>, 7 = 7 dt

bF( 0) 3F( 1)

о — -

(3.6)

dz

dz

При преобразовании членов в правой части (3.6) использовались граничные условия (3.5). Из условия неотрицательности плотности вероятностей и граничных условий (3.5) следует, что 9F(0)/3z >0wbF (\)jdz < 0. Тем самым правая часть (3.6) всегда положительна. Следовательно, уравнение (3.6) описывает увеличение относительного объема турбулентной жидкости вследствие захвата нетурбулентной жидкости. Аналогичные рассуждения показывают, что уравнения (3.3) и (3.4) описывают уменьшение относи­тельного объема нетурбулентной жидкости с z = 0 и г = 1 соответственно. В рамках развиваемой теории скорости изменения объемов турбулентной и нетурбулентной жидкостей, описываемые правыми частями уравнений (3.3), (3.4) и (3.6), оказываются пропорциональными потокам плотности вероятностей концентрации на границах фазового пространства.

Рассмотрим теперь граничные условия (3.5). Прежде всего надо отме­тить, что они не являются неожиданными, если учесть характер осцилло-

грамм неосредненных профилей температуры в струе, полученных в работе Уберои и Сингха [1975] (см. рис. 1.1) * Эти осциллограммы анализирова­лись ранее в § 1.3. Напомним, что на них отчетливо видно практически скачкообразное изменение температуры на границе струи. Тем самым градиент температуры на границе стремится к бесконечности. Отсюда, если использовать геометрическую интерпретацию плотности вероятностей (см. формулу (1.23)), придем к (3.5).

Сделаем еще одно замечание относительно физического смысла гранич­ных условий (3.5). С этой целью перепишем формулу (1.27) в виде оценки

d(S-)

yPt(z)* Нт —у – . (3.7)

d-o dv уДШТ,

/I dz rw

При получении (3.7) считалось, что< — > ~ V ————– , т. е. пренебре-

\1 Ъп / г, г <Л0,

галось пульсациями градиента концентрации (это оправдано при опреде­лений не слишком высоких моментов градиента; см., например, Монин и Яглом [1967]).

Соотношение (3.7) показывает, что lim d(Sz >Re~^2 при 0< z < 1 ко-

Re -оо

*ечен. Тем самым зависимость площади элемента внутренней изоскалярной юверхности z = const Ф 0 или 1 от числа Рейнольдса имеет вид d <S2>~ – \/Re. Если z = О или z = 1, то из (3.5) и (3.7) следует, что для этих зна­чений концентрации lim d(Sz >Re~1/2 = 0. Отсюда заключаем, что

Re -оо

d(Sz > ^ Re*, 0 < к < 1/2, z = 0, z = 1. Следовательно, при Re площадь и тем самым степень искривленности предельных изоскалярных поверх­ностей z = 0 и z = 1 существенно слабее, чем любой внутренней изоскаляр­ной поверхности 0<z = const < 1, расположенной в турбулентной жид­кости. Таким образом, характер поведения изоскалярных поверхностей в турбулентных потоках позволяет провести вполне определенную анало­гию с перемежаемостью, а точнее, с ее качественным описанием, данным в § 1.1. Действительно, если под колебаниями предельных изоскалярных поверхностей иметь в виду внешнюю перемежаемость, а под колебаниями внутренних изоскалярных поверхностей – внутреннюю перемежаемость, то получится наглядная физическая модель турбулентной жидкости, близ­кая к образу "губки", предложенному в § 1.1. Описанная модель турбу­лентной жидкости делает весьма прозрачным и смысл процедуры осредне­ния, с помощью которой в § 1.1 определялась граница турбулентной жид­кости и тем самым выделялась внешняя перемежаемость. Напомним, что эта граница выбиралась из условия максимальной гладкости. Связь оценки искривленности предельных изоскалярных поверхностей с указанным условием достаточно очевидна.

Обсуждение структуры изоскалярных поверхностей в турбулентном потоке будет продолжено в § 3.8. Содержащееся там более строгое иссле­дование вопроса подтверждает сформулированные здесь выводы.

§ 3.2. Гипотеза замыкания для слагаемого,

описывающего процесс смешения до молекулярного уровня

Обратимся к случаю статистически однородного поля коцентрации (см. § 3.4). Тогда в уравнении для плотности вероятностей, кроме неста­ционарного члена, остается только анализируемое слагаемое. Следователь­но, качественный вид решения в этом случае полностью определяется слагаемым, которое описывает процесс молекулярного смешения. Данный пример особенно ясно указывает на то, что гипотезы замыкания относи­тельно функций (N)r>z (или (V(D V z))ti2) должны быть тщательно обос­нованы, в особенности с физической точки зрения.

Детальные измерения величин (N)tz и z)),t^2 неизвестны.

Поэтому большое значение приобретают общие представления о структуре турбулентных течений при больших числах Рейнольдса. В этом отноше­нии преимущество имеет запись уравнения в форме (2.15), содержащей функцию <N)hz. Сделанное заключение основано на том факте, что при анализе свойств величины естественно воспользоваться теорией

локально однородной и изотропной турбулентности Колмогорова [1941, 1962а, б] и Обухова [1941, 1949, 1962]. Эта теория, как уже обсуждалось в главе 1, исходит из каскадного механизма передачи энергии по спектру масштабов турбулентного движения. Как следствие этого механизма, мелкомасштабное пульсационное движение получает энергию от крупно­масштабного лишь опосредствованно в результате многократного дробления вихревых образований. При очень больших значениях числа Рейнольдса количество таких дроблений велико. Отсюда естественным образом вы­текает предположение о том, что характеристики энергосодержащих вихрей и вихрей с достаточно малыми размерами статистически независимы. Это утверждение было сформулировано Вейцзекером [1948] и Онзагером [1945, 1949] в виде гипотезы о том, что в однородной турбулентности компоненты Фурье с сильно отличающимися волновыми числами статис­тически независимы. Подробное и физически прозрачное изложение сфор­мулированной гипотезы дано Бэтчелором [1953].

Используем указанную гипотезу в рассматриваемом случае. Очевидно, что поле концентрации z – макрохарактеристика, а поле скалярной дисси­пации N — микрохарактеристика турбулентности (здесь и далее под макро­характеристикой понимается величина, определяемая в основном доста­точно крупными вихрями, под микрохарактеристикой – величина, опреде­ляемая мелкими вихрями). Согласно гипотезе эти поля при больших чис­лах Рейнольдса статистически независимы, т. е. функция от z не зависит. Таким образом, при Re имеем

{N)uz = <ЛО,. (3.8)

Ввиду важности гипотезы (3.8) еще раз перечислим те ограничения, при выполнении которых ее можно использовать. Прежде всего, гипотеза (3.8) применяется лишь в турбулентной жидкости. В этой связи заметим, что в работах Кузнецова [1967] и Поупа [1976] гипотеза о статистической независимости полей z и N использовалась без учета перемежаемости, т. е. считалось, что 7 = 1 и <N)z = </V>. Поупом [1976] и Допазо [1979] было указано, что применение гипотезы в таком виде приводит к уравнению, решениям которого присущ ряд физически неправдоподобных свойств. На этом основании они сделали заключение, что гипотеза о статистической независимости неприемлема для аппроксимации члена, описывающего смешение до молекулярного уровня, а также и о нецелесообразности записи уравнения для плотности вероятностей в форме (2.15) (такая точка зрения получила распространение в работах зарубежных ученых; см., например, обзоры О’Брайена [1980а, б]). Но еще раньше в работе Кузнецова [1972а] было показано, что учет перемежаемости при формулировке гипотезы о статистической независимости автоматически устраняет все трудности, отмеченные Поупом и Допазо.

Ввиду особой важности для дальнейшего рассмотрения здесь необходи­мо специально подчеркнуть следующие обстоятельства. Проблемы, с кото­рыми столкнулись Поуп и Допазо, обусловлены именно неучетом переме­жаемости, а не тем, что ими использовалось предположение о независимос­ти <N)z от z. Это утверждение становится понятным, если учесть, что между функциями (N)uг и <Л02 существует связь

<.N)tyZ =<iУ>2, 0 < z < 1, (3.9)

и тем самым гипотеза (3.8) в равной степени применима и к функции <N)z. Для доказательства равенства (3.9) учтем, что концентрация примеси может служить индикатором турбулентности (см. § 1.1). Поэтому условия, что 0< z = const < 1 и что жидкость турбулентна, эквивалентны. Следо­вательно, условные средние Ш)ГчЖ и (N)z совпадают при 0< г < 1. В не­турбулентной жидкости N – 0 и, таким образом, (N)z =0 при г = 0 и z = 1, т. е. величина <N)z, в отличие от (N)t z, терпит разрыв на границах фазового пространства.

Обратим теперь внимание на то, что применение гипотезы (3.8) ограни­чивается только случаем поля химически инертной примеси. Для реагирую­щей примеси сформулированная гипотеза неверна. Это заключение есть следствие того факта, что химические превращения, как отмечалось во вве­дении к книге, сосредоточены в очень узких зонах. Поэтому статистичес­кие свойства мелкомасштабных пульсаций концентрации реагирующей примеси (или температуры) определяются не каскадным дроблением вихрей различных масштабов, а химическими реакциями. В результате условно осредненная скалярная диссипация оказывается явно зависящей от концентрации, т. е. поля с и Nc=D(Vc)2 коррелируют между собой. Рассмотрим в качестве примера диффузионное горение. В этом случае, как указано в § 2.1 (доказательство приводится в главе 5), концентрации всех реагирующих веществ с (индекс для краткости не пишется) выража­ются через концентрацию химически инертной примеси, т. е. с = c(z). Следо­вательно, для скалярной диссипации концентрации с имеем

/3 с\2 Ъс

{Nc)uc~\bl) {Юияч Tz *const’

Отсюда видно, что при выполнении гипотезы (3.8) функция Wc)t а зави­сит от с.


Остановимся на применении гипотезы о статистической независимости макро – и микрохарактеристик для динамической задачи, т. е. для поля

скорости и и диссипации энергии е. Значение этого случая состоит в том, что он допускает более простую экспериментальную проверку рассматри­ваемой гипотезы. Предположение, что <е)м = <€>, было введено в работах Кузнецова [1967], Улинича и Любимова [1968]. Перемежаемость была учтена позже в работе Сабельникова [1979], где принято <е>гм = <е)г. Поскольку в нетурбулентной жидкости диссипация равна нулю, а пульса­ции скорости отличны от нуля, то условные средние <е>, м и <е>м, в отличие от рассмотренных выше условных средних скалярных диссипаций </V>r 2 и<Л02, не равны. Нетрудно видеть, что они связаны неравенством

(б)г, иХб)и. (3.10)

Из общих соображений понятно, что различие между <6>Г М и <е)а умень­шается по мере увеличения амплитуды пульсаций скорости, а в области больших пульсаций они практически совпадают между собой, так как такие пульсации происходят в основном в турбулентной жидкости.

Рассмотрим теперь вопрос о том, в какой степени гипотеза о статисти­ческой независимости макро – и микрохарактеристик в турбулентной жидкости подтверждается экспериментально. Проверка гипотезы прово­дилась в опытах Кузнецова и Расщупкина [1977], Прасковского [1982, 1983], Кузнецова, Прасковского и Сабельникова [1984а, б]. Во всех этих опытах измерения выполнены в следе за круговым цилиндром. В пер­вой из указанных работ в плоскости симметрии следа, т. е. при 7^1, изме­рялись условно осредненные квадраты производных концентрации и про-

// Эг У\ //ЭнД2\ дольной скорости, т. е. величины — J J и —j j. В остальных

опытах измерялись в разных точках поперечного сечения, включая и

область, где перемежаемость существенна, величины

ЪХ\ / /т%иа

Экспериментальные данные Кузнецова и Расщупкина [1977] приведены на рис. 3.1, а Кузнецова, Прасковского и Сабельникова [1984а. б] – на рис. 3.2. Видно, что в опытах Кузнецова и Расщупкина условные средние

//Эг\Л //Эи, у\

Рис. 3.1. Условно осредненные значения квад ратов производных концентрации и скорости на плоскости симметрии следа за круговым цилиндром по данным Кузнецова и Расщупки­на 11977J *,/</ = 52.5, Х2/</ = 0, Ке^в-Ю3, d = 8 мм, и0 = 15 м/с; / – е,, =< (Эк, /Эх, )2>Uj, 2 – Ni = <(Эг/Эх,) Ъ2, s =(г -<2>)/а. и0 ‘ = = (*/, – <ii,>)/<(t/, -(w,))2»1/2. Единицы изме­рения по оси ординат произвольны

етЩ

2

е

• •••

1

о 1

► о о

о u ■

‘ о О

о «

-1,5 -0,5 0 0,5 s, u°

f

70

——————- ———

о

4

о

о

о О о

о

о

о-;

о

+ -2

) – о о о (

» О ° —3

v X

~ Х X 1

i * х х 5

1

-— j J, — J J практически постоянны при изменении уровня, при котором производится осреднение, в исследованном диапазоне ампли – * к

+ 6 —– – F

-Z -1 0 1 я U?

Рис 3 2 Условно осредненные значения квадрата производной скорости иа различных расстояниях от плоскости симметрии в следе за круговым цилиндром по данным Куз­нецова. Прасковского и Сабельникова 11984а, б]. хх Id = 38.4, Red = u^dju = 2,5 • 104, d — 36 мм, u0 = 10,2 м/с; 1- <e>M. Jr2 = 0, 7 1, 2 – <e>„ , x2/d = 3,89, 7 = 0,42, 5 – <e>r, w,. *tld = 3,89, 7 = 0,42, 4 – <e>, *t = 0, 5- <e>f, xjd = 3,89, 6- <e),xjd = 3,89, e Мб^Ом./а*,)*.!/0 =(«» -<*/,>)/<(«, -<u,))2)1!2

тудпульсаций концентрации и скорости |z-<z>|< 1,5а (а= <(z – <2>)2 >1/2), — <и,>| <1,5<(и, -<Mi>)2>1/2 . В опытах Кузнецова, Прасковского и

Сабельникова изменение величины (( -— ) ) в плоскости симметрии

//Эй, у\

и величины — \ j в точке, где у = 0,42, не превышает 20% в диапа­зоне амплитуд пульсаций скорости \щ ~(U])\ <2,5<(м! – (и,»2)"2.

Результаты измерений, как показывает рис. 3.2, находятся в соответст-

// э у\

вии с неравенством (3.10). Значения П ——J j в точке, где 7 = 0,42,

//ЗиЛ Л.

всегда меньше, чем значения ([ ----- ) / , и монотонно растут с увели-

\\ 3*1 / /f. H,

чением модуля амплитуды пульсаций скорости. На интервале \их — <^>1 < <2,5 ((Mj -<М!>)2>,/2 величина / возрастает в 5-6 раз. Моно­


тонный характер зависимости \\ ---- } / от амплитуды пульсации ско-

\\ Э*1 / /ид

рости нетрудно объяснить, если учесть, что с ростом амплитуды пульсаций скорости увеличивается вклад в рассматриваемое» условное среднее от областей с большими значениями диссипации энергии.

Суммируя результаты проанализированных экспериментов, можно заключить, что они, во-первых, вполне удовлетворительно согласуются с гипотезой о статистической независимости макро- и микрохарактеристик в турбулентной жидкости и, во-вторых, подтверждают вывод о той принци­пиальной роли, которую играет перемежаемость в формулировке гипотезы.

Гипотеза о статистической независимости имеет широкую область при­менимости, так как она позволяет ''расщеплять" большое количество корреляций между макро - и микрохарактеристиками турбулентности при Re-"00 (т. е представлять среднее значение произведения через произ­ведение средних). Рассмотрим этот вопрос, следуя в основном работе Кузнецова [1979а].

Представим градиенты скорости и концентрации в виде

+ <[<J)]a>-i.

dXj L (311)

lim <[<^2)]2>, KeM =0.

Re-ю* ‘

lim <[fc(2)]2>,Re-1 =0.

Re-* ~ "

В формулах (3.11) учтено, что величины <N> и <е> стремятся к конечным пределам при Re-*00 (см. § 1.1) (заметим, что разложения (3.11) анало­гичны представлению поля концентрации z в § 1.3 в форме (1.38)). Функ­ции и и^.р(умноженные на >/Re) характеризуют вклад мелких вихрей в градиенты концентрации и скорости, а функции и вклад всех промежуточных и крупных вихрей. Функции и вообще говоря, зависят от числа Рейнольдса, но среднеквадратические значения этих функ­ций, по их определению, от числа Рейнольдса не зависят и принимают зна­чения порядка единицы. Моменты более высокого порядка величин кр^ и и^р вследствие внутренней перемежаемости, уже зависят от числа Рей­нольдса. Однако эту зависимость при не очень больших значениях порядков моментов вполне можно не учитывать (см., например, Монин и Яглом [1967]).

Дальнейшие рассуждения будем проводить только для поля концентра­ции, так как они практически без изменений переносятся и на поле скорос­ти. Рассмотрим корреляцию </Ф> двух достаточно произвольных функ­ций / и Ф. Пусть одна из них (/) зависит только от z, другая (Ф) – только от Vz, i. e. /=/(z), аФ= Ф(Уг). Проанализируем предел lim </Ф>. При

Re — °°

таком предельном переходе возникает перемежаемость и, согласно форму­ле Бейеса, справедливо соотношение

lim </Ф>=7</Ф>,+(1 -7)</Ф>*. (3.12)

Re-ос

Из (3.11) видно, что основной вклад в градиент концентрации дает сла­гаемое, содержащее функции ip^K В соответствии с гипотезой поля вели – чин lim и lim z статистически независимы в турбулентной жид-

Re-*оо ‘ Re -»<*>

кости. Поэтому корреляцию </Ф>, можно ”расщепить", т. е. записать

</Ф>,=<А<Ф>,. (3-13)

Таким образом, получим

lim </Ф> = 7<Я,<Ф>/ +U -7)</Ф>«. (3.14)

Re е»

Если в не турбулентной жидкости Ф = 0, как это имеет место для вели­чины TV, то второе слагаемое в правой части соотношения (3.14) отсутствует.

Подчеркнем, что гипотеза о статистической независимости позволяет найти только главные члены асимптотических разложений корреляций микро – и макрохарактеристик в турбулентной жидкости при Re-*°°. В тех случаях, когда они равны нулю, для нахождения первых ненулевых членов в разложениях этих корреляций необходимо принять во внимание следую­щие члены в разложениях градиентов концентрации и скорости, т. е. функ­ции и м(?> в (3.11). Эти функции, как отмечалось ранее, уже опреде­ляются всеми промежуточными масштабами. Поэтому, например, поля z и нельзя считать статистически независимыми.

Характерными примерами корреляций макро – и микрохарактеристик, применение к которым рассматриваемой гипотезы не дает результата, являются, например, следующие:

1) </(z)(vr)2/c + 1>, * = 0. 1.2… ;

/ Э(н,–<н,-»\

Ц„( _<„,»

4) <(М/ — (и, )) е>.

При формальном использовании гипотезы получаем, что все эти корреля­ции равны нулю. Рассмотрим в качестве примера вторую из корреляций. В соответствии с разложением (3.11) имеем / Э(М/-<ы,->)\ _ m

V <W/>) Эх-

где коэффициент перед >/Re равен нулю в силу гипотезы о статистической независимости макро – и микрохарактеристик турбулентности. С дру­гой стороны, если воспользоваться уравнением неразрывности, то ана­лизируемую корреляцию можно преобразовать к следующему виду: Э <(м/ — (и,- >) (и. -<и.->)>

———————————– , т. е. к пространственной производной от напря-

bXj

жений Рейнольдса. В неоднородных потоках эта производная, как хорошо известно, отлична от нуля и имеет порядок q2\L. Аналогичные соображения справедливы и для остальных трех корреляций. Заметим, что корреляции 2—4 играют важную роль в полуэмпирических теориях турбулентности (см., например, Рейнольде [1976J, Гиневский и др. [1978], книгу "Методы расчета турбулентных течений" под ред. В. Кольмана [1980]).

Можно указать и другой тип корреляций, для которых гипотеза о статис­тической независимости макро – и микрохарактеристик не позволяет найти первый ненулевой член асимптотического разложения при Re Эти кор­реляции содержат производные скорости и концентрации порядка выше, чем первый, например, (и, Аи,) и <zAz); здесь А – лапласиан. Именно это обстоятельство и затрудняет использование теории локально однород­ной и изогропной 1урбулентности при аппроксимации условно осредненной дивергенции диффузионного потока <V (bvz) )t z, входящей в уравнение лдя плотности вероятностей концентрации, записанное в форме (2.14).

В заключение остановимся на следующем весьма важном моменте. Гипотеза о сташстической независимости макро – и микрохарактеристик в турбулентной жидкости применима лишь для развитой, в определенном смысле "равновесной" турбулентности. Другими словами, необходимо, чтобы существовало подвижное равновесие между мелкими и крупными масштабами движения. Это условие, как известно, является необходимым и для справедливости теории локально однородной и изотропной турбу­лентности. Следовательно, если в начальный момент времени поля скорости и концентрации находятся в произвольном состоянии, то должно пройти некоторое время релаксации, спустя которое можно будет пользоваться введенной гипотезой. Из соображений размерности следует, что время релаксации имеет порядок Ljq. Здесь уместно провести аналогию с эво­люцией спектра турбулентности из произвольного начального состояния. Если воспользоваться полуэмпирическими теориями переноса энергии по спектру турбулентности (см., например, Монин и Яглом [1967]), то можно показать, что равновесный интервал в спектре энергии появляется также через время порядка Ljq. Сделанное замечание играет большую роль при определении границ применимости полуэмпирического уравнения для плотности вероятностей концентрации. Дальнейшее обсуждение затрону­того вопроса содержится в § 3.4.

§ 3.3. Гипотеза замыкания для конвективного слагаемого

Точная запись интеграла (2.16), фигурирующего в конвективном сла­гаемом в уравнении для плотности вероятностей концентрации, как пока­зано в § 2.1, содержит большое количество неизвестных функций. Напом­ним, что в выражение (2.16) входят условно осредненные скорости в нетурбулентной жидкости (и)п 0 и <«>л, i и условно осредненная скорость в турбулентной жидкости (u)t z. Те же соображения, что использовались в предыдущем параграфе при получении равенства <A0f, z = <N)z, 0 < z < 1, показывают, что величины <u)r<u)„f0, <tf>MjJ и условно осредненная скорость <и)2 связаны следующими соотношениями:

<«>м = <«>*, 0 < z < 1,

<И>Я,0 = <*>*»<)» <И>я,1 = <u)z= ,.

Отметим, что нет никаких оснований считать, что

<К>п,0 = <И>г,* = (Ь <И>л,1 = <">/,z = I. Поэтому функция <u)z в общем случае имеет разрывы при z = 0 и z = 1.


Сейчас нельзя дать достаточно обоснованное описание поведения функ­ции <и)г на всем отрезке 0<z<l. Это обусловлено в основном двумя причинами. Во-первых, крайним недостатком экспериментальных данных и, во-вторых, большими погрешностями при измерении <u)z в области больших амплитуд пульсаций концентрации, вызванными как эффектами молекулярного переноса (см. § 1.3), так и большими статистическими ошибками при таких редких событиях, какими являются большие ампли­туды пульсаций. Особенно серьезны перечисленные проблемы в тех облас­тях потока, где существенна перемежаемость.

Таким образом, применение точного выражения (2.16) пока не пред­ставляется возможным. Необходимо вводить упрощающие предположения. Чтобы почувствовать характер упрощений, начнем с анализа наиболее прос­того случая, когда перемежаемость несущественна, т. е. у ^ 1, у0 ** 0, ух % 0. Ситуация, близкая к этому случаю, наблюдается в центральных областях струйных течений. Общие соображения, основанные на экспериментальных данных, показывают, что в рассматриваемом случае распределения вероят­ностей слабо отличаются от нормальных. Если принять, что совместная плотность вероятностей скорости и концентрации Р(и9 z) описьюается плотностью нормального распределения, то для условно осредненной скорости <и)2 после простых вычислений получим линейную зависимость

(и)г = (u)+qo~2(z-(z)). (3.16)

Здесь q = < (w – <w))(z – <z))) – вектор потока вещества, о2 = = <(z – <z> )2> – дисперсия пульсаций концентрации.

Предположение, что условно осредненная скорость (и), описывается линейной зависимостью при всех значениях z независимо от того, является ли jР(и, z) гауссовской кривой или нет, сделано в работе Кузнецова [1972а]. Коэффициенты в этой зависимости найдены следующим образом. Пусть в соответствии с предположением справедливо соотношение

<и )2 =Л +Ј(z-<z>),

где векторы А и В зависят только от координат и времени. Их можно свя­зать с полями средней скорости и потока вещества. Для этого умножим выписанное соотношение на (z – <z > )kP(z), к = 0, 1, и проинтегрируем по всем значениям z. В результате найдем А = (и), к = 0; В = qo2, к = 1. Тем самым опять приходим к соотношению (3.16).

Сравним линейную зависимость (3.16) с результатами измерений услов­но осредненной скорости (и)z вблизи оси затопленной осесимметричной струи (Безуглов [1974], Венкатарамани, Туту и Шеврэ [1975], Голованов [1977], Щербина [1982]) и в течении за подогретой турбулизи – рующей решеткой при постоянном поперечном градиенте средней темпера­туры (Венкатарамани и Шеврэ [1978], Тэваулэрис и Корсин [1981а]). На рис. 3.3 представлены условно осредненные продольные скорости (Ы\ ),, полученные в опытах Безуглова и Голованова, а на рис. 3.4 и 3.5 – условно осредненные поперечные скорости (и2 > г » полученные Щербиной и Венкатарамани и Шеврэ соответственно.

Из рис. 3.3 – 3.5 видно, что условно осредненные скорости <ик )г, к = 1,2, достаточно хорошо описываются линейными функциями в области

81

о-2

г9′

р

z/<z>

103, d = 4 мм, u0 = 28 м/с, mJ=«i/,>x-

-2-1 0 1 I s 0 0,5 1,0 1,5 2,0 Рис. 3.3. Условно осредненная продольная скорость при заданном значении концентра­ции на оси и вблизи оси затопленной осесимметричной струи по данным Безуглова [1974] и Голованова [ 19771. 7 - измерения Безуглова, условия опытов: x,/of = 48, jc2/d = О, Red = u0d/u = 3,24 • 103,rf=3 мм: 2 - измерения Голованова, условия опы-

тов: = 30. =0,088, Red = 7,46 -<i/,»/V<("i - <",>)2>,s =( 2 -<z>)/a

Рис. 3.5. Условно осредненная поперечная скорость при заданном значении концентра­ции в потоке за турбулизирующей решеткой поданным Венкатарамани иШеврэ [ 1976]. Rc \ = 64,4, KeM=u9Mjv = 2 • 104: / – /М=49,2,*г/Д/*0, 2—xJM=55,2, Х21М=0. oi = < w2 > Z/V< ("2 )2 > , ^ 85 -

< z > ) /о. Л/- размер ячейки решетки

<т/< г > = 0,545, uj =< ut) Z/V< (м2 – < wz > )2 >

* 0-1 х-2

1 1

\z – < z > I £ 2a. При больших амплитудах пульсаций концентрации наблю­даются отклонения от линейной зависимости. Характер этих отклонений удобно обсудить несколько позже.

Суммируя, можно сделать вывод, что в области потока, где переме­жаемость несущественна, линейная зависимость (3.16) является хорошим приближением для условно осредненной скорости < и > г. Этот вывод, вообще говоря, не имел бы большого значения, если бы не следующие два обстоятельства. Во-первых, оказывается, что линейная зависимость может служить неплохим первым приближением для описания (и >г ив тех обла­стях потока, гйе перемежаемость существенна и, следовательно, совместное распределение вероятностей скорости и концентрации сильно отличается от нормального. Во-вторых, величина скачков функции {и)z на границах фа­зового пространства z = 0 и z = 1 мала, и в первом приближении ими мож­но пренебречь.

Рис. 3.4 Условно осредненная поперечная скорость при заданном значении концентра­ции вблизи оси затопленной осесимметричной струи по данным Щербины | 19821. х,/</в20, и9 = 50 м/с, d = 5 мм: / – xjx, = 0,025, о/<г> =0,24, 2 – хг\хл =0,1.

-2-7 0 12

Рис. 3.6. Условно осредненные продольная и поперечная скорости при заданном значе­нии концентрации на большом расстоянии от оси симметрии в спутной оСесимметрич – ной струе по данным Шринивасана и Антониа [1978]. xjd = 59, Re^ = uQd/u = 4,27 • 104, d – 2 см, u0 = 32 м/с. Woo = 4,8 м/с; измерения проводились в точке, где коэффициент перемежаемости > = 0,28; 1 – м? = ((ц, )у -<и х>)/\/((ц, -(м, >)2>, 2 – v? = (<u2)z – - <иг > )/\Л (М2- <иг)У), S = (Z – (z))l о

В пользу первого утверждения свидетельствуют опыты Шринивасана и Антониа [1978] а второе подтверждается косвенным образом [5]).

Обратимся вначале к опытам Шринивасана и Антониа, в которых прове­дены измерения <Wi>2 и < г/2 на краю потока в осесимметричной спутной струе в точке, где у = 0,28. Результаты этих измерений представле­ны на рис. 3.6. Видно, что результаты экспериментов действительно можно весьма удовлетворительно аппроксимировать прямыми линиями. Понятно, что из-за разрывов условно осреднчнной скорости (и) z в точках z = 0 и z = 1 коэффициенты в уравнениях прямых для < ик ) z ( = < м* > r, z > 0 < z < 1) не обязаны равняться (ик > и qko~2. В частности, если для определения коэффициентов использовать способ, предложенный в рабо­те Кузнецова [1972а], то получим

<Wк \,Z =<Uk )r +qtko;2(z – <z>, ),

q, k=<(Uk – <Щ >f)(z-<z >,)>,, a2 = ((z – <z >r)2 >,,

(uk >z = (uk >,.z, 0 <z < L.

Рис. 3.7. Связь потока пульсаций концентрации в поперечном направлении с коэффициентом асим­метрии пульсаций концентрации по данным разных авторов. / – след за круговым цилиндром по дан­ным Фреймуеа и Уберои [1971] (условия опытов приведены на рис. 3.16) и Ля Рю и Либби | 1974] (условия опытов приведены на рис. 1.14); 2 – осесимметричная струя в спутном потоке по дан­ным Антониа, Прабху и Стефенсона (1975] (усло­вия опытов приведены на рис. 1.5); линия отвечает зависимости Qa~A, вытекающей из формулы (3.16)

Количественную оценку величины скачков функции < > 2 на границах.? = 0 и z = 1 можно получить косвенным образом. С этой целью примем, что линейная зависимость (3.16) справедлива на всем интервале О <2 < 1, и проанализируем одну из связей между моментами, которые вытекают из (3.16). Эта связь находится, если (3.16) умножить на (z — (z ) ) 2P(z ) и проинтегрировать по всем z. В результате получим

{(u-(u)Hz-(z))2 )=qo’2 <(z -<z))3>.

Найденное соотношение связывает поток пульсаций концентра­ции (левая сторона равенства) и асимметрию пульсаций концентрации А = ( (z – < z > )3 > /а3. Сравнение полученной формулы с эксперименталь­ными данными в следе за круговым цилиндром (Фреймус и Уберои [1971 ], Ля Рю и Либби [1974]) и в осесимметричной спутной струе (Антониа, Прабху и Стефенсон [1975]) приведено на рис. 3.7 в виде зависимости без­размерной поперечной компоненты вектора потока пульсаций концентра­ции Qa = ( (и2 – (и2 ) )(z – (z > ) 2> fq2o от коэффициента асимметрии.

Коэффициент асимметрии принимает отрицательные значения вблизи эси или плоскости симметрии, а большие положительные значения А дости­гаются в областях, где существенна перемежаемость. Из рис. 3.7 видно, что экспериментальные данные удовлетворительно описываются зависимостью Qa – А, следующей из (3.16), включая и области потока, где переме­жаемость существенна.

Этот результат служит дополнительным косвенным свидетельством в пользу (3.16), но, кроме того, он показывает (также косвенно), что не надо переоценивать значение разрывов функции (и) z ив первом прибли­жении ими, по-видимому, можно просто пренебречь.

Суммируя, кратко повторим два основных вывода проведенного выше анализа. Первый состоит в том, что простая функция — линейная зависи­мость (3.16) – является весьма хорошим первым приближением для (и)z во всех областях свободного турбулентного потока. Второй вывод сводится к утверждению, что можно пренебречь разрывами функ­ции (и) г. Значение второго из выводов заключается в том, что он позво­ляет представить интеграл, входящий в конвективное слагаемое (2.16) уравнения (2.15), в упрощенной форме

fuP(u, z)d3u – <u)2P(z). (3.17)

Эта форма будет использоваться далее. Подчеркнем еще раз, что выраже­ние (3.17) является приближенным. Оно справедливо только в том случае, когда (и) z непрерывна на отрезке 0 <1.

Соотношение (3.16) было предложено в работе Кузнецова [1972а] (без указания условий, когда оно справедливо).

Линейная зависимость (3.16) для <u)Z9 вследствие своей простоты, наиболее подходит для решения первой 1лз задач, указанных в начале гла­вы, – разработать способ приближенного описания распределения вероятно­стей концентрации и коэффициента перемежаемости в турбулентных потоках. Исследование, проведенное в § 3.5, показывает, что использование (3.16) в целом позволяет справиться с этой проблемой. Однако в § 3.5 также установлено, что линейная зависимость имеет и определенные дефек­ты. Эти дефекты проявляются в том, что плотность вероятностей осцил­лирует при больших амплитудах пульсаций концентрации, т. е. в той обла­сти, где результаты измерений < и} 2 наименее достоверны из-за больших ошибок. Забегая вперед, отметим, что из результатов, описанных в § 3.6, следует, что для устранения осциллируемости требуется более медленный рост модуля < и) 2 при больших значениях амплитуды пульсаций концен­трации, чем это предписывает линейная функция (3.16).

Таким образом, приходим к заключению, что при проведении строгого исследования распределения вероятностей концентрации необходимо учесть отклонения <и) z от линейной зависимости (3.16) в области больших пульсаций концентрации.

Существующие сейчас экспериментальные данные по причинам, которые были указаны выше, не позволяют сделать однозначное заключение о характере рассматриваемого отличия (хотя некоторые тенденции и про­сматриваются на рис. 3.3 – 3.5; см. ниже). Поэтому обратимся за помощью к общим качественным рассуждениям в надежде, что они позволят выявить некоторые главные особенности функции < и) г . Прежде всего, ряд сведений об этой функции естественным образом вытекает из теории пути смешения. Рассмотрим поток с постоянным поперечным градиентом сред­ней концентрации < z > – < z (0) > = Кх2 (пусть для определенности К> 0). Ясно, что в точке х2 = 0 положительные значения пульсаций концентрации лроисходят главным образом вследствие того, что в данной точке появ­ляются жидкие частицы (моли), пришедшие из области х2 > 0. Поперечная скорость таких молей отрицательна. Можно также предположить, что чем больше наблюдаемое значение пульсации концентрации, тем из более дале­ких областей приходит указанный моль и, следовательно, тем больше абсолютное значение его поперечной скорости. Отсюда заключаем, что при положительных пульсациях концентрации, во-первых, <и2) 2 < 0 и, во-вторых, | < и2) г I монотонно растет с увеличением z. Аналогичным обра­зом рассматривается и случай отрицательных пульсаций концентрации, а также случай К < 0.

Экспериментальные данные, представленные на рис. 3.3 — 3.6, хорошо согласуются с выводом о монотонном характере зависимости условно осредненной скорости (и) г .

Продолжим обсуждение течения с постоянным градиентом средней кон­центрации. Исходя из описанной качественной картины такого течения, естественно заключить, что моли, обуславливающие максимальные значе­ния концентрации в точке х2 = 0, являются не только самыми быстрыми, но и имеют большие пространственные масштабы (порядка расстояния от точки х2 = 0 до точки, из которой приходит быстрый моль). Следователь­но, перенос максимальных (а также минимальных) концентраций осу­ществляется крупными вихревыми образованиями, скорости которых, как известно (Таунсенд [ 1956]), ограничены.

В этой связи напомним об известных результатах, полученных в теории турбулентной диффузии с конечной скоростью (см. обзор этой теории в книге Монина и Яглома [1965], а также статью Зимонта и Сабельнико­ва [1975]). I лавный вывод этой теории состоит в том, что предельная ско­рость переноса концентрации имеет порядок среднеквадратической пульса­ции скорости.

Подводя итог вышеизложенному, можно выдвинуть гипотезу, согласно которой условно осредненная скорость (и) z стремится к конечным пре­делам при | z – <z> \ I о-***. Сейчас нет экспериментальных данных, кото­рые позволили бы осуществить прямую проверку сформулированной гипотезы. Пока она может быть проконтролирована только косвенным образом по непротиворечивости выводов при исследовании распределения вероятностей концентрации.

Необходимо отметить, что хотя экспериментальные данные на рис. 3.3 – 3.6 и не дают возможности для прямой проверки гипотезы, они в целом не противоречат выводу о более медленном росте модуля (и)г> чем по линейному закону, так как в опытах Голованова [1977], Венкатара – мани и Шеврэ [1976] (см. рис. 3.3 и 3.5) в области |z — (z > 1,5а вполне отчетливо прослеживается тенденция к замедленному темпу роста условно осредненной скорости.

Проведенный анализ позволяет утверждать, что отклонения функ­ции (и)~ от линейной зависимости существенны лишь при достаточно больших амплитудах пульсаций концентрации. По этой причине тонкие де­тали поведения < и )2 в этой области будут весьма слабо сказываться на ви­де плотности вероятностей концентрации в основном интервале ее измене­ния. Это обстоятельство несколько облегчает задачу количественной фор­мулировки об отклонении функции < и )2 от линейной зависимости.

Далее будет использоваться следующая аппроксимация, отражающая главные качественные особенности функции < и )2 (Сабельников [1982в])

<и): =<и>+^а-,м",[^о +s(l +coV)-,/2], * = (*-<*>.)/*•. (3]8>

Здесь К0, ц и со – функции координат. Функция <w>z, описываемая выражением (3.18), линейна при малых амплитудах пульсаций концентра­ции и стремится к конечным пределам при | s | «>. Отклонения от линей­ной зависимости начинают проявляться при \s\ — 1/со.

Между функциями У0, ц и со имеются две связи, так как должны тож­дественно выполняться следующие условия:

f (и )zPdz =<w>, f(z-(z))((u>z – {и ) )Pdz = q. Как указано в начале данной главы, поле средней скорости и поток вещест – ва при рассмотрении распределения вероятностей концентрации считаются известными. Подставив формулу (3.18) для (и)г в выписанные условия и принимая во внимание формулу (1.20) для безусловной плотности ве­роятностей P(z), найдем указанные связи

V0=-(s{\ + coV)’,/2 > = ~~7osoU +co2sS)-,/2 -

-71s1(1+co2s?)-,/2-7/s(1 + co2s2)~U2 Fdz t 0

jLt = <s2(l + co2s2)~1/2 > = 7o*oO + <o2s2)-,/2 + (3,19)

+ 7i*iU +co2s?)",/2 +7fs20 + co2s2 )~l/2Fdz, 0

s0 =-(z ) / o, st =(1 -<z >)/a.

При со = 0 из (3.19) получим V0 = 0, д = 1, и аппроксимация (3.18) пере­ходит в линейную зависимость (3.16). Следовательно, функция со отражает описанное выше влияние особенностей крупномасштабного переноса кон­центрации. Относительно величины этой функции можно высказать следую­щее общее соображение. Так как отличие (и)2 от линейной зависимости существенно только при больших значениях амплитуд пульсаций концен­трации, то следует ожидать, что значения со будут достаточно малыми. Этот вывод подтверждается строгим анализом, проведенным в § § 3.6 и 3.7.

Сделаем еще одно замечание об уточнении линейной зависимости (3.16) для (и)z при больших амплитудах пульсаций концентрации. Полученный в данном параграфе вывод о необходимости такого уточнения при строгом анализе уравнения для плотности вероятностей концентрации остается в силе и в том случае, если отбросить используемое здесь предположение об отсутствии скачков у функции < и >z на границах фазового пространства.

§ 3.4. Распределение вероятностей концентрации в однородной турбулентности

Случай статистически однородного поля концентрации является, пожа­луй, одной из наиболее простых задач, доступных для полного теоретиче­ского анализа в рамках уравнений (3.2) – (3.4). Вместе с тем, помимо самостоятельного интереса, этот пример позволяет проиллюстрировав некоторые из общих свойств уравнения для плотности вероятностей.

Прежде всего заметим, что статистически однородное поле концентрации является идеализацией процесса, имеющего место в ряде технических устройств, например в камере смешения, когда в канал постоянного сечения с помощью большого количества струй со скоростью, отличной от скорости спутного потока, подается примесь некоторого вещества. Обычно эф­фекты турбулентного перемешивания в слоях смешения столь велики, что течение в камере быстро приобретает статистически однородный характер (т. е. поля средних параметров выровнены поперек канала, а остаются только пульсации скорости, концентрации и т. д.). Полезно рассмотреть предельную ситуацию, когда в начальном сечении канала концентрация примеси принимает случайным образом только два значения z =* 0 и z = 1 (2 = 1 в струях, z – Овне струй), а начальная турбулентность пренебрежи­мо мала. Качественная картина развивающегося при х>х0 (х0 – координа­та начального сечения) процесса здесь достаточно прозрачна. С увеличением разности х ~ х$ на границах отдельных объемов, в которых z = 0 или z = 1, образуются и развиваются слои смешения, где из-за сдвига скорости возникают турбулентные пульсации скорости и наблюдаются промежуточ­ные значения концентрации. Этот процесс приводит к монотонному умень­шению пульсаций концентрации и монотонному увеличению суммарного объема, занимаемого слоями смешения. При х – х0 произойдет полное смешение до молекулярного уровня, т. е. пульсации концентрации обратят­ся в нуль, а концентрация примет значение, равное начальной средней кон­центрации <z > (предполагается, что в камеру нет дополнительного подво­да вещества со стенок канала при х > х0).

Описанный процесс соответствует нестационарному статистически одно­родному полю концентрации, если положить t = (x— x0)IU, где U – сред­няя по сечению скорость потока в канале. Плотность вероятностей концен­трации, в соответствии с вышеизложенным, в начальный и конечный моменты времени имеет вид

P(z) = y08{z)+yi8(z – 1), (3.20)

7 = 0, 7i =<z >, 7о = 1 -<z> при t = 0:

/>(z) = 6(z-<z>), 7 = 1, 7i=7o=0 при f = (3.21)

(строго говоря, здесь вместо у надо писать yz, но для краткости индекс z далее будет опускаться).

Поясним теперь, что следует понимать здесь под предельным переходом Г 00. При t 00 турбулентность вырождается (если нет источника, под­держивающего ее) и тем самым число Рейнольдса стремится к нулю. Следо­вательно, гипотеза о статистической независимости микро – и макрохаракте­ристик турбулентности при больших значениях времени эволюции будет неприменимой. Поэтому здесь и далее предполагается двойной предельный переход, когда сначала Re -*<», а затем

Указанные выше закономерности в поведении средней концентрации и дисперсии сразу следуют из первых двух уравнений для моментов

d(z> do2

– = 0, ——– = -2 <ЛО = —7y(N)t (3.22)

dt dt

Система уравнений (3.2) – (3.4) в статистически однородном случае приобретает вид

dyF b2F

= – y(N)t—, (3.23)

dt dz

dy0 dF( 0)

— = "7<ЛО,—- , (3.24)

dt dz

by t dF( 1)

7<AO,-—. (3.25)

ot oz

Соотношение (3.23) есть уравнение теплопроводности с отрицательным коэффициентом диффузии. Тем самым оно принадлежит к типу обратно – параболических уравнений, для которых, как известно (см., например, Тихонов и Арсенин [1974]), глобальное решение задачи Коши (т. е. на иолуоси t > 0) существует не при всяких начальных условиях. В тех слу­чаях, когда существование решения установлено, задача Коши является некорректной. Некорректность проявляется в том, что уменьшение длины волны возмущений в начальных условиях приводит к увеличению скорости ихнарастания. В результате решение быстро искажается.

Известна теорема (Фридман [1964]) о единственности решения задачи Коши для обратнопараболического уравнения при условии, что оно существует.

Точка t = 00 (поскольку {N)t 0, t ->«>) является особой для уравне­ния (3.23). Но указанная теорема применима и в рассматриваемом случае, так как эту особенность можно устранить с помощью замены переменной

оо

т = / (N)fdt. Интеграл здесь сходится в силу ограниченности дисперсии

пульсаций концентрации. Действительно, из уравнения для о2 в (3.22) вытекает, что т Ц a2, t 00 (здесь учитывается, что у 1, t 00).

Чтобы найти глобальное решение уравнений (3.23) – (3.25), которое единственно в силу указанной теоремы, рассмотрим вместо прямой задачи Коши с начальными условиями (3.20), заданными в момент t = 0, обрат­ную задачу Коши с "начальными" условиями (3.21), заданными в момент t = оо. При интегрировании уравнения (3.23) в обратном направлении задача Коши становится корректной. Решение, соответствующее "началь­ным" условиям при t = 00, определяет тот класс начальных условий, для которых решение прямой задачи Коши существует при всех t > 0. Ниже бу­дет показано, что при некоторых ограничениях на функцию {N)T таковы­ми являются именно условия (3.20). Важно подчеркнуть, что поскольку N > 0, то приведенные соображения носят общий характер и не связаны с принятой в § 3.2 гипотезой о статистической независимости полей N и z в турбулентной жидкости.

Решение сформулированной обратной задачи Коши находится стандарт­ным методом Фурье. Окончательный результат имеет вид (Кузнецов, Лебе­дев, Секундов и Смирнова [1981 ], Кузнецов и Сабельников [1981 б])

оо

yF-2 £ sin ттк <z > sin тткг ехр(—л2к2т)%

к = 1


ехр(-7г2*2г).


(3.26)


к sin лк (z)

, –

к

ехр (-ъ2к2 ‘т ),

7, =<z> +| I (-1)

к =



00

7 = 1 -7о – У\ , т = f(N)Tdt.



Проанализируем два предельных случая: 1) заключительный этап вы­рождения пульсаций концентрации, т. е. г и 2) начальный этап вырож­дения, т. е. t ->0.

В первом случае имеем у ъ 1, Р ** Pt (далее показано, что эти прибли­женные равенства справедливы с точностью до экспоненциально малых членов), т -> 1А о[6] О, и, следовательно, ряды в (3.26) сходятся крайне медленно. Поэтому главный член асимптотики решения в рассматриваемом случае проще найти непосредственно из уравнений (3.23) – (3.25). Обра­тимся вначале к уравнению для плотности вероятностей (3.23). Поскольку lim (а/<z > ) = 0, то при определении главного члена асимптотического

f —► оо

разложения плотности вероятностей, пригодного вне малых окрестностей

граничных точек z = 0 и z = 1, краевые условия (3.5) можно поставить при

z – — оо и z = +оо. Если теперь принять во внимание "начальные" условия

(3.21) и связь т -> а2, т -> 0, то нетрудно видеть, что главный член

асимптотики описывается гауссовской кривой (Кузнецов [1967])

P(z)

Г Г (z-<z>)2 exp -

(3.27)

2ol

yfbio


Этот результат хорошо согласуется с экспериментальными данными Мияваки, Цуджикава и Урагучи [1974].

Главные члены асимптотики плотности вероятностей, пригодные в окрестности z = 0 и z = 1, находятся с помощью известного метода отображений (см., например, Морс и Фешбах [1953]). В результате получим, что

1

(3.28)

P{z)-

Н"

(z—2 + <z>)2

\/2тг о в окрестности z = 0 и 1

(3.29)

P(z)-

—exp

\/2па

2а2

jexp

2

(z-(z>) 2а2

‘ (z+<z»r

1

—ехр

2а2 J

| > Г-»оо

(z-(z))2


в окрестности z = 1.

Подставив выражения (3.28), (3.29) в уравнения (3.24), (3.25), найдем главные члены асимптотик вероятностей у0 и ух:

ГГ а / <Z>2\ – v^—ехР (-—/


(3.30)

(1 -<z»2


2а2

Следовательно, при t -* 00 вероятности у0 и у, и тем самым разность 1—7 экспоненциально малы.

Найдем теперь главный член асимптотики решений уравнений (3.23) – (3.25) в другом предельном случае t -*■ 0. Из общего решения (3.26) следует, что эта асимптотика определяется характером зависимости

от времени скалярной диссипации (N)t при t Чтобы установить эту зависимость, обратимся к физической картине явления. Как уже указыва­лось в начале параграфа, при t > 0 на границах областей с z = 0 и z = 1 воз­никают слои смешения, в которых из-за молекулярной диффузии появятся промежуточные значения концентрации. Скалярная диссипация, естествен­но, зависит от разности концентраций A z и разности скоростей А и на гра­ницах слоев смешения, а также от их характерной ширины /. Из соображе­ний размерностей получим (N)t — Am(Az)2//. Учтем, что Aw и Az при / 0 имеют конечные пределы (в частности, Az 1, Г а характерная ширина /, как показывают соображения размерностей, пропорциональна времени: / — Aut, t 0. В итоге для (N)T получим следующую формулу:

<N)t=y> ‘->0. (3.31)

Здесь а — некоторая постоянная; ее значение будет найдено ниже. Таким образом, для переменной г в формулах (3.26) имеем

т ^ —a In — * t 0.

to

Здесь t0 – масштаб времени, определяемый крупными вихрями в слоях смешения на поздней стадии развития процесса. Поэтому г 00 при t 0 и, следовательно, главный член асимптотики решения определяется лишь первыми членами в формулах (3.26), т. е.

я

F= —sin 7rz, 2

4 4 f t\an2

y= —sin Ti (z >exp(- 7Гт)= — sin я <z >( —) я я \ to J

2 / t \an2

yo = j _<z>——- sinHr) – , (3.32)

я \/0/

2 / t Vя * 7,=<z> sin я <z > (—) , 0.

71 \tо /

Значение постоянной а, входящей в соотношение (3.31) для скалярной диссипации, можно найти, если привлечь дополнительное соображение, что при t 0 коэффициент перемежаемости у пропорционален характерной ширине слоев смешения, т. е. у Это соображение основывается на физи­ческой картине течения и на определении величины 7 как доли объема, занятой вполне турбулентной жидкостью. Приравняв единице показатель степени в формуле (3.32) для у, получим, что а = я"2.

