Тема:«Лента Мёбиуса»

Муниципальное образование «Каменский городской округ»

Муниципальное общеобразовательное учреждение

«Кисловская средняя общеобразовательная школа»

Тема:«Лента Мёбиуса»

Исполнитель: Иванова Татьяна

Александровна, 2 класс.

Руководитель проекта: Бологова

Вероника Витальевна высшая

квалификационная категория

С. Кисловское

2009 год

-2-

Содержание

Стр

I. Введение …………………………………………… 3

II. Основная часть

1.  Геометрия. Топология………………………..4

2.  Историческая справка ………………………4

3.  Изготовление Ленты Мёбиуса………………5

4.  Свойства ленты Мёбиуса …………………...5

5.  Использование листа Мёбиуса ……………. 7

III. Заключение ……………………………………………. 10

IV. Литература …………………………………………….. 11

V. Приложения:

Þ Приложение «Международный символ переработки»

Þ Приложение «Владислав Крапивин. Бабушкин внук и его братья.»

Þ  Приложение « . Лист Мёбиуса»

Þ  Приложение « Картины »

Þ  Приложение «Памятник «Лента Мёбиус», город Москва»

-3-

I ВВЕДЕНИЕ

Существует много логических игр и головоломок. Мне интересны математические развлечения – математика - мой любимый школьный предмет.

Поэтому с удовольствием работала над проектом «Лист Мёбиуса»

В энциклопедии написано, что Лист Мёбиуса, лента Мёбиуса – простейшая односторонняя поверхность с краем. Ленту Мёбиуса обнаружили независимо друг от друга немецкие математики Август Мёбиус и Иоганн Листинг в 1858 году.

Тема проекта:«Лист Мёбиуса»

Цель. Показать, что в математике много увлекательного и интересного.

Задачи.

1.  Сделать ленту Мёбиуса.

2.  Узнать свойства ленты Мёбиуса.

3.  Придумать математические развлечения с лентой Мёбиуса.

4.  Узнать об использовании ленты Мёбиуса в жизни.

Результат проекта: Игры с лентой Мёбиуса

-4-

II ОСНОВНАЯ ЧАСТЬ

1. Геометрия. Топология.

Геометрия-слово греческое, в переводе на русский язык означает землемерие, изучает свойства фигур. Как и любая наука геометрия делится на разделы

I Планиметрия (лат. слово, планум - поверхность, плоскость + метрия), раздел геометрии, изучающий свойства фигур на плоскости (треугольник, квадрат, круг, окружность и т. д.)

2.Стереометрия (греч, стереос - пространство + метрия), раздел геометрии, изучающий свойства фигур в пространстве (шар, куб, параллелепипед и т. д.)

З. Топология (гр. топос - место, местность + логия) является одним из самых «молодых» разделов современной геометрии, в котором изучаются свойства таких фигур, которые не изменяются при деформациях (растяжение, сжатие), не допускающих разрывов и склеивания.

Родоначальниками топологии были немецкий учёный Георг Кантор (), ,  Павел Сергеевич Александров ().

Топология 

Как было сказано выше, что топология изучает свойства таких фигур, которые не изменяются при деформациях, не допускающих разрывов и склеивания. С точки зрения топологии баранка и кружка одно и тоже. Сжимая и растягивая кусок резины можно перейти от одной из этих фигур к другой. А вот баранка и шар - разные объекты; чтобы сделать отверстие, надо разорвать баранку

Среди букв русского алфавита есть топологически одинаковые фигуры А-Д, Г-С, С-П, 3-Э, Т-У.

В топологии фигуры не  имеют измерений.

 Самым  известным объектом в топологии является лист Мёбиуса.

