Открытый урок на тему: «Применение производной к исследованию функции». Использование возможностей OS Linux и графопостроителя «KmPlot»

Министерство Образования и Науки Российской Федерации.

Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение

«средняя общеобразовательная школа № 1 пгт Шкотово»

Открытый урок на тему:

«Применение производной к исследованию функции».

Использование возможностей OS Linux и графопостроителя «KmPlot».

Исполнитель : учитель информатики и математики

Остапенко

Тамара Владимировна

п. г.т. Шкотово

2012 год.

ББК – 74.26

Методическая разработка «Применение производной к исследованию функции».

Использование возможностей OS Linux и графопостроителя «KmPlot». (МО математики, информатики и физики). / – МБОУ «СОШ №1 п. г.т. Шкотово», 2012. – 12с.

 

Материалы методической разработки «Применение производной к исследованию функции». Использование возможностей OS Linux и графопостроителя «KmPlot». представлены в виде теоретического и практического блоков.

Разработка полностью автономна, может быть полезна учителям математики и информатики.

Адрес:

692815 Приморский край" href="/text/category/primorskij_kraj/" rel="bookmark">Приморский край,

Шкотовский район,

пгт Шкотово,

улица Советская, дом 45

МБОУ «СОШ №1 п. г.т. Шкотово»

e-mail: *****@***ru

http://school. *****

Оглавление

Введение......................................................................................................................................... 4

Цель урока:..................................................................................................................................... 4

Задачи:............................................................................................................................................ 4

Оборудование:............................................................................................................................... 4

План урока:.................................................................................................................................... 4

Опрос:............................................................................................................................................. 5

Тема урока: .................................................................................................................................... 5

Работа с графопостроителем KmPlot для исследования функций........................................... 7

Исследование функции: f(x)=-x3+3x-2.............................................................................. 7

Исследование функции: f(x)=x2 -2x+8.............................................................................. 8

Исследование функции: f(x)=x4-2x-3................................................................................ 9

Задание В11 демоверсии ЕГЭ :........................................................................................ 10

Проверка работы учащихся, выставление оценок................................................................... 11

Введение

Работа посвящена теме «Применение производной к исследованию функции», которая изучается в общеобразовательном учреждении учениками 10 классов на уроке математики. Предлагается исследовать функцию с применением производной и графопостроителя OS Linux KmPlot. На графопостроителе KmPlot выводится график функции и график её производной. Затем по схеме производится анализ функции с использованием графика её производной. Данный метод характеризуется наглядностью и возможностью лучше понять тему учениками. Формируется полное представление о зависимости графика функции и графика её производной при анализе функции. Производится анализ задания А11 из демонстрационной версии ЕГЭ-2010. Ставится задача выполнить задание и проанализировать ход решения задания, используя график функции и график её производной. На графике наглядно показана связь между нулями производно и экстремумом функции на заданном отрезке.

Цель урока:

Произвести исследование функции с использованием её графика и графика её производной и применением графопостроителя KmPlot для вывода графика функции и графика её производной на экран монитора компьютера.

Задачи:

Используя график функции и график её производной, определить промежутки её возрастания и убывания, определить критические точки функции.

Оборудование:

Компьютерный класс на 13 ПК и мультимедийный монитор на ПК учителя. Операционная система Linux. Приложение “графопостроитель математических функций KmPlot”.

План урока:

1.  Опрос по теме прошлого урока.

2.  Ознакомить класс с целью и задачей урока (мотивация).

3.  Раскрыть тему урока.

4.  Выполнить исследование заданной функции у доски и применить схему для исследования функции с использованием производной.

5.  Выполнить задание А11 из демонстрационной версии ЕГЭ-2010.

Весь класс садится на компьютеры и выполняет задание в графопостроителе KmPlot OS Linux.

7.  Проверка работы учащихся, выставление оценок.

8.  Анализ урока, достигнута ли цель урока, что нового узнали и чему научились за урок.

1.

Опрос:

1.  Перечислить признаки возрастания и убывания функции?