Это теоретическое значение достаточно хорошо согласуется с косвенной оценкой постоянной а, которую можно получить, если рассмотреть полуэм­пирическое соотношение для скалярной диссипации (N) = х(е>о2jq2, X % 2 (см., например, Бегье, Декейсе и Лондер [1978]), в автомодельном слое смешения. Для оценки перейдем 01 этой стационарной задачи к рас­сматриваемому нестационарному случаю с помощью следующего преобра­зования: t =х/(и012). Если теперь в указанное выражение для < АО подста – вить экспериментальные значения (взятые в области, где 7^1) <е> = = 0,04мо/х и q2 = 0,05mq, приведенные в книге Таунсенда [1956], а= 0,22 из опытов Раджагопалана и Антониа [1980], то получим (N) ^х* 0,08/г. Используя для < е> и q2 экспериментальные данные Виньянски и Фидлера [1970]: < е > = 0,025 иЦх, q2 = 0,06м получим < АО ^ х ‘ 0,037/г. Следо­вательно, в первом случае а ^0, 16, во втором а ^0,074.

Остановимся на одном важном моменте, связанном с полученным ре­шением. Проанализированная задача является в некотором смысле исклю­чительной. Действительно, хотя уравнение (3.23) содержит только первую производную по времени, здесь вследствие специфических начальных ус­ловий удалось достичь того, что решение удовлетворяет двум условиям (3.20) и (3.21) по временной переменной.

В случае произвольных начальных условий характер смешения услож­нится. Рассматриваемый вопрос уже был затронут в § 3.2, где отмечалось, что гипотеза о статистической независимости N и z в турбулентной жид­кости несправедлива для турбулентного потока, находящегося в произволь­ном начальном состоянии. Прежде чем турбулентность достигнет равновес­ной структуры, должно пройти некоторое время релаксации, равное по порядку Ljq. Лишь после этого станет справедливой рассматриваемая ги­потеза и, следовательно, уравнение (3.23).

В рассмотренной задаче турбулентность уже в начальный момент време­ни находится в равновесном состоянии (точнее, время релаксации много меньше L\q и стремится к нулю при Re -►«>), что и дало возможность удов­летворить двум условиям по временной переменной.

Интересно, что физические рассуждения о границах применимости гипо­тезы о статистической независимости микро – и макрохарактеристик пуль – сационного движения в турбулентных потоках находят свое формальное отражение в свойствах уравнений (решение существует не при произволь­ных начальных условиях).

В заключение на примере рассматриваемой задачи приведем ряд качест­венных соображений о связи между перемежаемостью и теорией локально однородной турбулентности в ее неуточненном варианте (Колмогоров [1941 ], Обухов [1941, 1949]). Напомним, что в этой теории считается, что 7=1, т. е. перемежаемость отсутствует. Покажем, что в этом случае урав­нение для плотности вероятностей концентрации приводит к физически абсурдным результатам. Предположим вначале, что при Bcexz справедлива гипотеза (3.8). Тогда, как легко проверить, решением уравнения (3.23) является плотность нормального распределения (3.27) при всех t > 0 Поскольку для такого решения РФ 0 при < z < то оно не имеет физического смысла.

Возникающая трудность носит принципиальный характер, и ее нельзя обойти, отказавшись от гипотезы (3.8). Действительно, пусть (N)z являет­ся функцией концентрации. Существенно, что в асимптотической теории, в которой полагается Re = функция < N)z отлична от нуля при 0 <z < 1. Это утверждение вытекает из результатов проведенного в § 1.3 исследо­вания поведения в окрестности границ фазового пространства. Там установлено, что обращение < N)z в нуль на границах фазового пространства обусловлено только эффектами молекулярного переноса и принципиально зависит от числа Рейнольдса (величины оси к ъ формулах (1.29) и (1.34) — функции Re). С физической точки зрения отличие <N)z от нуля во всем фазовом пространстве соответствует такой картине течения, когда мелко­масштабные турбулентные пульсации распределены в пространстве более или менее равномерно, т. е. е > 0 и N> 0 во всех точках; при Re гра­диенты скорости и концентрации неограниченно возрастают во всем потоке (сравни с картиной потока, в котором есть перемежаемость – § 1.3).

Рассмотрим решения уравнения (3.23) с граничными условиями Р = 0. z = 0, z = 1. Очевидно, что длгя таких решений будем иметь d(N)zP/dz Ф 0

1

при z = 0 и z = 1, т. е. условие нормировки fPdz = 1 не выполняется, так

о

как "потоки" плотности вероятностей b{N)zP/bz за естественные границы фазового пространства z=0 и z=l не равны нулю (если искать гладкое ре­шение (3.23), удовлетворяющее условию нормировки и постоянству средней концентрации, то, как легко показать, необходимо дополнительно считать дР/дг = 0, z = 0 и z = 1; граничным условиям Р = дР/дг = 0, z = 0 и z = 1 удовлетворяет только тривиальное решение Р = 0, не имеющее физического смысла). Эти потоки и обуславливают возникновение перемежаемости или, более строго, перемежаемости в поле концентрации. Вблизи границ фазово­го пространства теория локально однородной турбулентности уже не может быть справедливой, так как здесь становится существенным взаимодейст­вие между турбулентной и нетурбулентной жидкостями, для которого, как отмечалось в главе 1, характерно прямое (а не каскадное) влияние крупномасштабных флуктуаций на мелкомасштабные (см. также главу 4).

§ 3.5. Приближенное описание

распределения вероятностей конценграции в свободных турбулентных течениях

В данном параграфе на основе уравнения (3.2) проведено нестрогое ис­следование распределения вероятностей концентрации в турбулентных струях. В соответствии с выводами § 3.3 для упрощения’анализа предпо­лагается, что условно осредненная скорость <u)z описывается’ линейной зависимостью (3.16). С помощью достаточно простых математических средств установлен качественный вид решений уравнения в двух характер­ных областях струи — в центральной области, где перемежаемость играет малую роль, и на краю струи, где перемежаемость существенна.

Эти результаты используются затем для решения чисто практической задачи – разработки простого приближенного метода определения плот­ности вероятностей концентрации и коэффициента перемежаемости в струях.

Содержание параграфа основано на работе Кузнецова [1972а] (с не­которыми дополнениями из работ Кузнецова и Сабельникова [19816] и Сабельникова [19826]).

Рассмотрим в среднем стационарный, медленно расширяющийся сво­бодный турбулентный поток. Таким потоком может быть струя или след за телом. Проанализируем плотность вероятностей концентрации в даль­нем следе или на основном участке струи. Тогда вероятностью наблюдения

значения z = 1 можно пренебречь, т. е. считать, что 71 % 0. Примем, что условно осредненная скорость <u)z описывается линейной зависимостью (3.16). Тогда уравнения О7.15) и (3.2) для безусловной и условной плот­ностей вероятностей концентрации соответственно имеют вид

Ъ2Р

(и >VP+ V[qo~2(z - <z >)/>] =-y(N\

(3.33)

dz

d2F

(u)VyF+V[qo-2(z -iz))yF]=-y{N)t

dz2 ‘

Проанализируем ряд частных решений уравнений (3.33). 1. Решение на оси или плоскости симметрии. Экспериментальные иссле­дования показывают, что вблизи оси или плоскости симметрии перемежае­мость практически отсутствует, т. е. у ^ 1 и, следовательно, (N)t = <ЛО, P(z) ^Pt{z). Кроме того, в рассматриваемой области можно пренебречь переносом вещества вдоль потока, т. е. можно считать, что qx ^ 0. Здесь индекс 1 относится к направлению потока. Очевидно, что на оси или плоскости симметрии (иа> = qa = Ъ (z >/Эха = Ъо1Ъха = 0, а = 2, 3. Тогда из первого уравнения в (3.33) получаем

ЪР „ Эя Ъ2Р

<и,>— +/>а~ (z – <z >) —^ – — (N) — . (3.34)

Эх, Эха bzz

Чтобы преобразовать второй член в левой части (3.34), используем урав­нение дня средней концентрации

< и > V<z > + Vq = 0. (3.35)

На оси или плоскости симметрии из (3.35) имеем.

Ъа 3<z >

, а = 2,3. (3.36)

Эха Эх,

В результате уравнение (3.34) принимает вид

ЪР z-<z> 3<z > Ъ2Р

{Ux)——————- <Ul>—————- P = – W)— . (3.37)

OX 1 о oxl oz

Будем искать автомодельное решение уравнения (3.37) в виде Р = = g{s)lo, где g – функция одной переменной s = (z – <z »/<Г. Подстановка в (3.37) дает следующее уравнение для функции g:

+ + l)g= 0, (3.38)

<ЛО 3<z>/3x,

m =———————— , h =——————– .

й<м, >Эа /Эх, Эа/Эх,

Штрихом в (3.38) обозначено дифференцирование по s.

Из уравнения (3.38) видно, что автомодельное решение существует, если только параметры т и h – постоянные. Эю условие выполнено на основном участке струй и в дальнем следе.

Поясним физический смысл постоянных т и h. Параметр т, как легко установить из уравнения для дисперсии пульсаций концентрации о2, равен

отношению удвоенной скалярной диссипации к абсолютному значению адвекции. Данные измерений отдельных слагаемых в уравнении баланса пульсаций концентрации показывают, что в рассматриваемых здесь тече­ниях т > 1. Так, т ^ 2,6 в дальнем следе за круговым цилиндром (Фрей – мус и Уберои [1971]), т ^ 1,8 в плоской струе (Башир и Уберои [1975]), в осесимметричной струе в спутном потоке (Антониа, Прабху и Стефенсон [1975]).

Величины о и <z > на основных участках струй или в дальнем следе изменяются в зависимости от расстояния х{ по степенным законам. Сле­довательно, параметр h обратно пропорционален интенсивности пульса­ций концентрации. Согласно экспериментальным данным (см., например, Ля Рю и Либби [1974], Башир и Уберои [1975], Беккер, Хоттел и Вильяме [1967], Кузнецов [1971] и др.) он принимает достаточно большие значе­ния: h = 4 – 5. Отмеченное обстоятельство позволяет получить асимптоти­ческое разложение решения уравнения (3.38) по целочисленным степеням малой величины Л-1. Перед тем как выписать это разложение, укажем некоторые общие свойства решения уравнения (3.38).

С этой целью сделаем в (3.38) замену переменных


(s+/?)2 4т

s + h – 2 nth

s i

П ехр

у/т


Уравнение для функции П имеет вид v – h2{m — 1).

Здесь штрихом обозначено дифференцирование но sj. Решение уравнения (3.39) выражается через функции параболического цилиндра (см., напри­мер, Бейтмен и Эрдейи [1953а]). Поскольку т> 1, то индекс функций параболического цилиндра v > 0. На основании известных свойств этих функций заключаем, что условие неотрицательности плотности вероят­ностей не выполняется. Такой дефект решения связан с неточностью ап­проксимации условно осредненной скорости <и)2 с помощью линейной зависимости (3.16) в области больших значений I s |. Более тщательное ис­следование показывает, что корни функции g лежат вне интервала ее основ­ного изменения, а именно при z > <z > + За. Связь между неточностью ли­нейной аппроксимации <и)2 в области больших амплитуд пульсаций кон­центрации и расположением корней очевидна. Заметим, что вследствие рас­смотренного нефизического характера поведения плотности вероятностей в области больших амплитуд пульсаций концентрации она, вообще говоря, не может быть использована для вычисления моментов высокого порядка.

Найдем теперь асимптотическое разложение решения уравнения (3.38) при Будем искать решение в виде асимптотического ряда

g(s)=^0)(s) + -7-Ј(l)(s)+ — Ј(2>(S)+ . . . (3.40)

п я

к – О, 1,2,… Уравнения для пер-

(3.41)  

(3.42)  

(3.43)  

Подставим ряд (3.40) в уравнение (3.38) и приравняем нулю коэффициен­ты при последовательных степенях h. В результате получим рекуррентную систему уравнений для функций £(/с вых трех из этих функций имеют вид

gi°y + sg(o) = 0.

gU У + I) = _ {mg(o)" + ^(o)’ + ^(o)) ^

(4)

Последовательно решая уравнения (3.41) -(3.43), найдем 1

exp

<о> =

уДп

1 — /77

3

1 – т

g

1 <У3*(0)

(3.44)

rfyo) tfs6

(s3 -3s)s<0) = –(l – AW)—— 3 ofs

,(2) =

ds^

(1 – /я)2 18


Из выражений (3.40) и (3.44) следует, что распределение вероятностей концентрации на оси или плоскости симметрии близко к нормальному. Этот результат хорошо согласуется с экспериментальными данными. В ка­честве примера согласования теории с экспериментом на рис. 3.8 представ­лены данные измерений плотности вероятностей концентрации в осесим­метричной струе (Кузнецов [1971]), а на рис. 3.9 – данные измерений


P(s<s0)

о-/ >

х-2 • – J

tr

л

6

У

1

-2 -1

1




Рис. 3.8. Распределение вероятностей концентрации на оси затопленной осесимметрич­ной струи углекислого газа по данным Кузнецова [1971|. = и0 djv = 1,3 • 104, d = 5 мм, и0 =, 20 м/с; / - х, Id = 20, 2 - х, \d = 30, 3 - хх \d = 40, s = (z - ( z > ) /а, P (s < s0) - вероятность события s < s0. Штриховая кривая отвечает нормальному закону распределения

Рис. 3.9. Плотность вероятностей концентрации вблизи плоскости симметрии в следе за круговым цилиндром по данным Ля Рю и Либби [1974]. xjy/(xl -xyo)d = 0,0275, ^ю 5 -40ef, Р° = оР, s-(z-(z>)fo. Кривая отвечает плотности нормального распре­деления; крестиками отмечены экспериментальные данные. Условия опытов те же, что и на рие. 1.14

вблизи плоскости симметрии дальнего следа за круговым цилиндром (Ля Рю и Либби [1974]). Аналогичные экспериментальные данные получены также в работах Ибрагимова, Петрищевой и Таранова [1968], Мешкова и Щербины 11979], Голованова и Щербины [1979], Щерби­ны [1982].

Отклонения от нормального распределения описываются функциями ^О) и £<2) в (3 44) Общепринятой количественной характеристикой этого отклонения являются коэффициенты асимметрии А и эксцесса Е. Из (3.40) и (3.44) находим

A=fs3gds = h-[7] f s3g(l^ds = 2(1 —m)h~l9 (3 45)

E = fsAgds – 3 = h~2fs4gi2)ds = 6(1 – m)h’2.

Значение коэффициента асимметрии, рассчитанное с помощью (3.45), достаточно близко к результатам измерений. В качестве примера рассмот­рим дальний след за круговым цилиндром. Здесь т = 2,6, h « 4,75 (Фрей – мус и Уберои [1971]) и формула для А в (3.45) дает А ^ -0,67. В опытах Ля Рю и Либби [1974] А » -0,4. Для коэффициента эксцесса расчет по формуле (3.45) дает Е —0,43, что существенно отличается от экспери­ментального значения Ля Рю и Либби Е ъ 0,1 (не совпадает даже знак). Аналогичный результат справедлив и для струй. Такое несоответствие тео­рии с экспериментом обусловлено, как отмечалось уже выше, приближен­ным характером аппроксимации условно осредненной скорости <u)z с помощью линейной зависимости(3.i6) в области больших амплитуд пуль­саций концентрации.

В заключение пункта приведем без вывода формулу, связывающую коэффициент перемежаемости и интенсивность пульсаций концентрации на оси или плоскости симметрии:

допущений первое из уравнений в (3.33) принимает вид

% (z-(z))P=-(N) . (3.47)

о Ъха dz v ‘

Как и в первом пункте параграфа, будем искать автомодельное решение этого уравнения вида Р =g(s)/o. Для функции # из (3.47) получим урав­нение

/ » <iV>

(Sg)———– а/ ч/а g = (3.48)

При выводе (3.48) учтено, что ЪР 1 b(z >


-g

дха о2 дха



Теперь заметим, что коэффициент перед второй производной в (3.48) представляет собой отношение скалярной диссипации к порождению пуль­саций концентрации. По предположению эти величины совпадают, т. е. коэф­фициент равен единице. Следовательно, функция g удовлетворяет уравнению

g + (sg)’ = 0. (349)

Решение уравнения (3.49)

?=^ехр(-т)- (3-50)

Таким образом, в области максимального поперечного градиента средней концентраи и вероятность концентрации распределена по нормальному закону. Этот результат согласуется с экспериментальными данными (см., например, Кузнецов [1971]).

Суммируя результаты, полученные в первых двух пунктах параграфа, заключаем, что в области, где перемежаемость несущественна, распреде­ление вероятностей концентрации близко к нормальному.

3. Решение на краю турбулентного потока. Найдем, наконец, условную плотность вероятностей концентрации F (Pt = F(z) • 0(z)) в области, где существенна перемежаемость, т. е. на краю турбулентного потока. Главное допущение основывается на результатах измерений условно осредненных характеристик во вполне турбулентной жидкости (см. § 1.1). Анализ этих результатов показывает, что рассматриваемые характеристики изменяют­ся весьма слабо от точки к точке. В качестве примера сошлемся на измере­ния Беккера, Хоттела и Вильямса [1967] в затопленной осесимметричной струе, результаты которых изображены на рис. 1.3, 1.4. Видно, что при изменении отношения х2/хх в диапазоне 0,16-0,26 производная Ъу/Ъх2 на порядок превышает производные b{z)tjbx2s Ъаг/Ъх2. Поэтому во втором из уравнений в (3.3) можно пренебречь производными bF/bxk по сравнению с Ъу/Ъхк. Тогда получаем

Э2 F

— +(*, – bxz)F= 0, (3.51)

dz

а, = 7~г | <и > Vy — V(<f o~3<z >т)1, <ЛО

Решение уравнения (3.51) должно удовлетворять граничным условиям (3.5), т. е. F = 0 при z = 0 и z = 1. Относительно граничного условия при z = 1 заметим следующее. В рассматриваемой области потока величина (z)t мала, а отношение otj(z )t порядка единицы (см., например, данные Беккера, Хоттела и Вильямса на рис. 1.3 и 1.4). Поэтому основное изме­нение плотности вероятностей F происходит в области малых z, а именно при z ^(z)t< 1. Следовательно, второе граничное условие приближенно можно поставить не при максимально возможном значении концентрации z = 1, а при z =°°.

Решение (3.51), удовлетворяющее граничному условию F = 0 при z =°°, выражается через функцию Эйри Ai (см., например, Абрамовиц и Сти- ган [1964]):

F = Rlbl*3Ai(xl

1 – /V \

Ai(x) = – /cos f — + tX) dt. (3.52)

я о V 3 /

«-■"Ю-

Здесь R i — произвольная постоянная. Удовлетворяя граничному условию

— 2/3

F = 0, z =0, получим уравнение Ai(*>) =0, v = — a\b\ – безразмерный параметр. Как известно (см. Абрамовиц и Стиган [1964]), уравнение Ai(*>) = 0 имеет счетное количество корней таких, что v < 0. Физическим смыслом обладает л.*шь наибольший корень функции Эйри vx, так как при всех других значениях v решение осциллирует в интервале 0 < z <

— 2 /3

Приближенное значение наибольшего корня V\ = -2,338, т. е. ахЬх = = 2,338. Тем самым установлено, что решение уравнения (3.51) существует не при всех ах и Ьх или, другими словами, не при всяких функциях (z >, а и <Ю.

Теперь учтем, что функция F должна удовлетворять условию нормиров­ки, а ее первый момент равен условно осредненной концентрации (z)n

оо оо

т. е. fFdz = 1 и JzFdz = (z >f. Отсюда найдем значение постоянной R\ и о о

выразим параметр Ь\ через <z>f:

* – 1 ь»3-ьЧг

К j – » и 1————————-

Jo <z)t

b 113=(т"1 Jk=fxkA[{x)d* k=1 ^■

Расчет дает J0 = 1,274, У, = -0,701,т. е.Я, =0,785,£>|/3 = 1,788. Численные

fm

о 1 г с -'А о 2,о q>s

Рис. 3.10. Сравнение измеренной и рассчитанной плотностей вероятностей концент­рации в турбулентной жидкости на большом расстоянии от оси затопленной струи. Значки — опытные данные. I - Бэрч, Браун, Додсон и Томас [ 19781, условия опытов приведены на рис. 1.17; 2 - Эбрахими, Гюнтер и Хаберда 11977); хх /d = 50, хг jd = 6; = z /< z > t; кривая - расчет

0,5

Рис. 3.11. Плотность вероятностей концентрации на большом расстоянии от плоскости симметрии в следе за круговым цилиндром по данным Ля Рю и Либби (1974). Усло­вия опытов приведены на рис. 1.14, Р° = аР% £ = 0,431, у = 0,175, s = (z - < 2 >)/а

значения интенсивности пульсаций концентрации, коэффициентов асиммет­рии и эксцесса во вполне турбулентной жидкости соответственно равны otl(z )t = 0,555, At = 0,802, Et - 0,694. Отметим, что найденное решение

1

(3.52) имеет автомодельную форму, т. е. F = (f), где

(z)t

{Z)' (3.53)

Л=/?1д|/3 = 1,403, £1 = 1,788, vx =-2,338.

Из соотношения (3.53) заключаем, что плотность вероятностей на краю потока полностью определяется только одним параметром — условно ос­редненной концентрацией < z >,.

Рассмотрим теперь, в какой степени теоретические результаты соот­ветствуют экспериментальным данным. График функции /«ДО» описы­ваемой формулой (3.53), приведен на рис. 3.10. Здесь же нанесены экспе­риментальные данные Эбрахими, Гюнтера и Хаберды [1977], Бэрча, Брау­на, Додсона и Томаса [1978]. Сделаем пояснение относительно обработки этих данных. Поскольку из-за процессов молекулярного смешения и шумов в измерительной аппаратуре плотность вероятностей концентрации "размазана" на границе фазового пространства z = 0 (см. § 1.3), то осу­ществлялась экстраполяция экспериментальных точек, лежащих вне интер­вала "размазывания" в начало координат (см. рис. 1.17). Построенная та­ким образом кривая нормировалась и затем определялась условно осред­ненная концентрация (z)t. Из рис. 3.10 можно сделать вьюод, что соответ­ствие между теоретической плотностью вероятностей и экспериментальны­ми данными вполне удовлетворительное. Результаты, полученные в § 5.1, косвенно подтверждают этот вывод в более широком диапазоне изменения концентрации.

вычисленная интенсивность пульсаций концентрации в турбулентной жидкости ot/(z)t = 0,555 находится в хорошем. соответствии с экспери­ментальными данными Беккера, Хоттела и Вильямса [1967], Ля Рю и Либ­би [1974], Антониа, Прабху и Стефенсона [1975] (см. рис. 1.4-1.6, а так­же график зависимости otl(z)t от коэффициента перемежаемости % по­строенный с использованием данных указанных трех работ, в cratbe Кузне­цова [19776]). Рассчитанное значение коэффициента асимметрии At = 0,802 также хорошо согласуется с измерениями Ля Рю и Либби [1974] (At = = 0,8-0,9), Антониа, Прабху и Стефенсона [1975] (At = 0,5). Заметное расхождение возникает при сравнении рассчитанных и экспериментальных значений коэффициента эксцесса: Et = 0,694 – теоретическое значение, Et = -0,1 (Ля Рю и Либби [1974]= (-0,4)-(-0,5) (Антониа, Прабху и Стефенсон [1975]). Такое различие может быть объяснено как неточ­ностью Предположений» с помощью которых получено уравнение для плот­ности вероятностей концентрации, так и серьезными трудностями коррект­ного измерения моментов высоких порядков в турбулентной жидкости при малых значениях коэффициента перемежаемости. В этих случаях на ре­зультатах измерений коэффициента перемежаемости и плотности вероят­ностей концентрации особенно сильно сказываются процессы молекуляр­ного переноса. Как показано в § 1.3, эти процессы приводят к тому, что дельта-функция в выражении (1.19) для безусловной плотности вероят­ностей P(z) "размазывается" на интервал, имеющий порядок о Re-1^4 Поэтому при малых значениях коэффициента перемежаемости у9 в силу ограниченности разрешающей ‘ способности аппаратуры, регистрируется лишь "размазанная" дельта-функция. Для иллюстрации рассматриваемого эффекта иа рис. 3.11 приведена измеренная Ля Рю и Либби [1974] плот­ность вероятностей концентрации в следе за круговым цилиндром в точке, где у = 0,175, т. е. в области, находящейся на краю турбулентного потока. Из рис. 3.11 видно, что в указанной работе удалось зарегистрировать лишь "размазанную" дельта-функцию.

4. Приближенный метод определения распределения вероятностей кон­центрации и коэффициента перемежаемости. В практических приложениях, связанных главным образом с. расчетом течений реагирующего газа, важно» иметь простой приближенный метод определения плотности вероятностей концентрации и коэффициента перемежаемости. В литературе известно несколько таких методов (см., например, Вилюнов и Дик [1976], Борги [1980] и др.). В названных работах уравнение для плотности вероятностей вообще не используется. Вместо этого функциональный вид плотности вероятностей задается априори, и он обычно считается универсальным во всех областях турбулентного потока. Такое предположение позволяет "восстановить" плотность вероятностей по первым двум моментам, кото­рые можно рассчитать с помощью традиционных полуэмпирических теорий турбулентности.

Главным результатом исследования, проведенного выше, является вы­вод о том, что вид плотности вероятностей концентрации в свободных турбулентных потоках существенно различен в областях с сильной и слабой перемежаемостью. Этот вывод показывает, что область применимости ука­занных приближенных методов крайне ограничена.

В данном пункте предлагается другой подход к приближенному опреде­лению плотности вероятностей концентрации и перемежаемости в турбу­лентных потоках (см. работу Кузнецова и др. [1977]). В ею основу поло­жены результаты упрощенного анализа уравнения для плотности вероят­ностей, проведенного в первых трех пунктах параграфа. Тем самым он учитывает качественное влияние перемежаемости на вид плотности вероят­ностей. Как и в упомянутых ранее приближенных методах, описываемый ниже метод требует знания двух моментов концентрации (z ) и а2. Рас­смотрим вначале способ определения коэффициента перемежаемости на основном участке струй или в дальнем следе, когда можно принять, что Ух – 0. Способ опирается на точную формулу, справедливую в этом случае и связывающую интенсивность пульсаций концентрации oj(z >, коэффи­циент перемежаемости у и интенсивность пульсаций концентрации во вполне турбулентной жидкости otl(z )t:

(1+.»<,)}Х,)’ <354)

<z>2 + о2

Для пояснения укажем, что формула (3.54) вытекает из равенства (z2) = = 7(z2)t, если в правую и левую его части подставить соответственно <z2> = <z>2 + a2, (z2 )t = (z)2 + o2 и учесть, что <z>f = <z)/y.

В соответствии с результатами, полученными в первых трех пунктах параграфа, значение суммы 1 + о2Ц z)2 меняется по сечению струи (следа) весьма слабо: 1,04;^ 1 + a2/<z )2£ 1,31. Поэтому будем считать, что значе­ние суммы 1 + о2Hz)] постоянно и равно предельному значению 1,31. Тогда формула (3.54) позволяет рассчитать коэффициент перемежаемости, если известны безусловно осредненные моменты <z > и а2. В тех случаях, когда интенсивность пульсаций мала, а именно при a Hz >< 0,555, расчет по формуле (3.54) при сделанном предположении otl(z)t = 0,555 дает лишенное физического смысла значение 7 > 1. Такая ситуация возникает в центральной области течения вблизи оси или плоскости симметрии, где перемежаемость несущественна. В этих случаях просто считается, что 7 = 1. Принятое допущение вполне оправдано, так как в силу формулы (3.46) неточности в задании отношения atj(z )t в этой области сказьюаются лишь на малых отклонениях коэффициента перемежаемости от единицы.

В итоге получаем следующую алгебраическую аппроксимацию для коэффициента перемежаемости через <z > и а2:

(z)2

<z>2 + а2 ‘ <7>

(3.55)

7=1, —<0,555. <z >

Формулы, отличающиеся от (3.55) только значением коэффициента, пред­лагались также Зимонтом, Мещеряковым и Сабельниковым [1978, 1981], Кентом и Билджером [1977].

(3.55), z0 = (l +

0,2 0,4 0,6 0,8 г0

Рис. 3.12. Зависимость коэффициента переме­жаемости от средней концентрации и диспер­сии в свободных турбулентных течениях по данным разных авторов. 1 — затопленная осесимметричная струя, Беккер, Хоттел и Вильяме [1967] (условия опытов указаны на рис. 1.3); 2 – след за круговым цилиндром, Ля Рю и Либби [1974] (условия опытов те же, что и на рис. 1.14); 3, 4 – спутная осе­симметричная струя, Антониа, Прабху и Сте – фенсон [1975] (3 – м0 /и«> = 6,6, 4 – и0 /и** 2,9, Uoo – скорость спутного потока (условия опы­тов указаны на рис. 1.5)); сплошные прямые

отвечают зависимости + о2 /( г > 2)-’

В качестве иллюстрации эффективности описанного приближенного способа определения коэффициента перемежаемости на рис. 3.12, взятом из работы Кента и Билджера [1977], приведено сравнение формулы (3.55) с корреляционной зависимостью между 7 и o/(z > по результатам измере­ний этих параметров в затопленной осесимметричной струе (Беккер, Хот­тел и Вильяме [1967]), в спутных осесимметричных струях (Антониа, Прабху и Стефенсон.[1975]) и в дальнем следе за круговым цилиндром (Ля Рю и Либби [1974]). Аналогичная корреляционная зависимость между 7 и a/<z >, как показано в опытах Дрейка, Питца и Лэппа [1984], справедли­ва и в диффузионном факеле.

Изложим теперь приближенный метод описания плотности вероятностей концентрации. Метод основан на том, что вид плотности вероятностей ка­чественно различен в областях с сильной и слабой перемежаемостью. Сле­довательно, струи и следы можно разбить на две области. В центральной области, где перемежаемость несущественна, плотность вероятностей опи­сывается гауссовской кривой. Вблизи границ струи или следа, где важна перемежаемость, условная плотность вероятностей концентрации в турбу­лентной жидкости выражается через функцию Эйри по формуле (3.53). Суммируя, получим приближенное описание плотности вероятностей кон­центрации и коэффициента перемежаемости в турбулентных струях и следах

1 | (z-<z>)2l а

P(z)=—г-ехр \–—2——— , 7=1, —<0,555, (3.56)

у2яа L 2 а J <z>

и

/> = 7ВД + (1 ~7)5(z), 7<1, где

(z Уf (z )f

R =1,4, /3 = 1,79, vx =-2,338,

<z>2 <z> а

?=1’31 1—vT7—2 ‘ <z>’=—— > —>0,555.

<z>2 + а 7 <z>

Напомним, что формулы (3.56) и (3.57) справедливы в тех областях потока, где ух = 0, т. е. на основном участке струи. Они также пригодны и на начальном участке в области, где <z > < 0,5. В области, где <z > > 0,5, в них надо произвести замену z 1 — z. ~

Таким образом, соотношения (3.56) и (3.57) решают задачу простого приближенного описания плотности вероятностей концентрации и коэф­фициента перемежаемости. Расчет (z > и а2, входящих в формулы (3.56) и (3.57), как уже отмечалось, монаю выполнить с помощью полуэмпиричес­ких теорий турбулентности.

§ 3.6. Математические свойства уравнения

для плотности вероятностей концентрации в свободных турбулентных течениях. Постановка краевой задачи

Данный параграф посвящен более строгому (чем это было сделано в § 3.5) математическому исследованию уравнения для плотности вероятнос­тей концентрации в свободных турбулентных течениях. При анализе исполь­зуется уточненная аппроксимация условно осредненной скорости (и)2 в области больших амплитуд пульсаций концентрации (3.18). Обсуждаются такие общие качественные свойства уравнения, как особые точки, сущест­вование автомодельного решения, постановка краевой задачи. Отмечают­ся имеющиеся аналогии со случаем статистически однородного поля кон­центрации, рассмотренного в § 3.4. Важную роль в проведенном анализе играют существенно нелокальные свойства уравнения. Показано, что условие разрешимости краевой задачи позволяет найти две неизвестные функции, входящие в замыкающие соотношения. В данном, а также в сле­дующем параграфе (в нем приведено численное решение сформулирован­ной краевой задачи) преследуются две главные цели. Первая — дать обосно­вание приближенного метода исследования уравнения, описанного в § 3.5. Вторая цель – показать на примере уравнения для плотности вероятностей концентрации, что с развитием направления, предложенного в книге, могут быть связаны вполне определенные перспективы построения замкнутой теории турбулентности. По крайней мере в настоящее время удается умень­шить количество произвольных функций по сравнению с полуэмпиричес­кими теориями для одноточечных моментов. Заметим, что проведенное исследование сопряжено с большим количеством достаточно громоздких выкладок, а также с использованием ряда неформальных качественных соображений. Материал этого параграфа рассчитан в первую очередь на та­кого читателя, которого заинтересует весьма нестандартная математическая структура уравнений для плотностей вероятностей, полученных с помощью теории локально однородной и изотропной турбулентности Колмогорова – Обухова, и те возможности, которые предоставляют такие уравнения (или уравнения с похожими свойствами) в решении проблемы замыкания в теории турбулентности. Остальные читатели могут этот параграф про­пустить и сразу перейти к § 3.7, в котором приведено численное решение автомодельной задачи и в краткой форме перечислены основные результа­ты исследования уравнения.

1. Основные уравнения. Рассмотрим, как и в йредыдущем параграфе, в среднем стационарные медленно расширяющиеся свободные турбулент­ные течения, у которых есть ось или плоскость симметрии (струя, след).

Отличительным свойством таких течений является неоднородность статис­тических характеристик турбулентности, что существенно затрудняе*теоре­тический анализ уравнения для плотности вероятностей концентрации. Пре­небрежем потоком вещества в продольном направлении, т. е. будем считать, что q\ =0. Предположим, что условно осредненная скорость <u)z описы­вается уточненной зависимостью (3.18), (3.19). Тогда из уравнений (3.2) — (3.4) получим

byF byF 1 ty*<v’)syF b2F

<M>-JL+<P>JL+ ^ = _y<N) (3.58)

bx by у1 by bz2

. Это. Э7о ^ 1 Э/<«/)г=0-уо bF(0)

<u)~— +<o>— +-j——————————- = — y(N)t -—, (3.59)

bx by у by bz

97, 1 by’iv’l-.yt bF( 1)

<t<>-JI +<„>_!!.+ ^ Z-’T1 =y<N>t-±L. (3.60)

bx by у by bz

Здесь

X=Xlt y=X 2, U — U\, v = u2, v’ = v-<v),

(v’)z =(v)z —(v) = qya~1fi~1 V, qy=q2, F= V0 + s(l + <oV)~l’2, s = (z – <z »/a,

V0 = -<s(\ +C0V)-1/2 > =-7о*о О + a?2So)""1/2 -

-ylSl (1 – Ко2*?)"1’2-y fs( 1 + co2s2)"1’2 Fdz,

0

M = <s2 (1 +co2sr1/2 > = 7o*o(l + со2sly1’2 + <3’61)

+ 7i*i0 +co2s? r1/2+7 f s2(l+co2s2r1/2Fdz,

0

So =-<z )/o, Si = (1 — (z))/a.

Параметр / равен нулю для течений, имеющих плоскость симметрии, и еди­нице — для осесимметричных течений.

При решении уравнений (3.58)—(3.60), как отмечалось в начале главы, заданными считаются поле средней скорости, поток вещества и скалярная диссипация. Тем самым функции < и)9 < и), qy и (N)t далее предполагаются известными. Заметим, что поток вещества qy и средняя концентрация < z) связаны уравнением турбулентной диффузии

<и>—– +<и>—— +— ^ = 0. (3.62)

Эх by у1 by

Поэтому можно считать, что вместо потока вещества задано поле средней концентрации.

Искомыми функциями являются условная плотность вероятностей концентрациь в турбулентной жидкости F, коэффициент перемежаемости 7 и одня вероятностей 70 или 7i (другая может быть найдена с помощью 7о + 7i + 7 = 0 • Эти функции определяются из уравнения (358), од – но го из уравнений (3.59) или (3.60) и условия нормировки плотности ве­роятностей F. В коэффициенты уравнений. (3.58) —(3.60) входят интегралы от искомой функции F9 а именно величины о9 /ли V0 (см. (3.61)).Следова* тельно, (3.58)-(3.60) есть система интегро-дифференциальных уравнений.

Заранее не известна в этих уравнениях и функция со, фигурирующая в выражении для условно осредненной скорости < u)z (3.18). Эта функция, как будет показано ниже на примере автомодельного случая (дальний след, основной участок струи), находится из условия разрешимости краевой задачи. Дадим общую характеристику уравнения (3.58). Как и уравнение, проанализированное в § 3.4, оно является обратнопараболическим (роль времени играет координата х9 продольная средняя скорость < м > положи­тельна, а коэффициент при второй производной по z отрицателен). Рассмот­рим особые точки уравнения (3.58). Таких точек, как и в статистически однородном случае, вообще говоря, две – это бесконечно удаленная точка х = 00 и начало координат х = 0 (напомним, что по условию начало коорди­нат располагается на срезе сопла). Существенно, что особая точка

х = 00 может быть устранена с помощью следующей замены переменных:

оо

X = / <N)t/(u)d%9 Y = у. Действительно, если использовать известные

X

закономерности затухания величин {N)t и (и) при х (см., например, Таунсенд [1956],Хинце [1959]), то получим, что отношение (N)t/(u) про­порционально х"2 в плоской струе, х’3 – в осесимметричной и х"2 — в следе за круговым цилиндром. Следовательно, во всех случаях интеграл

оо

/ <N)tliu)d% сходится, и тем самым можно применить указанную в § 3.4

X

при анализе статистически однородного случая теорему о единственности решения задачи Коши для обратнопараболического уравнения.

Вторая особая точка х = 0 возникает в тех случаях, когда слой смешения на начальном участке струи близок к автомодельному состоянию. Тогда, как легко установить с помощью соображений размерности, < N)t и0/х, х-*0(см. формулу(3.31) в § 3.4). Асимптотика решения уравнений (358) – (3.60) для струй при х 0 найдена в § 3.7 с помощью численного метода.

Основное внимание далее в данном параграфе будет уделено анализу только главного члена асимптотического разложения плотности, вероят­ностей при х 00. Из общих соображений можно заключить, что главный член асимптотики является автомодельным решением уравнения (3.58). В пользу такого заключения свидетельствуют следующие эксперименталь­ные данные.

Хорошо известно, что в свободных турбулентных течениях моменты полей скорости и концентрации при x/d > 1 (d – ширина или диаметр сопла для струйных течений, диаметр цилиндра для следа) с большой точностью описываются автомодельными зависимостями (см., например, Таунсенд [1956], Хинце [1959]). Следовательно, аналогичное поведение должны иметь и плотности вероятностей концентрации. Эксперименты, выполненные Кузнецовым [1971], Головановым и Щербиной [1979], Ля Рю и Либби [1981], Шринивасаном [1981], Щербиной [1982], под тверждают это заключение.

Рассматриваемая асимптотика играет ту же роль, что и асимптотика (3.27) для статистически однородного случая (нетрудно видеть, что (3.27) — также автомодельное решение уравнения (3.23)).

Глобальное решение, найденное с помощью решения обратной задачи Коши, определяет те начальные условия, для которых решение прямой задачи Коши существует на полуоси х > 0 (см. аналогичные рассуждения для статистически однородного случая) . Для струй, когда в сечении на сре­зе сопла концентрация принимает только два значения z = 0 и z = 1 (z = О вне струи, z = 1 в струе), асимптотика глобального решения при х 0 яв­ляется автомодельным решением для слоя смешения.

Выведем уравнение, которому удовлетворяет автомодельная асимпто­тика уравнения (3.58) в окрестности бесконечно удаленной точки х = <». Аналогичным образом могут быть получены уравнения и для автомодель­ной задачи в слое смешения (см. Сабельников [19826]).

2. Автомодельная задача. В свободных турбулентных течениях главные члены в асимптотических разложениях средних скоростей (и) и <и> в окрестности точки х = <» имеют автомодельную форму

<u> = usu(i),<v> = UsvM, t= (3.63)

1(х)

для струй и

<u) = u0-usu(};),(v)^Q (3.64)

для дальнего следа за круговым цилиндром. Здесь us Р = (1 + /)/2, и0 — скорость на выходе из сопла в случае струйных течений и скорость свободного потока для следа, / (лг) – характерный масштаб: / (х) = х для струй, / (х) = (xd) 1/2 для следа.

Главные члены в асимптотических разложениях функций <z>, а2 и < N)t представим в виде

<z> = zsZ(g),a2 =z/Z2 (S),

Щ22 Us /d\Q

<ЛО, z, = —=(—) • (3.65)

/ Uq \X /

Согласно предположению об автомодельности главные члены в разло­жениях функций F(z, x,y), 7,7о и yi имеют вид

<z>,

х (3.66)

7 = То = 1 ~ 7, 71=0, — оо.

a

Необходимо подчеркнуть, что рассматриваемый главный член асимптоти­ческого разложения непригоден в окрестности границы фазового простран­ства z = 1 (он не удовлетворяет граничному условию F = 0, z = 1). Главный *шен асимптотики решения в этой области может быть найден, как и в ста­тистически однородном случае, с помощью метода отображений (этот метод может быть применен, поскольку уравнение (3.58) инвариантно относительно преобразования z z + const). В результате получим в


окрестности z = 1

Главный член асимптотического разложения 7i находится из уравнения (3.60) с использованием этого соотношения.

Таким образом, для определения главных членов асимптотических разложений решений уравнений (3.58) -(3.60) достаточно найти автомо­дельное решение уравнения (3.58) – функцию двух переменных/({", £)- Подставив соотношения (3.63)-(3.66) в (3.58) и выполнив громоздкие, но простые преобразования, получим уравнение для функции /(?, £):

Эт/ Э/ Э2/ А —- + Ву— = у—- +Ст/. (3.67)

Коэффициенты в уравнении (3.67) описываются следующими выраже­ниями:

A=K-’*z2tn;4i -hlflV], Zt =—,

У

. f Э* bZt 1

"llF hiJrlv]\Zt"*1*9 (3’68)

, S. b? W bZt f bW1

-’—–t-Szf* —I

\t’w bZt bW]

ai IF’*

Здесь

У

, Ik = frfd$,

2 h — У о

К = Ко + s(\ + <oV ) -:*’2, s = h($~y)y-\ (3.69)

F0 = (l -7)^(1 + a)2/!2)"1’2 + со2s2)-1/2m,

0

M = (1 – 7) A2 (1 + Л2) -1/2 + 7 / s2 (1 + w2 s2 ) – ,

о

- и) — функция тока для струйных течений, и – - для следа.

При выводе соотношений (3.69) использовалась алгебраическая связь между потоком вещества и средней концентрацией qy Ztyzsus,

полученная после однократного интегрирования автомодельного уравнения для средней концентрации (3.62).

Автомодельная функция /(?, £)» как это следует из (3.5) и естествен­ного предположения существования моментов 1к при к > 0, должна удов­летворять следующим краевым условиям:

/(0,5)-0, Urn f7/=0, (3.70)

оо

где / — произвольное положительное число. 108

3. Общие свойства уравнения для автомодельной задачи. Если отвлечься от того, что в коэффициенты А, В, С входят моменты искомой функции/, то (3.67) — параболическое уравнение. Роль времениподобной координаты в этом уравнении играет переменная £. Из теории стандартных параболичес­ких уравнений известно, что для них корректной является задача Коши, т. е. начальные условия задаются при одном значении времениподобной координаты.

Рассматриваемая задача принципиально отличается от классического случая, что обусловлено специальными свойствами коэффициента при вре* мениподобной координате. Часть этих свойств обусловлена симметрией задачи. Прежде всего, из (3.68) следует, что А = 0 при £ = 0. Кроме того, также в силу симметрии должно быть выполнено условие Э//Э5 = 0 при 5=0. Тем самым уравнение (3.67) на этой линии в фазовом пространстве вырождается в обыкновенное интегро-дифференциальное уравнение. Далее, как это видно из (3.68), А % при малых Поэтому уравнению (3.67) удовлетворяют решения вида где к – произвольное число, g -

некоторая функция. За исключением случая к = 0, такие решения физичес­кого смысла не имеют. Таким образом, линия 5=0- особая. Так как

интеграл /Л"1 расходится, то эту особенность нельзя устранить с по – о

мощью преобразования. координаты Таким образом, плотность вероят­ностей на линии £ = 0 не может задаваться произвольно (здесь ситуация похожа на ту, которая имеет место при определении в § 3.4 асимптотики решения при t в статистически однородном случае и при х->0 в струях; см. §3.7).

Аналогичная ситуация возникает и на линии £ = Для пояснения обра­тимся к уже неоднократн9 упоминавшимся измерениям условно осреднен­ных моментов поля концентрации в турбулентной жидкосш (Беккер, Хотгел и Вильяме [1967]). Результаты этих измерений изображены на рис. 1.3, 1.4, из которых видно, что отклонения от статистической однород­ности в турбулентной жидкости при установившемся равновесии весьма незначительны. Например, измерения, выполненные Беккером, Хоттелом и Вильямсом [1967] в затопленной осесимметричной струе, показывают, что при изменении у)х в диапазоне 0,16—ОД6 коэффициент перемежаемости изменяется в 30 раз, средняя концентрация меняется в 60 раз, в то время как условно осредненная концентрация в турбулентной жидкости (z)t меняется всего в два раза (см. рис. 1.4). Безразмерная величина ot/(z)t — интенсивность пульсаций концентрации в турбулентной жидкости – в этих опытах в указанном диапазоне у/х практически постоянна. Аналогичные результаты получены и в других экспериментальных работах (ЛяРю и Либби [1974], А|<тониа, Прабху и Стефенсон [1974], Фабрис [1979а, б]). Осциллограммы "замороженных" профилей темпе­ратуры, полученные в затопленной плоской струе Уберои и Сингхом [1975] и приведенные на рис. 1.1, также согласуются с описанной выше картиной.

Тем самым можно заключить, что в турбулентных потоках достаточно быстро устанавливается подвижное равновесие между двумя конкури­рующими процессами – захватом нетурбулентной жидкости и смешением до молекулярного уровня вещества, захваченного из окружающей среды, с веществом, вытекающим из сопла.

Из физических соображений понятно, что каждый акт захвата нетурбу­лентной жидкости может только увеличить неоднородности в распределе­нии гидродинамических величин в турбулентной жидкости. Молекулярное смешение, напротив, способствует установлению однородности. Как пока­зывают измерения, суммарная скорость захвата нетурбулентной жидкости не зависит от числа Рейнольдса при Re > 1 (Таунсенд [1956]). Следователь­но, из двух рассматриваемых процессов захват нетурбулентной жидкости является лимитирующим. Смешение до молекулярного уровня, если так можно выразиться, подстраивается под изменение скорости захвата соот­ветствующей перестройкой мелкомасштабной структуры турбулентности (см. аналогичные соображения в работе Броудвела и Брайденталя [1982]).

На основании вышеизложенного естественно предположить, что при £ оо ВСе безразмерные комбинации условно осредненных моментов в турбулентной жидкости стремятся к конечным значениям. Ясно, что это возможно только в том случае, когда функция /(f, £) имеет конечный предел при £ т. е. справедливо соотношение

lim /(f, £) = /„«% <3-71>

£-оо

Подчеркнем, что предположение (3.71) слабее простого допущения о полной статистической однородности в турбулентной жидкости, так как из соотношения (3.71) вытекает, что моменты <zk)t (к > 0) могут зависеть от поперечной координаты. у (<z >f зависит от у).

Коэффициенты в (3.67) должны иметь такой вид, чтобы (3.67) на ли­нии £ = 00 вырождалось в обыкновенное интегро-дифференциальное урав­нение. Функция определяется из этого уравнения. Следовательно, как и на линии £ = 0, функцию / на линии £ =°° нельзя задать произвольно.

Таким образом, линия £ = 00 – также особая, и эт^ особенность неустра-

оо

нимая. Этот вывод формально обусловлен тем, что интеграл f A

S

расходится. Действительно, из приведенного ниже выражения (3.96) следу­ет, что А Z (dZ /d%yl, т. е. J A’1 d\ InZ. Поэтому уравнению (3.67) удовлетворяют решения вида Zk0($), где в – некоторая функция. При к < 0 эти решения не имеют физического смысла.

Помимо указанных выше свойств, коэффициент А в (3.67) обладает еще одной, весьма нетривиальной особенностью. Она связана с^еометрией областей его знакопостоянства. Для упрощения рассмотрения этого вопро­са будем здесь считать, что условно осредненная поперечная скорость <u>z описьюается линейной зависимостью (3.16), т. е. в (3.69) надо положить V0 = со= 0, д=1, V — s. Такое предположение вполне оправдано при выяв­лении качественных особенностей задачи, поскольку, как установлено в § 3.3, линейная зависимость весьма удовлетворительно описывает экспе­риментальные данные в диапазоне амплитуд пульсаций \z — <z>| < 1,5 а.

Приняв это предположение, из соотношения для коэффициента А в (3.68) нетрудно найти области знакопостоянства А. Они описываются

следующими неравенствами*

А> 0 ПрИ 0<Г </2(S), 0<|<оо;

А< О при /2(5)<Г<«>, 0<5<оо; (3.72)

Л=0 при 1=0, *=оов Г=/2(5).

Теперь заметим, что второй момент /2(5) является ограниченной функ­цией | при 0 < £ (ограниченность при % =°° вытекает из предположе­ния (3.71)), т. е. h < Кроме того, из определения /2 имеем


<z2>,

h =

= 1 +

a?=<(z-<z>f)2>„

<z>2 ‘ <z>?

т. е. справедливо неравенство /2 > 1. Таким образом, заключаемого области


А>0

Рис. 3.13. Схема областей знакопостоянства коэф­фициента при времениподобной координате в урав­нении (3.67). Для удобства изображения асимптоти­ческого вида области при £ -*• °° использована заме­на переменной, переводящая бесконечно удаленную прямую % = «• на конечное расстояние от начала ко­ординат


знакопостоянства А неограничены в направлении качественный вид этих областей иллюстрируется рис. 3.13. Влияние отклонения функции <v)z от линейной зависимости (3.16) в области больпщх амплитуд пульса­ций концентрации на расположение в фазовом пространстве линии, на ко­торой коэффициент А обращается в нуль, проанализировано в пунктах 5 и 6 данного параграфа. Там показано, что это влияние не меняет качествен­ного вида областей знакопостоянства А.

На основании проведенного анализа можно заключить, что оба направле­ния по времениподобной координате £ для параболического уравнения (3.67) равноправны. Таким образом, по-видимому, для этого уравнения следует ставить краевую задачу не только по переменной f, но и по коор динате

Найденные свойства коэффициента А и наличие особых линии £ = 0 и £ =°° указывают на то, что уравнение (3.67) обладает существенно нело­кальными свойствами. Остановимся на этом моменте более подробно. Рассмотрим для определенности малую окрестность особой линии 5=0. Напомним, что на этой линии (3.67) вырождается в обыкновенное интегро- дифференциальное уравнение, решением которого является функция /(?,. 0). В окрестности линии 5=0 можно построить ряд Тейлора по пере­менной 5 для искомого решения/(?, 5). Коэффициенты этого ряда зависят от переменной? и также удовлетворяют обыкновенным интегро-дифферен – циальным уравнениям. Однако в общем случае такое решение не будет удовлетворять условию (3.71) и будет особым в окрестности линии £ =°°. Так, не исключен случай, когда lim 7 = lim / = °°. Отсюда вытекает

£ -»оо £ —Юо

что условие (3.71) удовлетворяется лишь при определенной связи между коэффициентами в уравнении (3.67). Такая связь, очевидно, получается из решения краевой задачи по переменной £ и, следовательно, носит нело­кальный характер. Заметим, что этот результат в некотором смысле анало­гичен условию разрешимости двухточечной краевой задачи для обыкновен­ного линейного дифференциального уравнения второго порядка со сво­бодным параметром, входящим в коэффициенты уравнения. Такая задача, как хорошо известно, разрешима лишь при определенных значениях сво­бодного параметра. Отличие состоит в том, что (3.67) — уравнение в част­ных производных, для которого краевые условия задаются на линиях £ = О и £ = и здесь условие разрешимости краевой задачи позволяет найти целую функцию.

