О двумерных метриках, порождаемых мыльными пленками

О двумерных метриках, порождаемых мыльными пленками.

Доклад, прочитанный учителям школ городов Северного Кавказа

в рамках программы "Соросовские профессора" в 2001 году.

п.1. Если опустить замкнутый проволочный контур в мыльную воду, а затем аккуратно его извлечь оттуда, то на контуре останется мыльная пленка. Если подуть на пленку, то можно получить мыльный пузырь. Мыльную пленку и мыльный пузырь можно рассматривать как поверхность раздела двух однородных сред, находящихся в равновесии. Мыльная пленка, натянутая на контур в окрестности каждой своей точки разделяет две среды, а именно воздух-воздух, разность давлений которых вдоль пленки постоянно. В образовании мыльных пленок важную роль играет специальное строение молекул мыла. Они имеют удлиненную форму и содержат полярный конец и неполярный конец. Молекулы мыла накапливаются на поверхности раствора так, что неполярный конец направлен наружу пленки, а полярный – внутрь пленки. Это приводит к понижению поверхностного натяжения и к повышению упругих свойств пленки. Толщина мыльной пленки очень мала, и пленка имеет вид слоя пар молекул мыла, направленных друг к другу полярными концами. При исследовании мыльных пленок их толщиной можно пренебречь и мыльную пленку можно рассматривать как двумерную поверхность в пространстве.

Если - разность давлений, действующих на мыльную пленку с разных концов, и сила поверхностного натяжения пленки, то имеет место формула Лапласа:

где средняя кривизна поверхности Для мыльных пленок, находящихся в равновесии, можно считать , и потому для них Это означает, что для мыльной пленки, натянутой на замкнутый контур, имеем и потому она является минимальной поверхностью. Естественно, пространственная форма пленки существенно зависит от формы контура, на который она натянута. Меняя контур, можно менять внешнюю форму мыльной пленки. При этом, однако, может меняться и ее внутренняя геометрия. Так как внутренняя геометрия поверхности определяется ее первой квадратичной формой , то естественно поставить вопрос: каким условиям должна удовлетворять двумерная метрика , чтобы она являлась первой квадратичной формой мыльной пленки ? Другими словами, каким условиям должна удовлетворять двумерная метрика , чтобы ее можно было погрузить в пространство в виде минимальной поверхности?

В докладе указываются некоторые необходимые и достаточные условия, налагаемые на двумерные метрики , при которых возможно их изометрическое погружение в в виде минимальных поверхностей.

п.2. Пусть - метрика минимальной поверхности в . Хорошо известен тот факт (см. напр. [1]), что метрика может быть представлена в виде

где кривизна метрики . Отсюда сразу следует, что метрика, где - метрика минимальной поверхности, является плоской. Имеет место более сильный результат, установленный Риччи (см. напр. [1], [2]):

для того, чтобы метрика отрицательной кривизны , заданная в односвязной области допускала изометрическое погружение в в виде минимальной поверхности , необходимо и достаточно, чтобы метрика была плоской, то есть имела кривизну тождественно равную нулю: .

Аналогом этого результата может служить следующая

Теорема 1. Для того, чтобы метрика отрицательной кривизны , заданная в плоской односвязной области, допускала изометрическое погружение в в виде минимальной поверхности , необходимо и достаточно, чтобы метрика имела кривизну тождественно равную единице: .

Доказательство. Необходимость. Пусть – минимальная поверхность в , заданная уравнением . Известна классическая формула, дающая связь трех квадратичных форм поверхности (см. напр. [3]):

где средняя кривизна поверхности ;

единичный вектор нормали поверхности . Так как для минимальной поверхности имеет , то отсюда следует, что метрика совпадает с метрикой единичной сферы: . Это означает, что кривизна метрики равна (+1).

Достаточность. Пусть метрика ,где кривизна метрики , имеет кривизну, равную (+1). Будем считать, что метрика задана в изометрических координатах . Тогда можно записать , где кривизна метрики вычисляется по формуле

. (1)

Здесь оператор Лапласа: . Так как метрика имеет кривизну (+1), то имеет место тождество:

которое можно переписать в виде

(2)

Покажем, что при условии (2) метрика допускает изометрическое погружение в в виде минимальной поверхности. С этой целью обратимся к уравнениям Гаусса-Кодацци [3]:

где

Покажем, что эта система имеет решение.

Будем искать решение уравнений Гаусса-Кодацци в виде (3)

Очевидно, что формулы (3) дают решение уравнений Кодацци, выписанных для метрики . Обратимся к уравнению Гаусса. Оно дает

. (4)

Покажем, что в правой части формулы (4) стоит квадрат модуля аналитической функции. Для этого покажем, что есть гармоническая функция. Имеем Выберем так, чтобы .Зная модуль функции, можно найти аргумент аналитической функции с точностью до вещественного параметра. Следовательно, формулы (3) дают решение системы уравнений Гаусса-Кодацци, и потому в случае односвязной области в пространстве существует минимальная поверхность , имеющая своей метрической формой. Теорема доказана.

п.3. Если - поверхность постоянной средней кривизны и метрикой ,то уравнения Кодацци имеют вид:гдеЭто означает, что функция есть аналитическая в области функция. В силу уравнения Гаусса находим Следовательно, при условии функция является гармонической и потому метрика имеет нулевую кривизну. Таким образом, метрика поверхности постоянной средней кривизны в всегда такова, что метрика является плоской, если . Этот факт без доказательства отмечен в [ 1 ].

Для того, чтобы решить вопрос, допускает ли заданная метрика кривизны погружение в в виде минимальной поверхности в силу теоремы 1 необходимо подсчитать кривизну метрики по формуле

где , а затем вычислить кривизну метрики . Если получим что , то в силу теоремы 1 можно утверждать о возможности изометрического погружения в в виде минимальной поверхности; если , то такое погружение невозможно.

НЕ нашли? Не то? Что вы ищете?

Ниже приводится другой критерий погружаемости метрики отрицательной кривизны в в виде минимальной поверхности, который в ряде случаев проверяется значительно проще описанного выше способа.

Теорема 2. Пусть – метрика отрицательной кривизны , заданная в односвязной области плоскости . Тогда, для того, чтобы допускала изометрическое погружение в в виде минимальной поверхности, необходимо и достаточно, чтобы коэффициент допускал представление

, (5)

где – некоторые аналитические функции комплексного переменного . При выполнении условия (5) существует с точностью до движения в однопараметрическое семейство изометрических погружений метрики в виде минимальных поверхностей, попарно не конгруэнтных друг другу.

Доказательство. Необходимость. Пусть минимальная поверхность с метрикой . Тогда метрика имеет кривизну (+1), и потому в конформно стереографических координатах её коэффициенты даются формулами

где некоторая аналитическая в функция. Сравнивая коэффициенты метрик и , находим

(6)

где гауссова кривизна поверхности вычисляемая по формуле

. (7)

Уравнения Кодацци, выписанные для метрики дают:

. (8)

Так как для минимальных поверхностей с метрикой имеем то . Это означает, что в силу (8) функция является аналитической функцией в области . Подставляя значение из формулы (7) в формулу (6), находим

где .

Обозначая и , получаем , что и требовалось доказать.

Достаточность. Покажем, что метрика вида допускает изометрическое погружение в в виде минимальной поверхности. Можно воспользоваться представлением Вейерштрасса ([4], [5]) и сразу выписать в явном виде уравнения погружения:

(9)

где произвольные вещественные постоянные, фиксированная точка области

Однако, выписанные формулы (9) не охватывают всех реализаций метрики в в виде минимальных поверхностей.

Обратимся к системе уравнений Гаусса-Кодацци и проинтегрируем её для указанного вида метрики.

Уравнения Кодацци дают: аналитическая функция в области

Рассмотрим уравнение Гаусса; имеем

, где

Подсчитаем . Имеем

Это означает, что

Полагая , находим

(10)

где ; , произвольная вещественная постоянная; некоторая фиксированная точка области ; интегрирование ведется по любой кривой, соединяющей точки и в области .

Считая произвольную постоянную в качестве параметра, по формулам (10) получаем семейство решений системы уравнений Гаусса-Кодацци, непрерывно (и даже аналитически) зависящее от параметра. Этими решениями исчерпываются все решения системы уравнений Гаусса-Кодацци. Каждому решению системы соответствует минимальная поверхность в , имеющая данную метрику .

Из теоремы 2 вытекает следующее

Следствие. Пусть – метрическая форма с кривизной , заданная в односвязной области . Тогда метрическая форма

рассматриваемая в области , допускает изометрическое погружение в в виде однопараметрического семейства минимальных поверхностей . При этом гауссова кривизна поверхности вычисляется по формуле

Доказательство. Так как для метрики можно считать, что

где некоторая аналитическая в функция, то полагая в теореме 2 , получаем утверждение следствия.

Отметим, что реализация метрики в виде поверхности всегда осуществляется с помощью второй квадратичной формы где числовой параметр, . В самом деле, в силу уравнения Гаусса имеем

. Отсюда находим то есть Фиксируя ориентацию поверхности , однозначно определим знак

п. 4. Присоединенные минимальные поверхности. Ассоциированные

минимальные поверхности.

Пусть односвязная минимальная поверхность в , заданная уравнением . Обозначим через единичный вектор нормали поверхности . Имеет место следующая теорема (см. напр. [6]).

Теорема [6]. Если односвязная минимальная поверхность класса , то вектор-функция

(11)

изображает в минимальную поверхность , изометричную поверхности , такую, что в соответствующих по изометрии точках касательные плоскости поверхностей и параллельны, а соответствующие направления и ортогональны.

Доказательство. Прежде всего, убедимся, что контурный интеграл в формуле (11) имеет смысл и не зависит от пути интегрирования, соединяющего точку и . Для этого достаточно убедиться, что . Используя формулы Вейнгартена и условие , находим

Отсюда следует, что

Так как , то последнее соотношение выполняется тождественно только на минимальных поверхностях, и потому имеет место для поверхности

Подсчитаем первую квадратичную форму поверхности . Имеем

И так, поверхность изометрична поверхности . Покажем, что она – минимальная поверхность. Для этого подсчитаем ее среднюю кривизну . Так как , то векторы и компланарны векторам и , и потому в соответствующих по изометрии точках поверхностей и единичный вектор нормали поверхности коллинеарен единичному вектору нормали поверхности . Тогда находим коэффициенты второй квадратичной формы поверхности :

Используя эти формулы, находим :

Следовательно, поверхность является минимальной поверхностью. Покажем, что Имеем

что и доказывает теорему.

Замечание. Поверхность , заданная уравнением (11), называется присоединенной поверхностью.

Важную роль присоединенная поверхность играет в связи со следующей теоремой (см. напр. [6]).

Теорема [6]. Пусть – поверхность, присоединенная к минимальной поверхности . Тогда поверхности , заданные уравнением

(12)

при любом значении являются минимальными поверхностями, изометричными друг другу и находятся в соответствии Петерсона.

Доказательство. Имеем в силу : . Это означает изометрию поверхностей для любого .

Так как , а тройки векторов и – компланарны, то поверхности при любом в соответствующих по изометрии точках имеют параллельные касательные плоскости, что и доказывает теорему.

Замечание. Поверхности , заданные уравнением (12), называются ассоциированными поверхности .

п. 5. Приведем примеры метрик, реализуемых в в виде классических минимальных поверхностей.

а) Пусть метрика двумерной сферы единичного радиуса дана в стереографических координатах в виде

Согласно следствию из теоремы 2 метрика

может быть реализована в в виде минимальной поверхности . Такая реализация дается, например, поверхностью Эннепера:

Для нее находим

Характерным свойством поверхности Эннепера является тот факт, что она является алгебраической поверхностью, несущей плоские линии кривизны. В самом деле, так как , то линии , и , являются линиями кривизны. Подсчитаем кручение этих кривых. Имеем, например, для линии :

Так как , то. Аналогично убеждаемся, что линии являются плоскими.

Найдем уравнение поверхности , присоединенной поверхности Эннепера. Имеем

Отсюда находим

Для поверхности имеем:

б) Рассмотрим метрику

Подсчитаем ее кривизну . Имеем

Так как кривизна , то метрика есть метрика единичной сферы (или ее куска). Представим коэффициент в виде , где и – аналитические функции. Имеем

Положим . Тогда имеем , и потому . Таким образом, погружение метрики в пространстве можно осуществить с помощью второй квадратичной формы , где . Отсюда следует, что . При метрика погружается в виде геликоида (или его части), при – в виде катеноида (или его части). Меняя значение параметра от 0 до , получим непрерывное изгибание куска геликоида в кусок катеноида.