§1. Понятие группы. Группа ортогональных матриц. Группа комплексных корней

п-нной степени из единицы.

О1. Если X - пустое множество, то его степенью Xn для натурального числа n называется множество всех строк (x1, х2,..., хn), составленных из элементов x1, х2,..., хn множества X.

О2. Функция f: X2 —>х называется бинарной алгебраической операцией, если f определена на всех элементах множества X 2.

Бинарную алгебраическую операцию называют либо сложением (аддитивная терминология), либо умножением (мультипликативная терминология).

Пример бинарных операций сложение и умножение целых, рациональных, действительных, комплексных чисел; сложение и умножение матриц. Контрпример - вычитание натуральных чисел, деление целых чисел.

Для обозначения алгебраических операций используют знаки + и *.

О3(мультипликативной группы).

Группой называется непустое множество G, в котором определенна бинарная алгебраическая операция (умножение), удовлетворяющая двум условиям:

1) Ассоциативность - для любых а, b, с из G верно (ab)c=a(bс);

2) Существование единицы. Существует элемент еG такой, что для любого аG
имеет место равенство ае=еа=а. Элемент е называется единицей группы.

3) Существование обратного элемента. Для любого аG существует такой элемент
bG, что ab = bа= е, где е - единица.

След.1. Единица в группе является единственной.

Док-во. Пусть e1 и е2 - единицы группы G. Т. к. e1 - единица, то e1e2= e2. Так как е2 - единица, то e1e2= e2. Получаем e1= e2.

След.2. Обратный элемент для аG существует только один.

Док-во. Пусть b, с обратны а. Рассмотрим bас. В силу ассоциативности умножение имеет bас=(bа)с=ес=с. С другой стороны, bac= b(ac)=bc=b. Отсюда b=с.

Ввиду единственности обратного элемента для него применяется специальное обозначение а-1.

Примером группы является множество всех невырожденных квадратных матриц (кв. матрица наз. Невырожденной, если ее определитель отличен от нуля) n-ого порядка с операцией умножения. Единицей в группе невырожденных матриц

является единичная матрица

Обратная к данной невырожденной матрице A= является матрицей

A-1=, где Aij=(-1)i+jMij – алгебраические дополнения элемента aij (определитель, полученный вычеркиванием i-ой строки и j-ого столбца).

AT=.

Пример матриц показывает, что умножение в группе, вообще говоря, не коммутативно.

О. Группа называется коммутативной или абелевой, если алгебраическая операция коммутативна.

Замечание. Если групповую операцию называют сложением, соответственно вместо a b пишут а+b. Тогда единицу называют нулевым элементом, обратный элемент - противоположным.

Теорема1. Множество ортогональных матриц с операцией умножения является группой.

Д-во. Квадратная матрица А называется ортогональной, если ее обратная матрица совпадает с ее транспонированной матрицей, то есть А-1= АT.

Из условия А-1= АT получим, если А - ортогональная матрица, то ААТ= А А-1=Е или АТА= А-1А =Е.

Т. о., для ортогональной матрицы верно ААТ=АТА=Е.

Проверим, что множество ортогональных матриц - группа.

1. Умножение ортогональных матриц есть алгебраическая операция.
Пусть А и В ортогональные матрицы, их произведение обозначим через С,
докажем, что С - ортогональная матрица. Рассмотрим следующее:

ССТ=(АВ)*(АВ)Т=(АВ)*(ВТ*АТ)=А(ВВТ)АТ=АЕАТ=

=ААТ=Е

2.Умножение всех матриц ассоциативно ((АВ)С=А(ВС)), значит, в том числе и ортогональных
матриц.

3.Единичная матрица Е является ортогональной

4.Т. к. определитель ортогональной матрицы равен ±1, значит, обратная матрица существует.

Покажем, что обратная ортогональной матрице также ортогональна.

Пусть А-ортогональная матрица. Рассмотрим произведение

А-1(А-1)Т=А-1(АТ)Т=А-1А=Е.

Отсюда А-1-ортогональная матрица. Из пунктов 1,2,3,4 следует, что множество ортогональных матриц является группой.