Кроме рассмотренной существует вторая связь между коэффициентами в (3.67). Она вытекает из условия нормировки функции/(f, £), имеет вид интегрального уравнения /0 = 1 и, следовательно, также носит нело­кальный характер. Заметим, что условие Л = 1, вытекающее из определе­ния условно осредненной концентрации в турбулентной жидкости <z>f, выполнено при /0 = 1 автоматически. Чтобы доказать это, уравнение (3.67) следует умножить на f и проинтегрировать по f от нуля до беско­нечности. Из полученного в результате дифференциального уравнения для 1\ нетрудно показать, что 1{= 1, если только /0 = 1.

В заключение пункта укажем, что параболические уравнения с аналогич­ными свойствами коэффициента при времениподобной координате встре­чаются в асимптотической теории отрыва пограничного слоя (Нейланд [1971], Сычев [1972], Стюартсон [1974]) и в теории нестационарного пограничного слоя (Стюартсон [1951], Холл [1965], Уонг [1983]).

4. Постановка краевой задачи. Приведенные в предыдущем пункте соображения нося* качественный характер, и их нельзя, разумеется, рас­сматривать как строгое доказательство существования решения уравне­ния (3.67). Основная цель этих рассуждений состояла в том, чтобы пока­зать, что для параболического уравнения (3.67) корректной (в математи­ческом смысле) может быть только краевая по времениподобной коор­динате задача (т. е. дополнительные условия должны ставиться при двух значениях времениподобной координаты £ = 0 и £ = °°). Условия симметрии и результаты проведенного выше, исследования приводят к следующей постановке краевой задачи. В области 0<£<°°, 0<f<°° ищется неотри­цательная функция /(£,£), удовлетворяющая уравнению (3.67) и условиям

/(0,£)=0/ lim

f-oo ‘

Э2/+,/«\ 0)

=0, / = 0,1,2,…, (3.73)

нш яг, £)=/оЛГ), /0 = 7т=1.

О


Напомним, что поля средних скоростей (т. е. функция Ф), средней концентрации Z и скалярной диссипации nt считаются заданными. В коэф­фициенты уравнения (3.67), помимо указанных величин, входят две зара­нее не известные функции одной переменной – коэффициент перемежае- мости?(£) и функция со(£), характеризующая процесс турбулентной диф­фузии (она входит в уточненное в области больших амплитуд пульсаций концентрации выражение (3.18) для условно осредненной скорости <u>z). В формулах (3.68) и (3.69) для коэффициентов уравнения (3.67) фигури­руют также величины /х, К0, 2, которые известным образом выражаются через различные интегралы от плотности распределения вероятностей. Две указанные неизвестные функции находятся из двух дополнительных свя­зей, которые вытекают из следующих условий.

Первое — это условие разрешимости краевой задачи по времениподобной координате Вторая связь между у и со дается условием нормировки (по­следнее условие в (3.73) ).

Следует особо отметить принципиальную роль, которую играет требова­ние неотрицательности / в условии разрешимости краевой задачи. Характер ограничений, вытекающих из этого условия, будет хорошо виден на приме­ре изложенного в пунктах 5 и 6 данного параграфа анализа уравнения (3.67) на особых линиях £ = 0 и £ = °°. Для определенности рассмотрим линию £ =°°. Проведенный в пункте 6 анализ показывает, что на этой линии су­ществует счетное множество решений, из которых лишь одно (неотрица­тельное) имеет смысл (см. также § 3.5, пункт 3). Можно ожидать, что аналогичная ситуация возникает и при решении общей краевой задачи (3.73). Численный расчет (см. § 3.7) подтверждает этот вывод. Поэтому условие неотрицательности решения играет важную роль в сформулиро­ванной краевой задаче.

Таким образом, функция со, характеризующая особенности крупно­масштабного процесса турбулентного переноса концентрации примеси, находится из условия разрешимости краевой задачи, т. е. рассматриваемый процесс носит существенно нелокальный характер/ Развиваемый подход, следовательно, дает возможность учесть нелокальное влияние крупно­масштабных пульсаций на турбулентное смешение.

В заключение этого пункта отметим, что сформулированная краевая задача существенно отличается от описанных в литературе краевых задач для параболических уравнений смешанного типа (см., например, Вентцель [1975], Кислов [1980]). Имеющиеся здесь теоретические результаты относятся к уравнениям, которые рассматриваются в ограниченных прямо­угольных областях, не имеют особенностей, а линия, на которой меняется тип уравнения, заранее известна.

Численное решение сформулированной краевой задачи получено в § 3.7. Это решение служит пока единственным доводом в пользу существования решения уравнения (3.67). Чтобы понять качественную структуру решения уравнения, проанализируем в остальных пунктах параграфа решения на особых линиях £ = 0 и £ =

5. Решение на особой линии £ =0. Поскольку А =0 при £ =0, то из (3.67) получим

/"+«if/’+«i(l +Лм_1К)/=0, К= К0 +s(l + co2s2)"1/2, (3.74)

Л2 Z2 у ynt

где ах =—— , И2 = —г = ———– , т = —— для струй, т = 2уnt/22

ут X2 h-1

для следа; штрихом в (3.74) обозначено дифференцирование по


Физический смысл параметров т и Л в уравнении (3.74) был рассмотрен в § 3.5. Напомним, что т равно отношению удвоенной скалярной диссипа­ции к абсолютному значению адвекции, a h обратно пропорционально ин­тенсивности пульсаций концентрации. В анализируемых здесь течениях, как указано в § 3.5, т> k в дальнем следе за круговым цилинд­

ром, т^ 1,8 в плоской струе, в осесимметричной струе в спутном

пбтоке. Значения параметра h лежат в диапазоне 4—5, т. е. h — достаточно большая величина.

Укажем вначале общие свойства решения уравнения (3.74). Из них, по-видимому, главное значение имеет то свойство, что нетривиальное ре­шение уравнения (3.74) существует только при выполнении строгого нера­венства 7 < 1. Этот важный вывод следует из соотношения, которое полу­чится, если (3.74) умножить на f, проинтегрировать по f от нуля до бес­конечности и воспользоваться условием нормировки


/’(0) = M/i

-1

]s(\ +co2s2r1/2/dЈ + /*0 +u2h2rl/2 (1 -7). (3.75) о J


Отсюда видно, что /’(0) = 0 при 7=1. Поскольку /(0) = 0, то при у = 1 существует только тривиальное решение. Таким образом, из развиваемой теории следует, что 7 < 1 во всех точках потока, хотя это неравенство и не исключает существования протяженных областей, в которых разность 1—7 ничтожно мала. Далее в этом пункте будет показано, что 1 — 7 при h

Продолжим обсуждение общих свойств уравнения (3.74). Найдем, от какого количества параметров зависит его решение. Воспользуемся для этого следующими рассуждениями. Будем считать, что значения величин со, Л, 7, ди К0, входящих в коэффициенты (3.74), пока совершенно про­извольны и, следовательно, (3.74) — линейное дифференциальное уравне­ние. Тогда, используя стандартные методы, легко установить, что одно из линейно независимых решений этого уравнения убывает при f экспоненциально (пропорционально ехр(— 1Аах$г)), а второе — степенным образом (пропорционально f"’, / = 1 + Л/Г1 |со Г1). Следовательно, гра­ничное условие lim $kf = 0 в (3.73) нетривиально, а краевая задача раз – f 00

решима при отдельных значениях со. Условие неотрицательности функции /(?» 0) будет выполнено только при одном из этих значений. Найденная таким образом величина со и функция /(f, 0) содержат неизвестные Л, 7, V и V0 в качестве параметров. Поскольку при заданных Л, 7, М и V0 уравне­ние (3.74) линейно, а граничные условия (3.73) однородны, то функция /(£> 0) определяется с точностью до произвольного множителя. Теперь примем во внимание, что функция /(f, 0) должна быть нормирована, а в выражения для величин jtz, V0 и h входят интегралы от /(f, 0) (см. (3.69)). Из этих условий получим систему из четырех нелинейных уравне­ний для пяти неизвестных: ju, V0,h9 7 и упомянутого произвольного множи­теля. Таким образом, решение уравнения (3.74) находится с точностью до одного параметра. В качестве такого параметра удобно выбрать коэффи­циент перемежаемости. Связь между 7 и Л при этом дается соотношением (3.75).

Проведенный анализ позволяет, во-первых, понять роль, которую играет предложенное в § 3.3 уточнение линейной зависимости условно осреднен­ной скорости (и)2 в области больших амплитуд пульсаций концентрации при определении неотрицательного решения, и, во-вторых, выявить причину осциллируемости решений уравнения при использовании линейной зависи­мости (3.16) для <и>2. Уравнение для этого случая получается из (3.74), если в нем положить F0 = о>= 0, м = 1, V = s. Тогда оба линейно независи­мых решения уравнения удовлетворяют граничному условию lim = О

и, следовательно, краевая задача разрешима всегда. Именно это обстоятель­ство и ответственно за то, что нельзя удовлетворить требованию неотрица­тельности функции / (напомним, что рассматривается случай т > 1).

Проанализируем асимптотическое разложение решения уравнения (3.74) по целочисленным степеням малой величины И~1 при h

Рассмотрим вначале асимптотику решения, пригодную вне малых ок­рестностей точек f = 0 и f = Перед этим заметим, что анализ равномер­ной асимптотики, результаты которого приведены ниже, показывает, что разность 1—7 экспоненциально мала при h -*<». Следовательно, при опре­делении асимптотики в коэффициентах уравнения (3.74) можно положить

7=1.

Сделаем в (3.74) замену переменныхg(s) =/i"1/(f),5 ~/i(f – 1). Урав­нение для функции g имеет вид

mg" + (s + /*)#’ + (Л/Г1 V+ l)g= О,

V-Vq +s(1 +О>2*2)-1/2,

Fo = – J s(\+a>2s2rll2gds, (3.76)

—h

-h

g = 0, s = s = оо

Здесь штрихом обозначено дифференцирование по s.

Уравнение (3.76) отличается от уравнения, проанализированного в § 3.5, лишь коэффициентом перед функцией g. Поэтому, чтобы не повторять здесь анализ асимптотики, остановимся только на различиях, которые воз­никают вследствие уточнения функции (и)2 в области больших пульсаций концентрации. Как и § 3.5, асимптотики решения и собственного значе­ния со ищем в виде рядов

^ = + (3.77)

co = h~lЈli +/Г3$23 + …

Тогда, как это следует из (3.76), асимптотические разложения величин v0 и д имеют вид

Vq-Vi SI2 A h~2 +…,

М= 1-ЙП?(3+Я)А"2 + …, (3.78)

А =А0 +Axh~l +…, Е = Е0 + Exh’1 + E2h~2 + …

Здесь А и Е — коэффициенты асимметрии и эксцесса соответственно, т. е.

A = fs3gds, E = fs*gds-3.

При выводе соотношений (3.78) учитывалось, что функция g должна удовлетворять следующим условиям:

fgds = fs2gds = 1, fsgds = 0.

Подстановка рядов (3.77) и (3.78) в уравнение (3.76) и приравнивание нулю коэффициентов при последовательных степенях h дают рекуррентную систему уравнений для функций g ^, к = 0,1,2,… Уравнения для первых двух из этих функций совпадают с выписанными в § 3.5 уравнениями (3.41) и (3.42), т. е. g^ описываются выражениями (3.44). Чтобы

получить уравнение для функции g^, надо в правую часть (3.43) добавить член 1А12?(j3 -3s)gw.

Таким образом, уточнение зависимости <и>2 в области больших пульса­ций концентрации сказьюается на решении, начиная только с третьего члена асимптотического’ разложения. Функция g ^ по сравнению с (3.44) имеет дополнительное слагаемое, равное %Јl2s2(lAs2 — 3) g^ . Теперь ясно, что главный член асимптотики для коэффициента асимметрии по-прежнему описывается формулой (3.45) из § 3.5, т. е. А0 = 0,Ах =2(1 – т) в (3.78). Выражение для главного члена асимптотики коэффициента эксцесса отли­чается от (3.45) из-за дополнительного слагаемого в выражении для функ­ции g ^, как показывают вычисления, на величину 154 £2, h~2, т. е.

15

iio =0, Е2 =6(1 – т) + —О?. (3.79)

8

В связи с полученным выражением для коэффициента эксцесса необхо­димо заметить следующее. Как было найдено в § 3.5, при использовании линейной зависимости (3.16) для iu)z теоретические значения коэффи­циента эксцесса сильно отличаются от экспериментальных. Не совпадают даже знаки — теория дает Е < 0, а в эксперименте Е> 0. Поэтому обнаде­живающим фактом является то обстоятельство, что дополнительный вклад в коэффициент эксцесса, обусловленный уточнением линейной зависимости для <ti)z в области больших пульсаций концентрации, имеет положитель­ный знак. Чтобы определить количественно величину этого вклада, надо знать 12,, входящую в (3.79).

Значение 12, находится из рассмотрения равномерной асимптотики решения уравнения (3.74) на всей полуоси f > 0. Забегая несколько впе­ред, отметим, что одним из результатов исследования этой асимптотики является вьюод, что при т^ 1,6 коэффициенты 12х и 12 3 в асимптотичес­ком ряде (3.77) для функции со принимают весьма большие значения. Так, например, 12j = 5,33, 123 = 300 при т = 2,6. По этой причине равно­мерная асимптотика, вообще говоря, малопригодна для количественных оценок при т> 1,6 и Л = 4 — 5. Это обстоятельство не умаляет значения равномерной асимптотики как средства исследования качественных осо­бенностей решения. Для получения же количественных результатов в этих случаях необходимо обращаться к численному решению краевой задачи.

Приступим к анализу равномерной асимптотики. При этом, учитывая сделанное замечание, ограничимся изложением главных этапов анализа.

Здесь, как и при рассмотрении неравномерной асимптотики, в коэффи­циентах уравнения (3.74) можно также положить 7=1. Разность 1—7 находится с помощью соотношения (3.75), после того как определена асимптотика решения.

Сделаем в (3.74) замену переменных

Уравнения и граничные условия для функции П имеют вид II"-Л4 fill = 0.

e-LfJl-rvK—L).

т\4т 2h / (3в80)

V0 +s( 1 +a>V)-1/2, s = h($- 1). П = 0. f=0, f = oo

В уравнении (3.80) содержится большой параметр, и его решение можно представить в виде асимптотического ряда (см., например, Федорюк 11983]). Далее ищется только главный член этого ряда. Для этой цели достаточно учесть два члена в разложении функции Q:


Go 4

i2 1

J (3.81)

Qi =– *2m – i? d9ata3,

d = [1 + I)2]"1’2-

При выводе (3.81) учтены разложения (3.77), (3.78).

Нетрудно видеть, что неотрицательное решение краевой задачи (3.80) при h 00 существует только в том случае, когда функция Go неотрица­тельна и касается полуоси f > 0 или, другими словами, уравнение (3.80) имеет точку поворота второго порядка. Действительно, если справедливо строгое неравенство Q0 > 0, f > 0, то однородным краевым условиям удовлетворяет лишь тривиальное решение П = 0. С другой стороны, если имеются области, где Q0 < 0, то решение окажется сильно осциллирующей функцией.

Координаты точки поворота f „ и параметр 121 находятся из уравнений, соответствующих условию касания Q0 с полуосью f > 0: Q0 = Qo = 0, J* = Решение этой системы при различных значениях параметра т > 1 показано на рис. 3.14.

Последующая процедура определения главного члена асимптотики реше­ния при наличии точки поворота хорошо известна (см., например, Морс и Фешбах [1953]). Вначале нужно найти внешнее разложение решения. Это разложение является линейной комбинацией двух линейно независимых квазиклассических решений уравнения. Для краткости это разложение здесь не выписано. Оно пригодно вне малой окрестности точки поворота.

асимптотического решения (3.74). Кривая и)h найдена с помощью численного реше­ния (3.74) при Л =4,75

Затем находится внутреннее (локальное) разложение, справедливое в малой окрестности точки поворота. Для точки поворота вто­рого порядка внутреннее разложение выражается через функ­ции параболического цилиндра (Морс и Фешбах [1953]). Анализ пока­зывает, что сшивка двух разложений возможна, если значение 123 (с точ­ностью до экспоненциально малых членов) равно корню уравне­ния v = О, где v = – Й – q2(tn) [2Qo (fw)]"1/2 – индекс функции параболического цилиндра. Зависимость £23 от параметра т показана на рис. 3.14.

Отметим, что внутреннее разложение фактически необходимо только для определения значения 123, так как в соответствии с тем, что функция g незначительно отличается от гауссовской, основное изменение решения при h 00 происходит в области | s | ^ 3, т. е. в малой окрестности | f — 1 | ^ З/h точки f = 1, а расстояние от точки перехода f„ до точ­ки f = 1 от h не зависит. Отсюда заключаем, что все особенности решения можно описать с помощью внешнего разложения в области 0<f <f„. Две постоянные в этом разложении можно найти, используя граничное усло­вие / = 0, £ = 0 и условие нормировки (при этом вычисление интеграла производится с помощью метода перевала). Окончательное выражение для главного члена асимптотики решения имеет вид

/ = CQ-1/4[exp(/iV1 + 72)-exp(-^/1-/2)]exp^^r2), Г

МП =

о

МП = Т /G2<2o-,/2rft.0 < г < ?„, (3.82)

2 о

(2тг)-1/2А,

Второе слагаемое в квадратных скобках в выражении для / необходимо учитывать только в малой окрестности точки £ = 0.

Получим теперь с помощью (3.82) связь между коэффициентом пере­межаемости у и параметром Л. Для этого вычислим производ­ную /’ при f = 0 и подставим результат в левую часть соотноше­ния (3.75). Если учесть, что предел правой части (3.75) при h 00 равен /?4m-1(l+S2i (1 —7), то в результате найдем

Из формулы (3.83) следует, что разность 1 — у экспоненциально мала. Тем самым предположение, использованное при получении главного члена асимптотического разложения, доказано.

В соответствии с соотношением (3.83) малые значения интенсивности пульсаций концентрации (т. е. большие значения Л) на оси или плоскости симметрии обусловлены тем обстоятельством, что в этой области роль перемежаемости мала.

В случае, если (u)z описывается линейной зависимостью (3.16), т. е. Sli = £23 = 0, вычисление дает

В результате получим формулу (3.46), приведенную в § 3.5.

Рис. 3.15. Рассчитанные значения интен­сивности пульсаций концентрации, коэф­фициентов асимметрии и эксцесса в турбулентной жидкости и функции и> на плоскости симметрии в следе за круго­вым цилиндром

Обратимся теперь к некоторым из результатов численного интегрирова­ния уравнения (3.74). Они приведены на рис. 3.14 и 3.15. На рис. 3.14 изображена зависимость функции со от параметра т для случая h = 4,75 (т. е. при a/<z > = 0,21 – значении, характерном для струйных течений). При т = 2,6 (след за круговым цилиндром) имеем со ^ 0,52. Это значение можно считать достаточно малым. Действительно, из выражения (3.18) заключаем, что основное отклонение условно осредненной скорости от линейной зависимости (3.16) происходит вне интервала \ s | 1/со « 2, т. е, практически вне области основного изменения плотности вероятностей.

С уменьшением параметра т, как это видно из рис. 3.14, значение со падает и, следовательно, интервал значений концентрации, где для <i#>z применима линейная зависимость, увеличивается. Обсуждение поведения функции со будет продолжено в § 3.7 после численного решения краевой задачи.

На рис. 3.15 представлены рассчитанные зависимости интенсивности пульсаций концентрации ot/(z)t9 коэффициентов асимметрии At и эксцесса Et, а также функции со от коэффициента перемежаемости для случая т = 2,6, что соответствует течению в следе за круговым цилиндром.

Сравним теоретические и экспериментальные значения коэффициентов асимметрии и эксцесса. Измерения A t и Et в следе выполнены Ля Рю и Либби [1974]. В этих опытах получены значения At = -0,4 и Et =0,1. Интенсивность пульсаций концентрации a/<z> составляла 0,21, t. e. A = 4,75. Поскольку здесь можно пренебречь различием безусловных и условных средних, то atj {z )t % 0,21. Согласно результатам расчета, изо­браженным на рис. 3.15, при такой интенсивности пульсаций концентрации 1 — 7 % Ю-"3, At = —0,5, Et = 0,13. Можно заключить, что рассчитанные значения A t и Et хорошо согласуются с измеренными Ля Рю и Либби, Напомним здесь, что, как показано в § 3.5, использование линейной зависи­мости для {и) z дает для коэффициента эксцесса значение/Г = —0,43. Таким образом, уточнение линейной зависимости <u)z в области больших амплитуд пульсаций концентрации позволяет устранить большое различие между теоретическим и экспериментальным значениями коэффициента эксцесса.

Непосредственное сопоставление рассчитанного и измеренного значений коэффициента перемежаемости произвести не удается, так как в опытах эта величина пока не измерялась с нужной точностью.

В заключение пункта рассмотрим влияние отклонения функции <w>. от линейной зависимости (3.16) на положение линии £0(£)> на которой коэффициент А при времениподобной координате % в уравнении (3.67) обращается в нуль. Вид этой линии, как установлено в пункте 3, в значи­тельной степени определяет качественные свойства уравнения (3.67). На­помним, что для линейной зависимости (3.16) fo(Ј) = hd) (см- пункт 3). В рассматриваемом случае уравнение линии £<>(£)> как это видно из выражения для А в (3.68), можно записать в неявной форме

A[F0+S(1+COV)-1/2]^M, S = (3.84)

Найдем асимптотику решения этого уравнения на линии % = 0 при А оо. Подставим в (3.84) разложения (3.77), (3.78). В результате получим

fo = 1 +7Г2 —5 П?(3 +А г )А"4 + …, £ = 0,

L (3.85)

А | =2(1 – т).

Поскольку /2 = 1 + А"2, то из (3.85) заключаем, что при А « 5 значе – ние f0 (0) практически совпадает со вторым моментом.

6. Решение на особой линии £ = Одно частное реше**" равне­ния (3,67) на особой линии £ – <», удовлетворяющее нию (3.71), с помощью нестрогого метода было получено в § 3.5. Функ­ция /«,(£)> соответствующая этому решению, имеет вид (3.53).

В этом пункте проведено строгое исследование уравнения (3.67) на линии % = оо. Такое исследование позволяет, во-первых, выяснить ограни­чения, при которых справедливо решение, полученное в § 3.5, и, во-вторых, найти другие решения на линии £ = В основе исследования лежит предположение (3.71). Его физическое обоснование содержится в пункте 3 данного параграфа. Полезно рассмотреть указанное предположение и с другой, формальной точки зрения. Согласно ей главный член асимптотического разложения функции /(f, £) в окрест­ности линии £ = оо описывается автомодельной зависимостью, т. е.

/(Г, £) Hfilf»(SllZfia), % и /32 – постоянные. Функция /

должна удовлетворять условию нормировки и следствию из определе­ния <z)t’

/0 = 1, А = 1, h = ffikd{, * =0,1.

о

Нетрудно видеть, что это возможно только, если рг = 02 ~ 0. В результате получаем предположение (3.71).

Приступим к анализу уравнения (3.67) на линии % = оо. Ясно, что пред-

9/

положение (3.71) выполнено лишь в том случае, когда lim А— = 0

£ – оо

(действительно, если это условие нарушается, то функция / зависит от £ при £ -> оо). В этом случае уравнение (3.67) на линии £ = оо приобретает вид

С + МО/: + «о ("ПЛ. = 0, (3.86)


НН

<*! = —lim В, а о – lim

оо «


штрихом в (3.86) обозначено дифференцирование по f.

Легко установить, что краевая задача /«, = 0, f = 0, f = оо разрешима только тогда, когда а0 Ф 0. Действительно, в противном случае из (3.86) следует

К

/J(f) =/oI(0)exp[ S«i(t)dt], о

т. е. производная fj не меняет знака на полуоси f > 0 и тем самым

Ф 0 при f = оо.

Отсюда заключаем, что хотя бы одно из слагаемых, фигурирующих в выражении для коэффициента а0, должно быть отлично от нуля. Коэффициенты а0 и а х в (3.86) определяются главными членами асимптотических разложений средней концентрации Z, скалярной диссипа­ции в турбулентной жидкости функции функции со и коэффи­циента перемежаемости у в окрестности бесконечно удаленной точки £ = оо.

Наиболее просто решается вопрос об асимптотике функции ^ Имеем ^ = I в следе за круговым цилиндром, ^ const при | °° — в струях (см., например, Шлихтинг [I960]). Главный член разложения средней концентрации в соответствии с экспериментальными данными представим в следующем, достаточно общем виде:

Z zeexp [-?,(*)]. % (3.87)

Предэкспонент Z 0 в этом выражении стремится к нулю или бесконечности

пРис. 3.16. Профиль условно осредненной скалярной

диссипации по вполне-турбулентной жидкости в следе 3за круговым цилиндром, вычисленный по данным

измерений безусловно осредненной скалярной дис – 2сипации Фреймуса и Уберои [1971], и коэффициента

перемежаемости – Ля Рю и Либби [1974]. Условия опытов Ля Рю и Либби те же, что и на рис. 1.14. 7Условия опытов Фреймуса и Уберои: xjd – 1140,

= uQd/v =960, d =0,28 см, u0 =6,1 м/с, xl0 = = – SOd, nt N)tjxl – xl0)2/u0d, n = ( N) – 0 0,4 0,6 € о) Vu0d9 <AO = 7<AOf, Ј = x2/\/(*, ~xl0)d

слабее, чем некоторая степень Измерения в осесимметричной струе, результаты которых приведены на рис. 1.3, вдзволяют заключить, что здесь P\{k) £2. Можно ожидать, что и в других течениях функция рх близка к квадратичной.

Определяющее значение в дальнейшем исследовании имеет асимптотика условно осредненной скалярной диссипации в турбулентной жидкости. Зададим эту асимптотику, опираясь на экспериментально установленное свойство слабого изменения условно осредненных. величин (см. §.§ 1.1, 3.5 и пункт 3 данного параграфа). В соответствии с этим свойством естест­венно считать, что главный член асимптотики функции nt имеет такой же характер, что и предэкспоненциальный множитель Z0 в асимптотике (3.87) для средней концентрации, т. е.

const < nt < const, £ «о. (3.88)

Здесь кх и к2 – некоторые постоянные, которые могут быть как меньше, так и больше нуля. Принятое предположение не противоречит известным к настоящему времени экспериментальным данным, представленным на рис. 1.7 и 3.16. На рис. 1.7 приведены результаты прямых измерений услов­но осредненного квадрата производной температуры в следе за круговым цилиндром (Фабрис [1979а, б]), а на рис. 3.16 – профиль скалярной дис­сипации в следе, найденный косвенным путем с помощью пересчета по формуле <N)t = (N) Iу из данных двух экспериментальных работ (измерения <N> проведены Фреймусом и Уберои [1971], измерения у — Ля Рю и Либби [1974]).

Необходимо, однако, специально подчеркнуть, что предположение (3.88) основано пока на небольшом количестве экспериментальных данных. Поэтому, вообще говоря, нельзя полностью исключать вероятность того, что в ряде случаев асимптотика скалярной диссипации будет описываться

соотношением, отличающимся от (3.88). Соответствующий этим случаям анализ проведен в работах Кузнецова и Сабельникова [19816] и Сабель­никова [19826].

Условие с*о Ф 0, как это видно из соотношения для коэффициента А в (3.68), выполнено, если

1 dy Ф Z2

- — & — (3.89)

У d$ nt

t-Ц1. A-f

Здесь а — некоторая положительная постоянная.

Главный член асимптотики коэффициента перемежаемости находится из (3.89). Если учесть (3.87) и (3.88), то после интегрирования (3.89) получим

dPl 11/2 dPi

7- Z. -£->0 (3.90)

Из этой формулы следует, что главный член разложения условно осреднен­ной по турбулентной жидкости концентрации равен

Z

z<-y

dpx № Г1/2

(3.91)

[d% %lnta J

В правую часть (3.91) входят медленно меняющиеся (по предположению) функции. Следовательно, уменьшение условно осредненной концентра­ции Zt с ростом £ происходит весьма слабо. Этот результат находится в соответствии с указанным выше свойством слабого отклонения от статистической однородности во вполне турбулентной жидкости. Согласно этому свойству быстрое изменение безусловно осредненных величин пол­ностью определяется коэффициентом перемежаемости.

Отметим, что формула (3.91) и вместе с ней проведенный анализ имеют смысл при некотором ограничении сверху на функцию nt, Это ограничение можно получить, если учесть, что должно быть выполнено неравенство Zt < 1. Последнее выполняется, если

dpx

В частности, если рх ~ £2, £ -*«>, то nt < const £2 для следа за круговым цилиндром, nt < const £ для плоской и nt < const для осесимметричной струй. Ограничение (3.92) не является слишком сильным, если принять во внимание исходное допущение (3.88).

Теперь осталось задать главный член асимптотики функции со, входящей в формулу (3.18) для условно осредненной скорости <и>2, Будем счи­тать, что он описывается следующей зависимостью:

(3.93)

Здесь — постоянная, Для пояснения (3.93) отметим, что вид главного члена разложения w выбран из условия, что существует конечный предел

при % оо произведения u s1, s =-------- -— = h—— , /г = g2 =

, фигурирующего в (3.18). Если справедливо (3.93), то

<oV f2, % -*oo.

Подстановка главных членов разложений функций % Z, со, 7 и nt (3.87), (3,88), (3.90), (3.93) в выражения для коэффициентов А, В. и С в (3.68) дает такой результат:

lim Я = lim С = 0,

£—>■00 £ —* оо

lim - — А = НО +oЈf2)-1/2 -а, (3.94)

7

/г/" о

Отсюда для коэффициентов а0 и otx в уравнении (3.86) получим

«о 1 + <*£Г2Г1/2 + *, =0. (3.95)

Перед тем как выписать окончательное уравнение для функции, рас­смотрим асимптотику коэффициента А перед производной по времени­подобной координате Эта асимптотика позволит установить особый характер линии % - 00, а также найти предельное значение, к которому стремится уравнение линии, на которой коэффициент А обращается в нуль. Из (3.94) следует, что главный член асимптотики А имеет вид


-От)" -(f)"

[H(l+"if2)-1/2--a], (3.96)


Используя выражение (3.96), получим, что fA~ld%~~\nZ. Поскольку InZ —оо, £ оо, то указанный интеграл расходится. Следовательно, осо­бенность на линии % = оо нельзя устранить с помощью преобразования переменной. Это свойство коэффициента А было уже затронуто в пункте 3 данного параграфа.

Асимптотика линии ?о(£), £ на которой >4 = 0, как это видно из (3.96), равна

« – .^У,,, . * – (3.97)

Отметим, что это выражение больше нуля, так как из определения /и/2 124

(3.94) вытекает неравенство

M/a = f<*n+a>2t2W/2f dt Г?/оо^? = -7Г

На основании (3.85) и (3.97) заключаем, что уточнение зависимости <и >- в области больших амплитуд пульсаций концентрации не меняет качествен­но вида линии А «= 0, установленного в пункте 3 при использовании линей­ной зависимости для < и )г.

Возвратимся теперь к уравнению (3.86) для, Подстановка коэффи­циентов а0 и в это уравнение дает


(3.98)

Простой анализ показывает, что одно из линейно независимых решений уравнения (3.98) экспоненциально растет при f 00 и, следовательно, не удовлетворяет граничному условию при f = 00. Следовательно, если значе­ние параметра сож задано, то решение краевой задачи существует лишь при отдельных значениях постоянной а. Условию неотрицательности можно удовлетворить только при одном из этих значений.

Наиболее быстро функция затухает при а>ж = 0. Уравнение для в этом случае принимает вид


(3.99)

С + (а – b$)f„ = 0.


Нетрудно проверить, что проанализированное в § 3,5 уравнение (3.51) после преобразования переменных Ъх = b/(z ) ?, лх = а/(г >г2, F = fQOl(z)( переходит в (3.99). Следовательно, решение уравне­ния (3.99) описывается формулой (3.53). Значение постоянной а в глав­ном члене разложения коэффициента перемежаемости (3.90) при = 0 равно а = 7,847.

Решение краевой задачи (3.98) для случая сож Ф 0 получено численным методом в работе Сабельникова [19856]. Результаты расчетов плотности вероятностей и ряда ее интегральных характеристик при нескольких значе­ниях параметра сож приведены на рис. 3.17, 3.18.

Из рис. 3.17 видно, что с увеличением сож темп падения плотности вероятностей при больших амплитудах пульсаций замедляется. Как следствие, увеличивается интенсивность пульсаций концентрации, асим­метрия и эксцесс (см. рис. 3.18). Таким образом, учет, влияния крупно­масштабного переноса концентрации в зависимости для <i/>z приводит к возрастанию вероятности больших амплитуд пульсаций концентрации.

Вместе с тем надо отметить, что при не слишком больших амплитудах пульсаций концентрации форма плотности вероятностей трансформируется слабо в зависимости от значения параметра со^ в исследованном диапазо­не; очень слабо также меняется и интенсивность пульсаций концентрации. Этот факт и сравнение с экспериментальными данными, проведенное в § 3.5, позволяют заключить, что пока, по-видимому, целесообразно считать, что со^ = 0.

Рис. 3.17. Рассчитанные плотности распреде­ления вероятностей концентрации в турбу­лентной жидкости на большом расстоянии от оси или плоскости симметрии. Л =

Рис. 3.18. Рассчитанные значения первого собственного значения, интенсивности пуль­саций, коэффициентов асимметрии и эксцесса в турбулентной жидкости на боль­шом расстоянии от оси или плоскости сим­метрии. J2 = ижЪ-х’ъ

Важную роль при получении уравнения (3.98) играло условие (3.88). Отсюда можно сделать вывод, что использованный в § 3.5 приближенный метод получения уравнения (3.51) применим только при выполнении этого условия. Строгий анализ решений (3.67) на линии £ = 00 позволил также установить физический смысл постоянной а в уравнении (3.98). Как это видно из (3.90), значение постоянной а определяет главный член асимптотики коэффициента перемежаемости. Поэтому определение значения а является необходимым элементом в постановке краевой задачи для уравнения (3.67).

Остановимся еще на одном интересном моменте, вытекающем из срав­нения приближенного (см. § 3.5) и строгого способов получения решения на краю турбулентного потока. С точки зрения строгогс подхода решение,


описываемое формулой (3.53), справедливо только на линии £ = 00. С дру­гой стороны, приближенный метод, с помощью которого получено то же решение, не содержит в явной форме такого ограничения. Следовательно, можно ожидать, что за исключением области вблизи оси или плоскости симметрии потока, где коэффициент перемежаемости достаточно близок к единице, решение (3.67) весьма незначительно отличается от функ­ции (3.53). Численное решение краевой задачи подтвердит этот вывод (см. § 3.7).

Заметим, наконец, что в условиях применимости приближенного метода не фигурирует предположение об автомодельности. Поэтому функ­ция (3.53) может быть использована в качестве первого приближения для плотности вероятностей во вполне турбулентной жидкости и на краю неавтомодельных турбулентных течений. Сформулированные выводы оправдывают предложенный в § 3.5 приближенный метод определения плотности вероятностей концентрации и коэффициента перемежаемости в турбулентных струях.

§ 3.7. Численное решение краевой задачи

Основное свойство параболического уравнения (3.67), как показано в § 3.6, заключается в том, что оба направления по времениподо. бной координате £ равноправны. Поэтому главное требование к численному методу, предназначенному для решения этого уравнения, состоит в том, чтобы разностная аппроксимация правильно отражала это обстоятельство. Здесь для этой цели применялся достаточно простой конечно-разностный метод, широко используемый для расчета пограничного слоя с локальными зонами обратных токов (Картер [1974], Кляйнберг и Стегер [1974]).

Кратко поясним идет’ метода. Она заключается в том, что разностная аппроксимация производной по времениподобной координате £ изменяет­ся в зависимости от знака коэффициента А: при А > 0 используются лево­сторонние разности, а при А < 0 — правосторонние разности (в вычисли тельной гидродинамике такая разностная аппроксимация обычно называет­ся односторонней или разностями против потока; см. Роуч [1976]), Ана­логичным образом в зависимости от знака В аппроксимировалась и первая производная по переменной?. Вторая производная по? аппроксимирова­лась обычным образом. Из качественных представлений ясно, что описанная конечно-разностная аппроксимация по времениподобной координате £ по­зволяет осуществить достаточно точное соответствие между областями влияния и зависимости дифференциального уравнения (3.67) и разностной схемы. Полученная разностная схема аппроксимирует дифференциальное уравнение (3.67) с первым порядком точности.

В расчетах вместо бесконечной области 0 <£<«>, 0< f < оо рассмат­ривается прямоугольник 0 < £ <£ max, 0<f<fmax, т.*. граничные усло­вия при f = оо и f = оо в (3.73) сносились соответственно на линии

£ = £ m ах И? = ? m ах •

Нелинейная система конечно-разностных уравнений решалась методом релаксаций (см., например, Калиткин [1978]). На начальной (нулевой)

итерации плотность вероятностей во всех внутренних узлах разностной сетки ({/, £/) задавалась формулой Гц = 7,2(0)2-’ (0) (2тт)~ ^.expi-Xs?) + (1 – ^/-(Гу), s/ =2(0)S-1(0) ({у — 1), / = 1,…,/- 1; / = 2,…,/ — 1,

^/’"^шах» f/""fmax’

Здесь ({*) описывается соотношением (3.53), значения y, Z и 2 на ле­вой границе области интегрирования || = 0, т. е. 7(0), Z(0) и 2(0), на начальной итерации брались из экспериментов. Значение коэффициента перемежаемости на правой границе области интегрирования %j9 т. е. у/9 задавалось асимптотической формулой (3.90). Функция со на начальной итерации считалась равной нулю. Дисперсия и интегралы от функции /, входящие в величины У0 и /л (3.69), находятся методом трапеций.

Пусть известно распределение ffjkK и со/** на к-й итерации. Те­перь на линиях = const, начиная с / = 1 и кончая / = / – 1, с помощью метода линеаризации (см., например, Калиткин [1978]) решается краевая задача на собственные значения для со{. При переходе Иа соседнюю линию 1 > используются вновь полученные на £ = ^ значения f(k+l),

^(fc+i) Значение коэффициента перемежаемости на (А: + 1)-й итерации находится затем из условия нормировки /0 = 1. Во всех проведенных расче­тах для сходимости процесса использовалась нижняя релаксация с пара­метром, равным 0,01. Итерации заканчивались, когда значение суммы мо­дулей разностей значений функции / во всех узлах разностной сетки на проведенной и предыдущей итерации, поделенное на число внутренних уз­лов разностной сетки (т. е. на (/ – 1) • (J – 2)), становилось меньше за­данного малого числа (равного 10е"3).

Отметим также еще следующие моменты. При численной реализации конечно-разностной схемы условие симметрии (3.73) ставилось в упро­щенной форме. Считалось, что на оси или плоскости симметрии течения в нуль обращается лишь первая производная / по т. е. вместо Э2/+1//Э£2/+1 =0, / = 0, 1, 2,…, при £ = 0 полагалось Э//Э£ = 0. Для повышения точности численного решения в окрестности линии £ = 0, где коэффициент перемежаемости близок к единице, функция /(£, £) пред­ставлялась произведением двух функций, одна из которых равнялась exp (—ys2), s = (z — (z))/a. Значение постоянной у подбирается в про­цессе расчета из условия слабого изменения второго сомножителя на ин­тервале – А < К 0.

С помощью описанного метода получено численное решение уравнения для дальнего следа за круговым цилиндром, для осесимметричной и плос­кой затопленных струй, а также для слоя смешения плоскопараллельных потоков. Напомним, что решение последней задачи представляет собой асимптотику решений уравнений (3.58) – (3.60) для струй при х 0. Уравнения для автомодельного слоя смешения выписаны в работе Сабель­никова [1982в]. Автомодельной координатой £ здесь является отношение £ = v/x, а автомодельная плотность вероятностей описывается выражением

z-{z)t

F(z9x9y)~o;lg{st,$)9 st= ————– >

ot

где о2 = <z2>f – <z>2 — дисперсия пульсаций концентрации в турбу­лентной жидкости. В названной работе показано, что уравнение для функ­ции g вырождается в обыкновенные дифференциальные уравнения на ли­ниях £ = — 00 и £ = которые являются особыми, аналогично линиям £ = 0 (ось или плоскость симметрии) и £ = 00 в струях и следах. Функции g(st, – ее) и g(st9 как и /оо (f) в § 3.5 (см. (3.53)), выражаются че­рез функцию Эйри. Если lim <z> = 1, lim <z> = 0, то g(st, 00) опре-

£ ->— оо £ -[8]оо

делена на интервале -[/2(°°) - 1]~1/2 ^ —1,802 < sf < <*> и связана с /оо (f) следующим соотношением: Ј(sf, 00) = [/^(°°) - 1] 1/2/~ (f), £ = 1 + + {/2~ 1] lf2st. Функция g(st, связана с °°) очевидным

равенством g(st, – = ,00). Постановка краевой задачи осуществля­ется так же, как и в течениях с осью или плоскостью симметрии.

На рис. 3.19, 3.20 показаны некоторые из результатов расчетов для сле- за круговым цилиндром и слоя смешения двух плоскопараллельных потоков, полученные в статьях Сабельникова [19826, в]. На этих же ри­сунках нанесены результаты измерений в следе, выполненных Фрейму сом и Уберои [1971], Ля Рю и Либби [1974], и в слое смешения на начальном участке затопленной подогретой плоской струи — Раджагопаланом и Анто­ниа [1980]. Видно, что они весьма удовлетворительно согласуются с вы­численными значениями. В расчетах задавались профили средних скоростей, концентрации и скалярной диссипации, осредненной по турбулентной жид­кости. Для этого использовались экспериментальные данные Ля Рю и Либ­би [1974], Фреймуса и Уберои [1971] (след за цилиндром) и Раджагопа – лана и Антониа [1980] (слой смешения).

Измерения скалярной диссипации в слое смешения в литературе неиз­вестны, поэтому функция (N)t находилась с помощью формулы <Д’>, = = <N)/y, где (N) описывается посредством эмпирического соотноше­ния (N) = х<г2<е>А?2> X = 2 (см., например, Бегье, Декейсе и Лондер [1978]). Для пояснения отметим, что это соотношение есть не что иное, как предположение о пропорциональности временного масштаба пульса­ций концентрации o2/(N) и обычного временного масштаба турбулент­ности <72/<е>.

Значения дисперсии концентрации о1 и коэффициента перемежаемости 7, входящих в приведенную формулу для < N)t, брались из опытов Раджа – гопалана и Антониа [1980]. Диссипация энергии турбулентности (е) и дисперсия скорости взяты из опытов Виньянски и Фидлера [1970]*).

Профиль скалярной диссипации в турбулентной жидкости < АО, в сле­де за цилиндром приведен на рис. 3.16. Он получен на основе измерений безусловно осредненной скалярной диссипации (N) Фреймусом и Уберои [1971] и коэффициента перемежаемости 7 Ля Рю и Либби [1974] по фор-


Рис. 3.19. Сравнение результатов расчета среднеквадратической пульсации концентра­ции и коэффициента перемежаемости в следе за круговым цилиндром с эксперимен­тальными данными Ля Рю и Либби [1974, 1976] и Фреймуса и Уберои [1971]; а) сплошная кривая – расчет а/ас; значки – результаты измерения а/ас Ля Рю и Либби [1974J (условия опытов указаны на рис. 1.14); штриховая кривая - результа­ты измерения а/ас ФреЙмусом и Уберои (условия опытов указаны на рис. 3.16);


£ = х2/\/ (х, - xl0)d9 ос - среднеквадратаческое значение пульсаций концентрации на плоскости симметрии следа; б) сплошная кривая - расчет у ; значки - результаты измерения 7 Ля Рю и Либби [1976] (условия опытов указаны на рис.. 1.14);

£ = х2/у/ (х,-*! 0)d. Условия расчетов: £ / = 1, £ j =3, / = 51, J =121

муле (N)t = <N)jy. Заметим, что определенный таким косвенным спо­собом профиль (N)t аналогичен профилю условно осредненного квад­рата производной температуры ((ЭГ/Эг)2},, прямые измерения которо­го проведены Фабрисом [1979а, б]. Эти данные приведены на рис. 1.7.

Из расчетов следует, что практически во всей области, где коэффициент перемежаемости близок к единице, плотность вероятностей концентрации слабо отличается от плотности нормального распределения. Этот вывод согласуется с данными измерений коэффициентов асимметрии и эксцесса, которые в рассматриваемой области получены Ля Рю и Либби [1974], Антониа, Прабху и Стефенсоном [1975], Венкатарамани и Шеврэ [1978], Бэрчем, Брауном, Додсоном и Томасом [1978]. Он подтверждается также прямыми измерениями плотности вероятностей, результаты которых представлены в указанных работах, а также в статьях Кузнецова [1971], Щербины [1982], Голованова и Щербины [1979], Мешкова и Щербины [1979] и ряде других работ.

Результаты расчетов позволяют также сделать вывод о том, что транс­формация плотности вероятностей концентрации в предельную зависи­мость, которая дается формулой (3.53), происходит в довольно узкой области. Так, для следа это происходит в интервале 0,3 < £ < 0,45 (рис. 3.21). Следовательно, в первом приближении можно выделить, две области, в которых качественный. вид плотности вероятностей сущест­венно различен. В первой области, где уъ 1, плотность вероятностей близка к нормальной, а во второй, где существенна перемежаемость, плотность вероятностей описывается выражением (3.53).

Сформулированный вывод имеет большую практическую ценность, поскольку он оправдывает основные предположения^ использованные в § 3.5 при развитии простого приближенного метода описания плотности вероятностей концентрации в турбулентных струях.

Завершая обсуждение численного решения, кратко остановимся на результатах расчета функиии со, фигурирующей в выражении (3.18) для

-0,4 -0,3 -0,2 -0,1 0 0,1 0Л 0,3 £ -0,2-0,1 0 0,1 0J 0J Ъ

Рис. 3.20. Сравнение результатов расчета среднеквадратической пульсации концентра­ции и коэффициент*- перемежаемости в слое смешения с экспериментальными данны­ми Раджагопалана и Антониа [1980], полученными в слое смешения на начальном участке затопленной подогретой плоской струи. Значки – опытные данные. Усдрвия опытов: Ked = u0d/v = 2,65 • 10\ d = 2,54 см, м0 = 16,1 м/с; а) сплошная кривая – расчет а; значки – результаты измерения а; 1 – x/d = 1, 2 – x/d = 1,5, 3 – x/d = 2, 4 – x/d = 2,5, 5 – x/d = 3, 6 – xtd = 3,5, 7 – x/d ^ 4, £ =y/x; б) сплошная кривая – расчет 7; значки – результаты измерения у; 1 – x/d = 1, 2 – x/d = 2, 3 – x/d = 3, 4 – x/d = 4, = y/x. Условий расчетов: ^ – -0,3, ^ = 0,4, / = 101, J = 121; система координат, как на рис. 1.16; масштаб по оси ординат выбран таким образом» чтобы нормальное распределение (функция ошибок) изображалось прямой линией


круговым цилиндром, g = atPt = otf/( z )t, st = (z – (z )t)/at


условно осредненной скорости (v)z. Характер изменения этой функции оказался одинаковым во всех рассматриваемых течениях. Опишем его на примере течения в следе. Максимальное значение со принимает при £ = О, со(0) « 0,5 (в струях и слое смешения максимальные значения со несколь­ко меньше; см. также рис. 3.14). Вблизи плоскости симметрии, где коэф­фициент перемежаемости близок к единице, функция со медленно падает с увеличением Быстрое падение имеет место в области, где происходит перестройка плотности вероятностей к предельному виду (3.53). При боль­ших т. е. на краю следа, функция со практически равна нулю.

Ненулевые значения со обуславливают отклонения < v)z от линейной зависимости (3.16). Из (3.18) видно, что эти отклонения начинают заметно сказываться в диапазоне амплитуд концентрации \z — (z)\/o ^ 1/со. Если со ^ 0,5, то линейная зависимость вполне удовлетворительно описы­вает <y>z в диапазоне | z – <z)\jo £ 2. Этот диапазон захватывает заметную часть области, в которой происходит основное изменение плот­ности вероятностей. Таким образом, как и ожидалось (см. § 3.3), откло­нение <и>2 от линейной зависимости существенно только при весьма больших амплитудах концентрации. В этом смысле найденные значения со могут считаться достаточно малыми.

§ 3.8. Структура изоскалярных поверхностей в турбулентных потоках

Геометрическая интерпретация плотности вероятностей концентрации, данная в § 1.3, и рассмотренная в § 3.2 гипотеза о статистической незави­симости полей скалярной диссипации N и концентрации z в турбулентной жидкости позволяют выяснить структуру изоскалярных поверхностей в турбулентных потоках. Как было указано во введении к этой главе, ис-

следование указанного вопроса представляет интерес по двум причинам. Во-первых, оно позволит по-новому вывести граничные условия (3.5) и дать им прозрачную физическую интерпретацию. Во-вторых, в результате такого исследования появляется дополнительный взгляд на перемежае­мость. Предварительное обсуждение этих вопросов содержалось в конце § 3.1.

Для простоты рассуждений сначала ограничимся случаем статистически однородного поля концентрации, а затем дадим обобщение полученных результатов на неоднородный случай.

1. Изоскалярные поверхности, расположенные внутри турбулентной жидкости. Рассмотрим вначале изоскалярные поверхности, расположен­ные внутри турбулентной жидкости, т. е. z Ф 0 и z Ф 1. Для краткости эти изоскалярные поверхности далее называются внутренними.

Основной интерес будут представлять следующие две характеристики – средняя площадь <S2> изоскалярной поверхности z(x, t) = const и сред­нее расстояние d(hz) между двумя близкими изоскалярными поверх­ностями z = const и z + dz = const. Предполагая статистическую незави­симость концентрации и модуля градиента концентрации, из формулы (1.26) получим


yPt(z) = lim {SZ)V

K-voo

\ Ъп ft

О< z< 1. (3.100)


Легко видеть, что выражение для d(hz) при этом же предположении имеет следующий вид:

d{hz) = flfz^j (3.101)

В соотношениях (3.100) и (3.101), как и в § 1.3,л-нормаль к изоска­лярной поверхности z = const, а V — объем, внутри которого расположена рассматриваемая изоскалярная поверхность.

Найдем зависимость площади <5Z> и расстояния d(hz) от числа Рей­нольдса. С этой целью пренебрежем в (3.100) и (3.101) пульсациями ска­лярной диссипации. Это вполне оправдано, так как известно, что учет этих пульсаций при определении моментов не слишком высокого порядка приводит лишь к малым поправкам (см., например, Монин и Яглом

/I bz I Д ГО

[1967]). Тогда можно записать ( — / ^ V ———— —– (D – коэффициент

м Ъп I ft <N)t

молекулярной диффузии),и, следовательно, из выражений (3.100), (3.101)

находим

(SZ)L f{N)t fTN)tL л 1/2 – i— – yPt(z)L yJ—± = yPt V – Re1/2,

,____ . D,____________ * (3.102)

L L {N)t <N)tL

Здесь по-прежнему L — интегральный масштаб турбулентности, q — сред – неквадратическое значение пульсационной скорости. Поскольку функции

(N)t, у и Pt(z) от числа Рейнольдса не зависят (см. главу 1), то из (3.102) получим следующую оценку для внутренних изоскалярных по­верхностей:

~ Rei/2, dJlhl ^ Re-1/2, о< z< 1. (3.103)

V L

Здесь предполагается, что Рг(г)Ф0, 0< z< 1.

Соотношения (3.103) показывают, что с увеличением числа Рейнольдса средняя площадь произвольной внутренней изоскалярной поверхности <SZ> (0 < z < 1) неограниченно растет, а среднее расстояние d{hz) между двумя близкими внутренними изоскалярными поверхностями неограниченно уменьшается. Подчеркнем, что оценка площади в (3.103) неприменима для предельных изоскалярных поверхностей z = 0 и z = 1, поскольку из (3.102), в силу граничных условий (3.5), формально сле­дует (5г> =0. Конечно, равенство нулю здесь надо понимать в том смыс­ле, что рост площади предельных изоскалярных поверхностей при Re происходит слабее, чем по закону >/Re (см. также § 3.3). Чтобы найти количественную оценку площади этих поверхностей, необходимо при­влечь более тонкие соображения. Они рассмотрены в следующем пункте данного параграфа.

М-

Интересно сравнить с формулами (3.103) известные результаты Бэт – челора [1952] и Бэтчелора и Таунсенда [1956], полученные в предполо­жении D=0:

<SZ)L

—— exp

V  

‘ (3.104)

d{hz)

— exp I

Из формул (3.103), (3.104) видно, что в обоих случаях влияние числа Рейнольдса качественно одинаково. Однако при D = 0 это влияние выра­жено существенно сильнее, чем при £>=£0. Объяснение этого различия осно­вано на следующих соображениях. При D = 0 изоскалярная поверхность состоит из одних и тех же жидких частиц. Если же D Ф 0, то частицы, при­надлежащие изоскалярной поверхности, гибнут, т. е. молекулярная диф­фузия сглаживает складки, возникающие на такой поверхности.

Соотношения (3.100) и (3.101) совместно с предположением

— j ^ ~ y/D/(N)f позволяют также установить изменение <Sz> и

d(hz) во времени, если плотность вероятностей концентрации Pt(z, t) известна. Приведем соответствующие формулы для двух предельных случаев, проанализированных в § 3.4. На начальном этапе выроэдения из соотношений (3.32), (3.102) и соотношения. (3.31) для скалярной диссипации (N)t = а/1, а = 1 /л2, получим

(S ) 1 / ‘

— ~ — V—- d(hz) ~ y/Didz. (3.105) V to D

Напомним, что здесь t0 т масштаб времени, определяемый крупными вихрями в слоях смешения на поздней стадии развития процесса.

На заключительном этапе вырождения пульсаций концентрации (не пу­тать с заключительным этапом вырождения турбулентности; см. замеча­ние в § 3.4), в силу (3.27), справедливы соотношения

42 1 // AfW 1/2

»

(3.106)

■d(hz)~

Из соотношений (3.105) и (3.106) видно, что среднее расстояние меж­ду изоскалярными поверхностями монотонно возрастает. В то же время при D = 0, согласно выражению в (3.104), это расстояние монотонно убы­вает. При D Ф 0 на начальном этапе вырождения средняя площадь любой изоскалярной поверхности возрастает. На конечном этапе средние пло­щади всех изоскалярных поверхностей, за исключением поверхности z = (z>, уменьшаются. Средняя площадь поверхности z = <z> всегда со временем увеличивается. При D =? 0, как это следует из (3.104), {Sz) всегда возрастает. Заметим, чго формулы (3.104) приближенно справед­ливы и при D Ф 0 до тех пор, пока эффекты молекулярной диффузии не начнут играть заметной роли, и уже нельзя будет пренебречь процессом гибели отдельных жидких частиц на изоскалярной поверхности.

2. Предельные изоскалярные поверхности. Остановимся теперь на оцен­ке средних площадей <50) и <5t) предельных изоскалярных поверх­ностей z = 0 и z = 1. Необходимо отметить, что формальное определение указанных изоскалярных поверхностей представляет известные трудности. Здесь под поверхностями S0 и Si будут пониматься те поверхности, к ко­торым при Re 00 стремятся соответственно изоскалярные поверхности z0 = const z„ = const aRe""1’4 и zx = 1 – const aRe""1/4. Такое определение вполне естественно с точки-зрения анализа, проведенного в § 1.3, где по­казано, что в фазовом пространстве эффекты, обусловленные молекуляр­ной диффузией, существенны в узких областях, расположенных вблизи границ фазового пространства z = 0 и z = 1, а характерный размер этих областей порядка aRe"!’4 = z„ (см. формулу (1.36)).

Поскольку обмен между турбулентной и нетурбулентной жидкостями носит односторонний характер (напомним, что жидкие частицы не могут выходить из области завихренного течения, т. е. среда всегда втекает в турбулентную жидкость), то нормальная компонента скорости среды относительно изоскалярных поверхностей z = z0 и z = zx имеет вполне определенный знак. Это обстоятельство резко отличает изоскалярные поверхности z = z0 и z = zx от внутренних изоскалярных поверхностей, расположенных в турбулентной жидкости.

Зависимость (50> и (Sx) от числа Рейнольдса можно установить с помощью соотношения (2.17), описывающего скорость изменения объе­ма, заключенного между изоскалярными поверхностями. Для этого про­интегрируем (2.17) по z от некоторого варьируемого в дальнейшем уров­ня z до Имеем dVz/dt = / vndSZ9 где Vz — объем, в котором концентра-

ция больше или равна z, п = vz/l Vz\ . Это соотношение можно предста­вить в виде

dVz!

—- =us52> vs = —fvndSz, (3.107)

* -

где — осредненное значение нормальной компоненты скорости дви­жения поверхности z = const относительно среды (осреднение произво­дится по поверхности Sz).

Оценим сначала амплитуду пульсаций скорости движения поверхности z = const относительно среды. Для этого обратимся к уравнению (2.18). Как видно из соотношения (1.38), входящие в (2.18) величины Vz и Az определяются мелкомасштабными пульсациями. Поэтому амплитуды пульсаций рассматриваемых величин можно найти из теории локально однородной турбулентности. Тогда, считая, что v ^ D, и пренебрегая пуль­сациями скалярной диссипации и диссипации энергии, получаем | Vz| ~ z„/i?, |Az| ~ z„/i?2, где 17 – колмогоровский масштаб. Используя эти оценки, из (2.18) заключаем, что

[(еН1'4-^-1'4, ил=Уя. (3.108)

Приведенное соотношение дает оценку амплитуды пульсаций скорости любой изоскалярной поверхности относительно среды и ничего не говорит о знаке этой скорости.

Из общих соображений можно предположить, что для внутренних изо- скалярных поверхностей знак этой скорости случайно меняется. Поэтому величина. vz, входящая в (3.107), меньше, чем ^Re"1/4. Полученные выше результаты указывают на то, что скорость даже много меньше, чем #Re-1/4. В самом де|пе, поскольку распределение вероятностей не за­висит от числа Рейнольд^, a <SZ> ~ Re1/2 при z ф 0 или z Ф 1, то из (3.107) вытекает, что vz ^ qRe-1'2, т. е. большие положительные значе­ния \)п компенсируются большими отрицательными значениями.

Предельные изоскалярные поверхности ведут себя отличным от рас­смотренного образом. Действительно, поскольку траектории частиц не мо­гут выходить за границы турбулентной жидкости, то знак скорости движения таких поверхностей относительно среды всегда один и тот же. По этой при­чине формула (3.108) пригодна для оценки величины. Тогда из (3.107) и (3.108) получаем

—у - - Re1/4, z ='0, z = 1. (3.109)

Обобщение полученных выше результатов на случай неоднородном тур­булентности очевидно. Для этого необходимо только в основных соотно­шениях произвести замену <S2> ->d(Sz) и V -+dV. Тем самым характер изменения величин d( S2> и d{ h2) при Re -*«> остается прежним.

3. Связь структуры изоскалярных поверхностей с граничными усло­виями и перемежаемостью. Из формул (3.100) и (3.109) вытекает, что

Л = 0, z = 0, z = l, Re 00, т. е. имеем граничные условия (3,5), полученные в § 3.1 из уравнения

Рис. 3.22, Комбинация из двух многоугольников с очень большим числом сторон (ри­сунок заимствован из статьи Мандельброта [Д977])

для плотности вероятностей концентрации (2.15) с помощью формаль­ного математического приема. Приведенный здесь вывод показывает, что эти граничные условия выполнены при конечных числах Рейнольдса с точностью Re-1/4.

Значение формулы (3.109) заключается не только (точнее, не столько) в том, что она позволяет дать другой способ вывода граничных условий. Главная ее ценность состоит в придании ясного физического смысла этим граничным условиям.

Рис. 3.23. Начальная комбинация (слева) и первый шаг в процедуре (справа), приво­дящей к картине на рис. 3.22 (рисунок заим­ствован из статьи Мандельброта 11977])

Кроме того, формулы (3.103) и (3.109) дают возможность провести определенную аналогию между предельными и внутренними изоскаляр­ными поверхностями, с одной стороны, и внешней и внутренней переме­жаемостью – с другой (см. конец § 3.1). Действительно, в соответствии с (3.103) и (3.109) площадь и тем самым степень искривленности предель­ных изоскалярных поверхностей существенно меньше, чем промежуточ­ных. Следовательно, если внешней перемежаемости поставить в соответ-


ствие колебания предельных изоскалярных поверхностей, а внутренней перемежаемости — колебания промежуточных изоскалярных поверхностей, то получится модель перемежаемости, качественно близкая к образу губки, предложенному в § 1.1.

Описанная модель турбулентной жидкости проясняет и смысл проце­дуры осреднения (рассмотренной в § 1.1) как способа определения гра­ниц турбулентной жидкости и выделения внешней перемежаемости. Макси­мальная гладкость указанной границы и степень искривленности предель­ных изоскалярных поверхностей тесно взаимосвязаны между собой.

Интересный математический пример, с помощью которого можно про­иллюстрировать описанную физическую картину структуры изоскаляр­ных поверхностей в турбулентных потоках при больших числах Рейнольдса, содержится в работе Мандельброта [1977]. Кратко остановимся на обсуж­дении этого примера. На рис. 3.22, заимствованном из работы Мандельбро­та, изображена комбинация из двух многоугольников (полигонов) с очень большим числом сторон. Эта комбинация представляет собой не­который промежуточный шаг в бесконечной процедуре, когда один из полигонов интенсивно искривляется вокруг себя (аналогично тому, как это делается при построении кривой, заполняющей плоскость), а второй окаймляет первый. Такие полигоны можно рассматривать как некоторые образы изоскалярных поверхностей. Один из полигонов (внешний) соот­ветствует границе турбулентной жщцсости, внутренний — некоторой изо – скалярной поверхности, расположенной в турбулентной жидкости. Искрив­ления полигонов соответствуют гидродинамическим деформациям. На­чальная комбинация и первый шаг этой конструкции изображены на рис. 3.23 (также заимствованном из работы Мандельброта). Дальнейшие подробности построения описаны в рассматриваемой работе. Поскольку на каждом шаге конструкции периметры обоих полигонов умножаются на число, большее единицы, то длины соответствующих предельных кривых равны бесконечности. Но оказывается, что степень заполнения плоскости первым многоугольником больше, чем степень изогнутости второго. Вы­числения, проведенные Мандельбротом, дают количественную характе­ристику этого утверждения. Обе предельные кривые являются фракта­лями, полученными с помощью бесконечного числа преобразований подо­бия (см. § 1.1). Размерность Хаусдорфа — Безиковича первой кривой равна d = 2, второй d 1,37. Рассмотренный пример, естественно, носит частный характер.

ГЛАВА 4

СТАТИСТИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ МЕЛКОМАСШТАБНОЙ ТУРБУЛЕНТНОСТИ

Изучение характеристик мелкомасштабных турбулентных движений представляет значительный интерес по трем причинам. Во-первых, дви­жение мелких вихрей является наиболее простым типом турбулентных движений, и, следовательно, его описание встречает наименьшие труд­ности. Вместе с тем закономерности, установленные при исследовании мелкомасштабной турбулентности, важны для понимания структуры произвольного турбулентного потока. Во-вторых, изучение характерис­тик мелкомасштабных флуктуаций может оказаться полезным при созда­нии так называемых подсеточных моделей турбулентности. В этом под­ходе крупномасштабные движения описываются уравнениями, сходными с уравнениями Швье — Стокса, а мелкомасштабное — характеризуются турбулентной вязкостью, зависящей от энергии и масштаба мелких вих­рей. В-третьих, как отмечалось во введении, понимание структуры мелко­масштабных движений важно при изучении химических реакций в турбу­лентных потоках. Например, при горении химические превращения про­исходят в очень тонких зонах и, следовательно, структура таких зон в первую очередь определяется мелкомасштабными пульсациями.

Напомним основные идеи теории мелкомасштабной турбулентности. Первый шаг в построении этой теории принадлежит Ричардсону [1922, 1926], в работах которого сформулированы качественные представления о каскадном характере передачи энергии по спектру турбулентности, т. е. о том, что мелкие вихри получают энергию в результате последовательного дробления крупных вихрей. Количественное описание этого процесса дано Колмогоровым [1941] и Обуховым [1941]. Оно основано на использо­вании структурных функций и их спектров, т. е. величин вида

А/М = <["/(*) " "I(* + г)] [uj(x) - Uj(х + г)] >,

EiiOt) = fDjjexp(ilcr)d3r

(к – волновое число). Очевидно, что характеристики крупномасштаб­ных движений слабо меняются на расстояниях порядка г, если г достаточно мало по сравнению с интегральным масштабом турбулентности. Поэтому разность скоростей в двух близко расположенных точках наиболее под­ходит для описания мелкомасщтабных флуктуаций. Следовательно, изу­чение структурных функций и их спектров представляет наибольший интерес.


Колмогоровым и Обуховым предполагалось, что при очень большом числе Рейнольдса можно выбрать столь малое значение г, что цепочка последовательных дроблений крупных вихрей, приводящая к появлению вихрей с размером г, окажется очень длинной. Поэтому параметры, опи­сывающие мелкомасштабные флуктуации, достаточно слябо зависят от структуры крупномасштабной турбулентности, в силу чего они должны быть статистически однородны и изотропны. Ими предполагалось также, что одной из важнейших величин, характеризующих последовательное дробление вихрей, является средняя скорость передачи энергии по спектру турбулентности. В равновесных условиях эта скорость равна диссипации энергии -<е>. Другой важной величиной, определяющей структуру мел­комасштабной турбулентности, является коэффициент кинематической вязкости v. Поэтому из соображений размерности и статистической изо­тропности вытекают следующие формулы:

? ЧтН

где 77 — так называемый колмогоровский масштаб длины, который харак­теризует влияние вязких эффектов на структуру мелкомасштабной тур­булентности, а / и g – произвольные функции одного аргумента г/т?. Осно­вываясь на известном принципе автомодельности турбулентных течений по числу Рейнольдса, естественно предположить, что при L > г L Re~ 3/4,

т. е. в так называемом инерционном интервале, структурная функция не зависит от вязкости. Следовательно, / = const, g = const при rjr\> 1. Отсюда, в частности, была получена формула

АгС((е>г)2/3,

где С — некоторая постоянная, часто назьюаемая постоянной Колмогорова.

Обобщение высказанных соображений на случай структурных функций произвольного порядка не составляет труда. Например, можно получить соотношение

(vn) ~ (< е>г)я/3, v=u(x)-u(x + r).

Следующий шаг в развитии теории мелкомасштабной турбулентности сделал Ландау (см. Ландау и Лифшиц [1954]), который заметил, что дис­сипация энергии распределена в турбулентном потоке случайным образом. Поэтому можно дать оценку vn * (ег)я/3, осредняя которую, получим <и*> – <en^)rnf3.

Анализ, проведенный в книге Монина и Яглома [1967], показал, что сде­ланное уточнение несущественно, если распределение вероятностей диссипа­ции не обладает некоторыми аномальными особенностями. Эксперименты, направленные на выяснение этого вопроса, показали, что такие особенности действительно есть (Бэтчелор и Таунсенд [1949], Гурвич и Зубковский [1963], Куо и Корсин [1971], Вингаард и Пао [1975], Гибсон и Масейо [1975], Холмянский [1970, 1972], Шампань, Пао и Виньянски [1976] и др.), на что указывалось в § 1.1. Эти особенности обусловлены внутрен­ней перемежаемостью турбулентных течений, уже обсуждавшейся в главе 1.

Поэтому сформулированные выше представления были уточнены в рабо­тах Колмогорова [1962а, б], Обухова [1962]. Уточнения основаны на рассмотрении диссипации энергии ег, осредненной по некоторой области (например, шару) с характерным размером г. В рассматриваемых работах высказан ряд соображений, свидетельствующих о том, что случайная вели­чина ег распределена по логарифмически нормальному закону. Этот вывод позволяет вычислить величину <еи’3> и тем самым найти структурные функции вида <vn>. Логарифмически нормальный характер распреде­ления вероятностей диссипации энергии вытекает также из гипотезы подо­бия, выдвинутой Ягломом [1966], Гурвичем и Ягломом [1967]. В рас­сматриваемом случае имеем где ц – некото­рая постоянная, Отсюда вытекает, что зависимость структурных функций типа <vn> от расстояния между точками, в особенности структурных функций высокого порядка (л > 1), отличается от зависимости, предска­зываемой неуточненной теорией локально однородной турбулентности.

Ограниченный объем книги не позволяет провести детальный анализ всех уточнений теории мелкомасштабной турбулентности. Поэтому укажем лишь основные из полученных результатов. 1) В рамках всех теорий уточнения приводят к малым поправкам к закону "двух третей", т. е. к формуле £>ц =С(<е>г)2/3. Этот закон в настоящее время хорошо под­твержден экспериментально в самых разнообразных турбулентных тече­ниях (см., например, обзор литературы, приведенный Мониным и Ягломом [1967]). 2) Уточнения оказываются существенными лишь при рассмотре­нии структурных функций высокого порядка. В частности, во всех предло­женных схемах коэффициент эксцесса пульсаций диссипации стремится к бесконечности при неограниченном увеличении числа Рейнольдса (Яглом [1966], Новиков и Стюарт [1964], Новиков [1971] и др.). Этот вывод подтверждается экспериментально (Гибсон и Масейо [1975], Шампань, Пао и Виньянски [1976] и др.) и обычно объясняется внутренней переме­жаемостью турбулентных течений. 3) Хотя экспериментальные данные и свидетельствуют о том, что распределение вероятностей диссипации энергии близко к логнормальному (Гурвич и Зубковский [1963], Чен [1971], Гибсон и Масейо [1975] и др.), в ряде работ справедливость этого закона подвергнута сомнению (Новиков [1971], Крейкнан [1974], Мандельброт [1974,1975], Гибсон и Масейо [1975]).

Проведенный ниже анализ основан на идеях теории локально однородной турбулентности. Главное внимание уделено анализу тех поправок к этой теории, которые обусловлены перемежаемостью. Рассматриваемое явление понимается в смысле определения, принятого в главе 1, т. е. анализируется внешняя перемежаемость. Введенное предположение основано на результа­тах исследования главы 3, в которой установлено, что коэффициент переме­жаемости у меньше единицы во всех областях турбулентных течений. Численные расчеты, проведенные в главе 3, показали, что в струях и следах существуют протяженные области, в которых коэффициент перемежаемо­сти настолько мало отличается от единицы, что эти различия невозможно зафиксировать при современном уровне измерительной аппаратуры. Следо­вательно, такой подход не противоречит известным экспериментальным данным, из которых следует, что в струях, следах, пограничных слоях и тд. существуют области, в которых, казалось бы, 7=1. Поэтому представля­ется, что рассматриваемое явление необходимо учитывать и при анализе локальной структуры турбулентности.

Как указывалось в главе 1, в нетурбулентной жидкости отсутствуем каскадный перенос энергии по спектру турбулентности. Отсюда ясно, что

141

теория Колмогорова [1941] и все ее уточнения, рассмотренные выше, несправедливы при описании явлений в нетурбулентной жидкости. Поэтому сделанные ниже предположения формулируются только для турбулентной жидкости.

Одно из основных предположений исходит из сформулированной Колмо­горовым [1962а, б] гипотезы о том, что в инерционном интервале распреде­ление вероятностей величины

ик(х)-ик(х + г)

ок———————-

uk(x)-uk(x+R)

(по к не суммируется) при R > г зависит лишь от r/R. Эту гипотезу надо лишь немного уточнить, поскольку Ьк определено так, что не является тензорной величиной.

Для решения проблемы привлекается выведенное в главе 2 уравнение для плотности распределения вероятностей разности скоростей в двух точках, принадлежащих инерционному интервалу. Это уравнение анализи­руется на основе принятой гипотезы. Основная информация о его решениях получена при анализе слагаемого, описывающего пульсации давления. Установлено, что это слагаемое приводит к появлению особенностей в распределении вероятностей. Выдвинут ряд соображений, указывающих на то, что эти особенности обусловлены перемежаемостью.

Основные результаты, изложенные ниже, опубликованы в работах Кузнецова [1976а, 1977в] и Кузнецова и Сабельникова [1981а].

§ 4.1. Гипотеза подобия

Чтобы сформулировать основную гипотезу и получить ее главные следст­вия, рассмотрим точки 1 – 5 с координатами дг(1\ дг(3\ х^5\ находящиеся в турбулентной жидкости. Пусть г = х^ – х^1 \ R = дс(3) – - лг<1>,5=лг<4>^1и=^5>-л:<1>,у = |/(л:(2>)-1|(л:<1>), V = и{х:<3>) – - и(дг(1)), t/=i/(x(4))-i/(*(1)), w = i/(x<5))-i/(x(1)). Здесь все скорости рассматриваются в один и тот же момент времени. Точки 1 и 5 находятся на расстоянии порядка интегрального масштаба турбулентности, т. е. L (и — – (и ))2 )3/2 / (в), а разность скоростей в них w порядка пульсационной скорости энергосодержащих вихрей. Точки 1—4 расположены на расстоя­нии, принадлежащем инерционному интервалу спектра, т. е. т? < г < L, r\<R<L, т?^5^1,гдет? = р3/4<еГ1/4. Пусть также Ptt(y, r \ V, R) – условное распределение плотности вероятностей разности скоростей в точках 1 и 2 при условии, что эти точки находятся в турбулентной жидко­сти, а разность скоростей в точках 1 и 3, также находящихся в турбулент­ной жидкости, равна V.

Сформулируем основную гипотезу подобия, а именно предположим, что при г < R величина Ptt зависит только от v, r, V>R. Тогда из соображений размерности найдем

о /и г \ vr

Ptt = v*P. b(—. — </>=— , (4.1)

\V R / vr

где Ро – безразмерная функция.


Прежде чем получить формальные следствия принятой гипотезы, пояс­ним ее .физический смысл.

Из (4.1) видно, что принятое предположение близко к гипотезе, сформу­лированной Колмогоровым [1962а, б], так как считается, что статистичес­кие характеристики величины v/F универсально зависят от r/R. В отличие от использованной Колмогоровым величины (по / не суммируется),

здесь рассматривается величина v/F, которая является вектором. Поэтому сформулированная гипотеза подобия справедцива в любой системе коорди­нат. Ее физический смысл очевиден. Параметры V и R характеризуют крупномасштабное движение, v, г — мелкомасштабное. Время "жизни" первого движения порядка г i = R/V, а второго — порядка т2 = r/v. Так как г <R, то Ti >т2. Поэтому предполагается, что мелкомасштабное движение находится в статистическом равновесии с крупномасштабным. Поскольку VR/v > 1, то можно выбрать М (М > 1) точек таких, что R>R^>. .. > г. Тогда все сказанное о взаимосвязи движений с масштабамиR иг относит­ся и к взаимодействию движений с масштабами R * и Л<<+1> т. е. процесс передачи энергии по спектру турбулентности носит каскадный характер*. Поскольку при большом числе Рейнольдса велико и число "звеньев" каска­да, то можно предположить, что характеристики мелкомасштабных движе­ний статистически изотропны, т. е. не зависят от ориентации векторов V viR и поэтому определяются лишь величинами V и R.

Найдем теперь формальные следствия принятой гипотезы, которые вытекают из того, что Ptt есть условная плотность вероятностей. Для этого рассмотрим разности скоростей в трех парах точек: 1 и 2, 1 и 3, 1 и 4 и воспользуемся теоремой Бейеса

Pttiv, г | U, S) = f Ptt(y, г | V, R)Ptt(V, R | U, S)d3 V, (4.2)

где r<R<S<L.

Соотношение (4.2) есть нелинейное интегральное уравнение, для реше­ния которого воспользуемся следующим – приемом. Умножим (4.2) на 2wn+2 и проинтегрируем по и от 0 по °°при </?=const, T.e. введем величину

F=2irfvn + 2Pttdv = VnG(n, ^

где G – безразмерная функция. Последнее равенство в этой формуле вытекает из (4.1). Далее потребуются также величины

P°„ = V2} P„d*,

-1

гдеР? г — плотность вероятностей модуля разности скоростей. Отметим, что функция F есть преобразование Меллина от Ptt. Используя свойства такого преобразования (Бейтмени Эрдейи [19536]), имеем

1 /оо 1 /оо

Ptt~—S v-"-3Fdn, f vn~lF°dn. (4.3)

i i -/oo

Используя введенные обозначения, приводим (4.2) к виду

Соотношение (4.4) есть функциональное уравнение, которое решаете) проще, чем исходное уравнение (4.2). Действительно, прологарифмируем и продифференцируем (4.4) nor и Я. Найдем Э2

ЪгЪЯ

Интегрируя это уравнение, получим

(4.5)

где Н и Q – "постоянные" интегрирования. Прологарифмируем (4.4) и продифференцируем полученный результат по R и S. Аналогичным образом получим

/Я\Я(п)

) , (4.6)

где Нх и q — новые "постоянные" интегрирования. Подставив (4.5) и (4.6) в (4.4), имеем

z// ч/3Ле<я-*>-*<я> , -1.

Варьируя (R/S) при п = const, заключаем, что это равенство может выпол­няться только при Q = q. Учитывая, что Q-qf получим такжеНх -1.Таким образом, получаем окончательный результат

F= VnH(n, Hi =/ H(n, 1. <4-7>

Из (4.3) и (4.7) найдем также

Пг 4 7v->V»Ј)qin)dn. (4.8)

Сравним (4.1) и (4.7). Видим, что из гипотезы подобия и соображений размерности вытекает, что Ри зависит от трех переменных. Дополнительное ограничение, основанное на том, что Ptt — условная плотность вероятностей, позволяет снизить число переменных до двух.

Поясйим смысл функций Н и q. Из (4.7) и определения функции F вытекает, что

< v"N~m V,, – vn(j)q(n[{ Я<и' *2)(п'т)П d*, (4.9)

где vL=v\p — проекция вектора v на вектор г, vN = v\/\ — у2 - компонента 144 вектора v, перпендикулярная вектору г. Символ < )y>t соответствует осреднению при условии, что точки 1 и 2 находятся в турбулентной жидко­сти, а разность скоростей в точках 1 и 3, также расположенных в турбулент­ной жидкости, равна V. Таким образом, q (п) характеризует зависимость структурной функции порядка п от расстояния между точками, а Н(п, ф) описывает соотношения между различными структурными функциями одного и того же порядка. Видно также, что поскольку масштабные харак­теристики процесса определяются плотностью вероятности модуля разности скоростей Pft9 то основная информация описывается функцией q (п) (из (4.8) видно, что Pft полностью определяется этой функцией). Поэтому главная цель дальнейшего исследования - выяснение вида зависимости q от п.

Первое ограничение на вид этой зависимости. описывается равенствами

?(0)-0, q( 3) = 1. (4.10).

Условие q (0) = 0 вытекает из того, что f Ptt d3v = 1. Условие q (3) =1 получено Колмогоровым [1941] из уравнения Кармана – Ховарса (струк­турная функция третьего порядка линейно зависит от расстояния). Это условие подробно обсуждено в книге Монина и Яглома [1967].

Следующее ограничение может быть найдено из неравенства Коши — Буняковского

<»;m + w>2Kf<<i;2mV >f<»2/Vf.

Используя (4.7), приводим это неравенство к виду 2q(m +п)> q(2m) + + q (In). Полагая т=п+ An, An 0,отсюда получим

-1 <0. (4.11)

dn2

Последнее и, как будет видно далее, самое важное ограничение вытекает из определения функции F. Чтобы сформулировать это ограничение, пара­метр п будем считать комплексным числом, т. е. рассмотрим, как зависят от расстояния г величины вида

< и" >к, = < u*cos(0 In v)> к t+ И v"sin (13 In v) )у\ f, где n = a + ifi.

Введем естественные предположения: 1) Ptt — ограниченная функция; 2) при v 00 плотность вероятностей Ptt стремится к нулю быстрее, чем любая степень и, т. е. существуют структурные функции всех порядков. Рассмотрим выражение

bF 00

— = 2тг / vn + 2\nvPttdv.

Ъп о

Из принятых предположений следует, что этот интеграл равномерно сходит­ся при Re п > — 3, т. е. F и, следовательно, Hnq — аналитические функции в комплексной полуплоскости Re п > – 3.

§ 4 2. Связь характеристик турбулентной и нетурбулентной жидкостей

Исследование, приведенное в § 4.1, показывает, что одна только гипоте­за подобия и формальные ограничения, вытекающие из физического смыс­ла введенных величин, определяют широкий класс распределений вероятно стей. Логнормальный закон является частным случаем, в котором q – квадратичный полином (Монин и Яглом [1967]). Тогда из (4.10) и (4.11) находим

q(n) = (7з +3(?2)и-<72и2, q2 >0, (4.12)

где qi — положительное число.

Из физических соображений ясно, что наиболее важные ограничения описываются уравнением движения, которое до сих пор не рассматривалось. Поэтому естественно использовать, соотношение (2.31). В таком подходе возникает ряд трудностей, связанных с тем, что в (2.31) фигурирует безус­ловная плотность вероятностей /\ а гипотеза подобия справедлива только для условной плотности вероятностей Ptt. Следовательно, необходимо получить отдельное уравнение, описывающее свойства турбулентной жидко­сти.

Математическая процедура вывода уравнения для Ptt непосредственно из уравнений движения связана с перестановкой операций дифференциро­вания и условного осреднения. Можно показать, что она приводит к появле­нию в уравнении для Ptt дополнительных слагаемых, характеризующих обмен веществом, импульсом и энергией между турбулентной и нетурбу­лентной жидкостями. Аппроксимация этих слагаемых вызывает значитель­ные трудности. Аналогичная проблема возникает и при анализе уравнений для условных одноточечных моментов (Либби [1975], Допазо [1977], Сабельников [1979, 19806, 1985в], Допазо и О’Брайен [1979], Бюггстюль и Кольман [1981], Дюамель [1981]). На этом пути без привлечения дополнительных гипотез нельзя получить соотношений, которые принци­пиально отличаются от уравнения (2.31).

Более плодотворен подход, использованный в главе 3 при вьюоде урав­нения для плотности вероятностей концентрации в турбулентной жидкости. Однако в данном случае возникает другая трудность. Дело в том, что разви­тый в главе 3 аппарат основан на выделении в уравнении для безусловной плотности вероятностей концентрации регулярных и сингулярных (пропор­циональных 8-функции) слагаемых. Для решения рассматриваемой пробле­мы этот аппарат непригоден, так как в выражении для плотности вероятно­стей разности скоростей сингулярные слагаемые отсутствуют, что обуслов­лено пульсациями давления, которые генерируют флуктуации скорости в нетурбулентной жидкости. Таким образом, необходимо найти правило, позволяющее из уравнения для безусловной плотности вероятностей Р получить соотношение для условной плотности вероятностей Ptt. Решению поставленной задачи и посвящен данный параграф.

Поясним основную идею на примере уравнения неразрывности Э (VjVj) /Э/у = 0, а именно рассмотрим, как из этого уравнения можно получить соотношение для < v, vj >w г Заметим, что операции дифференци­рования и условного осреднения при w = const также нельзя менять места – 146 ми (w — разность скоростей в двух других точках, находящихся на расстоя­нии порядка интегрального масштаба X). Это затруднение несущественно, так как при анализе мелкомасштабных флуктуаций (т. е. величины v) можно считать, что характеристики крупномасштабных возмущений (т. е. величина w) играют роль осредненного движения (в противном случае гипотеза подобия несправедлива). Отсюда вытекает, что если г < L, то операции дифференцирования и условного осреднения при w = const переста­новочны, т. е. d(vivj)w /Эг;- = 0. Тогда из (1.8) получим д

— [y<vivi)Wft + (l-y)<vivi )w n] = 0.

dry

Из (4.9) вытекает, что первое слагаемое в этом соотношении пропорцио­нально а из (1.7) заключаем, что второе слагаемое пропорцио­нально г2. Поскольку оба слагаемых по-разному зависят от г, то они порознь равны нулю, т. е. д

dri

Таким образом, в данном случае действует правило: соотношение, справед­ливое для безусловной структурной функции, пригодно для описания условной етруктурной функции, если символ < > заменить на у( ) t

С некоторыми ограничениями это правило действует и в общем случае. Действительно, умножим (2.31) на 27л/1 + 2 и проинтегрируем по всем v при </?= const. В полученное соотношение снова войдут структурные функ­ции, условно осредненные по турбулентной и по нетурбулентной жидко­стям, и, как видно из (1.7) и (4.9), в нем будут фигурировать две группы слагаемых, одна из которых пропорциональна гя^п\ а другая гп. Так как то обе группы слагаемых порознь равны нулю. Следовательно, получим два соотношения, в одно из которых войдут только структурные функции, осредненные по турбулентной жидкости, а в другое — только структурные функции, осредненные по нетурбулентной жидкости. Очевид­но, что замена символа < > на символ у < >w f соответствует замене безус­ловной двухточечной плотности вероятности P(v, г) на величину уиРц – = уРи (здесь учитывается соотношение (1.4), из которого следует, ^то уи у при r/L 0). Аналогичным образом безусловную трехточечную плотность вероятностейP(v, г, w, L) следует заменить величиной yttt^ttt-

Заметим, что как в данном случае, так и в случае, рассмотренном в главе 3, процедура разделения характеристик турбулентной и нетурбулент­ной жидкостей по существу одна и та же, так как уравнение (3.2) для условной плотности вероятностей концентрации Pt(z) также получается из уравнения (2.15) для безусловной плотности вероятностей P(z) с помощью замены? наyPt(F = Pt при 0<z< 1в (2.15)).

Рассмотрим теперь ограничения, которые необходимо помнить при использовании процедуры разделения характеристик обеих жидкостей. Самое главное ограничение связано с тем, что функция q (п), как и всякая аналитическая функция, отличающаяся от постоянной, имеет особые точки на комплексной плоскости п. Одна из таких точек расположена при п так как из определения функции F вытекает, что F «>

при п ->


Многочисленные примеры, известные как в физике вообще, так и в гидродинамике в частности, указывают на то, что возникновение особен­ностей всегда обусловлено нарушением основных предположений теории. Например, возникновение особой точки п =00 обусловлено тем, что при п 00 величина (ип > определяется флуктуациями, амплитуда которых стремится к бесконечности. Описание таких флуктуаций в рамках несжи­маемой жидкости невозможно [9]).

Другая причина возникновения особых точек может быть обусловлена неточностью гипотезы подобия. Для пояснения рассмотрим гипотетичес­кий случаи, когда имеется лишь одна особая точка п = В качестве приме­ра приведем формулу (4.12), справедливую для логарифмически нормаль­ного закона. Тогда использованная выше процедура разделения характери­стик обеих жидкостей справедлива при всех конечных п. Следовательно, для всех структурных функций, осредненных по турбулентной жидкости, можно получить соотношения, в которые не входят структурные функции, осредненные по нетурбулентной жидкости (и наоборот). Физически это означает, что либо нетурбулентной жидкости вообще нет, либо обе жидко­сти существуют сами по себе, не взаимодействуя друг с другом. Такая картина явления противоречит экспериментальным данным.

Следовательно, необходимо допустить, что у функции q(n) есть особые точки, расположенные при конечных п. В этих точках условно осредненные структурные функции обоих типов принципиально связаны, т. е. такие точки характеризуют взаимодействие турбулентной и нетурбулентной жидкостей. Эти соображения будут уточнены в § 4.3, где будет показано, что 1) существование таких особых точек обязательно вытекает из уравне­ний движения и гипотезы подобия; 2) в окрестности особых точек неспра­ведливы предположения, принятые при формулировке гипотезы подобия.

Остановимся теперь на менее существенных ограничениях применимости процедуры разделения характеристик турбулентной и нетурбулентной жидкостей. На первый взгляд эта процедура неприменима, если q(n) = п при некотором п = п0 (тогда структурные функции обоих типов одинаково зависят от г ). Однако, если п0 — не особая точка функции q (п), то соотно­шения, полученные при п Ф п0, можно аналитически продолжить в точку п = п0, т. е. никаких ограничений не возникает.

Заметим также, что формулы (4.7) справедливы только при г О, т. е. дают лишь главные члены асимптотических разложений различных структурных функций. Если же учесть последующие члены, то в рядах для величин < vn)t и <vn)n могут содержаться слагаемые, одинаково за­висящие от г. Это означает, что операции дифференцирования и условного осреднения перестановочны только при г -*0.


§ 4.3. Взаимодействие между турбулентной и нетурбулентной жидкостями

В соотношение (2.31) входят три слагаемых, описывающие силы инер­ции, перенос энергии по спектру турбулентности и пульсации давления. Лишь первое слагаемое точно выражается через искомую двухточечную плотность вероятностей. Гипотеза подобия позволяет сделать ряд важных выводов о структуре остальных слагаемых и тем самым проанализиро­вать основные черты взаимодействия между турбулентной и нетурбулент­ной жидкостями.

Рассмотрим сначала перенос энергии по спектру турбулентности, т. е. те слагаемые в (2.31), которые пропорциональны величине

e, j = /е</>Р, е(е</> |v, r)rfel7,

где PtЂ – условная плотность вероятностей диссипации в точке 1 при условии, что точки 1 и 2 находятся в турбулентной жидкости, а разность скоростей в них равна v. Таким образом е^ — условно осредненная дис­сипация энергии. Величина е^ определяется наиболее мелкомасштабными пульсациями с размером порядка колмогоровского масштаба. Эти пульса­ции находятся в равновесии с крупномасштабными флуктуациями, ха­рактеристики которых v и г считаются заданными. Из гипотезы подобия вытекает, что только две характеристики крупномасштабных движений, а именно v и г, могут влиять на мелкомасштабные пульсации. В силу принципа автомодельности турбулентных течений по числу Рейнольдса вязкость v не является определяющим параметром. Следовательно, из со­ображений размерности получим

и3

ец = к — б/7, (4.13)

где к – некоторая постоянная. Это соотношение аналогично формуле, использующейся в полуэмпирической теории турбулентности при замыка­нии уравнения для энергии пульсаций (<е// > = const q3/L, где q – пульса – ционная скорость, L — интегральный масштаб турбулентности).

Оценим постоянную к, связав ее с постоянной С в законе "двух третей".

По определению С = г~2/3<и£ )<€/,• >~2/3. Из формул (1.8) получаем < vi > = y(v\ >,, поскольку (v2)t > (v2)n при г ->0. Используя уравне­ние неразрывности и формулу (4.9), находим {v2L )t = <w2>f X

X (г//,)«(2>/[3 + ?(2)].Из (4.10), (4.13) получаем

t ^ 3ky{w3)t <el7> = у (€ц )t = 3 kyr’Uv3), = ,

JLt

т. е.

x q(2)-2/3

С = (3*r2/3[3+<K2)J~V/3fy) (w2)t(w3)-2!* (4.14)

Напомним, что w — скорость энергосодержащих вихрей, и поэтому ее можно интерпретировать как пульсационную скорость в одной точке. Это обстоятельство позволяет в оценках моментов величины w исполь- зовать одноточечное распределение вероятностей скоростей в турбулент­ной жидкости.

Из полученной формулы видно, что величину С лишь условно можно назвать постоянной, так как q{2) Ф 2/3.

Обработка экспериментальных данных показывает, что разность q{2) - 2/3, однако, составляет величину порядка нескольких сотых, т. е. весьма мала (Монин и Яглом [1967]). Поэтому зависимость С от г — достаточно слабая и далее не учитывается. Используя рекомендованное Мониным и Ягломом [1967] значение С= 1,9*) и предполагая одноточеч­ное распределение вероятностей скоростей нормальным, из (4.14) имеем к – 1,5 • 1(Г271/г.

Из проведенной оценки видим, что постоянная к мала. Этот вывод имеет важное значение, что ясно из следующих соображений. Слагаемое VjbP/brj, входящее в (2.31) и соответствующее инерционным слагаемым в уравнении движения, зависит лишь от первых производных от плотно­сти вероятностей, а числовые коэффициенты, которые в нем фигурируют, равны единице. Слагаемое д2е^Р/ди{Ъи^ описывает перенос энергии по спектру турбулентности. В него входят вторые производные, и, следо­вательно, оно во многом определяет структуру уравнения (2.31). По­скольку рассматриваемое слагаемое пропорционально малой постоян­ной к, то приходим к классической задаче с малым параметром при стар­шей производной. Физический смысл полученного результата достаточно прозрачен: диссипация энергии является относительно медленным про­цессом. Отметим, что сходное явление наблюдается и в неоднородных турбулентных течениях. Например, мал угол расширения затопленной струи, и, следовательно, мала в ней диссипация энергии. Этот пример, по- видимому, указывает на то, что существует глубокая связь между по­стоянной С и постоянными, характеризующими скорость расширения неоднородных течений струйного типа, интенсивность турбулентности в этих течения и т. д.

Проанализируем теперь пульсации диссипации, которые, как известно, играют весьма важную роль в теории локально однородной турбулентно­сти. Используя соображения размерности и формулу (4.9), имеем

Ree = teWtfb -<v6)r2 – г-", j* = 2-f(6). (4.15)

Этот результат известен из работ Кузнецова [1976а], Фриша, Сюлема и Нелькина [1978].

Перейдем теперь к выводу уравнения для Ptt. Воспользуемся проце­дурой разделения характеристик турбулентной и нетурбулентной жидко­стей, сформулированной в § 4.2. В соответствии с этой процедурой в (2.31) следует заменить P(v, г) на у ffPff (v, r\w9 L), P(v, г, V, R) – на ytttPttt (v, r, V, L). Напомним, что г =дс<2) – дг*1), Д= дг<3> – — д^1), L = дс<5) – дс*1), a v, У, w — соответственно разности скоростей вточках 1 и 2, 1 и 3, 1 и 5.; при этом г <L, R<L, L.порядка интеграль­

но Тем самым считается, что постоянная С не зависит от у. Справедливость такого предположения в настоящее время не вполне ясна (см. § 4.5).

ного масштаба турбулентности. Учтем, что уп у при r/L 0. Используя (2.31) и (4.13),получим

ЪРп 2ку Э2 , Этг*

yv* + —- -7-7 иэЛг + = о,

огк г ovf ovk

ък = f TDkijfttt V, V, Ptttd* Vd3R, (4.16)

47Г

1 1 Э3

Y" — L __ _______ _________ — _________

Я |Л-гГ dRkdRjdRf

Здесь первое слагаемое характеризует силы инерции, второе – диссипа­цию энергии, а третье – пульсации давления. Так как пк пропорциональ­но интегралу по всем Л, то на движение с масштабом г влияют пульсации давления, создаваемые вихрями всех размеров.

Отсюда ясно, что пригодность гипотезы подобия, так же как и всей теории мелкомасштабной турбулентности, нуждается в тщательном ана­лизе. Действительно, каскадный характер передачи энергии по спектру турбулентности может осуществляться только, если области R < г и R > г (т. е. очень большие или очень малые вихри) не дают вклада в интеграл, содержащийся в (4.16). Другими словами, необходимо проанализировать сходимость этого интеграла. Рассматриваемый вопрос решается при ис­следовании поведения подынтегральной функции в областях г <Rnr>R.

Чтобы решить поставленную задачу, выделим три области: 1 (R> аг),

2 ‘(г/й < R < аг), 3 (R < г/а), где а > 1. Величину пк представим в виде

** = + +

*<■> = i – / ro^mWmd’Kf3*,

* 47Г R > ar

= f TDk//7mVtVfPnfddVd3Rt

K 4lT r/a < R < ar

*[3) = 4- ' TDMpttt V* Vftttd3 Vd3R.

K 4lT R < r/a

По определению 1 * характеризует пульсации давления, создаваемые вихрями с размером много больше г, — пульсации давления, гене­рируемые вихрями с размером порядка г, - пульсации давления, индуцированные вихрями с размером много меньше г.

Величины 7т£ 1 * и определяющие сходимость рассматриваемого

интеграла, можно, выразить через двухточечную плотность вероятностей с помощью гипотезы подобия. Заметим, что в силу теоремы Бейеса Pttt всегда можно представить в двух эквивалентных формах:

P„f(v. r, V. R \w, L) = Prt{v4r\V, R)Ptt{V9R\w9L), или

Pm(y. r. V, R\w. L) = Ptt{V9R\v. r)Ptt(^r\w9L).

При этом, однако, следует иметь в виду, что если r/R произвольно, то гипотеза подобия и формулы, полученные в § 4.1, несправедливы при описании Pr t и такая запись не облегчает решение задачи. Если же г > R или г < R, то гипотеза подобия справедлива. Тогда получаем

Pttt = Pn{y*r\VtR)Pu[y, R\w, L)* L > R > г,

Pttt = P„(V, R I v, r)Ptt(\,r | w, L), R < r < L, (4Л?)

оо

где преобразование Меллина F от Ptt (F = 2я JV1 + 2Pr дается фор-

о

мулой (4.7).

Теперь легко видеть, что пульсации давления, создаваемые наиболее мелкими вихрями (R < г), не влияют на движение крупных вихрей, т. е.

А 4тт R < Г/а

= Лг (v, г I w, А) / TDkij < Г, = 0.

4Я R < г/а

Здесь второе равенство вЫтекает из второго соотношения в (4.17), а третье - из уравнения неразрывности, которое, как было показано, спра­ведливо и для условных структурных функций. Учтено также равенство 7ttt =7 при/* > R, которое следует из (1.15).

Анализ слагаемого я^1* удобно провести, использовав преобразова­ние Меллина от (4.16). Умножим (4.16) на 2nvn + l и проинтегрируем по v от 0 до 00 при кр - const. Учитывая (4.7) и только что полученное

равенство я^3^ =0, находим

, <*#(*, j)

yq(n)H{n, y) + (I - у ) ----------------------- + 2кп(п - \ )Н(п, у) +

d\p

d, dHin, sp) + 2к (l -V) + Ji + Jz = 0, (4.18)

d<p dip


2nr /L\

о bvk

y»n \TJ



Здесь первые два слагаемых описывают силы инерции, а следующие два слагаемых, пропорциональные постоянной к, — перенос энергии по спект­ру. Слагаемое J2 характеризует пульсации давления, создаваемые вихря­ми с размером порядка г.

Наиболее интересные особенности уравнения (4.18) обусловлены слагае­мым Ji% которое описывает пульсации давления, создаваемые вихрями с размером много больше г. Его вычисление основано на формуле (4.7), первом соотношении в (4.17) и уравнении (1.12), из которого сдедует, что ytn =72 при г < R Результат приведен, в работе Кузнецова

[1976а], а подробные выкладки содержатся в работе Кузнецова и Са­бельникова [1981а]. В связи с тем, что все преобразования носят громозд-


кий характер, приведем лишь окончательную формулу


J1 =

— (1 +б<?)[(ба + з) f Н(п, — lj х




{

(и + 1 )уН(п - 2. ф) } X

х (l-V)

У*) —i------- ZL _ (и + 1 - 2. ф)

dip


(4.19)

X г2~6с> f (8q-2)R64~3dR



аг

bq = q(n) ~ q{n - 2) .

Видно, что интеграл в (4.19) сходится только при условии Re (bq) < 2. Тогда У! и остальные слагаемые в (4.18) не зависят от г.

Следовательно, возможны два варианта. В первом функция 8q являет­ся целой (она не имеет особых точек при I п | < °°). Тогда из принципа максимума следует, что условие Re (bq) < 2 выполняется только при bq = const. Условие bq = const есть разностное уравнение. Его частным ре­шением является функция q = co. ist • п + const. К этому решению может быть добавлена произвольная периодическая функция с периодом 2. Та­кие решения при 1ш п = 0 не удовлетворяют условию (4.11) и, следова­тельно, не должны рассматриваться. Поэтому, используя (4.10), получим q = ll3n, т. е. приходим к неуточненной теории Колмогорова [1941]. Этот вариант, как уже отмечалось в главе 1, не согласуется с эксперименталь­ными данными и, кроме того, обладает следующей особенностью, которая, по-видимому, не может быть характерна для реальных турбулентных те­чений. Действительно, из второй формулы в (4.3) находим


т. е. из принятой гипотезы подобия и уравнений движения следует, что модуль разности скоростей – не случайная величина.

Следовательно, функции bq(n) и q(ri) имеют особенности при конеч­ных п. Таким образом, из уравнений движения следует, что распределе­ние вероятностей разности скоростей не описывается логарифмически нормальным законом (функция (4.12) является целой, а условие Re(6^)< < 2 нарушается при Re п < 5/2 — l/(3tf2 )•

Как уже отмечалось в § 4.2, появление особых точек в функции q(n) обусловлено взаимодействием между турбулентной и нетурбулент­ной жидкостями. Покажем, что структура решений уравнения (4.18) в окрестности особых точек правильно отражает основные черты этого взаимодействия, которые вытекают непосредственно из уравнений Навье— Стокса. В главе 1 указывалось, что это взаимодействие обладает тремя особенностями. Во-первых, оно обусловлено пульсациями давления. Во – вторых, из (1.7) вытекает, что (v2)n/(v2)t r2"qi<2^ « г4/3 Опри г 0. Это означает, что интенсивные флуктуации в турбулентной жидко­сти взаимодействуют с пульсациями в нетурбулентной жидкости, кото­рые имеют малую амплитуду. В-третьих, мелкомасштабные пульсации в нетурбулентной жидкости получают энергию непосредственно от крупно-

масштабных энергосодержащих вихрей (коэффициент Л2 в (1.7) про­порционален градиенту скорости этих вихрей, т. е. < v2 )„ ~ А2).

