«Комплексные числа»

Министерство образования РФ

Иркутский Государственный Университет

Лицей ИГУ

КУРСОВАЯ РАБОТА

«Комплексные числа»

Содержание

Содержание.. 2

ВВЕДЕНИЕ.. 3

НЕПРИВОДИМЫЙ СЛУЧАЙ КУБИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ.. 4

ДЕЙСТВИТЕЛЬНОЕ + МНИМОЕ = КОМПЛЕКСНОЕ.. 5

СВОЙСТВА КОМПЛЕКСНЫХ ЧИСЕЛ.. 7

СЛОЖЕНИЕ, ВЫЧИТАНИЕ, УМНОЖЕНИЕ.. 8

КОМПЛЕКСНО-СОПРЯЖЁННЫЕ ЧИСЛА.. 9

ДЕЛЕНИЕ КОМПЛЕКСНЫХ ЧИСЕЛ.. 10

ГЕОМЕТРИЯ КОМПЛЕКСНЫХ ЧИСЕЛ.. 10

ДBE ОСИ И КОМПЛЕКСНАЯ ПЛОСКОСТЬ.. 11

КОМПЛЕКСНОЕ ЧИСЛО КАК ВЕКТОР.. 12

АРГУМЕНТ КОМПЛЕКСНОГО ЧИСЛА.. 13

ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКАЯ ФОРМА ЗАПИСИ КОМПЛЕКСНЫХ ЧИСЕЛ 14

ВОЗВЕДЕНИЕ В СТЕПЕНЬ И ИЗВЛЕЧЕНИЕ КОРНЯ ИЗ КОМПЛЕКСНОГО ЧИСЛА.. 16

Решение примеров.. 21

Список литературы... 28

ВВЕДЕНИЕ

Когда мы слышим слово «число», то на ум преж­де всего приходят натуральные числа: 1, 2, 3,... Их мы используем для пересчёта разнооб­разных предметов. Если натуральных чисел оказывается недостаточно, прибегаем к дро­бям, а точнее — к рациональным числам. И то, как правило, не ко всем, а лишь к тем, которые выражаются конечными десятичными дробя­ми. Уж их-то вполне хватает для повседневных нужд. Конечные десятичные дроби позволяют фиксировать результаты всевозможных изме­рений с произвольной точностью. Чего же ещё ждать от чисел?

Но вот нам говорят, что существуют несо­измеримые величины. Например, диагональ квадрата несоизмерима с его стороной, т. е. от­ношение их длин — — не является рацио­нальным числом, хотя и может с любой напе­рёд заданной точностью быть приближено рациональными числами. И тогда становится понятно, что проще признать эти новые, ир­рациональные числа, чем каждый раз вместо «решим уравнение х2 = 2» говорить «найдём та­кое х, чтобы х2 отличалось от 2 не более, чем на такую-то величину».

Построенное таким образом сообщество — множество действительных чисел — уже не только удовлетворяет нашим практическим по­требностям, но и обладает определённой теоретической полнотой. Оно позволяет форму­лировать разнообразные задачи, сводить их к уравнениям и решать, не боясь впасть в про­тиворечие. Конечно, и здесь есть свои правила и ограничения. Нельзя, например, делить на нуль, нельзя извлечь корень чётной степени из отрицательного числа и т. д. Однако правила эти несложные, и если им строго следовать, то всё будет в порядке...

Всё ли? Рассмотрим такой пример: можно считать равным и 1, и -1, а определить невозможно. С другой стороны, что такое 1/6? Это то же самое, что 2/12. Однако а последний корень можно извлечь!

Вот ещё один пример:

Но если квадратного корня из -1 не существу­ет, то и его четвёртой степени не существует. Значит, -1 нельзя возвести даже в квадрат?

Кому-то покажется, что всё это не настоя­щие противоречия. Можно наложить дополни­тельные запреты на действия с числами, и по­добные ситуации больше не возникнут. Но всегда ли разумны запреты? Представьте себе, что некоторые задачи весьма успешно реша­ются только с нарушением определённого за­прета, и никак не удаётся найти «законного» способа их решения. Не стоит ли в таком случае отказаться от ограничения, ставшего слишком обременительным? Именно это про­изошло в своё время с запретом извлекать квад­ратный корень из отрицательных величин при решении так называемого неприводимого случая кубического уравнения.

