Матрицы и определители

МАТРИЦЫ И ОПРЕДЕЛИТЕЛИ

§ 1. Определители 2-го порядка

1. Определения. В ряде вопросов математики используются некоторые специальные выражения, называемые определителями (или детерминантами). Простейшие из них – это так называемые «определители 2-го порядка». Покажем, как эти определители возни­кают при решении системы двух линейных уравнений с двумя неиз­вестными.

Рассмотрим систему

а1x + b1y = c1,

а2x + b2y = c2.

Чтобы исключить неизвестное у, умножим второе уравнение на b1 и вычтем то, что получится, из первого уравнения, умноженного на b2. В результате окажется

(а1 b2 – а2 b1) х = c1 b2 – c2 b1.

Коэффициент при х записывается в виде и называется определителем 2-го порядка. Таким образом, опреде­литель 2-го порядка есть некоторое число, определяемое как числами а1, а2, b1, b2, так и их взаимным расположением. Это расположение задается квадратной таблицей .

Чтобы подчеркнуть, что эта таблица рассматривается как нечто целое, ее окаймляют круглыми скобками или двумя парами вертикальных чёрточек: или.

Такие таблицы называют матрицами 2-го порядка. Про определитель говорят, что он порождён матрицей. Необходимо чётко понимать разницу между определителем и матрицей . Первый есть число, а вторая – просто таблица, составленная из четырёх чисел.

Итак, определителем матрицы называется число, находимое по формуле:

Det = а1 b2 – а2 b1.

Числа а1, а2, b1, b2 называют элементами определителя и порождающей его матрицы. Различают также первый столбец и второй столбец , первую строку и вторую строку . Строки и столбцы определителя называют рядами. Пара чисел а1, b2 образуют главную диагональ (+) определителя, пара чисел а2, b1 – вторую диагональ (–).

Примеры.

= 35 – 12 = 23; = 24 + 2 = 26; = 0; = 1.

2. Основные свойства определителей 2-го порядка.

I. Определитель не изменится, если его строки превратить в столбцы, а столбцы в строки (равноправность строк и столбцов):

=.

II. При перестановке строк (столбцов) определитель меняет знак:

= – .

III. Если строки (столбцы) определителя одинаковы, то определитель равен нулю: =0.

IV. Если все элементы одной из строк определителя умножить на некоторое число, то весь определитель умножится на это число, т. е. общий множитель элементов одной строки можно вынести за знак определителя:

=q.

V. Если элементы одной строки пропорциональны элементам другой, то определитель равен нулю:

=0.

VI. Если к одной из строк прибавить другую, умноженную на любое число, то определитель не изменится:

=.

§ 2. Определители 3-го порядка

1.  Определение. Определителем третьего порядка называется число:

= a1 b2 c3 + a2 b3 c1 + a3 b1 c2 – a3 b2 c1 – a2 b1 c3 – a1 b3 c2 .

Примеры.

= 72 + 280 +18 – 168 – 135 – 16 = 51.

= -9 + 28 – 20 – 10 – 24 – 21 = – 56.

2. Основные свойства определителей 3-го порядка.

Те же свойства, что и у определителей 2-го порядка.

3. Миноры и алгебраические дополнения.

Если в матрице 3-го порядка вычеркнуть строку и столбец, то определитель, порождённый оставшейся матрицей 2-го порядка, называется минором того элемента, на котором пересекаются вычеркнутые ряды.

Алгебраическим дополнением элемента называется минор этого элемента, умноженный на (-1)p, где р – сумма номеров рядов, пересекающихся, пересекающихся на нашем элементе.

Теорема разложения. Определитель 3-го порядка равен сумме парных произведений элементов парных произведений элементов любого ряда на их алгебраические дополнения.

= a1 A1 + a2 A2 + a3 A3.

§ 3. Операции над матрицами.

Матрицы подобно векторам можно склады­вать, умножать на число и друг на друга. Рассмотрим эти операции:

1°. Суммой двух матриц А = (aij) и В = (bij) с одинаковым ко­личеством m строк и n столбцов называется матрица С = (cij), элементы которой определяются равенством aij + bij = cij, (i = 1, 2, … , m; j =1, 2, ... , n).

Обозначение: A + В = С.

Пример 1.

+==.

Аналогично определяется разность двух матриц. aij – bij = cij,

Обозначение: A – В = С.

Свойства операции сложения матриц:

1)  коммутативность: А + В = В + А.

2)  ассоциативность: (А + В) + С = А + (В + С).

3)  Дистрибутивность: k×(А + В) = k×А + k×В, (k + t)×А =k×А + t×А

2°. Произведением матрицы А = (aij) на число k, называется мат­рица, у которой каждый элемент равен произведению соответствую­щего элемента матрицы А на число k: k×А = k×(aij) = (k×aij), (i = 1, 2, … , m; j =1, 2, ... , n).

Пример 2.

3×== .

3°. Произведением матрицы А = (aij), имеющей m строк и k столбцов, на матрицу В = ((bij), имеющую k строк и n столбцов, называется матрица С = (cij), имеющая m строк и n столбцов, у которой элемент cij равен сумме произведений элементов i-й стро­ки матрицы А и j-го столбца матрицы В, т. е.

cij = ai1 b1j + ai2 b2j + … + aik bkj (i = 1, 2, … , m; j =1, 2, ... , n).

При этом число k столбцов матрицы А должно быть равно числу строк матрицы В. В противном случае произведение не определено. Произведение обозначается так: А×В = С.

Пример 3.

× = =.

Пример 4. Пусть А = , В = , тогда А×В = ×=, а

В×А = ×=.