Все указанные особенности наблюдаются и в рассматриваемом случае. Действительно, появление особых точек у функции q(n) обусловлено расходимостью интеграла в (4.16), который описывает пульсации давле­ния. Ясно также, что этим точкам соответствуют пульсации с малой ампли­тудой. Действительно, пусть пх – первая особая точка функции bq(ri). Появление такой точки может быть связано только с тем, что интеграл

оо

27г fvn[10]2Pttdv расходится при v ^ 0 и и = wb т. е. решающее значение

о

имеет структура пульсаций с малой амплитудой. Наконец, при п <пх вы­полняется условие Re (5q) > 2, так как в противном случае никакой особен­ности нет. Тогда из (4.19) следует, что при п [11] пх основной вклад в ин­теграл дает область R > г, т. е. крупномасштабные, энергосодержащие движения непосредственно влияют на медленные, мелкомасштабные вих­ри. Отсюда вытекает, что структура решений уравнения (4.18) в окрестно­сти особых точек функции q(n) отражает взаимодействие между тур­булентной и нетурбулентной жидкостями.

Сделанный выше вывод исключительно важен, так как в окрестности особых точек взаимодействие между вихрями разных масштабов носит прямой, а не каскадный характер, и, следовательно, несправедлива не только принятая гипотеза подобия, но и вся теория локально однород­ной турбулентности. Вопрос о справедливости этой теории вне особых точек остается открытым, что ясно из следующих соображений. Так как q(n) — аналитическая функция, то ее действительная (qr) и мнимая (<?;) части удовлетворяют уравнению Лапласа Aqr = A= 0, где Д = Ь2/Ьп2 + + Э 2/Эп2, nr = Re п, л/ = Im п. Решения этого уравнения обладают своеоб­разными нелокальными свойствами, т. е. структура особой точки опре­деляет характер решения на всех расстояниях от нее. Поэтому влияние крупномасштабных пульсаций давления, приводящих к возникновению особых точек, отражается и на структуре мелкомасштабных пульсаций со всеми амплитудами*). Важно, что это влияние не ослабевает при про­извольно малом отношении масштабов мелких и крупных вихрей.

Лишь на большом расстоянии от особых точек остаются только слабые следы такого влияния, т. е., строго говоря, теория локально однородной турбулентности может быть справедливой только при описании структур­ных функций достаточно высокого порядка.

Проанализируем этот вопрос более детально. Из (4.18) и (4.19) видно, что первые особые точки функций Н(п, <р) и bq(n) = q(n) — q(n — 2) совпадают. Так как Н(п, </?) – аналитическая функция п в области Re п > > —3, то Re пх < -3, где пх – первая особая точка функции bq(n). По­скольку bq = q(n) – q(n – 2), то перва[я особая точка (л = п2) функции q(n) расположена в области Re п < пх - 2 = -5 (Re пх < -3). Эта оценка имеет важное практическое и теоретическое значение, так как наибольший интерес представляет исследование поведения функции q(n) на больших расстояниях 5 и = п - п2 от особой точки. Например, для структурной функции, описывающей энергию пульсаций, имеем п = 2, 8п = 7, а для структурной функции, описывающей пульсации диссипации, получаем и = 6, 5л=11, т. е. \8п\>1.

Отсюда видно: основные черты мелкомасштабных пульсаций опреде­ляются структурой функции q(n) на больших расстояниях от первой особой точки. Другими словами, детали взаимодействия между турбу­лентной и нетурбулентной жидкостями не имеют значения. Таким образом, возможно создание достаточно простой теории, описывающей распределе­ние вероятностей разности скоростей. С другой стороны, во многих практи­ческих исследованиях приходится оценивать зависимость от расстояния структурных функций, порядок которых изменяется слабо по сравнению с |6и |. Например, в опытах главным образом измеряются структурные функции, для которых п находится в диапазоне 2-6. Для описания та­ких структурных функций, по-видимому, с достаточной точностью можно считать, что q - квадратичный полином от и, т. е. формула (4.12), соот­ветствующая логарифмически нормальному закону, приближенно спра­ведлива.

Легко видеть, что единственная постоянная q2, описывающая этот закон, является малой величиной. Действительно, экспериментальные данные, приведенные ниже в § 4.5, указывают на то, что постоянная ц в форму­ле (4.15) не больше, чем 0,5. Тогда из ^4.12), (4.15) находим^ =м/18^ £ 0,03. Следовательно, приходим к важному выводу: в теории локально однородной турбулентности фигурируют по крайней мере две малые по­стоянные. Одна из них (q2), как это следует из (4.15) и равенства q2 = = /х/18, характеризует пульсации диссипации. Вторая постоянная к фигу­рирует в формуле (4.13), описывающей среднее значение диссипации; эта постоянная связана с "константой" С в законе "двух третей". Как показывают оценки, проведенные в начале данного параграфа, значения к и q2 одного порядка. Отмеченное совпадение, по-видимому, не случайно и, скорее всего, связано с тем, что первая особая точка функции q(n) расположена достаточно далеко. Физически это означает, что турбулент­ная и нетурбулентная жидкости взаимодействуют слабо.

Заметим теперь, что обе рассматриваемые постоянные входят в урав­нение (4.18). Можно ожидать, что это уравнение определяет некоторую связь между к и ц (или q2). Проведенный анализ указывает на некоторые важные черты такой связи. Действительно, из (4.18) и (4.19) видно, что инерционные слагаемые не зависят от коэффициента перемежаемости 7, а одно из слагаемых, описывающее пульсации давления (/1), пропорцио­нально 7. Следовательно, коэффициенты в уравнении (4.18) принципиаль­но зависят от 7. Вообще говоря, это означает, что все рассмотренные выше константы (к, С, /i, q2) зависят от у. С физической "точки зрения возмож­ная неуниверсальность этих постоянных достаточно естественна, так как характер взаимодействия ме>кду турбулентной и нетурбулентной жид­костями должен зависеть от того, насколько плотно турбулентная жид­кость заполняет рассматриваемый объем.

§ 4.4. Влияние вязкости

на структуру мелкомасштабных пульсаций

Проанализируем сначала влияние вязкости на мелкомасштабные пуль­сации в инерционном интервале (L > г > т?). Из физических соображений ясно, что даже при большом расстоянии между рассматриваемыми точка­ми (г > т?) из-за случайности процесса возможны такие ситуации, когда v и, следовательно, локальное число Рейнольдса vr/v малы. Таким об­разом, влияние вязкости проявляется в окрестности особых точек функ­ции q(n).

Сделанное замечание порождает целый комплекс проблем, связанных с необходимостью уточнения уравнения (4.16). Во-первых, следует учесть, что величина к, характеризующая условно осредненную диссипацию энер­гии, является постоянной лишь при vr/v > 1, т. е. к = к (vrjv), где const при vr/v -> оо. Во-вторых, необходимо уточнить гипотезы, принятые при вычислении величины которая характеризует пульсации давления,

генерируемые крупномасштабным движением. В первом приближении такие уточнения могут основываться на следующих соображениях. Об­ратимся ко второму соотношению в (4.16), определяющему величину irk. При R > L (L - интегральный масштаб турбулентности) трехточеадая плот­ность вероятностей Pttt есть произведение одноточечной и двухточечной плотностей вероятности (пульсации в точке 3 не зависят от разности скоро­стей в точках 1 и 2). Тогда из уравнения неразрывности можно показать, что область R > L не дает вклада в интеграл, входящий в определение величины я*. Следовательно, в первом приближении можно считать, что при вычислении лк интегрирование производится по области L. Если предположить, что в этой области по-прежнему справедливо первое соот­ношение в (4.17), то верхний предел интегрирования в (4.19) следует заменить на величину порядка L. Это означает, что в окрестности особых точек величина J j зависит от r/L.

Таким образом, в уравнение (4.16) войдут два критерия vrjv и r/L и при анализе статистических характеристик турбулентности в инерционном интервале ее спектра возникает проблема вычисления двойного предела, когда vrjv 00 и r\L -*(). В рассматриваемой Области фазового простран­ства такое вычисление не может быть произведено однозначно, так как функция q(ri) имеет особые точки. Таким образом, возникают те же проблемы, что и были проанализированы в главе 1.

Рассмотрим теперь влияние вязкости на структуру наиболее мелко­масштабных пульсаций (г < г}). Наибольший практический интерес пред­ставляют статистические характеристики градиента скорости. Решению этой задачи посвящена остальная часть данного параграфа.

Пусть точки 1, 2, 3 находятся в турбулентной жидкости, а расстояния менщу точками 1 и 2, 1 и 3 соответственно равны г и R и, кроме того, выполняется условие т? < г < R < L, т. е. масштабы г и R по-прежнему принадлежат инерционному интервалу. Проанализируем, от каких пара­метров зависит условно осредненный момент




Величина Кп определяется наиболее мелкомасштабными флуктуация - ми с размером, сопоставимым с величиной 17. Поэтому естественно пред­положить, что Кп зависит только от и, г, v. Тогда из соображений размер­ности найдем


М„ — безразмерная функ Kn(V, R) = VnR~nMn =

где Мп — безразмерная функция. Используя теорему Бейеса, получим


= /*„(*, r)Ptt(y. г | К, R)d2v, (4.20)

где Ptt определяется формулами (4.3), (4.7), которые справедливы в инерционном интервале. Решение ищем в виде

(vr V(w)

кх{п)

Мп

Подставив эту формулу в (4.20) и учтя (4.7), найдем

q[n+x(n) J + х(я)-я = 0. (4.21)

Отсюда видно, что зависимость моментов градиента скорости от числа Рейнольдса определяется функцией q(n), характеризующей структурные функции в инерционном интервале.

Как указывалось в § 4.3, при не слишком больших п формула (4.12) может использоваться как достаточно хорошая аппроксимация. Учтем, что = м/18 < 1. Тогда, пренебрегая слагаемыми порядка q\, из (4.21) имеем

*(") = j + — jj(n2 -2п). (4.22)

Эта формула соответствует логнормальному закону. В частности, для моментов диссипации из (4.22) следует, что

Зцп(п — 1 )/8

(еп )Vtf =

Экстраполируя это соотношение в область г ~ L (L — интегральный масш­таб) , получим

// \ М«(/1-1)/2

<«">-<"■(7)

ехр {„№!!£№ 1, (4Л)

у/2п ео€ К 2<те )

, 1 oi = juln —.

Т?

Формула (4.23) часто используется при анализе измерений градиента

скорости (Френкиль и Клебанов [1975]и др.). Она основана иа при­ближенном соотношении (4.22) и поэтому справедлива только при q2 = = м/18 ^ 1. Даже при q2 < 1 она не описывает пульсации величины е с очень большой амплитудой, так как (4.23) есть следствие приближенного соот­ношения (4.12), которое непригодно при больших п, т. е. при больших амплитудах пульсаций.

Действительно, исследуем характер поведения функции q(n) при боль­ших положительных п (Im п = 0). Введя обозначение у = п + х, из (4.21) по­лучим

2п =д> + <70). (4.24)

Решение этого уравнения, вообще говоря, неоднозначно, что следует из анализа знаков производной dn/dy при у ^ 1 и при у 00. Действитель­но, так как q2 мало, то q’(2) %1/3. Поэтому из (4.24) получаем dn/dy > 0 при у* 1. Рассмотрим теперь случай, когда Пусть

oc=q(y)ly. Возможны, очевидно, два варианта. В первом имеем а>— 1 при Тогда dn/dy > 0 как при у^ 1, так и при Во вто­

ром получаем а < -1 при у Тогда dn/dy = 1 + а < 0 при у т. е. dn/dy обращается в нуль при конечном у и, следовательно, функции у(п) и х(п) неоднозначны.

Проиллюстрируем сделанный вывод на примере логарифмически нор­мального закона (а = при у = °°).Из (4.12), (4.24) следует, что dn/dy = 0, п =л3 = (4/з +3q2)2/(4q2) при у = (4/з + ^q2)!{2q2). В малой окрестности рассматриваемой точки получаем х = у – п = const +

+ const \/п3 – п, т. е. функция х(п) имеет особенность и, следовательно, моменты градиента скорости, порядок которых превышает л3, не сущест­вуют.

Отсюда вытекает, что все моменты градиента скорости существуют лишь в том случае, когда справедлива следующая асимптотическая за­висимость (и-*°°):

q = const +ап, а > -1. (4.25)

Укажем одну интересную особенность распределений вероятностей, для которых справедлива формула (4.25). Из (4.3), (4.25) можно показать, что существует максимально возможная разность скоростей = О при v > vm) в двух точках, принадлежащих инерционному интервалу спектра. Зависимость vт(г) описывается выражением vm w r~*tt.

Заметим также, что в рассматриваемом случае (а > —1) из существо­вания всех моментов градиента скорости вытекает дифференцируемость неосредненного поля скорости (Монин и Яглом [1967]). В другом случае (а < —1) сделать какие-либо выводы о дифференцируемое™ не­осредненного поля скорости невозможно, так как гладкая случайная функция может не иметь некоторых моментов (Монин и Яглом [1967]). Напомним, что дифференцируемость решений уравнений Навье — Стокса не доказана. Ьысказыьается также ряд соображений о том, что такие ре­шения могут быть и недифференцируемыми (Ладыженская [1970]).

§ 4.5. Экспериментальные исследования структуры

мелкомасштабной части спектра турбулентности

Структура мелкомасштабной части спектра турбулентности экспери­ментально изучалась во многих работах. Полученные данные носят в зна­чительной мере противоречивый характер. В частности, константа д ко­леблется в диапазоне 0,2-0,5. В связи с этим полезно проанализировать точность проведенных опытов. Результаты выполненных выше теорети­ческих исследований позволяют провести такой анализ достаточно ак­куратно.

Прежде всего отметим, что измерение характеристик турбулентности в инерционном и вязком интервалах спектра сопряжено с большими трудностями. Эти трудности обусловлены тем, что диссипация энергии колеблется в очень широком диапазоне значений. Поэтому возникают ошибки, связанные с пространственным осреднением поля скорости. При увеличении амплитуды пульсаций диссипации энергии возрастает и ампли­туда колебаний минимального масштаба гидродинамических неоднородно – стей, и чем выше номер измеряемого момента, тем сильнее выражен этот эффект. Оценим роль указанных факторов (Кузнецов, Прасковский и Сабельников [1984а, б]). Анализ, проведенный в § 4.4, показывает, что при определении моментов диссипации энергии, порядок которых не слишком велик, можно воспользоваться формулой (4.23).

Пусть необходимо измерить величину <еЛ> с точностью t. Тогда из (4.23) следует, что измерительный прибор должен регистрировать значе­ния диссипации в диапазоне (0, е t), где

б! = <е>ехр [а2(л - l/2) + oh{t)\,

L 1 ~ / (426>

а2 = juln—, —= / expf - — )c? s = г.

V у/2тг h(t> \ 2/

Эта оценка получается, если предположить, что измеряемое значение е равно нулю при е > е i.

Отсюда вытекает, что размер области /, по которой производится при­борное осреднение (например, длина нити термоанемометра), не должен превышать величины / = const Эта величина может быть су­

щественно меньше колмогоровского масштаба 17, так как в рассматривае­мой области значения диссипации могут существенно превышать < е >. Для проведения конкретных расчетов зададимся некоторым уровнем точности, скажем, t = 0,2. Рассмотрим сначала измерения средней дисси­пации энергии. Воспользовавшись экспериментальными данными, кото­рые обобщены Мониным и Ягломом [1967], заключаем, что 80% дисси­пации энергии сосредоточены в той части спектра, которая удовлетво­ряет условию кг\ > 0,4 (к — волновое число). Таким образом, при изме­рении величины < е > с точностью 20% длина нити должна быть не более чем / = 2,5 г?. Можно предположить, что аналогичное условие должно соблю­даться и при измерениях моментов более высокого порядка. Единствен­ное отличие должно заключаться в том, что среднее значение колмо­горовского масштаба т? следует заменить на величину ^3/4ег1/4, т. е. / = 2,5*3/4еГ1/4.

При t = 0,2 имеем h = 0,84. Из оценки < е > = [7з (< и2 > - < и >2 )] 3’2/L = = u3/L и известного равенства <е> = \5v<(dui/bxi)2) получаем /,/т? = = 15~3/4 Rej^2, где Re\ = wX/y, X – микромасштаб турбулентности. Те­перь легко найти максимальное значение длины нити термоанемометра. Имеем //т? = 2,5 (<е >/е i)1/4. Так как п = 2 при измерении спектра дисси­пации энергии, то из (4.26) имеем //т? = 0,5 при Re\ = 300 и ц = 0,5, //17 = = 0,2 при Re\ = 5000 и м = 0,5, Цг\ = 1.2 при Rex = 300 и ju = 0,2, //17 = 0,8 при Re\ = 5000 и ц = 0,2 (оценки проведены для максимальных значений Re^ и ju в известных экспериментах). Отсюда видно, что во всех опытах точность измерения спектра диссипации энергии весьма мала, так как //т? = 1,5 в наиболее благоприятном случае (Антониа, Фан-Тьен и Сатьяпра – каш [1981]).

Имея в виду сделанные замечания, рассмотрим результаты известных экспериментов. При измерениях RЂЂ или спектра диссипации энергии полу­чены следующие данные: д = 0,47 (Гибсон и Масейо [1975]), IX = 0,5 (Вин – гаард и Пао [1975]), tx = 0,43-0,51 (Шампань, Пао и Виньянски [1976]), /и = 0,5 (Гэгне и Хопфингер [1979]), м = 0,5 (Фрейе, Ван Атта и Гибсон [1972]), ц = 0,38 (Гурвич и Зубковский [1963, 1965]), ix = 0,4 (Понд и Стюарт [1965]), ix = 0,25 (Холмянский [1972]), м = 0,2 (Антониа, Фан – Тьен и Сатьяпракаш [1981], Антониа, Сатьяпракаш и Хуссейн [1982], Антониа, Раджагопалан, Браун и Чамберс [1982], Местейер [1982], Ансель- мет, Гэгне, Хопфингер и Антониа [1984]), д = 0,3-0,45 (Кузнецов, Прасков – ский и Сабельников [1984а, б]). Наибольшее значение Re^ было в работе Антониа, Фан-Тьена и Сатьяпракаша [1981] (Rex ^7 • 103), в которой по­лучены наименьшие значения ц. Разрешающая способность аппаратуры в этих и во всех остальных опытах была недостаточна (//т? > 1,5).

Таким образом, погрешности измерений очень велики, и, следовательно, в настоящее время основное внимание необходимо сосредоточил на опы­тах, в которых выявляются качественные, а не количественные закономер­ности.

Отдельные результаты таких опытов приведены в работе Кузнецова, Прасковского и Сабельникова [1984а, б], в которой изучалось течение в следе за круглым цилиндром. Измерения проводились на расстоянии 38 калибров с помощью термоанемометра. Отношение длины нити к изме­ренному значению т? составляло 5—8. Поэтому все сделанные выше замечания, касающиеся точности измерений, относятся и к результатам, полученным в рассматриваемой работе. Сигнал с термоанемометра, соответствующий продольной компоненте скорости, записывался на магнитограф, а затем обрабатывался на цифровой вычислительной машине. Были проведены два опыта, контролирующие точность измерений. В первом измерялась величи­на k2Ei(k), где к – волновое число, Ех — продольная спектральная плот­ность пульсаций скорости. В инерционном и вязком интервалах результаты измерений сравнивались с экспериментальными. данными, обобщенными в книге Монина и Яглома [1967]. Установлено, что данные, полученные в рассматриваемой работе и в других экспериментальных исследованиях, удовлетворительно согласуются при кт?<0,5. Во втором опыте сигнал осреднялся по варьируемому промежутку времени т и по такому сигналу находилась постоянная ц. Установлено, что с точностью 10% значение ц


Рис. 4.1. Зависимость колмогоровской постоянной от ко­эффициента перемежаемости по данным Кузнецова, Прасковского и Сабельникова [1984а, б] .Условия опытов те же, что и на рис. 3.2

Рис. 4.2. Зависимость постоянной ц в корреляционной функции диссипации энергии от коэффициента переме­жаемости по данным Кузнецова, Прасковского и Сабель­никова [1984а, б]. Условия опытов те же, что и на рис.3.2

Рис. 4.3. Зависимость условно осредненной диссипа­ции энергии от разности скоростей по данным Кузне­цова, Прасковского и Сабельникова [ 1984а, б].,Расстоя­ние между точками гД = 0,023, L – продольный масштаб турбулентности, е° – < е,, > и, /Ге, { >, , – = i> (duJdXi)2, v° = v i/(v2)1/2. Условия опытов те же, что и на рис. 3.2


не меняется, если от < 3/[12]) (и — средняя скорость потока, / — длина нити термоанемометра). Таким образом, можно ожидать, что точность рассмат­риваемых измерений ненамного хуже, чем в остальных работах.

Одна из целей рассматриваемой работы заключалась в том, чтобы прове­рить, насколько универсальными являются постоянные С и ju. Такая зада­ча была поставлена в связи со следующими соображениями. Во-первых, имелся ряд теоретических соображений, указанных в § 4.3, из которых сле­довало, что Сид могут зависеть от у. Во-вторых, основные результаты известных измерений получены в тех областях течений, где коэффициент перемежаемости близок к единице. В-третьих, известные из литературы значения постоянной С заметно различаются. Например, в работе Гибсона и Шварца [1963] (течение за решеткой) установлено, что С = 1,7, а в работе Антониа, Сатьяпракаша и Хуссейна [1982] (течение вблизи оси круглой струи) измеренное значение С составляло С= 2,5. Столь заметная вариация, по-видимому, превышает точность измерений.

Данные, изображенные на рис. 4.1 и 4.2, дают ответ на поставленный вопрос. Видно, что величины С ид, традиционно считающиеся постоянны­ми, в действительности заметно варьируются. Тем самым подтверждается один из выводов, сделанных в § 4.3. Следует, однако, отметить, что приве­денные на рис. 4.1 и 4.2 зависимости С и м от 7 получены при измерении функций СО), ju(y)> 700 > где у – поперечная координата. Так как опыты проведены в одном сечении, а тип течения не менялся, то из рис. 4.1 и 4.2 не следует, что коэффициент перемежаемости — единственный опреде­ляющий параметр.

Вторая цель состояла в проверке формулы (4.13). Измерялась только величина €\ 1 = 1/Эх 1)2, которая условно осреднялась при постоянном значении Ui (индекс 1 соответствует направлению течения). Из таких опы­тов можно получить лишь качественное подтверждение соотношения (4.13), так как количественная проверка (4.13) связана с одновременным изме­рением всех трех компонент скорости. Результаты экспериментов при­ведены на рис. 4.3, из которого видно, что увеличение Uj приводит к силь­ному возрастанию <ец>У1. Аналогичный вывод следует из (4.13). Разу­меется, ввиду не слишком большой точности измерений изложенные выво­ды нуждаются в дальнейшей проверке.

Заканчивая обсуждение статистических характеристик мелкомасштабной турбулентности, остановимся на главных результатах проведенного исследо­вания. Сформулирована гипотеза подобия, обобщающая предположения, которые используются^в теории локально однородной турбулентности для описания каскадного характера процесса передачи энергии от крупномас­штабных возмущений к мелкомасшабным. Из этой гипотезы и математичес­ких определений величин, которые используются при ее формулировке, установлено, что в инерционном интервале справедливо выражение <vn V t= = Г(г//?)<7(я),гдеу = 1|(А:(2))-1|(А:(1>), Г = ii(*(3))-ii(*(1)),r = х(2> – лг(>1), R = х^ – х*1), ri<r<R< L, L – интегральный масштаб турбулентности, q — аналитическая функция п, нижние индексы V и t соответствуют осред­нению по турбулентной жидкости при условии V = const.

Из гипотезы подобия и уравнений движения вытекае!, что функция q(n) имеет особые точки, расположенные при конечных значениях п. В ма­лой окрестности особых точек характер функции q(n) определяется взаи­модействием между турбулентной и нетурбулентной жидкостями. Основ­ная черта этого взаимодействия — непосредственное влияние крупномас­штабных, энергосодержащих возмущений на медленные, мелкомасштаб­ные флуктуации. Гипотеза подобия в окрестности этих точек несправедли­ва, так как она исходит из представления о том, что взаимодействие возму­щений разных масштабов носит каскадный, а не прямой характер. Важно, что изложенные соображения касаются процессов, происходящих во всех областях турбулентных течений, в том числе и в тех областях, где переме­жаемость традиционно считается несущественной.

Из уравнения для распределения вероятностей разности скоростей уста­новлено, что постоянные, характеризующие различные характеристики турбулентности в инерционном интервале ее спектра, вследствие влияния перемежаемости неуниверсальны. В частности, этот вывод относится к постоянной С в законе "двух третей".

Важные выводы вытекают из анализа положения особых точек функции q(n) (эти точки характеризуют взаимодействие турбулентной и нетурбу­лентной жидкостей). Установлено, что в пространстве п эта точки находят­ся достаточно далеко (п < — 5) от тех точек, которые определяют энергию пульсаций (п = 2) и флуктуации диссипации (л = 6). Отсюда можно заклю­чить, что взаимодействие турбулентной и нетурбулентной жидкостей носит слабый характер. Именно по этой причине в теории локально однородной турбулентности содержатся две малые постоянные. Первая постоянная к содержится в формуле (4.13) для условно осредненной диссипации энер­гии (она связана с постоянной С в законе "двух третей"). Вторая постоян­ная <7(2)-2/з связана с постоянной ц, характеризующей пульсации дис­сипации.

Указанные оценки свидетельствуют о том, что возможно создание доста­точно простой теории, в которой для описания функции q(n) используются асимптотические зависимости, не учитывающие детали взаимодействия между турбулентной и нетурбулентной жидкостями. Высказанные сообра­жения свидетельствуют также о том, что при решении ряда практически важных вопросов, связанных с оценкой структурных функций не слишком высокого порядка (см. главы 5 и 6), можно использовать простые аппро­ксимации функции 4(л), например формулу (4.12), справедливую д. я логнормального закона распределения вероятностей.

Решение вопросов, рассмотренных в данной главе, имеет исключитель­но важное значение для теории турбулентности. Действительно, хотя глав­ные черты турбулентного потока и определяются наиболее крупномас­штабными, энергосодержащими вихрями, теория турбулентности не может ограничиться рассмотрением только таких вихрей, так как их эволюция зависит от диссипации энергии, которая осуществляется в наиболее мелких вихрях. По этой причине объем информации, необходимой для достаточно точного описания течения при больших числах Рейнольдса, оказывается очень велик. Используем полученные выше соотношения для оценки этого объема при решении точных уравнений Навье – Стокса в пространственной области сов течение времени 71.

Для этого в области соХТ выберем п реперных точек таких, что описа­ние скорости в произвольной точке может быть получено путем линейной интерполяции по значениям скорости в реперных точках. Ввиду того, что флуктуации диссипации энергии велики, реперные точки должны быть расположены сильно неравномерно. Чтобы учесть указанное обстоятель­ство, введем локальный колмогоровский масштаб длины т?= р 4 в ~ 1’4 и локальное колмогоровское время г = y/vfe. Очевидно,

n~ffn-3Tld3xdt= ffЂs/4i>-ll/4d3xdt. (4.27)

Ocj О cj

В качестве примера рассмотрим однородную стационарную турбулент­ность, предполагая, что имеется сила, работа которой компенсирует дис­сипацию энергии. Тогда из (4.27) получим

w-F7V11/4<65/4>, (4.28)

где V — объем области со. Используя результаты, полученные в § 4.3, находим

*(u>)s/4(ur/p),SM/iae.

где последняя оценка получена из приближенной формулы (4.22). Вели­чина 15д/128 порядка 0,01. Это означает, что при оценке величины п можно

пренебречь флуктуациями диссипации[13]) Поэтому, считая, что V^L3, T~(L2I< е >)1/3,из (4.28) найдем

w-Re 11/4, (4.29)

где Re — число Рейнольдса, рассчитанное по интегральному масштабу турбу­лентности/. и среднеквадратической скорости.

Отсюда видно, что объем информации, необходимой для описания тур­булентности, неограниченно растет с увеличением числа Re, и поэтому сле­дует искать пути приближенного решения проблемы. Один из таких путей может быть основан на принципе автомодельности турбулентных течений по числу Re. При таком подходе для описания течения с большим числом Рейнольдса можно использовать результаты решения точных уравнений Навье — Стокса, в которых число Рейнольдса относительно невелико. Очевидно, что при вычислении и такой прием приводит к ошибке порядка колмогоровской скорости (*>< е))1’4, т. е. относительная ошибка Ег порядка Re~,/4. Используя эту оценку и формулу (4.29), заключаем, что при описании поля скорости с заданной точностью требуется количество чисел, которое по порядку величины равно

п — Ег"11 (4.30)

Второй путь связан с рассмотрением поля скорости, частично осреднен- ного по пространственным областям с характерным размером /, который удовлетворяет условию L > I > *>3/4< е > "~,/4. Такой подход исполь­зуется в подсеточных моделях турбулентности, в которых для описания частично осредненного поля скорости формулируется уравнение, сходное с уравнением Навье – Стокса, и предполагается, что коэффициент микро­турбулентной вязкости, входящий в это уравнение, универсально связан с характеристиками вихрей, размеры которых порядка /. Естественно предположить, что так же, как и в предыдущем случае, для оценки коли­чества чисел я, необходимых для достаточно точного описания частично осредненного поля скорости, можно пренебречь флуктуациями диссипации энергии. Поскольку пространственный масштаб изменения частично осред­ненного поля скорости порядка /, а временной, как ясно из соображений размерности, порядка (/2/< е>)]/3, то при VГ~(Ь2/< е>)1/3 получаем п ~ (/ /L) 3. Так как масштаб / принадлежит инерционному интервалу, то при вычислении среднеквадратической скорости получается ошибка порядка (< е>/ ) !/3, т. е. Ег — (//Ь) ^ 3, и, следовательно, снова приходим к формуле (4.30). Таким образом, оба подхода принципиально не отличаются.


Единственно возможное преимущество второго подхода состоит в том, что частично сглаженное поле скорости и(х91), как это следует из гипотезы подобия, является дифференцируемым. Действительно, пусть точки 1, 2, 3 лежат в турбулентной жидкости, а расстояния между точками 1 и 2, 1 и 3 соответственно равны г и /?03/4< е> ~l,*)<r<R <Lt v = w(x(2))- — i#(*(1))> У = i#(*(3)) — 1/(дс(1)). В соответствии с гипотезой подобия величина

К^р = < )VJ

зависит только от и, г, /, т. е.

к</) = vnl’n МЦ\1/г). Тогда аналогично формуле (4.20) получим

А’<7)(^Д)= /*<%,r)/>„(v, r,| V, R)d3v. Отсюда найдем соотношение, аналогичное (4.21), М<’>=(//г)«<">,

где функция q (п) по-прежнему является характеристикой инерционного интервала спектра турбулентности. Отсюда видно, что все моменты по­ложительных порядков существуют, и поэтому частично осредаенное поле скорости дифференцируемо.

Подводя итоги проведенного анализа, отметим, что, как видно из (4.30), объем информации, необходимый для описания турбулентности, резко возрастает с увеличением точности. Поэтому разработка надежной теории инерционного интервала спектра турбулентности имеет исключительно важное значение для создания всей теории турбулентности.

ГЛАВ А 5

ТУРБУЛЕНТНОЕ ДИФФУЗИОННОЕ ГОРЕНИЕ

Сжигание предварительно нелеремешанных газов в турбулентном потоке широко используется в самых разнообразных технических устройствах (промышленные печи, горелки, камеры сгорания газотурбинных двигате­лей и тд.). Основы теории этого процесса заложены в работах Бурке и Шумана [1928], Шваба [1948], Зельдовича [1949], Гауссорна, Уиддела и Хоттела [1949]. Одна из главных идей теории выдвинута Бурке и Шума­ном. Она основана на предположении о том, что процесс горения лимити­руется смешением горючего и окислителя. Критерий пригодности введенно­го предположения можно получить из работы Зельдовича [1949], результа­ты которой удобно обсудить позже. В соответствии с принятым предполо­жением можно считать, что скорости всех химических реакций бесконеч­но велики и, следовательно, состав и. температура в диффузионном пламе­ни термодинамически равновесны. Это предположение позволяет свести задачу к описанию поля инертной (не реагирующей) примеси. Действи­тельно, предполагая, что все коэффициенты Молекулярного переноса рав­ны[14]), уравнения диффузии горючего и окислителя можно записать в виде

А (<*/)= – pW/9 А(с0) = – pW0, (5.1)

д

А = р — +piiV – V(DpV),

где р — плотность, и — скорости, х— координата,!) — коэффициент моле­кулярной диффузии, W — скорость реакции, с — концентрация, индексы / и о относятся к горючему и окислителю, А — дифференциальный опе­ратор, соответствующий уравнению диффузии, / – время.

Если химическая реакция является одноступенчатой, то между величи­нами Wf и W0 существует следующая связь: WQ = St Wf9 где St — сте – хиометрический коэффициент (количество граммов окислителя, необхо­димое для полного сгорания грамма горючего). В силу линейности опера­тора А скорость реакции можно исключить из формулы (5.1), получив соотношение A(St Cf — с0) = 0. Поскольку A (const F) = const A (F), A(const) = 0, то удобно ввести величину

St cf~c0 + 1

1+st » A(z) = 0, (5.2)

которая равна 1 в потоке чистого горючего и 0 — в потоке чистого окисли­теля. В отсутствие горения она дает концентрацию горючего, а при горе­нии — восстановленную концентрацию горючего.

Так как обычно термодинамическое равновесие смещено в сторону продуктов сгорания, то концентрации промежуточных веществ малы, а условие термодинамического равновесия приближенно запишется в ви­де С/С0 = 0, т. е. реакция протекает настолько быстро, что в каждой точке потока не могут одновременно присутствовать топливо и окислитель. Тогда из (5.2) находим


(5.3)


Из соотношения (5.3) видно, что сделанным предположениям соответ­ствует бесконечно тонкая зона химических реакций, расположенная на изоскалярной поверхности z =zs, на которой Cf = с0 = 0. Легко показать, что на рассматриваемой поверхности потоки горючего и окислителя нахо­дятся в стехиометрическом соотношении. Таким образом, определение характеристик диффузионного факела сводится к описанию поля кон­центрации инертной примеси.

Исходя из достаточно общих предположений, можно показать (§5.1), что этот вывод справедлив и в том случае, когда число реакций и реагирую­щих веществ произвольно. При этом формула (5.2) должна быть обобщена, т. е. под концентрацией z необходимо понимать величину, которая полу­чается в результате следующей операции. Рассмотрим некоторую точку по­тока и мысленно проведем все химические реакции в обратном направле­нии. Будем продолжать этот процесс до тех пор, пока все атомы, содержа­щиеся в топливе, не соберутся в исходную молекулу. Полученная таким образом концентрация топлива и будет равна z.

Специфические особенности диффузионного горения в турбулентном потоке были впервые исследованы в работе Гауссорна, Уиделла и Хоттела [1949]. Основная проблема, которая возникает в рассматриваемом случае, связана с тем, что, как следует из (5.3), концентрация горючего су нели­нейно связана с концентрацией инертной примеси. Поэтому при нахождении полноты сгорания приходится осреднять нелинейную зависимость cy(z), для чего необходимо знать распределение вероятностей концентрации инертной примеси z. Необходимость такого осреднения ясна из чисто физических соображений. Дело в том, что выводы, сделанные в работе Бурке и Шумана [1928], справедливы и при описании горения в турбулент­ном потоке, т. е. можно считать, что зона реакции является очень тонкой. Из-за случайных колебаний скорости фронт пламени также случайно колеб­лется. Следовательно, в каждой точке потока будет наблюдаться то избы­ток горючего, то избыток окислителя. По этой причине при одном и том же значении (z > с увеличением амплитуды пульсаций концентрации амплитуда пульсаций фронта пламени также возрастает, что приводит к снижению средней полноты сгорания. Отсюда следует, что для описания эффектив­ности процесса горения необходимо иметь информацию о распределении вероятностей концентрации.

Из проведенного выше анализа видно, что исследование характеристик турбулентного диффузионного горения сводится к описанию поля кон-

центрации инертной примеси. Поэтому для решения рассматриваемой проблемы естественно привлечь методы, разработанные в теории турбулент­ности. Такие методы в настоящее время интенсивно развиваются (Лондер и Сполдинг [1972], Баев, Головичев и Ясаков [1976], Кузнецов, Лебедев, Секундов и Смирнова [1977а, б, 1980], Байуотер [1980], Вулис, Ершин и Ярин [1963], Зимонт и Мещеряков [1974], Зимонт, Мещеряков и Са­бельников [1978, 1981, 1983], Олбер и Бэтт [1974, 1976], Борги [1980], Громов, Ларин и Левин [1984], Мещеряков и Сабельников [19846] и др.). В этих методах используется та или иная полуэмпирическая модель турбу­лентности, позволяющая рассчитать величины <£> и а2 = <(z – <z>)2>. При осреднении различных нелинейных зависимостей предполагается, что плотность вероятностей концентрации г универсально связана с величи­нами <z> и а, т. е. Р = о’1 F[(z ~ (z))/o]. Вид функции F, как правило, выбирается из более или менее произвольных соображений.

Основные проблемы, которые возникают при использовании рассмотрен­ных выше методов, связаны с описанием специфических газодинамических особенностей диффузионного горения, которые обусловлены сильным уменьшением плотности. Например, известно, что дальнобойность затоплен­ного диффузионного факела существенно выше, чем дальнобойность негорящей струи того же газа (Гауссорн, Уиддел и Хоттел [1949], Кремер [1966]). Расчеты и эксперименты (Кузнецов, Лебедев, Секундов и Смир­нова [19776], Бурико и Лебедев [1980]) показывают, что при диффу­зионном горении возникают два разных газодинамических эффекта. Пер­вый эффект связан с уменьшением времени пребывания в факеле. Напри­мер, при горении в канале увеличивается скорость, а при горении в свобод­ном факеле скорость потока уменьшается слабее, чем в негорящей струе. Этот эффект приводит к замедлению смешения. Второй эффект возникает только при горении в ограниченном пространстве-и обусловлен тем, что под воздействием градиента давления тяжелая жидкость (окислитель) и легкая жидкость (продукты сгорания) ускоряются по-разному. Поэтому увеличивается поперечный градиент скорости, что приводит к дополни­тельной турбулизации потока и улучшению смешения. Поскольку оба эф­фекта противоположным образом воздействуют на характеристики смеше­ния, то в различных условиях может происходить как уменьшение длины факела (Бурико и Лебедев [1980]), так и ее увеличение (Клячко и Стро – кин [1969]).

Следующий шаг в развитии теории диффузионного горения сделан Зельдовичем [1949], который учел влияние скорости химических реак­ций на структуру пламени. Им было установлено, что, как правило, толщи­на зоны реакций существенно меньше характерных размеров задачи. Это связано с тем, что химические реакции, встречающиеся в процессах горе­ния, идут с большой скоростью только при высоких температурах. Поэто­му при удалении от фронта пламени, т. е. от поверхности z =zS9 скорость реакций сильно уменьшается. Указанное обстоятельство позволяет рассмат­ривать зону реакций как своеобразный пограничный слой, толщина кото­рого много меньше, чем радиус его кривизны. Анализ характеристик та­кого пограничного слоя показывает, что при большой энергии активации ведущих реакций распределения температуры и концентраций во фронте пламени достаточно слабо отличаются от распределений, которые получают – ся при бесконечно большой скорости реакции. Поэтому поток горючего к фронту пламени Qf легко оценивается из решения задачи в предполо­жении о бесконечной скорости реакции, т. е. Qf = (1 – zs)~l рО\Ъг/Ъп\, где п — нормаль к зоне реакции. Приведенная формула вытекает из (5.3).

Этот поток играет решающую роль в теории, так как в работе Зельдо­вича [1949] установлено, что устойчивое горение возможно лишь, если Qf<Qfc> гДе QfC по порядку совпадает с потоком горючего в нормаль­ном фронте пламени. Напомним, что таким фронтом называется плоская зона реакции, распространяющаяся по неподвижной смеси горючего и окислителя. От диффузионного этот фронт отличается тем, что оба горючих компонента находятся по одну сторону зоны реакции. Скорость движения этого фронта ип зависит от характерного времени химической реакции тс и коэффициентов молекулярного переноса, т. е. ил ~ yjD/rc. Использова­ние величины ип очень удобно, так как детальная кинетика часто неизвест­на, а скорость ип легко измеряется в опытах. Величина ип зависит от со­става смеси, начальной температуры и давления. В данном случае следует оценивать Q/c по значению ип в стехиометрической смеси с той же началь­ной температурой, которая бы наблюдалась при смешении топлива и оки­слителя без реакции. Отсюда ясно, что QfC = un(zs) zsp(zs).

Таким образом, условие Qf<QfC приобретает вид dz

D— < zs(\ – zs)un(zs). Ъп

Из теории Зельдовича [1949] следует, что если это условие выполнено, то процесс горения происходит так же, как и при бесконечно большой скорости реакции. В противном случае происходит срыв пламени.

Предположение о том, что характеристики диффузионного горения сла­бо зависят от скорости реакций, получило широкое распространение, так как оно позволяет решить ряд практически важных задач, например найти длину факела Однако в последнее время возник ряд новых проблем, связанных с необходимостью дальнейшей интенсификации процесса горения, повышением его эффективности, снижением выброса токсичных веществ и т. д. и требующих значительного уточнения теории.

Рассмотрим конкретный пример — проблему снижения концентрации окислов азота. Во многих случаях (в частности, в камерах сгорания газо­турбинных двигателей) концентрация окислов азота на один-два порядка ниже равновесной. Поэтому их эмиссия существенно зависит от скорости химической реакции. Скорость окисления азота резко меняется при ва­риации температуры (Зельдович, Садовников и Франк-Каменецкий [1947]). Поэтому даже слабая термодинамическая неравновесность основных реак­ций и небольшие потери тепла (например, вследствие излучения) могут сильно сказаться на эмиссии окислов азота (Боумен [1973], Сарофим и Поль [1973],Сигал [1977]).

Таким образом, видна общая задача, связанная с анализом влияния тур­булентности на протекание химических реакций в условиях, когда главные черты процесса (йадример, длина факела) не зависят от скорости химичес­ких процессов. Решению этой задачи и посвящена данная глава.


Развитые в ней методы носят достаточно общий характер. Однако оказа- лорь удобным изложить их существо на примере решения вполне конкрет – ной проблемы – описания поля концентрации окислов азота в затопленном диффузионном факеле. Удобство такого способа изложения связано с необ­ходимостью опытной проверки основных предположений и выводов тео­рии, а затопленный свободный факел наиболее хорошо изучен эксперимен­тально. В соответствии с этим ниже рассматривается горение, возникающее при истечении пропана или водорода со скоростью и0 из круглого сопла диаметром d вертикально вверх в неподвижный воздух. Давление и темпе­ратура считаются нормальными. Характерные значения определяющих па­раметров: d = 3—6 мм, и0 = 10—30 м/с для пропана; d = 0,5—6 мм, и0 = 100—800 м/с для водорода.

Принятый в главе план изложения учитывает, что решение можно раз­бить на отдельные этапы. Сначала (§5.1) естественно проанализировать случай, когда все химические реакции, приводящие к окислению топлива, находятся в равновесии. Затем (§5.2) рассматривается образование окислов азота в предположениях о том, что их концентрация намного ниже равновесной, а все остальные концентрации равновесны. Здесь возникает общая проблема, связанная с необходимостью осреднения скоростей хими­ческих реакций. В § 5.3 анализируются потери тепла излучением, а в § 5.4 — влияние турбулентности на протекание всех химических реакций, в том числе и реакций окисления топлива. Разработанные методы используются в § 5.5 для описания образования окислов азота. Наконец, в § 5.6 предпри­нята попытка развить более общую теорию, в которой не предполагается, что влияние химических реакций на основные характеристики факела мало.

Связь указанных выше проблем с задачами, рассмотренными в преды­дущих главах, просматривается вполне отчетливо. В самом деле, скорость окисления азота чрезвычайно сильно зависит от температуры. Поэтому при нахождении средней скорости реакции необходимо знать распределе­ние вероятностей температуры. Аналогичная проблема возникает и при оценке излучения факела. Наконец, при исследовании влияния турбулент­ности на отклонения от термодинамического равновесия необходимо в первую очередь знать локальную структуру турбулентности, так как при диффузионном горении толщина зоны химических реакций очень мала, и поэтому внутренняя структура этих зон в основном зависит от характе­ристик наиболее мелкомасштабных вихрей.

§ 5.1. Газодинамические эффекты

при турбулентном диффузионном горении

В данном параграфе рассматривается горение заранее не перемешанных газов в предположении о том, что скорости химических реакций бесконеч­но велики. В нем, так же как и везде дал ее j считается, что число Маха ма­ло, число Рейнольдса велико, коэффициенты молекулярного переноса оди­наковы, и если есть стенки, то отвод тепла в них пренебрежимо мал. В этом и в следующем параграфе предполагается также, что отсутствуют потери тепла излучением. Еще одно малоограничительное предположение удобно сформулировать позже. Как показано в работах Билджера [1976], Кузне­цова, Лебедева, Секундова и Смирновой [1977а], эти предположения поз­воляют свести расчет характеристик горения к исследованию поля восста – 170 новленной концентрации горючего z, т. е. исключить из рассмотрения хи­мические реакции.

Пусть в химических реакциях участвует М веществ. Тогда уравнения переноса можно записать в виде А (г/) = Wtp. Здесь с0 – энтальпия, d (/= 1 М) — массовые концентрации, Wq – скорость тепловыделе­ния, Ц (/= 1………. М) – скорость выделения (поглощения) вещества /.

Пусть все вещества состоят из п различных атомов (или нераспадающихся групп атомов). Очевидно, что общая масса атомов каждого вида (или нераспадающихся групп атомов) сохраняется. Сохраняется также и полная энергия, которая при малом числе Маха равна сумме энтальпии и энерги" химических связей. Указанные законы сохранения можно записать в виде м

2 A\Wi = 0, / = 0,1,….п.

/-о

Здесь А? — теплота образования вещества /, А\ (/>1, /> 1) — массовая доля атомов с номером / в веществе с номером /. Используя это усло­вие, в силу линейности оператора А из уравнений переноса А(С/) = pWj можно исключить pWt. При этом получится л + 1 уравнений вида м

Л([15],) = 0, * = 2 А\сь

1 ‘ о

Характеристики термодинамически равновесного состояния полностью определяются величинами Введем теперь не слишком обременительное предположение о том, что начальные условия для величин у?/ подобны (в простейшем случае это условие означает, что подобны начальные распре­деления температуры и концентраций топлива и окислителя). Тогда <р( – линейные функции z, что является следствием линейности оператора А и подобия начальных и граничных условий. Следовательно, термодинамичес­кий расчет позволяет выразить температуру и концентрации всех веществ через z, где A(z) = 0, z = 1 в потоке топлива, z = 0 в потоке окислителя.

Заметим теперь, что если число Маха мало, то при вычислении плотности давление можно считать постоянным*). Тогда описанная выше процедура дает возможность выразить плотность р только через z.

Таким образом, задача сводится к отысканию распределения концентра­ции инертной примеси. Рассмотрим, как решается эта задача в теории турбулентности. Обычно для этой цели используются осредненные уравне­ния движения и диффузии. Входящие в них напряжения Рейнольдса и по­токи веществ выражаются через градиенты средней скорости и средней кон­центрации и коэффициенты турбулентного переноса. Различие всех теорий (а таких теорий известно очень много) заключается в методах вычисления коэффициентов турбулентного переноса.

Ниже используется модель, предложенная Секундовым [1971] и уточ­ненная Кузнецовым, Лебедевым, Секундовым и Смирновой [1977а, б, 1980]. Особенности других моделей, так же как и более подробное изло­жение основных идей полуэмпирической теории турбулентности, можно найти в обзоре Гиневского и др. [1978].

Использованная модель включает в себя уравнения для энергии турбу­лентности, турбулентной вязкости и пульсаций концентрации. В этой моде­ли, так же как и во всех остальных полуэмпирических теориях, при выводе всех уравнений используется очень много достаточно произвольных предпо­ложений. Здесь нецелесообразно на них останавливаться подробно. Укажем лишь, что уравнения, полученные в любой модели, следует рассматривать как гипотезу, справедливость которой можно установить только путем со­поставления результатов расчета с экспериментальными данными. Приве дем окончательную систему уравнений, записанную в приближении погра ничного слоя для осесимметричного течения:

дх

Ъ(и> Э(м> <р)(и) + (p)v0

ау


д{р) Элг

1 1 у ау д (р)(ц> Эх

Э(м>

Эу

- (<P>-Po)S, (pv)

1

<р>’ и

(p)yv о=0, v0 =

a<z>

У э у

d<z>

ду

1

У

~Ъу

Э (z >

bx de дх

де

<p><w> — + (p )Vq

<Р>К2»гУ

<p){u>

ду {р)е2

(5,4)

де 1 + (p)v о — = — ду ‘у

/ д (и ) \ 2 Г v, д(и) |1


<р><и> — + <р>и0 дх

tfrT – Ь

I]

д vt ~дУ dv,

<p>f?

Э(ц> Эу

1 Э Г ди, 1

- — <P>K3»ty — + У ду L ду J

Эа2

<р><м> +<р>и0

Эх

да2 _ 1 Э Г

ду У ду I

+ 2<p>*>fSc

ОгУЧ

е

04<P>ff

Эа2

эу

Э<«> П <р>еа2 Э^"


Здесь х — продольная координата, у — радиальная координата, и — про­дольная скорость, v — поперечная скорость, vt – коэффициент турбулент­ной вязкости, е = Й<(и – (и))2 > – энергия турбулентности, а2 =


= <z2>-<z>2

дисперсия пульсации концентрации, р— давление, g -

ускорение силы тяжести, р0 — плотность окружающего воздуха (последнее слагаемое в первом из уравнений (5.4) учитывается только при расчете свободной струи или факела). Значения эмпирических постоянных к х, к2, к3, Sc,0i,02,0з,/34 подбираются так, чтобы правильно описать изотерми-

ческое смешение. При описании горения их значения не изменяются. Во всех проведенных ниже расчетах предполагалось, что кг = к2 = 1, 2, к3 = = 2,4, ft = 04 =0,14, 02 = 0,07, 0з =0,9. Sc = 0,8.

