Уравнения мелкой воды на вращающейся притягивающей сфере

А. А. Черевко, к. ф.-м. н. Ин-т гидродинамики СО РАН (Россия, Новосибирск, пр. Лаврентьева, 15, тел.(3, Е-mail: *****@***ru ) А. П. Чупахин, д. ф.-м. н. Ин-т гидродинамики СО РАН (Россия, Новосибирск, пр. Лаврентьева, 15, тел.(3, Е-mail: *****@ )

Уравнения мелкой воды на вращающейся притягивающей сфере.

Аннотация. Исследуется модель мелкой воды на вращающейся притягивающей сфере, описывающая крупномасштабные движения газа в атмосфере планет и жидкости в Мировом океане. Дано описание простых стационарных волн, в которых все величины зависят лишь от широты. Доказано существование двух типов решений (сверх - и докритического), описывающих движение газа в сферическом поясе такое, что одна из граничных параллелей является источником, а другая — стоком. Даётся интерпретация полученных решений как крупномасштабных циркуляционных ячеек в атмосфере.

Введение. Выводится модель мелкой воды на вращающейся сфере, описывающая крупномасштабные движения в атмосферах планет и Мировом океане. Предполагается, что слой, занимаемый несжимаемой сплошной средой (воздух или вода) на поверхности планеты, тонок по сравнению с радиусом планеты и движением в радиальном направлении можно пренебречь. Как отмечается в [1], такие предположения возможны в том случае, когда эффект вращения оказывает существенное влияние на движение среды. Рассматриваются движения с достаточно большими временными масштабами. Кроме того, для крупномасштабных геофизических движений траектории жидких частиц очень слабо отклоняются в радиальном направлении.

Предложенная модель совпадает с уравнения газовой динамики на вращающейся сфере для политропного уравнения состояния газа с показателем адиабаты , описывающим движения на поверхности сферы, независящие от радиуса . Система уравнений, записанная в неинерциальной системе координат, вращающейся вместе со сферой с постоянной угловой скоростью , имеет вид

(1)

где — полная производная вдоль поверхности сферы. Уравнения (1) записаны в сферической системе координат: — дополнение до широты, — долгота; — меридиональная, — долготная компоненты скорости; — глубина слоя. Положительными считаются направления с севера на юг и с запада на восток. Безразмерные параметры и связаны с числами Россби и Фруда

(2)

соотношениями

(3)

В (2) через обозначены характерные масштабы касательной к сфере компоненты скорости и глубины слоя, — радиус сферы, — ускорение свободного падения (рис. 1).

Рисунок 1. Постановка задачи.

Параметр мелкой воды предполагается малым по сравнению с и . Последние для Земли имеют один порядок малости, следовательно, эффекты вращения и гравитации оказывают сопоставимое влияние на движение газа. Описание этого движения и является нашей основной задачей. Особенностью модели является компактность многообразия определения решения.

Модель мелкой воды (1) допускает состояние равновесия, в котором относительные компоненты скорости , профиль глубины имеет вид

(4)

где — постоянные. Скорость звука на данном решении . Уравнение

(5)

при задаёт в пространстве поверхность вращения, характеризующую равновесный профиль глубины, отличный от сферического.

На рис. 2 изображена равновесная поверхность (5).

Рисунок 2. Поверхность равновесия.

Простые стационарные волны. Рассмотрим простые стационарные волны для системы уравнений (1), в которых все искомые функции и зависят лишь от широты . В этом случае уравнения (1) сводятся к системе обыкновенных дифференциальных уравнений

(6)

где штрих означает производную по . Система (6) интегрируется в конечном виде. Впервые этот класс решений был описан в [5].

Существует два типа решений, в первом из них , во втором . Рассмотрим решения системы (6), в которых . Второе и третье уравнения (6) интегрируются и дают следующие представления для компонент скорости

(7)

где — постоянные интегрирования. Интеграл Бернулли на данных решениях имеет вид

(8)

где const. Подставляя в (8) представления (7), получим алгебраическое уравнение третьей степени для определения глубины

(9)

где

(10)

Решив (9), найдём профиль глубины , подставив найденное значение в представления (7) для , найдём вектор скорости. Таким образом, решение задачи о простых стационарных волнах свелось к анализу ключевого уравнения (9).

Изучение уравнений (9), (10) позволяет сделать следующие выводы.

1. Решение вида (7), (9) существует лишь для определённых значений параметров .

2. Соответствующее течение газа определено между параллелями и в некотором сферическом поясе, симметричном относительно экватора.

3. Этот пояс может быть сколь угодно широк, исключая малые диски вокруг полюсов сферы.

4. При допустимых фиксированных значениях параметров существуют два различных типа течения, соответствующие двум различным положительным корням и уравнения (9).

5. При одинаковой широте пояса существуют различные течения, определяемые различными наборами параметров и .

Меньшему корню уравнения (9) соответствует сверхкритическое (сверхзвуковое), а большему — докритическое (дозвуковое) течение.

Типичные профили глубины изображены на рис. 3. Сверхкрити - ческий режим изображен сплошной линией, а докритический режим - штриховой линией.

Рисунок 3. Типичные профили глубины.

Описание движения газа. Уравнения линий тока течения

на решении (7), (9) приводится к виду

(11)

где — стартовая точка на граничной параллели, например , откуда исходит линия тока (11). В силу вращательной симметрии решения любая линия тока получается из (11) поворотом её на угол . На рис. 4 представлены картины течений, полученные в результате численного интегрирования уравнения (11) при различных значениях параметра .

Рисунок 4. Линии тока. Слева докритический режим, справа --- сверхкритический.

Наличие двух решений, отвечающих двум корням и уравнения (8) позволяет построить решение в виде ячейки. Движение начинается из параллели источника и является, например, сверхкритическим (меньший корень ), заканчиваясь на параллели , отвечающей стоку. Эта параллель является одновременно источником для докритического течения, соответствующего большему корню , газ течёт в обратном направлении, стекая в сток, расположенный вдоль (см. рис. 3).

Интересной особенностью решения при является возможность обращения в нуль окружной компоненты скорости на некоторых параллелях , расположенных симметрично относительно экватора. Согласно (7) это происходит при для значений , являющихся решением уравнения

(12)

Если уравнение (12) имеет решение, то окружная компонента скорости меняет свой знак при переходе через параллели , течение меняет своё направление по долготе на противоположное.

Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ, грант № a, Программы поддержки ведущих научных школ, НШ–2826.2008.1., Интеграционного проекта СО РАН № 2.15

Список литературы

1.  Педлоски Дж. Геофизическая гидродинамика, Т. I, II. М.: Мир, 1984.

2.  Bila N., Mansfield E. L., Clarkson P. A. Symmetry group analysys of the shallow water and semi-geostropic equations // Q. Jl. Mech. Appl. Math. 2005. V. 59. № 1. P. 95–123.

3.  Симметрии и точные решения уравнений мелкой воды на пространственном сдвиговом потоке // ПМТФ

4.  Лекции по основам газовой динамики. М.: Наука, 1981.

5.  , . Модель мелкой воды на сфере и её подмодели // Тез. докл. Межд. конф. “Лаврентьевские чтения по математике, механике и физике”, 27 – 31 мая 2005 г. , Новосибирск, ИГИЛ СО АН. С. 87–88.

6.  Неклассические уравнения смешанного типа и их приложения к газодинамике. Л.: Изд-во ЛГУ, 1990.

7.  Атмосфера (справочные данные, модели). Л.: Гидрометеоиздат, 1991.