Теорема2. Множество корней n-ой степени из единицы является абелевой группой n-ого порядка.

Доказательство. Все значения корня n-ой степени из единицы вычисляются по формуле

, где .

Итак, рассмотрим множество комплексных чисел Gn={E0, E1, …,Еn-1} с операцией умножения.

1.  Покажем, что умножение комплексных чисел является алгебраической операцией
для нашего множества Gn. Для этого достаточно показать, что Ei* Ej, где i, j=также является корнем n-ой степени из единицы, то есть

(Ei * Ej)n= Ein Ejn =1*1=1

2.Умножение комплексных чисел ассоциативно.

3.Единицей группы является Е0=1.

4.Существование обратного элемента.

Докажем, что Еk-1= En-k. Для этого достаточно показать, что Ek*En-k= Е0.

Значит, Gn-группа, т.к. умножение коммутативно, то группа абелева. Число элементов в группе называется ее порядком.

§2. Деление многочленов с остатком. Алгоритм Евклида. Критерий взаимной простоты двух многочленов.

Многочлен – это а0+а1х1+….+ аnхn, где а0,а1,…,аn –элементы поля P. Кольцо всех многочленов с коэффициентами из поля Р от известного х обозначим через Р[х].

Рассмотрим алгоритм деления с остатком.

Т1 (о существовании частного и остатком).

Для любых двух многочленов f(x) и g(x) из Р[х] существует такая пара многочленов q(x) и r(х) из того же кольца Р[х], что f(x)=g(x)q(x)+ r(х) и при r(х) степень r(х) меньше степени g(x).

Замечание. Степень r(х) это deg r(x).

Т2 (о единственности частного остатка). Независимо от процесса их получения частное и остаток при делении многочлена f(x) из Р[х] на многочлен g(x) из Р[х] определяются единственным образом.

Д-во. Методом от противного.

Предположим, что кроме q(x) и r(х), существуют частное q1(x) и остаток r1(x). Тогда:

НЕ нашли? Не то? Что вы ищете?

1). f(x)=g(x)q(x)+r(x) 2). f(x)=g(x) q1(x)+ r1(x).

Вычтем из 1) 2), получим:

0=g(x)[q(x)-q1(x)]+[r(x)-r1(x)]

или g(x)[q(x)-q1(x)]=r1(x)-r(x)

Если q(x)- q1(x) , deg[ g(x) [q(x)- q1(x)]]>= m

Тогда deg(r1(x)-r(x)) >= m, что невозможно, т.к. deg r(x) < m и deg r1(x)< m

Значит, q1(x) - q(x)=0 и r1 (x)- r(x)

Следовательно, q(x)= q1(x), r(x)= r1(x)

О1. Пусть f(x) и g(x) - два многочлена из Р[х]. Третий многочлен d(x) из того же кольца Р[х] наз. общим делителем f(x) и g(x), если d(x) делит как f(x), так и g(x).

О2. Наибольшим общим делителем двух многочленов f(x) и g(x) из Р[х] называется третий многочлбн D(x) из того же кольца Р[х], удовлетворяющий двум условиям:

1.D(x) является общим делителем f(x) и g(x)

2.D(x) делится на любой другой их общий делитель

Теорема З.(алгоритм Евклида) НОД существует для любых многочленов f(x) и g(x) из Р[х].

Способ нахождения HOD, называемый алгоритмом Евклида: Делим f(x) на g(x); остаток и частные, полученные при делении, обозначим соответственно через q(x) и r(х). Причем deg r(x)<deg g(x). Затем делим g(x) на r(х), получим остаток r1(x) и частное q1(x). Причем deg r1(x)<deg r(x). Затем делим r1 (x) на r2(х) и т. д.

Степени получающихся при таком процессе остатков r(x), rl(х),r2(х)… будут, все время убывать. Но целые неотрицательные числа не могут убывать безгранично. Следовательно, процесс деления не может быть бесконечным - придем к остатку rk+1= 0.

Покажем, что последний, отличный от нуля остаток rk(х) и будет НОД многочленов f(x) и g(x).