Первое’ соотношение в (5.4) есть уравнение движения, записанное в при­ближении пограничного слоя. В нем учтены силы плавучести. Здесь, так же как и во всей настоящей главе, рассматриваются факелы, образующиеся при истечении горючего вертикально вверх. Второе соотношение является уравнением неразрывности, а третье – уравнением турбулентной диффу­зии. Следующие два уравнения для энергии турбулентности и коэффи­циента турбулентной вязкости описывают принятую модель турбулент­ности. Эти уравнения, так же как последнее соотношение в (5.4), которое дает дисперсию пульсаций концентрации, построены по известной схеме, отражающей роль процессов конвекции (левые части уравнений), турбу­лентной диффузии (первые члены в правых частях уравнений), порождения (вторые члены в правых частях уравнений) и диссипации (последйие слагае­мые в правых частях уравнений). Величина 0i [ 1 vte~x IЭ <и )/Ъу | ]eo2v~tx , фигурирующая в последнем из соотношений в (5.4), равна удвоенному зна­чению скалярной диссипации <Ar> = <£)(Эг/Э*/)2 >, которая далее будет играть очень важную роль

Зависимость p(z) либо осредняется с помощью формул (3.56), (3.57), либо предполагается, что <р > = /э (<z >). Оба метода расчета дают результаты, которые в рассмотренных случаях отличаются не брлее чем на 5%.

В качестве иллюстрации пригодности системы (5.4) для описания турбу­лентного диффузионного горения приведем несколько примеров. Первый пример — затопленный свободный диффузионный факел, образующийся при истечении струи топлива лз круглого coftfia диаметром d вертикально вверх со скоростью и0.

На рис. 5.1 приведена зависимость длины факела водорода / от числа Фруда 2ul /(gd) = Fr, которое выбрано в качестве критерия, характери­зующего силы плавучести, так как отношение плотностей воздуха р0 и продуктов сгорания p(zs) в данном случае неизменно. Подданной факела понимается расстояние от сопла до той точки на оси струи, где выполняет­ся равенство <z>=zs= 1/(1 + St). Как уже указывалось, результаты расче­та очень слабо зависят от того, учитывается или нет влияние пульсаций концентрации z на среднее значение плотности. Поэтому хорошее совпаде­ние теоретических и экспериментальных данных, видное из. рис. 5.1, свидетельствует о том, что для расчета газодинамической структуры течения и геометрической конфигурации факела учет пульсаций концентра­ции необязателен. В данном случае для проведения таких расчетов необяза­телен и учет кинетики химических реакций.

Влияние пульсаций концентрации заметно проявляется при вычислении средних концентраций реагирующих веществ, чго следует из данных, поме­щенных на рис. 5.2. Эти данные получены Бурико и Кузнецовым [1978] в измерениях, проведенных на оси затопленного свободного факела пропа­на. В опытах непосредственно измерялась величина с? — средняя объемная концентрация С02 в "сухой" пробе (т. е. вода, конденсирующаяся при нор­мальной температуре, удалялась). Поэтому на рис. 5.2 по оси ординат отло­жена величина >. Здесь и далее концентрации нумеруются в следующем порядке: Н2, ОН, О, Н, 02, Н20, С02, СО, N2, NO. При вычислении с7 (z)


yd 100

60

20______________ 1_______ 1__________________________ i I

то2 Ю4 Ю6 Fr о 100 200 x/d

Рис. 5.1. Сравнение рассчитанной длины затопленного диффузионного факела’водоро- да при различных числах Фруда с экспериментальными данными Билджера и Бека 11974J. d = 1,5 – 6.4 мм, ut = 100 – 200 м/с; значки – опытные данные; кривая – расчет


Рис. 5.2. Сравнение рассчитанной средней объемной концентрации углекислого газа на оси затопленного диффузионного факела пропана с экспериментальными данными Бурико и Кузнецова [1978]. d – 3 мм, и0 = 25 м/с; горючее вытекает вертикально вверх; значки – опытные данные; кривая – расчет

использовались результаты предварительно проведенных термодинамичес­ких расчетов, а полученная таким образом зависимость c?(z) осреднялась с помощью формул (3.56), (3.57).

Отметим, что в опытах отбирались пробы газа, состав которых позже ана­лизировался. Такой способ дает величины, осредненные по Фавру. т.е. вели­чины вида <рс/>/<р>. Поэтому везде далее при вычислении концентраций символ < > соответствует такому осреднению.

Из рис. 5.2 зидно, что пульсации величины z заметно влияют на сред­нюю концентрацию С02, так как максимальное значение <с? Х, на 60% меньше, чем максимальное значение термодинамически равнов. есной кон­центрации С02.

Следующий график (рис. 5.3) указывает на то, что влияние пульсаций концентрации может быть исключительно сильным. Этот график обоб­щает результаты измерений концентраций углеводородов в затонленном, свободном факеле химически чистого пропана[16]) (содержание примесей 0,03%). Абсолютная погрешность измерений равна 10"4 . В пробах обнару­жены все углеводороды с числом атомов С от 1 до 4, т. е. помимо окис­ления происходит и пиролиз углеводородов.

Обработка экспериментальных данных показала, что пиролиз и окис­ление взаимодействуют весьма слабо. При проведении этой обработки вводилась эквивалентная концентрация пропана

44

cf = 2—————– Cf,

т I 36 + Зя/

где сi — массовые концентрации углеводородов, л, — отношение числа атомов Н и С в / – м углеводороде, а суммирование производится по всем значениям индекса /, которые соответствуют углеводородам. Эта вели­чина ^сохраняется во всех реакциях, в которых не участвуют кислородо – содержащие соединения; в отсутствие процессов пиролиза она равна кон­центрами пропана.

В обработке предполагалось, что окисление происходит только на сте- хиометрической поверхности z – zs, а скорость этого процесса-бесконечно велика, т. е. справедлива формула (5.3). Величина су, определяемая этой

формулой, осреднялась с помощью соотношений (3.56), (3.57) (сплошная линия на рис. 5.3). По осям графика отложены величины < су > t = < су >/7, </>, = (z)/y9 полученные осреднением по турбулентной жидкости (7 – коэффициент перемежаемости, нижний индекс t соответствует условному осреднению по турбулентной жидкости). Величины<су> и(г) измерялись, а коэффициент перемежаемости у рассчитывался из (3.56), (3.57), (5.4).

Такой расчет показал, что интенсивность пульсаций концентраций a/<z> на оси струи выше 0,55, т. е. больше, чем в изотермической струе. Анализ системы (5.4), проведенный в работах Кузнецова, Лебедева, Секундова и Смирновой [1977а, б, 1980], показывает, что этот эффект обусловлен влиянием сил плавучести (в отсутствие сил плавучески интенсивность пульсаций скорости и концентрации такая же, как и в изотермической

10

70-*

70"*

10-4

№ ОМ 0,060,080,1 0,2 <2\

Рис. 5.3. Эквивалентная концентрация пропана в затопленном диффузионном факеле по данным Бурико и Кузнецова. I. d = 3 мм, и0 = 19,8 м/с. 1 – x/d = 40; 2 – x/d =80; 3 – x/d = 120; 4 – x/d = 160; 5 – x/d = 200; 6 – x/d = 240. II. d = 6 мм, u0 = 10,7 м/с. 7 — x/d = 40; 8 – x/d = 80; x/d = 120; 10 – x/d = 160. III. d = 3 мм. И – м0= = 19,8 м/с; 12 – u0 = 14,2,м/с; 13 – u0 = 28,2 м/с. IV. d = 6 мм. 14-u0= 7,3 м/с; 15 – u0 = 10,7 м/с; 76 -1/0 = 14,9 м/с. Значки 1-10 соответствуют радиальным про­филям. Значки 11-16 соответствуют осевым профилям


струе; учет сил плавучести приводит к значительному возрастанию ин­тенсивности пульсаций концентрации, но fte приводит к увеличению ин­тенсивности пульсаций скорости). Указанный эффект наблюдался в опытах Котсовиноса [1977] (плавучая струя без горения) и Женжамбра, Камбрэ, КармэиБеллэ [1984] (плавучая струя с горением).

Из проведенного расчета вытекает, что у < 1 во всех точках, в которых производились измерения. Поэтому из (3.56), (3.57) следует, что Pt (z), и поэтому <Cf)ti зависит только от <z>f. Из графика на рис. 5.3 видно, что теоретические и экспериментальные данные хорошо согласуются. Так как логарифмические координаты не очень удобны при анализе точ­ности расчета, то на рис. 5.4 в обычных координатах приведено одно из радиальных распределений < су >.

Полученные данные позволяют косвенно установить точность, с которой развитая в главе 3 теория описывает плотность вероятностей концентрации в турбулентной жидкости Pt(z). Сопоставление экспериментальных данных и результатов расчета величины <с^>г показывает, что при <z>, > 0,03 погрешность не превышает 12%. Такой же вклад в величину <су>, дают пульсации; амплитуда которых выше 3<z>f. Этот вклад описывается интегралом

/ = 7 Cf{2)PtdZ, Mt)t

вычисление которого показывает, что / = 0,-12 < су >г при < z >f « 0,03. Таким образом, при zj{z)t < 3 точность описанияPt (г)нехуже 12%. Вуказанном диапазоне Pt (г) меняется на три порядка, и поэтому ее непосредственное

ния: сплошная линия – расчет с учетом пульсаций; штрихпунктирная линия-расчет без учета пульсаций




О но 80 120 160 200 240 x/d

Рис. 5.5. Восстановленная концентрация горючего (пропана) на оси диффузионного факела в канале согласно опытам и расчетам Бурико и Лебедева 11980J. 1 – ut/u9 = = 0,32, расчет факела; 2 – ы,/м0 = 0,16, расчет факела; J – = 0,32, расчет изотер­мической струи; 4 – м,/ы0 = 0,16, расчет изотермической струи; 5 – uju0 = 0,32, эксперимент с горением; 6 – = 0,16, эксперимент с горением: 7- uju0 = 0,32,

эксперимент без горения; и0 = 16 м/с,

эксперимент без горения; 8 – и} /и0 =0,16, d мм

измерение вряд ли возможно в настоящее время. В связи со сделанным замечанием обратимся к рис. ЗЛО, на котором функция Рт сопоставляется с результатами непосредственных измерений в более узком диапазоне значений z/(z)r. Из нее. также видно хорошее соответствие теории и экс­перимента.

Из рис. 5.4 можно сделать ряд важных выводов. Во-первых, в области <z> < zs квазиламинарная модель (пульсации отсутствуют) приводит к грубым погрешностям, так су = 0 при z < zs. Во-вторых, очень важно правильно описать форму распределения плотности вероятностей, так как малые значения <су>:г определяются пульсациями с очень большой амплитудой. Например, использование нормального закона с теми же зна­чениями {z> и о при <z), = 0,03 занижает <су> более чем на порядок. В-третьих, в данном случае сильно возрастают требования к точности мо­дели турбулентности (из рис. 5.3 видно, что <cf)t сильно зависит от <z)t и, следовательно, малые ошибки в расчете < z ) сильно сказываются на ве­личине <су>).

В связи с последним выводом напомним, что используемая модель обеспечивает-точность расчета поля <z> порядка 30%. Эта точность не­достаточна для отыскания (С/>. Поэтому для ее повышения при анализе экспериментальных данных, полученных в некотором сечении, использо­вались результаты расчета у и (z > не в сечении с тем же значением xjd, а в сечении с тем же значением осевой концентрации < z). Такой прием, по-видимому, вполне оправдан при анализе точности теории, описываю­щей распределение вероятностей концентрации. Действительно, на рис, 5.3 помещены данные, полученные при очень сильной вариации d, и0у поло­жения точки, в которой проводятся измерения, и самой измеряемой вели- чины. Следовательно, хорошее согласование теоретических и эксперимен­тальных данных на рис. 5.3 не может быть случайным.


Приведем теперь другой пример, заимствованный из работы Бурико и Лебедева [1980]. Изучалось диффузионное горение в цилиндрическом

канале диаметром dХч ъ который поступал воздух со скоростью их. Про­пан подавался со скоростью м0 через центральное сопло диаметром d (djd = 13,3). Результаты измерений и расчетов, основанных на формулах (5.4), помещены на рис. 5.5. Видно, что в самом конце факела смешение при горении ускоряется из-за возникающего дополнительного сдвига скорости (воздух и продуты сгорания по-разному ускоряются из-за раз­ности плотностей и градиента давления). Модель качественно правильно описывает этот эффект, однако ее количественное согласование с экспери­ментом неудовлетворительно. Расчеты, основанные на широко исполь­зуемой "-модели и на модели (5.4), дали весьма слабо отличающиеся результаты. Это свидетельствует о том, что не учтены какие-то важные эффекты. Подчеркнем, что такие эффекты важны лишь при горении в ка­нале и несущественны в затопленном факеле.

В заключение этого параграфа сделаем ряд общих замечаний. В расчетах часто приходится осреднять различные нелинейные зависимости. Результат такого осреднения зависит от характера нелинейности и величины <2>. Существует целый ряд величин, при расчете которых пульсации можно либо вообще не учитывать (например, плотность), либо. учет пульсаций дает не слишком большую поправку (например, концентрация С02). В последнем случае, как показывает практика расчетов, пригодна почти любая разумная модель для плотности вероятностей, т. е. важно лишь учесть, что пульсации существуют. Имеется, однако, и ряд величин, для вычисления которых необходимо точно знать и форму распределения вероятностей, и интенсивность пульсаций (концентрация углеводородов). Важную роль играет и средний состав, при котором рассматривается та или иная величина. Например, при (г) >zs влияние пульсаций на среднюю концентрацию углеводородов не слишком велико, а уже при <г> =0,5zs оно имеет принципиальное значение (рис. 5.4).

Отметим также, что следует с большой осторожностью пользоваться моделями турбулентности, так как их точность не всегда удовлетвори­тельна.

§ 5.2. Влияние пульсаций температуры

и концентрации на среднюю скорость реакций

Учет влияния пульсаций температуры и концентрации на среднюю ско­рость химической реакции представляет большой практический интерес. Этот вывод наглядно иллюстрируется на примере реакции окисления азота, скорость которой чрезвычайно сильно зависит от температуры. Оценки показывают, что при средней температуре 2000 К и относительно низкой интенсивности пульсаций температуры (скажем, 10%) средняя скорость реакции может на порядок отличаться от скорости реакции при средней температуре. Другой пример – воспламенение холодной струи водорода (спутной или пристеночной), подаваемой в горячий поток воз­духа. Показано, что пульсации температуры и концентрации приводят к увеличению расстояния, на котором возникает фронт пламени, примерно в 2-3 раза (Кузнецов [19726], Громов, Ларин и Левин [1984]).

Следует отметить, что турбулентность сама по себе не влияет на скорость реакции. Это влияние сказывается лишь весьма косвенным образом вслед 178 сгвие изменения условий тепло – и массообмена. Ясно, что пульсации тем­пературы и концентрации обусловлены колебаниями фронта пламени. Вследствие этого в фиксированной точке потока скорость реакции при­нимает то очень большие, то очень малые значения, что естественно отра­жается на средней скорости реакции. При этом в системе координат, свя­занной с фронтом пламени, скорость реакции может оставаться такой же, как и в ламинарном потоке.

Анализируемый вопрос, по-видимому, впервые был затронут Зельдо­вичем [1949], который отметил, что вследствие сильной зависимости скорости реакции от температуры средняя скорость реакции должна силь­но отличаться от скорости реакции при средней температуре. Первая по­пытка количественного анализа влияния пульсаций на среднюю скорость реакций предпринята Вулисом [1960]. В его работе не учтена зависимость скорости реакции от концентрации, вследствие чего сделан вывод о том, что пульсации температуры всегда приводят к увеличению средней ско­рости по сравнению со скоростью реакции, рассчитываемой по средним значениям температуры и концентрации. Однако, как правило, пульсации приводят к противоположному эффекту. Дело в том, что во многих слу­чаях поля температуры и концентрации являются подобными, т. е пуль­сации этих величин сильно связаны и могут быть выражены через / Учет этого обстоятельства приводит к тому, что зависимость скорости реакции от температуры имеет максимум при некотором значении z = 2т. Ясно, что в тех точках потока, где <z> = zw, любая пульсация концентрации приводит к снижению скорости реакции (Кузнецов [1969]). Этот эффект проявляется наиболее сильно на краю струи или факела, Т. е, в области, где существенна перемежаемость (Кузнецов [19726]). Отметим также, что в тех точках потока, где <z> сильно отличается от zm, пульсации концентрации приводят к увеличению средней скорости реакций. Более детальное обсуждение рассматриваемого вопроса содержится в книге Компанийца, Овсянникова и Полака [1979].

В общем случае осреднение скорости химической реакции представляет весьма трудную задачу, поскольку химические процессы сами по себе мо­гут сильно влиять на распределение вероятностей температуры и концентра­ции. Один из примеров такого сильного влияния (турбулентное горение однородной горючей смеси) рассмотрен в главе 1. Следовательно, нельзя предполагать, что в турбулентном потоке с химическими реакциями распре­деления вероятностей температуры и концентрации имеют универсальный вид. В этом смысле счастливым исключением является процесс образова­ния окислов азота Как" уже отмечалось, во многих случаях концентрация окислов азота намного ниже равновесной, и поэтому скорость окисления азота очень слабо зависит от концентрации конечного продукта. Кроме тою, рассматриваемая реакция слабо влияет на температуру и концентра­цию всех веществ, за исключением N0. В данном параграфе будем считать, что реакции между всеми веществами, за исключением N0, идут настолько быстро, что их концентрации равновесны. Тогда скорость окисления азота зависит только от z. Действительно, обратимся к схеме окисления азота, установленной Зельдовичем и др. [1947]:

N + 02 = N0 + О, N2 + О = N0 + N. (5.5)

Первая реакция в (5.5) идет намного быстрее, чем вторая. Поэтому, как показано Зельдовичем, Садовниковым и Франк-Каменецким [1947], ско­рость окисления азота имеет вид


(5.6)

Wio= 2к10м10м;1м;1с3с99


если концентрадая N0 существенно ниже равновесной. Здесь Wx 0 входит в уравнение диффузии окислов азота в виде


(5.7)

Л(с,0) = pW


где с3, с9, Ci 0 ~ массовые концентрации О, N2, NO, к10 – константа ско­рости второй реакции в (5.5), MQ (а = 1-10) – молекулярные веса ве­ществ, находящихся в смеси. Здесь и далее скорости образования различ­ных веществ имеют индекс, соответствующий их номеру. Величина к10 имеет вид

*ю= ki0exp(—E/R Т), где к% = 1,1 – 1014 см3/(с . моль),

Е = 3,1-105 Дж/моль, R – универсальная газовая постоянная. Если пред­положить, что потери тепла излучением отсутствуют и все реакции (за исключением реакций окисления азота) находятся в равновесии, то вели­чины с3, с9 и Т зависят лишь от z. Тем самым Wl0 можно найти из термо­динамических расчетов, а для ее осреднения достаточно знать только рас­пределение вероятностей концентрации инертной примеси.

Термодинамический расчет показывает, что зависимость W10(z) имеет острый максимум при z = zs, вследствие чего справедлива асимптотичес­кая формула (Кузнецов [1969])


(5.8)

<pW, 0> = fpWl0P(?)dz = wP(zx)9 w= f p Wl0dz.


Оценки показывают, что эта формула дает вполне приемлемую точность при о ^ Az, где Az — такой интервал значений z, на котором Wi0 превы­шает половину своего максимального значения (Az = 10~2 при горении пропана, Az = 5 • 10~3 при горении водорода). Анализ результатов числен­ных расчетов показал, что сформулированное условие всегда выполнялось.

Формула (5.8) существенно упрощает исследование, так как в ней фигурирует лишь один параметр w. Физический смысл соотношения (5.8) вполне очевиден, если учесть, что в соответствии с (1.21) P(z5) характери­зует объем, заключенный между поверхностями z = zs и z = zs + dz. Расчет показывает, что при горении в нормальных условиях имеем w = = 2,8-10"8 г/(см3 с) для пропана, w = 4,9 10"8 г/(см3 с) для водорода.

Полученные результаты позволяют проанализировать, как влияют пульсации концентрации на выход окислов азота. Осредним (5.7) и пред­положим, что коэффициент турбулентной диффузии окислов азота сов­падает с коэффициентом турбулентной диффузии инертной примеси (об­суждение этого допущения дано ниже в § 5.5). Получаем


(5.9)


Рис. 5.6. Влияние пульсаций на среднюю концентрацию N0 на оси затопленного диффузионного факела пропана. 1 – расчет без учета пульсаций, 2 – расчет с учетом пульсаций. В расчетах задава­лись условия, соответствующие опытам Бурико и Кузнецова [1978]


Уравнение (5.9) решалось численно совместно с уравнениями (5.4) в двух предположениях. В первом случае считалось, что пульсации отсутствуют, т. е. <рИ/10> = p(<z>) Wx 0{(z >), во втором – пульсации учитывались, т. е. при осреднении использовались формулы (3.56), (3.57). Результаты расчетов изображены на рис. 5.6.

Из сравнения кривых 1 и 2 видно, что пульсации концентрации приво­дят к сильному снижению концентрации окислов азота (почти в три раза).

§5.3. Влияние излучения на характеристики турбулентного диффузионного горения

В условиях лабораторных опытов, которы^используются для проверки развиваемой теории, потери тепла излучением могут доходить до 25% (Маркштейн [1975], Бурико и Кузнецов [1978, 1980]). Даже в этом слу­чае основные характеристики факела (разумеется, кроме его температуры) весьма слабо зависят от потерь тепла излучением, Этот вывод ясен из рис. 5.2, на котором сравниваются результаты расчета, в котором излу­чение не учитывалось, и экспериментальные данные, полученные в усло­виях, когда потери тепла излучением составляли 20—25% (Бурико и Куз­нецов [1978,1980]).

Рассматриваемый эффект тем не менее играет важную роль при исследо­вании образования окислов азота (Сигал [1977]), так как скорость окис­ления азота чрезвычайно сильно зависит от температуры. В частности, оцен­ка показывает, что при увеличении потерь тепла излучением на 1% вели­чина w уменьшается на 30%. Отсюда следует, что влияние излучения на окисление азота существенно почти во всех практически важных случаях. Цель проведенного ниже исследования состоит не в том, чтобы разработать универсальную методику расчета, а в том, чтобы приближенно оценить влияние излучения на образование окислов азота в условиях лаборатор­ных опытов.

При анализе свободного диффузионного факела есть ряд обстоятельств, значительно упрощающих расчет потерь тепла излучением. Первое связано с отсутствием стенок, т. е. излучаемая энергия теряется безвозвратно. Второе обстоятельство обусловлено тем, что в условиях, характерных для. большинства опытов, можно использовать приближение оптически тонкого слоя, т. е. считать, что все молекулы или частицы сажи излучают независимо друг друга, а излучение не поглощается. Пригодность такого приближения можно установить из следующей оценки. При нормальном

давлении длина пробега излучения в продуктах сгорания стехиометричес – кой смеси минимальна и близка к 20 см. Поэтому во всех случаях, когда толщина факела меньше 20 см, приближение оптически тонкого слоя справедливо. Наконец, третье упрощающее обстоятельство связано с тем, что рассматривается малый уровень потерь, и поэтому плотность потока излучения можно оценить по температуре, рассчитываемой для адиабати­ческих условий.

В соответствии с этим исследование проведем в три этапа. На первом рассчитаем потери тепла излучением. На втором найдем влияние этих по­терь на температуру пламени. Наконец, на третьем вычислим скорость окисления азота.

Описанная ниже методика развита в работах Бурико и Кузнецова [1983а, б]. Она носит приближенный характер и основана на анализе от­носительных потерь тепла, определяемых формулой

/ 7 (Dydydx о о

*(*)=—– ————————— , (5.10)

Go / f <pWf)ydydx о о

где / – плотность потока излучения, Wf — скорость окисления горючего, Qo — количество тепла, выделяющегося при сгорании одного грамма горючего. Числитель в (5.10) дает энергию которую излучает объем факела, заключенный между начальным и текущим сечениями, а знаменатель — энергию, выделившуюся в этом объеме.

Методика основана на следующем приеме. Проведем термодинами­ческий расчет, в котором начальная энтальпия уменьшается на величину q(x)Q(z)f где Q{z) = Q9z при z < Q(z) = Q0 (1 – z)/(l – z,)f т. е. Q(z) — количество тепла, выделяющееся при адиабатическом сгорании смеси, в которой концентрация горючего равная.

Поясним возможные неточности такого подхода. Из-за случайного характера процесса фронт пламени может наблюдаться в разных точках одного и того же сечения. При этом потери тепла*, строго говоря, зависят от того, в какой точке находится фронт пламени. В расчете указанное обстоятельство игнорируется (относительный уровень потерь тепла оп­ределен так, что учтена лишь зависимость от одной координаты х). При­нятое предположение можно косвенно обосновать с помощью экспери­ментальных данных, изложенных в главах 1 и 3, где указывалось, что статистические характеристики концентрации в турбулентной жидкости слабо меняются по сечению, т. е. внутри колеблющихся границ струи в каждом сечении эти характеристики приблизительно однородны. Так как положение фронта пламени определяется полем z, а это поле статисти­чески однородно в данном сечении, то колебания фронта пламени можно не учитывать. Другая неточность методики связана с тем, что потери тепла в каждой данной точке носят случайный характер, в силу чего распре­деления температуры и концентрации на каждой поверхности г = const также носят случайный характер. Это обстоятельство не учитывается, так как результаты расчета зависят только от величины q(x)Q{z), которая при z = const не случайна. Строгое обоснование принятых предположений невозможно. Поэтому точность методики проконтролирована ниже ко­свенным образом с помощью анализа поля средней температуры.

Приступим теперь к первому этапу расчета. Найдем сначала знаменатель в (5.10). В диффузионном приближении концентрация горючего су есть некоторая функция г. Подставим эту функцию в (5.1) и воспользуемся уравнением диффузии пассивной примеси A(z) = 0. Имеем (Билджер [1976, 1977], Кузнецов [1979а])

d2cf

pW, = pN – N = D(Vz)2. (5.11)

‘ dz2

Используя (5.3), найдем d*Cf/dz2 = (1 —zs)~lS(z — 25),где§ —дельта – функция. Подставим это соотношение в (5.11), осредним и воспользу­емся обсуждавшейся в главе 3 гипотезой о том, что в турбулентной жид­кости пульсации концентрации и скалярной диссипации статистически независимы. Тогда получим

{pWf) = (1 – zsrlWtP(Zz)yPt(Zs) =

= (1 – zsyl(N)p(zs)Pt(zs), (5.12)

где < ЛО t – среднее значение скалярной диссипации в турбулентной жид­кости, Pt — плотность вероятностей концентрации в турбулентной жид­кости. Формула (5.12) получена Билджером [1976] (при у = 1) в неявно принятом предположении о статистической независимости z и N.

Оценим теперь поток излучения /. Рассмотрим сначала горение водорода. В этом случае излучение обусловлено парами воды. Воспользуемся экспе­риментальными данными, приведенными в книге Михеева [1949], в кото­рой представлены результаты исследования лучистого теплообмена между полусферой, заполненной парами воды, и центральным элементом ее осно­вания. При достаточно малом радиусе сферы, т. е. в приближении опти­чески тонкого слоя, эффективная степень черноты паров воды может быть аппроксимирована выражением е6 = &ь(Т)рь10, где /0 — радиус сферы, Рб — парциальное давление паров воды, Т — температура, а 06 можно ап­проксимировать выражением

Р6=Ь61-ЬЬ2Т. = 2 • 10"7 см-1 Па-1, ЬЬ2= 6,4 • КГ11 см-1 Па-1 град11 Поэтому в соответствии с данными Михеева [1949] получаем

16=/ = 40ь(Т)р6ооТ4, (5.13)

где о0 – постоянная Стефана – Больцмана. Входящие в (5.13) величины Ps и Т можно найти из термодинамического расчета в предположении, что излучение слабо влияет на температуру и состав продуктов сгорания. Таким образом, параметр q можно рассчитать из формул (3.56), (3.57), (5.10), (5.12), (5.13).

Рассмотрим теперь горение пропана. В этом случае, помимо паров воды, излучают углекислый газ и частицы сажи. Излучение энергии углекисло­той можно описать формулой, аналогичной, соотношению (5.13)

/7= 4/37 (Т)р7ооТ4, /37 = Ь1Х – Ь72Т,

Ь71= 4,6 • Ю-7 см-1 Па"1, Ь7г= 1,3 . 1СГ10 см’1 Па-1 град-1,

где индекс 7 соответствует С02. Эти формулы также получены при обра­ботке экспериментальных данных, приведенных Михеевым [1949]. Сум­марное излучение парами воды и углекислым газом находится из формулы / = /6 + /7. Как и следовало ожидать, расчет, в котором не учитывается излучение частицами сажи, дает заниженные значения </>. В качестве примера приведем результат расчета, проведенного для факела пропана (<d = 0,3 см, и0 = 25 м/с). В этом случае суммарное излучение факела равно q(°°) = 0,15, в то время как экспериментальные данные Бурико и Кузнецова [1978] свидетельствуют о том, что q(°°) = 0,25, т. е. при­мерно 40% теряемой энергии излучается частицами сажи.

Поскольку ‘кинетика образования сажи при диффузионном горении пропана практически не изучена, то цараметр q удобно рассчитывать из полуэмпирической формулы


(5.15)

/ = м(/6 + /7),


где коэффициент д подбирается таким образом, чтобы рассчитанное зна­чение I совпадало с экспериментально измеренным. Этот коэффициент во всех расчетах полагался равным \<Ы. Температура, концентрации угле­кислого газа с7 и воды с6 находятся в результате термодинамического расчета. Формула (5.15) осредняется с помощью соотношений (3.56), (3.57), параметр q находится из (5.10), (5,12) и осредненного соотноше­ния (5.15).

Для контроля правильности предлагаемого метода приведем результаты расчета полей средней температуры в диффузионном факеле дропана. Как уже указывалось,, для определения температуры необходимо исполь­зовать результаты термодинамических расчетов, из которых можно полу­чить зависимость T(z, q). Эту зависимость следует осреднить с помощью формул (3.56), (3.57). На рис. 5.7, заимствованном из работы Бурико и Кузнецова [19836], приведено сравнение результатов расчета с экспери­ментальными данными. Видно, что экспериментальные данные и результаты расчета хорошо согласуются. Аналогичные результаты получены и для фа­кела водорода.

Обращают на себя внимание два обсгоятельства. Во-первых, при горении пропана максимальная температура в диффузионном факеле на 750 К ниже теоретической, т. е. ниже температуры адиабатического горения стехио- метрической смеси Т5 = 2260 К.(начальные условия нормальные). Во-вто-’


<г>,к

1500 -

1000

500

О

50 100 . 150 200 250 x/d

Рис. 5.7. Сравнение рассчитанных зна­чений средней температуры в зато­пленном диффузионном факеле про­пана с экспериментальными данными Бурико и Кузнецова [1980].d= 3 мм, иб = 25 м/с; 1 — расчет средней тем­пературы на оси, 2 – расчет макси­мальной средней температуры в раз­личных сечениях, 3 – измерения мак­симальной средней температуры в различных сечениях, 4 – измерения средней температуры на оси факела


рых, максимальная в данном сечении факела температура почти не меня­ется по мере удаления от сопла.

Анализ результатов расчета показывает, что последний эффект обус­ловлен взаимодействием двух процессов. С одной стороны, по мере уда­ления от сопла положение осредненной поверхности фронта пламени (т. е. поверхности <z> = zs) приближается к оси факела, т. е. перемещается в область, где интенсивность пульсаций концентрации a/<z> мала. Это об­стоятельство приводит к повышению средней температуры. С другой стороны, по мере удаления от сопла увеличивается излучение. Такое увеличение связано с тем, что в процессе смешения расстояние между двумя близко расположенными поверхностями z = z j и z = z \ + d2 рас­тет (см. §3.8), т. е. увеличивается излучающий объем и, следовательно, потери тепла. Оба указанных эффекта взаимно компенсируются. В целом излучение и пульсации концентрации примерно одинаково влияют на среднюю температуру.

Полезьо отметить, что пульсации концентрации влияют лишь на сред­нюю температуру пламени и не воздействуют на истинную температуру фронта пламени, т. е. температуру на поверхности z = zs. Поэтому вслед­ствие возрастания излучения при удалении от сопла истинная температура пламени монотонно уменьшается.

Предложенная выше методика позволяет легко учесть влияние излу­чения пламени на скорость окисления азота. Для этого необходимо про­вести термодинамический расчет, в котором начальная энтальпия умень­шена на величину q Q(z). Такой расчет дает зависимости T(z ,q), с3 (z, g). Подставив T(z, q) и c3(z9q) в (5.6), найдем WX0(2iq) и, следовательно, вычислим величину w(q). После этого интегрируются уравнения (5.4), (5.9), в которых величина < pWl0) по-прежнему дается формулой (5.8). Входящий в (5.8) параметр w зависит от величины q, которая рассчитыва­ется по разработанной выше методике.

Такой расчет показьюает, что при горении струи пропана (d = 0,3 см, и о = 25 м/с) максимальная концентрация окислов азота на оси факела равна 9 • 10"6. Сравнив эту цифру с результатами, приведенными на рис. 5.6, заключаем, что в данном случае излучение приводит к снижению концент­рации N0 примерно в шесть раз. Видно также, что рассчитанное значение максимальной концентрации N0 на оси факела существенно ниже изме­ренного Бурико и Кузнецовым [1980] <с,0> = 3,6-10"5. Этот результат неудивителен, поскольку, как уже указывалось в начале этой главы, кон­центрация атомарного кислорода может быть больше равновесной, а воз­действие турбулентности на кинетику основных химических реакций пока не учитывалось.

§ 5.4. Влияние скорости химических реакций на турбулентное диффузионное горение

Как известно, кинетика окисления большинства горючих носит цепной характер, т. е. процесс происходит в несколько стадий, на каждой из кото­рых образуется много промежуточных веществ. Исследование кинетики окисления в турбулентных потоках можно значительно упростить, если учесть, что при не слишком больших отклонениях от термодинамического равновесия химические реакции идут с очень большой скоростью. Поэтому превращения веществ происходят в очень узких пространственных зонах. Особенность турбулентного потока проявляется лишь в том, что такие зоны искривлены и случайным образом перемещаются в пространстве.

Рассматриваемая проблема характеризуется следующими особенностя­ми. Как и большинство сильно нелинейных систем, химические реакции в некотором диапазоне значений определяющих параметров могут быть очень чувствительны к условиям, в которых протекает смешение. Так как процесс носит многостадийный характер, это означает, что в диффу­зионном пламени может возникать несколько областей, в которых меха­низмы окисления сильно отличаются. При этом различные области разде­лены узкими зонами, в которых происходит резкое изменение механизма реакций. Другая особенность состоит в том, что поскольку толщина таких зон мала, то условия смешения в них определяются лишь локальными характеристиками турбулентности, т. е. диссипацией энергии е, скалярной диссипацией N и коэффициентами молекулярного переноса. Как уже от­мечалось в главе 4, амплитуда пульсаций величины € намного превышает ее среднее значение. Аналогичное утверждение справедливо и для скаляр­ной диссипации.

Полный анализ рассматриваемой проблемы вряд ли возможен в настоя­щее время. Поэтому далее рассмотрен ряд конкретных примеров, иллю­стрирующих указанные выше общие соображения. Ниже будут рассмотре­ны решения уравнений переноса тепла и вещества в различных областях пламени. Будет показано, что в целом ряде случаев можно найти либо асимптотически точные решения, связывающие концентрации реагирующих веществ с локальными неосредненными характеристиками турбулентности, либо свести решение задачи к интегрированию уравнения диффузии без источников с граничным условием, зависящим от локальных характе­ристик турбулентности и скорости химических реакций. Так как распре­деления вероятностей величин е и N зависят от числа Рейнольдса (см. главу 4), то один из важных вопросов состоит в том, чтобы выяснить, как влияют процессы молекулярного переноса на условия протекания химических реакций в развитом турбулентном потоке.

1. Очень малые отклонения от термодинамического равновесия. Как указывалось в §5.1, при бесконечно большой скорости химических ре­акций состав и температура в диффузионном пламени могут быть легко рассчитаны из условии термодинамического равновесия. Покажем, что такой подход дает первый член асимптотического разложения решений ураЕ нений переноса в ряд по некот9рому большому параметру (числу Дамкелера). В обозначениях, принятых в § 5.1, уравнения переноса запи­шутся в виде

Э

A(cm) = pWmi А = р — + р w V — V (DpV).

Приведем эти уравнения к безразмерному виду, отнеся все масштабы длины к масштабу турбулентности А, все масштабы скорости — к у/е (е — энергия турбулентности), а все скорости реакций — к константе ско­рости самой быстрой реакции К. Тогда рассматриваемая система

приобретет вид ^

До (ст) = GepW<Ј\ Ge =— , (5.16)

yje

где А0 – безразмерный оператор A, – безразмерные скорости ре­

акции. Очевидно, что при Ge решение находится из системы =0, т. е. имеет место термодинамически равновесное состояние, в котором ст зависит только от z. Обозначим это решение символом с^ и будем искать малые поправки к нему в виде ряда

Ст = С(2) + — <?<*> + с <2) + . . . ие ие

Подставим этот ряд в (5.16) и воспользуемся уравнением диффузии Ao(z) = 0. Для наглядности перейдем к первоначальным размерным пере­менным. Можно показать, что второй член разложения (cj^^) удовлетво­ряет линейной системе уравнений

d2cbWm

N —– + ——- с(1) =0, (5.17)

dz2 -

где матрица bWm/bc„ вычисляется при сп = , т. е. ее элементы – из­вестные из термодинамического расчета функции z. Отсюда следует, что малые поправки к термодинамическому равновесию зависят только от восстановленной концентрации горючего и скалярной диссипации. Видно также, что cf^^ линейно зависит от N. Поскольку среднее значение ска­лярной диссипации не зависит от числа Рейнольдса, то и величины <с£} Ь не зависят от процессов молекулярного переноса, что оправдывает приня­тое выше предположение о равенстве коэффициентов молекулярного переноса. Отметим, что амплитуда пульсаций величин с, вообще говоря, зависит от числа Рейнольдса во всех турбулентных потоках, так как ам­плитуда пульсаций скалярной диссипации, так же как и амплитуда пуль­сации диссипации энергии, зависит от числа Рейнольдса (см. главу 4).

К сожалению, область применимости соотношения (5.17) ограничена (число Дамкелера должно быть очень велико), поскольку обычно ско­рости различных реакций отличаются на несколько порядков. При этом характеристики процесса определяются наиболее медленными реакциями, a det (bWm/bc„) — наиболее быстрыми реакциями. Это свойство систем кинетических уравнений хорошо известно (так называемые жесткие диф­ференциальные системы), поскольку оно создает большие неудобства при численных расчетах (см., например, Баев, Головичев и Ясаков [1976]).

2. Влияние скорости химических реакций на не слишком большие от­клонения от термодинамического равновесия. Проанализируем процесс горения водорода или углеводородов. Рассмотрим следующую кинетичес­кую схему:

Н + 02 =0Н + 0, Н2 +0Н = Н20 + Н, (5.18)

20Н = Н26 + 0, C0 + 0H = C02 +Н, (5.19)

Н + 0Н + М = Н20 + М, Н + О + М ^ОН + М, 2Н + М = Н2 +М, (5.20) где символ М соответствует молекуле любого вещества, находящегося в смеси. Следуя работам Каскана [1958] и Рэмшоу [1980], покажем, что эта схема правильно отражает основные кинетические закономерности горения околостехиометрических смесей при не слишком больших от­клонениях от термодинамического равновесия (количественную форму­лировку этих условий удобно дать позже).

Прежде всего отметим, что без завершения реакций (5.20) термодина­мическое равновесие не достигается, даже если рассматривается самая общая кинетическая схема. Это обстоятельство играет решающую роль, так как вблизи равновесия реакции (5.18), (5.19) идут со скоростью, намного большей, чем реакции (5.20). Сделанный вывод основан на оцен­ке, в которой скорости прямых реакций в (5.18)—(5.20) рассчитывались по термодинамически равновесным значениям температуры и концентра­ции. Установлено,- что при адиабатическом горении стехиометрической смеси при самой неблагоприятной оценке[17]) скорость самой медленной реакции в (5.18), (5.19) на полтора порядка больше, чем скорость самой быстрой реакции в (5.20).

Отсюда вытекает, что превращения вещества лимитируются реакциями (5.20), а реакции (5.18), (5.19) близки к равновесию. Этот вывод спра­ведлив и в том случае, если рассматривается самая обшая кинетическая схема. Ниже будет показано, что условия, которые вытекают из равенств скоростей прямых и обратных реакций в (5.18), (5.19), оказываются достаточными для однозначного описания скоростей реакций в (5.20). При этом необходимо предположить, что в химических превращениях не участвуют вещества, которые не перечислены в (5.18)—(5.20). Такое пред­положение вносит лишь малую неточность, так как термодинамический расчет показывает, что равновесные концентрации веществ, не перечислен­ных в (5.18)—(5.20), намного меньше, чем наименьшая из концентраций веществ, участвующих в реакциях (5.18)—(5.20). Указанные соображения оправдывают использование сильно упрощенной схемы, которая описы­вается реакциями (5.18) —(5.20).

Перейдем теперь к изложению следствий проведенного выше анализа. Рассмотрим сначала горение водорода. Из (5.18), (5.20) видно, что процесс описывается семью переменными (шесть концентраций и температура). Закон сохранения энергии и законы сохранения атомов О и Н позволяют найти три связи между семью переменными. Как ясно из § 5.1, в эти связи войдет величина z. В качестве независимых. переменных выберем концент­рации Hz, ОН, О, Н, обозначив их соответственно сь с2, с3, с4.

Условия, вытекающие из детального равновесия реакций (5.18), дают еиде. три связи, т. е. останется лишь одна независимая переменная. Выбор этой переменной осуществим с помощью приема, хорошо известного в хи­мической кинетике (Каскан [1958], Рэмшоу [1980]). Подберем такую линейную комбинацию из что наиболее быстрые реакции (5.18) не

влияют на ее распределение. Для этого уравнения А(с„) = pW„ умножаются на произвольные числа, полученные соотношения складываются, а числа подбираются так, чтобы в окончательном соотношении быстрые реакции


Рис. 5.8. Влияние отклонений от термодинамического равновесия на температуру горения водорода в воздухе. I — z – 0,02 (бедная смесь), 2 – z = 0,028 (стеХиометри – ческая смесь), 3 – z = 0,036 (богатая смесь)

Рис. 5.9. Влияние отклонений от термодинамического равновесия на концентрацию атомарного кислорода при горении водорода в воздухе. I – z = 0,02 (бедная смесь), 2 – z = 0,028 (стехиометрическая смесь), 3 – z = 0,036 (богатая смесь)


(5.18) отсутствовали. Используя этот прием, получаем А(с)=рW, с = с, + У17с2 +1/8 с3 +3с4, 21)

И/ = _4(н/, _ + И>2 – И>_2 + W3 – И>_3),

где в символах Wn индексы 1—3 соответствуют порядковому номеру реак­ции в (5.20), положительные индексы соответствуют прямым реакциям, а отрицательные — обратным. Скорости этих реакций зависят от сх,…, сА иг. Условия равновесия реакций (5.18) дают три алгебраических соотношения. Эти соотношения позволгч>т величину W, которая называется, далее, эф­фективной скоростью окисления, выразить только через сиг. Зависимость температуры и концентраций остальных веществ от с и г можно рассчитать заранее.

В качестве примера такого расчета на рис. 5.8, 5.9 приведены зависимос­ти концентрации атомарного кислорода с3 и температуры от величины с (условия нормальные). Отметим, что при г = г5 концентрация атомарного

кислорода сильно отличается от равновесной = 2,3 • 10"4).

Таким образом, задача сводится к решению одного уравнения (5.21). Оказывается, что фигурирующий в этом уравнении источник можно ап­проксимировать простой формулой (Билджер [1980а])

W = k(c-c{e))29 (5.22)

где к – постоянная. Результаты ее проверки приведены на рис. 5.10. Вер­тикальные отрезки дают диапазон изменения результатов расчета, в кото­ром использовались константы скоростей химических реакций, приведен­ные Дженсеном и Джоунзом [1978]. Величина к, рассчитанная на основе этих данных, равна к = 1,4 -106 с"1; расчет, исходящий из констант ско­ростей реакций, указанных Дженкинсом, Юмлу и Сполдингом [1966], дает значение, на порядок большее: к = 1,4-107 с"1 (Бурико и Кузнецов "[1983а]). Для сравнения приведем данные Билджера [1980а]: к = 1,6 • 106 с"1.

Рис. 5.10. Расчет эффективной скоро­сти окисления водорода в воздухе. Вертикальные отрезки соответствуют диапазону изменения W при вариации z в пределах z = 0,02-0,036 и q в преде­лах q = 0-0,2

Как будет видно далее, такую точность расчета можно считать удовлет­ворительной, поскольку отклонения от равновесия окажутся пропорцио­нальными Отметим, что по мере увеличения отклонений от равно­весия, т. е. с возрастанием с-с^е\ отношение скоростей тримолекулярных реакций в (5.20) и бимолекулярных реакций в (5.18), (5.19) увеличивает­ся, т. е. в конце концов условие пригодности формулы (5.22) нарушается. В стехиометрической смеси скорость самой быстрой реакции в (5.20) срав­нивается со скоростью самой медленной реакции в. (5.18), (5.19) при Аг = = с – % 10"2, т. е. при Дс > 10~2 формула (5.22) неприменима. Отме­тим также, что величина к слабо зависит от уровня потерь тепла излучени­ем, поскольку W определяется тримолекулярными реакциями в (5.20), скорость которых мало меняется с температурой.

Остановимся теперь на зависимости c^(z). Равновесные значения приведенной концентрации с * изображены на рис. 5.11. Видно, что (сj — концентрация Н2) и в первом приближении равновесные значе­ния приведенной концентрации и концентрации Н2 описываются форму­лой (5.3), которая справедлива для одноступенчатой необратимой реак­ции. Указанное обстоятельство обусловлено тем, что равновесие брутто – реакции Н2 + й02 = Н20 сильно смещено в сторону образования продуктов

сгорания (в стехиометрической смеси имеем с£е*/(с \fc^) = 3600, где с6, с5 — концентрации Н20 и 02). Поэтому величину судобно пред­ставить в виде (Кузнецов [1982а])

СМ = — „(S)t s= (5-23)

к

где 0 при s -> – оо, dspjds -> 1 при s -»ооД0 – некоторая постоянная (к0 ^ 1 для водорода). Видно, что при к оо формулы (5.3) и (5.23) сов­падают. Далее везде предполагается, что к > 1.

Развитый метод можно использовать и при описании горения углеводо­родов. Укажем лишь окончательные результаты, полученные для пропана Бурико и Кузнецовым [1983а]. Приведенная концентрация приобретает вид

С = СХ + Vl7 С2 + Vs Сг + 3СА + V14 г8, т. е. в формуле, с помощью которой определяется величина с, появилось 190

лишнее слагаемое, пропорциональное с8 — концентрации СО. Равновесные значения приведенной концентрации изображены на рис. 5.12, из которого видно, что формула (5.23) остается справедливой, если положить к0 =0,42. Формула (5.22) несколько видоизменяется, что ясно из рис. 5.13, который заимствован из работы Бурико и Кузнецова [1983а]. Константы скоростей химических реакций взяты из работы Дженкинса, Юмлу иСполдинга [1966]. Сплошная линия на рис. 5.13 соответствует зависимости

W = k(c-c(e))m, (5.24)

где т = 2,4, к = 6,3 • 107 с"1. Расчет, основанный на данных Дженсена и Джоунза [1978], показывает, что т = 2,4, к – 6,3 • 106 с"1. Приведенные выше аппроксимации справедливы при г – 0,045 — 0,08 и Ас <

Рис. 5.11. Расчет равновесных значений приведенной концентрации при горении во­дорода в воздухе. / — 2 – cfe\ J – зависимость (5.3)

Рис. 5.12. Расчет равновесных значений приведенной концентрации при горении пропа­на в воздухе. 1 – 2 — кусочно-линейная аппроксимация, соответствующая одно­ступенчатой необратимой реакции

< 5 • 10"3.


ш>с

U

2

3 WHO3

0

Рис. 5.13. Расчет эффективной ско­рости окисления пропана в возду­хе. Вертикальные линии соответству­ют диапазону изменения W при ва­риации г в пределах z = 0,045 -0,08 и q в пределах q – 0-0,25


Приступим теперь к решению уравнения (5.21). Это решение, очевидно, дает распределение с(х, г), что позволит из алгебраических соотношений найти температуру и концентрации всех веществ. Воспользуемая следую­щими соображениями (Кузнецов [1982а]). Будем сначала предполагать, что зона химических реакций имеет очень малую толщину. Из этого пред­положения получим решение, а затем выведем условие его пригодности.

Пусть зона реакций локализована вблизи искривленной, случайно пере­мещающейся поверхности z = 2S и пусть ее толщина 6С много меньше кол – могоровского масштабат? = у3/4 <е >",/4. Перейдем в систему координат, движущуюся вместе с некоторой точкой на поверхности х (дг, t) = zs. При Ьс < г? радиус кривизны зоны реакций много больше ее толщины, вслед­ствие чего можно пренебречь производными в направлениях касательных к поверхности z – zs. Кроме того, в рассматриваемой системе координат гидродинамические характеристики определяются только величинами v и<б>. Поэтому справедливы оценки 3/3п 1/6г, Э/Эt ~ (^/<е>)~1/2 (п – нормаль к поверхности z = zs). Следовательно, при Ьс<г\ уравне­ние (5.21) приобретает вид (2.18). Левая часть (2.18) много меньше, чем первый член в правой части, если Ьс<г\. Учтем также, что поскольку Ьс мало, то мало и изменение приведенной концентрации с в зоне реакций. Поэтому нет смысла учитывать влияние температуры на pZ). Таким обра­зом, из (2.18), (5.24) получим


(5.25)


Это уравнение справедливо при Ьс<г\. Указанное. условие пока неконст­руктивно (Ьс неизвестно). Поэтому решим уравнение (5.25), найдем Ьс и тем самым, получим условие справедливости найденных результатов в явном виде.

Заметим, что поскольку Ье<г\, то в зоне реакций распределение вос­становленной концентрации горючего можно приближенно описать выра­жением z = zs + п dzjdn (dz/dn = const). Тогда (5.25) приобретает вид


N

- к [f-f^(z)] m = 0. N=d(—) = Z>(—) . (5.26)

dz2

Ъп / \ дхк


Отсюда вытекает важный вывод: структура зоны реакции определяется единственной гидродинамической характеристикой — скалярной диссипа­цией N. Этот вывод был сделан в работе Кузнецова [19776] из анализа 192


уравнения для распределения вероятностей концентрации реагирующей примеси.

Введем новые переменные и параметры

dz к

ss = Kk0n ——, ф = кс, go = — ,

dn N

rjxedz/dn вычисляется на поверхности z = zs. Тогда из (5.23), (5.25) получим ~ £о [Ф — #(*)] w = 0. (5.27)

ds2

Исследуем два предельных случая: (g0 1 и (g0 1. В первом случае решение ищем в виде асимптотического ряда ф = у + V\go + … Тогда находим^! = (<р") и т. д. Таким образом,

/1 tfVe>\1/w к

c«cw(z) + (- ——- —} + …. G0 = —.

\Со dz2 J N

При m = 2 эта формула получена Билджером [1980а] другим методом. Она справедлива, только если |с-с^е) | <сКе), и, следовательно, ее при­ложение к рассматриваемым здесь вопросам весьма ограничено.

Рассмотрим другой предельный случай (g0 > ^ 1, который проанализи­рован в работах Кузнецова [1982а], Бурико и Кузнецова [1983а]. Этот случай соответствует пределу G0 =const, к оо. Тогда функция приобре­тает вид = sO (s), где в = 0 при s < 0, в = 1 при s > 0. Физически это озна­чает, что толщина зоны реакций много больше, чем ширина зоны, в которой существенны отклонения от зависимости = sO (s). В анализируемом слу­чае уравнение (5.27) запишется р виде

-*o№-s0(s)]m=O. (5.28)

ds2

Это уравнение имеет единственное гладкое, ограниченное при всех s решение

1/(1 – т)

\ 1/11 — ту

—-—) X

т + 1/

С=—— . (5.29)

Частный случай этого соотношения (т = 2) получен в работе Кузнецова [1982а]. Решение при произвольном т указано Бурико и Кузнецовым [1983а].

Остановимся на условиях применимости формулы (5.29). Одно из этих условий ((go XI) несущественно. Действительно, (5.29) неправильно описывает лишь малые отклонения от равновесия | ^с^),так как использован приближенный вид зависимости <р (s). Однако правильное описание малых отклонений от равновесия особого интереса не представ­ляет. Второе условие есть bc.<ri. На основе формулы (5.29) естественно определить толщину зоны реакций из соотношения I z (6g) – zs |Gl/(1+m) =1. Имеем, далее, |z(5r) – zs I = be \Ъг/Ъп\ = bc\jNjD. Отсюда получаем bc ~ \jDjN G-1^1 +m). Сравнивая bc и т?, заключаем, что при v – D усло­вие справедливости формулы (5.29) есть ‘

0 = =<6>l/%-l/4A:-l/(l+m)(<yv>ik2)(l-m)/2(l+m) < j (5 3Q)

V

Покажем теперь, что при 0> 1 и L > Ьс формула (5.29) дает правильный порядок величины с, т. е. условие (5.30) также несущественно. Так как интегральный масштаб турбулентности L много больше, чем bCt а колмо – горовский масштаб т? много меньше, чем 6С, то размер Ьс принадлежит инерционному интервалу.

Очевидно, что воздействие вихрей с размером много больше Ьс по-преж­нему’несущественно, а влияние вихрей с меньшими размерами в первом приближении сводится к интенсификации процессов переноса внутри зоны реакции. Чтобы учесть рассматриваемый эффект, воспользуемся приемом, предложенным Колмогоровым [1962а, б] и Обуховым [1962]. Рассмотрим куб со стороной порядка Ьс и центром в точке х. Величины и, с, р, z осред – ним по этому кубу, а результат частичного осреднения обозначим и (*,f,6c), с(х9 t, 6^.), р(дг, /, bc), z(х, t? Ьс). Под зоной реакции будем понимать область, расположенную вблизи поверхности z (х, t, bc) = zs и имеющую толщину порядка Ьс. Поскольку предполагается, что влияние вихрей с размером меньше Ье сводится лишь к интенсификации процессов переноса внутри зоны реакции, то можно считать, что соотношения (5.21), (5.23), (5.24) описывают распределение с(дг, /, 6^), если входящие в них величи­ны и, р, с, zyD заменим частично осредненными величинами, т. е. величина­ми и (дг, bc), р (дг, г, 6С), с (дг, /, 6r), z (дг, /, bc), D5, где D6 – коэффициент турбулентной диффузии, обусловленной вихрями с размером Ьс и меньше. Принятое предположение, разумеется, справедливо лишь при оценке по­рядков величин.

Идея описания интенсификации перемешивания в некоторой выделен­ной зоне из-за вихрей, масштаб которых не превышает характерный размер этой зоны, с помощью коэффициента диффузии D$ восходит к Ричардсо­ну [1926]. В теории горения эта идея в основном привлекалась для анализа турбулентного горения однородной смеси (Прудников и др. [1971], Зи­монт и Сабельников [19756], Зимонт [1979]; см. также литературу, ука­занную в начале § 1.4). Напомним также, что идея Ричардсона лежит и в основе различных подсеточпых моделей турбулентности, о которых упоми­налось во рведении и главе 4.


Заметим, что br и, следовательно, D$ заранее не известны, и поэтому необходим анализ уравнений для частично осредненных величин. С этой целью перейдем в систему координат, движущуюся вместе с некоторой точкой на поверхности z (дг, t, 6Г) = zSi исключив тем самым влияние вихрей с размером много больше Учтем, что в области с размером порядка Ьс все величины зависят лишь от (N >6, < е бс, поскольку размер 6 с ПРИ" надлежит инерционному интервалу (см. главу 4). Здесь <N)S и <е>$ – значения скалярной диссипации и диссипации энергии, осредненные по области с характерным размером 8С. Из соображений размерности имеем D6 ~ <е>^36^3. Скорость среды в новой системе координат порядка (<в>б6г)1/3, пространственный масштаб ее изменения по определению равен 5С, а временной порядка < е >~1/3 82J3. Поэтому справедлива оценка

и(х, и бс) = «е>б б,)1’3 v(v, r),

‘ 6, 6 с

где V— случайная функция, зависящая лишь от у и т.

Аналогичная формула справедлива и для плотности, т. е. р(х, г, 5С) = ® Р СУ»7") • Величину z (дс, г, 6С) представим в виде

2(х, t, 8) = zs + (N) f8lJ3 < е >-^ ф (у, т),

где ф – случайная функция, зависящая лишь от у и г. Величину с пред­ставим как

с=с6х(у, г),

где с6 — некоторый, пока неизвестный масштаб изменения приведенной концентрации. Заменим в соотношениях (5.21)-(5.24) и, с, р, z, D на и(х, г, 6Г), с(дг, г, 6Г), р(дс, г, б^),*^, tu8c)9 Dd, перейдем к новым пере­менным у, т и воспользуемся полученными выше опенками. В случае m = 2 (горение водорода) имеем

+ри* "Г" = Т" /»rL-*elx-xe<’fl(<’)]lP, (5.31)

Эг Э^

= *6f < е >6- ‘/3 С,. Х°= <2 с-’ < е >"

По определению величины v, х, Ф> Р зависят лишь от у, г, что возможно лишь в том случае, когда оба критерия к0 и х°, фигурирующие в получен­ном соотношении, порядка единицы. Поэтому имеем два условия для нахождения двух неизвестных величин сь и 6Г. Таким образом,

(

< N >* \1/3

Эти формулы получены в работе Кузнецова [1982а].

Сравнивая первое из этих соотношений с формулой (5.29) (z = zs, m = 2), заключаем, что в обоих случаях порядок отклонений от термо­динамического равновесия одинаков. Поэтому в первом приближении соотношение (5.29) справедливо и тогда, когда условие (5.30) не вы­полняется. Здесь следует сделать лишь две оговорки. Во-первых, если условие (5.30) выполнено, то в (5.29) входит истинное, т. е. неосреднен – ное, значение скалярной диссипации N. Если же ($> 1, т. е. L > 8С > т?, то в (5.29) необходимо подставить скалярную диссипацию, осредненную по области с малым размером порядка 8С. Этот вывод основан на том, что

195

в уравнение (5.31) входят лишь величины, осредненные по такой области. Во-вторых, оценки величин дс и с6 справедливы только в том случае, ког­да L > Ьс.

Проанализируем формулу (5.29) и проведем ряд оценок. Полученное соотношение позволяет связать температуру и концентрации всех веществ с восстановленной концентрацией горючего. Тем самым задача сводится к описанию поля концентрации инертной примеси. В (5.29) фигурируют неосредненные значения параметров, т. е. в пределах применимости фор­мул для величины с в первом приближении дано описание влияния всех деталей турбулентности на химические процессы. Видно, что в (5.29) входят два случайных параметра z и N. Пульсации первого параметра обусловлены крупномасштабными вихрями и, следовательно, эти пуль­сации приводят к переносу зоны реакций как целого, без изменения ее внутренней структуры. Флуктуации скалярной диссипации определяются мелкомасштабными вихрями. Эти флуктуации уже приводят к изменению внутренней структуры зоны реакции.

С точки зрения практических приложений наибольший интерес пред­ставляет вычисление средних значений от различных функций вида F(c). Для этой цели воспользуемся уже обсуждавшейся в главе 3 гипотезой о том, что в турбулентной жидкости пульсации концентрации инертной примеси и скалярной диссипации статистически независимы. Проанализи­руем сначала, насколько велико влияние пульсаций скалярной диссипации. Из (5.29) следует, что с —Л^3 (т = 2). Поэтому за количественную харак­теристику этого влияния можно взять отношение 1С = < N>/< N)1^3.

В оценках предположим, что распределения вероятностей скалярной диссипации и диссипации энергии описываются одним и тем же законом. Это предположение подтверждается опытами Шринивасана, Даня и Анто­ниа [1977]. Следовательно, формула (4.23) справедлива и в рассматри­ваемом случае. Значение дв этой формуле, вообще говоря, должно быть иным. Используя результаты упомянутой работы, имеем д = 0,36. Таким образом, получаем <N" >, ^ <N>," (L/r?)MW <я"|>/2 – <N>,w Re*"*"-1)/8, где Re = \fe Ljv. Так как вязкость следует рассчитывать по температуре продуктов сгорания, то в обычных условиях величина Re редко превы­шает 103. Тогда Ic 0,81, т. е. пульсациями скалярной диссипации в данном случае можно пренебречь и при вычислении различных средних значений считать, что N = <ЛОг, где (N)t – диссипация, осредненная по турбулент­ной жидкости (Кузнецов [1982а]).

Из проведенной оценки следует, что отклонения от равновесия опреде­ляются критерием G = кк™~х j(N)ti который характеризует отношение времени подвода вещества к фронту пламени к времени химической реак­ции. Обычно значения этого критерия очень велики. В качестве примера рассмотрим горение струи водорода, вытекающей из сопла диаметром d = 0,05 см со скоростью и0 = 880 м/с. Расчет, основанный на системе уравнений (5.4), показывает, что при <z > = zs и у = 0 скалярная диссипа­ция равна (N)t = 0,08 с"1, и, следовательно, при к = 1,4 • 106 с"1 получаем С = 1,7 • 107. Тогда из (5.29) имеем А с = с-с{е) = 2,7 • 10"3 и из данных, изображенных на рис. 5.8, 5.9, заключаем, что температура пламени Т5 снижается на 200 К, а концентрация атомарного кислорода в б раз пре­вышает равновесное значение (при z =zs).

В заключение еще раз отметим, что формула (5.29) справедлива лишь для ограниченного диапазона значений z и лишь в том случае, когда |с-с^ | не слишком велико. Для водорода она пригодна при 0,02 < z < < 0,036, а для пропана – при 0,045 < z < 0,08. Таким образом, если состав значительно отличается от стехиометрического, то решение (5.29) становит­ся непригодным. Кроме того, с увеличением скалярной диссипации (N)t величина I растет, и при некотором значении (N)t скорость самой

медленной реакции в (5.18) или (5.19) становится меньше скорости самой быстрой реакции в (5.20), т. е. нарушается справедливость предположений, в которых получено соотношение (5.24). Для водорода это происходит при * 10"2, а для пропана – при « 5-Ю"3. Таким образом,

при очень большой скорости смешения формула (5.29) также непригодна.

Указанные ограничения могут быть ослаблены, так как на основе рас­суждений, которые использовались при выводе (5.26), получается система уравнений более общего вида (Петере [1984]) :

d2Cj

N——– W, = 0. (5.32)

dz2

При ее записи считается, что учтены все следствия законов сохранения тепла и вещества, т. е. ряд независимых переменных исключен и, следовательно, Wx — известные функции сх и z. При выводе (5.32) не предполагается, что реакции (5.18), (5.19) идут со скоростью, много большей, чем реакции (5.20) . Главное условие применимости (5.32) имеет прежний вид, т. е. ин­тегральный масштаб турбулентности L должен быть много больше толщи­ны зоны химических реакций В общем случае способ вычисления б^. не может быть указан заранее, и, следовательно, систему (5.32) сначала сле­дует проинтегрировать, а затем проанализировать условие ее примени­мости.

Остановимся на физическом смысле условия L> Ъе. Из него, очевидно, следует, что градиенты температуры и концентрации меняются в зоне реак­ций очень резко. Поэтому система (5.32) справедлива только в области рез кого изменения градиентов величин С/. Вне этой области необходим другой подход к решению уравнений переноса. Этот подход удобно проанализи­ровать в § 5.6.

3. Условие существования турбулентного диффузионного пламени. Из

физических соображений ясно, что система (5.32) может не иметь решений, описывающих процесс горения. Такие решения получаются при очень боль­ших значениях параметра N. Тогда в (5.32) можно пренебречь слагаемым Wl9 и решение имеет вид сх = Ахz + Вх (Ах, Вх – постоянные), т. е. поля сх и z подобны (происходит лишь процесс смешения). Таким образом, процесс горения возможен лишь при N < Ner, где параметр Ncr может быть точно вычислен при решении системы (5.32). Эта задача еще не решена, и поэто­му ограничимся грубой оценкой величины Ncr.

Такая оценка может быть получена из теории Зельдовича [1949], Зель­довича и Франк-Каменецкого [1938а, б]. В последней работе установлено, что существует определенная связь между константами скоростей хими – ческих реакций (эти константы фигурируют в величинах W/) и скоростью нормального распространения пламени и„. Такой подход сильно упрощает задачу, так как характеристики химической кинетики могут быть в первом приближении описаны с помощью только одной величины ип, значение которой известно из опытов.

Другое упрощение указано в работе Зельдовича [1949], в которой уста­новлено, что процесс диффузионного горения является устойчивым, если поток горючего Qf к фронту пламени меньше некоторого критического значения 0/с> a Qfc по порядку совпадает с потоком горючего к нормально­му фронту пламени, распространяющемуся по стехиометрической смеси. Как будет видно далее, сравнение величин Qf и Qfc позволит оценить пара­метр Ncr.

Действительно, поток горючего к любому диффузионному пламени при 2S < 1 равен

|=p<b>V®*\ 2Я<19

J I Ъп I

где индекс Ъ относится к температуре горения, а употребляемый далее ин­декс 0 – к начальной температуре,/! – нормаль к поверхности пламени. При выводе этого соотношения использована формула (5.3). Поток горючего в нормальном пламени, движущемся по стехиометрической смеси, очевид­но, есть Qfc = р(0) u„szs, где uns – скорость нормального распространения пламени в стехиометрической смеси. Предположив, что р —Г"1 ,£> ^Т2, ус

ловие существования диффузионного пламени Qf < Qfc приводим к виду 2 *2

Mils

N<Ner= ——, (5.33)

D

где индекс 0 соответствует начальной температуре.

Аналогичный результат получен также Петерсом и Вильямсом [1981].

Формула (5.33) удобна при анализе турбулентного горения, поскольку скалярная диссипация N является одной из важнейших величин, опреде­ляющих процесс смешения, а ее среднее значение входит практически во все модели турбулентности.

Следует подчеркнуть, что в (5.33) фигурирует неосредненное значение скалярной диссипации. В ряде случаев это обстоятельство, по-видимому, может иметь важное значение, поскольку, как уже указывалось, отсюда следует, что при больших числах Рейнольдса в потоке с достаточно большой вероятностью наблюдаются пульсации величины N, которые намного превышают среднее значение скалярной диссипации. Такие пульсации лосят локальный характер в том смысле, что большие значения N наблюдаются в областях с малым характерным размером. Поэтому во фронте пламени должны возникать "дырки", т. е. в отдельных областях пламени условие (5.33) не выполняется и горение в них прекращается. Появление этих ды­рок можно легко наблюдать в прикорневых частях диффузионного пламени.

Оценим теперь величину Ncr. Для этого отметим, что в реальных слу­чаях использованная выше модель дает лишь качественно правильный ре­зультат. Это обусловлено двумя причинами. Во-первых, энергии актива­ций ведущих реакций недостаточно высоки. Это приводит к тому, что в ряде случаев при вариации состава смеси, т. е. величины z, нормальная ско­рость распространения пламени достигает максимума не при z = zS9 т. е. в стехиометрической смеси, температура горения которой максимальна, а при некотором другом значении z = zm. Чтобы учесть это обстоятельство, величину QfC естественно рценивать в смесях с максимальным значени­ем ит. Поэтому в (5.33) следует заменить ит на ипт9 a zs на zm, где ипт – максимальное значение скорости нормального распространения пламени.

Во-вторых, в (5.33) содержится некоторая неопределенность, связанная с тем, что коэффициенты диффузии горючего и окислителя различны. Поэтому все проведенные выше рассуждения справедливы не только для горючего, но и для окислителя. В последнем случае также получается соот­ношение вида (5.33). Однако в нем будет фигурировать не коэффициент диффузии горючего, а коэффициент диффузии окислителя. В оценках из этих коэффициентов естественно выбирать наибольший. Тем самым выби­рается наиболее "жесткое" условие существования пламени/Тогда, исполь­зуя при оценке zm, ипт и D^ экспериментальные данные, приведенные в книгах Льюиса и Эльбе [1961 ], Бретшнайдера [1966], Дубовкина [1961 ], заключаем, что в нормальных условиях при горении водорода параметр Ncr равен 200 с"1, а при горении пропана 30 с"1. С увеличением давления р

или начальной температуры Тзначения Ncr растут примерно как

В заключение отметим, что формула (5.33) дает лишь усло­вие существования стабилизированного диффузионного пламени. Можно показать, что указанное ограничение является весьмагважным.

§5.5. Образование окислов азота

при турбулентном диффузионном горении

Основная цель данного параграфа заключается в проверке развитых выше теоретических представлений при исследовании образования окислов азота. Поэтому обратимся к наиболее хорошо изученному эксперименталь­но случаю — затопленному диффузионному факелу. Теория образования окислов азота в таком факеле развита в работе Бурико и Кузнецова [1983а]. Такое исследование представляет и непосредственный практичес­кий интерес.

Вначале остановимся на образовании N0 в условиях, когда излучение мало, а температура и концентрация атомарного кислорода термодинами­чески равновесны. Рассмотрим горение водорода. В этом случае основные исследования проведены при столь больших скоростях истечения, что влия­ние сил плавучести мало. Тогда параметр w, определяемый формулой (5.8), не зависит от х, у, dy u0i уравнение (5.9), дающее среднюю концентрацию N0 (<с10>), линейно, а коэффициенты в этом уравнении (и >, и0, vt> — функции только от х, у, и0, d. Следовательно,

«..>-"(7.-5).

где F — безразмерная функция, т = d/u0 (эта величина условно называется далее временем пребывания).


Сделанный вывод не подтверждается данными, приведенными на рис. 5.14, из которого видно, что величина с0 = <с10 >(#и)/т -

максимальная концентрация N0 на оси) закономерно уменьшается с уве­личением т. Отсюда ясно, что эффекты, рассмотренные в § § 5.3, 5.4 и не учтенные при выводе соотношения <с10> = vvrF, имеют принципиальное значение. В рассматриваемом случае справедливо соотношение <N> = = T~lFi(x/d, yjd)9 т. е. химическая неравновесность определяется пара­метром т. Влияние излучения характеризуется параметром q9 который,

Рис. 5.14. Сравнение рассчитанной макси­мальной осредненной концентрации N0 на оси затопленного диффузионного фа­кела с экспериментальными данными разных авторов. 1 – водород, Лавуа и Шладер [1974]; 2 – водород, Билджер и Бек [1974]; 3 – пропан, Бурико и Кузнецов [1978]. Сплошные линии – расчет, в котором учтено излучение и неравновесность пламени; штриховые линии – расчет для адиабатического, термодинамически равновесного пла – 1 10 11′Ю\с мени

как это вытекает из (5.10), (5.12)—(5.15), можно записать в виде q ^т. Отсюда следует, что с0 — универсальная функция т.

Этот вывод сделан в работе Бурико и Кузнецова [1978] и, как видно из рис. 5.14, хорошо подтверждается опытами. Остановимся на количест­венной стороне вопроса. Полученные выше формулы дают возможность рассчитать выход окислов азота. На первом этапе расчета система (5.4) не используется и находится только зависимость w(G, q). Для этого задаются значения z, G,q и решается система алгебраических соотношений, вытекаю­щих из законов сохранения энергии, массы атомов Н, О и С и условий рав­новесия реакций (5.18) и (5.19). При этом используется формула (5.29), а роль излучения учитывается тем, что начальная энтальпия уменьшается на величину qQ(z) (Q = Q0zlzs при z < zS9 Q = Q0 (1 – z)/(l – zs)9 где Go – теплота сгорания одного грамма топлива). Такой расчет позволяет найти из формулы (5.6) зависимость скорости окисления азота как функ­цию z, G, q9 а из соотношения (5.8) определить функцию w(G, q).

Результаты расчетов изображены на рис. 5.15, 5.16, из которых видно, что отклонения от равновесия могут в несколько раз увеличивать скорость окисления азота.

На заключительном этапе численно решается система уравнений (5.4),

(5.9) . Последнее уравнение в (5.4) описывает распределение пульсаций концентрации. Одно из слагаемых в этом уравнении, а именна то, которое пропорционально постоянной дает величину 2(N >. Чтобы найти коэф­фициент перемежаемости и, следовательно, величину (N )t = (N)/y, исполь­зуются формулы (3.56), (3.57). Входящие в эти формулы величины < z >и о находятся в процессе расчета системы (5.4). По известному значению < N )t определяется критерий G. Потери тепла излучением при горении водо­рода даются формулами (5.10), (5.12), (5.13), а при горении пропана -

(5.10) , (5.12), (5.14), (5.15). Рассчитанные значения G и q позволяют

Рис. 5.15. Влияние неравновесности и излучения диффузионного пламени на эффектив­ную скорость окисления азота при горении водорода в воздухе. С0 = с; ~1/ 1) т – j


Рис. 5.16. Влияние неравновесности и излучения диффузионного пламени на эффек­тивную скорость окисления азота при горении пропана в воздухе. G° = G ~ 1) ^ w = 2,4


вычислить w с помощью данных, приведенных на рис. 5.15,5.16. Найденное значение w и формулы (3,56), (3.57) дают возможность вычислить сред­нюю скорость реакции в уравнении (5.9), при численном интегрировании которого можно легко получить распределение средней концентрации N0.

Остановимся теперь на результатах численных расчетов. Все расчеты про­ведены на основе констант скоростей химических реакций, заимствованных из работы Дженкинса, Юмлу и Сполдинга [1966], т. е. к = 1,4 • КТс"1 для водорода, к – 6,3 • 107с-1 для пропана. Результаты расчета максимальной концентрации N0 на оси затопленных факелов пропана и водорода изобра­жены на рис. 5.14, где с0 = <С|0 >(mtyr,<c, 0 — максимальная концен­трация N0 на оси факела. Из рис. 5.14 видно, что результаты расчетов удов­летворительно согласуются с экспериментальными данными.

Сравнение рассчитанных распределений N0 с экспериментальными дан­ными Лавуа и Шладера [1974] приведено на рис. 5.17 – 5.19 (значки – опытные данные, кривые – расчет, d = 2,2 мм, и0 = 200 м/с). На рис. 5.20 представлено сравнение рассчитанного безразмерного потока окислов азота Q 0 от расстояния до сопла. Величина Q 0 определена соотношением

4 f(p)(u)<cl0)ydy

PfU0d2

где Pf – плотность топлива. Поскольку профили < р >, < и > в опытах Лавуа и Шладера [1974] не измерялись, то использовались рассчитанные профили <р>, (и) и измеренные Лавуа и Шладером профили <Сю>. Из рис. 5.17,

Рис. 5.17. Сравнение рассчитанной средней концентрации N0 на оси затопленного диф­фузионного факела водорода с экспериментальными данными Лавуа и Шладера [1974]


Рис. 5.18. Сравнение рассчитанного профиля средней концентрации NOb затопленном диффузионном факеле водорода в сечении x/d — 40 с экспериментальными данными Лавуа и Шладера [1974]

<сю>-Ю6

Рис. 5.19. Сравнение рассчитанного профиля средней концентрации NOb затопленном диффузионном факеле водорода в сечении x/d = 160 с экспериментальными данными Лавуа и Шладера [1974]


Рис. 5.20. Сравнение рассчитанногЬ потока окислов азота в различных сечениях зато­пленного диффузионного факела водорода с экспериментальными данными Лавуа и Шладера [1974]

<сю>-Ю6

ва [ 19781. d « 3 мм, ив = 25 м/с

Рис. 5.22. Сравнение рассчитанного профиля средней концентрации NOb затопленном диффузионном факеле пропана в сечении x/d = 22 с экспериментальными данными Бурико и Кузнецова [1978]


5.18 видно, что осевое и радиальное распределение <с10 > на малых расстоя­ниях от сопла данной теорией описывается неудовлетворительно. На боль­ших расстояниях от сопла согласование теоретических и эксперименталь­ных данных следует признать хорошим. Рис. 5.20 показьюает также, что расход окислов азота может быть достаточно точно рассчитан на всех рас­стояниях от сопла. Более детальный анализ причин, которыми обусловлены указанные выше различия, удобно провести несколько позже. Аналогичные расчеты были выполнены и для затопленного диффузионного факела про­пана. Сравнение рассчитанных распределений N0 с экспериментальными данными Бурико и Кузнецова [1978] приведено на рис. 5.21 – 5.24 (знач­ки – опытные данные, кривые – расчет).

Видно, что все выводы, сделанные при анализе горения водорода, спра­ведливы и при окислении пропана.

Остановимся теперь на причинах низкой точности расчетов концентра­ции окислов азота на малых расстояниях до сопла. Прежде всего отметим, что развитая теория во всех случаях дает правильное описание суммарного

оо

выхода окислов азота, т. е. величина f(pWiob’<ty рассчитывается с

о

<сюУЮ6

I I I I

О Ю 20 30 40 y/d

Рис. 5.23. Сравнение рассчитанного профиля средней концентрации NOb затопленном диффузионном факеле пропана в сечении x/d = 270 с экспериментальными данными Бурико и Кузнецова [1978]




Рис. 5.24. Сравнение рассчитанного потока окислов азота в различных сечениях за­топленного диффузионного факела пропа­на с экспериментальными данными Бури­ко и Кузнецова [ 19781

удовлетворительной точностью. От­сюда следует, что средняя скорость окисления азота < W10> правильно рас­считывается во всех точках факела. Это и неудивительно, так как в ана­лизируемом случае Wi0 зависит толь­ко от характеристик инертной при­меси, а они, как отмечалось в начале главы, с хорошей точностью описы­ваются системой (S.4) .Следовательно, причина низкой точности расчета на малых расстояниях от сопла может быть обусловлена лишь предположением о равенстве коэффициентов тур­булентного переноса окислов азота и инертной примеси.

Предположение о равенстве коэффициентов турбулентного переноса инертной примеси и примеси, участвующей в химической реакции, было поставлено под сомнение в работах Чанга [1970], Вилюнова и Дика [1976], в которых развиты полуэмпирические методы описания влияния химичес­ких реакций на законы турбулентного переноса. Поскольку справедли­вость предположений, сделанных в этих работах, непосредственно не прове­рена, то полезно указать на прямое доказательство важности рассматривае­мого эффекта. Следуя работе Кузнецова [19796], рассмотрим турбулент­ную диффузию горючего. Предположим, что реакция является одноступен­чатой и необратимой, а ее скорость бесконечно велика, т. е. справедлива формула (5.3). Тогда поток горючего дается соотношением

<cfu) = fcf(z)uP(u, z)d*udz=fcf(z)(u)2P(z)dzt

где Р(и, z) — плотность вероятностей скорости и концентрации, а условно осредненная скорость среды < и)2 определена формулой (3.16), в которую входит поток инертной примеси и дисперсия пульсаций концентрации о2. Эта формула позволяет вычислить коэффициент турбулентной диффузии горючего, который по определению равен

{cfv) – (^>(и> b(Cf)jby ‘

Расчет, основанный на формулах (3.16), (3.56), показывает, что 1) ко­эффициенты турбулентной диффузии горючего и инертной примеси замет­но различаются; 2) эти различия увеличиваются при возрастании пульса­ций концентрации (Кузнецов [19796]). Таким образом, химическая реак­ция действительно влияет на процесс турбулентного переноса реагирующей примеси.

В рассматриваемом случае это влияние непринципиально, поскольку процессы переноса не меняют общего потока окислов азота, а источник в

уравнении (5.9) не зависит от с10. Если же такая зависимость становится существенной (что, например, имеет место при больших г, когда значе­ние сх о приближается к равновесному), то и общий расход окислов азота будет зависеть от их коэффициента турбулентной диффузии.

В заключение этого параграфа Отметим, что в большинстве рассмотрен­ных выше случаев условие (5.30) не выполнялось, т. е., строго говоря, формула (5.29) дает лишь правильный порядок величин. Тем не менее, учитывая хорошее согласование результатов расчета и экспериментальных данных, можно предположить, что формула (5.29) справедлива и в том слу­чае, когда условие (5.30) не выполняется.

§ 5.6. Турбулентное горение

частично перемешанных газов

Одна из особенностей горения заранее не перемешанных газов состоит в том, что скалярная диссипация, определяющая условия протекания хи­мических реакций, сильно варьируется в зависимости от положения рас­сматриваемой точки. Указанная особенность проиллюстрирована на рис. 5.25, где приведены результаты расчета, основанного на системе (5.4). Эти расчеты проведены для оси затопленного иропанового факела. По оси абсцисс отложено не расстояние x/d, а средняя концентрация (г >,. Видно, что величина < N )t меняется на несколько порядков.

Этот вывод имеет важное значение, так как из-за сильной вариации (N)t условие существования диффузионного пламени (5.33) может на­рушаться. Как уже отмечалось в § 5.4, важную роль играют и флуктуации величины N, амплитуда которых, как ясно из главы 4,очень велика. Такие флуктуации приводят к появлению "дырок" в пламени, через которые


несгоревшее топливо проникает в бедную часть факела, т. е. в область z < zs. Ввиду сильной вариации <N >г этот эффект всегда играет важную роль в начальных сечениях факела и приводит к тому, что диффузионное горение происходит по схеме, которая часто заметно отличается от тради­ционно рассматриваемой, так как по обе стороны зоны реакции могут находиться и топливо, и окислитель, а горючие компоненты переносятся к фронту пламени параллельно. Аналогичная особенность может быть следствием и самого способа организации процесса горения. Например, при распыливании жидкого топлива в потоке воздуха из-за скольжения фаз часть несгоревших капель может проникать в бедные области. Следователь­но, воздух и испарившееся топливо будут параллельно диффундировать к зоне реакций. Таким образом, значительный практический интерес пред­ставляет исследование горения в потоке с сильно переменным составом при наличии несгоревшего топлива во всем факеле, т. е. горения частично перемешанных газов. Этому вопросу и посвящен данный параграф.

Чтобы пояснить математическую постановку задачи, вернемся к систе­ме (5.32). Как уже указывалось, эта система справедлива только в зоне химических реакций, т. е. там, где градиенты концентрации и температуры меняются очень резко. Указанная особенность обусловлена тем, что ско­рость химических реакций сильно зависит от температуры и, следовательно, от величины z, значение которой определяет максимальную температуру. Следствия, вытекающие из этой особенности, проанализированы в работе Кузнецова [1983] на примере реакции окисления СО. Установлено, что поскольку при уменьшении z скорость химической реакции резко умень­шается, то можно выделить две характерные области. В первой области (z ^Zi(N) < zs) химические реакции существенны и справедлива систе­ма (5.32). Во второй области (z < z}) химические реакции не играют роли. Обе области разделены очень узким пограничным слоем (фронтом замораживания). Показано, что 1) концентрацию СО во фронте замора­живания можно найти, интегрируя систему (5.32), и эта концентрация за­висит только от iV; 2) из-за сильной зависимости скорости реакции от z функция 2\ (N) слабо зависит от N.

В соответствии с результатами проанализированной работы далее пред­полагается, что качественные особенности, обнаруженные при исследовании окисления СО, сохраняются и в общем случае. Таким образом, можно счи­тать, что 1) в области z < zx(N) < zs реакции не идут; 2) функция z х (N) слабо зависит от N\ 3) система (5.32) проинтегрирована, т. е. найдено положение[18]фронта замораживания z = zx(N) *) и концентрации всех ком­понентов в этом фронте.

Следовательно, задача сводится к исследованию решения уравнения диффузии без источников дня концентрации Cf какого-нибудь одного ста­бильного вещества (исходного топлива, продукта пиролиза, окиси углеро­да и т. д.), которое, далее, для краткости называется горючим. Граничные условия заданы на нестационарной, искривленной поверхности z = Zj = = const в виде Cj = ^(АО. Зависимость y(N) может быть найдена при ин­тегрировании системы (5Д2*). Существенно, что в отличие от зависимости

Z\(N) функция может сильно изменяться при вариации N, т. е. гра­

ничные условия для концентраций су и z, удовлетворяющих одному и тому же уравнению, не подобны. Поэтому при z < zx величина су зависит не только от z и N, как это следует из (5.32), но и от предыстории процесса. Указанное обстоятельство осталось незамеченным в работе Лью, Брэя и Мосса [1984], в которой получен ряд результатов, основанных на неявно принятом предположении о том, что система (5.32) справедлива при всех z, т. е. поля Cf и z подобны.

Чтобы решить поставленную задачу, проанализируем качественные осо­бенности функции ^p(N), а затем на примере горения в плоском слое сме­шения выявим те гидродинамические особенности, которые определяют характер процессов переноса горючего в бедной части факела. Результаты этого анализа используем для вывода приближенного уравнения, описываю­щего среднюю концентрацию горючего в бедной части факела.

Укажем сначала ряд упрощающих обстоятельств. Преэеде всего отметим, что при \р = const поля су и z подобны, если на начальной стадии процес­са в бедной части факела (z <zx) горючее отсутствовало, т. е. yz

Cf =- , <р = const. (5.34)

Z\

Эта формула приближенно справедлива и в ряде других случаев. В самом деле, ясно, что кр 0 при Af-* 0 (уменьшается поток топлива к зоне реак­ций и процесс приближается к термодинамически равновесному). Ясно также, что по мере удаления от точки слияния потоков топлива и окисли­теля характерные значения N уменьшаются {z = const при полном смеше­нии) . Следовательно, горючее проникает в бедную часть факела в основном на ранних стадиях процесса. Позже оно диффундирует из бедной части фа­кела к зоне реакции, где и сгорает. Если процесс переноса происходит доста­точно быстро, то формула (5.34) приближенно справедлива. Таким образом, (5.34) описывает некоторое равновесное состояние, в котором концентрация горючего зависит только от констант, характеризующих хи­мическую кинетику, и локальных характеристик турбулентности z и N.

Скорость достижения такого состояния прежде всего определяется зна­ком скорости среды v относительно поверхности z = zx. Для пояснения рассмотрим простой пример — горение при смешении неограниченных по­токов воздуха (z = 0) и богатой топливовоздушной смеси (z = za >zs). Варьирование параметра z0 позволит прояснить основные особенности проблемы.

Рис. 5.26. Качественная схема слоя смешения


6


а


Вследствие перемежаемости имеются три области 1-3 (рис. 5,26, а, б), разделенные случайно колеблющимися границами Fx и F2. В области 1 находится чистый воздух, а в области 2 – исходная смесь. Течение в об­ластях 1 и 2 потенциально. В области 3 (турбулентной жидкости) течение завихренно, а концентрация случайно меняется между нулем и z0. Посколь­ку обычно St > 1, то при z0 1 поверхность z = z j < zs расположена вбли­зи границы Fx (рис. 5.26,а). Наоборот, при малых Zq поверхность z — z \ расположена вблизи границы F2 (рис. 5.26,5). В этих предельных случаях нормальная компонента скорости среды и относительно поверхности z – zx имеет вполне определенный знак (нормаль направлена в богатую область — рис. 5.26). Действительно, поскольку траектории жидких (в гидродинами – ческом смысле) частиц не могут выходить из области завихренного тече­ния, то среда всегда втекает в турбулентную жидкость. Поэтому v > 0 в первом случае и v < 0 во втором.

Отсюда ясно, что в первом случае конвективные движения препятствуют переносу горючего от поверхности z = zx в бедную часть факела, а во вто­ром — способствуют этому переносу, т. е. состояние, описываемое соотно­шением (5.34), в первом случае достигается быстрее, чем во втором (в последнем случае оно может вообще не достигаться).

Следовательно, важную роль играет правильное описание величины v. Эта часть задачи сводится к исследованию эволюции распределения вероят­ностей величины z. Для пояснения рассмотрим однородную турбулент­ность, в которой концентрации всех веществ распределены статистически однородно (см. § 3.4). Только такой случай и будет анализироваться везде ниже.

Так же, как ив § 3.4, перейдем в систему координат, движущуюся со средней скоростью, т. е. вместо эволюции вдоль координаты х рассмотрим изменение во времени г, считая течение однородным во всех направлениях, а поток – неограниченным. Как уже отмечалось в § 1.3, относительный объем областей z < zx есть вероятность величины z, а изменение этого объема определяется расходом через поверхность z = zx, т. е. величиной и. Чтобы охарактеризовать этот расход, введем параметр

В= lim V-lfpvdF,

V-+ ОО F

где V — некоторый объем, F — та часть поверхности z =zl9 которая заклю­чена внутри этого объема. Предположим, что химическая неравновесность слабо влияет на плотность р, т. е. р единственным образом выражается через г (см. § 5.1). Интегрируя уравнение неразрывности по области z < z,, получим


Э 2

(5.35)

f pPdz.

В=- lim К"1 / —

у^ оо 2 <2Х Эt




Из (2.15), (5.35) получим

Здесь учтено, что все производные по пространственным координатам рав­ны нулю. Отсюда вытекают те же качественные результаты, что и были по­лучены выше при анализе знака величины и. Действительно, обратимся к формулам, приведенным в § 3.4. В рассматриваемом случае они должны быть лишь слегка модифицированы, так как в § 3.4 считалось, что р = const и максимальная концентрация равна 1, а не z0. Используя результаты работы Кузнецова, Лебедева, Секундова и Смирновой [198L] и учитывая линейность уравнения диффузии, заключаем, что в начальном участке сме­шения (г -*0) формула (3.26) приобретает вид

2 _

pP=ypPt =— p(z)exp(-7r2r)sin (тгz/z0)sin(7rz/z0),

(5.37)

* 00 GZ о _ __

T = Zo2 f(N)tdt, <N)t=———— , 0 < z < z0, p(z)z=(pz>,

t t

где постоянная я, как показано в § 3.4, равна тт~2.

Из (5.36), (5.37) заключаем, что В > 0 (v > 0) при zx < z0/2 и В < 0 (и< 0) при Z\ >z0/2. Рассмотрим величину

Cf – lim К"1 / pcfd3x,

V-+ 00 г <zx

которая характеризует содержание горючего в бедной части факела, и вы­ведем для нее приближенное уравнение. Интегрируя уравнение диффузии по области z < z!, получим точное соотношение

T^-fi+b – fi=- Urn V~l fvpydF, dt V – 00 p

Ъс (5’38)

f2 = lim V~x fDp —^dF%

v-> 00 p э n

Слагаемое? i не описывает процессы переноса, так как оно обуславливает изменение Cf даже в том случае, когда су = const при z <zx (это изменение обусловлено

тем, что объем z <С z х в процессе смешения непостоянен). Второе слагаемое?2 описывает массообмен между поверхностью z = zx и окружающей средой.

Основное допущение, которое принимается далее, состоит в том, что v и ур считаются некоррелированными. Тогда, используя (5.36), получим

fi =<Г,> = -<^>Я=-<^><ЛоЛ — 1 (5.39)

L dz Jz = zi

Предположим также, что второе слагаемое?2 можно аппроксимировать формулой, часто встречающейся в приближенной теории массообмена:

=<*?/ + 0<ip>. (5.40)

где а и 0 – функции г. Они находятся из следующих соображений. Пусть 4> – const и Cf = у в турбулентной жидкости. Тогда dcf/dn = 0 и, следова­тельно,

2i

Cf = (<p) fpPdz, +о

(5.41)

ot f^pPdz + 0 = 0. + o

Здесь символ +0 означает, что сингулярные слагаемые, которые содержатся в выражении (1.20) для Р, при интегрировании не учитываются. Рассмотрим другой случай, когда справедливо соотношение (5.34). Тогда

Cf = {yp)z г1 f zpPdz (5.42)

есть одно из решений уравнения (5.38). Используя это условие и соотноше­ние (5.41), найдем f, и f 2. Окончательно получим


dcf

(5.43)

— =(N)t dt

P(z,)P(Zx)


Z\ f pPdz – / zpPdz + o +o

Проанализируем решения этого уравнения на начальном участке смеше­ния и горения (г 0). Рассмотрим сначала один частный случай граничных условий на поверхности z = zlf а именно будем считать, что если условие (5.33) существования диффузионного пламени выполнено, то процесс термодинамически равновесен, т. е. <^>=0hz1 = zs. В противном случае будем предполагать, что происходит смешение без реакций, вследствие чего часть несгоревшего топлива проникает в область z < zs. Как видно из (5.33) и (5.37), приближенно можно считать, что при t < tx происходит процесс смешения, а при t > 11 процесс горения равновесен. Здесь / \ дает­ся выражением

_ az\

Тогда при t>tx уравнение (5.43) приобретает вид

^ = (5.44)

dt

Начальное условие для этого уравнения можно получить, рассматривая про­цесс смешения при t < г,. Оно, однако, далее не потребуется. Из (5.37) (5.44) находим

Tt2asins 7tz, ,

cf~t-m, т=———————– , 5 =———– . (5.45)

s — sin s z0


Оценим величину т для пропана (zs = 0,06). Считая, что z, =zs, a = я"2 получим т = 108 при z0 = 1, т. е.. горючее, проникшее в бедную часть факела

на ранних стадиях процесса, исключительно быстро переносится к зоне реакций.

Таким образом, возможен такой режим горения, в котором концентра­ции реагирующих веществ существенно зависят от скорости химических реакций, а предыстория процесса не играет роли, так как су зависит только от локальных характеристик турбулентности z и N. Этот режим назовем первым.

Существует и второй режим, в котором предыстория процесса сущест­венна. Действительно, постоянная т очень быстро падает с уменьшением z0. Так т = 1,8 при z0 = 0,11 (коэффициент избытка воздуха в богатой смеси равен 0,5). В этом случае (5.45) описьюает достаточно медленное убывание концентрации горючего, проникшего в бедную часть факела на[19]ранних ста­диях процесса.

Рассмотрим теперь характер решений уравнения (5.43) при / В этом случае, как видно из (3.27), величина Р описывается плотностью нормаль­ного распределения вероятностей. Так как РФ 0 при всех z, зона реакции наблюдается при всех t. Можно показать, что тем не менее решение не стре­мится к нулю (формально это следует из того, что все коэффициенты в (5.43) очень быстро стремятся к нулю при t Это означает, что все

топливо, проникшее в бедную часть факела, сгореть не может. Знак величи­ны v в этом случае также играет важнейшую роль. Действительно, на заклю­чительном этапе смешения любая область z Ф(г > стягивается в точку, и поэтому при z j > < z > скорость среды относительно поверхности z = = Zj всегда направлена в бедную часть факела, т. е. несгоревшее топливо конвективными движениями оттесняется от зоны реакции. Сделанный вывод следует и из формулы (5.36) (в области z > < z > плотность нормаль­ного распределения вероятностей — уменьшающаяся функция z).

Сопоставление результатов, полученных при анализе начального и заключительного участков смешения и горения, показьюает, что при z0 = 1 по мере роста t (или с увеличением расстояния от точки слияния потоков горючего и окислителя) происходит постепенный переход от первого ко второму режиму горения. Подробный анализ того, где осуществляется такой переход, пока не выполнен.

Остановимся теперь на результатах опытов, поставленных с целью про­верки правильности сформулированных выше теоретических соображе­ний*). Условия этих опытов обсуждались в § 5.1 при анализе динамики изменения концентраций углеводородов в затопленном пропановом фа­келе. Помимо концентраций углеводородов, в этих опытах измерялась и концентрация СО (с8). Обработка результатов проведенных опытов показала, что в отличие от эквивалентной концентрации пропана величина <с8 >f неуниверсально зависит от <z >f, т. е. СО окисляется значительно мед­леннее и скорость химических реакций влияет на концентрацию СО.

Поэтому возник вопрос о том, возможен ли первый режим горения, т. е. является ли концентрация СО универсальной функцией z и N, в ко­тором роль предыстории процесса несущественна. По счастливому стече­нию обстоятельств оказалось, что при изменении d и и0 скалярная


<%>t Qfi<t-

0,03-

0,02-

0,01 -


о

• -2




—I—- 1_ I_ I______ I——— 1—- 1– 1- 1– ——- :

0,04 0,06 0J080,1 0,2 0,4 0,6 M 1 <N%,c’


<z>{ « 0,045

Wt 0,01-

0,01 0,005


i i i


<9t 0,012

0,010

0,008

0,006

0,004

0,002

0,04 0,060,080,1 0,2 0,4 0,6 Of 1

о

<z\ = 0,03


i____ i

_i___ l

<%>t 0,012

0,01 0,02 0,04 0,060,080,1 0,2 0,4 0,6{N\,c~1

о

<z>, – OfiZZ

t о


0,008 0,004

0,0/

Рис. 5.27. Концентрация окиси углерода в затопленном диффузионном факеле пропа на при разных значениях < z >, по данным Бурико и Кузнецова. 7 – d = 3 мм, и0 – = 19,8 м/с; 2 – с/ = 6 мм, ы0 = 10,7 м/с; сплошная линия – равновесная концентра­ция СО


диссипация варьируется лишь в самых начальных сечениях факела (большие значения <z >г на рис. 5.25). а в основной части факела (малые значения <z >, на рис. 5.25) скалярная диссипация одна и та же. Такое распределение скаляр­ной диссипации обусловлено ролью сил плавучести, несущественных при малых х и имеющих важное значение при больших х. Как уже отмечалось в § 5.5, <N)~~ 1/г (т = d/u0),если сил плавучести нет.

Указанные соображения определили метод обработки эксперименталь­ных данных. По результатам измерений в различных сечениях факела оп­ределялось положение линии <z >f = const и анализировалось распределение величины < с6 >, на этой линии. Величина < z >f находилась по формуле < z >f = = <z >/7, где <z > измерялось, а у рассчитывалось по методу, изложенному в § 5.1. В качестве параметра, характеризующего положение рассматривав мой точки на линии <z >f = const, выбиралось рассчитанное значение скаляр­ной диссипации. Результаты обработки приведены на рис. 5.27, а – г.

Анализ показывает, что все данные аппроксимируются зависимостью (с* h = >r) + ^to, где rj не зависит от <z >f, а % зависит только от <z>r, т. е. изменение (N)t одинаково сказьюается на результатах изме­рений при всех (z)t (кажущееся изменение наклона на рис. 5.27,я-г обусловлено только разными масштабами по оси ординат). Видно, что влияние скалярной диссипации существенно.

Такое влияние может быть обусловлено двумя причинами — химичес­кими реакциями или изменением равновесной концентрации СО вследст­вие снижения температуры из-за потерь тепла излучением. Чтобы выяснить, какая из причин важна, проведены расчеты, в которых находилось среднее значение равновесной концентрации СО. В расчетах учтены потери тепла излучением (использовалась методика, описанная в § 5.3). Из рис. 5.27,а-г видно, что 1) потери тепла излучением очень слабо влияют на среднее зна-

(е)

чение равновесной концентрации СО (< с8 >f); 2) измеренные значения

(с8)t могут быть как существенно ниже, так и существенно выше, чем

(е)

(с8 )t – Отсюда ясно, что скорость химических реакций в данном случае существенна, а влияние излучения проявляется лишь косвенно через сни­жение температуры и замедление химических реакций.

Из рис. 5.27, а – г видно также, что данные, полученные в двух разных режимах, обобщаются единой кривой. При этом время пребьюания т = = d/u0 менялось в четыре раза, соответственно варьировались значения ска­лярной диссипации на малых расстояниях до сопла (больших <z>f), что видно из рис. 5.25. Таким образом, экспериментально подтверждено су­ществование первого режима горения, в котором концентрации реагирую­щих веществ существенно зависят от скорости химических реакций, а предыстория процесса не играет роли.

В заключение подведем итоги исследования, проведенного в данной гла­ве. Это исследование основано на том, что толщина зоны химических реак­ций много меньше интегрального масштаба турбулентности. Наличие мало­го параметра существенно упрощает исследование, позволяя отдельно рассмотреть крупномасштабные колебания зоны реакции как целого и воздействие мелкомасштабной части спектра турбулентности на ее внутрен­нюю структуру. В этом случае влияние турбулентности на условия проте­кания химических реакций, в том числе и сложных цепных реакций, описы – вается уравнением (5.32). Из него следует, что это влияние характеризуется только двумя случайными параметрами z и N, которые находятся из решения уравнения диффузии без реакций. Важно, что распределения кон­центраций реагирующих веществ в зоне реакций можно рассчитать заранее, а затем результаты расчетов использовать для решения самых разнообраз­ных задач.

При таком подходе остается еще проблема отыскания распределения концентраций стабильных веществ вне зоны реакций. Хотя и эта проблема также описывается уравнением диффузии без реакций, она не всегда сво­дится к расчету поля z. Поэтому в общем случае удовлетворительное ре­шение задачи еще не получено.

В целом можно считать, что в рамках теории горения основные труднос­ти преодолены и главные усилия должны быть сосредоточены на создании теории турбулентности и турбулентного смешения без реакций.


ГЛАВА 6

ТУРБУЛЕНТНОЕ ГОРЕНИЕ ОДНОРОДНОЙ СМЕСИ

Так же, как и горение иеперемешанных газов, горение однородной сме­си широко используется в целом ряде технических устройств (двигатели внутреннего сгорания, форсажные камеры газотурбинных двигателей и т. д.). В отличие от диффузионного, горение однородной смеси изучено гораздо хуже, так как скорость химических реакций существенно влияет на характеристики процесса. Указанное обстоятельство приводит к воз­никновению целого ряда нетривиальных эффектов, значение которых стало понятным лишь в последнее время. Цель данной главы состоит в том, чтобы выявить эти эффекты путем анализа экспериментальных данных и получить критериальное описание процесса.

