Магические квадраты Франклина (стр. 1 )

Из за большого объема этот материал размещен на нескольких страницах:
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

МАГИЧЕСКИЕ КВАДРАТЫ ФРАНКЛИНА

1. Вводные определения

Традиционным (нормальным или классическим) магическим квадратом порядка n называется квадратная таблица размером nхn, заполненная различными натуральными числами от 1 до n2 так, что сумма чисел в каждой строке, каждом столбце и в обеих диагоналях таблицы равна одному и тому же числу, называемому магической константой квадрата.

Нетрудно вывести формулу для магической константы S квадрата порядка n:

S = n(n2 + 1)/2

Если суммы чисел на диагоналях квадрата не равны магической константе, то такой квадрат называется полумагическим (или неполным).

Магический квадрат порядка n называется ассоциативным, если сумма любых двух чисел, расположенных симметрично относительно центра квадрата, равна одному и тому же числу, которое, как нетрудно понять, равно n2+1. Такие числа в ассоциативном магическом квадрате называются взаимно дополнительными или комплементарными. На рис. 1 представлен ассоциативный магический квадрат четвёртого порядка.

1

14

15

4

8

11

10

5

12

7

6

9

13

2

3

16

Рис. 1

Обычные диагонали в магическом квадрате называют главными, чтобы отличать их от разломанных диагоналей. Разломанная диагональ – это диагональ, параллельная главной диагонали и проходящая тоже через n ячеек квадрата. Поскольку главных диагоналей две, то разломанные диагонали тоже будут двух направлений. Рис. 2 помогает понять, как образуются разломанные диагонали магического квадрата четвёртого порядка.

Рис. 2

Понятно, что в магическом квадрате порядка n будет 2(n-1) разломанных диагоналей.

Магический квадрат называется пандиагональным (или дьявольским), если сумма чисел по всем разломанным диагоналям равна магической константе квадрата. На рис. 3 изображён пандиагональный магический квадрат четвёртого порядка.

1

8

13

12

14

11

2

7

4

5

16

9

15

10

3

6

Рис. 3

Для порядков n = 4k + 2 не существует ни ассоциативных, ни пандиагональных магических квадратов [16].

Свойство пандиагональности сохраняется при параллельном переносе магического квадрата на торе. Такой перенос вдоль горизонтальной оси координат просто осуществить, если свернуть магический квадрат в трубочку, склеить его левый и правый края, вертикально разрезать квадрат в другом месте, а затем снова развернуть его. Получится, например, такой магический квадрат (рис. 4), который тоже будет пандиагональным.

8

13

12

1

11

2

7

14

5

16

9

4

10

3

6

15

Рис. 4

Аналогично осуществляется параллельный перенос вдоль вертикальной оси (в этом случае склеиваются верхний и нижний края квадрата и делается горизонтальный разрез).

Можно выполнить параллельный перенос одновременно по обеим осям. Параллельный перенос на торе называют ещё торическим переносом.

Магический квадрат называется идеальным, если он одновременно и ассоциативный, и пандиагональный. Идеальные магические квадраты существуют для нечётных порядков n>3 и для чётно-чётных порядков n>4 (чётно-чётным называют порядок кратный 4). В англоязычных работах термину “идеальный квадрат” соответствует термин “ultramagic square”.

На рис. 5 представлен идеальный квадрат пятого порядка.

1

23

10

14

17

15

19

2

21

8

22

6

13

20

4

18

5

24

7

11

9

12

16

3

25

Рис. 5

2. Полумагические квадраты Франклина

Американский общественный деятель Бенджамин Франклин (1706–1790) очень увлекался построением магических квадратов. Франклин писал: “В дни моей юности я в свободное время (которое, как мне кажется, можно было бы употребить с большей пользой) развлекался тем, что составлял … магические квадраты” [13].

До нас дошли только пять квадратов, построенных Франклином, из которых четыре являются полумагическими и один магическим. [1, 3] Вероятно, были и другие квадраты, но они, к сожалению, не сохранились. Например, известный пандиагональный квадрат Франклина 16-го порядка даёт основание предполагать, что Франклином был построен подобный пандиагональный квадрат и меньшего 8-го порядка. Известные нам квадраты Франклина обладают рядом уникальных свойств, которые мы рассмотрим ниже.

Сначала представим четыре полумагических квадрата Франклина, это два квадрата 8-го порядка, квадрат 16-го и квадрат 32-го порядка. Свойства полумагических квадратов 8-го и 16-го порядка подробно описаны в работах [1, 2].

Первый полумагический квадрат Франклина восьмого порядка вы видите на рис. 6.

52

61

4

13

20

29

36

45

14

3

62

51

46

35

30

19

53

60

5

12

21

28

37

44

11

6

59

54

43

38

27

22

55

58

7

10

23

26

39

42

9

8

57

56

41

40

25

24

50

63

2

15

18

31

34

47

16

1

64

49

48

33

32

17

Рис. 6

Суммы чисел в главных диагоналях этого квадрата равны 228 и 292. Их среднее арифметическое совпадает с магической константой квадрата.

