Методическая разработка «Методы решения показательных и логарифмических уравнений »

Методическая разработка

«Методы решения показательных и

логарифмических уравнений »

для организации уроков повторения и подготовки к ЕГЭ в 11 классе

Глава 1.

При подготовке и сдаче ЕГЭ по математике возникает необходимость систематизации знаний учащихся. Показательные и логарифмические уравнения входят единый и государственный экзамен, причем с решением логарифмических уравнений учащиеся справляются хуже, чем с решением показательных. Цель этой работы повторить и систематизировать знания, умения и навыки учащихся при решении показательных и логарифмических уравнений.

Показательные уравнения

Простейшее показательное уравнение - уравнение вида , т. е. уравнение, в которых переменная содержится в показателе степени некоторого числа или алгебраического выражения.

Основными методами решения показательных уравнений являются методы группировки, разложения на множители и замены переменной.

Простейшее показательное уравнение при b 1 не имеет корней и имеет единственный корень x = при b>0, если b является степенью числа а, т. е. b= ,то уравнение (1) имеет единственный корень х=с .

Уравнение вида , a>0,a 1 равносильно уравнению f(х)=g(x)

Уравнение вида , a>0,a 1,b>0, равносильно каждому из уравнений , f(х)=g(x) .

Уравнения, непосредственно сводимые к простейшим

Пример 1. Решить уравнение..

Решение.

Ответ:2.

Пример 2.Решить уравнение.

Решение.;. Ответ:3;9.

Пример 3.Решить уравнение Решение.; Ответ:2;5.

Вынесение общего множителя за скобки

Этот метод применяют при решении уравнений вида

и сводимых к ним. После вынесения общего множителя за скобки приходим к уравнению , откуда

Пример 4.Решить уравнение..

Решение.

.

Ответ:2.

Группировка и разложение на множители

Основная идея решения задач этого типа отражена в названии: после группировки и вынесения общих множителей обычно удается привести к виду , а последнее уравнение - к одному или двум простейшим показательным уравнениям.

Пример 5. Решить уравнение:

Решение.

Перенесем выражение из правой части уравнения в левую и сгруппируем слагаемые: . Вынесем за скобку общий множитель: ; , откуда х-3=0 или -1=0, значит х=3 или х=0. Ответ: 0;3.

Пример 6. Решить уравнение: .

Решение.

Ответ:0;1.

Замена переменной

Большинство показательных уравнений, в которых используется замена переменной, сводится после этой замены к квадратному уравнению. Найдя корни квадратного уравнения и выполнив обратную замену, получаем одно или два простейших показательных уравнения. Уравнение сводится к квадратному уравнению заменой >0.

Для решения однородного уравнения вида нужно обе его части разделить на ( по свойству показательной функции 0 ни при каких х ). После деления получим уравнение , которое заменой >0, сводится к квадратному уравнению относительно y.

Пример 7. Решить уравнение: ;

Решение: Пусть , тогда уравнение примет вид .

Ответ: 1,5.

Пример 8. Решить уравнение: (1).

Решение: Пусть , тогда уравнение примет вид (2); разделив обе части уравнения на , получим уравнение (3), равносильное уравнению(2). Обозначим =у, получим уравнение 3у²-5у+2=0, откуда , уравнение (3) равносильно совокупности уравнений =1, = , откуда . Если t=0, то - =0. Это уравнение не имеет корней.

Если t=1, то - =1, откуда х=-1.

Ответ: -1.

Пример 9. .

Решение: ; =t, t>0, D=1+4*2*3=25,

; ;не удовлетворяет условию t>0. =1; 5х²-4ч-12=0, ; .

Ответ: -0,6;2.

Пример 10. Найти произведение корней уравнения .

Пусть =t, получим t²-6t+5=0, , исходное уравнение равносильно совокупности уравнений =1 или =5,

 

Произведение корней равно 1**3=1.

Ответ: 1.

Пример 11. Решить уравнение: .

Решение. Воспользуемся равенством и заменим =t.

Получим уравнение или , откуда . Данное уравнение равносильно совокупности уравнений (1), (2) Из (1) уравнения , из (2)- учитывая .получим .

Ответ:-3;3.

Пример 12. Решить уравнение:.

Решение.при любом х Разделим обе части уравнения на , получим

, равносильное данному уравнению. Пусть ;

имеет два корня, выполнив обратную замену, получим или.

Ответ:.

Применение свойств функций

Пример13. Решить уравнение: .

Решение. Число х=2 является корнем уравнения. Докажем, что уравнение не имеет других корней. Функция f(x)= является возрастающей. Поэтому f(x)< f(2)=41 при х<2 и f(x)>f(2) при х>2, т. е. функция f(x) не принимает значение, равное 41, при х 2. Это означает. Что х=2 –единственный корень уравнения.

Ответ: 2.

Пример 14. Решить уравнение: .

Решение. Заметим, что (*) Равенство является верным при всех х>0, так как логарифмы по основанию 3 его левой и правой частей совпадают. Используя равенство (*) получим.

Ответ:9.

Пример 15. Решить уравнение: .

Решение. Число х=1 является корнем уравнения. Докажем, что уравнение не имеет других корней. Разделим обе части уравнения на :Получим Функция f(x)= является монотонно убывающей( как сумма двух монотонно убывающих функций), поэтому каждое свое значение она принимает только один раз. Так как f(1)=1, то х=1 –единственный корень уравнения , а значит и данного уравнения.

Ответ:1.

