Лекция 3.
РАСЧЕТ СЛОЖНЫХ ЦЕПЕЙ ПОСТОЯННОГО ТОКА.
Законы Кирхгофа.
1-й закон: Алгебраическая сумма токов ветвей, сходящихся в узле равна нулю. Или: арифметическая сумма токов входящих в узел равна арифметической сумме токов выходящих из узла.
,
где Ii – ток i-й ветви, подходящей к узлу,
n – число ветвей, сходящихся в узле.
2-й закон: Алгебраическая сумма падений напряжений по любому замкнутому контуру электрической цепи равна нулю.
,
где Ui – падение напряжения на i-м элементе электрической цепи рассматриваемого контура (знак Ui определяется сопоставлением направления падения напряжения с направлением положительного направления обхода контура),
n – число элементов электрической цепи в составе рассматриваемого контура.
Или: алгебраическая сумма падений напряжений на приемниках энергии равна алгебраической сумме ЭДС в составе контура
,
где Ui – падение напряжения на i-м приемнике рассматриваемого контура (знак Ui определяется сопоставлением направления падения напряжения с направлением положительного направления обхода контура),
Ej – ЭДС j-го источника (знак Ei определяется сопоставлением направления ЭДС с направлением положительного направления обхода контура),
n – число элементов электрической цепи в составе рассматриваемого контура.
Метод уравнений Кирхгофа.
Алгоритм метода уравнений Кирхгофа.
1.2. Правила Кирхгофа
Предположим, дана схема, содержащая m ветвей, n узлов, ЭДС источников, их внутренние и внешние сопротивления. Требуется определить токи в ветвях. Последовательность расчета:
1. Для каждой ветви вводят обозначение протекающего через нее тока I1, I2,…, Im и стрелками на схеме указывают его условное положительное направление.
2. Для n – 1 узлов составляют уравнения на основании первого з-на Кирхгофа; для одного из узлов такое уравнение не составляют, поскольку оно является следствием уже написанных уравнений.
Рисунок 1
3. Берутся независимые контуры цепи (в каждом контуре хотя бы в одной ветви ток не входит в другие контуры), в которых выбираются условные положительные направления обхода контура.
4. Для контуров составляют уравнения по второму правилу Кирхгофа с учетом выбранного направления обхода. При правильном выборе контуров их число должно быть m – n + l. Общее число уравнений должно быть m (по числу неизвестных).
5. Решается система m уравнений. Если рассчитанный ток в ветви — положительный, то действительное направление тока совпадает с выбранным и наоборот.
Пример (рис. 1). Схема содержит четыре узла и шесть ветвей. Следовательно, полное число уравнений должно равняться шести. Из них, на основании первого правила Кирхгофа, составляем три уравнения. Остальные уравнения получаем по второму правилу Кирхгофа.
Обозначим токи в ветвях и выберем направления токов.
Запишем уравнения на основании первого правила Кирхгофа, например, для узлов a, b и e: I1+I2-I3 = 0; I3-I5-I6 = 0; I4-I1-I2 = 0.
В качестве независимых контуров для составления уравнений по втором правилу Кирхгофа выбираем, например, контуры aefa, abdea и bcdb. За положительное направление обхода примем обход контуров по часовой стрелке. В результате получим следующие уравнения: 
; 
; 
.
Для шести неизвестных I1…. I6 получено шесть уравнений. Решение системы рекомендуется начать с того, что из первых трех уравнений можно выразить, например, токи I1, I2, I3 через токи I4, I5, I6. После подстановки найденных значений в последние три уравнения получим систему из трех уравнений с тремя неизвестными. Остается решить систему
Метод контурных токов.
МКТ основан на идее определения не реальных токов, а так называемых контурных токов. При этом предполагают, что по каждому НЕЗАВИСЕМОМУ контуру течет свой контурный ток, который течет только по элементам «своего» контура и не разветвляется на узлах.
По МКТ значения контурных токов определяются из системы уравнений, написанных по 2-му закону Кирхгофа.
Система уравнений по МКТ имеет следующий общий вид:
где Ei – контурная ЭДС в контуре i (i=1,2,…,n), т. е. алгебраическая сумма ЭДС, действующих в данном контуре; ЭДС, совпадающая по направлению с направлением контурного тока, берутся со знаком +, и наоборот;
Rii – собственное сопротивление контура i;
Rik – общее сопротивление контуров i и k.
Реальные токи определяются по найденным контурным, следуя следующему правилу:
1) реальные токи внешних ветвей контуров равны контурным токам;
2) реальные токи смежных ветвей определяются как алгебраическая сумма смежных контурных токов; знак контурного тока определяется сравнением его направления с выбранным направлением реального тока.
Знак полученного реального тока определяет правильность выбора его направления.
Алгоритм МКТ
Выбираем направления контурных токов, совпадающих с направлениями обходов контуров.Следует помнить: контуры выбираются, не содержащие идеальных источников тока!!!
Задаемся направлением токов в ветвях. Составляем систему уравнений по МКТ Определяем контурные токи
Вычисляем реальные токи в ветвях. ПРИМЕР
J = 0,7 A E7 = 2 В
E1 = 4 В E2 = 1 В E6 = 5 В
R1 = 12 Ом R2 = 5 Ом
R4 = 4 Ом R5 = 4 Ом R3 = 2 Ом
R7 = 24 Ом R6 = 1 Ом
Решение:
1. Выбираем направления контурных токов, совпадающих с направлениями обходов контуров.
Следует помнить: контуры выбираются, не содержащие идеальных источников тока!!!
2. Задаемся направлением токов в ветвях.
3. Составляем систему уравнений по МКТ:
После подстановки численных значений система примет вид:
При направлении СУ необходимо учитывать взаимодействие контурного тока численно равного J - току источника тока на смежных контурах с источником тока!!!
Определяем контурные токи:
Iх1 = 0,5А; Iх2 = 1А; Iх3 = –0,25А.
4. Вычисляем токи в ветвях:
