Контрольная работа №1

Контрольная работа №1.

Задание №1. Найти пределы:

а) б) .

Решение

а) Число , к которому стремится функция при стремлении к числу , называется пределом функции. Вот так это все записывается:

Воспользуемся теоремами:

Предел суммы равен сумме пределов, если они существуют:

.

Предел произведения равен произведению пределов, если они существуют: .

Предел частного равен частному пределов: . При условии: все пределы существуют и .

б) Имеем неопределенность вида .

Разделим числитель и знаменатель выражения, стоящего под знаком предела на и воспользуемся теоремами: предел суммы, предел произведения, предел частного.

Задание №2.

Дана система линейных уравнений. Решить ее методом Крамера.

Решение.

Пусть - матрица коэффициентов при неизвестных, - матрица – столбец неизвестных и - матрица – столбец свободных членов:

=; =; =.

Найдем определитель системы:

Так как 0, то по теореме Крамера система имеет единственное решение.

Вычислим определители матриц , полученных из матрицы А, заменой соответственно первого, второго и третьего столбцов столбцом свободных членов:

Теперь по формулам ; ; ,

Проверка:

Ответ:

Задание №3.

Найти матрицу обратную данной и сделать проверку с помощью единичной матрицы.

Решение.

Находим определитель матрицы:

Находим алгебраические дополнения матрицы A:

Присоединенная матрица

.

Находим обратную матрицу:

Делаем проверку:

Ответ:

Задание №4.

Даны координаты вершин треугольника АВС. Найти:

1) Длину стороны АВ;

2) Уравнение сторон АВ и ВС;

3) Величину угла А;

4) Уравнение высоты CD и ее длину;

5) Уравнение медианы ВЕ;

6) Координаты точки пересечения медианы ВЕ и высоты CD – точки К;

7) Уравнение прямой, проходящей через точку К параллельно стороне AB;

8) Координаты точки М, расположенной симметрично точке А относительно прямой CD

4. ,,.

Решение.

1)  Длиной стороны является модуль вектора . Его координаты:

Его модуль:

Получили:

2)  Прямая, проходящая через точки и представляется уравнениями:

,

,

,

,

,

,

Прямая, проходящая через точки и представляется уравнениями:

,

,

,

,

,

,

,

3)  Внутренний угол найдем, воспользовавшись скалярным произведением векторов

и .

,

,

В свою очередь:

,

Отсюда:

Отсюда:

4)  Уравнение стороны запишем через коэффициент наклона:

,

Найдем сначала :
,

,

, ,

Высота перпендикулярна стороне , следовательно:

Отсюда:

,

Так как высота проходит через точку , следовательно, его уравнение должно удовлетворят условию:

,

,

Получили:

,

,

,

Длину высоты найдем как расстояние от точки до прямой :

5)  - точка пересечения медианы

и стороны треугольника .

,

,

,

,

,

,

.

6)  Найдем координаты точки пересечения и , как решение системы:

Следовательно, точка имеет координаты .

7)  Обозначим прямую, проходящую через точку параллельно стороне как , которая будет перпендикулярна высоте , так как , то ее уравнение запишем через коэффициент наклона:

,

,

Так как высота проходит через точку , следовательно, его уравнение должно удовлетворят условию:

,

,

,

Получили:

,

,

.

8)  Найдем координаты точки М, расположенной симметрично точке А относительно прямой CD. По условию точка является серединой отрезка AM. Следовательно:

Найдем координаты точки , как точку пересечения прямых и , как решение системы:

.

В итоге получаем:

.

Задание №5.

4. Дано уравнение. Выделить полный квадрат, определить вид кривой и построить ее.

Решение.

Выделим полный квадрат в выражении, стоящего в левой части уравнения:

Подставляя, полученное значение в исходное уравнение, имеем:

Таким образом, данное уравнение задает эллипс с центром в точке , большой полуосью равной a=4 и малой равной b=3:

Задание №6.

4. Даны координаты точек , , и .Вычислить координаты векторов , ,

и найти длины этих векторов; найти угол между векторами и .

, , , .

Решение.

Вычислим координаты векторов:

Вычислим их длины векторов , и :

Чтобы найти угол между векторами и воспользуемся скалярным произведения векторов:

,

В свою очередь:

,

Отсюда:

Тогда: