Примеры

Примеры

Задача №1

Даны точки А (-1; 5; -10), В (5; -7; b), С (2, 2; -7), D (a; -4; 2). Определить при каких значениях a и b векторы и коллинеарны.

Решение

1.  = {xB - хA; уB - уA; zB - zA } = { 5 + 1;; b + 10} =

= {6; -12; b +10};

= { x D - хC; у D - уC ; z D - zC } = {a - 2;; 2+7} =

= {a - 2; -6; 9}.

2.  Так как по условию ||, то

или

Ответ: a = 5, b = 8.

Задача №2

Вектор перпендикулярен к оси У и вектору = {1; -3; 4}, а
с осью Х образует острый угол. Найти его координаты, если
|| =

Решение

1. Пусть = {x, y, z}.

2. Ось У определяется вектором = {0; 1; 0}. А так как по условию ^ , то = 0 или

3. По условию ^ Þ = 0 или , x = −4z.

4. По условию || = Þ х2 + z2 = 68.

5. Рассматривая совместно два последних уравнения, получим

x = -4z, x = -4z, x = -4z, x = -4z,

x2 + z2 = 68; 16z2 + z2 = 68 ; 17z2 = 68; z2 = 4;

x1 = -8,

z1 = 2 не удовлетворяет условию задачи, так как если образует

с осью Х острый угол a, то x = ||cosa> 0.

Второе решение (x2 = 8; z2 = -2) удовлетворяет условию задачи.

Ответ: = {8; 0; -2}.

Задача №3

где и - единичные векторы, образу-

ющие угол 600. Найти

Решение

1.

Так как по условию и - единичные вектора, а скалярный квадрат вектора равен квадрату его модуля, то = 1 и = 1. При этом

Ответ:

Задача №4

{1; 2; 3}, {2, -1, 2} {3; -2; -1}, ={2; 2; 8}.

Решение

1. 

Убедимся в том, что векторы образуют базис.

+

+

Следовательно, векторы образуют базис и или ;

2.  Полученное равенство возможно, если

a + 2b + 3g = 2,

2a- b - 2g = 2, *

3a+ 2b - g = 8.

Искомые значения a, b и g находим по формулам Крамера:

№1 №2 №3 №1 №2 №3 №1 №2

= 2+ 6 + 12 + 4 + 2) = 18,

= 2 (( – 1+ 8) – (– 2 + 6) + 3(8 – 3)) = 2(7 – 4 + 15) = 36,

= 2 (4 + 3 – (– 2 – 6) + 4(– 1 – 4)) = 2 (7 + 4 – 20) = – 18.

Следовательно,

3. Подстановка найденных значений a, b и g в систему (*) приводит к верным числовым равенствам.

Ответ:

Варианты упражнений по векторной алгебре

и определителям

Номер индивидуального задания (номер варианта) должен совпадать с номером, под которым учащийся числится в списке группы.

В четвертой задаче каждого варианта требуется доказать, что данная совокупность векторов ,, образует базис трехмерного векторного пространства и найти разложение указанного вектора в этом базисе. При этом можно считать, что координаты векторов ,,, определены по базису , .

При решении первого вопроса определитель D следует вычислить программным способом.

При решении второго вопроса то есть при нахождении l1, l2, l3 по формулам Крамера, вычислить определитель , дописывая справа два дополнительных столбца.

При вычислении определителя применить разложение по элементам первой строки.

Значение определителя следует найти, используя разложение по элементам последнего столбца.

Правильность решения системы проверить подстановкой найденных значений.

Вариант 1

1. Определить сумму координат т. М, с которой совпадает начало = {2; -3; -1}, если его конец совпадает с т. N (1; -1; 2).

2. Вычислить длину вектора 2 - , если ={-1; -3; 2}, ={-5; -10; 4}.

3. Вершины треугольника АВС имеют координаты: т. А (-1; -2; 4), т. В (-4; -2; 0), т. С (3; -2; 1). Найти внутренний угол при вершине В.

4. = {3; 2; 1}, = {4; -4; 5}, = {2; -3; 1}, = {8; -1; 0}.

Вариант 2

1. Определить сумму координат т. N, с которой совпадает конец вектора = {3; -1; 4}, если его начало совпадает с т. М (1; 2; 3).

2. Даны две координаты : х = 4 и у = -12. Определить координату z, если || = 13 и составляет с осью Z острый угол.

,

,

3. Найти , если ( ^ ) = 5π/4; cos ( ^ ) = 1/6 , = -3.

4.  = {3; 1; -3}, = {1; -4; 5}, = {1; -2; 6}, = {21; -16; 41}.

