Правительство Российской Федерации
Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего профессионального образования
"Национальный исследовательский университет
"Высшая школа экономики"
Факультет бизнес-информатики,
отделение прикладной математики и информатики
Программа дисциплины Численные методы
для направления 010400.62 «Прикладная математика и информатика»
подготовки бакалавра
Автор программы:
, д.-ф. м.н., проф., электронный адрес: *****@***ru
Одобрена на заседании кафедры высшей математики на факультете экономики 25.02.2013
Зав. кафедрой
Рекомендована секцией УМС «___»____________ 2013 г.
Председатель
Утверждена УС факультета «___»____________ 2013 г.
Ученый секретарь
Москва, 2012
Настоящая программа не может быть использована другими подразделениями
университета и другими вузами без разрешения кафедры-разработчика программы.
2 Область применения и нормативные ссылки
Настоящая программа учебной дисциплины устанавливает минимальные требования к знаниям и умениям студента и определяет содержание и виды учебных занятий и отчетности.
Программа предназначена для преподавателей, ведущих данную дисциплину, учебных ассистентов и студентов направления 010400.62 «Прикладная математика и информатика» подготовки бакалавра, изучающих дисциплину Численные методы.
Программа разработана в соответствии с:
· образовательным стандартом НИУ ВШЭ по направлению 010400.62 «Прикладная математика и информатика», уровень подготовки: бакалавр, утвержденным Ученым советом НИУ ВШЭ 02.07.2010 г., протокол
· образовательной программой 010400.62, направление «Прикладная математика и информатика» подготовки бакалавра
· Рабочим учебным планом университета по направлению 010400.62 «Прикладная математика и информатика» подготовки бакалавра, утвержденным 21.06.2012 г.
3 Цели освоения дисциплины
Целями освоения дисциплины Численные методы являются приобретение базовых знаний по численным методам анализа, линейной алгебры, обыкновенных дифференциальных уравнений, получение навыков анализа свойств численных методов и умение практически реализовывать и использовать их.
4 Компетенции обучающегося, формируемые в результате освоения дисциплины
В результате освоения дисциплины студент должен:
· знать способы построения и математический аппарат численных методов, основные свойства и методы их исследования
· уметь программно реализовывать и правильно применять численные методы
· иметь навыки построения и исследования численных методов
В результате освоения дисциплины студент осваивает следующие компетенции:
Компетенция | Код по ФГОС/ НИУ | Дескрипторы – основные признаки освоения (показатели достижения результата) | Формы и методы обучения, способствующие формированию и развитию компетенции |
Способность приобретать новые знания с использованием научной методологии и современных образовательных и информационных технологий | ОНК-6 | Дает правильные определения основных понятий, формулировки теорем, воспроизводит их доказательства, правильно применяет изученные методы | лекции, практические занятия, самостоятельная работа |
Способность порождать новые идеи (креативность) | ОНК-7 | Умеет решать новые для себя задачи в данной области | лекции, практические занятия, самостоятельная работа |
Способность демонстрации общенаучных базовых знаний естественных наук, математики и информатики, понимание основных фактов, концепций, принципов теорий, связанных с прикладной математикой и информатикой | ПК-1 | Демонстрирует понимание физических основ изучаемых уравнений, методов их анализа и решения, правильно интерпретирует полученные численные результаты | лекции, практические занятия, самостоятельная работа |
Способность понимать и применять в исследовательской и прикладной деятельности современный математический аппарат | ПК-2 | Правильно применяет изученные ранее методы математического анализа и линейной алгебры, освоенные методы данной дисциплины | лекции, практические занятия, самостоятельная работа |
Способность решать задачи производственной и технологической деятельности на профессиональном уровне, включая разработку математических моделей, алгоритмических и программных решений | ПК-8 | Разрабатывает алгоритмические и программные решения для реализации изученных численных методов | лекции, выполнение заданий на практических занятиях и домашних заданий |
Способность применять в профессиональной деятельности современные языки программирования и языки баз данных, операционные системы, электронные библиотеки и пакеты программ, сетевые технологии и т. п. | ПК-9 | Использует языки программирования для реализации изученных численных методов, правильно использует операционные системы и математические пакеты | выполнение заданий на практических занятиях и домашних заданий |
5 Место дисциплины в структуре образовательной программы
Настоящая дисциплина является обязательной и входит в блок МЕ (Математический и естественнонаучный цикл) Рабочего учебного плана на 2012-13 учебный год для направления 010400.62 Прикладная математика и информатика.