Пример 16. Решить уравнение:

Решение. Так как , значит , а |x |0 при всех значениях переменной. Получим, что левая часть уравнения не меньше 2. Знак равенства возможен. Только, если каждое слагаемое левой части принимает свое наименьшее значение. откуда

Ответ:0.

Пример 17. Решить уравнение:

Решение. .

Ответ: 2.

Глава 2

Логарифмические уравнения

Простейшее логарифмическое уравнение - уравнение вида где a>0, a1, имеет единственный корень .

Методы решения - равносильные преобразования, переход к уравнению-следствию, разложение на множители, замена переменной, применение свойств функций. Решение большинства логарифмических уравнений после преобразований сводится к решению логарифмических уравнения вида ; ; .

Пример 1. Укажите наибольший корень уравнения

Решение. По определению логарифма получаем 12-наибольший корень.

Ответ:12.

Пример 2. Решить уравнение:

Решение. .

Ответ: .

Пример 3. Решить уравнение:

Решение. , так как каждое слагаемое суммы, заключенной в скобки, положительно, то сумма не равна 0. Поэтому уравнение равносильно уравнению, имеющему единственный корень х=1.

Ответ:1.

Алгебраические преобразования

Применение свойств логарифма и основного логарифмического тождества.

a>0, , x, y >0

1. , 2. , 3. , 4., 5. , 6. .

7.

Пример 4. Решить уравнение: .

Решение.

Ответ: .

Пример 5: Укажите наименьший целый корень уравнения

Решение.

К уравнению можно применить основное логарифмическое тождество при выполнении необходимых условий наименьшим целым корнем будет 4.

Ответ:4.

Пример 6: Укажите целое решение уравнения .

Решение. Заменим 5

получим уравнение

, целое х=7. Ответ:7.

Пример 7. Решить уравнение: .

Решение.

.

Ответ:100.

Пример 8. Решить уравнение: .

Решение. .

Ответ:2.

Пример 9. Решить уравнение:

Решение. По свойствам логарифмов запишем уравнение в виде , откуда

Ответ:-4;4.

Пример 10. Решить уравнение: .

Решение. .

Ответ: 9.

Пример 11. Решить уравнение: Решение. .

Ответ:8.

Пример 12. Укажите наименьший корень уравнения .

Решение. Область определения данного уравнения:2х-1>0; x>.

или

или

Все найденные корни входят в область определения. Наименьший корень . Ответ: .

Замена переменной

Пример 13. Решить уравнение:

Решение. Пусть , тогда получим уравнение ; ; или

Ответ:0,1; .

Пример 14. Решить уравнение: .

Решение. ; ; ; х=27.

Ответ: .

Отбор корней в логарифмических уравнениях

Пример 15. Решить уравнение: .

Решение.

Если х>4, то |4-x|=4-x|, (x-4)(2x-1)=9 2x²-9x-5=0; D=121; x=-0,5 или x=5 x=-0,5 не удовлетворяет условию х>4

Если х<4, то |4-x|=x-4, (4-x)(2x-1)=92x²-9x+13=0; D<0; корней нет.

Ответ:5.

Пример 16. Решить уравнение:

Решение. ;

х-9=0 или х+2 =0 или

х=9 х=-2

х=-2 не удовлетворяет условию

Ответ: 9.

Пример 17. Решить уравнение: .

Решение. Обе части уравнения имеют смысл, если

; т. е. при

;

Данное уравнение равносильно ;

При получаем уравнение ; разложим на множители, обозначим = a, =b, а b+ b²-4-2а=0, (b-2)( b+2)+а(b-2)=0;

(b-2)( b+а+2)=0;

=0 или =0

.

Из чисел только удовлетворяет условию .

Ответ: .

Пример 18 Решить уравнение.

Решение. Используя тождество , заменим данное уравнение равносильным уравнением, потенцируя получим;.верно;

верно;верно;неверно.

Ответ:0;.

Применение свойств функций

Пример19. Решить уравнение..

Решение..На этом промежутке функция f(x)= монотонно возрастает, а функция g(x)= монотонно убывает. Поэтому уравнение f(x)=g(x) имеет не более одного корня. Так как f(5)=g(5),х=5 единственный корень уравнения. Ответ:5.

Пример 20. Решить уравнение..

Решение. Так как получим ,

Но , поэтому уравнение имеет решение только в том случае, если

,

Проверка: верно.

единственный корень.

Ответ:3.

Тренировочная работа 1 Тренировочная работа 2

Решить уравнение:

1. . 1. .

2. . 2. .

3. 3.

4. . 4..

5. . 5. .

6. . 6. .

7. . 7. .

8. . 8. .

9. . 9. .

10... 10. .

11. . 11..

12. . 12. .

13. . 13.

14. . 14.

15. . 15. .

Список литературы

1.  Учебник Алгебра и начала анализа 10 класс, авторы , , ;

2.  Учебник Алгебра и начала анализа 11 класс, авторы , , ;

3.  Дидактические материалы по алгебре и началам математического анализа 10 класс; , ;

4.  Готовимся к ЕГЭ математика изд. Дрофа 2004 год авторы , …;

5.  ЕГЭ 2011 Математика задача С1 Уравнения и системы уравнений авторы , ;

6.  Уравнения лекции для старшеклассников и абитуриентов М Шабунин Библиотечка «Первого сентября» математика №1 2005;

7.  Книга для учителя К «Сборнику задач по алгебре и началам анализа для проведения и подготовки итоговой аттестации за курс средней школы» под редакцией .