Расчет поверхностных теплообменников рекуперативного типа по уравнениям вязкой гидродинамики с оптимизацией параметров

РАСЧЕТ ПОВЕРХНОСТНЫХ ТЕПЛООБМЕННИКОВ РЕКУПЕРАТИВНОГО ТИПА ПО УРАВНЕНИЯМ ВЯЗКОЙ ГИДРОДИНАМИКИ С ОПТИМИЗАЦИЕЙ ПАРАМЕТРОВ

(г. Омск, Омский филиал Института математики СО РАН)

В докладе рассматриваются результаты численного моделирования течений вязкой жидкости в поверхностном теплообменнике прямоточного и противоточного типов с пакетом многослойных периодических плоско-параллельных стенок и с заданным расходом теплонесущих жидкостей при варьировании расстояния между стенками. Поставлена модельная задача с цикличной расчетной областью в двумерной постановке, и проведен численный расчет течений вязкой несжимаемой жидкости в ламинарном и турбулентном случаях с определением поля температур при разных характеристиках конструкции (ширина, длина, теплопроводность) для двух расходных режимов. Получена картина распределения выходных мощностей теплообмена при разных параметрах жидкости и теплопроводных стенок с реально существующими значениями (вязкость, плотность, теплопроводность, теплоемкость). Выявлено поведение возрастания мощности с изменением ширины каналов в ламинарном и турбулентном течениях. При этом уменьшение ширины каналов может быть ограничено динамическими пределами конструкции и перепадов давления. Количественно оценено преимущество противоточных теплообменников перед прямоточными при одинаковом конструктивном исполнении.

В расчете характеристик теплообменников в основном применяются упрощенные уравнения динамики с осредненными величинами. Наиболее полное моделирование теплофизических процессов требует применения сложных математических и численных моделей гидродинамики. Практическое применение этих моделей в свою очередь может осложняться конфигураций областей течения. В данной работе рассматривается расчет параметров теплообмена для жидкостных теплообменников по уравнениям Навье-Стокса и Рейнольдса с применением для них экономичных разностных схем (см.[1-2]).

По разработанному комплексу программ проводится численное моделирование течений вязких жидкостей в поверхностных теплообменниках прямоточного и противоточного типа при некоторых заданных параметрах и конструктивных ограничениях. Рассматривается случай многослойных теплообменников с заданными плоско-параллельными стенками и заданными расходами теплонесущих жидкостей. При заданной толщине стенок и длине каналов и при заданном расходе жидкостей можно поварьировать расстояниями между стенками. Для разных режимов течения в таких теплообменниках можно определить оптимальные параметры по мощности теплообмена между потоками теплоносителей, которые могут быть ламинарными или турбулентными, и исследовать их эффективность.

Постановка задачи. При численном моделировании будем полагать, что перемежающиеся каналы с нагревающейся и охлаждающейся жидкостями обладают циклической симметрией. А также, ввиду наличия одной сравнительно большой ширины вдоль стенок теплового взаимодействия, можно сделать допущение подобия по этому пространственному направлению, и рассмотреть двумерную задачу с циклическими граничными условиями.

Рис.1.

Приходим к следующей начально-краевой задаче течения теплопроводной вязкой несжимаемой жидкости в двух прямоугольных каналах с перегородкой W0 толщины S0 и длины L0 в двумерной постановке в переменных "компоненты скорости - давление". При этом заданы расходы жидкостей Q1 и Q2 в каналах W1 и W2, соответственно, имеющих ширину S1 и S2 (см. рис.1). Для перегородки и жидкостей заданы все термодинамические параметры: ρi –плотности сред, νi – кинематические вязкости жидкостей, Cpi – объемные теплоемкости сред, λi – коэффициенты температуропроводности соответствующих сред.

Для такой задачи в каждом из каналов используем безразмерные уравнения Рейнольдса (Навье-Стокса), которые имеют с некоторым упрощением уравнение теплопроводности после пренебрежения вязкими трениями и которые с нестационарными составляющими , представимы в следующем безразмерном виде:

(1)

(2)

(3)

где V = (u, v) - вектор скорости, p – давление, ν* = νt +1/Re – общая безразмерная вязкость, νt – турбулентная вязкость, Re = Q/ν – число Рейнольдса, Pr = νCpρ/κ – число Прандтля, κ = λCpρ – коэффициент теплопроводности.

Для расчета турбулентной вязкости νt при развитом турбулентном режиме можно воспользоваться моделью по гипотезе Прандтля в виде:

νt = min( νt1 , νt2 ) , (4)

где νt1 = l2dU/dn, l = 0.4 y(1-exp(-y+/26)) – величина смешения Прандтля, n – координата по нормали к стенке, U – касательная составляющая скорости вблизи стенки, y+= u*y , u* = │τω│0.5 - динамическая скорость, соответствующая универсальному закону распределения скорости для сдвиговых течений в развитом слое турбулентности ( U(y) = 2.44 u*ln(y Re u*)+ 4.9 u* ) и скорости в вязком подслое ( U(y) = y Re(u*)2 );

νt2 = 0.0168 Uδ δ*, Uδ - касательная скорость на краю погранслоя при y = δ, δ*- толщина вытеснения скорости в погранслое ( ∫(1-U(y)/ Uδ ))dy).