Изучение данной дисциплины базируется на следующих дисциплинах:
· математический анализ
· геометрия и алгебра
· избранные главы линейной алгебры
Для освоения учебной дисциплины студенты должны владеть следующими знаниями и компетенциями:
· дифференциальным и интегральным исчислением
· теорией матриц и систем линейных алгебраических уравнений
· теорией конечномерных линейных, нормированных, евклидовых, унитарных пространств и линейных операторов в них
· уметь программно реализовывать типичные алгоритмы.
Основные положения данной дисциплины используются при изучении дисциплины Разностные схемы, могут быть использованы при подготовке выпускных работ бакалавров и при изучении ряда дисциплин в магистратуре.
6 Тематический план учебной дисциплины
№№ | Название темы | Всего часов | Аудиторные часы | Самост. работа | |
лекции | практические занятия | ||||
1 | Численные методы анализа – I (интерполирование и численное интегрирование) | 41 | 6 | 6 | 29 |
2 | Численные методы анализа – II (численное дифференцирование, численное решение нелинейных уравнений, наилучшее среднеквадратичное приближение) | 40 | 6 | 6 | 28 |
3 | Численные методы линейной алгебры | 41 | 6 | 6 | 29 |
4 | Численные методы обыкновенных дифференциальных уравнений | 40 | 6 | 6 | 28 |
Итого | 162 | 24 | 24 | 114 |
7 Формы контроля знаний студентов
Тип контроля | Форма контроля | 1 год | Параметры | |
1 | 2 | |||
Текущий (неделя) | Контрольная работа | 5 | Задание содержит 2 задачи по разделу 1. Сдается в конце модуля | |
Домашнее задание | 4 | Задание содержит 4 задачи по разделам 2 и 3. Сдается в конце модуля | ||
Итоговый | Экзамен | * | Письменный экзамен на 4 часа |
7.1 Критерии оценки знаний, навыков
При выполнении контрольной работы студент должен продемонстрировать владение методами интерполирования многочленами и кубическими сплайнами, умение программно реализовывать их и правильно применять в конкретных задачах, способность анализировать полученные численные результаты. Компетенции ОНК-6, ОНК-7, ПК-2, ПК-8, ПК-9.
При выполнении домашнего задания студент должен показать владение методами численного интегрирования, численного решения нелинейных уравнений, прямыми и итерационными численными методами линейной алгебры. Студент должен также продемонстрировать умение программно реализовывать указанные методы, правильно применять их в конкретных задачах и способность анализировать полученные численные результаты. Компетенции ОНК-6, ОНК-7, ПК-2, ПК-8, ПК-9.
Для итогового контроля (экзамена) студент должен продемонстрировать знание основных теоретических положений дисциплины и умение решать типичные задачи по материалу дисциплины.
Выдача контрольной работы и домашних заданий может осуществляться как на занятиях, так и дистанционно.
7.2 Порядок формирования оценок по дисциплине
Оцениваются текущая, самостоятельная и непосредственно на экзамене работы студента.
Текущая работа студента оценивается по результатам выполнения контрольной работы в 1-м модуле и домашнего задания во 2-м модуле. Оценки Ок/р и·Одз по 10-ти балльной шкале ставятся с учетом правильности и полноты решений и своевременности выполнения задания. Оценка за текущую работу формируется следующим образом:
Отекущий = 0.34 Ок/р + 0.66·Одз.
