Содержание
1 Лабораторная работа №1………………………………………………...
1.1 Цель работы……………………………………………………………
1.2 Исходные данные……………………………………………………..
1.3 Решение………………………………………………………………..
1.3.1 Структурная схема системы ……………………………………..
1.3.2 Характеристика системы ………………………………………...
1.3.3 Нахождение передаточной функции, собственного
оператора и оператора воздействия системы ………………………...
1.3.4 D - разбиение комплексной плоскости параметра
системы ………………………………………………………………….
1.3.5 Выбор значений параметров …………………………………….
1.3.6 Нахождения запаса устойчивости ………………………………
1.3.7 Оценка степени устойчивости и колебательности
системы …………………………………………………………………
1.3.8 Анализ результатов ………………………………………………
1.3.9 Построение корневых годографов и определение запаса устойчивости……………………………………………………………
1.3.10 График зависимости степени устойчивости и колебательности системы от параметра А ……………………………………………….
1.3.11 Выбор оптимального параметра ……………………………….
1.3.12 Рекомендации по выбору оптимального параметра ………….
2 Лабораторная работа №2………………………………………………..
2.1 Цель работы …………………………………………………………..
2.2 Исходные данные……………………………………………………..
2.3 Решение………………………………………………………………..
2.3.1 Аналитические выражения для статических характеристик ….
2.3.2 Построение графиков частотных характеристик ………………
2.3.3 Построение графика изменения управляющего воздействия …
2.3.4 Построение спектров вынужденных колебаний ……………….
2.3.5 Построение графика изменения выходной координаты ………
2.3.6 Вывод………………………………………………………………
3 Лабораторная работа №3………………………………………………...
3.1 Цель работы……………………………………………………………
3.2 Исходные данные………………………………………………………
3.3 Решение…………………………………………………………………
3.3.1 Аналитические выражения для переходной и импульсной переходной функций……………………………………………………..
3.3.2 Нахождение оригиналов данных функций ………………………
3.3.3 Графики полученных временных характеристик ……………….
3.3.4 Аналитическое и численное выражения ошибки ……………….
3.3.5 Анализ результатов ……………………………………………….
4 Выводы………………………………………………………………………
1 Лабораторная работа №1. Исследование устойчивости линейной системы управления.
1.1 Цель работы
Определение условий и качественных показателей устойчивости заданной системы управления.
1.2 Исходные данные
Математическая модель операционной системы с использованием лазера задана в виде системы алгебраических уравнений в изображениях:
E(p)=R(p)-Y(p)
V(p)=KE(p)
(p+B)F(p)=AV(p)
Z(p)=F(p)+D(p)
p(p+C)Y(p)=DZ(p)
где, R(p) и Y(p) – соответственно входная и выходная координата системы; E(p), V(p), Z(p) и F(p) – выходные координаты её звеньев, p – оператор Лапласа, A, B, C, D и K – параметры системы.
Таблица 1.1 – исходные данные
№ варианта | Параметры системы | ||||
A | B | C | D | K | |
1 | 5000 | 600 | 2 | 65 | ? |
Необходимо определить значения параметра K, при которых система будет устойчива и найти значении показателей устойчивости системы (запас устойчивости по модулю и по фазе, степень устойчивости и колебательность) при выбранных значениях параметра K.
1.3 Решение
1.3.1 Структурная схема системы
По заданным алгебраическим выражениям построим структурную схему системы:
Рисунок 1.1 – Структурная схема системы
|
|
|
1.3.2 Характеристика системы
а) Передаточная функция системы будет определяться как:
|
Система будет статической, т. к. собственный оператор системы
(
) представлен в виде 
и присутствуют все члены(
).
б) Одноконтурная, с двумя управляемыми координатами (определяем по структурной схеме).
в) Линейная.
г) Непрерывная, т. к. выходная функция непрерывна.
1.3.3 Нахождение передаточной функции, собственного оператора и оператора воздействия системы. Определение коэффициентов собственного оператора и оператора воздействия как функций параметров системы.
Передаточная функция системы с отрицательной обратной связью определяется по формуле:
|
где W1(p), W2(p) и W3(p) – передаточные функции звеньев системы.
