Методические рекомендации к практическим занятиям

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

Федеральное государственное общеобразовательное учреждение

среднего профессионального образования

Уфимский колледж статистики, информатики

и вычислительной техники

Методические рекомендации

к практическим занятиям

по дисциплине: Численные методы

для специальности 230105 - Программное обеспечение

вычислительной техники

и автоматизированных систем»

Согласовано: председатель предметной цикловой комиссии: . « » 2012 г. методист ФГОУ СПО УКСИВТ: « » 2012 г.

Разработала: преподаватель УКСИВТ « » 2012 г.

СОДЕРЖАНИЕ Стр

1  Приближенные числа и действия над ними 3

2  Приближенное решение нелинейных уравнений 7

3  Решение систем линейных уравнений 11

4  Приближение функций 13

5  Численное интегрирование 16

Литература 18

1 Приближенные числа и действия над ними

Модуль разности точного и приближенного значений величины называется абсолютной погрешностью приближения Предельной абсолютной погрешностью приближения или границей погрешности или оценкой абсолютной погрешности называется число . Таких оценок может быть бесконечное число. Лучшей оценкой погрешности является наименьшая оценка.

Отношение абсолютной погрешности приближения к модулю точного значения величины называется относительной погрешностью . Для предельной относительной погрешности (оценки относительной погрешности): . Относительная погрешность обычно выражается в %.

Цифра в десятичной записи приближенного значения величины х называется верной в широком смысле, если абсолютная погрешность приближения не превосходит единицы того разряда r, которому принадлежит эта цифра (Нулевым разрядом считается разряд единиц, десятичные цифры считаются отрицательными разрядами). Остальные цифры числа называются сомнительными. Значащими цифрами числа, записанного в десятичной форме, называются все верные цифры числа, начиная с первой слева, отличной от 0. Все нули слева являются незначащими.

Правила подсчета цифр для прямой задачи

1)  В алгебраической сумме приближенных значений, в записи которых все цифры верны, следует оставлять столько десятичных знаков, сколько их имеет слагаемое с наименьшим числом десятичных знаков. Слагаемые с большим числом десятичных знаков следует предварительно округлить, оставив на один десятичный знак больше, чем у выделенного слагаемого.

2,3+4,681=2,3+4,68=6,98≈7,0

2)  В произведении приближенных значений следует оставлять столько значащих цифр, сколько их имеет сомножитель с наименьшим количеством значащих цифр. Сомножители с большим числом значащих цифр следует предварительно округлить, оставив на одну значащую цифру больше, чем у выделенного сомножителя. Аналогично для деления.

23 ∙ 1,056 ≈ 23 ∙ 1,06 =24,38 ≈ 24; 10,1 ∙ 0,5 ≈ 5

3)  При возведении приближенного числа в степень или при извлечении корня в результате следует оставлять столько значащих цифр, сколько их имеет основание степени или подкоренное число.

4)  При выполнении последовательного ряда действий над приближенными числами в промежуточных результатах следует оставлять на одну цифру больше, чем рекомендуют предыдущие правила. В окончательном результате эта цифра отбрасывается по правилам округления.

Метод границ аргументов (МГА)

ДАНО: - монотонная функция;

Приближенные значения аргументов и оценки погрешностей.

МЕТОД:

В результате оставляют верные цифры плюс 1 сомнительную (в соответствии с полученной погрешностью).

Метод границ погрешностей (МГП)

Оценка погрешности результата вычисляется как функция погрешностей исходных данных. Вывод формулы осуществляется по соотношениям, приведенным в таблице.

Таблица 1.1.

Действия над приближ. числами	Функция	Оценка абсолютной погрешности	Оценка относительной погрешности
Сложение
Умножение
Деление
Степень
Корень

Принцип равных влияний.

Принцип заключается в том, что оценки погрешностей аргументов одинаково влияют на погрешность результата, т. е. считаются равными.

ЗАДАЧА 1.1. Объем помещения V определен с предельной относительной погрешностью δ Сколько значащих цифр в V?

V=503м3	РЕШЕНИЕ
n – ?

V=500±5

ЗАДАЧА 1.2. Известно, что приближенное значение а имеет n значащих цифр. Оценить абсолютную и относительную погрешность.

a=0,0359 n=2	РЕШЕНИЕ

ЗАДАЧА 1.3. Округлите сомнительные цифры приближенного числа а, если известна относительная погрешность δ

а=0,6594

РЕШЕНИЕ.

ЗАДАЧА 1.4.

Стороны прямоугольника Вычислить диагональ прямоугольника по формуле: и оценить погрешности вычислений.

РЕШЕНИЕ

1) Правило подсчёта цифр:

При возведении в степень по 4 правилу подсчета цифр остановлено на одну цифру больше, чем содержит основание степени

При сложении количество десятичных знаков в результате равно числу десятичных знаков в слагаемых (дополнительная цифра не добавляется, так как она уже есть в каждом слагаемом).

При извлечении корня в результате оставлено столько цифр, сколько в подкоренном выражении. В окончательном результате запасная цифра округляется.

2) МГА:

3) МГП

Предварительно получив формулу, пользуясь таблицей 1.1., вычислим ∆с

Оценим ∆с =0,04≤10-1

Следовательно, верным в результате будет только 1 десятичный знак. Произведём вычисления по формуле и округлим результат, оставив дополнительно 1 сомнительную цифру.

с=4,05±0,04

ЗАДАЧА 1.5. С каким числом верных знаков следует выбрать числа a и b , чтобы получить с в задаче 1.4. с одной верной цифрой?

РЕШЕНИЕ

По условию

По принципу равных влияний

Следовательно, чтобы в задаче 1.4. получить результат с 1 верной цифрой, исходные данные необходимо брать без десятичных цифр.

Задание 1.1.

Известно, что приближенное значение а имеет n значащих цифр. Оценить абсолютную и относительную погрешность со следующими исходными данными.

a=295,3 n=2, n=3, n=4

Задание 1.2.

Округлите сомнительные цифры приближенного числа а, если известна относительная погрешность δ

а=694,6 ,

Задание 1.3.

Даны приближенные значения величин: а=3,5 b=2,45

Найти приближенное значение c, z, t и оценить погрешность по трем методам.

Задание 1.4.

Определить, сколько десятичных цифр должны содержать исходные данные, чтобы в задании 1.3. результаты были получены с 4 верными цифрами? с 2 верными цифрами?

2 Приближенное решение нелинейных уравнений

Общие свойства алгебраических уравнений

Алгебраическое уравнение всегда можно привести к виду:

, где

Количество действительных положительных корней алгебраического уравнения с действительными коэффициентами либо равно числу перемен знака в последовательности коэффициентов уравнения, либо на четное число меньше (равные нулю коэффициенты не учитываются), а количество отрицательных действительных корней равно числу перемен знака в последовательности коэффициентов Рn(-х) или на четное число меньше.

Если уравнение полное, то количество его отрицательных корней равно числу постоянств знака в последовательности коэффициентов Рn(х) или на четное число меньше.

Область существования корней алгебраического уравнения можно определить различными способами.

Правило кольца

Тогда корни уравнения заключены в круговом кольце

т. е. для положительных корней
а для отрицательных корней.

Способы отделения корней.

1.  Графический. Применяется для грубого определения интервалов изоляции корня. Преобрахуем . Отрезки, где находятся точки пересечения графиков функций g(x) и h(x), принимаются за отделённые.

2.  Аналитический.

Алгоритм:

а) найдем производную функции;

б) определим критические (производная равна нулю или не существует) и граничные точки функции;

в) составим таблицу знаков функции в критических и граничных точках (или близких к ним);

г) определим интервалы, на концах которых функция имеет значения разных знаков;

д) сузим найденные интервалы.

При решении алгебраических уравнений в качестве граничных можно взять точки, полученные по правилу кольца; в качестве критических – критические точки функций, построенных в графическом методе.

Уточнение корней

Начальное приближение для метода касательных выбирается из условия совпадения знаков функции и второй производной: x0=. Это же условие определяет закрепленный конец для метода хорд.

В качестве функции φ(x) для метода простой итерации выбирают функцию
, где и знак k совпадает со знаком f /(x) на [A,B]

ЗАДАЧА 2. Дано уравнение (x + 3)4 – x – 7 = 0

1)  Определить количество положительных и отрицательных корней и найти область существования корней.

2)  Отделить корни графически и аналитически

3)  Найти закрепленный конец функции на одном из отделенных отрезков и построить схематический график.

4)  Построить функцию для метода итераций

РЕШЕНИЕ

1) Раскроем скобки и приведем подобные члены

Положительных корней нет, так как нет смены знака коэффициентов при неизвестных.

4 или 2 или 0 отрицательных корней, так как число постоянств знака коэффициентов при неизвестных равно 4.

2) Разобьем исходную функцию на две, перенесем в правую часть уравнения и построим графики соответствующих функций

.

По рисунку видно, что графики пересекаются в двух точках, абсцисса которых отрицательна, т. е. исходное уравнение имеет два отрицательных действительных корня, что соответствует предыдущему исследованию. По рисунку определим интервалы, которым принадлежат абсциссы точек пересечения графиков функций:

;

Проверим знак функции на границе области существования и в точках, подозрительных на критические. Определим отделенные отрезки и сузим их.

х	-108	-3	-0,4	-4	-5	-1	-2
Знак у	+	–	+	–	+	+	–

;

3) Выберем отделенный отрезок

, следовательно функция на отрезке имеет выпуклость вниз.

4) Сравним значения производной на концах отрезка:

Проверка:

. Следовательно, процесс сходится, т. е. функция построена правильно.

Задание 2

Решить задачу 2 для следующих уравнений:

3 Решение систем линейных уравнений

Метод простой итерации

В этом методе исходная система уравнений Ах=В приводится к виду x=Cx+D, выбирается начальное приближение и каждое следующее приближение определяется по формуле .

Условие сходимости: или

Алгоритм приведения системы уравнений к виду, пригодному для метода итераций:

-  выбрать уравнения, в которых коэффициент при одном неизвестном превышает сумму модулей коэффициентов при других неизвестных;

-  выполнить алгебраические преобразования так, чтобы в остальных уравнениях коэффициент при одном неизвестном превышал сумму модулей коэффициентов при других неизвестных (причем максимальный коэффициент в каждом уравнении должен быть при разных переменных);

-  максимальный коэффициент в каждом уравнении представить в виде разности, уменьшаемое в которой кратно 10;

-  слагаемые с коэффициентом, кратном 10 перенести в левую часть уравнений, остальные – в правую;

-  разделить все уравнения на коэффициент, стоящий в левой части урвнений;

-  проверить условие сходимости для каждого уравнения.

ЗАДАЧА 3.

Привести систему уравнений к виду, пригодному для метода итераций.

РЕШЕНИЕ.

Приведем систему уравнений к виду x=Cx+D

Выберем уравнение, в котором коэффициент при одном неизвестном превышает сумму модулей коэффициентов при других неизвестных: x1– 4х2+2х3=4. Умножим левую и правую часть уравнения на –1, получим уравнение: –x1 + 4х2 – 2х3=–4.

Выполним алгебраические преобразования так, чтобы в остальных уравнениях коэффициент при одном неизвестном превышал сумму модулей коэффициентов при других неизвестных (причем максимальный коэффициент в каждом уравнении должен быть при разных переменных).

Сложив первое и второе уравнения, получим: 5x1+ 3х2+х3=28.

Умножив второе уравнение на 2 и сложив с третьим, получим: 5x1– 2х2+ 8х3=34.

Поменяв уравнения местами, получим систему уравнений, эквивалентную заданой:

Максимальный коэффициент в каждом уравнении представим в виде разности, уменьшаемое в которой кратно 10:

Слагаемые с коэффициентом, кратном 10 перенесем в левую часть уравнений, остальные – в правую:

Разделим все уравнения на коэффициент, стоящий в левой части урвнений (на 10):

Проверим условие сходимости:

0,5 + 0,3 + 0,1 = 0,9 < 1

0,1 + 0,6 + 0,2 = 0,9 < 1

0,5 + 0,2 + 0,2 = 0,9 < 1

Таким образом, полученная система уравнений удовлетворяет условию сходимости.

Задание 3.

Привести систему уравнений к виду, пригодному для метода итераций.

4 Приближение функций

Метод Лагранжа заключается в построении полинома n-порядка при n+1 узле интерполяции на отрезке [x0,xn] по формуле: L(x)=y0 Q0(x)+…+ yn Qn(x),

где

Qj(xi)=0 при i¹j и Qj(xi)=1 при i=j

Метод Ньютона заключается в построении полинома n-порядка при n+1 узле интерполяции на отрезке [x0,xn], используя конечные разности.

Конечной разностью первого порядка называется разность между значениями функции в соседних узлах интерполяции: Из конечных разностей первого порядка можно образовать конечные разности второго порядка и т. д.

Общая формула для вычисления конечной разности k-ого порядка в i-ой точке:

Для интерполяции в начале таблицы и экстраполяции назад удобно использовать первую интерполяционную формулу Ньютона:

,
где

Для интерполяции в конце таблицы и экстраполяции вперед рекомендуется использовать вторую интерполяционную формулу Ньютона:

,
где

Погрешность интерполяции можно оценить по формуле

где .

ЗАДАЧА 4.1.

Вычислить с помощью формулы Лагранжа для трех узлов интерполяции. Определить погрешность вычисления.

РЕШЕНИЕ

В качестве узлов интерполяции выберем точки, близкие к заданному значению аргумента, в которых значения функции можно вычислить точно: х0=100; х1=121; х2=144

i	0	1	2
x	100	121	144
y	10	11	12

При трех узлах интерполяции имеем следующую формулу Лагранжа:

При х=117

ЗАДАЧА 4.2.

Функция задана таблично:

x	2,0	2,1	2,2	2,3	2,4	2,5	2,6
y	1,1	0,9	0,85	0,7	0,63	0,5	0,3

Оценить погрешность метода Ньютона по последней конечной разности:

1) у(2,y(2,y(2,38)

РЕШЕНИЕ

Составим таблицу конечных разностей:

x 2 2,1 2,2 2,3 2,4 2,5 2,6

y 1,1 0,9 0,85 0,7 0,63 0,5 0,3

∆y -0,2 -0,05 -0,15 -0,07

∆2y 0,15 -0,1 0,08

∆3y -0,25 0,18

∆4y 0,41

h=0,1

1) y(2,05)

Заданное значение аргумента находится в начале таблицы, поэтому используем первую интерполяционную формулу Ньютона при x0=2,0

q=(2,05-2,0)/0,1=0,5

Последней конечной разностью в первой строке является ∆4y, т. е. n+1=4

Из таблицы находим, что М4=0,41. Тогда

2) y(2,23)

Используем первую интерполяционную формулу Ньютона при x0=2,2

Последней конечной разностью во второй строке (движение выделено подчеркиванием) является ∆2y, т. е. n+1=2

Из таблицы находим, что М3=0,25. Тогда

3) y(2,38)

Заданное значение аргумента находится в конце таблицы, поэтому используем вторую интерполяционную формулу при

Последней конечной разностью (движение выделено цветом) является ∆4y, т. е. n+1=4

Из таблицы находим, что М4=0,41. Тогда

ЗАДАЧА 4.3.

Найти значение функции, определенной в задании 4.2, используя полином Ньютона 2-ого порядка в точках 1) 2,05 2) 2,23 3) 2,38.

1) у(2,05)=1,1+(-0,2) · 0,5+0,15 · 0,5 · (0,5–1)/2=0,98125≈0,98

2) ≈0,81

3) ≈0,76

Задание 4.1. Вычислить с помощью формулы Лагранжа значение у для трех узлов интерполяции. Определить погрешность вычисления.

1) 2) y=383

Задание 4.2.

Функция задана таблично:

x	0,1	0,2	0,3	0,4	0,5	0,6
y	0,03983	0,07926	0,11791	0,15542	0,19146	0,22575

Найти у(0,58), у(0,08), у(0,35) и оценить погрешность

5 Численое интегрирование

Метод Монте-Карло построен на случайном выборе точек внутри прямоугольника, содержащего заданную фигуру. Идея метода: при большом количестве точек, наугад выбранных внутри прямоугольника, доля точек, содержащихся в заданной фигуре, приближенно равна отношению площади этой фигуры к площади прямоугольника.

Пусть rnd(1) – функция, моделирующая случайное число на отрезке [0,1]. Тогда координаты случайной точки внутри прямоугольника ab×cd можно определить по формулам: х=a+(b – a) rnd(1); y= c+(d – c) rnd(1).

Пусть подинтегральная функция на отрезке интегрирования расположена выше оси абсцисс. Тогда с=0, , y = d rnd(1),

ЗАДАЧА 5.

Найти формулы определения координат случайной точки для вычисления интегралов по методу Монте-Карло.

1) 2)

РЕШЕНИЕ

1) х=a+(b – a) rnd(1) = 2+(3 – 2) rnd(1) = 2 +rnd(1)

Подинтегральная функция f(x)=x2–3x+2 является параболой, ветви которой направлены вверх.

Найдем вершину параболы:

f'(x)=2x– 3 = 0, x=1,5, f(3) = 2.

Следовательно, .

На отрезке [2, 3] f(x)≥0, следовательно, с = 0.

y = d rnd(1) = 2 rnd(1).

2) х=a+(b – a) rnd(1) = 1+(2 – 1) rnd(1) = 1+ rnd(1)

Подинтегральная функция f(x)=–x2+3x–2 является параболой, ветви которой направлены вниз.

Найдем вершину параболы:

f'(x)= –2x+ 3 = 0, x=1,5, f(1,5) = 0,25.

Следовательно, .

На отрезке [1, 2] f(x)≥0, следовательно, с = 0.

y = d rnd(1) = 0,25 rnd(1).

Задание 5.

Найти формулы определения координат случайной точки для вычисления интегралов по методу Монте-Карло.

1) 2)

Литература

1.  , . Компьютерные технологии вычислений в математическом моделировании: учеб. пособие. – М.: Финансы и статистика, 2001. – 256с.

2.  . Нескучные вычисления. М.: Просвещение, 1999. – 223с.

3.  и др. Численные методы. – М.: Высшая школа, 1976. – 368с.

4.  , . Практикум по вычислительной математике: учеб. пособие для техникумов. – М.: Высшая школа, 1990 – 208с.