Самостоятельная работа студентов оценивается по результатам решения на компьютере двух задач по разделу 4 во 2-м модуле. Оценка Осам. работа ставится по 10-ти балльной шкале с учетом правильности и полноты решений и своевременности выполнения задания.
Оценки Ок/р, Одз, Отекущий, Осам. работа не округляются.
Накопленная оценка за работу в модулях формируется следующим образом:
Онакопленная= 0.75 Отекущий + 0.25 Осам. работа
Способ округления оценки Онакопленная - арифметический, кроме случая 3.5
Онакопленная<4, когда выставляется итоговая оценка 3.
На экзамене предлагается ответить на 6 вопросов программы по разным темам курса (с доказательствами и без) и решить 3 задачи. Ответы на вопросы программы оцениваются максимум в 6.6 балла, а решения задач - максимум в 3.4 балла, и выставляются в зависимости от правильности и полноты данного ответа (решения) и формируют оценку Оэкзамен по 10-ти балльной шкале. Способ округления оценки Оэкзамен - арифметический, кроме случая 3.5 Оэкзамен <4, когда выставляется итоговая оценка 3.
Результирующая оценка выставляется по следующей формуле:
Орезульт = 0.5 Онакопленная + 0.5 Оэкзамен
Способ округления оценки Орезульт - арифметический, кроме случая Орезульт =3.5, когда выставляется итоговая оценка 3. При этом оценка Оэкзамен является блокирующей, т. е. если она неудовлетворительная, то выставляется оценка Орезульт = Оэкзамен.
8 Содержание дисциплины
Раздел 1. Численные методы анализа – I (интерполирование и численное интегрирование)
1. Задача интерполирования функций. Интерполяционный многочлен. Теорема единственности.
2. Интерполяционный многочлен в форме Лагранжа.
3. Теорема о погрешности интерполяционного многочлена и ее следствия.
4. Конечные разности. Лемма о связи конечных разностей с производными.
5. Интерполяционный многочлен в форме Ньютона с конечными разностями.
6. Вычисление функции на отрезке с заданной точностью. Примеры расходимости процесса интерполирования по равномерной сетке. Интерполяция «движущимся» многочленом.
7. Кусочно-многочленная интерполяция и оценка ее погрешности.
8. Многочлены Чебышёва и их основные свойства. Узлы Чебышёва и их роль в интерполировании.
9. Интерполирование кубическими сплайнами. Различные способы задания сплайна на концевых отрезках разбиения.
10. Система уравнений для нахождения коэффициентов сплайна.
11. Экстремальное свойство кубического сплайна.
12. Задача численного интегрирования. Квадратурные формулы Ньютона-Котеса и их простейшие свойства.
13. Простейшие формулы численного интегрирования (прямоугольников, трапеций, парабол). Выражения для погрешности простейших формул (с выводом для формулы центральных прямоугольников).
14. Оценка погрешности формул Ньютона-Котеса.
15. Устойчивость формул численного интегрирования.
16. Составные формулы численного интегрирования. Оценка их погрешности.
17. Простейшие составные формулы численного интегрирования (прямоугольников, трапеций, парабол). Оценки их погрешности.
18. Главный член погрешности простейших составных формул численного интегрирования (прямоугольников, трапеций, парабол). Вывод для случая составной формулы прямоугольников.
19. Правило Рунге практической оценки погрешности численного интегрирования. Возможность уточнения приближенного значения интеграла.
20. Алгоритмы вычисления интеграла с заданной точностью на основе правила Рунге: пассивная и активная стратегии.
Количество часов аудиторной работы: лекции 6 час., практические занятия 6 час.
Общий объем самостоятельной работы: 29 час.
Литература по разделу: [1-3].