НЕПРИВОДИМЫЙ СЛУЧАЙ КУБИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ

Подобно тому как для решения квадратного уравнения существует общая формула, выра­жающая корни уравнения через его коэффи­циенты, аналогичная формула есть и для кубического уравнения вида

Она называется формулой Кардано — по имени математика, впервые её опу­бликовавшего.

Пример. Для уравнения

х3 = 30х + 36

формула Кардано даёт

Под квадратным корнем здесь оказалось отри­цательное число. В то же время уравнение име­ет решение х = 6 — это легко проверить.

Однако предположим на секунду, что корни из отрицательных чисел существуют. Тогда, если научиться извлекать кубические корни из выражений вида , можно будет вычислить и Мы получим и В самом деле, возведём в куб выражение , воспользовавшись форму­лой (а + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 +b3:

Аналогично, Поэтому

Как видно, «странные» корни успешно сокра­щаются. То есть решали обычное уравне­ние и нашли корень — обычное действитель­ное (и даже натуральное) число. Но для этого в промежуточных выкладках пришлось оперировать «необычными» числами. И самое главное – никаким другим способом, за ис­ключением разве что угадывания, это решение получить не удаётся!

Теперь есть три пути:

— безоговорочно следовать установленным запретам и отказаться от новых приобретений, т. е. считать, что никакого метода решения неприводимого случая кубического уравнения у нас нет;

— «спрятать голову в песок», т. е. каждый раз, решая уравнения, при переходе к действию с выражениями вида говорить «извините!», и делать вид, что ничего не произошло;

— заняться их изучением: дать определение, ис­следовать свойства, научиться выполнять ариф­метические операции.

Хотя и не сразу, но в конечном итоге мате­матики выбрали третий путь. И были возна­граждены: «странные» корни нашли широкое применение в электротехнике, аэродинамике и других областях знаний.

ДЕЙСТВИТЕЛЬНОЕ + МНИМОЕ = КОМПЛЕКСНОЕ

Итак, кроме привычных действительных (бук­вально — «реально существующих») чисел нам приходится рассматривать ещё числа вида , где А — положительное действительное число. Что это за числа, как их «потрогать руками» — всё это вопросы, не имеющие ответа. Мы про­сто договорились считать, что они есть. И впол­не естественно, что такие числа были названы мнимыми, т. е. «нереальными».

Но кое-что о мнимых числах мы всё же зна­ем. Например, что при возведении в квадрат они дают отрицательные числа. Далее, посколь­ку то а — это обычное действительное число. Значит, любое мнимое число можно получить исходя из един­ственного мнимого числа если умножить его на подходящее действительное число. Та­ким образом, вместо безбрежного океана таин­ственных объектов мы имеем один - единствен­ный непривычный объект, все же остальные строятся с помощью операции умножения. Со­гласитесь, с такой ситуацией примириться уже гораздо легче.

Число играющее роль «строительного блока» в мире мнимых чисел, называют мнимой единицей и по предложению Леонарда Эйлера обозначают буквой (от лат. imaginarius — «мнимый»). Основное свойство мнимой единицы выражается простым равенством:

Однако, как подсказывает опыт решения ку­бических уравнений, кроме действительных и мнимых чисел нам приходится рассматривать также числа вида которые представ­ляют собой сумму действительного и мнимого. Такие числа именуются комплексными, т. е. со­ставными.

А теперь, суммируя всё сказанное, сформу­лируем наконец определение комплексного числа: комплексным числом называется выра­жение вида , где и — действительные числа, а — мнимая единица.

Пример решения квадратного уравнения

Выражение «Квадратное уравнение, дискри­минант которого меньше нуля, не имеет решения», верно при условии «не имеет в действительных числах, в комплексных же имеет целых два». Рассмотрим такое уравнение:

х2 - 2х + 5 = 0. (*)

По общей формуле находим

Здесь дискриминант D = - 4 отрицателен. Однако знакомство с комплексными числами избавит от лишних сомнений:

Таким образом, уравнение (*) имеет два ком­плексных корня:

СВОЙСТВА КОМПЛЕКСНЫХ ЧИСЕЛ

В комплексном числе вида

(*)

где и — действительные числа, а — мнимая единица, слагаемое называется дей­ствительной частью, а слагаемое — мни­мой частью. Действительную часть и коэффициент принято обозначать так:

Получается, что любое действительное чис­ло — это такое комплексное число, мнимая часть которого равна нулю, например:

и т. п.