§ 6.1. Основные проблемы

Теория турбулентного горения однородной смеси заимствует основные понятия и представления из теории распространения плоского (нормаль­ного) фронта пламени по неподвижной смеси горючего и окислителя. Поэтому, прежде чем изложить главные проблемы, возникающие при ис­следовании турбулентного горения, полезно остановиться на том, как ре­шается задача о распространении нормальною пламени (Зельдович и Франк-Каменецкий [ 1938а, б]).

Предположим, что 1) между топливом и окислителем происходит одно­ступенчатая реакция, т. е. процесс описывается тремя переменными Г. с0, Cf — соответственно температурой и концентрациями окислителя и топ­лива; 2) коэффициенты молекулярного переноса одинаковы, и, следова­тельно, из-за подобия уравнений диффузии и теплопроводности концентра­ции с0 и Cf можно выразить через температуру Т. Поэтому описание процес са сводится к решению одного уравнения

dc d dc Т-Т{0)

p(04i——— = — ар — +pW(c), c= -777——————— — .

dn dn dn jib) о) (6л)

где p – плотность, W — скорость тепловыделения, a — коэффициент тем­пературопроводности, с – безразмерная температура, ип — скорость нор­мального распространения пламени, верхние индексы 0 и b относятся к свежей смеси и продуктам сгорания, п – направление, нормальное фронту пламени. Направление нормали определено так, что с = 0 при п = —°° (све­жая смесь), с = 1 при п = оо (продукты сгорания). Краевая задача для урав­нения (6.1), т. е. равенства с(—(= 0, г(°°) = 1, позволяет определить и„.

Метод решения основывается на следующих соображениях. Обычно скорость химической реакции очень сильно зависит от температуры, т. е. W ~~exp(-E/(RT)), где критерий EJ(RТмного больше единицы (Е – энергия активации, R – универсальная газовая постоянная). Поэтому в пламени можно выделить две области – тепловую зону, в которой 0 < с < < 1 – Ьс, где б с /Е < 1, и зону химических реакций, в которой

1 — Ьс < с < 1. В первой зоне слагаемое в уравнении (6.1), содержащее источник, несущественно, а во второй можно пренебречь конвективным слагаемым, что при сращивании решений, полученных в обеих зонах, поз­воляет найти ип в явном виде.

Детали этой процедуры изложены в книге Зельдовича, Баренблатта, Либровича и Махвиладзе [1980]. Поэтому укажем лишь те результаты, которые потребуются далее. Чтобы упростить окончательные соотношения, предположим, что р = р(0) Т{0)/Т, а = я(0) (7/Г(0))2 (такое предполо­жение позволяет достаточно точно описать реальные зависимости р(Т) и а(Т))..Первый результат состоит в том, что в пределе (E/(RT^b^) 00) толщина зоны реакции стремится к нулю. Следовательно, она должна рассматриваться как поверхность, на которой температура непрерывна, а ее производная терпит разрыв, т. е.

1-1

L3n J„ = +o I

bcl а(0)р Т(д)

* 0 = "ZTnT" . (6.2)

дп}„ = _0 и„ ‘ Г(0) Второй результат — формула

w„ =>/2г(0) / Wdc, >1. (63)

о RT

т. е. скорость нормального распространения пламени зависит от коэффици­ента молекулярного переноса и скорости химических реакций.

Формула (6.3) открывает возможность приближенного описания проб­лемы при произвольной кинетике химических реакций, так как позволяет вместо большого числа неточно известных параметров, характеризующих скорости отдельных реакций, рассмотреть одну величину ип, которая легко и достаточно точно измеряется в опытах. Величина ип зависит от давления р, начальной температуры Г*0* и коэффициента избытка воздуха в свежей смеси а*0*. В качестве примера на рис. 6.1 в виде кривой 1 при­ведена экспериментальная зависимость мл(а(°)) для бензино-воздушной


UntCH/C


40

20

0,7 0,9 1,1 W а(С

Рис. 6.1. Сравнение скоропей нормаль­ного распространения ламинарного пла­мени, полученных в опытах с плос­ким пламенем (кривая /) и рассчи­танных по составу в лидирующих точках (кривая 2)


смеси (Талантов [1975]). Данные опытов в первом приближении описы­ваются зависимостью

"„=/(а(0))(Г(0))2р-°.2, (6.4)

которая аппроксимирует результаты измерений в бензино-воздушных смесях. Функцию) можно найти на рис. 6.1

В соответствии со сделанными выше замечаниями везде далее пред­полагается, что E/(RTib))> 1. Это означает, что формулы (6.2) спра­ведливы не только для плоского, но и для произвольного фронта пламени. Отсюда вытекает, что характеристики процесса описываются уравнением теплопроводности без источников. Важно, что заданы три краевых условия: два фигурируют в формулах (6.2), а одно ставится на бесконечном уда­лении от зоны реакций (г = 0). Лишнее краевое условие определяет поло­жение фронта пламени. Таким образом, помимо гидродинамических харак­теристик, процесс зависит от а и ып. Следовательно, скорость химичес­ких реакций влияет только на величину ип. Так как ип зависит от скорости химических реакций и от процессов молекулярного переноса, то влияние только химической кинетики описывается лишь одним параметром, а именно тс – /м2. Часто удобно рассматривать толщину тепловой зоны нормального фронта пламени 6„, которую, в соответствии с (6.2), естест­венно определить в виде

а<°>13

8„ = —- . (6.5)

Ни

Укажем порядок значений и„ и 6„ при нормальных условиях. Для боль­шинства углеводородо-воздушных смесей (метан, пропан и т. д.) при вариа­ции состава максимальное значение ип достигается при а =апт, где апт близ­ко к единице. В этом случае ип ^40см/с, Ьп = 0,4 мм (0 = 7,5,я*0* = = 0,2 см2/с). Для во до ро до-воздушных смесей апт ^ 0,6, «„(а^) %

250см/с, 6„ = 0,09 мм (0 * 8, я(0) = 0,3 см2/с). Проведенные оценки величин ип и апт основаны на данных, приведенных в работах Дубовкина [1961], Карпова и Северина [1977]. Расчет величины а базируется на методике, описанной в книге Бретшнайдера [1966].

Рассмотрим теперь горение в турбулентном потоке. Основная информа­ция об этом процессе получена при измерениях аналогов величин ип и б„, соответственно скорости распространения турбулентного нламени ut и протяженности зоны горения бг. Эти понятия определены, однако, не столь четко, как в теории ламинарного горения. Напомним, что величина ип ха­рактеризует удельную скорость переработки свегей смеси на поверхности фронта пламени и равна отношению объемного расхода смеси к площади его поверхности. Такую поверхность можно определить равенством с = = to = const. Как свидетельствуют проведенные выше оценки, толщина фронта пламени 8п мала по сравнению с характерными размерами задачи. Следовательно, площади разных изотерм с = с0 слабо отличаются друг от друга. В турбулентном потоке величина 6f всегда порядка характерного размера задачи, и поэтому площади осредненных изотерм (с) = с0 = = const значительно различаются.

Рис. 6.2. Влияние пулъсационной ско­рости на скорость распространения турбулентного пламени по данным Карпова и Северина [1977], Г(0) = = 293 К, р = 0,1 МПа. 1 – пропано-воз – душная смесь, or = 0,6; 2 — пропано – воздушная смесь, а = 0,9; 3 — водо- родо-воздушная смесь, а = 3; 4 — водородо-воздушная смесь, а = 2


Так как нет какой-либо предпочтительной изотермы, то понятие о скорости распространения турбулентного пламени не может быть опре­делено достаточно строго. Несмотря на это, изучение влияния различных параметров на тем или иным способом введеную величину ut может ока­заться чрезвычайно полезным. Как будет видно далее, такое изучение поз­волит сравнительно просто обнаружить целый ряд весьма сложных эффек­тов и качественно описать их взаимодействие. Поэтому в данной главе предполагается, что основная информация о турбулентном горении дается только величиной ut.

В дальнейшем главным образом используются две группы эксперимен­тов. Первая группа опытов проведена Талантовым с сотрудниками (Талан­тов [1975], Янковский и Талантов [1969], Кузин, Янковский, Аполло­нов и Талантов [1972], Кузин и Талантов [1977], Голубев, Янковский, Постнов и Талантов [1973]). Исследовалось горение в канале квадрат­ного сечения со стороной d. Пламя стабилизировалось выемками, располо­женными на противоположных стенках канала. В экспериментах варьи­ровался состав бензино-воздушной смеси, ее начальная температура, давле­ние, скорость на входе в канал и величина d. Скорость распространения турбулентного пламени ut определялась из положения передней границы пламени, которая находилась путем фотографирования факела (напом­ним, что передней границей называется одна из осредненных изотерм (с) = const, которая примыкает к свежей смеси; точное значение пос­тоянной в этом равенстве неизвестно).

Вторая группа опытов проведена Карповым и Севериным [1977, 1980]. Использовалась сферическая бомба, на стенках которой располагались лопасти, турбулизирующие смесь. Варьировался состав, вид смеси и пуль – сационная скорость (температура и давление нормальные). Смесь под­жигалась в центре бомбы, после чего регистрировалась зависимость давле­ния от времени, что позволяло определить производную по времени от объема сгоревшей смеси. Эта производная относилась к поверхности сфе­ры, объем которой равен объему продуктов сгорания. Таким образом, в обеих группах опытов использовались несколько различающиеся опреде­ления и f.

Приступим к анализу этих, а также и некоторых других опытов. Рас­смотрим сначала, как влияют на иг две наиболее важные характеристики

турбулентности — пульсационная скорость и интегральный масштаб:

3 <е>

где < е > — диссипация энергии. На рис. 6.2 изображены результаты опытов Карпова и Северина [1977]. По оси абсцисс отложена величина – пульсационная скорость в бомбе в отсутствие горения. Видно, что при увеличении пульсационной скорости скорость распространения пламени сначала растет, а затем либо не меняется, либо даже уменьшается. Отметим, что в большинстве опытов наблюдается только первый участок приведен­ных на этом рисунке кривых (участок, на котором ut растет с увеличением и ^). В частности, только такие зависимости обнаружены в опытах Талан­това с сотрудниками.

Влияние масштаба турбулентности L иллюстрируется на рис. 6.3, заим­ствованном из работы Янковского и Талантова [1969]. Видно, что с увели­чением d (и пропорциональной стороне канала d величине L) скорость распространения пламени растет. С другой стороны, в работах Балл ала и Лефевра [1975], Баллала [1979] сообщается, что при увеличении L ско­рость распространения пламени растет при /ип < 2 и уменьшается при и /ип > 3. Здесь и далее (их) — среднерасходная скорость.


Рис. 6.3. Влияние размера канала на скорость распространения турбулентного пла­мени по данным Янковского и Талантова [1969). / - а = 0,85,2-a = l, J-a = l,4;


р = 0,1 МПа, Т (°) = 443 К, < и, > =50 м/с, бензино-воздушная смесь

Рис. 6.4. Контуры пламени при горении пропано-воздушной смеси в бунзеновской горелке по данным Сузуки. Оба, Хирано и Цуджи [ 1979]. d = 5,4 см, < их ) =4,5 м/с,

и (0) = 0,28 м/с, а = 0,9


Приведенные выше графики указывают на то, что обе характеристики турбулентности и L набегающей на пламя смеси влияют на скорость распространения пламени. В зоне горения эти характеристики должны изменяться вследствие уменьшения плотности. Указанный эффект ил­люстрируется рис. 6.4, на котором приведены результаты опытов Сузуки, Оба, Хирано и Цуджи [1979]. Исследовалось горение пропано-воздушной смеси (а = 0,9). Внутри трубы, из которой в окружающий неподвижный воздух вытекала смесь, останавливались решетки, позволяющие варьиро­вать энергию турбулентности. На рисунке сплошными линиями изображены линии равной светимости. Штриховой линией показаны границы ядра изо­термической струи. Видно, что передняя граница пламени находится зна­чительно ближе к соплу, чем внутренняя граница ядра изотермической струи. Вследствие изменения плотности этот эффект должен приводить к сильной перестройке всего течения иг, м/с


—————————– 1——— 1—– 1—I—I_______ 1 I

Щ 0,04 0J6 ом 0,1 0,2 0,4р, МПа

Рис. 6.5. Влияние давления на скорость распространения турбулентного пламени в канале по данным Голубева, Янковского, Постнова и Талантова 11973).or = 1. Г(о) = = 523 К, d = 5 см, < их > = 50 м/с, бензино-воздушная смесь


4 – 2 -




Опыты косвенно свидетельствуют о том, что пульсационная скорость в пламени и^ сильно возрастает. В счмом деле, из физических соображе­ний ясно, что пламя не может двигаться относительно среды со скоростью, которая много больше пульсационной. Поэтому, оценивая wr, можно дать и косвенную оценку пульсационной скорости. Для условий опытов, результаты которых изображены на рис. 6.4, из положения передней грани­цы пламени находим ut = 2,2 м/с, т. е. мг/м(0* = 8. Аналогичные данные, приведенные в рассматриваемой работе, свидетельствуют о том, что мг/м= 14,5 при и=9 см/с. Преддолагая, что ut ^и, отсюда заклю­чаем, что и^ > и. Большие значения критерия были зарегист­рированы и в работах Талантова с сотрудниками. Оценки показывают, что в этих опытах величина ut/u достигала 5 (как и для развитого те­чения в канале, принято, что в этих опытах интенсивность турбулентности в набегающем потоке составляет 5 %). Прямые измерения пульсационной скорости в пламени, проведенные Баллалом [1979], также свидетельству­ют о том, что и^ .

Таким образом, заключаем, что изменение плотности существенно влияет на характеристики горения. Этот эффект описывается критерием

Влияние давления р на скорость распространения пламени проиллюстри­ровано на рис. 6.5, где приведены данные Голубева, Янковского, Постнова и Талантова [1973]. Видно, что иг растет с увеличением р. Аналогичные данные получены Дорошенко и Никитским [1960], Храмцовым [1960]. В силу принципа автомодельности турбулентных течений по числу Рейноль­дса изменение/? не влияет на и L. Поэтому приведенный график ука­зывает на влияние скорости химических реакций. Характерное время реакции тс = а^/м*, как видно из (6.4), уменьшается с ростом давления

(я(0) un ^p~0>2). Соответственно росту скорости реакции уве­

личивается и ut. Этот эффект, однако, не может быть описан с помощью одной только величины ип. Действительно, начиная с Дамкелера [1940] и Щелкина [1943], все теории предсказывают рост ut при увеличении ит что не согласуется с данными, приведенными на рис. 6.5, и формулой (6.4) (ип уменьшается, a ut увеличивается при росте р). Поэтому в любой теории, помимо м„, должен фигурировать и коэффициент молекулярного переноса. Если предположить, что принцип автомодельности по числу Рейнольдса справедлив и при описании турбулентного гор<ения, то отсюда вытекает, что определяющим параметром является только некоторая комбинация параметров ип и я, т. е. величина тс = которая, как уже отмеча­

лось, не зависит от процессов молекулярного переноса и характеризует только химические реакции. Тогда, учитывая, что определяющими пара­метрами являются также и величины и(, L, /3, приходим к критериальной формуле вида


(6.6)

ц<°>д<°>

и, = ф, Mi), Mi =———————- —

LUn


Критерий Михельсона Mi был введен Дунским при анализе стабилизации пламени плохообтекаемыми телами (изложение результатов этой работы содержится в книгах Раушенбаха и др. [1964] иЩетинкова [1965]). Позже он встречался в работах Климова [19776], Баева и Третьякова [1968, 1972, 1977]. Во всех этих работах использовалось лишь несколько другое определение величины Mi (м(0* заменено на среднюю скорость, а масштаб турбулентности — на характерный геометрический размер).

Отметим, что формулой (6.6) описываются результаты всех расчетов, основанных на полу эмпирических теориях турбулентности, в которых используется принцип явтомодельности по числу Рейнольдса. Такой под­ход к решению задачи часто применяется в настоящее время. Примером могут служить работы Вулиса, Ершина и Ярина [1963], Лондера и Спол – динга [1972], Либровича и Лисицына [1975], Баева, Головичева и Яса – кова [1976], Вилюнова и Дика [1976], Брэя и Либби [1976], Брэя и Мос – са [1977а, б], Брэя [1980] и т. д.

Если отказаться от принципа автомодельности по числу Рейнольдса, т. е. принять, что помимо характерного химического времени тс влияют и коэффициенты молекулярного переноса, например я*0*, то обобщение зависимости (6.6) имеет вид


(6.7)


Частным случаем этой зависимости является формула


(6.8)

которая следует из фронтальной модели горения (Дамкелер [1940], Щел – кин [1943]) (см. § 1.4.). В этой модели предполагается, что горение происходит в тонком искривленном фронте пламени. Так как его тол-

‘t, U„,M/C

/

п

К 1

Г 1

С /V

7,5 5,0 2,5

и„,»/с

х^

J

i

t

\

V X,

Ч

«Д _

Рис. 6.6. Влияние состава на скорость распространения турбулентного пламени в бен – зино-воздушных смесях по данным Кузина, Янковского, Аполлонова и Талантова | 1972J.4 = 5 см, < > -50 м/с, р«0,1МПа, Г(°>=493 К

Рис. 6.7. Влияние состава на скорость распространения турбулентного пламени в во – дородо-воздушных смесях по данным Карпова и Северина 119771. L = 1 см, ы(°) = = 3 м/с. р = 0.1 МПа, Г*0) = 293 К. В оригинале приведены зависимости ut от и при варьируемых значениях <х

щина мною меньше масштаба гидродинамических неоднородностей, то можно считать, что пламя есть поверхность, каждая точка которой движет­ся относительно среды со скоростью ип. Характеристики такой поверхности зависят только от ип% т. е. а не входит в число определяющих параметров и тогда получается формула (6.8).

На первый взгляд формула (6.7) дает самый общий вид зависимости ит от определяющих параметров, так как для данного горючего и окис­лителя отношения различных коэффициентов переноса являются постоян­ными, а зависимости этих коэффициентов от температуры в первом приб­лижении можно охарактеризовать критерием 0. Этот вывод, однако, не подтверждается опытами, результаты которых изображены на рис. 6.6,6.7.

Для пояснения сделанного вывода отметим, что изменение а*0* влияет на все три критерия в (6.7). При вариации состава бензино-воздушных смесей все три критерия достигают экстремальных значений, если а*0* « . В то же самое время из рис. 6.6 видно, что в этом случае величина иг имеет максимум при = arm, где а1т < апт (апт — коэффициент

избытка воздуха в смеси с максимальным значением ип). При горении водорода наблюдается противоположный эффект: otrm > otnm (рис. 6.7).

Есть только две возможности объяснения указанных закономерностей: 1) либо величина ип — не единственный параметр, характеризующий хими­ческую кинетику: 2) либо из-за различий в коэффициентах молекулярного переноса в пламени меняется состав и, следовательно, величина ип% рассчи­тываемая по исходному коэффициенту избытка воздуха, неправильно отражает роль химических факторов. Есть ряд факторов, указывающих на то, что наиболее вероятно второе объяснение.

Действительно, заметим, что аномальное влияние состава на характерис­тики горения обнаруживается не только в турбулентном, но и в ламинар-

ном потоке. Например, анализ экспериментальных данных, приведенных в книге Льюиса и Эльбе [196J], показывает, что при изменении состава гася­щий диаметр, минимальная энергия искрового воспламенения, критичес­кий градиент скорости при проскоке пламени в трубку достигают экст­ремальных значений при коэффициенте избытка воздуха, близком к ottm. На основе этих данных Баев и Третьяков [1968, 1977] разработали крите­риальное описание процесса турбулентного горения, в котором вместо величины ип используются результаты измерений критического градиента скорости при проскоке ламинарного пламени. Аналогичный подход использовался позже Бурико и Кузнецовым [1976], в работе кото­рых для этой же цели привлекались также и данные, полученные при изме рениях гасящего диаметра и минимальной энергии искрового воспла­менения.

Такой подход позволил значительно точнее обобщать экспериментальные данные и одновременно привел к появлению целого ряда теоретических проблем. Эти проблемы стали ясны уже из работы Бурико и Кузнецова [1976], в которой было показано, что аномальное влияние состава на характеристики турбулентного горения обусловлено тем, что коэффици­енты молекулярной диффузии горючего Df и окислителя D0 различаются. В частности, Df < D0 для бензино-воздушной смеси и Df > D0 для водо – родо-воздушной смеси. Соответственно, atm < апт в первом случае и &tm > <*пт в0 втором (рИС. 6.6, 6.7) .

Таким образом, анализ экспериментальных данных позволяет сформу­лировать два главных вопроса: 1) почему характеристики турбулентного горения зависят от процессов молекулярного переноса, несмотря на малую толщину фронта пламени, т. е. существуют два независимых определяющих параметра я (°) и ип, 2) почему именно важны различия в коэффициентах молекулярной диффузии (такие различия, как известно, не приводят к изменению среднего состава продуктов сгорания) ? Анализу этих вопросов посвящен следующий параграф.

§ 6.2. Механизм турбулентного горения

Как уже отмечалось в § 1.4, имеющиеся экспериментальные данные свидетельствуют о том, что турбулентное горение носит фронтальный характер, т. е. свежая смесь и продукты сгорания разделены узким погра­ничным слоем, в котором происходит резкое нарастание температуры. Этот слой искривлен из-за флуктуаций скорости разных масштабов. Воздей­ствие турбулентности на его внутреннюю структуру определяется критери­ем, известным из теории растяжения пламени (Коважный [1956], Климов [1963]), в которой рассматривается однородная безвихревая деформация ламинарного пламени.

Чтобы проиллюстрировать роль этого критерия, обратимся к известной задаче (Климов [1963]), в которой рассматриваются две зоны реакций, расположенные в плоскостях хх = ±х0 (в области | < х0 находятся продукты сгорания, а в области | >х0 — свежая смесь). Будем считать, что профиль скорости имеет вид и2 =gx^ Qr — положительная постоянная, характеризующая градиент скорости), их = Wi), где их находится из

-ДГ.,1

Рис. 6.8. Схема течения и расположения фронтов пламени при однородной деформации

(6.9)

= 0.

уравнения неразрывности dpu1 du2

dxx

+ P(*i)

dx2

Линии тока такого течения схематичес­ки указаны стрелками на рис. 6.8, на кото­ром штриховыми линиями показано поло­жение зоны реакции. Решение рассматри­ваемой задачи, полученное в предполо­жении а = Da = Df Т2, р ~ Т’1, показы­вает, что важнейшую роль играет критерий Климова-Коважного К =

= а{0)Ф%.

При К < 1 два фронта пламени расположены далекр друг от друга (х0>&„)9 а профиль температуры в них слабо отличается от профиля температуры в нормальном пламени. С увеличением К этот профиль ис­кажается, расстояние между обоими фронтами уменьшается и при К > я/2 горение становится невозможным.

Таким образом, критерий К характеризует влияние гидродинамических деформаций на внутреннюю структуру пламени и, следовательно, может быть использован для анализа влияния мелкомасштабной части спектра турбулентности на процесс горения. Следует лишь учесть, что градиент скорости g – случайная величина. Поэтому в дальнейших оценках будем считать, что g = \/<g2 > = \Ле>/(15И0*). Последнее равенство следует из локальной изотропии турбулентности (Бэтчелор [1953}). Тогда, учиты­вая определение масштаба турбулентности I, получим


(и<°>)3

(и<°>)3

(6.10)

U2n

15 vi0)L <€>

При а^ этот критерий пропорционален отношению квадратов

колмогоровской скорости (И0) <€>)1/4 и скорости нормального распро­странения пламени или пропорционален отношению квадратов толщины нормального пламени и колмогоровского масштаба т? = )3'4<6>~ Видно также, что К^- у/Ши^ /ип, т. е. величина К является комбинацией критериев, введенных в § 6.1.

Оценим величину К в условиях опытов Талантова с сотрудниками, для чего воспользуемся данными, приведенными Таунсендом [1956]:

м(о) = 0.05<и,>, L = 0,2d, (6.11)

где {иi> – среднерасходная скорость, d – диаметр канала. Используя график, приведенный на рис. 6.1, и формулы (6.4), (6.11), заключаем, что наибольшие и наименьшие значения К в этих опытах невелики: К = 10"2 (а<°> =1, Г(0) = 793К, р = 0,1 МПа, <w, > =30 м/с, flf = 5 см) и К = 0,8 (<*«» =1,4,Г(0) = 393К, р = 0,1 МПа,<м, > = 100м/с,</ = 5 см).

Тем не менее из результатов этих опытов видно, что величина a tm (коэф­фициент избытка воздуха, при котором ut максимально) остается неизмен­ной при вариации всех режимных параметров. Таким образом, влияние различий в коэффициентах молекулярного переноса проявляется даже в том случае, когда можно ожидать, что влияние турбулентности на внутрен­нюю структуру фронта пламени мало.

Здесь следует, однако, отметить, что оценки основывались на характе­ристиках турбулентности в набегающем потоке. В пламени эти характерис­тики могут меняться, о чем свидетельствуют следующие соображения. При К < 1 минимальный масштаб пульсаций скорости в свежей смеси много больше толщины фронта пламени 6Я. Это означает, что пламя можно рассматривать как локально плоское. В газодинамическом приближении (а 0) такое пламя неустойчиво относительно возмущений с любой длиной волны (Ландау [1944]). Учет эффектов, обусловленных вязкостью и теплопроводностью, проведен в книге "Нестационарное распространение пламени" под редакцией Маркштейна [1968], Истратовым и Либровичем [1966 а, б]. В этих работах показано, что гармонические возмущения с длиной волны / > 1СГ 6„ неустойчивы, а возмущения с длиной волны / < \сг устойчивы. Эти выводы подтверждены экспериментально Петерсо – ном и Эммонсом [1961], которые исследовали устойчивость пламени стабилизированного колеблющейся проволочкой. Обработка этих данных показывает, что

lCr = cxbn, схъ 2. (6.12)

Неустойчивость пламени приводит к возникновению турбулентности (Ландау и Лифшиц [1954]). Важно, что* в первую очередь появляются наиболее мелкомасштабные возмущения. Действительно, как показано Ландау [1944], для бесконечно тонкого фронта пламени амплитуда у4 возмущения с длиной волны / растет во времени t по закону

Л=Л0ехр(-М, т,= — ФШ vP+l-v-1!* (6/13)

\ Г/ J ип Р + 1L р J

т. е. амплитуда растет тем быстрее, чем меньше длина волны. Для фронта пламени конечной толщины появляется еще один определяющий пара­метр /сг, и, следовательно, из соображений размерности получим

т/= — У

ип V 1СГ 1

где >0 при Ц1СГ > 1 и < 0 при l/lcr< 1. Из этих неравенств сле­дует, что величина т,- минимальна при / = lc^s(P)- Так как то быстрее всего растут возмущения, сопоставимые с толщиной нормаль­ного пламени.

Такие возмущения приводят к сильным искривлениям пламени, в силу чего становятся важными эффекты, обусловленные различиями в коэффициентах температуропроводности я, диффузии горючего Df и окислителя D0 (Зельдович [1944], Льюис и Эльбе [1961], Экхауз [1961]). Заметим, что на большом расстоянии от зоны горения в свежей смеси и в продуктах сгорания потоки тепла и вещества определяются исключи – телыю конвекцией. Поэтому для плоского в среднем пламени из законов сохранения энергии и массы следует, что в зоне реакции в среднем неиз­менны состав и температура. Поэтому систематическое влияние различий в коэффициентах молекулярного переноса на процесс горения возможно только в том случае, когда распространение пламени определяется некото­рыми избранными точками, в окрестности которых структура зоны реак­ции (например, ее кривизна) неизменна. Следуя книге Зельдовича и Франк – Каменецкого [1947], в качестве таких точек естественно рассмотреть


Продукты сгорания

Рис. 6.9. Качественная структура тур­булентного пламени


лидирующие точки, т. е. те точки, которые наиболее далеко продвинуты в свежую смесь (точки у4i, у42, …,СьС2,… на рис. 6.9).

Из рис. 6.9 видно, что в окрестности лидирующих точек кривизна пламе­ни имеет один и тот же знак. Поэтому при D0 i^Df в окрестности этих точек состав смеси систематически изменяется, что в свою очередь приво­дит к систематическому изменению ип. В окрестности рассматриваемых точек можно провести аналогию с горением в сферическом пламени, внутри которого находятся продукты сгорания. На основе указанной аналогии показано, что при горении бензина (D(} > Df) состав в зоне реакции обедня­ется (Бурико и Кузнецов [1976], Кузин и Талантов [1977]). При горении водорода (D0 <Df) состав в зоне реакции обогащается (Бурико и Кузне­цов [1976]). Поэтому максимальные значения ut и ип достигаются при разных коэффициентах избытка воздуха atm и оспт. В частности, при горе­нии бензина коэффициент избытка воздуха в зоне реакции будет равен a, lm, если в исходной смеси коэффициент избытка воздуха меньше <хпт. Следовательно, atm< апт при горении бензина. При горении водорода, наоборот, должно выполняться неравенство аТт > otnm.

Чтобы закончить качественный анализ закономерностей распространения пламени, необходимо указать на еще один, подробно не рассмотренный ранее эффект. Анализ экспериментальных данных (например, упомянутых ранее опытов Талантова с сотрудниками) показывает, что atm весьма слабо изменяется при вариации режимных параметров в широком диапазоне значений. Отсюда можно предположить, что в окрестности лидирующих точек структура фронта пламени универсальна (например, его кривизна одна и та же). Эта гипотеза впервые сформулирована в работах Баева и Третьякова [1968. 1977] на основе представления о том, что наиболее интенсивные пульсации скорости выбрасывают отдельные языки пламени далеко в свежую смесь, а движение вперед таких языков продолжается до тех пор, пока в окрестности лидирующих точек не возникнет критичес­кий для распространения пламени режим.

Для пояснения обратимся к рис. 6.9. В окрестности точек С\> С2, … структура языка пламени аналогична структуре плоского слоя продуктов сгорания, с обеих сторон окруженного свежей смесью. Проведенный выше анализ показал, что такой слой существует лишь при К< 7г/2, т. е. достаточ­но сильные гидродинамические деформации приводят к тому, что распро­странение пламени прекращается. Аналогичный эффект возникает и при искривлении пламени. Например, в окрестностях точек А\, А2, … на рис. 6.9 можно провести аналогию между структурой языка пламени и структурой стационарного сферического пламени, внутри которого распо­ложен сток продуктов сгорания. В работе Бурико и Кузнецова [1976] показано, что радиус такого пламени г не может быть меньше толщины нормального пламени 6„. В обоих случаях критическим называется режим, в котором К = я/2 или г = дП9 т. е. распространение пламени становится невозможным.

Суммируя результаты проведенного анализа, заключаем, что распростра­нение турбулентного пламени определяется следующими процессами: 1) движением лидирующих точек: 2) неустойчивостью пламени; 3) воз­никновением в окрестности лидирующих точек критического для распро­странения пламени режима; 4) изменением состава и температуры в лиди­рующих точках вследствие различий в коэффициентах молекулярного переноса. Эта схема сформулирована в работе Кузнецова [19826].

Следуя указанной работе, исследуем более детально отдельные "элемен­тарные" процессы, влияющие на гонение, и проанализируем их взаимо­действие. Прежде всего заметим, что помимо трех указанных ранее кри­териев следует рассмотреть еще по крайней мере два новых: D0/Df и a/D0. Хотя для одного и того же горючего и окислителя эти критерии и постоян­ны, анализ их влияния на скорость распространения пламени необходим. Поскольку предполагается, что ит определяется движением лидирующих точек, а в окрестности этих точек структура пламени универсальна, то влияние различий в коэффициентах молекулярного переноса в первом приближении можно учесть с помощью следующего приема.

Будем считать, что в окрестности лидирующих точек зависимость соста­ва и температура горения от коэффициента избытка воздуха в исходной смеси а (0) можно рассчитать, рассматривая критические режимы, которые возникают либо при искривлении сферического пламени, либо при одно­родной деформации плоского слоя продуктов сгорания. Такой расчет проведен в § 6.3. Его результат – формулы, связывающие коэффициент избытка воздуха в лидирующей точке а^ с исходным коэффициентом избытка воздуха а*0*. В эти формулы войдут коэффициенты молекуляр­ного переноса. Затем предполагается, что величина иП9 которая войдет во все выведенные далее соотношения, должна рассчитываться не по исход­ному составу, а по составу в лидирующих точках.

Такая процедура позволяет ограничиться лишь анализом зависимости (6.7), в которую входят только три критерия. Следующий шаг – исследо­вание двух предельных случаев: 1 иК> 1. Первый рассмотрен в §§6.5, 6.6, а второй – в § 6.7. В первом случае вместо величин /3, Mi, u^Jun удобно рассмотреть эквивалентную систему критериев 0, К, a^/(unL). Значения двух последних критериев малы. Однако из рассмотрения может быть исключен лишь один из них (К).

Чтобы пояснить сделанный вывод, напомним, что критерий К описывает влияние гидродинамических деформаций на внутреннюю структуру пламе­ни, и в соответствии с формулой (6.10) он рассчитывается по градиенту пульсационной скорости в исходном свежей смеси. Поскольку в пламени рождается дополнительная мелкомасштабная турбулентность, то опреде­ление величины К следует пересмотреть. В соответствии с этим введем величину 1и„, где # — характерное значение градиента

скорости в пламени. При этом символ К по-прежнему соответствует вели­чине, определяемой формулой (6.10). Характеристики генерированной пламенем турбулентности зависят от ип, 0 и 1СГ. При К< 1 минимальный масштаб возмущений в набегающем на пламя потоке много больше 1СГ и, следовательно, характеристики турбулентности в свежей смеси не могут входить в число определяющих параметров. Следовательно, g ^ = = unF0)/Icr, т. е. К^ зависит только от 0. Это означает, что если К<1, то при вариации К степень деформации и искривления пламени не меняет­ся, т. е. критерий К не является определяющим.

Критерий а!(unL) не может быть исключен из рассмотрения, так как в противном слу tae нельзя объяснить зависимость ut от масштаба и давле­ния (рис. 6.3, 6.5).

Таким образом, остаются два определяющих критерия: 0 и а^/(unL). Анализ характеристик генерированной пламенем турбулентности (§§ 6.5, 6.6) позволит объединить оба критерия в один. Этот критерий используется в § 6.6 для обработки экспериментальных данных.

§ 6.3. Влияние различий

в коэффициентах молекулярного переноса на структуру пламени в лидирующих точках

Следуя программе, сформулированной в конце § 6.2, для нахождения ип в лидирующих точках рассмотрим две модельные задачи, в одной из которых анализируется критическая деформация плоского слоя продуктов сгорания, а в другой — критический режим распространения сферического пламени. Постановка первой задачи принадлежит Климову [1963,1977а], в работах которого дано решение при a-DQ -Df. Несколько более обпцш случай (аФ D0, D0 = Df) рассмотрен Гремячкиным и Истратовым [1972]. Ниже дается решение первой задачи, полученное Кузнецовым и Сабельни – ковым [\91п\ np^лaФD0 ФDf.

Предположим, что теплоемкость постоянна, плотность р и коэффициенты переноса зависят только от температуры и давления, р^ 1/Г, а Г2, Dn ^ Т2, Df ^ Т2. Будем также считать, что справедливо приближение Зельдовича-Франк-Каменецкого, т. е. зона химических реакций есть по­верхность, на которой производные от температуры Г, концентраций топ­лива Cf и окислителя с0 имеют разрыв (это предположение обсуждалось в начале § 6.1). Схема течения проиллюстрирована на рис. 6.8, на котором штриховыми линиями изображены две зоны реакции (свежая смесь нахо­дится в области l*il>x0). Компонента скорости среды, параллельная зонам реакции, имеет. вид и2 ~gx2 (g > 0), а нормальная компонента за­висит только от х] и определяется уравнением (6.9). Вне зоны реакции


основные уравнения имеют вид


dT dx1 ‘ dcf


dT


d dx! d


ap


dx i


dcx


/ _


Dfp dxx dxi


pul


dxi dcQ dxi


(6.14)


dcQ dxx


d dxx


l>*o.


pu,




Введем переменную Дородницына (см., например, Шлихтинг [I960])

/ P*\dxx j>

л(о)

Учитывая, что \]Т, D0 ~ Df а ^ Т2,из (6.9), (6.14) получим


d2T

d%2

dT – gi—: di


d2


dcf ~di dcQ


cf


-gl


d? d^Co

dI2


(6.15)


о




Здесь верхний индекс 0 и далее употребляемый индекс b по-прежнему соответствуют состояниям в исходной свежей смеси и в зоне реакций.

Пусть для определенности в зоне реакции выгорает все горючее. Тогда граничные условия приобретают вид


cf=c?\ Г=Г<°>.

dcf

= D(0)

dc0

d%

о

d%

St D^

dCf

l = fl(0)

dT

d%

d%

(6.16)

О,

QDf


Здесь ± £о _ координаты зон реакций, St — стехиометрический коэффи­циент, Q=(l + St) Ts — теплотворная способность топлива, поделенная на теплоемкость, Ts — температура адиабатического горения стехиометри – ческой смеси. Первые три условия в (6.16) дают характеристики в свежей смеси, а последние два вытекают из законов сохранения массы и энергии. Координату £0 можно найти из дополнительного условия (6.2), связываю­щего поток тепла из зоны реакции, подвергающейся деформации, с пото­ком тепла в нормальном фронте пламени. В данном случае это условие должно связать величины £0 и g. Эта связь, однако, не Представляет особо­го интереса, поскольку исследуется критический режим, в котором £0 "^0. Таким образом, ищется такое решение задачи (6.15), (6.16), когда вели-


чина g настолько велика, что обе зоны реакции сливаются в одну. Эта задача легко решается. Имеем

/я«>)

Т(ь) = г(0) + + St)cy(o V-.^.>

= , а<*>>1, (6.17)

D п

где — коэффициент избытка воздуха в зоне реакции.

Если в зоне реакции выгорает весь окислитель, то аналогичным образом получаем

С(Ь) =с(0) __L, a<ft> < 1. (6.18)

> / St 0 £><0)

Последние соотношения в (6.17), (6.18) определяют коэффициент избытка воздуха в зоне реакции. Пусть > 1. Вторая формула в (6.17) определяет концентрацию окислителя после завершения реакции. Эта

концентрация, очевидно, равна St(a(6) – 1)/(1 + a(b)St). Аналогичное

соотношение можно найти из (6.18) при а(й) < 1. Учитывая, что обычно St > 1, имеем

Л)(о)

(й) а<*>>1;

(6.19)

ЛЬ) =———- а sJUf! U0 ___________________ (6)

Отсюда видно, что при D^ состав в зоне реакции обедняется по

сравнению с составом в свежей смеси. Этот случай соответствует горению большинства углеводородов (пропан, бензин и тд.). При горении водорода и метана имеем

. состав в зоне реакции, наоборот, обогаща­ется.

Из первых соотношений в (6.17), (6.18) следует, что, вообще говоря, температура горения в зоне реакции не совпадает с температурой адиабати­ческого горения смеси с таким же составом, как и в зоне реакции. В част­ности, для водорода имеем а> и температура в зоне реакции ниже, чем температура адиабатического горения смеси с коэффициентом избытка воздуха, равным Для большинства углеводородов с приемлемой

точностью можно считать, что – D^ и, следовательно, температура •в зоне реакции совпадает с температурой в нормальном пламени, распрост­раняющемся по смеси, в которой коэффициент избытка воздуха равен ot*b\ Поэтому для определения ип можно. воспользоваться опытами, в которых исследовалось плоское пламя в потоке без деформации. При этом следует лишь пересчитать состав по формулам (6.19). Указанная процедура неза­конна для водорода. Однако и в рассматриваемом случае формулы (6.19) пригодны для оценок, поскольку различия между Da и Df больше, чем различия между D0 и а.

Проанализируем теперь количественную сторону вопроса. Так как распространение пламени определяется лидирующими точками, а эти точки находятся в критическом режиме, то при вариации с^0* максимальное значение ut достигается при а(0) = afm, т. е. когда величина станет

максимальной. Используя (6.19), заключаем, что связь между ottm и апт

описывается выражением

бензино-воздушной


смеси имеем апт = 1 (Талантов [1975]), = 0,19 см2/с, Я(0) = = 0,09 см2/с (Дубовкин [1961]), т. е. ottm = 0,7, что хорошо согласуется с экспериментальными данными Кузина, Янковского, Аполлонова и Талан­това [1972], Голубева, Янковского, Постнова и Талантова [1973], Янков­ского и Талантова [1969]. Для водородо-воздушных смесей имеем otnm =

= 0,6 (Карпов и Северин [1977]), D<0) = 0,6 см2/с, D<0) = 0,2 см2/с (Брет- шнайдер [1966]), т. е. ottm = 1, что хорошо согласуется с эксперименталь­ными данными Карпова и Северина [1977]. Найденное соотношение между апт и качественно согласуется с данными, полученными при исследо­вании горения этана (.D0>Df) и метана (D0<Df). Как установлено Карповым и Севериным [1980], otnm в первом и ottm ^ ®пт во втором случаях. Однако для этих горючих различия между D0viDfVi соответствен­но между 0Ltm и 0Lnm невелики, что затрудняет количественные сопостав­ления.

Влияние различий в коэффициентах диффузии горючего и окислителя на скорость нормального распространения пламени проиллюстрировано на рис. 6.1. Кривая 1 соответствует опытным данным с плоским пламенем, которые приведены Талантовым [1975]. Кривая 2 получена путем транс­формации кривой 7, т. е. состав в лидирующих точках пересчитывался по формулам (6.19). Видно, что влияние различий в коэффициентах молеку­лярного переноса весьма значительно.

Проведенный выше анализ относится к случаю, когда возникновение критического режима обусловлено растяжением пламени. Совершенно аналогично можно исследовать и другой случай, когда возникновение критического режима обусловлено искривлением пламени. Как уже указы­валось, при этом можно провести аналогию между горением в окрестности лидирующих точек и горением в стационарном сферическом пламени, внутри которого расположен сток продуктов сгорания. Эта задача рассмот­рена в работе Бурико и Кузнецова [1976]. Показано, чтб в критическом режиме (мощность стока равна нулю, радиус зоны реакции минимален) формулы (6.19) сохраняются, если входящие в них величины D0, Df, а заменить на я2, т. е. рассматриваемый эффект выражен еще более

сильно. Поскольку формулы (6.19) дают согласующиеся с опытом значе­ния octm, то можно предположить, что именно растяжение пламени — глав­ная причина возникновения критических условий.


§ 6.4. Спектральное представление скорости распространения пламени

Как уже неоднократно указывалось, турбулентность и, следовательно, турбулентное горение являются существенно многомасштабными процесса­ми. Для описания этой особенности в теории турбулентности вводится структурная функция и ее преобразование Фурье, называемое спектральной плотностью энергии. При анализе процесса горения также полезно ввести аналогичную величину, которая характеризовала бы роль искривлений пламени с различным масштабом.

Первая такая попытка, по-видимому, принадлежит Повинелли и Фуксу [1962], в работе которых предполагалось, что поверхность фронта пла­мени (х2, х3, О является однозначной и односвязной, а величина Xi есть стационарная случайная функция х2 и х3. Это предположение позволи­ло использовать для описания процесса математический аппарат, разви­тый в теории турбулентности. Однако в общем случае такой подход прин. ципиально непригоден, поскольку фронт пламени не является односвяз­ной и однозначной поверхностью. Интуитивные представления о спектраль­ном представлении скорости распространения пламени использовались в работах Кузнецова [1977а], Климова [1977а], Зимонта и Сабельникова [19756], Зимонта [1979] для создания различных моделей турбулентного пламени.

Строгое определение дано Кузнецовым [1980]. Оно основано на введен­ной Колмогоровым [1962а, 6] и Обуховым [1962] процедуре осреднения случайных величин по областям с конечным объемом. Такая процедура уже использовалась в § 5.4. Она позволяет сгладить достаточно мелкомасш­табные детали процесса. Следуя указанным pa6oiaM, введем величину

U(l) = max [ W(l)], W = ! / р Wd3x, (6.20)

4 ру ‘I w

где W — скорость тепловыделения, а со — куб с центром в точке х и стороной 21. Поскольку размер куба конечен, то W – случайная функция, зависящая от t, х, /. Величина U есть максимальное значение И^во всех реализациях процесса. Поэтому U — не случайная функция.

Поясним смысл введенных величин. Ясно, что при интегрировании скорости тепловыделения по области с размером / из рассмотрения исклю­чаются все детали процесса, зависящие от возмущений, масштаб которых много меньше /. Например, если в пламени существуют только два возму­щения с сильно отличающимися масштабами /2 ^ Л, то структура зоны реакций имее;г вид, схематически изображенный на рис. 6.9. Если /2 > I > 1\, то величина W, рассматриваемая как функция координат, отлична от нуля лишь в узкой областт! с характерным размером /. Эта область находится вблизи поверхности W(x, t)= U(x, f)9 которая на рис. 6.9 изображена штри­ховой линией. Рассматриваемую поверхность назовем частично сглажен­ной поверхностью пламени. В силу (6.2) из (6.20) получаем

" W, (6.21) 41

где S^b\l) — площадь той части зоны реакций, которая заключена в кубе со 232 (количество тепла, выделившееся в кубе со, равно площади зоны реакции, умноженной на поток тепла из этой зоны).

Рассмотрим два предельных случая: / 0 и / В первом случае зону реакции можно рассматривать как плоскость. Поэтому Wмаксимально, если зона реакции является диагональной плоскостью куба. Следовательно, из (6.21) находим

U(l) = un\/2, (6.22)

Пусть теперь /-*«>. Рассмотрим в среднем плоское, стационарное пламя, движущееся в направлении 1. Поскольку процесс статистически одноро­ден в направлениях 2 и 3, то / /

< Wp) = lim (21 J2 f f pWdx2dx3,

l OO —l—l

^ I, (6.23)

W = – ТГГ lim / <Wp)dxl.

pV«> / – oo

Осредним уравнение (2.1) и полученное соотношение проинтегрируем по всем*!. Учитывая, что с = 1,<м> = /3м, в области, занятой продуктами сгорания, из (6.23) получим

U (<*>) = и t. (6.24)

Заметим теперь, что для в среднем плоского пламени интеграл fpWd3x

со

при увеличении / возрастает не медленнее, чем /2 (это вытекает из стати­стической однородности в направлениях 2 и 3). Следовательно, U — неубы­вающая функция /. Таким образом, из (6.22), (6.24) видим, что при увеличении / функция U(T) монотонно возрастает от величины порядка ип до ut. Следовательно, U(l) описывает тот вклад, который вносят в ско­рость распространения пламени все возмущения, размер которых по поряд­ку не превышает /. Эта функция характеризует также то количество вещества, которое перерабатывается в единицу времени единичной пло­щадью поверхности частично сглаженного пламени. Производная Э£//Э/, очевидно, неотрицательна. Она описывает тот вклад, коуорый вносят в скорость горения возмущения с размером порядка /. Эту величину естест­венно назвать спектральным представлением скорости распространения пламени.

Введенные выше определения можно использовать в произвольном, в том числе и неоднородном, турбулентном потоке. В этом случае величина U(f) будет зависеть от / их Следует лишь учесть, что при анализе горения в ограниченном потоке существует некоторый максимально возможный масштаб возмущений пламениLm. Например, при горении в трубе диамет­ром с? имеем Lm-d\2. Аналогично, в бунзеновской горелке получаем Lm – d/2, d – диаметр горелки (пламя не может проникнуть за границы струи горючей смеси, а характерный размер этой струи порядка d). Поэто­му формула (6.24) приобретает вид ut = U(Lm). Отметим также, что если К 1, то на фронте пламени нет искривлений с масштабом меньше 1СГу и поэтому из формулы (в.22) получаем оценку U(Jcr) ~ ип. Таким образом, из (6.22), (6.24) имеем

U(lCr) – ип, U(Lm) – ut. (6.25)

§ 6.5. Влияние неустойчивости пламени

на турбулентное горение однородной смеси

Как уже указывалось, плоский фронт пламени неустойчив. Возможны два механизма неустойчивости. Первый обусловлен только уменьшением плотности при горении (Ландау [1944]). Второй связан с различиями в коэффициентах температуропроводности и диффузии (Зельдович и Барен – блатт [1959], Баренблатт, Зельдович и Истратов [1962]) . При а < D этот механизм обуславливает неустойчивость пламени, даже если 0 = 1. В данной книге рассматривается лишь гидродинамическая (тепловая) неустойчи­вость пламени, поскольку такое упрощение позволит описать основные особенности проблемы.

В настоящее время поведение пламени в рамках линейной теории устой­чивости изучено достаточно хорошо. Основные результаты этой теории изложены в книге "Нестационарное распространение пламени" под редак­цией Маркштейна [1968] и обзоре Истратова и Либровича [19666].

Установлено, что плоское пламя неустойчиво относительно гармоничес­ких возмущений с периодом (масштабом) /, который удовлетворяет усло­вию 1>1СГ – Существенно, что величина 1СГ весьма мала. В опытах, однако, часто наблюдается устойчивый ламинарный факел, характерный размер которого значительно больше 1СГ. Устойчивость такого факела, по видимо­му, связана с двумя обстоятельствами. Во-первых, важную роль может играть глобальная конфигурация пламени. Например,.сферическое пламя более устойчиво, чем плоское (Истратов и Либрович [1966в]) . Во-вторых, развитие неустойчивости пламени может существенно зависеть от амплиту­ды начальных возмущений. Сильное влияние амплитуды начальных возму­щений вполне отчетливо прослеживается при анализе возникновения турбу­лентности в несжимаемой жидкости. Например, в трубе с гладкими стенка­ми можно наблюдать ламинарное течение вплоть до числа Рейнольдса 2 • 105, .т. е. на два порядка больше критического значения (см., например, Шлихтинг [I960]). При горении влияние начальных возмущений на разви­тие неустойчивости, по-видимому, выражено еще более сильно. В качестве примера приведем уже упоминавшиеся опыты Сузуки, Оба, Хирано и Цуджи [1979]. Оценки, проведенные в § 6.1, показали, что в этом случае пульсационная скорость в свежей смеси меньше ип и много меньше ut(ut = 1,4 м/с при и= 9 см/с, ut= 2,2 м/с при = 28 см/с, ип = = 40 см/с). Из таких оценок видно, что малое по сравнению с ut изменение пульсационной скорости приводит к сильному изменению положения передней границы пламени.

Возникает естественный вопрос о том, каков характер течения и горения после потери устойчивости фронта пламени. Хорошо известно, что в тече­ниях несжимаемой жидкости после потери устойчивости турбулентность возникает далеко не сразу. При увеличении числа Рейнольдса появляется целый ряд упорядоченных стационарных или нестационарных режимов и, лишь после того как число Рейнольдса станет достаточно большим, появля­ются стохастические колебания скорости. Аналогичным образом после потери устойчивости в пламени также могут образовываться упорядочен­ные режимы течения и горения, например ячеистые пламена (см. книгу "Нестационарное распространение пламени" под ред. Маркштейна [1968]).


<