Уравнение шредингера и его частные случаи (продолжение): прохождение частицы через потенциальный барьер, гармонический ос-циллятор

Лекция 19.

УРАВНЕНИЕ ШРЕДИНГЕРА
И ЕГО ЧАСТНЫЕ СЛУЧАИ (продолжение): прохождение частицы через ПОТЕНЦИАЛЬНЫЙ БАРЬЕР, Гармонический осциллятор

Прохождение частицы через потенциальный барьер для классического случая нами уже рассматривался в ЛЕКЦИИ 7 ЧАСТИ 1 (см. рис. 7.2). Рассмотрим теперь микрочастицу, полная энергия которой меньше уровня U потенциального барьера (рис. 19.1). В классическом варианте в этом случае прохождение частицы через барьер невозможно. Однако в квантовой физике существует вероятность, что частица пройдет. Причем она не "перепрыгнет" через него, а как бы "просочится", употребив свои волновые качества. Поэтому эффект еще называется "туннельным". Для каждой из областей I, II, III запишем стационарное уравнение Шредингера (18.3).

Для I и III: , (19.1, а)

для II: . (19.1, б)

Будем искать решение в виде , где a = const. Тогда и y" = . Подстановка y" в (19.1a) дает: Искомое общее решение для области I запишется в виде суперпозиции

, (19.2)

представляющей собой соответственно падающую и отраженную волны с амплитудами A1 и B1. Аналогично для области III:

. (19.3)

В этом случае начальная точка распространения волны сдвинута на L, a В3 = 0, поскольку в области III имеется только проходящая волна.

В области II (барьер) подстановка y" в (19.1б) дает

и соответствующая волновая функция равна .

Вероятность прохождения характеризуется коэффициентом прохождения - отношением интенсивности прошедшей волны к интенсивности падающей:

. (19.4)

Для области II граничные условия имеют вид:

y1(0) = y2(0), y2(L) = y3(L); y1'(0) = y2'(0) , y2'(L) = y3'(L); (19.5)

из которых первые два означают "сшивание" функций на левой и на правой границах барьера, а третье и четвертое - гладкость такого перехода. Подставляя в (19.5) функции y1, y2 и y3, получим уравнения

.

Поделим их на А1 и обозначим a2=A2/A1; b1=B1/A1; a3=A3/A1; b2=B2/A1.

. (19.6)

Умножим первое уравнение (19.6) на ik и сложим со вторым. Получим 2 ik = a2(q + ik) - b2(q - ik) . (19.7)

Вторую пару уравнений (19.6) будем рассматривать как систему двух уравнений с неизвестными a2 и b2.

Детерминанты этой системы:

a2 = a3 e-qL(q + ik)/(2q) и b2 = a3 eqL(q - ik)/(2q).

Подставляя их в (19.7) и освобождаясь от знаменателя, получим соотношение

,

где e-qL(q+ik)2 » 0, т. к. qL >> 1.

Поэтому .

Интересующая нас вероятность прохождения (19.4) равна , и, чтобы найти модуль комплексной величины а3, умножим числитель и знаменатель полученной дроби на (q + ik)2. После простых преобразований получим

и

Обычно E/U ~ 90% и весь коэффициент перед "е" имеет порядок единицы. Поэтому вероятность прохождения частицы через барьер определяется следуюшим соотношением:

. (19.8)

Как видно из полученного соотношения, вероятность прохождения тем больше, чем ýже барьер (меньше L) и чем он ниже (меньше разность U - E).

Классический результат получим, если чисто формально рассмотреть постоянную Планка как переменную и устремить ее к нулю (поскольку в классической физике ее не существует):

.

Это означает, что при E < U частица барьера не преодолеет, т. е. туннельный эффект в классической физике отсутствует.

Этот эффект используется в инженерной практике для создания туннельных диодов, широко применяемых в радиотехнических устройствах (см. ЧАСТЬ 3, ЛЕКЦИЯ 3).

Кроме того, оказалось возможным инициировать в земных условиях термоядерную реакцию синтеза, которая на Солнце идет в обычных для Солнца условиях - при температуре T ~ 109 K. На Земле такой температуры нет, однако, благодаря туннельному эффекту, есть вероятность запуска реакции при температуре T ~ 107 K, имеющей место при взрыве атомной бомбы, которая и явилась запальным устройством для водородной. Более подробно об этом в следующей части курса.

Гармонический осциллятор. Классический гармонический осциллятор нами также уже рассматривался (ЛЕКЦИИ 1,2 ЧАСТИ 3). Им, например, является пружинный маятник, полная энергия которого E = mV 2/2 + kx2/2. Теоретически эта энергия может принимать непрерывный ряд значений, начиная от нуля.

Квантовый гармонический осциллятор - это колеблющаяся по гармоническому закону микрочастица, находящаяся в связанном состоянии внутри атома или ядра. При этом потенциальная энергия остается классической, характеризуя аналогичную упругую возвращающую силу kx. Учитывая, что циклическая частота получим для потенциальной энергии . Соответствующее стационарное уравнение Шредингера для одномерного случая (19.3) приобретает вид:

. (19.9)

В математическом отношении задача эта еще более сложная, чем предыдущие. Поэтому ограничимся констатацией того, что получится в результате. Как и в случае с одномерной ямой, мы получим дискретный спектр собственных функций и собственных энергий, и одному собственному значению энергии будет соответствовать одна волновая функция: En Û yn (нет вырождения состояний, как в случае с трехмерной ямой). Плотность вероятности |yn|2 также представляет собой осциллирующую функцию, однако высота "горбов" различна. Это уже не банальный sin2, а более экзотические полиномы Эрмита Hn(x)[1]. Волновая функция имеет вид

, где Сn - зависящая от n константа. Спектр собственных значений энергий:

, (19.10)

где квантовое число n = 0, 1, 2, 3 ... . Таким образом, существует и "нулевая энергия" , выше которой спектр энергий образует "этажерку", где полочки расположены на одинаковом расстоянии друг от друга (рис. 19.2). На том же рисунке для каждого уровня энергии показана соответствующая плотность вероятности |yn|2, а также потенциальная энергия внешнего поля (пунктирная парабола).

Существование отличной от нуля минимально возможной энергии осциллятора имеет глубокий смысл. Это означает, что колебания микрочастиц не прекращаются никогда, что в свою очередь означает недостижимость абсолютного нуля температуры.

1.  , Бурсиан физика: Курс лекций с компьютерной поддержкой: Учеб. пособие для студ. высш. учеб. заведений: В 2 т. – М.: Изд-во ВЛАДОС-ПРЕСС, 2001.

[1] В принципе ничего особенного, их можно найти в таблицах и даже построить графики.