Мнимое же число — это такое комплексное число, у которого нулю равна действительная часть, а мнимая часть отлична от нуля, в част­ности:

Комплексные числа можно складывать и пе­ремножать точно так же, как это делают с алгебраическими выражениями. При этом при­вычные законы сложения и умножения — со­четательный (ассоциативный), переместительный (коммутативный), распределительный (дистрибутивный) — остаются в силе:

Особое значение нуля и единицы также сохра­няется:

Роль же мнимой единицы совершенно особая и не имеет аналогов в «обычной» арифметике:

Понятия «больше» и «меньше» в области комплексных чисел теряют всякий смысл. На­пример, нельзя сказать, что больше: или . Можно лишь сравнивать по отдельнос­ти действительную и мнимую части.

СЛОЖЕНИЕ, ВЫЧИТАНИЕ, УМНОЖЕНИЕ

Производя арифметические операции с дей­ствительными числами, мы не сомневаемся, что в итоге тоже получится действительное число (исключение составляет деление на нуль). Переходя к комплексным числам, нуж­но убедиться в том, что арифметические опе­рации над ними порождают только комплекс­ные числа. Это значит, что результат любой арифметической операции должен быть пред­ставлен в стандартной форме (*).

Начнём со сложения.

Пусть и . Тогда

То есть сумма двух комплексных чисел есть комплексное число, действительная часть ко­торого равна сумме действительных частей этих чисел, а мнимая часть — сумме их мнимых частей.

Аналогично можно найти разность двух комплексных чисел:

Перейдём к умножению. Это тоже нетруд­но, если механически раскрыть скобки и во­время вспомнить, что

Таким образом, сумму, разность и произ­ведение любых двух комплексных чисел нам удалось представить в форме (*). Несколько сложнее с операцией деления. Камень пре­ткновения — комплексный знаменатель дроби:

Для того чтобы обратить его в действитель­ный, придётся предпринять дополнительное исследование.

КОМПЛЕКСНО-СОПРЯЖЁННЫЕ ЧИСЛА

Обычно мнимую единицу определяют как квадратный корень из числа -1. Но какой из двух? Сказать «положительный» нельзя, ведь понятия «положительный» и «отрицательный» для мнимых чисел не определены... Это напо­минает казусные рассуждения Марка Твена: один из двух близнецов утонул, а второй так и не понял, кто же утонул — он сам или его брат.

К счастью, выясняется, что беспокоиться не о чем. Роль и в сообществе комплексных чисел абсолютно симметрична: и — два равноправных корня из -1. Эта симметрия приводит к тому, что у каждого комплексного числа имеется «близнец» . Такие «близнецы» называются комплексно - сопряжёнными или просто сопряжёнными числами. (В том случае, когда , т. е. — действительное число, оно является сопряжён­ным самому себе: )

Комплексно-сопряжённые числа обладают интересными свойствами. Прежде всего, их сумма и произведение являются действитель­ными числами. В самом деле,

Выражение немецкий учёный назвал нормой комплексного числа а квадратный корень из нормы (точнее, его положительное значение) по пред­ложению французского математика Огюстена Коши стали именовать модулем комплексного числа. Обозначают его чаще всего буквой или знаком абсолютной величины: Отсюда легко получить следующее свойство сопряжённых чисел: их нормы и мо­дули всегда равны между собой. А проанализи­ровав формулы суммы, разности и произведе­ния, можно доказать и другие свойства:

ДЕЛЕНИЕ КОМПЛЕКСНЫХ ЧИСЕЛ

Теперь несложно справиться и с делением ком­плексных чисел. Чтобы привести частное

к стандартному виду (*), нужно избавиться от мнимой единицы в знаменателе. Для этого домножим числитель и знаменатель на чис­ло, сопряжённое знаменателю, (ведь про­изведение комплексно-сопряжённых чисел — число действительное). В результате получим

Чтобы рассмотренные понятия стали вполне нагляд­ными, имеет смысл познакомиться с геомет­рической интерпретацией комплексных чисел.

