Правительство Российской Федерации
Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего профессионального образования
"Национальный исследовательский университет
"Высшая школа экономики"
Факультет Математики
Программа дисциплины Спецкурс «Теория Морса»
для направления 010100.62 «Математика» подготовки бакалавра
и направления 010100.68 «Математика» подготовки магистра
Автор программы: , к. ф.-м. н., доцент, petya. *****@***com
Рекомендована секцией УМС по математике «___»____________ 2012 г.
Председатель
Утверждена УС факультета математики «___»_____________2012 г.
Ученый секретарь ________________________
Москва, 2012
Настоящая программа не может быть использована другими подразделениями университета и другими вузами без разрешения кафедры-разработчика программы.
2 Область применения и нормативные ссылки
Настоящая программа учебной дисциплины устанавливает минимальные требования к знаниям и умениям студента и определяет содержание и виды учебных занятий и отчетности.
Программа предназначена для преподавателей, ведущих данную дисциплину, учебных ассистентов и студентов направления 010100.62 «Математика» подготовки бакалавра, направления 010100.68 «Математика» подготовки магистра.
Программа разработана в соответствии с:
· ГОС ВПО;
· Образовательными программами: 010100.62 «Математика» подготовки бакалавра и 010100.68 «Математика» подготовки магистра.
· Рабочими учебными планами университета: по направлению 010100.62 «Математика» подготовки бакалавра и по направлению 010100.68 «Математика» подготовки магистра, специализации Математика, утвержденными в 2011 г.
3 Цели освоения дисциплины
Целями освоения дисциплины ''Теория Морса'' являются знакомство с теорией Морса -
наукой, связывающей анализ и топологию; знакомство с многообразиями и функциями на них, построением клеточных комплексов по функциям.
4 Место дисциплины в структуре образовательной программы
Настоящая дисциплина относится к циклу специальных дисциплин и блоку дисциплин по выбору.
Изучение данной дисциплины базируется на следующих дисциплинах:
· Математический анализ, Топология, Динамические системы.
Для освоения учебной дисциплины, студенты должны владеть следующими знаниями и компетенциями:
· Быть знакомыми с основами многомерного анализа, например теоремой о неявной функции, теоремой существования и единственности решения обыкновенного дифференциального уравнения.
·
Основные положения дисциплины должны быть использованы в дальнейшем при изучении следующих дисциплин:
· Топология, Дополнительные главы дифференциальной геометрии, Алгебраическая геометрия.
5 Тематический план учебной дисциплины
1 курс магистратуры
№ | Название раздела | Всего часов | Аудиторные часы | Самостоятельная работа | ||
Лекции | Семинары | Практические занятия | ||||
1 | Гладкие многообразия, Лемма Морса | 35 | 15 | 20 | ||
2 | Функции Морса и клеточные комплексы | 20 | 10 | 10 | ||
3 | Нормальные формы пар М-комплексов и неравенства Морса | 35 | 15 | 20 | ||
Итого: | 90 | 40 | 50 |
2 курс магистратуры
№ | Название раздела | Всего часов | Аудиторные часы | Самостоятельная работа | ||
Лекции | Семинары | Практические занятия | ||||
1 | Гладкие многообразия, Лемма Морса | 60 | 15 | 45 | ||
2 | Функции Морса и клеточные комплексы | 42 | 10 | 32 | ||
3 | Нормальные формы пар М-комплексов и неравенства Морса | 60 | 15 | 45 | ||
Итого: | 162 | 40 | 122 |
6 Формы контроля знаний студентов
Тип контроля | Форма контроля | 1 год | Параметры ** | |||
1 | 2 | 3 | 4 | |||
Текущий (неделя) | Контрольная работа | * | 8 | письменная работа, 60 мин. | ||
Итоговый | Зачет | v |
6.1 Критерии оценки знаний, навыков
Оценки по всем формам текущего контроля выставляются по 10-ти балльной шкале.
7 Содержание дисциплины
Раздел представляется в удобной форме (список, таблица). Изложение строится по разделам и темам. Содержание темы может распределяться по лекционным и практическим занятиям.
1. Раздел 1 Гладкие многообразия, Лемма Морса
Тема 1.1. Определение гладкого многообразия, разбиение единицы, примеры.
Тема 1.2. Лемма Морса для многообразий с краем. Плотность функций Морса в пространстве всех функций на многообразии. Градиентные и градиентно-подобные векторные поля.
Тема 1.3. Неравенства Морса для замкнутого многообразия. Конструкция Арнольда ростка функции на сфере.
2. Раздел 2 Функции Морса и клеточные комплексы.
Тема 2.1. Сопоставление функции Морса клеточного комплекса, гомотопически эквивалентного подлежащему многообразию. Относительный вариант этой конструкции.
Тема 2.2. Изучение произвола в конструкции клеточного комплекса.
3. Раздел 3 Нормальные формы пар М-комплексов. Неравенства Морса.
Тема 3.1. Определение М-комплекса как аналог комплекса клеточных цепей, возникающего по строгой функции Морса. Теорема Баранникова.
Тема 3.2. Пары М-комплексов. Разные виды эквивалентностей пар М-комплексов. Теорема о минимальном комплексе. Теорема о модели.
Тема 3.3. Неравенства Морса для многообразий с краем. Примеры. Объяснение явления Арнольда.
8 Образовательные технологии
Основой курса являются классические образовательные технологии, состоящие в чтении лекций и проведении семинаров.
9 Оценочные средства для текущего контроля и аттестации студента
9.1 Тематика заданий текущего контроля
Примерные вопросы/ задания для контрольно-исследовательской работы
1. Вычислить неравенства Морса для какого-то конкретного ростка функции вдоль края двумерного многообразия.
2. Найти минимальный комплекс, слабо эквивалентный паре данных комплексов.
3. Найти функцию на многообразии с краем, в модели которой есть данное число каких-то элементарных слагаемых
Тема контрольно-исследовательской работы для каждого студента утверждается преподавателем в индивидуальном порядке.
10 Порядок формирования оценок по дисциплине
Результирующая оценка за итоговый контроль складывается из результатов накопленной результирующей оценки за текущий контроль, удельный вес которой составляет k1 = 0,5 и оценки за зачет, удельный вес k2 = 0,5.
Оитоговый = 0,5 * Отекущий + 0,5 * Озачет
Способ округления накопленной оценки промежуточного (итогового) контроля в форме зачета/экзамена в пользу студента.
Студент может получить возможность пересдать низкие результаты за текущий контроль.
В диплом ставится оценка за итоговый контроль, которая является результирующей оценкой по учебной дисциплине
11 Учебно-методическое и информационное обеспечение дисциплины
11.1 Базовый учебник
Записки автора курса и записки лекций.
11.2 Основная литература
Милнор Дж, Теория Морса — М, Мир, 1965, 184 стр.