Для области W0 достаточно использовать уравнение (2) с отсутствующей конвективной составляющей. Для обезразмеривания уравнений в трех областях достаточно использовать характерные величины первого канала - Q1, S1, ν1, ρ1,Cp1, λ1. В области определения решения (x, y) (0.0, Lx) x (0.0, Ly) = W ставятся следующие стационарные граничные условия:

(5) (6)

(7)

или для противоточного варианта теплообменника:

(8)

В начале и в конце области W0 для T ставятся еще следующие необходимые условия:

(9)

При этом на боковых границах W0 для T используются сопряженные условия (4).

Начальные состояния поля скоростей, температуры и поля давления в момент времени t = 0 с целью эволюционного их моделирования на интервале [0,t*], предполагая возможный выход решения на стационарный режим в момент времени t*, берутся по заданным значениям на входах в каналы. Для области W0 начальное значение T можно взять равнораспределенным между начальными температурами жидкостей в каналах, а именно в виде:

T(x, y)= (T1 (y2-y)+T2(y-y1)/(y2-y1). (10)

Для однозначного определения давления его достаточно задавать в одной точке как для канала 1, так и для канала 2 в расчетной области W при всех значениях , например,: p(0,Lx) = p1, p(y3,Lx) = p2. При этом уравнение (3) для использования его в определении поля давления обычно дополняют эволюционным членом в следующем виде:

(11)

где > 0 - параметр, оптимально выбираемый при численных расчетах для сходимости решения и приближения уравнения (11) к уравнению (3).

Конечно-разностные методы решения. Для численного решения уравнений (1)-(3) в области W, имеющей форму квадрата, строилась регулярная сетка с равномерными шагами и (, - количество узлов по координатам x и y) и применялся один из экономичных конечно-разностных методов.

Для расчета в уравнениях (1-2) конвективно-диффузионных членов бралась схема стабилизирующей поправки [3] в следующем виде с итерационным шагом по времени :

(12)

(13)

где

(14)

(15)

Операторы (14) брались с коэффициентами (15) для повышения устойчивости численного расчета и равномерной сходимости по малому параметру при старших производных. При этом оператор рассматривается как сумма операторов .

Аппроксимация по пространственным координатам в выше рассмотренных операторах составляет порядок, не превышающий 2 (), а аппроксимация градиента давления (в (12)) и дивергенции скорости в (11) бралась с четвертым порядком в следующем виде (при учете стационарности задачи):

(16)

для которого аппроксимация третьих производных по x и y от давления и

бралась со вторым порядком на компактном шаблоне после проведения замены

(17)

(18)

(19)

при аппроксимации в узлах с индексами (i, j), i=1,..., - 1, j=1,..., - 1.

Для расчета давления уравнение (11) заменяется на следующее в виде

(20)

в котором дивергенция скорости заменялась по (19), и производился дополнительный расчет давления на всех границах по стационарной части уравнения (1) со 2-м порядком аппроксимации. Вблизи границ в дополнительных узах на расстоянии полшага от стенок использовались аналоги условия Тома для производных от компонент скорости и значений их в виде:

(21)

На каждой n+1-й итерации по времени производились установление давления по (20) и подправка по (12)-(13) отдельным итерационным процессом с k = 0, 1,..., (), что является достаточным при оптимальном выборе параметра , значение которого в большей степени зависит от величин ,и в меньшей от числа Re или . Расчет производился до выполнения условия .

Результаты расчетов. Для рассмотренной выше задачи ниже приводятся результаты расчетов с применением выше описанной конечно-разностной схемы (12)-(21) на прямоугольной сетке в области W. Были использованы сетки с =80 и = 20, 40, 80 (сетки 1,2,3). В расчетах было выбрано два варианта расхода жидкостей через выделенные каналы ( Q1 = Q2 = 0,01 и 0,1 м2/c), соответствующих числам Рейнольдса Re = 104 и 105, с численной реализацией двух режимов течения, ламинарного и турбулентного. При этом во втором канале направление потока Q2 бралось как в положительном направлении, так и в отрицательном (случай противоточного теплообменника). Область моделирования бралась со следующими размерными (в системе СИ): Lx=8 и 2,S0 = 0,02, а размеры каналов по высоте S1 и S2 варьировались от 0,0025 до 0,09, что приводило к изменению скоростей жидкости в каналах. Другие параметры были взяты со следующими значениями: ν1 = ν2 = 10-6, ρ0 = 7870, ρ1 = ρ2 = 1000, Cp0 = 452, Cp1 = Cp2 = 4182, λ0 = 2.06∙10-5, λ1 = λ2 = 1.506∙10-7,T1 = 100, T2 = 20. Для области W0, как перегородки, в случае ухудшения теплопроводных свойств из-за каких-либо причин, амортизационных или нанесения покрытий с плохой теплопроводностью, было рассмотрено два дополнительных значения параметра λ0 в виде λ01 = λ0/10, λ02 = λ0/100.