ГЕОМЕТРИЯ КОМПЛЕКСНЫХ ЧИСЕЛ

Наглядно представить мнимые числа впервые попытался ещё в XVII в. английский учёный Джон Валлис. Он предлагал различные вари­анты, и один из них выглядел так: мнимое число представляет собой сред­нее геометрическое между 1 и -1. Следователь­но, есть сторона квадрата, равновеликого прямоугольнику со сторонами 1 и -1. Серьёз­ного отклика у современников идеи Валлиса не вызвали.

В 1799 г. датский математик Каспар Вессель предложил простую геометрическую интер­претацию комплексных чисел, однако его работа осталась незамеченной. Лишь через три десятка лет выпустил в свет труд «Теория биквадратных вычетов», в котором дал такое же геометрическое пред­ставление комплексных чисел, как и Вессель.

Идея Весселя и Гаусса настолько прозрачна, что остаётся только удивляться, почему никто из учёных не додумался до неё раньше. А со­стоит она в следующем.

ДBE ОСИ И КОМПЛЕКСНАЯ ПЛОСКОСТЬ

Действительные числа удобно представлять в виде точек на числовой оси. Надо лишь вы­брать начало координат (нулевую точку), по­ложительное направление и единицу измере­ния, и тогда любому действительному числу будет соответствовать единственная точка числовой оси, и наоборот: каждой точке — действительное число.

Точно так же, точками на числовой оси, можно изобразить и чисто мнимые числа : точке с координатой будет отвечать число , а умножить на легко и в уме. Так что числовая ось вполне пригодна для представ­ления и действительных, и мнимых чисел. Но только не одновременно! Значит, чтобы одно­временно изображать действительные и мни­мые числа, нужно взять сразу две оси. Назовём их соответственно действительной осью и мнимой осью и расположим перпендикулярно друг другу — так, чтобы они пересеклись в ну­левой точке. В этом и состояла основная идея Весселя и Гаусса. Для определённости выберем положительное направление действительной оси вправо, а мнимой оси — вверх. Единица же измерения (масштаб) по обеим осям пусть будет одна и та же.

Итак, в нашей геометрической интерпрета­ции мнимые числа «расположены перпенди­кулярно» действительным. Ну а комплексные? Они «размещаются» по всей плоскости, в ко­торой лежат числовые оси. Выберем на плос­кости произвольную точку и спроектируем её на эти оси. Допустим, проекция точки на дей­ствительную ось имеет координату , на мни­мую ось — координату (рис. 1). Будем счи­тать эту точку изображением комплексного числа . Теперь можно смело утверждать, что каждой точке плоскости соответствует одно вполне определённое комплексное число. Верно и обратное: каждому комплексному числу соответствует одна точка плоско­сти. Таким образом, между точками плоскости и комплексными числами существует взаимно однозначное соответствие.

Рис.1

КОМПЛЕКСНОЕ ЧИСЛО КАК ВЕКТОР

Соединим начало координат и точку, изобра­жающую комплексное число , направ­ленным отрезком — вектором, как показано на рис. 1. Что это даёт?

Прежде всего, теперь можно наглядно пред­ставить операции сложения и вычитания ком­плексных чисел. Изобразим комплексные чис­ла и в виде двух векторов. Затем построим на них параллелограмм. Вектор, соединяющий начало координат с четвёртой вершиной па­раллелограмма, в точности соответствует ком­плексному числу, равному сумме , (рис.2). А чтобы представить разность двух комплекс­ных чисел, достаточно заменить второй вектор противоположно направленным. Или иначе: вектор, идущий от к , надо перенести в на­чало координат (рис.3).

Далее, число 0 — это нуль-вектор, а ком­плексно-сопряжённые числа - векторы, сим­метричные относительно действительной оси.

Наконец, можно вычислить длину вектора, соответствующего комплексному числу

Воспользуемся для этого теоремой Пифа­гора. Из рис.1 понятно, что длина вектора есть длина гипотенузы прямоугольного треуголь­ника с катетами и поэтому она равна а это модуль комплексного числа

Рис. 3

Таким образом, длина вектора, соответствующего комплексному числу z, равна его модулю | z |.

