Программа курса

“Введение в теорию интегрируемых систем”

Лектор: д. ф.м. н.

Лекции – 34 часа 10 семестр

Аннотация

Спецкурс служит введением в бурно развивающееся направление современной математической физики – теорию дискретрых и непрерывных интегрируемых систем динамических уравнений. Такие системы встречаются в разных разделах современной теоретической физики, чем определяется актуальность их изучения. От слушателей курса требуется знание линейной алгебры, комплексного анализа, дифференциального и интегрального исчисления, элементов дифференциальной геометрии, гамильтоновой динамики и теории групп. 

ЛЕКЦИЯ 1. Пуассоновы структуры и гамильтоновы системы.

ЛЕКЦИЯ 2. Редукции гамильтоновых систем с симметриями.

ЛЕКЦИЯ 3. Вполне интегрируемые системы на симплектических многообразиях.

ЛЕКЦИЯ 4. Теорема Лиувилля и переменные “действие-угол”.

ЛЕКЦИЯ 5. Представление Лакса, линейная система и иерархия совместных

интегрируемых уравнений.

ЛЕКЦИЯ 6. Представление нулевой кривизны.

ЛЕКЦИЯ 7. Метод r-матрицы и классические уравнения Янга-Бакстера.

ЛЕКЦИЯ 8. Обобщенные решетки Тоды.

ЛЕКЦИЯ 9. Периодическая цепочка Тоды.

ЛЕКЦИЯ 10. Системы Калоджеро-Мозера.

ЛЕКЦИЯ 11. Алгебра псевдо-дифференциальных операторов, функция

Бейкера-Ахиезера, тау-функция и уравнения Хироты.

ЛЕКЦИЯ 12. Обобщенные редукции Дринфельда-Соколова и алгебраический метод

построения интегрируемых иерархий (метод одевания).

ЛЕКЦИЯ 13. Совместные гамильтоновы структуры и рекурсионные операторы.

ЛЕКЦИЯ 14. Иерархия Кадомцева-Петвиашвили и ее редукции.

ЛЕКЦИЯ 15. Иерархия уравнения Кортевега-де Фриза.

ЛЕКЦИЯ 16. Иерархия нелинейного уравнения Шредингера.

ЛЕКЦИЯ 17. Классический метод обратной задачи рассеяния.

Литература

Основная литература

1., , “Гамильтонов подход в теории солитонов”, М.:Наука, 1986, 527с.

2. , , “Тория солитонов. Метод

обратной задачи рассеяния”, М.:Наука, 1980, 320 с.

3. , , “Современные методы теории интегрируемых систем”,

Москва-Ижевск, 2003, 296 с.

4. , , “Пуассоновы структуры и алгебры Ли”, Ижевск, 1999, 462с.

5. М. Оден, “Вращающиеся волчки: курс интегрируемых систем”, Ижевск, 1999, 215 с.

6. Ю. Мозер, “Интегрируемые гамильтоновы системы и спектральная теория”, Ижевск, 1999, 296 с.

7. , , “Групповые методы интегрирования нелинейных динамических

систем”, М.:Наука, 1985, 280с.

8. , “Интегрируемые системы классической механики и алгебры Ли”, М.:Наука, 1990, 237с.,

9. , -Тян-Шанский,“Интегрируемые системы. Теоретико-групповой подход”

Ижевск, 2003, 322с.

Дополнительная литература

1. , “Математические методы классической механики”, М.:Наука, 1979, 431с.

2. , , “Современная геометрия”, М.:Наука, 1986, 759с.