Расчеты проводились при оптимальном итерационный шаге из интервала от 0.0002 до 0.005 согласно выражению = 0.6 до установления к стационарному решению с расчетным временем t = ( 0.05 0.5 ) Re.

На рисунках 2 и 3 показаны картины течений с изолиниями температур, характерных для прямоточного и противоточного теплообменника (случай расчета ламинарного и турбулентного течения на сетке 3 с Q1,2 = 0,01 и 0,1 при S1 = S2 = 0,04, λ0 =2.06∙10-7и 2.06∙10-5).

Рис.2. Q1,2 = 0.01, P = 1.16∙106(Дж/с). Рис.3. Q1,2 = 0.1, P = 2.73∙106(Дж/с), турбулентность.

В таблицах 1-3 приведены результаты расчетов мощности теплообмена P между потоками, выражающейся как интегральная величина от U(y)∙y∙ρ∙Cp∙∆T и представляющая приобретаемую тепловую энергию вторым потоком от первого за единицу времени по всей длине канала (Дж/с∙10-6) в случае противоточного и прямоточного обмена. Рассмотрены варианты расчетов с ламинарным режимом течения и с развитым турбулентным при разных числах Re (104 и 105)и теплопроводности перегородки ( λ0 , λ01, λ02).

Параметры расчета для длинного канала при турбулентности, Lx = 8	Ширина каналов S1 и S2
Противоточный обмен	Прямоточный обмен
0.09	0.04	0.015	0.0025	0.09	0.04	0.015	0.0025
ν* =νt +1/Re, Re = 105, λ02	2.46	2.73	2.65	2.14	2.45	2.72	2.64	2.13
ν* =νt +1/Re, Re = 105, λ01	-	-	14.08	-	-	-	12.91	-
ν* =νt +1/Re, Re = 105, λ0	14.13	19.73	24.65	27.074	12.16	15.47	16.65	16.69
ν* =νt +1/Re, Re = 104, λ02	2.12	2.33	2.56	2.84	1.65	1.67	1.67	1.67
ν* =νt +1/Re, Re = 104, λ01	-	-	2.99	-	-	-	1.67	-
ν* =νt +1/Re, Re = 104, λ0	-	-	3.05	-	-	-	1.67	-

Таблица 1. Мощность теплообмена P(Дж/с∙10-6) при турбулентном режиме течения.

Параметры расчета для длинного канала при ламинарном теч.,Lx=8	Ширина каналов S1 и S2
Противоточный обмен	Прямоточный обмен
0.09	0.04	0.015	0.0025	0.09	0.04	0.015	0.0025
ν* =1/Re, Re = 105, λ02	0.230	0.333	0.418	0.500	0.232	0.334	0.419	0.502
ν* =1/Re, Re = 105, λ01	-	-	1.460	-	-	-	1.425	-
ν* =1/Re, Re = 105, λ0	0.581	1.02	1.94	5.53	0.562	0.968	1.832	5.472
ν* =1/Re, Re = 104, λ02	0.456	1.200	1.730	1.980	0.452	1.159	1.518	1.67
ν* =1/Re, Re = 104, λ01	-	-	2.420	-	-	-	1.66	-
ν* =1/Re, Re = 104, λ0	-	-	3.05	-	-	-	1.67	-

Таблица 2. Мощность теплообмена P(Дж/с∙10-6) при ламинарном режиме течения.

Параметры расчета для короткого канала, Lx = 2	Ширина каналов S1 и S2
Противоточный обмен	Прямоточный обмен
0.09	0.04	0.015	0.0025	0.09	0.04	0.015	0.0025
ν* =νt +1/Re, Re = 105, λ0	5.40	8.79	13.40	17.30	5.20	8.26	12.28	15.05
ν* =νt +1/Re, Re = 104, λ0	2.469	2.721	2.949	3.116	1.673	1.673	1.673	1.673
ν* =1/Re, Re = 105, λ0	0.220	0.384	0.726	1.920	0.214	0.372	0.701	1.936
ν* =1/Re, Re = 104, λ0	0.445	0.874	1.530	2.650	0.427	0.807	1.350	1.673

Таблица 3. Мощность теплообмена P(Дж/с∙10-6) при турбулентном и ламинарном режимах течения жидкостей в коротком теплообменнике.

Как видно из результатов расчета, мощность теплообмена увеличивается с уменьшением ширины каналов при заданных расходах жидкостей, но при турбулентном режиме течения для этой мощности может достигаться максимум при средних значениях

ширины каналов. Можно также отметить, что у противоточного теплообменника мощность теплообмена может быть намного больше, чем у прямоточного, и может достигнуть двукратного увеличения при снижении скоростей потоков.

ЛИТЕРАТУРА

1.  , Паничкин моделирование турбулентного течения во вращающемся канале//Сб.: Моделирование в механике.- Новосибирск, 1987, т.1 (18), N5, с.47-60.

2.  Паничкин сходимости в расчетах стационарных течений жидкости при больших числах Рейнольдса // Вычислительные технологии, 2008, т.13, спец. выпуск 3, с.38-44.

3. Метод дробных шагов решения многомерных задач математической

физики. - Новосибирск: Изд-во Наука, 19с.