Определители матриц

1.  ОПРЕДЕЛИТЕЛИ МАТРИЦ

Определение. Матрицей из m строк, n столбцов называется прямоугольная таблица чисел ; - элемент матрицы; i-номер строки; i=1,…,m; j-номер столбца, j=1,…,n; m, n – порядки матрицы. При m=n - квадратная матрица.

Определение. Определителем n-го порядка, соответствующим матрице , называется число .

Для вычисления определителя можно использовать элементы произвольной строки или столбца.

Определение. Алгебраическим дополнение элемента называется число, равное .

Определение. Дополнительным минором элемента матрицы называется определитель матрицы n-1-го порядка, полученный из матрицы вычеркиванием i-ой строки и j-го столбца.

.

Транспонирование матрицы – такое преобразование матрицы, при котором строки становятся столбцами с сохранением порядка следования.

Свойства определителей.

1.  При транспонировании матрицы определитель не меняется.

4

2.  При перестановке любых двух строк (столбцов) определитель меняет только знак.

3.  При умножении строки (столбца) на некоторое число определитель умножается на это число.

4.  Если все соответствующие элементы квадратных матриц одного порядка одинаковы, за исключением элементов одной i-ой строки, то .

5.  Величина определителя не изменяется, если к элементам некоторой строки (столбца) прибавить соответствующие элементы другой строки (столбца), умноженной на некоторое число.

Определитель равен нулю, если

- все элементы некоторой строки (столбца) равны нулю.

- две строки (столбца) одинаковы.

- две строки (столбца) определителя пропорциональны.

Методы вычисления определителей.

1). Разложение по строке или столбцу.

2). Метод обращения в нуль всех, кроме одного, элементов строки или столбца. Метод состоит в том, что с учетом свойств определителя при помощи какого-либо столбца (строки) путём умножения его на соответствующие числа и вычитания из остальных столбцов (строк), зануляются все элементы выбранной строки (столбца) кроме одного, принадлежащего вычитаемому столбцу (строке).

3). Метод приведения к треугольному виду. Алгоритм, предложенный в предыдущем пункте, используется для последовательного зануления всех элементов первой строки (столбца) кроме одного, второй строки (столбца) – всех кроме двух и т. д. В итоге определитель преобразуется к треугольному виду. Величина такого определителя равна произведению элементов главной диогонали.

4). Вычисление с использованием теоремы Лапласа, согласно которой определитель - го порядка равен сумме произведений всех его миноров -го порядка, стоящих в выделенных строках (столбцах), на их алгебраические дополнения.

Примеры

1. Вычислить данный определитель четвёртого порядка с помощью разложения по строке или столбцу:

5

Решение. Удобнее всего делать разложение по строке или столбцу, в которых встречается наибольшее число нулевых элементов. В данном случае – это четвёртый столбец. Итак имеем

Полученные в итоге два определителя третьего порядка вычислим тем же методом. В определителе нулевых элементов нет, поэтому можно выбрать для разложения любой из столбцов, например, первый. В единственный нулевой элемент находится на пересечении первого столбца со второй строкой. Для разнообразия будем разлагать по второй строке:

6

Таким образом окончательно получим

2. Используя метод обращения в нуль всех, кроме одного, элементов строки или столбца вычислить определитель матрицы

Решение. Будем занулять все, кроме первого, элементы первой строки. С этой целью вычтем из второго, третьего и четвёртого столбцов первый столбец, умноженный соответственно на 2, 3 и 4. Получим

7

Представленный в таком виде определитель разложим по первой строке:

Определитель третьего порядка, к которому свёлся исходный определитель, будем вычислять тем же способом. Вычтем из второго и третьего столбцов первый столбец, умноженный соответственно на 2 и 7. Получим (попутно вынося общие множители из столбцов)

3. Используя метод приведения к треугольному виду вычислить определитель из примера 2.

Решение. Воспользуемся видом определителя , который получился после процедуры зануления всех элементов (кроме первого) первой строки:

.