2. Историческая справка 

Немецкий геометр Август Фернанд Мебиус (1, ученик «короля математиков» Гаусса. Мёбиус был первоначально астрономом, как Гаусс и многие другие прославленные математики. В те времена занятия матема­тикой не встречали поддержки, а астрономиябыла прибыльным делом и давала возможность заниматься проблемами других научных областей. И Мёбиус стал одни из крупнейших геометров XIX века. В возрасте 68 лет ему удалось сделать открытие ленты, которая бала названа его Именем. Идея пришла Мёбиусу в голову, когда служанка не правильно сшила ленту. Мебиус родился в Шульпфорте. С 1816г. начал вести самостоятельные астрономические наблюдения в Плейсенбургской

-5-

обсерватории, в 1818г. стал ее директором, позже - профессором Лейпцигского университета.

3. Изготовление Ленты Мёбиуса.

Для изготовления ленты Мёбиуса нам понадобятся: бумага, клей и ножницы.

Модель ленты Мёбиуса можно легко сделать. Для этого надо взять вытянутую бумажную полоску и соединить концы полоски, предварительно перевернув один из них.

4. Свойства ленты Мёбиуса

Лента Мёбиуса обладает любопытными свойствами, изучение которых становится увлекательной игрой.

Þ  Проведите линию вдоль ленты, на одинаковом расстоянии от краёв. Что заметили?

Вывод.Линия проведена «с двух сторон». Линия вернулась в точку начала.

Þ  Разрежьте ленту вдоль по линии. Получилось два кольца?

Вывод. Получили 1 кольцо, длина которого в два раза больше, ширина в два раза уже, перекручено на 1 полный оборот – «Афганская лента» (так называют её фокусники).

Þ  Разрежьте «Афганскую ленту» вдоль.

Вывод. Получились две ленты, намотанные друг на друга.

Þ  Разрез ленты Мёбиуса с дополнительными оборотами даёт неожиданные фигуры. Парадромные кольца.

-6-

Þ  Склейте два кольца - одно простое и лист Мёбиуса. Разрежьте каждое из них пополам вдоль. Что у Вас получилось?

Вывод. Получились три кольца, намотанные друг на друга.

2 – простые кольца равные по длине первоначальным, 3 – «Афганская лента».

Þ  Попробуйте прорезать в полосе щель и продеть сквозь нее один конец полосы. (как показано на рисунке) А теперь попробуйте продолжить разрез вдоль всей ленты. Что у вас получилось, если не секрет:

Вывод. Получили 1 кольцо, длина которого в два раза больше, ширина в два раза уже, перекручено на 1 полный оборот – «Афганская лента».

Þ  Лист Мёбиуса шириной 5 см. разрезали вдоль на расстоянии 1 см от края.

Вывод. Получили два сцепленных друг с другом кольца: первое - ширина 3 см. лист Мёбиуса длина равна длине исходного. Второе - ширина 1 см. длина в два раза больше исходного перекручена на два полных оборота.

Þ  Начали красить лист Мёбиуса,  не переворачивая его.

Вывод. Лист Мёбиуса закрасился полностью.

« Если кто - нибудь вздумает раскрасить только одну сторону поверхности мёбиусовой ленты, пусть сразу погрузит её всю в ведро с краской», - пишут Рихард Курант и Герберт Робинс в книге «Что такое математика?»

Þ  Бумажную куклу отправили вдоль по середине листа Мёбиуса

Вывод. Кукла вернулась в то же место, откуда начала движение, но

в перевернутом виде.

-7-

Выводы:

Лист Мебиуса имеет один край.

Лист Мебиуса имеет одну сторону.

Лист Мёбиуса - топологический объект, не меняет своих свойств, пока ее не разрезают, не склеивают её отдельные куски.

5.Использование листа Мёбиуса

У входа в музей истории и техники в Вашингтоне медленно вращается на пьедестале стальная лента, закрученная в полвитка. И это не случайно. Патентная служба зарегистрировала немало изобретений, в основе, которых лежит Лента Мёбиуса.

1.  В 1923 году выдан патент изобретателю Ли де Форсу, который предложил записывать звук на киноленте без смены катушек, сразу с двух сторон – это лента Мёбиуса.

