К ВОПРОСУ СОВЕРШЕНСТВОВАНИЯ СОДЕРЖАНИЯ ЗАДАЧНОГО МАТЕРИАЛА ПРИ ИЗУЧЕНИИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ.
,
БГПУ, г. Барнаул.
Аннотация. В статье рассматриваются некоторые пути совершенствования содержательного аспекта задачного материала на разных этапах изучения дифференциальных уравнений в классах с углубленным изучением математики как средство повышения качества знаний учащихся.
Две из основных содержательных линий школьного курса математики (ШКМ), функциональная и линия уравнений, имеют многочисленные связи во многих темах. Доминирующей функцией таких связей является операционная, состоящая в использовании понятий, математических утверждений, алгоритмов, условно входящих в одну из этих теорий, как инструмента при решении задач, связанных с другой линией.
Качественно новая связь выделенных содержательных аспектов ШКМ прослеживается в теме “Дифференциальные уравнения”, где функция выступает как объект поиска решения определенного класса уравнений. Тем самым связь условия и требования таких задач детерминирует одностороннюю зависимость функционального компонента ШКМ от линии уравнений, качественно обогащая последнюю новыми понятиями, идеями, методами, алгоритмами, которые и составляют математическое содержание темы ”Дифференциальные уравнения”.
Содержательный аспект совершенствования математической подготовки учащихся при изучении этой темы на повышенном и углубленном уровнях изучения математики включает:
- основные понятия (дифференциального уравнения, общего и частного решения);
- способы интегрирования дифференциального уравнения с разделяющимися переменными, уравнения вида y(n)=f(x) и уравнения гармонических колебаний;
- метод математического моделирования при решении прикладных задач с применением дифференциальных уравнений.
Ядром этого содержания следует считать приложения теории дифференциальных уравнений для изучения различных явлений, а элементы этой теории - возможными средствами этого познания.
Таким образом, выделенное математическое содержание создает условия для развития представлений учащихся о математике как о цельной дисциплине общекультурного характера, методы которой плодотворно применяются для изучений явлений природы и общества.
Общеизвестны трудности усвоения темы ” Дифференциальные уравнения” даже хорошо подготовленными учащимися. К их объективным причинам мы относим:
- отсутствие аналогии дифференциальных уравнений с ранее изученными видами уравнений;
- недостаток опыта работы учащихся с функциями как объектами поиска;
- трудности междисциплинарного характера, связанные с переносом знаний из других областей при решении прикладных задач.
Многолетняя практика преподавания этой темы в гимназии №42 г. Барнаула позволяет высказать некоторые положения, способствующие более эффективной организации процесса обучения :
1)формирование представлений учащихся о дифференциальном уравнении, его решении следует начинать в темах "Производная", "Неопределенный интеграл";
2) в качестве возможного пути развития математического мышления учащихся и реального варианта предупреждения формализма знаний предлагается индуктивно-дедуктивный способ организации учебного материала темы с усилением роли задач и четким определением их функций на каждом этапе обучения;
3) развитие " модельного " мышления следует осуществлять поэтапно: а) в начале изучения темы через предъявление прикладных задач, не требующих перехода к задаче, решение которой предполагает равномерность процесса на некотором бесконечно малом отрезке;
б) в процессе (в большей мере, на заключительном этапе) формирования умений решать дифференциальные уравнения выделенных видов.
Остановимся на возможных путях совершенствования содержательного и методического аспектов задачного материала на различных этапах изучения дифференциальных уравнений как средстве повышения качества знаний учащихся.
1.Высокий уровень абстрактности основных понятий теории дифференциальных уравнений, отсутствие в жизненной практике учащихся моделей процессов, описываемых дифференциальными уравнениями и, наконец, недостаток времени для полноценного изучения темы "Дифференциальные уравнения" обусловливают особую значимость этапа усвоения понятий, на котором формируются интуитивные представления об объекте.
Первичная пропедевтика основных понятий теории дифференциальных уравнений возможна в темах "Производная" и "Неопределенный интеграл". Для этого систему заданий, дидактической целью которых является формирование техники дифференцирования, в том числе и повторного, целесообразно расширить серией задач следующего типа:
Убедитесь, что функция (ии) удовлетворяют соотношению.
a). 
б)
в)
 |  |
При выполнении этих упражнений полезно:
-ввести термины "дифференциальное уравнение", "решение дифференциального уравнения";
-обратить внимание учащихся на факт совпадения числа произвольных действительных постоянных в аналитической записи функций в примерах б),в) с наибольшим порядком производной, входящей в соотношение(уравнение), что закладывает интуитивные представления об общем решении дифференциального уравнения;
- предложить учащимся составить аналогичную задачу, если соотношение(дифференциальное уравнение) уже задано, например,
(на этом этапе, как правило, задание непосильно учащимся), что способствует формированию представлений о постановке задачи решения дифференциального уравнения.