Далее с помощью второго столбца занулим элементы второй строки, кроме первых двух, для чего вычтем из третьего и четвёртого столбцов второй столбец, умноженный соответственно на 2 и 7. Получим (попутно вынося общие множители из столбцов)

8

Наконец, вычтем третий столбец из четвёртого, в результате чего определитель сведётся к треугольному виду, величина которого равна произведению элементов главной диогонали: .

Задачи

1.1. Вычислить определитель разложением по элементам а) первой строки; б) третьей строки .

1.2.  Найти алгебраическое дополнение а) элемента 6; б) элемента 0 данной матрицы .

9

При каком значении a равны нулю следующие определители:

1.3. . 1.4. . 1.5. .

Используя свойства определителей, вычислить следующие определители:

1.6. . 1.7. . 1.8. . 1.9.. 1.10. .

Вычислить определители, приведя матрицу к треугольному виду (приведение матрицы к треугольному виду – такое преобразование, при котором

все элементы, лежащие по одну сторону от главной диагонали, равны нулю)

1.11. . 1.12. . 1.13.. 1.14. .

10

Вычислить определители

1.15. .1.16. . 1.17. . 1.18.. 1.19.. 1.20.. 1.21.. 1.22.. 1.23. . 1.24.. 1.25.. 1.26..

1.27.. 1.28..

11

1.29.. 1.30.. 1.31.. 1.32.

Вычислить определители, используя теорему Лапласа

1.33.. 1.34. 1.35.. 1.36..

12

Вычисление определителей n-го порядка

Вычислить определители приведением к треугольному виду

1.37.. 1.38..

1.39. 1.40..

Вычислить определители методом выделения линейных множителей

1.41.. 1.43.

1.42.. 1.44..

13

Вычислить определители методом рекурентных соотношений

1.45.. 1.46..

1.47.. 1.48..

Матрицы, операции над матрицами

Определение. Суммой матриц одного порядка называется матрица с элементами , где

Определение. Произведением матрицы на число называется матрица того же порядка с элементами .

Определение. Произведением матрицы на матрицу называется матрица с элементами , где

Примеры

1.  Вычислить выражение , если

14

, .

Решение. Прежде всего преобразуем матрицу , используя определение произведения матрицы на число

.

Найдём теперь . По определению, чтобы получить матрицу небходимо в поменять местами соответствующие строки и столбцы, таким образом имеем

.

Вычислим теперь искомое выражение

2.  Вычислить выражение , если

.

Решение. Выражение представляет собой матричный многочлен

, где - единичная матрица.

Вычислим последовательно слагаемые этого выражения:

15

,

, .

Подставив всё это в , имеем

.

Задачи

1.49.  Найти , если .

1.50.  Даны матрицы .

Найти: а) б)

1.51.  Найти матрицу , если

а)

б)

16

1.52.  Даны матрицы .

Найти: а) б) в)

1.53.  Найти и , если

Найти произведения матриц

1.54. . 1.55.

1.56. 1.57.

1.58.1.59.

1.60.

1.61.

17

1.62. Вычислить

а) ; б) ; в) ;

г) ; д ).

1.63. Показать, что матрица является корнем многочлена .

1.64. Вычислить , если

а) ;

б) ;

в) ;

г) .

Обратная матрица

Определение. Квадратная матрица называется обратной к квадратной матрице того же порядка, если , где - единичная матрица.

18

Утверждение. Квадратная матрица имеет обратную матрицу тогда и только тогда, когда .

Утверждение. Элементы обратной матрицы , если она существует, можно найти по формуле

или ,

где - алгебраическое дополнение к элементу матрицы , - алгебраическое дополнение к элементу транспонированной матрицы .

Примеры

1.  Найти матрицу обратную к , если .

Решение. Прежде всего вычислим определитель матрицы , чтобы убедиться в возможности существования обратной матрицы.

Следовательно, для существует обратная матрица.

Воспользуемся теперьформулой, выражающей элементы обратной матрцы через алгебраические дополнения к элементам транспонированной матрицы. Для имеем .

Вычислим последовательно элементы :

19

, ,

, ,

, ,

, ,

20

.

С учётом полученного обратная к матрица имеет вид

.

2.  Решить матричное уравнение

, где , .

Решение. Такое матричное уравнение, если определитель матрицы отличен от нуля, удобно решать путём умножения обеих частей уравнения слева на матрицу . В этом случае для искомой матрицы получим

и поскольку , то .