Применим этот результат к геометрической интерпретации сложения комплексных чисел. Поскольку любая сторона треугольника не пре­восходит суммы двух других, следовательно, т. е. модуль суммы комплексных чисел не превосходит суммы их модулей.

АРГУМЕНТ КОМПЛЕКСНОГО ЧИСЛА

Как известно, вектор определяется не только длиной, но и направлением. Чтобы его задать, можно использовать угол между положитель­ным направлением действительной оси и на­правлением вектора. Но этого недостаточно. Возьмём два сопряжённых комплексных числа и На плоскости они изо­бражаются векторами, симметричными отно­сительно действительной оси (рис. 4), причём углы между ними и действительной осью рав­ны. Получается, что, зная величину угла, мы всё ещё не в состоянии выбрать одно из двух под­ходящих направлений.

Во избежание этой неопределённости вводят понятие направления измерения угла и как следствие — отрицательные углы. Если при измерении угла мы движемся от положитель­ного направления числовой оси против часо­вой стрелки, значение угла будем считать по­ложительным, а если по часовой стрелке — то отрицательным. В таком случае для числа z на рис. 4 угол положителен, а для — отрицате­лен. Этот угол называют аргументом комплекс­ного числа и обозначают так: Обычно он измеряется не в градусах, а в радианах.

Итак, мы научились однозначно задавать направление вектора. Но осталась другая не­однозначность: одному и тому же направле­нию вектора соответствует вовсе не единствен­ный аргумент.

Предположим, при отсчёте угла против часо­вой стрелки аргумент равен Но ничто не мешает отсчитывать угол и по часовой стрелке. Тогда, совершив почти полный оборот (), получим Можно развить эту идею и к величине угла добавить (или от­нять) какое угодно целое число оборотов, что вернёт вектор в то же положение. Поскольку один оборот — это то целое число оборо­тов — это где — произвольное целое число. Выходит, если — аргумент комплекс­ного числа z, то с равным правом можно счи­тать аргументом и любое из бесконечного ко­личества значений, определяемых по формуле

Как быть с этой многозначностью? Не уста­новить ли границы для аргумента, считая допу­стимыми лишь такие его значения, которые лежат, скажем, в пределах от до или от 0 до ? Но, оказывается, это неудобно по другим соображениям. Приходится смириться с тем, что каж­дому комплексному числу соответствует един­ственный модуль, но бесконечное количество аргументов. А для нуля аргументом является вообще произвольное число.

Теперь комплексное число можно опреде­лять не только парой координат, но и по-друго­му: парой модуль — аргумент. И встаёт новый вопрос: как от одного способа перейти к друго­му и наоборот? Здесь нам на помощь прихо­дит тригонометрия.

ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКАЯ ФОРМА ЗАПИСИ КОМПЛЕКСНЫХ ЧИСЕЛ

Возьмём произвольное комплексное число и изобразим его в виде вектора на комплексной плоскости (рис. 5). Пусть N — про­екция точки М на действительную ось. В пря­моугольном треугольнике OMN длины катетов ON и NM равны соответственно и , а длина гипотенузы ОМ равна Из три­гонометрии известно, что отношение длины катета к длине гипотенузы равняется косинусу прилежащего угла и синусу противолежащего.

Следовательно,

где — аргумент комплексного числа z. Таким образом,

Конечно, тригонометрическая форма запи­си комплексного числа выглядит громоздко по сравнению с привычной. Попробу­ем перемножить два комплексных числа, запи­санных в тригонометрической форме:

и Всё сводится к элементарному рас­крытию скобок с последующей заменой на -1.

В круглых скобках нетрудно узнать выражения для косинуса и синуса суммы двух углов. По­этому

Неожиданный и красивый результат:

при умножении комплексных чисел, их модули необходимо перемно­жить, а аргументы — сложить.

Нетрудно доказать, что при делении необходимо произвести обратные операции: поделить модули и вычесть аргументы.

Отсюда вытекает геометрический смысл операций умножения и деления комплексных чисел:

— при умножении на комплексное число вектор, соответствующий множимому, нужно растянуть в раз и повер­нуть на угол (рис. 6);

— при делении вектор, соответствующий делимому, надо сжать в раз и повернуть на угол .

