Программа дисциплины Спецкурс «Теория Морса»

Правительство Российской Федерации

Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего профессионального образования
"Национальный исследовательский университет
"Высшая школа экономики"

Факультет Математики

Программа дисциплины Спецкурс «Теория Морса»

для направления 010100.62 «Математика» подготовки бакалавра

и направления 010100.68 «Математика» подготовки магистра

Автор программы: , к. ф.-м. н., доцент, petya. *****@***com

Рекомендована секцией УМС по математике «___»____________ 2012 г.

Председатель

Утверждена УС факультета математики «___»_____________2012 г.

Ученый секретарь ________________________

Москва, 2012

Настоящая программа не может быть использована другими подразделениями университета и другими вузами без разрешения кафедры-разработчика программы.

2  Область применения и нормативные ссылки

Настоящая программа учебной дисциплины устанавливает минимальные требования к знаниям и умениям студента и определяет содержание и виды учебных занятий и отчетности.

Программа предназначена для преподавателей, ведущих данную дисциплину, учебных ассистентов и студентов направления 010100.62 «Математика» подготовки бакалавра, направления 010100.68 «Математика» подготовки магистра.

Программа разработана в соответствии с:

·  ГОС ВПО;

·  Образовательными программами: 010100.62 «Математика» подготовки бакалавра и 010100.68 «Математика» подготовки магистра.

·  Рабочими учебными планами университета: по направлению 010100.62 «Математика» подготовки бакалавра и по направлению 010100.68 «Математика» подготовки магистра, специализации Математика, утвержденными в 2011 г.

3  Цели освоения дисциплины

Целями освоения дисциплины ''Теория Морса'' являются знакомство с теорией Морса -

наукой, связывающей анализ и топологию; знакомство с многообразиями и функциями на них, построением клеточных комплексов по функциям.

4  Место дисциплины в структуре образовательной программы

Настоящая дисциплина относится к циклу специальных дисциплин и блоку дисциплин по выбору.

Изучение данной дисциплины базируется на следующих дисциплинах:

·  Математический анализ, Топология, Динамические системы.

Для освоения учебной дисциплины, студенты должны владеть следующими знаниями и компетенциями:

·  Быть знакомыми с основами многомерного анализа, например теоремой о неявной функции, теоремой существования и единственности решения обыкновенного дифференциального уравнения.

·   

Основные положения дисциплины должны быть использованы в дальнейшем при изучении следующих дисциплин:

·  Топология, Дополнительные главы дифференциальной геометрии, Алгебраическая геометрия.

5  Тематический план учебной дисциплины

1 курс магистратуры

№	Название раздела	Всего часов	Аудиторные часы	Самостоя­тельная работа
Лекции	Семинары	Практические занятия
1	Гладкие многообразия, Лемма Морса	35	15			20
2	Функции Морса и клеточные комплексы	20	10			10
3	Нормальные формы пар М-комплексов и неравенства Морса	35	15			20
	Итого:	90	40			50

2 курс магистратуры

№	Название раздела	Всего часов	Аудиторные часы	Самостоя­тельная работа
Лекции	Семинары	Практические занятия
1	Гладкие многообразия, Лемма Морса	60	15			45
2	Функции Морса и клеточные комплексы	42	10			32
3	Нормальные формы пар М-комплексов и неравенства Морса	60	15			45
	Итого:	162	40			122

6  Формы контроля знаний студентов

Тип контроля	Форма контроля	1 год	Параметры **
1	2	3	4
Текущий (неделя)	Контрольная работа	*			8	письменная работа, 60 мин.
Итоговый	Зачет				v

6.1  Критерии оценки знаний, навыков

Оценки по всем формам текущего контроля выставляются по 10-ти балльной шкале.

7  Содержание дисциплины

Раздел представляется в удобной форме (список, таблица). Изложение строится по разделам и темам. Содержание темы может распределяться по лекционным и практическим занятиям.

1.  Раздел 1 Гладкие многообразия, Лемма Морса

Тема 1.1. Определение гладкого многообразия, разбиение единицы, примеры.

Тема 1.2. Лемма Морса для многообразий с краем. Плотность функций Морса в пространстве всех функций на многообразии. Градиентные и градиентно-подобные векторные поля.

Тема 1.3. Неравенства Морса для замкнутого многообразия. Конструкция Арнольда ростка функции на сфере.

2.  Раздел 2 Функции Морса и клеточные комплексы.

Тема 2.1. Сопоставление функции Морса клеточного комплекса, гомотопически эквивалентного подлежащему многообразию. Относительный вариант этой конструкции.

Тема 2.2. Изучение произвола в конструкции клеточного комплекса.

3.  Раздел 3 Нормальные формы пар М-комплексов. Неравенства Морса.

Тема 3.1. Определение М-комплекса как аналог комплекса клеточных цепей, возникающего по строгой функции Морса. Теорема Баранникова.

Тема 3.2. Пары М-комплексов. Разные виды эквивалентностей пар М-комплексов. Теорема о минимальном комплексе. Теорема о модели.

Тема 3.3. Неравенства Морса для многообразий с краем. Примеры. Объяснение явления Арнольда.

8  Образовательные технологии

Основой курса являются классические образовательные технологии, состоящие в чтении лекций и проведении семинаров.

9  Оценочные средства для текущего контроля и аттестации студента

9.1  Тематика заданий текущего контроля

Примерные вопросы/ задания для контрольно-исследовательской работы

1.  Вычислить неравенства Морса для какого-то конкретного ростка функции вдоль края двумерного многообразия.

2.  Найти минимальный комплекс, слабо эквивалентный паре данных комплексов.

3.  Найти функцию на многообразии с краем, в модели которой есть данное число каких-то элементарных слагаемых

Тема контрольно-исследовательской работы для каждого студента утверждается преподавателем в индивидуальном порядке.

10  Порядок формирования оценок по дисциплине

Результирующая оценка за итоговый контроль складывается из результатов накопленной результирующей оценки за текущий контроль, удельный вес которой составляет k1 = 0,5 и оценки за зачет, удельный вес k2 = 0,5.

Оитоговый = 0,5 * Отекущий + 0,5 * Озачет

Способ округления накопленной оценки промежуточного (итогового) контроля в форме зачета/экзамена в пользу студента.

Студент может получить возможность пересдать низкие результаты за текущий контроль.

В диплом ставится оценка за итоговый контроль, которая является результирующей оценкой по учебной дисциплине

11  Учебно-методическое и информационное обеспечение дисциплины

11.1  Базовый учебник

Записки автора курса и записки лекций.

11.2  Основная литература

Милнор Дж, Теория Морса — М, Мир, 1965, 184 стр.