Запишем весь процесс деления следующим образом:

f(x)=g(x)q(x)+r(x)

g(x)=r(x) q1(x)+r1(x)

r(x) = r1(x) q2(x)+ r2(x)

r1(x) =r2(x) q3(x)+ r3(x) (3)

rk-2(x)= rk-1 (x) qk(x)+ rk(x)

rk-1 (x) = rk(x) qk+1(x)

Рассмотрим rk-1(x)=rk(x)qk+1(x)rk(x):rk(x) (по свойству делимости). Значит rk-1 (x): rk(x). Рассмотрим rk-2(x)= rk-1 (x) qk(x)+ rk(x) , rk-1 (x): rk(x) (no доказанному) rk(x):rk(x) Следовательно, по свойству делимости, левая часть rk-2(x) делится на rk(x).

Рассмотрим rk-3(x)= rk-2 (x) qk-1(x)+ rk-1(x)

Здесь rk-2 (x) : rk(x)по доказанному, rk-1(x): rk(x)

Следовательно, по свойству делимости, левая часть rk-3(x) делится на rk(x).

Двигаясь, таким образом, постепенно вверх, дойдем до многочленов f(x) и g(x) и убедимся, что f(x) и g(x) делятся на rk(x).

Докажем, что rk(x) делится на любой другой общий делитель многочленов f(x) и g(x).

Пусть d(x) - некоторый общий делитель f(x) и g(x). Надо доказать, что rk(x): d(x).

Из равенств (3) получаем равенства (4).:

(3)

Рассмотрим r(x) = f(x)- g(x) q(x) Так как f(x): d(x) и g(x): d(x), то разность f(x)- g(x) q(x)= r(x) должна делится на d(x). Рассматривая второе равенство системы (4): r1(x) =g(x)-r(x)q1(x) , находим, что g(x): d(x) (по условию) и r(х): d(x) (по доказанному), значит, r1(x): d(x) и т. д.. Так, опускаясь постепенно вниз, мы дойдем до rk(х) и убедимся, что rk(х) :d(x). Значит, rk(х) есть нод многочленов f(x) и g(x).

Т4. НОД многочленов f(x) и g(x) является единственным с точностью до множителя нулевой степени.

Д-во. Пусть D1(x) и D2(x) - два НОД многочленов f(x) и g(x). По определению HOD D1(x): D2(x) и D2(x): D1(x), откуда по свойству делимости D1(x) и

D2(x) отличаются числовым множителем.

Следствие. Если D(x) - наибольший общий делитель f(x) и g(x) из Р[х], то в том же самом кольце Р[х] можно подобрать такую пару многочленов и , что

О. Два многочлена f(x) и g(x) наз. взаимно простыми, если их нод - многочлен нулевой степени.

Т5. (критерий взаимной простоты двух многочленов). Многочлены f(x) и g(x) из Р[х] являются взаимно простыми тогда и только тогда, когда в том же кольце Р[х] можно подобрать такую пару многочленов и , что справедливо равенство: (*)

Д-во. Если (f(x), g(x))=l, то существование многочленов и , удовлетворяющих равенству (*), следует из следствия из алгоритма Евклида.

Обратно, пусть многочлены и , удовлетворяющие равенству (*), существуют. Тогда, если допустить, что (f(x), g(x))= d(x), то из равенства (*) будет следовать, что 1: d(x), что может выполняться лишь про d(x)=l. Следовательно,(f(x), g(x))=l

§3. Линейные пространства. Базис. Линейные преобразования. Собственные значения и собственные векторы линейных преобразований.

Рассмотрим непустое множество V элементов произвольной природы. Зададим на этом множестве правило, по которому любым двум элементам множества V становится в соответствие однозначно определенный элемент этого же множества. Это правило назовем сложением и обозначим а+b=с.

На множестве V зададим правило, по которому каждому числу а из поля Р и каждому элементу из множества V ставится в соответствие однозначно определенный элемент из множества V. Это правило назовем умножением элемента на число и обозначим ka= b.