Как мы убедились, тригонометрическая форма записи комплексного числа не менее полезна, чем обычная. Вопрос лишь в том, когда какую из них удобнее применять. При сложе­нии и вычитании легче оперировать комплекс­ным числом в виде суммы действительной и мнимой частей. Но если речь идёт об умноже­нии и делении, преимущества тригонометри­ческого представления неоспоримы.

ВОЗВЕДЕНИЕ В СТЕПЕНЬ И ИЗВЛЕЧЕНИЕ КОРНЯ ИЗ КОМПЛЕКСНОГО ЧИСЛА

Тригонометрическая форма записи комплекс­ных чисел удобна при возведении в степень и извлечении корней. Попробуем возвести в на­туральную степень n комплексное число

Здесь — модуль комплексного числа z, а — его аргумент. Возведение в натуральную сте­пень n можно заменить многократным (точ­нее, n-кратным) перемножением одинаковых чисел. При перемножении, как нам известно, модули умножаются, а аргументы складыва­ются, поэтому модуль полученного в итоге числа будет равен а аргумент .

Можно было бы взять в качестве аргумента числа z не а какое-то другое значение, отли­чающееся от на «целое число оборотов», на­пример В этом случае аргумент числа равнялся бы По сути дела это ничего не меняет, ведь и — -периодические функции. Итак,

Это выражение называется формулой Муавра — в честь английского математика Абра­хама де Муавра, открывшего её в 1701 г.

При умножении и делении аргумент ком­плексного числа ведёт себя точно так же, как и показатель степени. Действительно, при умно­жении аргументы складываются, при делении вычитаются. Почему бы в таком случае не пред­положить, что

где A — некоторое число, причём одно и то же для всех значений Леонард Эйлер показал в 1743 г., что таким числом является Здесь е = 2,71828... — знаменитое число Эйлера, а — мнимая единица. Так что справедлива формула Эйлера:

Подставив в неё и учитывая, что a получим удивительное соотношение между пятью самыми популярными в математике кон­стантами: нулём, единицей, мнимой единицей, а также замечательными числами е и

Это равенство во все времена вызывало вос­торженные отклики. По словам известного кораблестроителя и математика академика Алексея Николаевича Крылова, в нём таин­ственным образом воссоединились числа, сим­волизирующие арифметику (0 и 1), алгебру ( ), анализ ( е ) и геометрию ( ).

С помощью формулы Эйлера получаем ещё одно, очень компактное представление ком­плексного числа:

Оно называется экспоненциальной формой представления. Если же подобрать такое дей­ствительное что (и должно быть равно натуральному логарифму числа ), то получим

Теперь можно извлечь из числа z корень n-й степени (n — натуральное):

Таким образом, при извлечении корня нату­ральной степени n из модуля надо извлечь этот корень обычным способом, получив положи­тельное число, а аргумент поделить на n. Но, поскольку аргумент комплексного числа опре­делён с точностью до наряду с мы долж­ны рассмотреть также все аргументы вида где — целое. Так и поступим:

Видно, что различным со­ответствуют различные не кратные аргумен­ты. Значит, при извлечении корня натуральной n-й степени имеется n значений корня и раз­ность между «соседними» значениями аргумен­та равна (на рис. 7 дан пример для n = 6).

Итак, любое комплексное (в том числе дей­ствительное) число имеет ровно n комплекс­ных корней n-й степени. Рассмотрим, напри­мер, z = 1. Начнём с квадратного корня (n = 2):

Рис.7

где или 1. Получаем два корня:

Оба они действительные, причём именно те, которых и следовало ожидать.

Случай n = 3 интереснее:

При 0, 1 и 2 имеем три корня:

Рис.8.

Первый из них — обычный действительный кубический корень из 1. Другие же два не столь очевидны (рис. 8). Для проверки возведём хотя бы один из них в куб, например второй:

При извлечении корня 4-й степени получа­ем т. д.

Для полноты следует рассмотреть ещё слу­чай комплексного числа с ненулевым аргумен­том. Извлечём, к примеру, квадратный корень из -1. Здесь модуль равен 1, а аргумент . По формуле

0 и 1, получается два корня: и .