Из за большого объема этот материал размещен на нескольких страницах:
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11



Подпишитесь на рассылку:

Проекты по теме:

Основные порталы, построенные редакторами

Домашний очаг

ДомДачаСадоводствоДетиАктивность ребенкаИгрыКрасотаЖенщины(Беременность)СемьяХобби
Здоровье: • АнатомияБолезниВредные привычкиДиагностикаНародная медицинаПервая помощьПитаниеФармацевтика
История: СССРИстория РоссииРоссийская Империя
Окружающий мир: Животный мирДомашние животныеНасекомыеРастенияПриродаКатаклизмыКосмосКлиматСтихийные бедствия

Справочная информация

ДокументыЗаконыИзвещенияУтверждения документовДоговораЗапросы предложенийТехнические заданияПланы развитияДокументоведениеАналитикаМероприятияКонкурсыИтогиАдминистрации городовПриказыКонтрактыВыполнение работПротоколы рассмотрения заявокАукционыПроектыПротоколыБюджетные организации
МуниципалитетыРайоныОбразованияПрограммы
Отчеты: • по упоминаниямДокументная базаЦенные бумаги
Положения: • Финансовые документы
Постановления: • Рубрикатор по темамФинансыгорода Российской Федерациирегионыпо точным датам
Регламенты
Термины: • Научная терминологияФинансоваяЭкономическая
Время: • Даты2015 год2016 год
Документы в финансовой сферев инвестиционнойФинансовые документы - программы

Техника

АвиацияАвтоВычислительная техникаОборудование(Электрооборудование)РадиоТехнологии(Аудио-видео)(Компьютеры)

Общество

БезопасностьГражданские права и свободыИскусство(Музыка)Культура(Этика)Мировые именаПолитика(Геополитика)(Идеологические конфликты)ВластьЗаговоры и переворотыГражданская позицияМиграцияРелигии и верования(Конфессии)ХристианствоМифологияРазвлеченияМасс МедиаСпорт (Боевые искусства)ТранспортТуризм
Войны и конфликты: АрмияВоенная техникаЗвания и награды

Образование и наука

Наука: Контрольные работыНаучно-технический прогрессПедагогикаРабочие программыФакультетыМетодические рекомендацииШколаПрофессиональное образованиеМотивация учащихся
Предметы: БиологияГеографияГеологияИсторияЛитератураЛитературные жанрыЛитературные героиМатематикаМедицинаМузыкаПравоЖилищное правоЗемельное правоУголовное правоКодексыПсихология (Логика) • Русский языкСоциологияФизикаФилологияФилософияХимияЮриспруденция

Мир

Регионы: АзияАмерикаАфрикаЕвропаПрибалтикаЕвропейская политикаОкеанияГорода мира
Россия: • МоскваКавказ
Регионы РоссииПрограммы регионовЭкономика

Бизнес и финансы

Бизнес: • БанкиБогатство и благосостояниеКоррупция(Преступность)МаркетингМенеджментИнвестицииЦенные бумаги: • УправлениеОткрытые акционерные обществаПроектыДокументыЦенные бумаги - контрольЦенные бумаги - оценкиОблигацииДолгиВалютаНедвижимость(Аренда)ПрофессииРаботаТорговляУслугиФинансыСтрахованиеБюджетФинансовые услугиКредитыКомпанииГосударственные предприятияЭкономикаМакроэкономикаМикроэкономикаНалогиАудит
Промышленность: • МеталлургияНефтьСельское хозяйствоЭнергетика
СтроительствоАрхитектураИнтерьерПолы и перекрытияПроцесс строительстваСтроительные материалыТеплоизоляцияЭкстерьерОрганизация и управление производством

Каталог авторов (частные аккаунты)

Авто

АвтосервисАвтозапчастиТовары для автоАвтотехцентрыАвтоаксессуарыавтозапчасти для иномарокКузовной ремонтАвторемонт и техобслуживаниеРемонт ходовой части автомобиляАвтохимиямаслатехцентрыРемонт бензиновых двигателейремонт автоэлектрикиремонт АКППШиномонтаж

Бизнес

Автоматизация бизнес-процессовИнтернет-магазиныСтроительствоТелефонная связьОптовые компании

Досуг

ДосугРазвлеченияТворчествоОбщественное питаниеРестораныБарыКафеКофейниНочные клубыЛитература

Технологии

Автоматизация производственных процессовИнтернетИнтернет-провайдерыСвязьИнформационные технологииIT-компанииWEB-студииПродвижение web-сайтовПродажа программного обеспеченияКоммутационное оборудованиеIP-телефония

Инфраструктура

ГородВластьАдминистрации районовСудыКоммунальные услугиПодростковые клубыОбщественные организацииГородские информационные сайты

Наука

ПедагогикаОбразованиеШколыОбучениеУчителя

Товары

Торговые компанииТоргово-сервисные компанииМобильные телефоныАксессуары к мобильным телефонамНавигационное оборудование

Услуги

Бытовые услугиТелекоммуникационные компанииДоставка готовых блюдОрганизация и проведение праздниковРемонт мобильных устройствАтелье швейныеХимчистки одеждыСервисные центрыФотоуслугиПраздничные агентства

Блокирование содержания является нарушением Правил пользования сайтом. Администрация сайта оставляет за собой право отклонять в доступе к содержанию в случае выявления блокировок.