Лабораторная работа 5
Уточнение корней уравнений методом итераций.
Цель работы. Уточнить корень алгебраического уравнения с заданной степенью точности, используя метод итераций, построить график сходимости и сравнить его с методом Ньютона.
Теоретические положения. Пусть дано уравнение
(1),
при этом известно, что в интервале 
есть один корень. Для его уточнения методом иераций с точностью 
преобразуем (1) в равно-сильное ему
(2).
Заметим, что в нашем случае, т. е. для уравнения
x3+Аx2+Bx+C = 0 (3)
эта задача может быть решена тремя способами (см. лекцию).
Согласно теории, из уравнения (2) можно образовать итерационный процесс, если 
(4)
для всех 
. В этом случае каждое последующее уточненное значение 
получается, если в правую часть (2) подставить предыдущее 
, т. е.
(5).
Процесс (5) следует продолжаеть до тех пор, пока не выполнится условие:
(6).
Порядок выполнения работы.
- переписать из лабораторной работы 4 исходные данные: уравнение (3) и два интервала изоляции 
и 
(один из них будет резервным),
- преобразовать уравнение (3) в три равносильные ему 
, 
и 
,
- найти три производные 
, 
и 
.
- выбор одной из трех функций вида (2) для образования итерационного процесса (5) выполняется следующим образом:
а) взяв , подставим туда 
и 
. Если процесс будет сходиться для 
, то должно выполняться условие (4) на обоих концах отрезка,
б) если (4) не выполняется, взять , подставить туда , и вновь проверить условие (4),
в) если условие (4) опять не выполняется, то взять функцию , сделать подстановку и , а затем проверку по формуле (4).
г) в случае любого выполнения пунктов а) – в), остановиться на соответствующей функции 
и записать вывод в следующем виде:
“ подходит уравнение (например) “
- взять в качестве начального приближения корня величину 
,
- выполнить в MathCad уточнение корня с точностью до в соответствии с алгоритмом (5), при этом на каждом шаге следует проверять условие (6),
- результаты уточнения занести в таблицу 
, где 
, где n – номер шага,
- сделать выводы по работе.
Варианты исходных данных. Исходные данные для расчетов :
- алгебраическое уравнение x3+Аx2+Bx+C = 0 из лабораторной работы 4,
- два найденных ранее интервала изоляции : и .
Пример расчета.
1. Цель работы: решить алгебраическое уравнение методом итераций, т. е.определить его корень 
с заданной погрешностью .
2. Исходные данные.
1) x3 - 0,240x2 - 1,329x + 0.433 = 0 ,
2) погрешность уточнения = 10-8 .
3) интервал уточнения корня 
[0.3 ;0.4] ,
3. Результаты расчетов:
1) Заменим уравнение f(x) = 0 равносильным ему уравнением x = 
2) Вычислим производные от функций .
3) Благоприятный результат подстановки границ интервала изоляции в производную, чтобы выполнялось условие: 
< 1,
из этого следует что процесс итераций будет сходящимся, т к на обоих концах интервала меньше 1. Таким образом, в качестве берем функцию
4) Возьмем за начальное приближение 
= 0.3
5) Критерий окончания счета.
D = xn+1 – xn < 10-8
6) Программа итерационного процесса в Mathcad.
7) Расчетная таблица
n | Xn | Dn |
0 | 0, | |
1 | 0, | 0, |
2 | 0, | 0, |
3 | 0, | 0, |
4 | 0, | 0, |
5 | 0, | 0, |
6 | 0, | 0, |
7 | 0, | 0, |
8 | 0, | 0, |
9 | 0, | 0, |
4.Вывод по работам №4 и №5: во время выполнения этой работы, я научилась находить корни алгебраических уравнений методом Ньютона и методом итераций. Оба способа имеют свои преимущества и недостатки. При решении различных алгебраических уравнений возможно использование любого из двух предложенных методов по желанию.