ФОРМУЛА ЭЙЛЕРА

Известно, что функции можно пред­ставить степенными рядами:

В последнюю формулу вместо подставим

Сравнивая по отдельности действительную и мни­мую части этой формулы с рядами для косинуса и синуса, получаем что

Используя формулу Эйлера, можно предложить новые определения для функций (в том числе действительного аргумента):

Из данных формул можно вывести все обычные свойства этих тригонометрических функций.

ФОРМУЛА МУАВРА И ТРИГОНОМЕТРИЯ

Формула Муавра оказывается удобным средством для преобразования некоторых выражений, содержащих тригонометрические функции. С ее помощью можно быстро вывес­ти тригонометрические формулы синуса и коси­нуса кратных углов (двойного, тройного и т. д.). К примеру, пусть

n = 2:

Раскрыв скобки в левой части, после приведения подобных членов имеем

Приравнивая по отдельности действительные и мнимые части, получаем сразу две формулы - для косинуса и синуса двойного угла:

n = 3:

Приравнивая по отдельности действительные и мнимые части, находим:

n = 5:

пользуемся тем, что Приравнивая компоненты получим

Неудивительно, что комплексные числа нашли широкое применение при описании периодических процессов, например в цепях пе­ременного тока.

Решение примеров

Пример 1. Запишите z в алгебраической форме, если

а)

.

б) .

.

Пример 2. Запишите решения системы

а) б)

в алгебраической форме.

Решение:

а)

б)

Пример 3. Запишите в тригонометрической форме:

а) , б) ,

в).

Решение:

а)

б) так как , то , откуда

.

Так как , то , откуда

в) Так как , то , откуда

.

Пример 4. Решить уравнение: а)

б)

Решение:

а) Данное уравнение является квадратным.

По формуле корней квадратного уравнения имеем:

Для определения всех значений положим

Тогда

и, следовательно, x и y удовлетворяют системе

причём x и y действительные числа. Решим систему:

Заметим, что x=0 решением системы не является.

При получим:

Решим уравнение (*):

x4+15x2-16=0 – квадратное уравнение относительно x2, откуда

Вернёмся к системе:

Поэтому

б) Данное уравнение является квадратным.

По формуле корней квадратного уравнения имеем:

Для определения всех значений положим

Тогда

и, следовательно, x и y удовлетворяют системе

причём x и y действительные числа. Решим систему:

Заметим, что x=0 решением системы не является.

При получим:

Решим уравнение (*):

x4-16x2-225=0 – квадратное уравнение относительно x2, откуда

Вернёмся к системе:

Поэтому

Пример 5. Решить уравнение: а)

б)

Решение:

а) Пусть , тогда уравнение примет вид: ,

откуда по теореме, обратной теореме Виета получим

Возвращаясь к z, получим

1) . Заметим, что .

Используя вторую формулу Муавра, получим:

Следовательно,

2) . Заметим, что .

Используя вторую формулу Муавра, получим:

Следовательно,

б) Преобразуем уравнение:

Заметим, что .

Используя вторую формулу Муавра, получим:

Пример 6. Решить уравнение:

Решение:

Решим уравнение как квадратное относительно z2:

D=

Пусть тогда , а уравнение имеет вид

Пусть ,

тогда ,

откуда

Пусть , тогда ,

а значит, получим, что

Список литературы

1.  Выгодский по элементарной математике. – М., - 1972. – с. 174 – 207.

2.  Гладкий : натуральные, рациональные, действительные, комплексные: Учебное пособие для общеобразовательной школы. – М.: Вербум-М, 2000. – с. 117 – 139.

3.  Энциклопедический словарь юного математика / Сост. . – 3-е изд., испр. и доп. – М.: Педагогика-Пресс, 1997. с. 121, 144-148, 244, 245, 262, 271, 342.

4.  Математика. Энциклопедия для детей. – М.: Аванта+, 1998. – с.202-214.

5.  Куринной : Справочник. – Харьков: Фолио; Ростов н/Д: Феникс, 1997. – 156-163.

6.  , , Пасиченко по математике. Алгебра. Справочное пособие. – М.: Наука, 1987. – 341 – 372.

7.  , , Соколовский высшей математики для школьников. – М.: Наука, 1987. – с.276-293.