Наименование дисциплины: Классические модели теории приближений
Направление подготовки: 010400 Прикладная математика и информатика
Профиль подготовки: Математическое моделирование и вычислительная математика
Квалификация (степень) выпускника: бакалавр
Форма обучения: очная
Автор: к. ф-м. н., доцент, зав. кафедрой теории функций и функционального анализа
.
1. Дисциплина «Классические модели теории приближения» обеспечивает приобретение знаний и умений в соответствии с государственным образовательным стандартом, содействует формированию мировоззрения математика-прикладника и обеспечивает приобретение специальных знаний в рамках направления «Численные методы».
Целью преподавания дисциплины является ознакомление слушателей с основными понятиями, результатами и методами теории приближения, а также подготовка студентов к изучению других специальных дисциплин.
В процессе обучения студенты должны усвоить методику постановки и решения классических и современных задач теории приближения, внутреннюю логику, связывающую теорию приближения и другие дисциплины (математический анализ, функциональный анализ, алгебра, аналитическая геометрия, численные методы, дискретная математика, информатика) приобрести навыки исследования и решения конкретных задач.
2. Дисциплина входит в вариативную часть профессионального цикла. Знания, умения и навыки, полученные при изучении дисциплины «Классические модели теории приближения», используются студентами в процессе изучения специальных дисциплин, а также в ходе выполнения курсовых и выпускных квалификационных работ.
3. В результате освоения дисциплины обучающийся должен:
Знать:
- основные понятия и результаты теории приближения;
- методы решения важнейших задач;
Уметь:
- реализовывать основные способы и алгоритмы решения задач;
- применять понятия, результаты и методы теории приближения в других разделах математики
- использовать компьютер в решении конкретных задач теории приближения
Владеть:
математическим аппаратом теории приближения, методами решения и доказательства утверждений в этой области.
4. Общая трудоемкость дисциплины составляет 5 зачетных единиц, 180 часов.
5. Содержание дисциплины:
№ п/п | Раздел дисциплины |
1 | Введение Предмет и задачи теории приближения. Цели, объекты и средства приближения. Измерение точности. Основные исторические этапы и творцы теории приближения. |
2 | Наилучшее приближение. Наилучшее приближение и его свойства. Ключевые вопросы теории наилучшего приближения. Проектор. Неравенство Лебега. Существование и единственность элемента наилучшего приближения. Формулы двойственности. |
3 | Некоторые классические результаты теории приближения. Круг идей . Задачи Чебышева о тригонометрическом и алгебраическом многочленах. Многочлены Чебышева и их свойства. Теорема Мюнца. Многочлены Лежандра. Теорема Вейерштрасса. Доказательства Лебега и Бернштейна. Многочлены Бернштейна. Теорема Шнирельмана. Критерий элемента наилучшего приближения в C(K). Единственность элемента наилучшего приближения. Теорема Чебышева об альтернансе. Понятие об алгоритме Ремеза. |
4 | Аппроксимация рациональными функциями. Теорема Ньюмена. Методы рациональной аппроксимации. Аппроксимации Паде и их свойства. |
5 | Интерполяция – часть 1. Число нулей и задача интерполяции. Интерполяция алгебраическими и тригонометрическими многочленами. Формулы Лагранжа. Задача Эрмита. Одномерные интерполяционные проекторы и их оценки. Преимущества узлов Чебышёва. Теорема Фабера. Пример Рунге. |
6 | Интерполяция – часть 2. Задачи двумерной интерполяции алгебраическими многочленами. Аналоги формул Лагранжа. Норма проектора. Линейная и квадратичная интерполяция на квадрате. Оптимальный выбор узлов на плоском множестве. Интерполяция рациональными функциями. Интерполяция сплайнами. Параболические и кубические интерполяционные сплайны и их оценки. Методы кусочно-полиномиальной интерполяции функций двух и трех переменных. |
7 | Приближение в гильбертовом пространстве. Гильбертово пространство. Ортогонализация Грама – Шмидта. Неравенство Бесселя. Критерий элемента наилучшего приближения с помощью конечномерного подпространства. Ряд Фурье. Равенство Парсеваля. Полные ортонормированные системы и их различные характеризации. |
8 | Ортогональные многочлены. Пространство L2w[a, b]. Общие свойства ортогональных многочленов. Формула Кристоффеля – Дарбу. Оценки функций и констант Лебега и сходимость рядов Фурье. Многочлены Якоби. Ультрасферические многочлены. Оценки постоянной Лебега для многочленов Чебышёва и Лежандра. Свойства рядов Чебышёва. Семейства многочленов, ортогональных с весом на полупрямой и прямой. Ортогональные многочлены двух переменных. |
9 | Модули непрерывности и теоремы о скорости кусочно-полиномиальной аппроксимации. Модули непрерывности 1 порядка и их свойства. Классы функций, задаваемые модулямнепрерывности 1 порядка. Условия Липшица и Дини – Липшица. Модули непрерывности порядка k. Критерий предкомпактности в терминах –го модуля непрерывности. Теорема Уитни. Константы Уитни, их оценки. Аналоги теоремы Уитни. Теоремы о скорости кусочно-полиномиальной и сплайн-аппроксимации. |
6.Учебно-методическое и информационное обеспечение дисциплины:
а) основная литература:
б) дополнительная литература:
1. Ахиезер по теории аппроксимации. М.: «Наука»,19с.
2. Брудный приближения. Ярославль, 19с.
3. , Горин задачи теории наилучшего приближения. Ярославль, 19с.
4. , Иродова теория приближения. Ярославль, 19с.
5. , Шалашов сплайнов. Ярославль, 19с.
6. , Иродова вопросы теории приближения функций. Ярославль, 19с.
7. Даугавет в теорию приближения функций. Л.:Изд-во ЛГУ, 19c.
8. Де Практическое руководство по сплайнам. М.: «Радио и связь», 19с.
9. Корнейчук константы в теории приближения. М.: «Наука», 19с.
10. Вычислительные применения многочленов и рядов Чебышева. М.: «Наука», 19с.
11. , Субботин в вычислительной математике. М.: «Наука», 19с.
12. Суетин многочлены по двум переменным. М.: «Наука», 19с.
13. , Петрак функций. Сжатие численной информации. Приложения. Екатеринбург, 19с.
14. Бейкер Дж., Грейвс- Аппроксимации Паде. М.: «Мир», 19с.