Раздел 2. Численные методы анализа – II (численное дифференцирование, численное решение нелинейных уравнений, наилучшее среднеквадратичное приближение)
1. Формулы численного дифференцирования. Вывод простейших формул для вычисления первой и второй производной.
2. Погрешность простейших формул численного дифференцирования.
3. Теорема об оценке погрешности формул численного дифференцирования.
4. Проблема вычислительной устойчивости формул численного дифференцирования.
5. Задача решения нелинейного уравнения. Метод бисекции: алгоритм и оценка погрешности.
6. Метод простой итерации нахождения неподвижных точек. Достаточные условия сходимости. Геометрическая иллюстрация.
7. Применение метода простой итерации для решения нелинейного уравнения. Выбор параметра, обеспечивающий наилучшую скорость сходимости.
8. Метод Ньютона. Геометрическая иллюстрация. Теорема о глобальной сходимости.
9. Локальная квадратичная сходимость метода Ньютона. Понятие о комбинированных методах решения нелинейного уравнения.
10. Задача наилучшего среднеквадратичного приближения функций на сетке многочленами. Более общая задача о наилучшем приближении в пространстве со скалярным произведением.
11. Теорема об ортогональной проекции.
12. Система уравнений для коэффициентов элемента наилучшего среднеквадратичного приближения. Матрица Грама и ее свойства.
13. Метод ортогонализации базиса Грама-Шмидта.
14. Задача наилучшего среднеквадратичного приближения функций многочленами на отрезке. Система уравнений с матрицей Грама.
Количество часов аудиторной работы: лекции 6 час., практические занятия 6 час.
Общий объем самостоятельной работы: 28 час.
Литература по разделу: [1-3].
Раздел 3. Численные методы линейной алгебры
1. Норма вектора. Примеры. Подчиненная норма матрицы и ее свойства. Примеры.
2. Числа обусловленности системы линейных алгебраических уравнений и матрицы.
3. Решение систем линейных алгебраических уравнений с треугольными матрицами.
4. Треугольное разложение матрицы и алгоритм его построения.
5. Применение треугольного разложения матрицы для вычисления определителя и обратной матрицы. Понятие о выборе главного элемента.
6. Метод прогонки для решения трехдиагональных систем линейных алгебраических уравнений и его связь с треугольным разложением.
7. Матрица вращений. QR-разложение матрицы.
8. QR-метод нахождения собственных значений матрицы (как действительной, так и комплексной).
9. Метод Якоби нахождения собственных значений симметричных матриц.
10. Итерационные методы решения систем линейных алгебраических уравнений. Общий метод простой итерации. Теоремы о его сходимости.
11. Метод Якоби для решения систем линейных алгебраических уравнений. Теорема о его сходимости.
12. Метод Зейделя. Особенности реализации. Первая теорема сходимости.
13. Симметризация систем линейных алгебраических уравнений. Функция энергии. Вариационная постановка задачи решения систем линейных алгебраических уравнений.
14. Метод покоординатной минимизации. Вариационная интерпретация метода Зейделя. Вторая теорема сходимости.
15. Метод простой итерации с постоянным параметром. Теорема о его сходимости.
16. Методы градиентного спуска. Метод скорейшего спуска для решения систем линейных алгебраических уравнений. Варианты реализации.
17. Теорема о сходимости метода скорейшего спуска.
Количество часов аудиторной работы: лекции 6 час., практические занятия 6 час.
Общий объем самостоятельной работы: 29 час.
Литература по разделу: [1-3].
Раздел 4. Численные методы обыкновенных дифференциальных уравнений
1. Задача Коши для обыкновенного дифференциального уравнения.
2. Явный и неявный методы Эйлера. Их реализация. Погрешность аппроксимации.
3. Три модификации метода Эйлера второго порядка аппроксимации.
4. Устойчивость явного метода Эйлера.
5. Оценка погрешности явного метода Эйлера.
