Модель треугольной потенциальной ямы

2.3. Модель треугольной потенциальной ямы

Рассмотрим энергетическую диаграмму потенциальной ямы на границе полупроводника с диэлектриком или широкозонным полупроводником в случаях обогащенного или инверсионного слоя, когда носители тока располагаются в области сильного электрического поля вблизи границы. В этой области электрическое поле E можно приближенно считать постоянным в пределах некоторой ширины a. За пределами этой области поле спадает вглубь полупроводника параболически, а затем экспоненциально, в соответствии с распределением зарядов и решением уравнения Пуассона. Но на расстоянии порядка длины экранирования возможно линейное приближение. В таком случае задача об энергетическом спектре аналогична простой задаче квантовой механики о волновых функциях и энергетическом спектре электрона в постоянном поле E , точнее, об электроне в треугольной потенциальной яме.

Рис.2.6. Модель треугольной потенциальной ямы на границе

полупроводника с диэлектриком (или широкозонным полупроводником).

В уравнении Шредингера для случая однородного поля, направленного по оси z, потенциальная энергия равна

U(z) = -eE z. (2.1)

Для такого случая удобно ввести переменную, зависящую от координаты z, напряженности поля E и энергии E (см. §24 в книге Ландау и Лившица "Квантовая Механика"):

x = (z + E/eE )(2m*E/ђ2)1/3 (2.17)

Электрическое поле в таком приближении можно определить через высоту потенциального барьера U0 и величину a : eE = U0/a. Тогда нелинейное дифференциальное уравнение 2-го порядка приобретает простой вид:

d2y/dx2 + xy = 0; (2.18)

решением которого являются функции Эйри:

y(x) = сonst. F(x) .

¥

F(x) = (1/p1/2) ò cos(u2/3 + ux) du. (2.19)

0

Граничное условие на границе полупроводника с диэлектриком можно сформулировать, предполагая высоту барьера достаточно высокой, т. е. положить волновую функцию y(x) равной нулю при z = 0. В глубине полупроводника, под гипотенузой треугольника, волновая функция должна затухать. В такой модели внутри ямы функция Эйри F(x) имеет осциллирующий вид, а под барьером - затухающий:

F(x) @ (A/x1/4) sin(2x3/2/3 + p/4); F(x) @ (A/2x1/2) exp(-2x3/2/

Условие y(z=0) = 0 определяет спектр собственных значений энергии:

Enz= (ђ2/2m*1)1/3 (3peE/2)2/3 (n-1/4)2/

Константа А определяется из условий нормировки волновой функции. Для первого и второго уровней, при n = 1 и 2, численные значения Enz имеют вид:

E1z [эВ] = 1,68.(m0 /m*1)1/3 E2/3 [В/см]. (2.21a)

E2z [эВ] = 2,96.(m0 /m*1)1/3 E2/3 [В/см]. (2.21b)

Как и в задаче о прямоугольной яме, суммарная энергия складывается из энергии движения вдоль и поперек гетерограницы:

E = çpxyç2/2m*1 + Enz. (2.22)

Все усложнения, связанные с тензорным характером эффективной массы, ее зависимостью от энергии для непараболических зон, поправками на непостоянство электрического поля, зависимостью потенциала от концентрации электронов в яме, требуют численного решения уравнения Шредингера. Оно бывает нужным для анализа и расчета приборов типа полевых транзисторов. Однако, полученные аналитические выражения дают правильные оценки в первом приближении. Важны характер решений для волновой функции, зависимость энергетического спектра от размера a и потенциального барьера U0, расположение уровней в зависимости от номера n.

2.4. Модель параболической потенциальной ямы

В случае ступеньчато - однородного распределения доноров и акцепторов в p-n-структуре распределение потенциала в яме возможно описать параболическим законом. Размеры ямы и величина барьера определяются в этом случае концентрациями заряженных примесей ND и NA , толщиной среднего слоя a и, в случае легированной СР, толщиной барьеров по обе стороны ямы, 2×b/2 .

Рис.2.7. Модель параболической потенциальной ямы для легированной структуры типа p-n-p.

Задача о потенциале в истощенном слое полупроводника хорошо известна в теории контактов и p-n-переходов. Существенное усложнение для квантовых ям, т. е. при малых размерах a, b , заключается в том, что для распределения электронов в яме важен энергетический спектр, а он сам должен зависеть от хода потенциала. Таким образом, задача должна быть самосогласованной; уравнение Шредингера должно решаться совместно с уравнением Пуассона. Упрощение задачи имеет смысл при сравнительно малой концентрации электронов в яме, когда полный заряд доноров в n-области сильно скомпенсирован полным зарядом акцепторов в р-области.

Возможно создать параболическое распределение потенциала и в плавном гетеропереходе с переменным составом, т. е. в варизонной структуре; однако технологически это достаточно сложно по сравнению с легированной структурой.

Для распределения зарядов в p-n-p-структуре со слабо легированной n-областью возможно сформулировать условие нейтральности системы в целом в виде:

n2D = ND+ a - 2 NA - (b/2); d = a + b. (2.23)

Здесь n2D - двумерная концентрация электронов в яме, которая предполагается малой по сравнению с концентрациями заряженных примесей:

n2D « ND+ a, NA - b; ND+ a @ NA - b. (2.24)

Концентрацией дырок в этой модели можно пренебречь. Тогда для решения задачи верно решение уравнения Пуассона в приближении истощенного слоя:

U(z) = - ej =(4p/e)e2 ND z2/2; çzç< a ;

U0n= (4p/e)e2 ND (a/2)2/2; U0p= (4p/e)e2 NA(b/2)2/2;

U0 = U0n + U0p. K = 8U0 /ab . (2.25)

Здесь U0n и U0p - падение потенциала, соответственно, в n - и p-областях структуры, K - коэффициент с размерностью коэффициента в формуле для потенциальной энергии упругой деформации (см. ур-е (2.26)).

В такой потенциальной яме для электронов можно записать уравнение Шредингера в форме, аналогичной уравнению квантового осциллятора:

[-(ђ2/2m*c )¶2 /¶z2 + K (z2/2)] y(z) = E y(z); (2.26)

Если ввести безразмерную переменную x = z [m*cw0/ђ]1/2, уравнение сводится к виду:

[¶2/¶x2 + (2E /ђw0 - x)] y(x) = 0;

ђw0 = ђ[K/m*c]1/

Решение этого уравнения известно (§23 в книге Ландау и Лившица "Квантовая механика"). Оно дает спектр эквидистантных энергетических уровней:

En = ђw0 (n + 1/2); n = 0, 1, 2,

Волновые функции осциллятора выражаются через полиномы Эрмита с указанными собственными значениями энергии:

y(x) = const. exp(-x2/2) Hn(x); (2.29)

Hn(x) = (-1)n exp(x2) dn(exp(-x2 ))/dxn.

Эти функции также имеют осциллирующий характер внутри ямы и

затухающий - вне ее, под барьером.

Рис.2.8. Энергетические уровни и волновые функции в параболической

потенциальной яме.

Как и в предыдущих случаях, энергия электрона складывается из

энергий для движения по оси z и вдоль плоскости x, y (формула (2.22)).

Рассмотренные простые примеры спектра электронов в квантовых ямах дают теоретические оценки собственных значений энергии. Они важны для практически встречающихся случаев распределения потенциала в полупроводниковых структурах и приборах. Их можно использовать как первые приближения для анализа более сложных случаев, требующих численных решений.