Оператор воздействия системы:
|
Собственный оператор системы:
|
1.3.4 D - разбиение комплексной плоскости параметра системы, значение которого не задано (K), на области устойчивости и неустойчивости. Определение диапазона его значений, при которых данная система будет устойчивой.
|
Решим уравнение Q(p) относительно
параметра K
|
Проведем замену переменной p=jω
|
Представим предыдущее выражение в виде K(ω)=U(ω)+jV(ω)
|
Зададим значения ω и построим график зависимости параметра K от ω
|
|
|
|
|
|
Рисунок 1.2 – D - разбиение комплексной плоскости параметра K на области устойчивости и неустойчивости.
Для нахождения областей устойчивости и неустойчивости найдем корни собственного оператора Q(p) для какой-либо одной области.
|
|
|
Решим уравнение Q(p) относительно p.
Команда float,4 показывает результат
округленным до 4-х знаков.
При выбранном значении параметра K все корни собственного оператора находятся слева от мнимой оси, следовательно в данной области система устойчива. Количество корней в остальных областях можно определить аналогично или, используя правило перехода.
Определим координаты точки пересечения линий графика и действительной оси.
Система будет устойчива при 0<K<2,223 т. к. в этой области все корни находятся слева.
1.3.5 Выбор значений параметров.
Самым рациональным значением параметра K будет являться его наиболее возможное значение. Возьмем значение параметра K=0,01.
Второе значение этого параметра возьмем K=1.
1.3.6 Нахождения запаса устойчивости, используя метод Найквиста.
Для этого найдём передаточную функцию разомкнутой системы Wr(p) и построим амплитудно-фазовую частотную характеристику разомкнутой системы для выбранных значений параметров.
Рисунок 1.3 – Структурная схема разомкнутой системы
При K=0,01:
|
|
|
Передаточные функции звеньев цепи
|
Определим передаточную функцию разомкнутой системы
|
Выполним замену переменной p=jω
|
Зададим значения ω
|
Рисунок 1.4 – Годограф передаточной функции разомкнутой системы при значении параметра K=0,001
Запас устойчивости по модулю определим графически по рисунку 1.3 как расстояние между точкой (-1;0) и точкой пересечения годографа разомкнутой функции с единичной окружностью.
Za=
Запас устойчивости по фазе определим как острый угол между касательной, проведенной в точку пересечения годографа и единичной окружности, и действительной осью.
Zф=
При K=1:
|
Определим передаточную функцию разомкнутой системы
|
Выполним замену переменной p=jω
|
Зададим значения ω
|
Рисунок 1.5 – Годограф передаточной функции разомкнутой системы при K=1
Запас устойчивости по модулю Zа=
Запас устойчивости по фазе Zф=
1.3.7 Оценка степени устойчивости и колебательности системы.
Для нахождения степени устойчивости и колебательности найдём корни собственного оператора системы и построим эти точки на комплексной плоскости.
При K=0,01:
|
|
Решим уравнение Q(p) относительно p.
Команда float,4 показывает результат
округленным до 4-х знаков.
Покажем эти корни на комплексной плоскости.
Рисунок 1.6 – Плоскость корней собственного оператора Q(p)
при значении параметра K=0,01
Степень устойчивости системы определим как действительную часть ближайшего к мнимой оси корня p.
Колебательность определим как острый угол между тем же корнем и действительной осью.
Степень устойчивости системы λ=0,9955;
Колебательность системы θ=1,129.
При K=1:
|
|
Рисунок 1.7 - Плоскость корней собственного оператора Q(p)
при значении параметра K=1
Степень устойчивости системы λ=0,5485;
колебательность θ=1,547.
1.3.8 Анализ результатов.
Таблица 1.2 – Результаты вычислений
Значение параметра K | Zа | Zф | λ | θ |
0,01 | 0,9955 | 1,129 | ||
1 | 0,5485 | 1,547 |
Значение K=0,01 обеспечивает большую степень устойчивости, запас устойчивости по модулю и по фазе и меньшую колебательность.
1.3.9 Построение корневых годографов и определение запаса устойчивости при различных значения параметра K.
Возьмем одно значение параметра из области неустойчивости, одно на границе устойчивости и несколько значений из области устойчивости. Найдем корни собственного оператора Q(p) при этих значениях параметров.