2.  В 1969 году советский изобретатель Губайдуллин предложил бесконечную шлифовальную ленту в виде листа Мёбиуса.

3.  Ленточный конвейер в виде ленты Мёбиуса может работать дольше, он равномерно изнашивается с двух сторон.

4.  В 1971 году изобретатель с Урала применил фильтр в виде листа Мёбиуса.

5.  Система записи на непрерывную плёнку – лист Мёбиуса.

6.  Красящая лента в первых принтерах – лента Мёбиуса увеличивала срок их использования.

7.  Международный символ переработки – лист Мёбиуса. (Приложение )

8.  В метро ручка эскалатора, не что иное как лента Мёбиуса это позволяет равномерно изнашиваться, и продлевает срок службы резины.

9.  Любят ленту Мёбиуса художники, писатели – фантасты.

-8-

Þ  Бабушка мне рассказала, что кольцо Мёбиуса постоянно упоминается в произведениях уральского писателя Владислава Крапивина цикл «В глубине великого кристалла». (Приложение )

«Одним из центральных понятий для теории Великого Кристалла является понятие "кольцо Мебиуса" — символ совмещенных пространств. Сама идея Великого Кристалла развилась, по словам самого автора, из мысли о том, что и трехмерные пространства могут соединяться подобным образом. Эту мысль иллюстрируют на компьютере Корнелий Глас и Михаил Мохов ("Гуси-гуси, га-га-га"): "Если грань А мы соединим с гранью Б, грань Б с гранью Ц, и так далее, все плоскости сольются в одну как в кольце Мебиуса". По модели кольца Мебиуса происходит известный мальчишкам из реттербергской грани переход с помощью зеркал: два зеркала ставятся под углом друг к другу, и через щель между ними можно уйти в другое пространство» - пишет Ольга Виноградова.

Þ  Встречаются упоминание о листе Мёбиуса и в поэзии.

Лист Мебиуса - символ математики,
Что служит высшей мудрости венцом…
Он полон неосознанной романтики:
В нем бесконечность свернута кольцом.

( «Лист Мёбиуса» Наталья Юрьевна Иванова)

(Приложение )

Þ  Особенно любил работать с топологическими объектами голландский художник Морис Корнелис Эшер (1898 – 1972 годы)  множество его работ посвящены листу Мебиуса. Если вы проследите путь муравьев на литографии "Лента Мебиуса II", то увидите, что муравьи ползут не по противоположным поверхностям ленты, а по одной и той же. (Приложение )

Þ  Лента Мёбиуса широко используется фокусниками.

В цир­ке подвешивались яркие ленты, склеенные в виде листов Мёбиуса. Фокусник закуривал сигарету и горящим концом дотрагивался до средней линии каждой ленты, которая была выполнена из калийной селитры. Огненная дорожка превращала первую ленту в более длинную, а вторую - в две ленты, продетая одна в другую. (В этом случае фокусник

-9-

разрезал лист Мёбиуса не посередине, а на расстоянии в одну треть его ширины).

Вот пример еще одного фокуса: фокусник вручает зрителю два больших бумажных кольца, каждое из которых получилось путем склеивания концов длинной ленты. Зритель разрезает ножницами первое кольцо вдоль ленты посередине, пока не вернется в исходную точку. Он получает, к своему удивлению, не два кольца, а одно, которое вдвое длиннее исходного – «Афганскую ленту». Разрезая второе кольцо, он снова получает поразительный результат: два кольца, сцепленных друг с другом. Результат этого фокуса зависит от того, как были сомкнуты концы ленты перед склейкой. Первое кольцо – лист Мёбиуса, у второго концы перекручивались перед склейкой дважды. Известно еще много фокусов с применением ленты Мебиуса. Используя свойства ленты Мёбиуса, можно придумать множество фокусов.