Вариант 3

1. Определить произведение координат т. А, с которой совпадает начало вектора = {-1; 4; 5}, если конец его совпадает с т. В (0; 2; -4).

2. Длина вектора равна . Вычислить сумму координат , если все его координаты в разложении по базису () равны и положительны.

3. Даны точки А (-1; 2; 3), В (0; 1; 4), С (-2; -1; 0), D (-2; 0; 1). Доказать ортогональность векторов и .

4. = {1; 4; 2}, = {1; -3; 1}, = {-1; 1; -1}, = {-2; 1; 1}.

Вариант 4

1. Даны точки А (5; у), В (-7; 8), С (2; -7), D (-4; 2). При каком значении у ?

2. Начало вектора находится в т. А (-1; 1; 2), конец в т. В (х; 1; 4). Длина вектора равна 2. Найти х.

3. Определить, при каком значении l векторы и взаимно перпендикулярны.

4. = {1; 3; 2}, = {2; -5; 7}, = {1; 3; -1}, = {4; 1; 8}.

Вариант 5

1. Вычислить , если в разложении по базису () = {3; 1; -2},

= {-1; -2; 4}.

2. Даны вершины четырехугольника точки А (1; у; 2), В (1; 4; 0), С (4; 1; 1),

D (-5;-5; 3). При каком значении у АС ^ ВD?

3. . Найти и угол между векторами и .

4. = {5; 2; 1}, = {8; -3; 2}, = {-1; 2; 3;}, = {7; 9; 1}.

Вариант 6

1. Определить при каких значениях l и b вектора и коллинеарны?

2. Даны вершины четырехугольника точки А (3; 7), В (-2; 1), С (0; 3),

D (-1; 1). Найти длину большей диагонали.

3. Найти проекции векторов + и 3 - 5 на координатные оси, если при разложении по базису () = {1; 5; 4}, = {-2; 3; 0}.

4. = {2; 5; 3}, = {-1; 2; -1}, = {5; 13; 5}, = {4; 2; 0}.

Вариант 7

1.  Определить начало ={0; 2; -3}, если его конец совпадает с точкой

М (2; -3; 4).

2. Построить параллелограмм на векторах = и = - . Найти длину его диагоналей.

,

3. Даны векторы и , причем ^)= 1200. Найти

4. = {2; 7; 4}, = {3; -5; 11}, = {4; 0; 0}, = {-20; 34; -36}.

Вариант 8

1. Проверить коллинеарность векторов и . Установить какой из них длиннее другого и во сколько раз, как они направлены в одну или противоположные стороны.

2. Даны точки А (-1; 3; -7), В (2; -1; 5), С (0; 1; -5). Вычислить

3. Вектор составляет с осями У и Z углы b = 600 и g =1200 соответственно. Какой угол он составляет с осью Х?

4. = {1; 8; -4}, = {1; 3; -1}, = {-1; -6; 3}, = {1; 2; -3}.

Вариант 9

1.  Даны точки А (0; -1; 3), В (2; -1; 0), С (-1; -1; 2). Найти координаты

и длины векторов и 0,5.

2.  || = 3, || = 5. При каком l > 0 ( ?

3.  Определить угол между векторами и

4. = {1; 2; 3}, = {-2; 3; -2}, = {3; -4; 5}, = {6; 20; 6}.

Вариант 10

1.  Определить начало ={0; 2; -3}, если его конец совпадает с точкой

М (2; -3; 4).

2.  В прямоугольной системе координат даны точек А (1; 2; 3) и В (3; -4; 6). Найти проекции вектора на координатные оси, его направляющие косинусы и ||.

3.  Найти угол между векторами и если и

- единичные вектора, образующие угол 600.

4. = {2; 1; 3}, = {-4; -2; -1}, = {3; 4; 5}, = {1; 3; 2}.

Вариант 11

1. Определить, при каких значениях l и b вектора и коллинеарны.

2. Даны вершины треугольника точки А (1; 2; 1), В (3; -1; 7), С (7; 4; -2). Определить внутренний угол при вершине В.

3. Даны три вектора и Вычислить (3 - 2).

4.  = {2; 1; 2}, = {3; 1; 1}, = {11; 5; 3}, = {7; 3; -1}.

Вариант 12

1. Даны точки А (2; х; -1), В (3; -1; 0), С (2, 3; 1 ), D (5, 4, у). При каких значениях x и у векторы и коллинеарны?

2. Даны векторы и Определить и

3. Даны вершины треугольника т. А (1; 2; 1), т. В (3; -1; 7), т. С (7; 4;-2). Убедиться в том, что D АВС равнобедренный.

4. = {2; 3; 1}, = {-1; 2; -2}, = {1; 2; 1}, = { 2; -2; 1}.