Найдём теперь выражение для . Детерминант матрицы равен 4. Пользуясь формулами, определяющими элементы обратной матрицы, имеем

.

Учитывая последнее, для получим

Задачи

1.65. Какая из матриц является обратной к матрице , если , .

21

1.66. При каких существует , если

a)  ; б) ;

в) .

Найти матрицу, обратную к данной, если она существует

1.67. . 1.68. . 1.69. .

1.71.. 1.72. . 1.73. .

1.74. . 1.75. .

1.76. . 1.77. .

1.78. . 1.79. .

22

Решить матричные уравнения

1.80.. 1.81..

1.82. .

1.83. .

1.84. .

1.85. .

1.86. .

Базисный минор, ранг матрицы

Определение. Минор -го порядка матрицы называется её базисным минором, если он не равен нулю, а все миноры матрицы порядка и выше, если они существуют, равны нулю.

Определение. Ранг матрицы – это порядок её базисного минора.

Для ранга матрицы используются такие обозначения: .

Утверждение. Ранг матрицы равен максимальному числу её линейно независимых строк (столбцов).

Утверждение. Ранг матрицы не меняется

- при транспонировании матрицы.

- при перестановке её строк и столбцов.

- при умножении всех элементов её строки (столбца) на число отличное от нуля.

23

- при добавлении к одной из строк (столбцов) линейной комбинации из других её строк (столбцов).

- при удалении (вычёркивании) из неё строки (столбца) из нулей.

- при удалении из неё строки (столбца), представляющей линейную комбинацию других строк (столбцов).

Методы вычисления ранга матрицы.

1.  Метод упрощения матрицы с помощью элементарных пребразований. Упрощения производятся с использованием свойств ранга матрицы. Как и в случае с определителями, можно, например, с помощью 1-й строки занулить все элементы первого столбца кроме одного - верхнего. Далее с помощью второй строки занулить все эементы второго столбца кроме двух верхних и т. д., пока матрица не приведётся к ступенчатому виду.

2.  Метод окаймления. Ищется минор порядка , заведомо отличный от нуля. Затем вычисляются все окаймляющие (т. е. содержащие ) миноры порядка. Если среди них найдётся хоть один, отличный от нуля, то ищутся окаймляющие миноры следующего порядка. Процедура продолжается до тех пор, пока для какого-то, отличного от нуля минора -го порядка, все окаймляющие миноры ни окажутся равными нулю. Тогда ранг матрицы равен нулю.

Примеры. 1. Найти ранг и указать какой-нибудь базисный минор матрицы .

Решение. Используем свойства ранга матрицы. Для удобства преобразуем матрицу так, чтобы в первой строке самый крайний слева элемент был равен единице. Для этого вычтем первую стоку из второй и преобразованную вторую строку поменяем местами с первой.

24

Теперь из второй и третьей строк вычтем первую, умноженную соответственно на 2 и 5:

.

Третья строка равна второй и её можно вычеркнуть согласно свойству 6. Таким образом, исходная матрица в результате эквивалентных преобразований переходит в следующую:

.

В этой матрице имеются миноры второго порядка, отличные от нуля, например,

минор . Этот минор можно выбрать в качестве базисного. Следовательно, ранг исходной матрицы равен двум: .

2. Вычислить методом окаймления ранг матрицы

.

Решение. Минор второго порядка, стоящий в левом верхнем углу, отличен от нуля:

.

Теперь вычислим миноры, окаймляющие данный. Таковых два:

,

25

.

Таким образом, оба окаймляющих минора равны нулю и, следовательно, ранг исходной матрицы равен двум: .

Задачи

1.87. Найти ранг и указать какой-нибудь базисный минор матрицы

а).; б) ; в) ;

г) ; д) .

1.88. С помощью элементарных преобразований найти ранг матрицы

а) ; б) ;

в) ; г) ;

26

д) ; е) .

1.89. Найти все значения , при которых ранг матрицы

а) равен 2; б) равен 2;

в) равен 3.

1.90. В зависимости от исследовать ранг матрицы

а) ; б) ;

в) ; г) .

27