(Если f’(x)>0 в каждой точке интервала, то функция f(x) возрастает. Если f’(x)<0 в каждой точке интервала, то функция f(x) убывает).

2.  Какие точки функции называются критическими? (Внутренние точки области определения функции, в которых её производная равна 0 или не существует)

Схема исследования функции с использованием её производной.

2.

Тема урока:

«Исследование функции с использованием её производной в графопостроителе KmPlot».

Используя графический редактор, мы имеем возможность наглядно увидеть одновременно график функции и график её производной. При вводе формулы функции для графопостроителя мы используем знания, полученные на уроке информатики при изучении языка программирования Pascal.

Сначала выполним в тетради задания по исследованию функций с использованием производной:

1.  Рассмотрим функцию f(x)=-x 3+3x-2.

Возьмём её производную f'(x)=-3x2+3.

Приравняем нулю. -3x 2+3=0 x 2=1 x=1 x=-1

x	(-∞; -1)	-1	(-1; 1)	1	(1;+∞)
f'(x)	-	0	+	0	-
f(x)		-4		0

2.  Рассмотрим функцию f(x)=x2 -2x+8.

Возьмём её производную f'(x)=2x-2.

Приравняем нулю. 2x-2=0 x=1

 

x	(-∞; -1)	1	(1;+∞)
f'(x)	-	0	+
f(x)		7

3.  Рассмотрим функцию f(x)=x4-2x-3.

Возьмём её производную f'(x)=4x3-4x.

Приравняем нулю. 4x3-4x =0 4x(x2-1)=0 x=0 x=-1 x=1

x	(-∞; -1)	-1	(-1; 0)	0	(0;1)	1	(1;+∞)
f'(x)	-	0	+	0	-	0	+
f(x)		0		-3		4

4.  Задание В11 демоверсии ЕГЭ 2010:

Найдите наибольшее значение функции f(x)=2cos(x) + 3 ½ x – 3 ½ π/3 на отрезке [0;π/2]:

1. f(x)=2cos(x) + 3 ½ x – 3 ½ π/3.

2.  Возьмём её производную f'(x)=-2sin(x)+ 3 ½.

3.  Приравняем её нулю -2sin(x)+ 3 ½=0

4.  sin(x)= 3 ½ / 2 . На отрезке [0;π/2] x= π/3 x = 3.14/3=1

5.  Определим значение функции в точке π/3

6.  f(π/3)=2cos(π/3) + 3 ½ π/3 – 3 ½ π/3= 2* 0.5 =1

7.  Ответ: 1

Работа с графопостроителем KmPlot для исследования функций.

Исследование функции: f(x)=-x3+3x-2

Возьмём её производную f'(x)=-3x2+3.

Введём формулу функции -x^3+3*x-2 и её производной -x^2+3 в графопостроитель и

получим графики функции и график её производной.

f(x)=-x3+3x-2. f'(x)=-3x2+3

Слева представлен график исходной функции, справа график её производной. На графике производной мы видим, что производная пересекает ось Х в точках х=1 и х=-1.

Это значит, что функция имеет две точки экстремума:

·  в точке х = -1 минимум (производная меняет знак с – на +),

·  в точке х = 1 максимум (производная меняет знак с + на -).

Производная положительная в интервале от х=-1 до х=1, это значит, что исходная функция на этом промежутке возрастает, что видно из графика слева.

Производная отрицательная на промежутках (-∞; -1) и (1;+∞), это значит, что функция убывает на этих промежутках.

Исследование функции: f(x)=x2 -2x+8.

Возьмём её производную f'(x)=2x-2.

Введём формулу функции x^2-2*x+8 и её производной 2*x-2 в графопостроитель и

получим графики функции и график её производной.

f(x)=x2 -2x+8 f'(x)=2x-2

Слева представлен график функции, справа график её производной.

На графике производной мы видим, что производная пересекает ось Х в точке х=1 .

Это значит, что функция имеет одну точку экстремума:

·  в точке х = 1 минимум (производная меняет знак с – на +).

Производная положительная в интервале от (1; +ꝏ), это значит, что исходная функция на этом промежутке возрастает, что видно из графика слева.

Производная отрицательная на промежутке (-∞; 1) это значит, что функция убывает на этом промежутке, что видно из графика слева.

Исследование функции: f(x)=x4-2x-3.

Возьмём её производную f'(x)=4x3-4x.

Введём формулу функции x^4-2*x^2-3 и её производной 4*x^3-4*x в графопостроитель и

получим графики функции и график её производной.

f(x)=x4-2x-3 f'(x)=4x3-4x

Слева представлен график функции, справа график её производной.

На графике производной мы видим, что производная пересекает ось Х в точках х=-1, x=0 и х=1.

Это значит, что функция имеет три точки экстремума:

·  в точке х = -1 минимум (производная меняет знак с – на +),

·  в точке х = 0 максимум (производная меняет знак с + на -),

·  в точке х = -1 минимум (производная меняет знак с – на +).

Производная положительная в интервалах (-1;0) и (1;+∞), это значит, что исходная функция на этих промежутках возрастает, что видно из графика слева.

Производная отрицательная на промежутках (-∞; -1) и (0;1), это значит, что функция убывает на этих промежутках, что видно из графика слева.

Задание В11 демоверсии ЕГЭ :

Найдите наибольшее значение функции f(x)=2cos(x) + 3 ½ x – 3 ½ π/3 на отрезке [0;π/2]:

f(x)=2cos(x) + 3 ½ x – 3 ½ π/3.

1.  Возьмём её производную f'(x)=-2sin(x)+ 3 ½.

2.  Приравняем её нулю -2sin(x)+ 3 ½=0

3.  sin(x)= 3 ½ / 2 . На отрезке [0;π/2] x= π/3 x = 3.14/3=1

4.  Определим значение функции в точке π/3

f(π/3)=2cos(π/3) + 3 ½ π/3 – 3 ½ π/3= 2* 0.5 =1

Ответ: 1

Введём формулу функции 2*cos(x) + sqrt(3)*x – sqrt(3)* π/3 и её производной

-2*sin(x)+ sqrt(3) в графопостроитель и получим графики функции и график её производной.

На рисунке изображены график функции и график её производной (жирным).

На отрезке [0;π/2] ([0;1.57]) производная пересекает ось X в точке x= π/3 (x = 3.14/3=1).

Видно, что в этой точке функция имеет наибольшее значение на заданном отрезке (экстремум).

Используя возможности графопостроителя KmPlot, мы наглядно решили и проанализировали задание А11 демонстрационной версии ЕГЭ-2010. Это позволяет уверенней решать и другие задания по теме исследования функции с использованием её производной.

Проверка работы учащихся, выставление оценок.

Анализ урока, достигнута ли цель урока, что нового узнали и чему научились за урок.

В начале урока мы ставили цель:

Произвести исследование функции с использованием её графика и графика её производной и применением графопостроителя KmPlot для вывода графика функции и графика её производной на экран монитора компьютера.

Задачи:

Используя график функции и график её производной, определить промежутки её возрастания и убывания, определить критические точки функции.

Теорию и представление об алгоритме мы получили.

Мы сначала самостоятельно решили 4 задания, в том числе задание В11 ЕГЭ.

Затем сделали анализ решения каждого задания и разработали алгоритм для графопостроителя KmPlot. Каждый ученик смог сам воспользоваться графопостроителем KmPlot для полученного задания. Тем самым мы теорию подтвердили практикой и закрепили полученные знания применения производной для исследования функции.

Навык решения задания В11 ЕГЭ приобретён в полном объёме, что подтверждено практическим выполнением задания в графопостроителе KmPlot OS Linux на компьютерах класса.

Цель достигнута, задача выполнена.

Список использованых источников:

, ,

Учебник для 10-11 классов средней школы «Алгебра и начала анализа»