Вариант 13

1. Даны точки А (-1; 2; 5), В (0; -3; 1), С (4; 0; 2). Вычислить

2. Вектор коллинеарен вектору = {3; 1; -2} и = 28. Найти координаты .

3. Найти угол между диагоналями параллелограмма, построенного на векторах и как на сторонах.

4. = {3; 5; -4}, = {4; -6; 5}, = {2; - 4; 3}, = {5; -3; 1}.

Вариант 14

1. В треугольнике АВС = , = . Построить векторы ;

2. Даны вершины четырехугольника точки А (1; 0: -1), В (2; -1; 1), С (3; 2; -3), D (5; -2; 3). Доказать, что его диагонали АС и ВD взаимно перпендикулярны.

3. Вычислить, какую работу производит сила = {3; 4; 7}, когда ее точка приложения, двигаясь прямолинейно, перемещается из т. А (3;1;0) в т. В (2; 4; 3).

4. = {2; 1; 3}, = {1;-2; 2}, = {3; 1; 2}, = {9; -2; 7}.

Вариант 15

1. Даны векторы = и = . Вектор = - медиана D ОAB. Разложить вектор по векторам и .

2. Определить при каком значении l векторы + l и -l ортогональны.

3. Даны три вектора: и Вычислить

4. = {1; 1; 2}, = {1; -1; 3}, = {1; 2; -1}, = {-2; -7; 1}.

Вариант 16

1. Найти вектор, длина которого равна 5, а направление совпадает с направлением = {1; -2; 2}.

2. При каких значениях l векторы = {l; -5; 2} и = {l; l; 3} будут перпендикулярны?

3. = {1; 0; -1}, = {2; -1; 4} и = {0; 1; 2}. Найти

4. = {1; 2; 3}, ={2; -1; -5}, = {-1; 1; 2}, = {7; 2; -7}.

Вариант 17

1.  Даны точки А (0; 1; 3), В (-2; 1; 4), С (1; 2, 3), D (-1; 4; 5). Вычислить

(+ .

2. Найти координаты , коллинеарного = {3; -1; 2} и удовлетворяющего условию: = 5.

3. Вершины четырехугольника лежат в точках А (-4; -3), В (-5; 0), С (5; 6), D (1; 0). Найти угол между диагоналями АС и BD.

4. = {4; 2; 5}, = {-3; 5; 6}, = {2; -3; -2}, = {8; 11; 13}.

Вариант 18

1. Вычислить , если , где и взаимно перпендикулярные орты.

2. Вектор , перпендикулярный с оси Х и к вектору = {1; 4; -3}, образует острый угол с осью Z. || = 5. Найти его координаты.

3. Найти угол между диагоналями параллелограмма, стороны которого совпадают с векторами = {2; -1; 1} и = {1; 3; -2}.

4. = {1; 2; -3}, = {-1; 2; 2}, = {-4; -12; 1}, = {-5; 18; -4}.

Вариант 19

1.  , = 5. Найти

2. В треугольнике АBC т. А (-1; 1), т. В (2; 3), т. С (6; 1) . Найти вектор и длину стороны ВС.

,

3. . Найти

4. = {1; 2; -3}, = {1; -1; 4}, = {-1; 3; 2}, = {0; 9; 11}.

Вариант 20

1. Определить координаты точки К, с которой совпадает начало вектора = {-1; 1; 2} , если его конец совпадает с точкой М (1; 2;-3).

2. Даны точки А (-1; 3), В (2; 4), С (-6, 7). На оси У найти такую точку D, чтобы выполнялось условие || .

3. Точки А (2; 1; 0), В (-3; -6; 4), С (-2, 4; 1) - вершины D ABC. Найти внутренний угол при вершине А.

4. = {2; -3; 4}, = {-4; 8; -3}, = {4; -10; 1}, = {10; -25; 1}.

Вариант 21

1. Докажите, что точки А (-2; -3), В (-3; 1), С (7; 7), D (3; 0) служат вершинами трапеции.

2. Вектор перпендикулярен к оси Х и вектору = {1; 0; 4}, при этом образует с осью У острый угол. Найти его координаты, если || =

3. , где и — единичные векторы, образующие угол 600 . Найти .

4. = {1; 1; -2}, = {1; -1; 0}, = {0; 2; 3}, = {1; 1; 1}.

Вариант 22

1. Даны три последовательные вершины параллелограмма А (-3; -2; 0),
В (3; -3; 1), С(5; 0; 2). Найти его четвертую вершину Д.

–

2. Векторы ={2; 3; -5}, ={3; 0; 1} и ={4; -3; 2} разложены по ортам координатных осей. Найти координаты и длину вектора

3. Найти угол между диагоналями параллелограмма, построенного на векторах и , как на сторонах.

4. = {2; 3; 2}, = {1; -2; -3}, = {-2; 3; 5}, = {5; 4; 1}.

Вариант 23

1. Найти вектор коллинеарный вектору ={3; 6; 6} и удовлетворяющий условию = 27. Координаты вектора даны в разложении по ортам координатных осей.

2. Вычислить (+)2, если и единичные векторы и угол между ними равен 300.

3. На векторах ={2; 3; -5} и ={3; 0; 1}, как на сторонах, построен параллелограмм. Найти длину большей его диагонали. Координаты векторов и даны в разложении по базису ().

4. = {3; 5; -4}, = {4; -6; 5}, = {2; -4; 3}, = {5; -3; 1}.

Вариант 24

1. Даны четыре точки А(-2; -3; 8), В(2; 1; 7), С(1; 4; 5), D(-7; -4; 7). Будут ли коллинеарны векторы и ?

2. Даны вершины треугольника А(3; 2; -3), В(5; 1; -1), С(1; -2; 1). Найти его внутренний угол при вершине А.

3. Вычислить , если векторы ={1; -1; 3} и ={3; -5; 6} разложены по базису ().

4. = {2; 1; 3}, = {1; 0; 1}, = {1; 2; 2}, = {2; 1; 4}.

Вариант 25

1. Найти вектор коллинеарный вектору ={2; -1; 0}, если =10. Координаты вектора даны в разложении по базису ().

2. При каком значении х векторы ={x; 3; 4} и ={5; 6; 3}, разложенные по базису (), ортогональны?

3. Точки О(0; 0), А(2а; 0), В(а; - а) – вершины треугольника. Найти угол,
образованный стороной ОВ и медианой ОМ этого треугольника.

4. = {4; 0; 3}, = {0; 1; 0}, = {5; -6; 4}, = {0; 5; 1}.

Вариант 26

1. Определить единичный вектор 0, сонаправленный с вектором
={2; -1; 4}, если координаты даны в разложении по базису ().
2. Треугольник задан координатами своих вершин А(3; 2; -3), В(5; 1; -1), С (1; -2; 1). Найти медиану BD, проведенную к стороне АС.

3. Найти направляющие косинусы вектора – , если в разложении по базису () ={2; -1; 0}, ={0; 1; -1}.

4. = {10; 1; 2}, = {2; -10; 4}, = {-3; 2; 10}, = {16; -3; -18}.

Оформление титульного листа

____________________________________________________________________

(название учебного заведения)

Контрольная работа по

ВЕКТОРНОЙ АЛГЕБРЕ И ОПРЕДЕЛИТЕЛЯМ

Вариант №___

Выполнено______________________________

______________________________

______________________________

(фамилия, имя, отчество)

Группа_____________

«___»_____________200__г.

Проверено__________________

Оценка______________________

Контрольные вопросы

1. Определение вектора. Свойство свободных векторов.

2. Правило умножения вектора на число. Единичный вектор.

3. Нахождение алгебраической суммы нескольких векторов. Правило параллелограмма.

4. Вычитание векторов, имеющих общее начало. Правило треугольника.

5. Радиус-вектор. Разложение радиус-вектора по ортам координатных осей.

6. Представление вектора, начало которого не совпадает с началом координат в виде разности радиус-векторов. Определение координат данного вектора.

7. Условие коллинеарности двух векторов в векторной и координатной форме.

8. Скалярное произведение двух векторов. Скалярный квадрат вектора. Условие ортогональности двух векторов в векторной и координатной форме.

9. Как находится модуль вектора, если ах, ау, аz его координаты при разложении по базису ? Вывод формулы.

10. Определение проекции вектора на ось. Проекции вектора на координатные оси и их связь с координатами вектора, разложенного по базису .

11. Как находятся координаты вектора – орта вектора , если ах, ау, аz – координаты при разложении по базису ? Вывод формулы.

12. Что называется определителем? Свойства определителя.

13. Понятие о миноре и алгебраическом дополнении. Разложение определителя по элементам любой его строки или столбца.

14. Как перейти от данного определителя к верхнему треугольному определителю и чему равно значение последнего?

15. Формулы Крамера.

16. При каком условии три данных вектора, разложенных по базису , образуют базис трехмерного векторного пространства?

Рекомендуемая литература

1.  , И. и др. Вся высшая математика,

гл. IV, § 2, 3. – М.: Высш. шк., 1999.

2. Аналитическая геометрия, гл. IV, § – М.: Физматгиз, 1970.

3. Высшая математика в упражнениях и задачах, гл. IV,

§ 1. – М.: Высш. шк., 1999.