О.Множество V элементов произвольной природы называется линейным (векторным) пространством над полем Р, а элементы множества называются векторами, если на этом множестве указаны две операции: сложение векторов и умножение вектора на число, удовлетворяющие двум группам аксиом.

I. Аксиомы сложения.

1. а, b, c V, (а +b)+ с = а +(b+ с) - сложение ассоциативно.

2. а, b V, a +b = b+ a - сложение коммутативно.

3. аV, oV: a+= 4. аV, bV:a+b = o

II. Аксиомы умножения на число.

1. аV, 1* а=а (1- единица поля Р)

2. аV, k, mР, (k + m) а= kа + mа

3. а, bV, k Р, k(a +b)= ka+kb

4. аV, k, mР, k(m а)=( km) а

Примеры линейных пространств.

1.n-мерное арифметическое простр-во над полем Р

2.множество всех матриц данного размера m*n над полем Р

Опр. Базисом линейного пространства называется упорядоченная система векторов этого пространства, удовлетворяющая двум условиям:

1.данная система векторов линейно независима

2.любой вектор пространства линейно выражается через данную систему векторов.

Теорема. Разложение любого вектора по данному базису линейного пространства единственно.

Док-во. Пусть - базис линейного пространства V. Пусть хV.

Предположим, что существует два разложения вектора х по базису

и

Вычтем из первого равенства второе, получим:

Так как - базис, то последнее равенство возможно, если все коэффициенты равны 0.

следовательно

О. Коэффициенты разложения вектора х по данному базису называются координатами вектора относительно данного базиса.

x=(x1,x2,…,xn)- строка из координат

Т. При сложении векторов складываются их соответствующие координаты. При умножении вектора на число каждая координата умножается на это число.

Векторы линейно зависимы тогда и только тогда, когда линейно зависимы строки (столбцы) из их координат.

Т. Если в линейном пространстве существует базис из n векторов, то любой другой базис в этом пространстве состоит из n векторов.

Док-во Пусть в линейном пространстве существуют два базиса и d1,d2,…,dm, причем m>n. Каждый из векторов базиса d1,d2,…,dm разложим по базису и составим матрицу, столбцами которой будут координаты векторов d1,d2,…,dm.

Получим матрицу размерами mxn и ранг (число линейно независимых строк в матрице) ее не превосходит n. Так как m>n, то есть число векторов превышает их размерность, следовательно, столбцы матрицы линейно зависимы, значит, зависимы и векторы d1,d2,…,dm, что невозможно, так как d1,d2,…,dm - базис.

Таким образом, получаем противоречие. Значит, все базисы состоят из одного и того же числа векторов

Опр. Линейное пространство, в котором существует базис из n векторов, назовем n-мерным, а число n - размерностью пространства.

Опр. Пусть V1 и V2 - два векторных пространства над одним полем Р.

Отображение : V1 —> V2 называется линейным, если:

1.  х, у V1, (х+у)= (x)+ (y)

2.  Р, х V1 (х)=k (x)

Если V1 = V2, то называется линейным преобразованием пространства V1.

Опр. Пусть -линейное преобразование линейного пространства V над полем Р. Ненулевой вектор х V называется собственным вектором преобразования , если существует Р такое, что х=x. При этом называется собственным значением (или собственным числом) преобразования .

Укажем два свойства собственных векторов.

Св-во1. Собственные векторы линейного преобразования, принадлежащие попарно различным собственным значениям, линейно независимы.

Св-во2. Пусть -линейное преобразование пространства V и - некоторое собственное число . Обозначим через L1()-множество всех собственных векторов, принадлежащих . Добавим к этому множеству нулевой вектор и обозначим через L()=L1(). Тогда L() является подпространством пространства V (оно называется собственным подпространством, относящимся к собственному числу ).

Д-во. Пусть x1,x2L(), тогда x1=x1 и x2=x2. Рассмотрим (х1+х2). В силу линейности получим: (х1+х2)=х1+х2=x1+x2=(х1+х2). Откуда следует, что х1+х2 также собственный вектор преобразования , соответствующей собственному числу .

Аналогично рассмотрим (kх1)=kх1=kx1= (kх1). Откуда следует, что kх1также собственный вектор с собственным числом .

Значит, L()- подпространство пространства V.

§4. Фундаментальная система решений системы линейных однородных уравнений. Ядро линейного оператора и его базис.

Рассмотрим систему линейных однородных уравнений с неизвестными ранга .

Теорема. Множество решений системы (1) является подпространством -мерного арифметического пространства Rn.

Для доказательства теоремы достаточно проверить два свойства:

1. Если и два решения системы (1), то их сумма

также решение этой системы. Для этого подставим этот набор чисел в i-тое уравнение системы (1), где i=l, m, получим:

Значит, является решением системы уравнений (1).

2. Докажем, что произведение любого решения системы (1) на любое число также является решением той же системы уравнений.

Подставим набор чисел в левую часть i-того ур-ния системы (1):

Значит,

является решением системы уравнений (1). Таким образом, мы доказали, что множество решений системы (1) - подпространство Rn.

Опр. Базис подпространства решений системы линейных однородных уравнений называется фундаментальной (базисной) системой решений (ФСР).

Как следует из определения базиса, фундаментальная система решений обладает двумя свойствами: решения, составляющие ФСР, линейно независимы, любое решение системы есть линейная комбинация фундаментальной системы решений. Теорема (о ФСР). Если ранг системы линейных однородных уравнений с неизвестными равен , то ФСР состоит из решений.

Опр. Множество векторов линейного пространства, переходящих в нулевой вектор под действием линейного оператора , называется ядром оператора и обозначается как ker .

Теорема. Ядро оператора является подпространством линейного пространства, в котором задан линейный оператор .

Доказательство. Пусть , тогда и . Сложим эти равенства, получим , так как линейный оператор, то в силу линейности , получим , откуда следует, что . Аналогично, из следует, что . В силу линейности , отсюда . Значит, ker - подпространство. Ч. т.д.

Рассмотрим в линейном пространстве базис и оператор , который задается в данном базисе матрицей

А=

Тогда ядро оператора задается уравнением

или системой уравнений:

Фундаментальные решения системы (3) задают базисы ядра оператора , заданого матрицей А.

5(1). Полож. опред. квадратичные формы.

Квадратичной формой от неизвестных называется сумма вида где .

Опр.2. Квадратичная форма называется положительно определенной, если она принимает только положительные значения для любых ненулевых векторов.

Лемма. Знак определителя матрицы квадратичной формы не зависит от выбора базиса.

Теорема. Квадратичная форма является положительно определенной тогда и только тогда, когда ее нормальный вид , то есть если и ранг, и положительный индекс инерции равны числу неизвестных.

Зам. Решить вопрос о том, является ли данная квадратичная форма положительно определенной, возможно и без приведения формы к нормальному виду. Это позволяет сделать критерий Сильвестра. Чтобы понять формулировку этого критерия, нам потребуется

Опр. Пусть — матрица квадратичной формы. Обозначим через минор матрицы А, элементы которого расположены в ее первых k строках и первых k столбцах. Другими словами,

Будем называть эти миноры главными минорами квадратичной формы.

Теорема (критерий Сильвестра). Квадратичная форма является положительно определенной тогда и только тогда, когда все ее главные миноры строго положительны.

Проведем методом математической индукции по числу переменных. База индукции:

. Очевидно, что эта квадратичная форма будет положительно определенной тогда и только тогда, когда .

Шаг индукции: Предположим, что квадратичная форма от переменных является положительно определенной, тогда и только тогда, когда все ее главные миноры строго положительные.

Докажем, что это утверждение справедливо и для квадратичной формы от переменных.

Пусть теперь дана квадратичная форма от переменных .

В квадратичной форме соберем все члены, не содержащие переменного , тогда, очевидно, мы получим квадратичную форму f от -переменных. Тогда можно записать в виде

(1)

Покажем, что если является положительно определенной, то также положительно определена. Докажем это методом от противного. Предположим, что - положительно определена, не является положительно определенной. Значит, существуют такие значения переменных, , среди которых не все равны нулю, при которых.

