Перенормировки вне теории возмущений

Индекс УДК: 530.145:530.12; 537.8:530.145

лЕВИАНТ в. м. .

ПЕРЕНОРМИРОВКИ ВНЕ ТЕОРИИ ВОЗМУЩЕНИЙ.

На примере модели скалярного поля с взаимодействием обсуждается возможность выделения конечных параметров вне рамок стандартной (в представлении взаимодействия) теории возмущений. Рассмотрена возможная схема выделения расходимостей на больших импульсах и их компенсации бесконечными начальными параметрами: массой и константой связи. Одночастичный сектор диагональной части полного гамильтониана допускает такую процедуру. При этом энергия одночастичного спектра имеет релятивистский вид.

Введение.

Исследование релятивистской квантовой теории поля с локальным взаимодействием выявило необходимость выделения конечных значений параметров из бесконечных «затравочных»: масс, констант связи и т. д. Такая процедура называется перенормировкой и выполняется в рамках теории возмущений(см., например, [1] и ссылки там). Изучение нерелятивистских теоретико-полевых моделей с контактным взаимодействием [2] с одной стороны сталкивается со схожей проблемой определения конечных параметров, с другой – позволяет проводить вычисления вне рамок теории возмущений. Представляется интересным применить методы, развитые для описания нерелятивистских моделей, к релятивистской квантовой теории поля.

В основе описания нерелятивистских моделей [2-5] лежит задача на собственные значения для полного Гамильтониана. Такая задача имеет смысл, так как в силу нерелятивистского характера взаимодействия число частиц является интегралом движения и, следовательно, оператор числа частиц коммутирует с полным Гамильтонианом. Не обращаясь к строго математической теории построения самосопряжённых операторов в Гильбертовом пространстве, отметим, что в нерелятивистских моделях одно из таких расширений можно построить, используя процедуру обрезания на больших импульсах, или короче - обрезание [5]. Такая схема выделения конечных параметров может быть использована и для описания релятивистских моделей.

В этой заметке в качестве иллюстрации метода мы рассмотрели модель скалярного поля с четверным взаимодействием. Основной акцент сделан на возможность перенормировки параметров модели вне теории возмущений. Краткая схема построения решения модели изложена в [6]. В её основе лежит разбиение полного Гамильтониана на два слагаемых (сравните с представлением взаимодействия). Для одного слагаемого называемого диагональной частью можно, по аналогии с нерелятивистской моделью, построить полный набор собственных функций и определить процедуру выделения конечных параметров. Второе слагаемое, - флуктуационная часть, учитывается как «возмущение» не требующее дополнительных перенормировок.

Модель .

Запишем Гамильтониан модели в виде:

(1)

Выбор модели обусловлен несколькими причинами. Прежде всего, благодаря своей кажущейся простоте модель скалярного поля используется как некая теоретическая «лаборатория» для анализа различных методов и подходов в квантовой теории поля. Далее, результаты анализа не требуют экспериментальной поддержки, оставляя возможность спекулятивных построений. Так, например, знак перед константой отличается от общеупотребительного (см., любую книгу по квантовой теории поля), при котором Гамильтониан является ограниченным оператором. Стоит сказать, что так выбранный знак перед константой связи (1) обеспечивает существование связанных состояний [6]. Рассмотрим поля, входящие в при (представление Шредингера). Мотивировка этого выбора связана с постановкой задачи на собственные значение для диагональной части Гамильтониана. Для операторов поля выберем представление:

(2)

здесь канонический импульс поля . , или для : . Произвольный параметр можно выразить через параметр преобразования Боголюбова:

, (3)

которое принадлежит к классу унитарно-неэквивилентных преобразований. Операторы определены свободной частью полного Гамильтониана.

Подставляя и из (2) в Гамильтониан (1) и определяя расходящиеся интегралы, как функции от (параметра обрезания)

(4)

Получим для представление

,

где

(5а)

(5б)

. (5в)

Существует три эквивалентных требования, выполнение которых позволяет определить одночастичный спектр :

(6)

Первое уравнение это требование минимальности вакуумной энергии (5в) (вообще говоря, бесконечной). Второе – отсутствие квадратичных флуктуаций (5б) и третье – определение свободного слагаемого диагональной части полного Гамильтониана (5а). Предполагая, что затравочные «константы» и зависят от параметра обрезания определённым образом:

(7)

нетрудно сформулировать условия, выделяющие конечные параметры из затравочных:

(8)

В качестве произвольного параметра можно выбрать, например конечную массу . Исследование двух частичного спектра [6] показало, что зависимость начальных констант от параметра обрезания (7) приводит в двух частичном секторе к уравнению, типа уравнения на щель, которое имеет конечное решение именно благодаря такой зависимости.

Заключение.

Эта заметка является, скорее, попыткой взглянуть по другому на проблемы бесконечных начальных констант в квантовой теории поля и возможности построения решения релятивистски нековариантным способом. Так как разбиение Гамильтониана на диагональную и флуктуационную части не поддерживает релятивистскую инвариантность, хотя полный Гамильтониан является одним из генераторов группы Пуанкаре. Восстановление релятивистской инвариантности требует дальнейших исследований.

Список литературы.

1. , , Введение в теорию квантованных полей, 4-е изд. –М.: Наука, 1984.

2. A. N.Vall, V. M.Leviant, A. V.Sinitskaya,- JINR, Rapid Comm. 6(57)-92. Dubna, 1992.

3. A. N.Vall, et. al.,-Proceedings of I International conference, Quantum Systems: New Trends and Methods, (Minsk 1994), ed. A. O.Barut et. al., World Scientific, 1995, pp. 89-96.

4. A. N.Vall, , et. al.,- Proceedings of X-th International WorkShop on High Energy Physics and Quantum Field Theory. (Zvenigorod 1995), ed. B. B.Levchenko, V. I.Savrin, Moscow State University Publishing House, 1996, pp. 279-286. (http://xxx. lanl. gov/hep-th/9601126).

5. A. N.Vall, , et. al.,-Int. J. Mod. Phes, A, 1997, 12, N28, p.5039.

6. Vall A. N., Leviant V. M. Астрофизика и физика микромира, Материалы Байкальской школы по фундаментальной физике, Изд-во Иркутского университета, стр. 171-177, 1998.