Отсюда получаем, что А×В ¹ В×А, т. е. умножение матриц не обладает перестановочным свойством.

Непосредственной проверкой можно убедиться, что для суммы и произведения матриц справедливы следующие соотношения:

(А + В)×С = А×С + В×С; С×(А + В) = С×А + С×В; (А×В)×С = А×(В×С);

4°. Умножение на единичную матрицу. Совокупность элемен­тов а11, а22, … , аnn rвадратной матрицы А = (aij) называется глав­ной диагональю матрицы. Матрица, у которой элементы, стоящие на главной диагонали, равны единице, а все остальные элементы рав­ны нулю, называется единичной матрицей и обозначается буквой Е.

Так, единичной матрицей третьего порядка является матрица

Е =

Единичная матрица обладает замечательным свойством, а имен­но: умножение квадратной матрицы любого порядка на соответству­ющую единичную матрицу не меняет матрицу. Это свойство и объяс­няет ее название «единичная»: при умножении матриц она обладает таким же свойством, как число 1 при умножении чисел.

А×Е = Е×А = А

§ 4. Ранг матрицы.

Рангом матрицы А называют наивысший порядок отличных от нуля миноров матрицы А.

Пример.

A = меняем местами 1 и 2 столбцы: A ~ , затем умножаем первую строку на ½: А ~ , прибавляем к 3 столбцу удвоенный первый столбец: А ~ . Умножим 1 строку на 4 и сложим со 2-й строкой, затем на (-1) и сложим с 3-й, и наконец, на (–5) и сложим с 4-й. В результате этих элементарных преобразований получится матрица, эквивалентная исходной:

А ~. Далее последовательно будем преобразовывать строки и столбцы матрицы, не меняя 1-й строки и 1-го столбца:

1) умножим 2-ю строку на (–1);

2) умножим 2-ю строку на (–3) и сложим с 3-й строкой;

3) умножим второй столбец на (–3) и сложим с 3-м столбцом. В результате этих элементарных преобразований последовательно получаются матрицы:

~ ~ .

Не все миноры 2-го порядка равны 0, а значит rang (А) = 2.

§ 5. Решение систем линейных уравнений.

1. Формулы Крамера.

Теорема Крамера. Если определитель системы n линейных уравнений с n неизвестными отличен от нуля, то система имеет единственное решение, причём каждое неизвестное равно дроби, знаменателем которой служит определитель системы, а числителем, определитель, получаемый из знаменателя заменой столбца коэффициентов при определяемом неизвестном столбцом свободных членов.

2x+3y-z=5,

x+y+2z=7,

2x-y+z=1.

D=18. Dx=8, Dy=38, Dz= 40.

Замечание: 1. Если D<>0, то система имеет единственное решение;

2. Если D=0, то при Dx=Dy=Dz=0, то система имеет бесконечное множество решений (неопределённая), а при Dx<>0 или Dy<>0 или D<>0, то система не имеет решений (несовместна);

2. Метод Гаусса исключения неизвестных.

«Исключение неизвестных» означает построение равносильной системы линейных уравнений, имеющей ступенчатый вид, т. е. x1 может содержаться не более, чем в одном уравнении, х2 – не более чем в двух и т. д.

Пример 1.

x1 + 2х2 + 3х3 – 2х4 = 6,

2x1 – х2 – 2х3 – 3х4 = 8,

3x1 + 2х2 – х3 + 2х4 = 4,

2x1 – 3х2 + 2х3 + х4 = – 8. Ответ: (1, 2, –1, 2).

Пример 2.

x1 + 2х2 + 3х3 – 2х4 = 6,

2x1 – х2 – 2х3 – 3х4 = 8,

3x1 + 2х2 – х3 + 2х4 = 4,

5x1 + х2 – 3х3 – х4 = 14.

Ответ: (23 – 10,8х4, –4 – 3,4х4, 2х4+ 3, х4).

3. Матричная запись системы линейных уравнений.

Рассмотрим снова систему уравнений, имеющую основную матрицу А.

Используя правило умножения матриц, систему можно записать в эквивалентном матричном виде:

(*) А×Х = Н

Пусть определитель D матрицы А отличен от нуля. Тогда, система имеет единственное решение, которое находится по формулам Крамера.

Дадим теперь другую форму записи решения матричного уравнения (*). Для этого введем понятие обратной матрицы.

Обратной для матрицы А называется такая матрица (обозначе­ние А-1), которая удовлетворяет условиям

А-1×А=А×А-1= Е,

где Е — единичная матрица.

Если определитель D ¹ 0, то обратной для мат­рицы А является следующая матрица:

А-1 = ,

где, как и ранее, Аi, Вi, Сi – алгебраические дополнения соответ­ственно элементов ai, bi, ci ( i = 1, 2, 3).

Матрицы А и А-1 назы­ваются взаимнообратными.

Замечание. Если определитель матрицы А равен нулю (D = 0), то обратная матрица не существует.

Воспользуемся обратной матрицей для решения уравнения (*). Умножая уравнение слева на матрицу А-1, получаем

А-1×А×Х = А-1×Н

Так как А-1×А = Е, а Е×Х = X, то X = А-1×Н.

Пример. Решить систему уравнений

x + 2y + z = 1,

2x + y + z = – 1,

x + 3y + z = 2,

Имеем

A = , H = .

Определитель матрицы А D = 1 ¹ 0. Следовательно, матрица А имеет обратную. Находим А-1 = . Используя матрицу А-1 и равенство X = А-1×Н. получаем: = × = , откуда х = – 1, у = 1, z = 0.