. Полагая дополнительно , подставим в (1). Получим , что невозможно, так как положительно определена. Значит, если положительно определена, значит, также является положительно определенной. Кроме того, очевидно, что главные миноры квадратичной формы являются одновременно главными минорами квадратичной формы .

Необходимость. Пусть является положительно определенной. Докажем, что все главные миноры строго положительны.

Так как положительно определена, значит по доказанному раннее также положительна. Тогда по допущению все главные миноры положительны. Осталось доказать, что

Всякую положительную квадратичную форму с помощью невырожденного линейного преобразования можно привести к нормальному виду с матрицей , определитель которой равен 1 > 0

По лемме, знак определителя матрицы квадратичной формы не меняется. Значит, .

Достаточность. Пусть строго положительны все главные миноры квадратичной формы . Докажем, что является положительно определенной.

Так как положительны, то по индуктивному предположению является положительно определенной. Следовательно, существует невырожденное линейное преобразование переменных , которое приводит форму

к виду .

Это линейное преобразование можно дополнить до невырожденного линейного преобразования всех неизвестных , полагая хп =уп.

Тогда форма приводится указанным преобразованием к виду

(3)

Дополним члены, содержащие до полных квадратов:

или

где

Рассмотрим следующее невырожденное линейное преобразование

которое приводит форму к виду с матрицей , детерминант этой матрицы равен с.

По лемме, знак определителя матрицы квадратичной формы не меняется, так как (по условию), то

Значит, является положительно определенной.

6(1). Симметр. преобр. евклидовых пространств.

Опр. Вещественное линейное пространство называется евклидовым, если в нем определена операция скалярного умножения: любым двум векторам и сопоставлено действительное число (обозначаемое ), и это соответствие удовлетворяет условиям, , и и число

1.

2.

3.

4.

Опр. Линейное преобразование φ евклидова пространства V, называется симметрическим (самосопряженным),если

Т1:Линейное преобразование явл. симметрическим тогда и только тогда, когда соотношения выполняются для любой пары , элементов произвольно выбранного базиса евклидова пространства V.

Опр. Квадратная матрица наз. сим-метрической, если для всех i и j от 1 до n .

Т2: Линейное преобразование φ евклидова пространства V, является симметрическим тогда и только тогда, когда матрица этого преобразования в любом ортонормированном базисе явл. симметрической.

Т3. Собственные векторы симметрического преобразования φ, принадлежащие разным собственным значениям, ортогональны.

Док-ва. Пусть - собственные вектора симметрического преобразования φ принадлежащие соответственно собственным значения тогда так как φ симметрическое преобразование

Так как собственные векторы

Получим или

. Отсюда . Так как то . Значит, , то есть векторы ортогональны

Т4. Собственные значения симметрического преобразования φ всегда действительные числа.

Предположим, что среди собственных значений симметрического преобразования φ есть комплексный корень .

Пусть - собственный вектор φ, соответствующий собственному числу , тогда его координаты – комплексные числа.

Известно, что корни многочлена с действительными коэффициентами попарно сопряжены. Значит, среди собственных значений преобразования φ есть число . Этому значению соответствует вектор , координаты которого сопряжены с соответствующими координатами вектора .

Рассмотрим скалярное произведение векторов и . В ортонормированном базисе скалярное произведение равно сумме произведений соответствующих координат.

так как и

По теореме 3 так как

Полученное противоречие доказывает, что собственные значения симметрического преобразования φ всегда действительные числа

Лемма. Если L — подпространство евклидова пространства V, инвариантное относительно симметричного линейного преобразования φ, то ортогональное дополнение тоже инвариантно относительно φ.

Пусть . Проверим, что для любого . Имеем , ибо по условию .

Т5. Если - собственный вектор симметрического преобразования φ и ортогонален , то вектор ортогонален

ортогонален

Т6. Для каждого симметрического линейного преобразования евклидова пространства, сущ-ет ортонормированный базис этого пространства, состоящий из собств. векторов преобразования.