Вывод формулы зависимости длины дня от широты местности и дня в году

Вывод формулы зависимости длины дня от широты местности и дня в году.

Предисловие.

В данной статье будет выведена формула зависимости длины самого короткого дня, в зависимости от широты места, попутно будет выведена широта полярного круга, а также зависимость длины дня от широты местности и числа дней, прошедших с Нового Года. В конце построены графики длительности дня для широты Москвы на весь год и приращение длительности длины дня для широты Москвы на весь год.

Зависимость длины самого короткого дня от широты места.

Для начала разберёмся как земля вращается вокруг солнца. Земля вращается вокруг солнца по эллипсу, который очень близок к окружности. К тому же Земля вращается вокруг своей собственной оси, делая один оборот за 24 часа. Эта ось наклонена под углом ψ=23.5°. Ночь наступает тогда, когда в точке наблюдения солнца становится не видно.

Обозначим за φ широту места наблюдения, а за R радиус Земли.

Закрашенная тёмным область Земли, где ночь. На втором рисунке Земля показана более близко. Угол DCB равен . Точка С - это центр Земли. Нетрудно посчитать, что , а. В свою очередь .

Найдём условие, при котором на заданной широте места есть полярная ночь. То есть будут дни, когда солнце не восходит, через полгода будут дни, когда солнце не будет заходить. Условие полярной ночи . Подставим ранее выведенное и получим условие . Или . Это и есть широта полярного круга южного и северного. При широте больше чем 66.5° есть дни, когда солнце не восходит и не заходит. То есть длина самого короткого дня равна нулю. Посчитаем длину самого короткого дня при широте то есть для части Земли, находящейся между полярными кругами.

Из геометрических соображений также понятно, что на заданной широте самый короткий и день и самая короткая ночь равны по длительности. Также равны по длительности самая длинная ночь и самый длинный день. Только происходят они с разницей в полгода.

Рассмотрим плоскость фиксированной широты местности. Это срез верхнего рисунка по плоскости AF. Пока Земля идёт от точки G до точки H там ночь, в остальной части круга день. Полный круг земля проходит за 24 часа. Теперь найдём, какую часть окружности составляет дуга GH. Для этого надо найти угол GBH. Итак полный угол в 360° Земля проходит за 24 часа, а угол GBH она пройдёт за

Теперь посчитаем, чему равен самый короткий день на широте Москвы () и Санкт Петербурга . Для Москвы получаем

То есть около самый короткий день составляет шесть с половиной часов. Аналогично для Санкт-Петербурга получим, что самый короткий день составляет около пяти с половиной часов. Столько же будет составлять и самая короткая ночь. О каких белых ночах в Санкт-Петербурге может идти речь?

Приращение длительности дня в зависимости от широты места и дня года.

Теперь добавим в длительность дня новый параметр, число дней прошедших с нового года.

Выше была выведена формула длины самого короткого дня в зависимости от широты местности. Посмотрим на последний рисунок. При вращении Земли вокруг Солнца отрезок GH будет вращаться, при этом он всегда будет проходить через точку D. Угол поворота HDJ определяется числом дней прошедших с самого короткого дня, то есть с 21 декабря. Когда - прошло 0 дней, когда - прошло 365.25/4 дней, тогда точка I совпадёт с точкой A, точка J с точкой F. Земля вращается вокруг Солнца по эллипсу, который очень близок к окружности, а из законов Кеплера следует, что отрезок IJ будет вращаться равномерно. Из этого следует, что , где - число дней прошедших с Нового Года, здесь было прибавлено 10 дней поскольку между 21 декабря, самым коротким днём в году, и 1 января, новым годом 10 дней.

. По теореме синусов для треугольника DBJ получаем, что . Отсюда

.

Теперь можно вычислить длину дня, она равна .

Итак длина дня в часах равна

где

- угол наклона оси вращения Земли к плоскости эклиптики - широта места - число дней, прошедших с нового года

В завершение два графика.

Первый зависимость длины дня от числа дней, прошедших с нового года, для широты Москвы.

Второй, приращение длительности дня, для широты Москвы.