6. k-этапные методы Рунге-Кутта. Вывод двухэтапных методов Рунге-Кутта.
7. Пример четырехэтапного метода Рунге-Кутта.
8. Правило Рунге практической оценки погрешности. Автоматический выбор шага численного интегрирования.
9. Явный метод Адамса и его погрешность аппроксимации.
10. Вывод формул двухшагового метода.
11. Неявный метод Адамса и его погрешность аппроксимации.
Количество часов аудиторной работы: лекции 6 час., практические занятия 6 час.
Общий объем самостоятельной работы: 29 час.
Литература по разделу: [1-3].
9 Образовательные технологии
Лекции и практические занятия.
9.1 Методические рекомендации преподавателю
9.2 Методические указания студентам
10 Оценочные средства для текущего контроля и аттестации студента
10.1 Тематика заданий текущего контроля
Контрольная работа проводится по материалу раздела 1 и содержит 2 задачи на интерполирование (многочленами и кубическими сплайнами).
Домашнее задание дается по материалу разделов 2 и 3 и содержит 4 задачи на численное интегрирование, численное решение нелинейных уравнений, на прямые и итерационные численные методы линейной алгебры.
10.2 Вопросы для оценки качества освоения дисциплины
Отдельные вопросы из раздела 7 Содержание дисциплины являются одновременно вопросами к экзамену.
10.3 Примеры заданий промежуточного /итогового контроля
Пример варианта заданий письменного экзамена.
А. Теоретические вопросы (на ответы отводится 2 астрономических часа).
1. Интерполяционный многочлен в форме Ньютона с конечными разностями.
2. Простейшие формулы численного интегрирования (прямоугольников, трапеций, парабол).
3. Метод Ньютона. Геометрическая иллюстрация. Теорема о глобальной сходимости.
4. Задача наилучшего среднеквадратичного приближения функций на сетке многочленами. Более общая задача о наилучшем приближении в пространстве со скалярным произведением.
5. Метод Якоби для решения систем линейных алгебраических уравнений. Теорема о его сходимости.
6. Явный и неявный методы Эйлера. Их реализация. Погрешность аппроксимации.
Б. Задачи (на решение отводится 1 астрономический час).
1. Построить формулу численного дифференцирования для вычисления 
по значениям 
в узлах 
, 
.
Какой порядок погрешности этой формулы можно гарантировать?
2. Рассмотреть метод простой итерации для решения уравнения 
с 
. Исследовать его сходимость при любом начальном приближении сначала геометрически, построив на плоскости картину поведения приближенных решений, а затем строго аналитически.
3. Используя критерий (необходимое и достаточное условие) сходимости метода простой итерации при любом начальном приближении, вывести критерий сходимости метода Зейделя для системы линейных алгебраических уравнений 2-го порядка в терминах условий на элементы ее матрицы.
Убедиться, что этот критерий выполнен в условия обеих теорем о достаточных условиях сходимости метода Зейделя.
При ответе на теоретические вопросы литературой пользоваться не разрешается. При решении задач разрешается пользоваться личными конспектами лекций, записями, сделанными на семинарах, и решениями домашних заданий.
11 Учебно-методическое и информационное обеспечение дисциплины
11.1 Базовый учебник
11.2 Основная литература
1. , , Кобельков методы. М.: БИНОМ, 2008 (и другие издания).
11.3 Дополнительная литература
2. Волков методы. М.: Лань, 2008 (и другие издания).
3. , , Копченова методы. М.: Изд. дом МЭИ, 2008.
11.4 Справочники, словари, энциклопедии
11.5 Программные средства
11.6 Дистанционная поддержка дисциплины
Задания контрольной работы и домашние задания могут высылаться студентам через Интернет.
12 Материально-техническое обеспечение дисциплины
Практические занятия проводятся в компьютерном классе, оснащенном операционной системой Windows и математическими пакетами Mathcad и Matlab.
