Тема 11. Системы дифференциальных уравнений
11.1 Общие понятия. Теорема о существовании и единственности решения задачи Коши
Система вида 
(11.1)
где функция 
определена в некоторой (n+1)-мерной области D переменных 
называется нормальной системой n-дифференциальных уравнений первого порядка с неизвестными функциями 
.
Число уравнений, входящих в систему (11.1), называется ее порядком.
Решением системы (11.1) в интервале 
называется совокупность функций 
непрерывных дифференциальных в и обращающих вместе со своими производными каждое уравнение системы (11.1) в тождество.
Общим решением системы (11.1) называется совокупность n функций 
зависящих от n произвольных постоянных 
и удовлетворяющих следующим условиям:
1) функции 
определены в некоторой области изменения переменных 
и имеют непрерывные частные производные 
2) совокупность является решением системы (11.1) при любых значениях 
3)для любых начальных условий (11.2) из области D, где выполняются условия теоремы Коши, всегда найдутся единственные значения произвольных постоянных 
что будут справедливы равенства 
.
Задача Коши для системы (11.1) имеет следующую формулировку: найти решение системы (11.1), удовлетворяющее начальным условиям: 
(11.2)
где 
– заданные числа;
.
Частным решением системы (11.1) называется решение, полученное из общего при некоторых частных значениях произвольных постоянных 
.
Все выше указанное справедливо и для частного случая системы (11.1):
(11.3)
где 
непрерывные в (a;b) функции. Если 
то система (11.3) называется однородной, в противном случае – неоднородной.
Если 
то система (11.3) называется линейной с постоянными коэффициентами.
Существуют методы, позволяющие проинтегрировать систему (11.3).
11.2 Метод исключения
Метод исключения состоит в следующем. При выполнении некоторых условий всегда можно исключить все неизвестные функции, кроме одной, например, 
и получить для 
одно линейное неоднородное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами (при условии 
порядка n. Решив его, найти все остальные неизвестные функции 
с помощью операции дифференцирования.
Пример 11.1. Решить систему уравнений 
Выразим 
из первого уравнения системы: 
(11.4)
Для того, чтобы подставить полученное выражение во второе уравнение, необходимо найти 
Для этого дифференцируем (11.4) по переменной t: 
Подставляя последнее выражение для 
и (11.4) во второе уравнение исходной системы, получаем линейное однородное уравнение с постоянными коэффициентами второго порядка 
Его решением является 
Для нахождения подставляем полученное решение 
в (11.4), получаем 
Ответ: 
11.3 Метод Эйлера
Рассмотрим этот метод на пример системы (11.3) (
). Решение этой системы в виде фундаментальной системы решений: 
(11.5)
где 
Эта система имеет ненулевое решение, когда ее определитель равен нулю, т. е. уравнение вида 
(11.6)
называемое характеристическим.
Раскрывая определитель, получаем алгебраическое уравнение n-го порядка относительно 
с действительными постоянными коэффициентами, которое имеет n корней ( с учетом их кратности).
Возможны следующие случаи, когда корни характеристического уравнения (11.6) являются:
1) действительными и различными
2) комплексными и различными
3) действительными, среди которых есть кратные
4) комплексные, среди которых есть кратные.
Пример 11.2. Решить методом Эйлера систему 
Приведем исходную систему к следующему виду:
(11.7)
Решение этой системы будем искать в виде
. Подставим его в (11.7)
Сокращаем на 
(11.8)
Составляем характеристическое уравнение:
Замечание. Решения характеристического уравнения (11.6) являются собственными значениями, для каждого из которых строится собственный вектор.
Для 
система (11.8) имеет вид
Тогда 
Для 
система (11.8) имеет вид
. Тогда 
Общее решение исходной системы имеет вид
Задания для работы на семинаре:
Учебные материалы по курсу "Дифференциальные и разностные уравнения".
Составители:, , ~ М.: ВШЭ, 1996.
1) Стр. 124, № 000-812,
2) Стр. 125, № 000-845.