При K=1,5:
|
|
Степень устойчивости системы λ=0,3237;
Колебательность θ=1,559.
При К=2:
|
|
Устойчивость системы λ=0,09962;
Колебательность θ=1,568.
При К=2,223:
|
|
Устойчивость системы λ=0;
Колебательность θ=1,571.
При К=3:
|
|
Устойчивость системы λ=0;
колебательность θ=1,579.
Значения λ и θ для параметра К=0,01 и К=1 были найдены выше.
По найденным значениям полюсов построим корневой годограф.
Рисунок 1.8 – Корневой годограф системы при изменении значения
параметра К от 0,01 до 3
1.3.10 График зависимости степени устойчивости и колебательности системы от параметра К
Рисунок 1.7 – График зависимости степени устойчивости и колебательности от величины параметра К
Из графиков следует, что при увеличении параметра К степень устойчивости уменьшается а колебательность системы увеличивается. Для обеспечения наибольшей степени устойчивости и наименьшей колебательности системы нужно брать наименьшее возможное значение параметра К.
1.3.11 Выбор оптимального параметра.
Из рассмотренных параметров наиболее подходящее значение К=0,01, т. к в этом случае система обладает наименьшей колебательностью и наибольшей степенью устойчивости и запасом устойчивости по модулю и по фазе.
1.3.12 Рекомендации по выбору оптимального параметра
Наиболее оптимальным значением параметра К следует задаваться так, чтобы достигалась наибольшая устойчивость системы. Степень устойчивости системы определяется только собственным оператором.
Определить оптимальный параметр можно, задавшись рядом значений этого параметра или построив график зависимости степени устойчивости системы от значения параметра.
2 Лабораторная работа №2. Исследование статических и частотных характеристик линейной системы управления.
2.1 Цель работы
Приобретение навыков в определении и использовании в практических целях статических и частотных характеристик линейной системы управления.
2.2 Исходные данные
|
Передаточная функция замкнутой системы, определенная в лабораторной работе №1
Заданы амплитудные и фазовые спектры входного воздействия:
Рисунок 2.1 – Амплитудный спектр входного воздействия
Рисунок 2.2 – Фазовый спектр входного воздействия
Необходимо построить частотные характеристики замкнутой системы и график изменения выходной координаты. Сделать вывод о пригодности данной системы к эксплуатации в заданном режиме.
2.3 Решение
2.3.1 Получим аналитические выражения для статических характеристик одного из звеньев системы, а также для замкнутой и разомкнутой систем. Построим графики этих характеристик.
Передаточная функция для замкнутой системы:
|
Система статическая, т. к. собственный оператор Q(p) имеет вид
|
, все его члены не равны нулю.
|
Рисунок 2.3 - График функции yст(x)
Разомкнутая система:
|
Передаточная функция
разомкнутой системы
Система астатическая, т. к. собственный оператор имеет вид:
. Степень астатизма определяется числом ν. В данном случае степень астатизма равна 1.
2.3.2 Построение графиков частотных характеристик для передаточной функции исходной системы
|
Выполним замену p=jω
|
|
Определим амплитуду по формуле
где U – действительная часть W(ω)
V – мнимая часть W(ω)
|
|
Рисунок. 2.4 – Амплитудная частотная характеристика
φ(ω) определяется по этой формуле для
|
точек, лежащих в 4-ой четверти комплексной плоскости.
А по этой для точек, лежащих в 3-й четверти комплексной плоскости.
|
Рисунок 2.5 – Фазовая частотная характеристика
|
|
Рисунок. 2.6 - амплитудно-фазовая частотная характеристика
|
Рисунок 2.7 – Действительная частотная характеристика системы
|
Рисунок 2.8 – Мнимая частотная характеристика системы
По графику АЧХ определим диапазон, в котором система проявляет свои динамические свойства. Система проявляет свои динамические свойства в диапзоне ω от 0,3 до 10. С увеличением частоты коэфицент динамичности уменьшается.
