Лекция № 9

Порядок определения уравнения регрессии

Определение параметров производственных функций.

При построении производственной функции необходимо определить вид алгебраического уравнения, которое в большей степени соответствовало бы изучаемому процессу. Подобную функцию называют уравнением регрессии (сглаженным представлением зависимости результата от факторов усглажен=f(х).

В практике исследования обычно используют два подхода. Первый заключается в графическом анализе переменных, в соответствии с которым устанавливают вид связи. Графики наглядно показывают зависимость результатов производства (y) от факторов .и позволяют выбрать алгебраическое уравнение производственной функции.

Однако, если моделируемых переменных больше трех, их общее взаимодействие графически выразить становится невозможным. Поэтому применяется второй способ, который предполагает тщательное экономическое обоснование всех анализируемых параметров объекта, подбор на этой основе уравнений и их следующую оценку. За окончательный вариант при этом принимают уравнение, наиболее точно характеризующее объект исследования.

Уравнение регрессии определяется таким образом, чтобы сумма квадратов отклонений случайных величин ((уij), полученных в выборках от соответствующих значений усглаж, рассчитанных по ПФ, была минимальной: или , где

уij и - константы (статистические данные).

Поэтому сумма может рассматриваться как функция от параметров (а0 , а2,... аL). Данное условие служит источником получения нормальных уравнений для определения параметров. Первые частные производные от суммы по параметрам (а1 , а2,... аL) приравняем нулю. Это и будет системой нормальных уравнений для вычисления параметров (а1 , а2,... аL).

Определение параметров производственных функций осуществляется различными методами. Более точный результат получается путем решения системы нормальных уравнений, полученных методом наименьших квадратов.

1.  Для уравнения прямой при парной линейной зависимости система уравнений будет выглядеть следующим образом:

или

где n - число эмпирических данных;

- параметры уравнений.

Точные производственные функции получают при n>50.

Примером расчета параметров уравнения могут служить следующие данные, характеризующие зависимость площади защитных лесных полос от крутизны склонов в районах эрозии почв. Расчет коэффициентов для системы нормальных уравнений.

n=4

Крутизна склонов в градусах

Х

Среднее значение интервала в градусах x

Площадь лесополос в %

y

Х2

xy

yСГЛАЖ

1

1-2

1,5

2,85

2,25

4,35

2,71

2

2-2,5

2.25

2.98

5.06

6.75

3.32

3

2,5-3,0

2.75

3.65

7.56

10.18

3.73

4

3,0-3,5

3.25

4.30

10.56

13.98

4.14

å

9.75

13.78

25.43

35.26

-

å/ n

2.44

3.45

6.36

8.81

-

Система уравнений при этом будет выглядеть следующим образом:

-

Решение данной системы уравнений дало следующие результаты:

а0 = 1,48; = 0,82. Уравнение связи при этом примет вид :

y = 1.48 + 0.82 , где y - площадь лесополос на пашне, в %; х - средняя крутизна склонов пахотных земель, в град.

Приведенные в данной системе уравнений расчеты позволяют с наибольшей достоверностью установить степень связи между крутизной водосбора и облесенностью пахотных земель.

Пример 2: Определить урожайность зерновых на перспективу ()

Годы

Урожайность

(у)

Порядок, номер года

(х)

yвыч

у сглаж

1

2

3

1981-85

1986-90

1991-97

11

15

20

1

2

3

1

4

9

11

30

60

10.6

15.3

20.0

46

6

14

101

45.9

1) - 2)

3) Тогда уравнение связи, будет иметь вид у=5.3+5х

Для линейного уравнения множественной зависимости для трех факторов: У=а0+а1х1+а2х2+а3х3, параметры а0, а1, а2, а3 определяются из решения следующей системы нормальных уравнений:

Осуществляется сбор исходной информации

№пп

название

Хозяйства

урожайность

ц/га

факторы

у

балл

х1

фондообеспеченность руб/га х2

кол-во трудоспос. Чел/га х3

№N п/п

у

хХ1

хХ»

хХ3

хХ12

хХ1х2

хХ1х3

хХ1у

хХ22

хХ2х3

хХ2у

хХ32

хХ3у

уУсглаж

SS

Для линейного уравнения множественной зависимости решается следующая система нормальных уравнений:

Данная система используется в тех случаях, когда на конечный результат влияет несколько факторов.

Точные производственные функции получают при

3. Для гиперболической зависимости гиперболические уравнения приводятся к линейным уравнениям парной связи путем введения следующих обозначений:

Для уравнения гиперболы: параметры определяются из решения следующей системы нормальных уравнений:

(в частном случае уравнение гиперболы определяется из решения следующей системы):

Пример: Установление зависимости затрат на холостые повороты и заезды с/х техники от длины гона

№ n/n

Длина поля, км х

% потерь у

1/

1/

/

1

2

3

2,0

0,5

0,1

25

10

5

0,5

2

10

0,25

4

100

12,5

20

50

19,2

16,8

4,0

40

12,5

104,25

82,5

40,0

-

=20-1.6/x

4. Параметры квадратичной параболы определяются при решении системы вида:

При введении изменений в количество уравнений и добавлении дополнительных параметров (а3, а4,...an) в каждое из уравнений, определяются полиномиальные связи более высоких порядков.

Пример1. Определение оптимального размера зерновых колхозов Кокчетавской области устанавливается зависимость прибыли хозяйств от размера землепользования

y - прибыль (тыс. руб. на 100 га. с/х угодий)

х - площадь землепользования тыс. га.

ИСХОДНАЯ ИНФОРМАЦИЯ

№ хоз-ва

Площадь

х

Прибыль у

ху

х2

х2у

х3

х4

Усглаж

1

2

i

S

5.  Для степенной функции при парной зависимости система нормальных уравнений получается путем логарифмирования исходной функции и приведения ее к линейному виду:

Чтобы перейти к линейному виду примем, что lg=z, lgx=u, lga0=v, тогда z=v+a1u, а для него систему нормальных уравнений знаем. В результате решения данной системы определяются значения а1 и lg a0. Значение a0 находится путем последующего его потенциирования.

Параметры степенной функции для множественной связи вычисляются после логарифмирования исходного уравнения и приведения его к следующему виду:

Вводя соответствующие обозначения

получают линейное уравнение множественной связи:

z = a0 1 + a1 u1 + a2u 2+... +a nun, которое решается по выше приведенной системе.