3. Метод перебора. Правило крайнего.
Существует множество задач, которые решаются методом перебора, то есть последовательного или выборочного анализа возможных вариантов, которые могут встретиться в ситуации заданной формулировкой задач. Для того, чтобы быть уверенным в том, что были рассмотрены все возможные варианты без повторов и пропусков, часто удобно использовать правило “крайнего”: рассмотреть сначала самый крайний случай, то есть, например, самый меньший или наибольший элемент.
Задачи 5 и 6 относятся к типу “кто есть кто” решаемые составлением таблицы по мере получения новых сведений.
Теоретический материал прекрасно изложен в [28]. Задачи [17,с.12,17], [19,с. 72], [28], [26], [16,с.20], [24].
Литература
Задача 1. В ящике лежат красные, зеленые, синие и желтые шары. Известно, что красных шаров в 2 раза больше, чем синих; синих в 2 раза больше, чем зелёных, а число желтых шаров больше 7. Сколько шаров каждого цвета лежит в ящике, если всего их 27?
Решение. Условие задачи подсказывает, что зелёных шаров не может быть много. Поэтому в качестве “крайнего” элемента естественно принять количество зеленых шаров. Допустим, что в ящике лежит только один зеленый шар, тогда синих и красных шаров соответственно 2 и 4; остальные 20 желтые. Одно решение найдено.
Если предположить, что в ящике лежат два зеленых шара, то там окажется 4 синих, 8 красных и= желтых шаров.
Если же зеленых шаров не меньше 3, то синих не меньше 6, красных не меньше 12, а желтых должно быть не больше 6, но это противоречит условию задачи.Þ
Задача имеет два решения: 1 зеленый, 2 синих, 4 красных, 20 желтых шаров или 2 зелёных, 4 синих, 8 красных, 13 желтых.
Задача 2. В пруд пустили 30 щук, которые постепенно поедают друг друга. Щука считается сытой, если она съест трех других щук (сытых или голодных). Какое наибольшее число щук можно зарегистрировать как насытившихся?
Решение.
Задача 3. Докажите, что если длины всех сторон треугольника меньше 1, то его площадь меньше 
.
Решение.
Задача 4. Семь грибников собрали вместе 100 грибов, причем никакие двое не собрали по одинаковому числу грибов. Докажите, что есть трое, собравших не менее 50 грибов.
Решение.
Задача 5. Четыре юных филателиста Митя, Толя, Петя и Саша купили почтовые марки. Каждый из них покупал марки только одной страны, причем, двое из них купили советские марки, а один чешские. Известно, что Митя и Толя купили марки разных стран. Марки разных стран купили Митя с Сашей, Петя с Митей и Толя с Сашей. Кроме этого известно, что Митя купил не болгарские марки. Определить марки каких стран купил каждый из них?
Решение.
Задача 6. В трех семьях мужья старше своих жен на 3 года. Борис моложе Дарьи на два года, Василий и Татьяна - ровесники. Возрасты Андрея и Марии - точные квадраты. Произведение возрастов Семена и Дарьи - нечетное число. Андрею и Варваре вместе 58 лет, а Борису и Марии вместе 52 года, Семен, Варвара и Мария окончили школу в одном году. Кто на ком женат?
Решение.
Задача 7. Координатная плоскость разбита прямыми x = n, y = m (n, m – целые) на клетки, в каждой из которых стоит крестик или нолик. Известно, что среди соседей каждого крестика крестиков больше, чем ноликов (в клетках по горизонтали, вертикали и диагонали от него).Доказать, что крестиков бесконечно много.
Решение
Задача 8. В клетки квадрата 10 х 10 вписаны целые числа так, что каждое из них равно среднему арифметическому его соседей (записанных в клетках, имеющих с данной общую сторону). Доказать, что все числа равны между собой.
Решение
Задача 9. Дан квадрат, разбитый на клетки 1х1. По линиям разбиения (внутри квадрата или на его границе) проведено несколько контуров, каждый из которых ограничивает некоторый прямоугольник. Может ли оказаться так, что через любую сторону любой клетки будет проходить нечетное число указанных контуров?
Решение
Задача 10. Доказать, что любые 2n точек плоскости можно попарно соединить непересекающимися n отрезками.
Решение
Содержание