2.3.3 Построение графика изменения управляющего воздействия
По заданным спектрам входного воздействия получим зависимость входного воздействия от времени F(t) по формуле:
|
|
|
Рисунок 2.9 – Входное воздействие F(t)
2.3.4 Построение спектров вынужденных колебаний
|
|
|
|
Амплитуда входного воздействия при ω=0 (статическая составляющая)
Амплитуда входного воздействия при ω=0,3
Амплитуда входного воздействия при ω=2
Амплитуда входного воздействия при ω=10
|
|
|
|
Фаза входного воздействия при ω=0
Фаза входного воздействия при ω=0,3
Фаза входного воздействия при ω=2
Фаза входного воздействия при ω=10
|
|
|
|
Определим амплитуду вынужденных колебаний как произведение амплитуды входного сигнала и
амплитуды передаточной функции при заданном значении ω: Аiot = Аi ∙ A(ωi)
|
|
|
|
Определим фазу вынужденных колебаний как сумму фазы входного сигнала и фазы передаточной функции при заданном значении ω: φiot = φi ∙ φ(ωi)
По полученным данным построим спектры вынужденных колебаний.
Рисунок 2.10 – Амплитудный спектр вынужденных колебаний
Рисунок 2.11 – Фазовый спектр вынужденных колебаний
2.3.5 Построение графика изменения выходной координаты
|
|
Рисунок 2.12 – Вынужденные колебания
2.3.6 Вывод
Данную систему целесообразно эксплуатировать в заданном режиме, так как она пропускает сигналы низкой частоты и подавляет сигналы высокой частоты. Это позволяет использовать её в ситуациях, когда входной сигнал может содержать какие-либо помехи. Для системы управления положением считывающей головки дисковода необходимые требования – это точность передачи сигнала. Система этим требованиям удовлетворяет.
3 Лабораторная работа №3. Оценка качества переходных процессов линейной системы управления и точности её функционирования в установившемся режиме работы.
3.1 Цель работы
Приобретение навыков в определении временных характеристик системы, получении численных значений критериев оценки их качества, а также в проведении анализа качества функционирования системы в переходных и установившихся режимах функционирования.
3.2 Исходные данные
|
Передаточная функция
замкнутой системы
|
Передаточная функция
разомкнутой системы
3.3 Решение
3.3.1 Аналитические выражения для переходной и импульсной переходной функций найдем, выполнив обратное преобразование Лапласа
|
|
3.3.2 Нахождение оригиналов данных функций
3.3.3 Графики полученных временных характеристик
Процесс колебательный, hуст=1.
Перерегулирование системы 
По графику найдем время регулирования tрегул=2,2 с
|
|
|
Рисунок 3.1 – График переходной функции h(t)
|
Рисунок 3.2 - График переходной функции ω(t)
3.3.4 Аналитическое и численное выражения ошибки
|
Выполним преобразование Лапласа
чтобы представить функцию u(t) в операторной форме
|
|
Определим по формуле выражение для ошибки в операторной форме ε(p)
|
Выполним преобразование Лапласа, чтобы найти оригинал функции ε(p)
|
Найдем значения ошибки при различных заданных входных функциях
|
При заданном входном воздействии
|
ошибка стремится к бесконечности, система идее вразнос
|
При параболическом входном воздействии
ошибка равна бесконечности, система идет вразнос
|
|
При линейно изменяющемся входном воздействии
система работает с постоянной ошибкой.
|
|
При постоянном входном воздействии система
|
работает идеально, ошибка равна нулю.
3.3.5 Анализ результатов
Функционирование системы в заданном режиме невозможно, т. к в ошибка системы по управлению стремится к бесконечности. Данную систему целесообразно эксплуатировать в режиме стабилизации, тогда система будет работать идеально (ошибка равна 0). Допустимо использование системы при входном воздействии, изменяющемся линейно. При этом ошибка будет постоянна, равна 18,5. Данная система обладает небольшим перерегулированием и временем регулирования, что делает её подходящей для выполнения своих функций.
4 Выводы
С увеличением значения параметра К все показатели ухудшаются (запасы устойчивости, степень устойчивости уменьшаются, а колебательность, время регулирования и перерегулирование увеличиваются).
Для системы управления положением считывающей головки дисковода необходимо, чтобы время регулирования и перерегулирование были как можно меньшими. Исходя из этого выберем параметр К=0,01, как наиболее подходящий. Значения перерегулирования и времени регулирования удовлетворяют требованиям, предъявляемым к данной системе.