Подобного рода задачи целесообразно предъявлять учащимся на этапе закрепления техники дифференцирования, когда сформированы основные навыки нахождения производной.
Функции этих задач (закрепление основ теории по теме "Производная", первичная подготовка к введению определений основных понятий теории дифференциальных уравнений) по усмотрению учителя могут быть расширены включением серии задач, реализующих функцию внутрипредметных связей, решение которых предполагает достаточно сложные тождественные преобразования.
Введенная терминология позволяет в теме "Неопределенный интеграл" рассматривать первообразную для функции f на промежутке Х после традиционного определения [1,с.7]как функцию F, удовлетворяющую на этом промежутке соотношению(дифференциальному уравнению)F'(x)=f(x).
Установленную связь множества первообразных(неопределенного интеграла)для функции f с решением некоторого дифференциального уравнения следует закрепить посредством задач. Для этого рекомендуем не ограничиваться задачей 2 [1,с.10], где требуется убедиться, что функция F является первообразной для f, а при нахождении неопределенных интегралов результаты иногда проверять дифференцированием.
2. Включение в систему задач, реализующую функции обоснования целесообразности введения нового понятия, подготовки к его введению, задач, удовлетворяющих требованиям:
- прикладной направленности преподавания математики;
- достаточности знаний учащихся не только для моделирования реальных процессов с помощью дифференциальных уравнений, но и для внутримодельного решения этих задач
создает условия для выявления существенных признаков понятий "дифференциальное уравнение", "общее решение ", "частное решение ", "начальные условия".
Выделенным требованиям удовлетворяют прикладные задачи, связанные с мгновенной скоростью, ускорением неравномерно движущейся материальной точки; с геометрическим смыслом производной, которые приводят к дифференциальным уравнениям вида y'=f(x).
Примером такой задачи является следующая :
Найдите путь S, пройденный за время t материальной точкой, движущейся прямолинейно со скоростью V(t)=t2,если известно, что S(0)=0.
Решение задач этой серии с геометрическим содержанием должно, на наш взгляд, заканчиваться графическим представлением решения, что способствует формированию мышления учащихся, направленного на системное представление информации с помощью различных языков.
3.Для иллюстрации и закрепления определений основных понятий теории дифференциальных уравнений целесообразно дополнить систему упражнений, предложенную в учебном пособии [1,c.22-23], задачами, способствующими формированию существенных признаков общего решения дифференциального уравнения первого порядка. В качестве примера можно рекомендовать упражнение:
Докажите, что функция
 |
ÎR является общим решением дифференциального уравнения
 |
Полноту задачного материала, закрепляющего изучаемые методы интегрирования дифференциальных уравнений, обеспечивают серии задач на нахождение общего и частного решений дифференциальных уравнений с разделяющимися переменными y'=f(x)*g(x) и уравнений вида y(n)=f(x).
Формирование целостного представления о методе интегрирования уравнений с разделяющимися переменными целесообразно начать с рассмотрения уравнений видов y'=f(x), y'=g(y).При этом представляется полезным отыскание общего решения уравнения
Y'=kx, k Î R,
являющегося математической моделью многих реальных процессов, и принятие полученного результата на уровне теоретического положения, что позволяет значительно экономить учебное время при решении задач на составление дифференциальных уравнений.
Задачи на нахождение общего решения дифференциального уравнения гармонических колебаний позволяют не только иллюстрировать доказанную в теории формулу общего решения уравнения
X''+w2x=0, но и подготовить учащихся, дальнейшее обучение которых в ВУЗе будет связано с математикой, к строгому введению понятия общего решения дифференциального уравнения высшего порядка. Однако репродуктивный характер деятельности учащихся при решении таких задач обусловливает незначительный объем заданного материала, предлагаемого учащимся.
4.Сформированность навыков решения некоторых типов дифференциальных уравнений позволяет на заключительном этапе изучения темы усложнить систему задач на составление дифференциальных уравнений в части, связанной с получением математической модели процесса. С этой целью рекомендуются задачи, описывающие процессы и явления, дифференциальные уравнения которых можно составить, рассматривая этот процесс на бесконечно малом отрезке с последующим предельным переходом.
В заключении отметим, что предлагаемое пополнение задачного материала будет способствовать формированию прочных знаний учащихся при условии рационального отбора форм, методов, приемов обучения.
Литература.
1.Алгебра и математический анализ для 11 класса:Учебн. пособие для учащихся шк. и классов с углубл. изуч. курса математики/ идр.-2-е изд.-М.:Просвещение1990.-288с.