Þ  В МОСКВЕ на станции метро Фрунзенская, напротив кинотеатра «Горизонт», есть памятник «Ленте Мёбиуса» (приложение №5)

Þ  Серебряное колечко в виде листа Мёбиуса

Þ  В религии Иудаизм есть течение – каббалы. Их очень волнует лента Мёбиуса – Афганская лента.

-10-

III Заключение

В результате выполнения этого проекта Я узнала, что существует односторонняя поверхность – лист Мёбиус, который обладает удивительными свойствами. Лента Мёбиуса (лист Мебиуса) используется в жизни. Она волнует литераторов и художников.

Зная свойства Ленты Мёбиуса, можно придумать различные фокусы и развлечения.

-11-

Литература

1.  М. Гарднер  «Математические чудеса и тайны»

2.  «Курс наглядной геометрии» 6 класс.

«Просвещение» 2002 г.

3.  Современный словарь иностранных слов.

4.  .  «Наглядная геометрия» 5-6 класс. «Дрофа» 2000г.

5.  Энциклопедия для детей «Математика». «Аванта+»2001г.

6.  Крапивин . Белый шарик Матроса Вильсона. Екотеринбург. Средне – уральское книжное издательство, 1993г.

7.  Материалы Интернет.

Приложение

Наталья Юрьевна Иванова

Лист Мёбиуса

Лист Мебиуса - символ математики,
Что служит высшей мудрости венцом…
Он полон неосознанной романтики:
В нем бесконечность свернута кольцом.

В нем – простота, и вместе с нею – сложность,
Что недоступна даже мудрецам:
Здесь на глазах преобразилась плоскость
В поверхность без начала и конца.

Здесь нет пределов, нет ограничений,
Стремись вперед и открывай миры,
Почувствуй силу новых ощущений,
Прими познанья высшего дары:

Познай любовь и ненависть изведай,
Низвергнись в ад – тотчас увидишь рай.
Ты в одночасье насладись победой
И горечь пораженья испытай.

На грани бесконечного блаженства
Испытывая суеверный страх,
Найдешь свой путь. Достигнув совершенства,
Окажешься в таинственных мирах.

И, вдохновленный этим дерзновеньем,
По экспоненте поднимаясь в высь,
Ты ощутишь восторг освобожденья,
Почувствуешь, как возникает Мысль.

Покажется, что распростерлась Вечность,
Что взломан Мироздания пароль.
И вдруг твое стремленье в бесконечность
Тебя вернет к исходной точке: в ноль.

Как о порог, об этот ноль споткнешься.
Но как бы ни был прежний путь тернист,
Вновь выбирай (и ты не ошибешься!)
Путь в бесконечность – Мёбиуса лист.

Приложение

Владислав КРАПИВИН
Бабушкин внук и его братья
Роман (отрывок)

Рельсы Мёбиуса

И правда, это были рельсы. Но рельсовое полотно было очень узким — уже, чем у детской железной дороги в городском парке. И к тому же шпалы и рельсы не лежали на земле. Они взвились вверх гигантской перекрученной петлей. Немного похоже было на аттракцион “Американские горы”.

Нижний край опирался на решетчатое сооружение. Высотою оно было метра два.

— Смотрите, а рельсы-то на шпалах с обеих сторон, — сказал Вячик. — Можно по ним ехать и внутри петли, и снаружи.

— Тут нету “снаружи” и “внутри”, — солидно разъяснил Арбуз. — Это знаете что? Это кольцо Мёбиуса. Нам про него физик рассказывал. И показывал. Голландский математик Мебиус взял однажды бумажную ленту, перекрутил ее один раз и склеил концы. И получилось, что у этого длинного листа не две поверхности, а одна.

Я про такое кольцо тоже знал. И не раз удивлялся: простая вещь, а все равно непонятно — вроде бы две стороны у ленты, а на самом деле одна...

— А здесь по такой поверхности проложены рельсы, — продолжал Арбуз лекционным тоном. — Наверно, для какого-то опыта с пространством и временем. Может, это переход в параллельный мир.